高中数学 1.1.2基本不等式课件 新人教A版选修4-5
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2017年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式课件新人教A版选修4_5
值才是2.
【归纳总结】 1.理解基本不等式的两个关键点 一是定理成立的条件是a,b都是正数;二是等号取得的 条件是当且仅当a=b时.
2(.1利 )各用项a或2 b各因a式b 为求正最.值的三个条件 (2)和或积为定值. (3)各项或各因式能取得相等的值.
3.定理1与定理2的不同点 定理1的适用范围是a,b∈R;定理2的适用范围是 a>0,b>0.
ab 等式 1 2 2 1 2 , 构造关于 ab 的不等式.
ab ab
2.如何利用“x+2y+xy=30”这个条件? 提示:由x+2y+xy=30,得y= 30 x .
x2
【解析】1.选C.因为 1 2 ab ,所以a>0,b>0,由 ab
ab 1 2 2 1 2 ＝2
方法一:由于2x+3y≥ 2 2x 3y 2 6ห้องสมุดไป่ตู้y, 所以2 6x≤y18,得xy≤ , 27
2
即S≤ 27,当且仅当2x=3y时,等号成立.
由
2x 2x
23y 3y,
18,
解得
x y
4.5, 3.
故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使面积最大.
方法二:由2x+3y=18,得x=93- y.
小,最小费用为2200元.
【补偿训练】动物园要围成相同面积的长方形虎笼四 间.一面可利用原有的墙,其他各面(不包括上盖和地面) 用钢筋网围成.
(1)现有36m长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少 时,可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各 设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?
【归纳总结】 1.理解基本不等式的两个关键点 一是定理成立的条件是a,b都是正数;二是等号取得的 条件是当且仅当a=b时.
2(.1利 )各用项a或2 b各因a式b 为求正最.值的三个条件 (2)和或积为定值. (3)各项或各因式能取得相等的值.
3.定理1与定理2的不同点 定理1的适用范围是a,b∈R;定理2的适用范围是 a>0,b>0.
ab 等式 1 2 2 1 2 , 构造关于 ab 的不等式.
ab ab
2.如何利用“x+2y+xy=30”这个条件? 提示:由x+2y+xy=30,得y= 30 x .
x2
【解析】1.选C.因为 1 2 ab ,所以a>0,b>0,由 ab
ab 1 2 2 1 2 ＝2
方法一:由于2x+3y≥ 2 2x 3y 2 6ห้องสมุดไป่ตู้y, 所以2 6x≤y18,得xy≤ , 27
2
即S≤ 27,当且仅当2x=3y时,等号成立.
由
2x 2x
23y 3y,
18,
解得
x y
4.5, 3.
故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使面积最大.
方法二:由2x+3y=18,得x=93- y.
小,最小费用为2200元.
【补偿训练】动物园要围成相同面积的长方形虎笼四 间.一面可利用原有的墙,其他各面(不包括上盖和地面) 用钢筋网围成.
(1)现有36m长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少 时,可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各 设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式
1
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
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探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
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ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
a 3 b 2 又∵ y＝ ＝－1，x＝ ＝－1， －3 －2 a b ∴y ＝x，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④恒成立． 即恒成立的不等式有②④.
c d 2．已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，a－b＞0(其中 a，b， c，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个 不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题有几个？
[解析]
1 1 c c 由 a>b>1， 得， <b， >b； c<0 幂函数 y＝xc(c<0) a a
是减函数， 所以 ac<bc； 因为 a－c>b－c， 所以 logb(a－c)>loga(a －c)>loga(b－c)，①②③均正确．
[答案] D
点击下图片 进入:
的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化 出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”， 即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．
[通一类] 3．若已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,
3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围．
解：法一：∵f(x)过原点，∴可设 f(x)＝ax2＋bx.
m＋n＝4， ∴ m－n＝－2. m＝1， ∴ n＝3.
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4， ∴6≤f(－2)≤10.
本课时考点主要考查不等式的性质，2012年湖南高
考将不等式的性质及函数的单调性结合命题，是高考命题
b(n∈N，n≥2).
[小问题· 大思维]
1．若 x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y， a b ③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤y＞x这五个不等式中， 恒成立的不等式有哪些？
人教A版高中数学选修4-5同步ppt课件：1-1-2
y 9x 1 9 当且仅当x＝ y 且x＋y＝1，即 x＝4，y＝12 时，上式等号 成立． 故 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
5 (2)∵x<4，∴4x－5<0，则 5－4x>0. 1 1 ∴y＝4x＋ ＝(4x－5)＋ ＋5 4x－5 4x－5
1 ＝－5－4x＋5－4x ＋5≤－2
规律技巧
1 以上各题均当 a＝b＝2时取等号，在推理过程
中要正确运用不等式的性质，把握住不等号方向的正确性．当 同向不等式相加时要注意等号能否成立．
【变式训练 1】
(1)已知 a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，
1 1 求证：1＋a1＋b≥9.
(2)已知 a，b，c 是不全相等的正数，求证： a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)>6abc.
(3)利用基本不等式还可以得到以下不等式： 1 a＋ ≥2(a>0，当且仅当 a＝1 时取等号)． a b a 当 ab>0 时， ＋ ≥2(当且仅当 a＝b 时取等号)． a b
2 a ＋ b a2＋b2≥ ≥2ab(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时，等号 2
成立)．
2．均值不等式的应用 应用均值不等式中等号成立的条件，可以求最值． (1)x，y∈R＋，且 xy＝m(m 为定值)，那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 m； (2)x，y∈R＋，且 x＋y＝n(n 为定值)，那么当 x＝y 时，xy n2 有最大值 . 4 在应用均值不等式求最值时，应强调“一正、二定、三相 等”．否则会得出错误的结果.
第一讲
不等式和绝对值不等式
一
不等式
2
基本不等式
课前预习目标
课堂互动探究
1.1.2.基本不等式 课件(人教A选修4-5)
a＋b 如果 a，b 都是正数，我们就称 2 为 a，b 的算术平均，
ab 为 a，b 的几何平均．
4．利用基本不等式求最值 对两个正实数 x，y， (1)如果它们的和 S 是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的 积 P 取得最 大 值； (2)如果它们的积 P 是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的 和 S 取得最 小 值．
行证明．
(2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同 向不等式的可加性或可乘性得出所证的不等式，要注意不 等式性质的使用条件，对“当且仅当……时取等号”这句话 要搞清楚．
[通一类] 1．设a，b，c∈R＋，
求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
证明：∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2. 又 a，b，c∈R＋， ∴ a2＋b2≥
每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平
均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元． (1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付 的总费用最少？ (2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此 优惠条件？请说明理由．
2
2 2 |a＋b|＝ (a＋b)． 2 2
2
2 2 2 2 同理： b ＋c ≥ (b＋c)， c ＋a ≥ (a＋c)． 2 2
三式相加， 得 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
当且仅当 a＝b＝c 时取等号.
[研一题]
[例 2] 1 9 已知 x＞0，y＞0，且x＋y＝1，
[精讲详析]
本题考查基本不等式在证明不等式中的应
用，解答本题需要分析不等式的特点，先对a＋b，b＋c，c＋ a分别使用基本不等式，再把它们相乘或相加即可．
第一讲 不等式和绝对值不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法
如下：
(1)分离参数法：
运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立
中的参数范围问题．
(2)更换主元法：
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常 困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，
常可得到简捷的解法．
5 ②当－ ≤x≤2 时， 2 3 原不等式变形为 2－x－2x－5>2x，解得 x<－ . 5 5 3 ∴解集为{x|－ ≤x<－ }． 2 5 ③当 x>2 时，原不等式变形为 x－2－2x－5>2x， 7 解得 x<－ ，∴原不等式无解． 3 3 综上可得，原不等式的解集为{x|x<－ }. 5
2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
3．(2011· 陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R 恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝ －2x＋1x≤－1， 3－1<x<2， 2x－1x≥2， ∴f(x)≥3. ∵|x＋1|＋|x－2|≥a 对任意 x∈R 恒成立，∴a≤3.
[解析]
x＋3z 由 x－2y＋3z＝0 得 y＝ ， 2
2 2 y2 x ＋9z ＋6xz 6xz＋6xz 则xz＝ ≥ ＝3， 4xz 4xz
当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
[答案]
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 [例 3] 设 a， c 为正实数， b， 求证：3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 1 [证明]因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3＋ a
2020版高考数学大一轮复习不等式选讲第2讲不等式的证明课件理新人教A版选修4_5
“放”和“缩”的常用技巧
在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．
常见的放缩变换有：
(1)变换分式的分子和分母，如k12<k（k1－1），k12>k（k1＋1），1k
<
2 k＋
k－1，
1k>
2 k＋
k＋1.上面不等式中
k∈N*，k>1；
(2)利用函数的单调性； (3)真分数性质“若 0<a<b，m>0，则ab<ab＋ ＋mm”． [提醒] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一 个度．
2．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、 放缩法、数学归纳法等． 3．数学归纳法证明不等式的关键 使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由 n＝k 时不等式成立推证 n＝k＋1 时不等式成立，此步的证明要具有 目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以 便确定解题方向．
(2)证明：要证1a－b－abcc>1，只需证|1－abc|>|ab－c|， 只需证 1＋a2b2c2>a2b2＋c2，只需证 1－a2b2>c2(1－a2b2)， 只需证(1－a2b2)(1－c2)>0， 由 a，b，c∈A，得－1<ab<1，c2<1，所以(1－a2b2)(1－c2)>0 恒 成立． 综上，1a－b－abcc>1.
所以 a2＋2ab＋b2＝1.
因为 a>0，b>0，
所以a12＋b12＝（a＋a2b）2＋（a＋b2b）2＝1＋2ab＋ba22＋1＋2ba＋ab22＝
2 ＋ 2ab＋2ba ＋ ba22＋ab22 ≥ 2 ＋ 2
2ab·2ba ＋ 2
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式二2.绝对值不等式的解法2
(3)若不等式的解集为∅，m 只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最 大值即可，即 m≥1，m 的取值范围为[1，＋∞)．
法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋ 2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1. (1)若不等式有解，则 m∈(－∞，1)． (2)若不等式解集为 R，则 m∈(－∞，－1)． (3)若不等式解集为∅，则 m∈[1，＋∞)．
法三：原不等式的解集就是 1<(x－2)2≤9 的解集，即
x－22≤9， x－22>1，
解得－x<11≤或xx≤>35，，
∴－1≤x<1 或 3<x≤5.
∴原不等式的解集是[－1,1)∪(3,5]．
(2)由不等式|2x＋5|>7＋x，
可得 2x＋5>7＋x 或 2x＋5<－(7＋x)，
整理得 x>2 或 x<－4.
∴原不等式的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
(3)①当 x2－2<0 且 x≠0，即－ 2<x< 2，且 x≠0 时，原不 等式显然成立． ②当 x2－2>0 时， 原不等式可化为 x2－2≥|x|，即|x|2－|x|－2≥0， ∴|x|≥2，∴不等式的解为|x|≥2， 即 x≤－2 或 x≥2. ∴原不等式的解集为(－∞，－2]∪(－ 2，0)∪(0， 2)∪[2， ＋∞)．
法三：将原不等式转化为|x＋7|－|x－2|－3≤0， 构造函数 y＝|x＋7|－|x－2|－3，
即 y＝－2x＋12，2，x－＜－7≤7，x≤2， 6，x＞2.
作出函数的图象，由图可知，当 x≤－1 时，有 y≤0， 即|x＋7|－|x－2|－3≤0， ∴原不等式的解集为(－∞，－1]．
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16
►变式训练
3．(2014·福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的
无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米
20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总
栏 目
造价是( )
链 接
A．80 元 B．120 元 C．160 元 D．240 元
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17
解析：设底面矩形的一边长为 x.由容器的容积为 4 m3，高为 1
∴a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.
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2
．
证
明
：
(1
＋
1 x
)(1
＋
1 y
)
＝
（x＋1）（y＋1） xy
＝
栏 目
链
（2x＋y）（2y＋x） xy
＝
5xy＋2（x2＋y2） xy
＝
5
＋
2（x2＋y2） xy
≥
5
＋
接
2×xy2xy＝9.
当且仅当 x＝y＝21时取等号．∴(1＋1x)(1＋1y)≥9.
目 链 接
当且仅当 x2＝1＋2 y2，即 x＝ 23，y＝ 22时，
x
1＋y2取得最大值3
4
2 .
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7
解法二 令{ x＝cos θ， y＝ 2sin θ 0≤θ≤π2 ，
则 x 1＋y2＝cos θ 1＋2sin2θ＝
2cos2θ（1＋2sin2θ）·12≤
12·2cos2θ＋（21＋2sin2θ）2＝3 4 2.
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栏 目 链 接
13
所以每人至少应交3 48840＝80(元)． (2)每批去 x 名同学，共需去48x×4批， 总开支又分为： ①买卡所需费用 240x 元， ②包车所需费用48×x 4×40元． 所以 y＝240x＋48×x 4×40(0＜x≤48，x∈Z)， 即 y＝240x＋3x2≥240×2 x×3x2＝1 920 2. 当且仅当 x＝3x2，即 x＝4 2时，等号成立．
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栏 目 链 接
14
由 0＜x≤48，5＜4 2＜6，x∈Z)可知， 当 x1＝5 时，y1＝240×5＋352＝2 736； 当 x2＝6 时，y2＝240×6＋362＝2 720. 因为 y1＞y2， 所以当 x2＝6 时，y 有最小值，ymin＝2 720. 故每人至少应交2 47820≈56.67(元)．
xy≥4＋2 4yx·xy＝8，当且仅当4yx＝xy时，等号成立．又∵2x＋y＝1，栏目链
接
∴x＝14，y＝12，∴当 x＝41，y＝12时，x1＋2y取最小值 8. 点评：使用基本不等式求最值时，一定要验证三个条件：“一正”“二
定”“三相”等，缺一不可．
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5
►变式训练
1．设x≥0，y≥0，x2＋＝1，则x 的最大值为 __________．
m．得另一边长为4xm.记容器的总造价为 y 元，则
y＝4×20＋2x＋4x×1×10＝
栏
80＋20x＋4x≥80＋20×2 x·4x＝160，
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栏 目 链 接
15
点评：利用基本不等式解决应用题时，首先要仔细
阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么
量的最值，然后分析题目中给出的条件，建立y的
栏 目
函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)，
链 接
最后利用不等式的有关知识解பைடு நூலகம்．求解过程中要注
意实际问题对变量x的范围的制约．
b，c在不等式中的作用相等，交换其中任意两个的
位置，结论仍成立)，只需侧重证明a(b2＋
c2)≥2abc，其他按“同理”的格式书写即可．
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9
证明：∵b2＋c2≥2bc，a＞0，∴a(b2＋c2)≥2abc，①
同理，b(c2＋a2)≥2abc，②
栏
目
c(a2＋b2)≥2abc.③
链 接
∵a，b，c 不全相等，∴①②③式中至少有一个式子不能取等号．
栏
1．分析：∵x2＋＝1是常数，∴x2与的积可能有最 目
大值．
链 接
∴可把x放到根号里面去考虑，即化为，
注意到x2与1＋y2的积，应处理成2x2·.
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6
解析：解法一 ∵x≥0，y≥0，x2＋y22＝1，
∴x 1＋y2＝ x2（1＋y2）＝
2x2·1＋2 y2≤
栏
2x2＋21＋2 y2＝ 2x2＋2y22＋12＝342，
不等式的形式，但还应注意适用前提．
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3
解析：(1)因为 x＞0，所以由基本不等式得 f(x)＝4x＋1x6≥
栏
2 4x·1x6＝2 64＝16.
目 链 接
当且仅当 4x＝1x6，即 x＝2 时，“＝”成立．
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4
(2)运用“乘 1 法” 1x＋2y＝1x＋2y×1＝1x＋2y(2x＋y)＝4＋4yx＋
第一讲 不等式和绝对值不等式 1．1 不 等 式
1．1.2 基本不等式
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1
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栏 目 链 接
2
利用基本不等式求函数的值域或最值
栏
(1)若x＞0，求f(x)＝4x＋的最小值
目 链
(2)设x＞0，y＞0且2x＋y＝1，则＋的最小值是
接
______；
分析：函数解析式在形式上已经基本符合了基本
栏 目 链 接
当
2cos2θ＝1＋2sin2θ，即
π θ＝ 6 时，也即
x＝
23，y＝
22时，
x 1＋y2取得最大值342.
答案：3
2 4
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利用基本不等式证明不等式
已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2) ＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.
栏 目
链
分析：本题的结论是关于a，b，c的轮换对称式(a， 接
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利用基本不等式解应用题
某游泳馆出售冬季游泳卡，每张 240 元，其使用规定 为：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某
栏
班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除 目
链
需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车， 接 无论乘坐多少名同学，每次的包车费都为40元． (1)若每个同学游8次，每人至少应交多少元钱？ (2)若每个同学游4次，每人至少应交多少元钱？
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分析：弄清题意，理解总费用由买游泳卡所需费用及包车费两项 组成．
解析：设买 x 张游泳卡，总开支为 y 元． (1)每批去 x 同学，共需去48x×8批，总开支又分为： ①买卡所需费用 240x 元， ②包车所需车费用48×x 8×40元． 所以 y＝240x＋48×x 8×40(0＜x≤48，x∈Z)． 因为 y＝240xx＋6x4≥240×2 x×6x4＝3 840， 当且仅当 x＝6x4，即 x＝8 时，等号成立．