4 函数值域的求法

4 求函数的值域

作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。 一、基础知识： 1、求值域的步骤： （1）确定函数的定义域

（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤） （3）计算出函数的值域

2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。

（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。若()f x 为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。 （2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然

（3）换元法：()f x 的解析式中可将关于x 的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。

（4）最值法：如果函数()f x 在[],a b 连续，且可求出()f x 的最大最小值,M m ，则()f x 的值域为[],m M

注：一定在()f x 连续的前提下，才可用最值来解得值域

3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。

（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域

（2）二次函数（2y ax bx c =++）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内） 例：()[]223,1,4f x x x x =--∈-

解：()()2

14f x x =--

∴对称轴为：1x = ()[]4,5f x ∴∈-

（3）反比例函数：1y x

=

（1）图像关于原点中心对称 （2）当,0x y →+∞→ 当,0x y →-∞→

（4）对勾函数：()0a

y x a x

=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >

注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值

例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭，再求得2a =

② 极值点：x x ==③ 极值点坐标：

(,-

④ 定义域：()(),00,-∞+∞

⑤ 自然定义域下的值域：(

)

,2,a ⎡-∞-+∞⎣

（5）函数：()0a

y x a x

=-> 注意与对勾函数进行对比 ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >

② 函数的零点：x =

③ 值域：R

（5）指数函数（x y a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞

（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞

（7）分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说明（见附）

二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现

1、换元法：将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域

（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围

（2）换元的作用有两个：

① 通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的

② 化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理

（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与x 的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。

（4）换元也是将函数拆为两个函数复合的过程。在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种 ① ()

()(),log ,sin f x a y a

y f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：

此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围

② ()

()(),log ,sin x

a y f a y f x y f x ===：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的

项，所以可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可。当然要注意有些解析式中的项不是直接给出，而是可作转化：例如1

42

8x

x y +=--可转化为

()2

2228x x y =-⋅-，从而可确定研究对象为2x t =

例1：函数()2f x x =-

的值域是（ ）

A. [)0,+∞

B. 17,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭

C. 5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭

D. 15,8⎡⎫

+∞⎪⎢⎣⎭

例2（1）函数11

3

x y -=的值域为（ ）

A. ()0,+∞

B. ()

()0,11,+∞ C. {}|1x x ≠ D. ()1,+∞

（2）函数()[]1428,2,2x x f x x +=--∈-的值域为__________

（3）函数1

ln 1

x x e y e +=-的值域为__________

例3：已知函数()[]23log ,1,4f x x x =+∈，则()()()2

2

g x f x

f x =-⎡⎤⎣⎦的值域为（ ）

A. []18,2--

B. []11,6--

C. []18,6-

D. []11,2--

2、数形结合：即作出函数的图像，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合

（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域。

（2）()f x 的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该()f x 函数的图像，从而利用图像求得函数的值域

（3）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式 例4：（1）设函数()y f x =定义域为R ，对给定正数M ，定义函数

()()()(),,M f x f x M

f x M f x M

≤⎧⎪=⎨>⎪⎩则称函数()M f x 为()f x 的“孪生函数”，若给定函数

()2

2,20

,121,0

x x x f x M x ⎧--≤≤⎪==⎨->⎪⎩，则()M y f x =的值域为（ ）

A. []2,1-

B. []1,2-

C. (],2-∞

D. (],1-∞-

（2）定义{}min ,,a b c 为,,a b c 中的最小值，设(){}

2

min 23,1,53f x x x x =++-，则

()f x 的最大值是__________

例5：已知函数()()()()222222,228f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+，设

()()(){}()()(){}12max ,,min ,H x f x g x H x f x g x ==，（其中{}max ,p q 表示,p q 中的

较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值）记()1H x 的值域为A ，()2H x 的值域为B ，则

A

B =______________

例6：（1）函数[]ln 3

,2,41

x x y x x +=

∈-的值域为__________ （2

）函数y =+_________

3、函数单调性：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性（增、减）即可快速求出函数的值域

（1）判断函数单调性的方法与结论： ① 增+增→增 减+减→减

()1-⨯增→减 若函数的符号恒正或恒负，则

1

→增

减