解一元二次方程-直接开平方法-初中数学习题集含答案
解一元二次方程-直接开平方法（北京习题集）（教师版）一．选择题（共12小题）1．（2019春•西城区期末）若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为 A ．B ．C ．D ．22．（2019春•延庆区期末）若关于的一元二次方程的一个根是1，则 A ．B ．C ．D ．3．（2019秋•海淀区校级月考）关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是 A ．B ．C ．1D ．24．（2019春•顺义区期末）若关于的方程的一个根是3，则的值是 A ．B ．C ．1D ．35．（2018春•海淀区校级期中）已知2是关于的方程的一个解，则的值是 A ．3B ．4C ．5D ．66．（2017秋•顺义区校级月考）一元二次方程的根是 A ．B ．C ．无实数根D ．，7．（2017秋•海淀区校级期中）一元二次方程的解是 A ．B ．C ．，D ．8．（2015春•北京校级期中）的根是 A ．，B ．C ．无实根D ．以上均不正确9．（2013秋•海淀区期末）若关于的方程没有实数根，则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．10．（2012秋•房山区期末）一元二次方程的解是 A ．，B ．，C ．，D ．，11．（2010秋•海淀区校级月考）若方程有解，则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．无法确定12．（2019春•海淀区期末）下列实数中，是方程的根的是 A ．1B ．2C ．3D ．4x 22(2)240a x x a -++-=a ()2±2-x 230x x a -+=()2a =1a =2a =-0a =x 2240kx x +-=k ()1-2-x 230x mx n +-=m n -()1-3-x 2320x a -=a ()290x -=()3x =-3x =13x =23x =-2(2)0x -=()2x =122x x ==12x =22x =-2x =-2240x +=()12x =22x =-2x =x 2(1)1x k +=-k ()1k …1k <1k …1k >2(1)4x -=()12x =22x =-13x =21x =-13x =23x =-13x =22x =-2(2009)x a -=a ()0a …0a …0a >240x -=()二．填空题（共2小题）13．（2019秋•齐河县期中）关于的一元二次方程有一个根是零，则 ．14．（2019秋•海淀区期末）如果关于的一元二次方程的一个解是，则 ．三．解答题x 22(2)(3)40m x m x m -+++-=m =x 210ax bx +-=1x =2020a b --=解一元二次方程-直接开平方法（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2019春•西城区期末）若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为 A ．B ．C ．D ．2【分析】根据一元二次方程的解定义把代入一元二次方程得，解得，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的的值．【解答】解：把代入方程，得，解得或，而，所以的值为．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．2．（2019春•延庆区期末）若关于的一元二次方程的一个根是1，则 A ．B ．C ．D ．【分析】把代入方程得到关于的方程，然后解关于的方程即可．【解答】解：把代入方程得，解得．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．3．（2019秋•海淀区校级月考）关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是 A ．B ．C ．1D ．2【分析】把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程可以求得的值．【解答】解：把代入方程，可得，即，故选：．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．4．（2019春•顺义区期末）若关于的方程的一个根是3，则的值是 A ．B ．C ．1D ．3【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，易得到的值．x 22(2)240a x x a -++-=a ()2±2-0x =240a -=2a =±a 0x =240a -=2a =2a =-20a -≠a 2-C x 230x x a -+=()2a =1a =2a =-0a =1x =230x x a -+=a a 1x =230x ax a -+=130a -+=2a =A x 2240kx x +-=k ()1-2-1x =k k 1x =2240kx x +-=240k +-=2k =D x 230x mx n +-=m n -()1-3-23330m n +-=m n -【解答】解：依题意得：，整理，得．解得．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．5．（2018春•海淀区校级期中）已知2是关于的方程的一个解，则的值是 A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】利用一元二次方程解的定义，把代入方程得，然后解关于的方程即可．【解答】解：把代入方程得，解得．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6．（2017秋•顺义区校级月考）一元二次方程的根是 A ．B ．C ．无实数根D ．，【分析】直接开平方法解方程即可．【解答】解：，，，．故选：．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解此题的关键．7．（2017秋•海淀区校级期中）一元二次方程的解是 A ．B ．C ．，D ．【分析】利用直接开平方法得到，然后解一元一次方程即可．【解答】解：，所以．故选：．【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．23330m n +-=93()0m n +-=3m n -=-B x 2320x a -=a ()2x =2320x a -=1220a -=a 2x =2320x a -=3420a ⨯-=6a =D 290x -=()3x =-3x =13x =23x =-290x -=29x =13x ∴=23x =-D 2(2)0x -=()2x =122x x ==12x =22x =-2x =-20x -=20x -=122x x ==B -2x p =2()(0)nx m p p +=…8．（2015春•北京校级期中）的根是 A ．，B ．C ．无实根D ．以上均不正确【分析】首先把方程移项、二次项系数化为1，得到，再根据负数没有平方根即可求解．【解答】解：移项得：．系数化为1得：，负数没有平方根，方程没有实数根．故选：．【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，不用计算一元二次方程根的判别式，根据负数没有平方根即可判定方程无解．9．（2013秋•海淀区期末）若关于的方程没有实数根，则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．【分析】通过直接开平方法解得，则根据二次根式有意义的条件得到不等式，由此求得的取值范围．【解答】解：解方程得到：，关于的方程没有实数根，，解得，．故选：．【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法．解题时，利用了二次根式的被开方数是非负数求得的取值范围．10．（2012秋•房山区期末）一元二次方程的解是 A ．，B ．，C ．，D ．，【分析】把两边开方得到，然后解两个一元一次方程即可．【解答】解：，，，．故选：．2240x +=()12x =22x =-2x =22x =-224x =-22x =-Q ∴C -x 2(1)1x k +=-k ()1k …1k <1k …1k>1x +=10k -<k 2(1)1x k +=-1x +=Q x 2(1)1x k +=-10k ∴-<1k <B --k 2(1)4x -=()12x =22x =-13x =21x =-13x =23x =-13x =22x =-2(1)4x -=12x -=±2(1)4x -=Q 12x ∴-=±13x ∴=21x =-B【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：对于形如的一元二次方程，可先变形为，当，可利用平方根的定义求解． 11．（2010秋•海淀区校级月考）若方程有解，则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．无法确定【分析】利用直接开平方法，若方程有解，为非负数．【解答】解：方程有解，，故选．【点评】本题考查了一个数的平方应为非负数，方程若有解，一定为非负数．12．（2019春•海淀区期末）下列实数中，是方程的根的是 A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】先把方程化为，方程两边开平方得到，即可得到方程的两根．【解答】解：移项得，开方得，，．故选：．【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：，，同号且，，，同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”；二．填空题（共2小题）13．（2019秋•齐河县期中）关于的一元二次方程有一个根是零，则 ．【分析】把代入方程得，然后解方程后利用一元二次方程的定义确定的值．【解答】解：把代入方程得，解得，，而，所以．故答案为．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14．（2019秋•海淀区期末）如果关于的一元二次方程的一个解是，则 2019 ．-20(0)ax c a +=≠2c x a=-0ac …2(2009)x a -=a ()0a …0a …0a >a Q 2(2009)x a -=0a ∴…A a 240x -=()24x=2x ==±24x =2x =±12x ∴=22x =-B -2(0)x a a =…2(ax b a =b 0)a ≠2()(0)x a b b +=…2()(a x b c a +=c 0)a ≠x 22(2)(3)40m x m x m -+++-=m =2-0x =22(2)(3)40m x m x m -+++-=240m -=m 0x =22(2)(3)40m x m x m -+++-=240m -=12m =22m =-20m -≠2m =-2-x 210ax bx +-=1x =2020a b --=【分析】利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算．【解答】解：把代入方程得，所以，所以．故答案为2019．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．三．解答题1a b +=2020a b --2020()a b -+1x =210ax bx +-=10a b +-=1a b +=20202020()202012019a b a b --=-+=-=。
21.1 一元二次方程及其解法(一)-直接开平方法(基础巩固)-九年级数学上(人教版)
第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程及其解法（一）——直接开平方法（基础巩固）【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定例1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1)；(2)．【思路点拨】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.【答案】（1）是；（2）不是. 【解析】(1)整理原方程，得 ， 所以．其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．(2)整理原方程，得 ， 所以．其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】不满足（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 举一反三：【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程． ①21x x ++；②2960x x -=；③2102y =；④215402x x -+=；⑤ 2230x xy y +-=；⑥ 232y =；⑦ 2(1)(1)x x x +-=． 【答案】②③⑥.【解析】①21x x ++不是方程；④215402x x -+=不是整式方程；⑤ 2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定例2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数： (1)-3x 2-4x+2=0； (2)．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程 3x 2+4x-2=0．各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程 6x 2-20x+9=0． 各项的系数分别是：．【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为．举一反三：【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）2352x x =-； （2）(1)(1)2a x x x +-=-．【答案】（1）235+2=0x x -，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）(1)(1)2a x x x +-=-化为220,ax x a +--=二次项系数是a 、一次项系数是1、常数项是-a-2.类型三、一元二次方程的解（根）例3. 如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( )A ．-3，2B ．3，-2C ．2，-3D ．2，3 【答案】A ；【解析】∵ x ＝2是方程x 2+px+q ＝0的根，∴ 22+2p+q ＝0，即2p+q ＝-4 ①同理，12+p+q ＝0，即p+q ＝-1 ② 联立①，②得24,1,p q p q +=-⎧⎨+=-⎩ 解之得：3,2.p q =-⎧⎨=⎩【总结升华】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法．即分别用2，1代替方程中未知数x的值，得到两个关于p、q的方程，解方程组可求p、q的值．类型四、用直接开平方法解一元二次方程例4.求下列x的值（1）x2﹣25=0（2）（x+5）2=16．【思路点拨】（1）移项后利用直接开方法即可解决．（2）利用直接开方法解决．【答案与解析】解：（1）∵x2﹣25=0，∴x2=25，∴x=±5．（2）∵（x+5）2=16，∴x+5=±4，∴x=﹣1或﹣9．【总结升华】应当注意，形如=k或（nx+m）2=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；(2)2y2-72=0；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．【答案】(1)∵ x2=361，∴ x=19或x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴ y=6或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a 2=1， a 2=，∴a=或a=-．(4)∵-8m 2+36=0， -8m 2=-36， m 2=，∴m=或m=-．【变式2】解下列方程：(1) (2x+3)2-25=0；(2)（1﹣2x ）2=x 2﹣6x+9.【答案】解：(1)∵ (2x+3)2=25， ∴ 2x+3=5或2x+3=-5． ∴x 1=1，x 2=-4．(2) ∵（1﹣2x ）2=x 2﹣6x+9， ∴（1﹣2x ）2=（x ﹣3）2， ∴1﹣2x=±（x ﹣3），∴1﹣2x=x ﹣3或1﹣2x=﹣（x ﹣3），∴x 1=43，x 2=﹣2． 【巩固练习】一、选择题1. 若2230px x p p -+-=是关于x 的一元二次方程，则( ) A ．p ≠1 B ．p ≠0且p ≠1 C ．p ≠0 D ．p ≠0且p ≠12．如果x=﹣3是一元二次方程ax 2=c 的一个根，那么该方程的另一个根是（ ） A ．3 B ．-3 C ．0 D ．13．已知x=﹣1是关于x 的方程x 2﹣x +m=0的一个根，则m 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．24．若1x ，2x 是方程24x =的两根，则12x x +的值是 ( )A ．8B ． 4C ．2D ．05．若a 为方程式2(17)100x -=的一根，b 为方程式2(4)17y -=的一根，且a 、b 都是正数，则a b -之值为何?( )A ．5B ．6C ．83D ．1017-6．已知方程20x bx a ++=有一个根是-a(a ≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是( ) A ．ab B ．abC ．a+bD ．a-b二、填空题7. 方程(2x+1)(x-3)＝x 2+1化成一般形式为____ _ ___，二次项系数是____ ____，一次项系数是________，常数项是________． 8．（1）关于x 的方程是一元二次方程，则m ； （2）关于x 的方程是一元一次方程，则m .9．下列关于x 的方程中是一元二次方程的是____ ____(只填序号)． (1)x 2+1＝0； (2)21112x x +=+； (3)210x y ++=； (4)3210x x x --+=； (5)22(35)64x x x -=+ ； (6)(x-2)(x-3)＝5.10．下列哪些数是方程2680x x -+=的根?答案： . 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．11．方程2x ﹣4=0的解也是关于x 的方程x 2+mx +2=0的一个解，则m 的值为 ． 12．若方程（x ﹣4）2=a 有实数解，则a 的取值范围是___ _____．三、解答题13．若一元二次方程ax 2=b （ab ＞0）的两个根分别是m+1与2m ﹣4，求ba的值．14. 用直接开平方法解下列方程．(1)2160x -=；(2)2(2)9x -=．15．教材或资料会出现这样的题目：把方程2122x x -=化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答． (1)下列式子中，有哪几个是方程2122x x -=所化的一元二次方程的一般形式?(答案只写序号)______ __． ①21202x x --=； ②21202x x -++=； ③224x x -=；④2240x x -++=； 20--=.(2)方程2122x x -=化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系?答案与解析一、选择题 1．【答案】C ；【解析】方程20ax bx c ++=是一元二次方程的条件是a ≠0，b 、c 可以是任意实数． 2.【答案】A ；【解析】ax 2=c ， 即x 2=， x=±，∵x=﹣3是一元二次方程ax 2=c 的一个根， ∴该方程的另一个根是x=3，故选A ． 3.【答案】A.【解析】把x=﹣1代入x 2﹣x +m=0得1+1+m=0，解得m=﹣2．故选A ． 4．【答案】D ；【解析】直接开方可得12x =，22x =-，∴ 120x x +=. 5.【答案】B ；【解析】由2(17)100x -=得1710x -=±，∴ 11710x =+，21710x =-，又a 是正数且a 是此方程的根， ∴ 1710a =+．同理417b =+， ∴ (1710)(417)6a b -=+-+=．6.【答案】D ；【解析】将x a =-代入方程得2()()0a b a a -+-+=．∴ 20a ab a -+=，又a ≠0．方程两边同除以a 得a-b+1＝0，∴ a-b ＝-1，即a-b 的值恒为常数．二、填空题7．【答案】x 2-5x-4＝0，1，-5，-4． 8．【答案】（1）2m ≠±；（2）m=-2. 【解析】（1）因为关于x 的方程是一元二次方程，所以240, 2.m m -≠≠±解得 （2）因为关于x 的方程是一元一次方程，所以2 2.402(2)0m m m m =±⎧-=⎧⎨⎨≠---≠⎩⎩ 解得 所以m=-2.9．【答案】(1)，(6).【解析】根据一元二次方程的定义，要判断一个方程是否是一元二次方程要看它是否符合定义的三个必备条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程．当然对有些方程必须先整理后再看．(1)是；(2)含有分式；(3)含有两个未知数；(4)未知数最高次数为3；(5)方程整理得-10x-4＝0，不是一元二次方程；(6)方程整理得x2-5x+1＝0是一元二次方程，所以(1)、(6)是一元二次方程．10．【答案】2，4．【解析】把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别代入方程x 2-6x+8＝0，发现当x ＝2和x ＝4时，方程x 2-6x+8＝0左右两边相等，所以x ＝2，x ＝4是方程x 2-6x+8＝0的根．11.【答案】-3.【解析】2x ﹣4=0，解得：x=2，把x=2代入方程x 2+mx +2=0得：4+2m +2=0，解得：m=﹣3．12．【答案】a ≥0；【解析】∵方程（x ﹣4）2=a 有实数解，∴x ﹣4=±，∴a ≥0；．三、解答题13.【答案与解析】解：∵x 2=（ab ＞0），∴x=±， ∴方程的两个根互为相反数，∴m+1+2m ﹣4=0，解得m=1，∴一元二次方程ax 2=b （ab ＞0）的两个根分别是2与﹣2，∴4a=b ∴=4．故答案为：4．14.【答案与解析】(1)移项，得216x =，根据平方根的定义，得4x =±．即14x =，24x =-．(2)根据平方根的定义，得23x -=±，即15x =，21x =-．15.【答案与解析】(1)观察可知方程①、②、③、④、⑤的各项系数分别是原方程各项系数乘以1，-1，2，-2，一般形式．(2)二次项系数、一次项系数与常数项之比为1(1)(2)2--::，即1(2)(4)--::，若设二次项系数为a ，则一次项系数为2a -，常数项为4a -．。
九年级数学上一元二次方程2.2一元二次方程的解法1配方法__直接开平方法习题湘教
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17.用直接开平方法解下列方程．
(1)3(2x－5)2－36＝0；
解：移项，得 3(2x－5)2＝36，
两边同时除以 3，得(2x－5)2＝12.
开方，得 2x－5＝±2 3，
∴2x－5＝2 3或 2x－5＝－2 3.
∴x1＝5＋22
3，x2＝5－22
3 .
(2)4(2y－5)2＝9(3y－1)2.
(2)若max{(x－1)2，x2}＝9，求x的值． 解：∵max{(x－1)2，x2}＝9， ∴当max{(x－1)2，x2}＝x2时，(x－1)2＜x2，x2＝9， 解得x1＝－3(不合题意，舍去)，x2＝3， 当max{(x－1)2，x2}＝(x－1)2时，(x－1)2＞x2，(x－1)2＝9， ∴x－1＝±3，∴x－1＝－3或x－1＝3， 解得x1＝－2，x2＝4(不合题意，舍去)， 综上所述，x的值为3或－2.
16．将 4 个数 a，b，c，d 排成两行两列，两边各加一条竖直线 记成ac db，定义ac db＝ad－bc，上述记号叫作二阶行列 式，若x2－1 x－－31＝7，则 x＝__0_或__2___．
【点拨】根据题意得(x－1)2－2×(－3)＝7，∴(x－1)2＝1， 开方得，x－1＝±1，∴x1＝2，x2＝0.
A．x1＝x2＝3 C．x1＝x2＝－ 3
B．x1＝x2＝ 3 D．x1＝ 3，x2＝－ 3
4．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数解
的方程为( C )
A．x2－5＝0
B．3x2＝0
C．3x2＋10＝0
D．－x2＋8＝0
5．【2020·扬州】方程(x＋1)2＝9的根是_x_1＝__2_，__x_2_＝__－__4_．
17.2一元二次方程的解法---直接开平方法
分析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个 整体，就可以运用直接开平方法求解； 解：（1）
x+1= x+1=
2
x+1=
2 或
2
∴ 原方程的解是x1=-1+
2 ，x2=-1- 2
例2解下列方程： ⑵ （ x － 1） 2 － 4 = 0 ⑶ 12（3－2x）2－3 = 0 分析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同 第1小题一样地解； 解：（2）移项，得（x-1）2=4 x 1 4 x-1=±2 x-1=2 或x-1=-2
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3,
7 x1= 4
1 ;x2= 4
(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
归纳总结 1、用开平方法解一元二 次方程的一般步骤； 2、任意一个一元二次方程都 可以用开平方法解吗？
例：设a是方程x2-2006x+1=0的一个实数根， 则 a 2 2005 a 2006 a2 1
评：本题主要考察学生整体代 换的数学思想方法和二次根式 的化简。
22 3 22 3 （ 2 1 3） 2 3 原式 2 3 2 1 3 3 3 （ 3 1 3)
用开平方法解下列方程
( x 1) 4 0
2
解： ( x 1) 4
2
12 ( x 2) 9
开平方法解一元二次方程的基本步骤： 2 （1）将方程变形成 x 例2解下列方程： （2）x a ,x 1 2
⑴ （ x ＋ 1） 2 = 2 ⑵ （ x － 1） 2 － 4 = 0 ⑶ 12（3－2x）2－3 = 0
22.2一元二次方程--直接开平方法(陈晓辉)
举一反三
解下列方程．
1．x -3=0 2．4x2-9=0 3. 4x2+4x+1=1 4. x -6x+9=5
2
2
趁热打铁
解下列方程：
1. (1－x)2 = 1；
2. (1+x)2－2 = 0； 3. (2x+1) 2+3 = 0； 4. x2－2x+1= 4.
画龙点睛
谈一谈本节课自己的收获和感受？
设计制作：
陈晓辉
复习引入
求出下列各式中 x 的值， 说说你的理由． 并
1． x =9 2． x =5 3． x =a（a>0）
2 2
2
探索新知
一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体
的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？
探索新知
对照上述解方程的过程， 你能解下列方程 吗？从中你能得到什么结论？ （1） (2 x 1)2 5
由应用直接开平方法解形如 x =p（p ≥0），那么 x=± p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n） 2 =p（p≥0）， 那么 mx+n=± p ， 从而达到降次转化之目 的。2 融会贯通A 基础训练
1． 若 8x2-16=0， 则 x 的 值 是 _________．
2 2． 果 方 程 （ x-3）=72， 么 ， 个 一 元 二 次 方 程 的 两 根 是 _______． 如 2 那 这
3． 果 a、 实 数 ， 足 3a 4 +b2-12b+36=0， 么 ab 的 值 是 ______． 如 b为 满 那 4． 若 x2-4x+p=（ x+q） 2， 那 么 p、 q 的 值 分 别 是 （ A．p=4，q=2 B． p=4， q=-2 ）． C． ±3 D． 无 实 数 根 C． p=-4， q=2 ）． D． p=-4， q=-2
一元二次方程的解法(直接开平方法)练习题
word专业资料-可复制编辑-欢迎下载 一元二次方程的解法练习题（一）
一、选择题： 1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（ ）
A. 230x B. 2(1)40x
C. 220xx D. 22(1)(21)xx 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 方程24x两边开平方，得原方程的解为 2x
B. 3x是方程29x的根，所以得根是3x C. 方程2250x的根是5x D. 方程232640xx有两个相等的根 3.下列方程中，适合用直接开平方法解的个数有 （ ） ①1312x；②522x；③34132x；④32xx；
⑤13322xx；⑥0322yy；⑦32xx。. A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 4.对于形如nmx2的方程，它的解的正确表达式为 （ ）
A、可以用直接开平方法求解，且mnx B、当n≥0时，x=nm C、当n≥0时，mnx D、当n≥0时，mnx 5.下面是小明同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是 （ ） A、若42x，则x=2
B、若022kxx有一根为2，则k=—8
C、方程1212xxx的解为x=1 D、14412x，则其解为12x 6.若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）． A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2
7.已知0a，方程2229160axb的解是（ ）
A. 169bxa B.43bxa
C.43bxa D.2243bxa 8. 方程220(0)xmm的根为（ ） A.2m B.2m C.22m D.2m 9. 若2(1)10x，则x得值等于（ ） A. 1 B. 2 C. 0或2 D. 0或-2 二、填空题：
九年级数学上第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法1直接开平方法解方程习题课湘教
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18．对于ax2＋c＝0(a≠0)型的一元二次方程： (1)当a，c满足何条件时，方程有实数解？试写出此时
的解．
解：当 ac≤0 时，方程有实数解，其解为 x1＝ －ac，x2＝－ －ac.
(2)当a，c满足何条件时，方程无实数解，为什么？
解：当 ac＞0 时，方程无实数解． 理由如下：∵x2＝－ac＜0，负数没有平方根， ∴此时方程无实数解．
【答案】C
6 ． 【 中 考 ·徐 州 】 方 程 x2 － 4 ＝ 0 的 解 是 __x_1＝__2_，__x_2_＝__－__2___________．
7．对于方程 x2＝m－1. (1)若方程的根为± m－1，则 m___≥_1____； (2)若方程无实数根，则 m__＜__1____．
x2＋ax＋2b＝0的解，则2a＋4b＝( A )
A．－2
B．－3
C．－1
D．－6
4．老师出示了小黑板上的题目(如图)，小敏回答：“方
程有一个根为 5.”小聪回答：“方程有一个根为－3.”
则你认为( C )
方程x2－2x－15＝0的根是
.
A．只有小敏回答正确
B．只有小聪回答正确
C．小敏、小聪回答都正确
1．【中考·资阳】a是方程2x2＝x＋4的一个根， 则代数式4a2－2a的值是____8____．
2．【中考·天津】方程x2＋x－12＝0的两个根为 ( D)
A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2 C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3
3．【中考·兰州】x＝1是关于x的一元二次方程
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法解方程
11.一元二次方程--直接开平方法2
解方程 x m + 2
2
解：当m+2>0即m>-2时
x m+2 x1 x2 0
当m+2=0即m=-2时
当m+2<0即m<-2时 方程无实数根
检测题： 填上适当的数，使下列等式成立： ①x2+6x+ =(x+3)2 ②x2+8x+ =(x+ )2 ③x2－12x+ =(x－ )2 (2)解下列方程，并分析它们在形 式与解法上的异同。 ①x2=3 ②(x+2)2=3 ③x2－10x+25=3 ④x2－4x=－4
(七)分层检测与评价 A层 1用求平方根的方法解一元二次方程的方法叫__________. 2. 如果x2=121,那么x1=__________,x2=___________. 3. 如果3x2=18那么x1=__________,x2=___________. 4. 如果25x2-16=0那么x1=__________,x2=___________. 5. 如果x2=a(a≥0)那么 x1=__________,x2=___________. B层 用直接开平方法解下列方程: • 3. (x-1) 2=8 (x) 2=9 2. (2x+3) 2=24 4. ( x+1) 2-3=0
一般地,对于一元二次方程x2=d，如果d≥0那么
就可以用开平方法（square root extraction）求
它的根．当d＞０时，方程有两个不相等的实数根：
x1 x2 当d＝０时，有两个相等的根，
当d＜０时，方程没有实数根
x1 d,x2 d
0
例１.用开平方法解下列方程：
深圳市第二中学九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法22.2.1直接开平方法和
22．2 一元二次方程的解法22．2.1 直接开平方法和因式分解法1．会用直接开平方法解形如a(x －k)2＝b(a≠0，ab ≥0)的方程．2．灵活应用因式分解法解一元二次方程．3．使学生了解转化的思想在解方程中的应用．重点利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程．难点合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程．一、情境引入教师提出问题，让学生说出作业中的解法，教师板书．问：怎样解方程(x ＋1)2＝256?解：方法1：直接开平方，得x ＋1＝±16，∴原方程的解是x 1＝15，x 2＝－17.方法2：原方程可变形为(x ＋1)2－256＝0，方程左边分解因式，得(x ＋1＋16)(x ＋1－16)＝0，即(x ＋17)(x －15)＝0，∴x＋17＝0或x －15＝0，原方程的解是x 1＝15，x 2＝－17.二、探究新知教师多媒体展示，学生板演，教师点评．例1 用直接开平方法解下列方程：(1)(3x ＋1)2＝7； (2)y 2＋2y ＋1＝24；(3)9n 2－24n ＋16＝11.解：(1)－1±73； (2)－1±26；(3)4±113. 【教学说明】运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根．例2 用因式分解法解下列方程：(1)5x 2－4x ＝0；(2)3x(2x ＋1)＝4x ＋2；(3)(x ＋5)2＝3x ＋15.解：(1)x 1＝0，x 2＝45；(2)x 1＝23，x 2＝－12； (3)x 1＝－5，x 2＝－2.【教学说明】解这里的(2)(3)题时，注意整体划归的思想．三、练习巩固教师多媒体展示出题目，由学生自主完成，分组展示结果，教师点评．1．用直接开平方法解下列方程：(1)3(x －1)2－6＝0；(2)x 2－4x ＋4＝5；(3)(x ＋5)2＝25；(4)x 2＋2x ＋1＝4.解：(1)x 1＝1＋2，x 2＝1－2；(2)x 1＝2＋5，x 2＝2－5；(3)x 1＝0，x 2＝－10；(4)x 1＝1，x 2＝－3.2．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋x ＝0； (2)x 2－23x ＝0；(3)3x 2－6x ＝－3; (4)4x 2－121＝0；(5)(x －4)2＝(5－2x)2.解：(1)x 1＝0，x 2＝－1；(2)x 1＝0，x 2＝23；(3)x 1＝x 2＝1；(4)x 1＝112，x 2＝－112； (5)x 1＝3，x 2＝1.3．把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为x m .则可列方程2πx 2＝π(x ＋5)2，解得x 1＝5＋52，x 2＝5－52(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52) m .四、小结与作业小结1．引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤．2．对于形如a(x －k)2＝b(a≠0，ab ≥0)的方程，只要把(x －k)看作一个整体，就可转化为x 2＝n(n≥0)的形式用直接开平方法解．3．当方程出现相同因式(单项式或多项式)时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解．布置作业从教材相应练习和“习题22.2”中选取．本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中注意整体划归的思想．一．选择题（共15小题）1．下列说法中正确的是（）A．平分弦的直径一定垂直于弦B．长度相等的弧是等弧C．平行弦所夹的两条弧相等D．相等的圆心角所对的弦相等2．如图，⊙O的半径为6，直径CD过弦EF的中点G，若∠EOD=60°，则弦CF的长等于（）A．6 B．6C．3D．93．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是（）A．AC=CD B．OM=BM C．∠A=∠ACD D．∠A=∠BOD 4．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB=10，CD=8，则BE为（）A．2 B．3 C．4 D．3.55．如图，在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，则⊙O的半径是（）A．6cm B．10cm C．8cm D．20cm6．在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则弦AB所对的弧的中点到AB的距离是（）A．10cm B．15cm C．40cm D．10cm或40cm 7．下列说法中正确的个数有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径一定垂直于弦；③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；④直径是弦；⑤长度相等的弧是等弧．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=2，BC=8．则⊙O的半径为（）A．B．5 C．D．69．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O 到水面的距离OC是（）A．4 B．5 C．6D．610．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸11．如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm12．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（）A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm13．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16m，拱高CD=4m，则圆弧形桥拱所在圆的半径为（）A．6 m B．8 m C．10 m D．12 m14．如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm15．“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为（）A．寸B．13寸C．25寸D．26寸二．填空题（共10小题）16．如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB，垂足为点D，AB=12，CD=2．则⊙O半径的长为．17．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，且AB＞OC，若OC和AB是方程x2﹣11x+24=0的两个根，则⊙O的半径OA= ．18．半径等于16的圆中，垂直平分半径的弦长为．19．在平面直角坐标系中，过三点A（0，0），B（2，2），C（4，0）的圆的圆心坐标为．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，AE=1，则弦CD的长是．21．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升cm．22．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径为cm．23．如图，小强为了帮助爸爸确定残破轮子的直径，先在轮子上画出一个弓形（如图中阴影部分），然后量得弦AB的长为4cm，这个弓形的高为1cm，则这个轮子的直径长为cm．24．“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=1尺，则直径CD 长为寸．25．如图，花园边墙上有一宽为1m的矩形门ABCD，量得门框对角线AC的长为2m，现准备打掉部分墙体，使其变成以AC为直径的圆弧形门，则打掉墙体后，弧形门洞的周长（含线段BC）为．三．解答题（共6小题）26．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA=30°，OE=4，DE=5，求弦CD及圆O的半径长．27．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．28．已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）交于点F，若FB=2，CF=FD=4，求AC 的长．29．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=10m，水面宽AB=12m，某天下雨后，水管水面上升了2m，求此时排水管水面的宽CD．30．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．31．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：A、当两条弦都是直径时不成立，故本选项错误；B、在同圆或等圆中，两个长度相等的弧是等弧，故本选项错误；C、如图所示，两弦平行，则圆周角相等，圆周角相等，则弧相等；故本选项正确；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误．故选：C．2．【解答】解：连接DF，∵直径CD过弦EF的中点G，∴=，∴∠DCF=∠EOD=30°，∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD=90°，∴CF=CD•cos∠DCF=12×=6，故选：B．3．【解答】解：连接DA，∵直径AB⊥弦CD，垂足为M，∴CM=MD，∠CAB=∠DAB，∵2∠DAB=∠BOD，∴∠CAD=∠BOD，故选：D．4．【解答】解：连接OC．∵AB是⊙O的直径，AB=10，∴OC=OB=AB=5；又∵AB⊥CD于E，CD=8，∴CE=CD=4（垂径定理）；在Rt△COE中，OE=3（勾股定理），∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2，即BE=2；故选：A．5．【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OC，∵弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm∴OE=6cm，AE=AB=8cm，在Rt△AOE中，根据勾股定理得，OA==10cm 故选：B．6．【解答】解：点C和D为弦AB所对弧的中点，连结CD交AB于E，连结OA，如图，∵点C和D为弦AB所对弧的中点，∴CD为直径，CD⊥AB，∴AE=BE=AB=20，在Rt△OAE中，∵OA=25，AE=20，∴OE==15，∴DE=OD+OE=40，CE=OC﹣OE=10，即弦AB和弦AB所对的劣弧的中点的距离为10cm，弦AB和弦AB所对的优弧的中点的距离为40cm．故选：D．7．【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等；错误．必须在同圆或等圆中；②平分弦的直径一定垂直于弦；错误，此弦不是直径；③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；错误，应该是每一条直径所在的直线都是对称轴；④直径是弦；正确；⑤长度相等的弧是等弧．错误．能够完全重合的两条弧是等弧；故选：A．8．【解答】解：延长AO交BC于点D，连接OB，由对称性及等腰Rt△ABC，得到AD⊥BC，∴D为BC的中点，即BD=CD=BC=4，AD=BC=4，∵OA=2，∴OD=AD﹣OA=4﹣2=2，在Rt△BOD中，根据勾股定理得：OB==2，则圆的半径为2．故选：C．9．【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，∴BC=AC=AB=×16=8，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC===6，故选：D．10．【解答】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，则有r2=52+（r﹣1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．11．【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD=8，OD=13，∴OC=5，又∵OB=13，∴Rt△BCO中，BC==12，∴AB=2BC=24．故选：C．12．【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，∴OM=MN﹣ON=4﹣x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2即：（4﹣x）2+22=x2解得：x=2.5故选：B．13．【解答】解：如图，设OA=r，则OD=r﹣4，∵AB=16m，∴AD=8m．在Rt△AOD中，∵OD2+AD2=OA2，即（r﹣4）2+82=r2，解得r=10（m）．故选：C．14．【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD=4，OD=10，∴OC=6，又∵OB=10，∴Rt△BCO中，BC=，∴AB=2BC=16．故选：C．15．【解答】解：连接OA．设圆的半径是x尺，在直角△OAE中，OA=x，OE=x﹣1，∵OA2=OE2+AE2，则x2=（x﹣1）2+25，解得：x=13．则CD=2×13=26（cm）．故选：D．二．填空题（共10小题）16．【解答】解：连接AO，∵半径OC⊥弦AB，∴AD=BD，∵AB=12，∴AD=BD=6，设⊙O的半径为R，∵CD=2，∴OD=R﹣2，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即：R2=（R﹣2）2+62，∴R=10，答：⊙O的半径长为10．17．【解答】解：x2﹣11x+24=0（x﹣3）（x﹣8）=0x﹣3=0，x﹣8=0，x1=3，x2=8，∵AB＞OC，∴AB=8，OC=3，∵OC⊥AB，∴AC=AB=4，由勾股定理得，OA==5，故答案为：5．18．【解答】解：如图，OA=16，则OC=8，根据勾股定理得，AC==8，∴弦AB=16．故答案为：16．19．【解答】解：已知A（0，0），B（2，2），C（4，0），如图：可设：AB的垂直平分线解析式为：y=kx+b，把（0，2），（2，0）代入解析式可得：，解得：，所以AB的垂直平分线解析式是y=﹣x+2，设AC的垂直平分线解析式为x=m，把（2，2）代入解析式，可得：x=2，所以AC的垂直平分线解析式是x=2，∴过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（2，0）．故答案为：（2，0）．20．【解答】解：连接OC，由题意，得OE=OA﹣AE=4﹣1=3，CE=ED==，CD=2CE=2，故答案为2．21．【解答】解：作半径OD⊥AB于C，连接OB由垂径定理得：BC=AB=30cm，在Rt△OBC中，OC==40cm，当水位上升到圆心以下时水面宽80cm时，则OC′==30cm，水面上升的高度为：40﹣30=10cm；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30=70cm，综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．故答案为10或70．22．【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，∴OM=MN﹣ON=4﹣x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2即：（4﹣x）2+22=x2解得：x=2.5故答案为：2.523．【解答】解：连接OB；Rt△OBD中，BD=AB=2cm，根据勾股定理得：OD2+BD2=OB2，即：（OB﹣1）2+22=OB2，解得：OB=2.5；所以轮子的直径为5cm．故答案为：5．24．【解答】解：连接OA，设OA=r，则OE=r﹣CE=r﹣1，∵AB⊥CD，AB=1尺，∴AE=AB=5寸，在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，即r2=52+（r﹣1）2，解得r=13（寸）．∴CD=2r=26寸．故答案为：26．25．【解答】解：设矩形外接圆的圆心为O，连接OB，∵矩形ABCD的AC=2m，BC=1m，∴OB=OC=BC=1m，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°．∴弧形门洞的周长（含线段BC）为： +1=+1，故答案为：（+1）m．三．解答题（共6小题）26．【解答】解：过点O作OM⊥CD于点M，联结OD，∵∠CEA=30°，∴∠OEM=∠CEA=30°，在Rt△OEM中，∵OE=4，∴，，∵，∴，∵OM过圆心，OM⊥CD，∴CD=2DM，∴，∵，∴在Rt△DOM中，，∴弦CD的长为，⊙O的半径长为．27．【解答】解：连结BE，如图，∵OD⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，在Rt△ACO中，∵AO2=AC2+OC2，∴x2=42+（x﹣2）2，解得 x=5，∴AE=10，OC=3，∵AE是直径，∴∠ABE=90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE=2OC=6，在Rt△CBE中，CE===2．28．【解答】解：连接BC，∵AB是直径，CF=FD=4，∴AB⊥CD，∵∠ACB=90°∴∠A=∠BCF，∴△BCF∽△CAF，∴=，∴CF2=AF•BF，设AF=x，∴16=2x，∴x=8，∴由勾股定理可知：AC=429．【解答】解：如图：作OE⊥AB于E，交CD于F，∵AB=12m，OE⊥AB，OA=1m，∴OE=8m．∵水管水面上升了2m，∴OF=8﹣2=6m，∴CF==8m，∴CD=16m．30．【解答】解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，∵OC⊥AB∴BD=AB=×16=8cm由题意可知，CD=4cm∴设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（x﹣4）2+82=x2解得：x=10．答：这个圆形截面的半径为10cm．31．【解答】解：（1）连结OA，由题意得：AD=AB=30，OD=（r﹣18）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2=302+（r﹣18）2，解得，r=34；（2）连结OA′，∵OE=OP﹣PE=30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2=A′O2﹣OE2，即：A′E2=342﹣302，解得：A′E=16．∴A′B′=32．∵A′B′=32＞30，∴不需要采取紧急措施．第21章 二次函数与反比例函数 周周测921.5反比例函数一、精心选一选1﹒下列函数中，y 是x 的反比例函数的为（ ） A.y ＝2x +1 B.y ＝22x C.y ＝－15xD.y ＝x 2－2x 2﹒函数y ＝k 23kx 是反比例函数，则k 的值是（ ）A.－1B.2C.±2D.±2 3﹒若y 与x 成反比例，x 与z 成反比例，则y 是z 的（ ）A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数 4﹒一次函数y ＝－x +a －3（a 为常数）与反比例函数y ＝－4x的图象交于A 、B 两点，当A 、B 两点关于原点对称时，a 的值是（ ）A.0B.－3C.3D.4 5﹒反比例函数y ＝－2x的图象上有两点P 1（x 1，y 1）,P 2（x 2，y 2），若x 1＜0＜x 2，则下列结论正确的是（ ）A.y 1＜y 2＜0B.y 1＜0＜y 2C.y 1＞y 2＞0D. y 1＞0＞y 2 6﹒如图，直线y ＝－x +3与y 轴交于点A ，与反比例函数y ＝kx（k ≠0）的图象交于点C ，过点C 作CB ⊥x 轴于点B ，AO ＝3BO ，则反比例函数的解析式为（ ）A.y ＝4xB.y ＝－4xC.y ＝2xD.y ＝－2x7﹒已知反比例函数y ＝kx的图象经过点P （－1，2），则这个函数的图象位于（ ）A.第二、三象限B.第一、三象限C.第三、四象限D.第二、四象限8﹒如果等腰三角形的底边长为x ，底边上的高为y ，它的面积为10时，则y 与x 的函数关系式为（ ）A.y ＝10x B.y ＝5x C.y ＝20x D.y ＝20x 9﹒已知变量y 与x 成反比例函数关系，当x ＝3时，y ＝－6，那么当y ＝3时，x 的值是（ ）A.6B.－6C.9D.－910. 某次实验中，测得两个变量v 与m 的对应数据如下表，则v 与m 之间的关系最接近下列函数中的是（ ）m 1 2 3 4 5 6 7 v－6.10－2.90－2.01－1.51－1.19－1.05－0.86A.v ＝m 2－2 B.v ＝－6m C.v ＝－3m －1 D.v ＝－6m二、细心填一填11.若函数y ＝(m +3)28m x -是反比例函数，则m ＝_______________. 12.若函数y ＝1m x-是反比例函数，则m 的取值范围是_______；当m ＝______时，y 是x 的反比例函数，且比例系数为3. 13.若函数y ＝－kx +2k +2与y ＝kx（k ≠0）的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是_____.14.如图，直线y ＝－x +b 与双曲线y ＝－1x（x ＜0）交于点A ，与x 轴交于点B ，则OA 2－OB 2＝__________.（第14题图）15.一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系表示人数x 与完成任务所需时间y 之间的函数关系为_______________________.16.把一个长、宽、高分别为3cm ，2cm ，1cm 的长方形铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S （cm 2）与高h （cm ）之间的函数关系式为________________________. 三、解答题17.某服装厂承揽一项生产夏凉小衫1600件的任务，计划用t 天完成.（1）写出每天生产夏凉小衫w （件）与生产时间t （天）（t ＞4）之间的函数关系式；（2）由于气温提前升高，商家与服装厂商议调整计划，决定提前4天交货，那么服装厂每天要多做多少件夏凉小衫才能完成任务？18.某开发公司计划生产一批产品，需要加工后才能投放市场，已知甲厂每天可加工60件，8天便可完成任务.（1）这批产品的数量是________件；（2）若这批产品由乙厂加工，请写出乙厂每天加工件数M（件）与所需天数t（天）之间的函数表达式；（3）如果要求乙厂在5天内将所有产品加工完，那么乙厂每天至少加工多少件？19.已知y＝y1+y2，y1与x2成正比例关系，y2与x成反比例关系，且当x＝1时，y＝3；当x＝－1时，y＝1.（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当x＝－12时，求y的值.20.反比例函数y＝kx（k≠0，x＞0）的图象与直线y＝3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图于点D，且AB＝3BD.（1）求k的值；（2）求点C的坐标；（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d＝MC+MD最小，求点M的坐标.21.某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）.（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系；（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？22.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在营运过程中发现此商品的日销价为x（元）与销售量y（张）之间有如下关系：x/元 3 4 5 6y/张20 15 12 10（1）猜测并确定y与x的函数关系式；（2）当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张？（3）设此卡的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不能超过10元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，并求出最大利润.23.在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点（－2，－4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个.（1）若点M（2，a）是反比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表达式；（2）函数y＝3mx－1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由.21.5 反比例函数课时练习题（1）参考答案一、精心选一选1﹒下列函数中，y 是x 的反比例函数的为（） A.y ＝2x +1 B.y ＝22x C.y ＝－15xD.y ＝x 2－2x 解答：A.y＝2x +1，y 是x 的一次函数，故A 不合题意；B.y ＝22x ，y 是x 2的反比例函数，故B 不合题意； C.y ＝－15x，y 是x 的反比例函数，故C 符合题意；D.y ＝x 2－2x ，y 是x 的二次函数，故D 不合题意， 故选：C. 2﹒函数y ＝k 23k x-是反比例函数，则k 的值是（ ）A.－1B.2C.±2D.解答：∵y ＝k 23k x-是反比例函数，∴k 2－3＝－1，且k ≠0， 解得：k 故选：D.3﹒若y 与x 成反比例，x 与z 成反比例，则y 是z 的（ ）A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数 解答：∵y 与x 成反比例，x 与z 成反比例， ∴设y ＝1k x①，x ＝k 2z ②， 把②代入①得：y ＝12k k z， 故y 与z 成反比例函数关系， 故选：B.4﹒一次函数y＝－x+a－3（a为常数）与反比例函数y＝－4x的图象交于A、B两点，当A、B两点关于原点对称时，a 的值是（）A.0B.－3C.3D.4【解答】设A（t，－4t），∵A、B两点关于原点对称，∴B（－t，4t），把A（t，－4t），B（－t，4t），分别代入y＝－x+a－3得：4343t att at⎧-=-+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩①②，①+②得：2a－6＝0，则a＝3，故选：C.5﹒反比例函数y＝－2x的图象上有两点P1（x1，y1）,P2（x2，y2），若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（）A.y1＜y2＜0B.y1＜0＜y2C.y1＞y2＞0D. y1＞0＞y2【解答】∵反比例函数y＝﹣2x中k＝﹣2＜0，∴此函数图象在二、四象限，∵x1＜0＜x2，∴A（x1，y1）在第二象限；点B（x2，y2）在第四象限，∴y1＞0＞y2，故选：D．6﹒如图，直线y＝－x+3与y轴交于点A，与反比例函数y＝kx（k≠0）的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO＝3BO，则反比例函数的解析式为（）A.y＝4xB.y＝－4xC.y＝2xD.y＝－2x【解答】∵直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，∴A（0，3），即OA＝3，∵AO＝3BO，∴OB＝1，∴点C的横坐标为﹣1，∵点C在直线y＝﹣x+3上，∴点C（﹣1，4），把C（﹣1，4）代入y＝kx得：k＝－4，∴反比例函数的解析式为：y＝－4x．故选：B．7﹒已知反比例函数y＝kx的图象经过点P（－1，2），则这个函数的图象位于（）A.第二、三象限B.第一、三象限C.第三、四象限D.第二、四象限【解答】∵反比例函数y＝kx的图象经过点P（－1，2），∴k＝－1×2＝－2＜0，∴反比例函数的图象分布在二、四象限，故选：D.8﹒如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，它的面积为10时，则y与x的函数关系式为（）A.y＝10xB.y＝5xC.y＝20xD.y＝20x解答：根据题意，得：12xy＝10，∴y＝20x,故选：C.9﹒已知变量y与x成反比例函数关系，当x＝3时，y＝－6，那么当y＝3时，x的值是（）A.－6B. 6C.－9D.9解答：设y＝kx，把x＝3，y＝－6代入得：k＝－18，∴y＝18x，∴当x＝3时，y＝－6，故选：A.10. 某次实验中，测得两个变量v 与m 的对应数据如下表，则v 与m 之间的关系最接近下列函数中的是（ ）A.v ＝m 2－2 B.v ＝－6m C.v ＝－3m －1 D.v ＝－m解答：将m 的值代入各选项的函数关系式中，看v 的值是否与表中数据相近，若相近，则为正确的解析式，如把m ＝1代入各式：A.v ＝－1；B.v ＝－6；C.v ＝－4；D.v ＝－6.再把m ＝2代入各式：A.v ＝2；B.v ＝－12；C.v ＝－7；D.v ＝－3.由此可发现D 选项的值与表中数据相近，故D 选项符合题意， 故选：D. 二、细心填一填11. 3； 12. m ≠1，4； 13. y ＝6x； 14. 2； 15. y ＝20x ； 16. S ＝6h.11.若函数y ＝(m +3)28m x -是反比例函数，则m ＝_______________. 解答：∵函数y ＝(m +3)28m x -是反比例函数， ∴8－m 2＝－1，且m +3≠0， ∴m ＝3， 故答案为：3. 12.若函数y ＝1m x-是反比例函数，则m 的取值范围是_______；当m ＝______时，y 是x 的反比例函数，且比例系数为3. 解答：∵函数y ＝1m x-是反比例函数， ∴m －1≠0，则m ≠1， 由m －1＝3得：m ＝4， 故答案为：m ≠1，4.13.若函数y ＝－kx +2k +2与y ＝kx（k ≠0）的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是_____.【解答】把方程组22y kx kkyx=-++⎧⎪⎨=⎪⎩消去y得：－kx+2k+2＝kx，整理得：kx2－(2k+2)x+k＝0，由题意得：△＝(2k+2)2－4k2＞0，解得：k＞－12，∴当k＞－12时，函数y＝－kx+2k+2与y＝kx（k≠0）的图象有两个不同的交点，故答案为：k＞－12且k≠0.14.如图，直线y＝－x+b与双曲线y＝－1x（x＜0）交于点A，与x轴交于点B，则OA2－OB2＝__________.【解答】∵直线y＝﹣x+b与双曲线y＝﹣1x（x＜0）交于点A，设A的坐标（x，y），∴x+y＝b，xy＝﹣1，而直线y＝﹣x+b与x轴交于B点，∴OB＝b，∴又OA2＝x2+y2，OB2＝b2，∴OA2﹣OB2＝x2+y2﹣b2＝(x+y)2﹣2xy﹣b2＝b2+2﹣b2＝2．故答案为：2．15.一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系表示人数x与完成任务所需时间y之间的函数关系为_______________________.解答：由题意得：人数x与完成任务所需时间y之间的函数关系为y＝30015x＝20x，故答案为：y＝20x.16.把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方形铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S（cm2）与高h（cm）之间的函数关系式为________________________. 解答：由题意得：Sh＝3×2×1，则S＝6h，故答案为：S＝6h.三、解答题17.某服装厂承揽一项生产夏凉小衫1600件的任务，计划用t 天完成.（1）写出每天生产夏凉小衫w （件）与生产时间t （天）（t ＞4）之间的函数关系式； （2）由于气温提前升高，商家与服装厂商议调整计划，决定提前4天交货，那么服装厂每天要多做多少件夏凉小衫才能完成任务？解答：（1）每天生产夏凉小衫w （件）与生产时间t （天）（t ＞4）之间的函数关系式为：w ＝1600t（t ＞4）， （2）由题意，得：16004t -－1600t ＝16001600(4)(4)t t t t ---＝264004t t -， 答：每天要多做264004t t-（t ＞4）件夏凉小衫才能完成任务.18.某开发公司计划生产一批产品，需要加工后才能投放市场，已知甲厂每天可加工60件，8天便可完成任务.（1）这批产品的数量是________件；（2）若这批产品由乙厂加工，请写出乙厂每天加工件数M （件）与所需天数t （天）之间的函数表达式；（3）如果要求乙厂在5天内将所有产品加工完，那么乙厂每天至少加工多少件？ 解答：（1）60×8＝480（件）， 故答案为：480；（2）乙厂每天加工件数M （件）与所需天数t （天）之间的函数表达式为y ＝480t（t ＞0）， （3）把t ＝5代入上式得M ＝96，故如果要求乙厂在5天内将所有产品加工完，那么乙厂每天至少加工96件.19.已知y ＝y 1+y 2，y 1与x 2成正比例关系，y 2与x 成反比例关系，且当x ＝1时，y ＝3；当x ＝－1时，y ＝1.（1）求y 与x 之间的函数表达式； （2）当x ＝－12时，求y 的值. 解答：∵y ＝y 1+y 2，y 1与x 2成正比例关系，y 2与x 成反比例关系， ∴可设y 1＝k 1x 2，y 2＝2k x，把x ＝1时，y ＝3和x ＝－1时，y ＝1代入得：121231k k k k +=⎧⎨-=⎩，解得：1221k k =⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝2x 2+1x， （2）当x ＝－12时， y ＝2×(－12)2+(－2)＝－32. 20.反比例函数y ＝kx（k ≠0，x ＞0）的图象与直线y ＝3x 相交于点C ，过直线上点A （1，3）作AB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图于点D ，且AB ＝3BD . （1）求k 的值； （2）求点C 的坐标；（3）在y 轴上确定一点M ，使点M 到C 、D 两点距离之和d ＝MC +MD 最小，求点M 的坐标. 【解答】（1）∵A （1，3）， ∴AB ＝3，OB ＝1， ∵AB ＝3BD ， ∴BD ＝1， ∴D （1，1），将D （1，1）代入反比例函数解析式得：k ＝1； （2）由（1）知，k ＝1， ∴反比例函数的解析式为：y ＝1x， 由31y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩得：333x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或333x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∵x ＞0，∴C （33，3）， （3）如图，作C 关于y 轴的对称点C ′,连接C ′D 交y 轴于M ，则d ＝MC +MD 最小， ∴C ′（－33，3）， 设直线C ′D 的解析式为y ＝kx +b ，∴3331k b k b ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩，解得：323232k b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， ∴y ＝(3－23)x +23－2， 当x ＝0时，y ＝23－2， ∴M （0，23－2）.21.某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y （微克/毫升）与服药时间x （小时）之间的函数关系如图所示（当4≤x ≤10时，y 与x 成反比例）.（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系； （2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？【解答】（1）当0≤x ＜4时，设直线解析式为：y ＝kx ， 将（4，8）代入得：8＝4k ， 解得：k ＝2，故直线解析式为：y ＝2x ，当4≤x ≤10时，设直反比例函数解析式为：y ＝k x， 将（4，8）代入得：8＝4k ， 解得：k ＝32，故反比例函数解析式为：y ＝32x； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y ＝2x （0≤x ＜4），下降阶段的函数关系式为y ＝32x（4≤x ≤10）． （2）当y ＝4，则4＝2x ，解得：x ＝2， 当y ＝4，则4＝32x，解得：x ＝8， ∵8﹣2＝6（小时），∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．22.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在营运过程中发现此商品的日销价为x （元）与销售量y（张）之间有如下关系：（1）猜测并确定y与x的函数关系式；（2）当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张？（3）设此卡的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不能超过10元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，并求出最大利润.解答：（1）由表中数据可以发现x与y的乘积是一个定值，所以可知y与x成反比例，设y＝kx，把（3，20）代入得：k＝60，∴y与x的函数关系式为y＝60x；（2）当x＝10时，y＝6，所以日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是6张；（3）∵W＝(x－2)y＝60－120x，又∵x≤10，∴当x＝10时，W最大＝60－12010＝48，故日销售单价为10元时，每天获得的利润最大，最大利润为48元.23.在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点（－2，－4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个.（1）若点M（2，a）是反比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表达式；（2）函数y＝3mx－1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由.解答：∵点M（2，a）是反比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，∴a＝4，∵点M（2，4）在反比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）图象上∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y＝8x；（2）假设函数y＝3mx－1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x）, 则有3mx－1＝2x，整理得：（3m－2）x＝1，当3m－2≠0，即m≠23时，函数图象上存在“理想点”，为（132m-，232m-），当3m－2＝0，即m＝23时，x无解，综合上述，当m≠23时，函数图象上存在“理想点”，为（132m-，232m-），当m＝23时，函数图象上不存在“理想点”.。
九上 一元二次方程 含义 解方程(直接开平方、配方法、公式法、因式分解法) 分类含答案
①4x2＝3x；②（x2－2)2＋3x－1＝0；③13x2＋4x－33＝0；④x2＝0；⑤1x ＝2；⑥6x(x＋5)＝6x2．A．1个B．2个C．3个D．4个2．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋3＝0(a≠0)的解是x＝1，则2014－a－b的值是 ( ) A．2018 B．2008 C．2014 D．20123．把一元二次方程（x－5）(x＋5)＋(2x－1)2＝0化成一般形式后所得的一元二次方程是( )A．5x2－4x＋6＝0 B．5x2－2x＋1＝0 C．x2－5＝0 D．5x2－4x－4＝04．若m是方程x2－2014x－1＝0的根，则(m2－2014m＋3) (m2－2014m＋4)的值为 ( )A．16 B．12 C．20 D．305．有一个面积为16 cm2的梯形，它的一条底边长为3 cm，另一条底边长比它的高长1 cm，若设这条底边长为x cm，依据题意，列出方程整理后得 ( )A．x2＋2x－35＝0 B．x2＋2x－70＝0C．x2－2x－35＝0 D．x2－2x＋70＝06．一元二次方程(1＋3x)(x－3)＝2x2＋1化为一般形式为_______，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______．7．当m_______时，方程(m2－1)x2－mx＋5＝0不是一元二次方程．8．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a－1＝0的一个根是0，则实数a的值为_______．9．已知，如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程_______．10．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若x＝1是它的一个根，A．B．C．D．8．一元二次方程16x2＝25的根为x1＝_______，x2＝_______．9．当k_______时，关于x的方程x2＝k有实数解，它的解是_______．10．规定一种新运算a*b＝a2－2b，如1*2＝－3．若x*（－2）＝6，则x＝_______．11．方程(m2－2)x2＋3x－1＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为_______．12．一元二次方程（2x一1)2＝（3－x)2的解是_______．13．若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则= ．14．用直接开平方法解下列方程：(1)2x2－8＝0 (2)(y－5)2－36＝0 (3) (x－1)(x＋1)＝1(4)(x＋3)(x－3)＝6 (5)(2x－1)2＝(2－1)2(6)(x－1)2＝(2x＋3)2 (7)(3x－1)2＝1.962．D3．B4．B5．A6．A7.38.4 2 －5 529.492324p2p10.16 ±2311.－812.2313.(1)x1＝8，x2＝－2 (2)x1＝12，x2＝－1 (3) x1＝2313+，x2＝2313-（4）．x1＝8，x2＝0；(5)x1＝3a＋2b，x2＝3a－2b.14. －415.m2-8m+17=(m-4)2+1不等于0.所以无论m取何值，二次项系数不为016．(1) 当x＝0、1、2时，1993,, 444(2) 当x 取任意值时，多项式的值总是正值(3)当x ＝3时，多项式的值最小，最小值是1417.赞同小明的观点知识点3 根据一元二次方程根的判别式确定方程根的情况（重点）我们把 叫做一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的根的判别式。
初中数学解一元二次方程练习题及答案
初中数学解一元二次方程练习题及答案解一元二次方程是初中数学中的重要内容之一。
掌握解题方法，对于学生来说，既能提高数学成绩，又有助于培养逻辑思维能力。
本文将提供一些练习题及其答案，帮助读者巩固解一元二次方程的知识。
1. 根据给定的一元二次方程，求解x的值：(1) x² - 5x + 6 = 0解：首先，通过观察系数，我们可以得知二次方程可以分解为两个括号的乘积形式：(x - 2)(x - 3) = 0根据零乘法，得到：x - 2 = 0 或 x - 3 = 0解得：x = 2 或 x = 3(2) 2x² + 7x + 3 = 0解：由于系数不能直接分解，我们可以使用求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a带入方程的系数，计算得到：x = (-7 ± √(7² - 4*2*3)) / 2*2计算得：x = (-7 ± √(49 - 24)) / 4化简得：x = (-7 ± √25) / 4得到两个解：x = (-7 + 5) / 4 或 x = (-7 - 5) / 4解得：x = -1 或 x = -3/22. 下列哪些方程有实数解？(1) 3x² - 6x + 3 = 0解：通过求判别式D = b² - 4ac，我们可以判断是否有实数解。
计算得：D = (-6)² - 4*3*3 = 36 - 36 = 0由于D = 0，所以该方程有两个相等的实数解。
解得：x = 1(2) 4x² + 9x + 5 = 0解：计算判别式：D = 9² - 4*4*5 = 81 - 80 = 1由于D > 0，所以该方程有两个不相等的实数解。
使用求根公式解得：x = (-9 + √1) / 8 或 x = (-9 - √1) / 8化简得：x = -8/4 或 x = -10/4解得：x = -2 或 x = -5/23. 根据给定的一元二次方程，求解实数范围内的x的取值范围：(1) -x² + 4x - 3 > 0解：通过求解方程的解集，我们可以获得x的取值范围。