湘教版八上数学第1课时 分式的概念
含有字母），所得的商记作
f g
，把代数式
f g
叫做分式，其中
f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0. 例如：a
x
，S
x
，a + b
x+ y
，
…都是分式。
下列式子中哪些是分式？哪些是整式？
ab2 a
1
，x
a
，3
，-
x
x -
y
x+1
，π
，14（x
-
y），
a
1 -
2
.
解：分式：ab2
a
1
，x
，-
x
x -
1
分式
1.1分式
第1课时 分式的概念
公顷的一平块均面产积量为就x公是顷__的ax__稻k田g. 总像产ax量这为样a的kg式，子那叫么做这分块式稻。田每
新课导入
S
1.（1）某长方形画的面积为Sm2，长为8m，则它的宽为__8__m；
S
（2）某长方形画的面积为Sm2，长为xm，则它的宽为__x__m；
新课导入
2.如果两块面积分别为x公顷，y公顷的稻田，分别产稻谷
a+b
akg，bkg，那么这两块稻田平均每公顷产稻谷__x_+_y__kg。
a 、S
xx
、xa
+ +
b y
、有什么共同点？
推进新课
分式的定义
m
一个整数m除以一个非零整数n，所得的商记作
m n
，称
n 为分数。 类似地，一个整式f 除以一个非零整式g（g中
例2
求下列条件下分式
x-5 x+6
的值：
（1）x=3；
（2）x=-0.4.
解：（1）当x=3时，xx+- 56
=
3-5 3+ 6
=
2 9
.
（2）当x=-0.4时，xx
-5 6
0.4 -0.4
5 6Biblioteka 5.4 5.627 28
.
巩固练习
1.填空： （1）某村有m个人，耕地面积约为50公顷，则该村的人均耕
的值为负数，则x的取值范围是________.
分子、分母异号
解：（1）∵x2+3＞0 ，
∴4x+9＞0.
解得x＞
9 4
4.（1）要使分式4xx2
+ +
39的值为正数，则x的取值范围是__x＞___94__；
分子、分母同号
（2）要使分式
x-2 2x+ 6
的值为负数，则x的取值范围是-_3_＜__x_＜__2_.
2 分式有意义或无意义、分式值为零的条件
当g≠0时，分式
f g
有意义；当g=0，分式
f g
无意义；
当g≠0且f=0时，分式
f g
的值为零.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
分子、分母异号
x-2＞0
x-2＜0
解：（2）由题意可得 2x+6＜0 或 2x+6＞0
x＞2 解得 2x+6＜-3 无解，或-3＜x＜2.
课后小结
1 分式的概念
一般地，如果f，g 表示两个整式，并且g 中含有字
母，那么式子
f g
叫做分式（fraction）.分式
f g
中，f
叫
做分子，g 叫做分母，g≠0.
4
（2）当分子x+3=0，分母4x-5≠0时，分式的值等于0， x=-3。
3.填表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
x
32x …
1 3
2 7
1 5
0
1
-2
-1
…
4.（1）要使分式4xx2
+ +
39的值为正数，则x的取值范围是__x＞___94__；
分子、分母同号
（2）要使分式
x-2 2x+ 6
50
地面积约为_____m______公顷； （2）某工厂接到加工m个零件的订单，原计划每天加工a个，
m
由于技术改革，实际每天多加工b个，则____a_+_b___天可以完 成任务。
2.当x取什么值时，分式
x+3 4x -5
的值（1）不存在；（2）等于0？
解（1）当分母4x-5=0时，分式不存在，x= 5 。
y
，a
1 -
2
;
整式：a
3
x+
，π
1，14（x
-
y）.
π是数字，不是字母
例1
当x取什么值时，分式
x-2 2x -3
的值（1）不存在；（2）等于0？
≠0
解（1）当分母2x-3=0时，分式不存在，x=
3 2
。
（2）当分子x-2=0，分母2x-3≠0时，分式的值等于0， x=2。
分式有意义的条件：分式的分母不为0； 分式无意义的条件：分式的分母为0.
当x取什么值时，下列分式有意义？
1
1
x-5
1
x
(1) ; (2)
; (3)
; (4)
; (5)
.
3x 3 - x 3x + 5
x2 + 16
x -3
解：（1）3x≠0，x≠0；
（2）3-x≠0，x≠3；
（3）3x+5≠0，x≠
5 3
；
（4）x2+16≠0，x可为任意实数；
（5）∣x∣-3≠0，x≠±3.
八年级数学上册第1章分式(湘教版)【DOC范文整理】
八年级数学上册第1章分式（湘教版）第1章分式1 分式第1课时分式理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式.能写出分式存在的条件，会求分式的值为0时字母的取值范围.能根据字母的取值求分式的值.能用分式表示现实情境中的数量关系.自学指导：阅读教材P2～3，完成下列问题.知识探究一般地，如果一个整式f除以一个非零整式g，所得商fg叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0.分式fg存在的条件是g≠0；分式fg不存在的条件是g ＝0；分式fg的值为0的条件是f＝0，g≠0.自学反馈下列各式中，哪些是分式？①2b－s；②3000300－a；③27；④vs；⑤s32；⑥2x2＋15；⑦45b＋c；⑧－5；⑨3x2－1；⑩x2－xy＋y22x－1；⑪5x－7.解：分式有①②④⑦⑩.判断是否是分式主要看分母是不是含有字母.这是判断分式的唯一条件.当x取何值时，下列分式的值不存在？当x取何值时，下列分式的值等于0?－xx＋2；x＋53－2x.解：当x＋2＝0时，即x＝－2时，分式3－xx＋2的值不存在.当x＝3时，分式3－xx＋2的值等于0.当3－2x＝0时，即x＝32时，分式x＋53－2x的值不存在.当x＝－5时，分式x＋53－2x的值等于0.分母是否为0决定分式的值是否存在.活动1 小组讨论例 1 列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？甲每小时做x个零件，他做80个零件需多少小时；轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是多少千米/时，轮船的逆流速度是多少千米/时；x与y的差除以4的商是多少.解：80x；分式.a＋b，a－b；整式.x－y4；整式.例2 当x取何值时，分式2x－5x2－4的值存在？当x取何值时，分式2x－5x2－4的值为零？解：当2x－5x2－4的值存在时，x2－4≠0，即x≠±2；当2x－5x2－4的值为0时，有2x－5＝0且x2－4≠0，即x＝52.分式的值存在的条件：分式的分母不能为0.分式的值不存在的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的.活动2 跟踪训练下列各式中，哪些是分式？①4x；②a4；③1x－y；④3x4；⑤12x2.解：①③是分式.当x取何值时，分式x2＋13x－2的值存在？解：3x－2≠0，即x≠23时，x2＋13x－2存在.求下列条件下分式x－2x＋3的值.x＝1；x＝－1.解：当x＝1时，x－2x＋3＝－14.当x＝－1时，x－2x＋3＝－32.活动3 课堂小结分式的定义及根据条件列分式.分式的值存在的条件，以及分式值为0的条件.第2课时分式的基本性质理解并掌握分式的基本性质.能运用分式的基本性质约分，并进行简单的求值运算.自学指导：阅读教材P4～6，完成下列问题.知识探究分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为fg＝g•h.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分.分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.自学反馈下列等式的右边是怎样从左边得到的？a2b＝ac2bc；x3xy＝x2y.解：由c≠0，知a2b＝a•c2b•c＝ac2bc.由x≠0，知x3xy＝x3÷xxy÷x＝x2y.应用分式的基本性质时，一定要确定分式在有意义的情况下才能应用.填空，使等式成立：y＝34y；y＋2y2－4＝1.在分式有意义的情况下，正确运用分式的基本性质，保证分式的值不变，给分式变形.约分：a2bcab；－32a3b2c24a2b3d.解：公因式为ab，所以a2bcab＝ac.公因式为8a2b2，所以－32a3b2c24a2b3d＝－4ac3bd.活动1 小组讨论例1 约分：－3a3a4；12a3227a；x2－1x2－2x＋1.解：－3a3a4＝－3a.a3227a＝4a29.x2－1x2－2x＋1＝2＝x＋1x－1.约分的过程中注意完全平方式2＝2的应用.像这样的分子分母是多项式，应先分解因式再约分.例2 先约分，再求值：x2y＋xy22xy，其中x＝3，y＝1.解：x2y＋xy22xy＝xy2xy＝x＋y2.当x＝3，y＝1时，x＋y2＝3＋12.活动2 跟踪训练约分：－152－25；2－39－2.解：－152－25＝35.－39－2＝＝－＋3.先约分，再求值：＋n92－n2，其中＝1，n＝2；x2－4y2x2－4xy＋4y2，其中x＝2，y＝4.解：3＋n92－n2＝13－n＝13×1－2＝1.x2－4y2x2－4xy＋4y2＝2＝x＋2yx－2y＝2＋2×42－2×4＝－53.活动3 课堂小结分数的基本性质.约分、化简求值.2 分式的乘法和除法第1课时分式的乘法和除法理解分式的乘、除法的法则.会进行分式的乘除运算.自学指导：阅读教材P8～9，完成下列问题.知识探究分式的乘、除法运算法则：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.用式子表示为fg•uv＝fugv.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为：如果u≠0，则规定fg÷uv＝fg•vu ＝fvgu.自学反馈计算xy•y2x的结果是12.化简－1÷－12的结果是.下列计算对吗？若不对，要怎样改正？ba•ab＝1；ba÷a＝b；－x2b•6bx2＝3bx；4x3a÷a2x＝23.解：对.错.正确的是ba2.错.正确的是－3x.错.正确的是8x23a2.活动1 小组讨论例1 计算：x3y•y2x3；ab22c2÷－3a2b24cd.解：原式＝4x•y3y•2x3＝4xy6x3y＝23x2.原式＝ab22c2•4cd－3a2b2＝－ab2•4cd2c2•3a2b2＝－2d3ac.例2 计算：a2－4a＋4a2－2a＋1•a－1a2－4；149－2÷12－7.解：原式＝22•a－1＝22＝a－2.原式＝149－2•2－71＝1•1＝＝－7＋.整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式.注意变换过程中的符号.活动2 跟踪训练计算：a4b•16b9a2；12xy5a÷8x2y；－3xy÷2y23x.解：原式＝3a•16b4b•9a2＝43a.原式＝12xy5a•18x2y＝12xy5a•8x2y＝310ax.原式＝－3xy•3x2y2＝－3xy•3x2y2＝－9x22y.和要把除法转换成乘法运算，然后约分，运算结果要化为最简分式.计算：x2－4x2－4x＋3÷x2＋3x＋2x2－x；x＋64－4x＋x2÷•x2＋x－63－x.解：原式＝x2－4x2－4x＋3•x2－xx2＋3x＋2＝•x＝x＝x2－2xx2－2x－3.原式＝2x＋64－4x＋x2•1x＋3•x2＋x－63－x＝22•1x ＋3•－＝－2.分式的乘除要严格按着法则运算，除法必须先换算成乘法，如果分式的分子或分母是多项式，那么就把分子或分母分解因式，然后约分，化成最简分式.运算过程一定要注意符号.活动3 课堂小结分式的乘、除运算法则.分式的乘、除法法则的运用.第2课时分式的乘方理解分式乘方的运算法则.熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算.自学指导：阅读教材P10～11，完成下列问题.知识探究分式的乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方.用式子表示为n＝fngn.自学反馈计算：；3.解：2＝4a2b2.＝－b6a3.计算：•b36a2；2÷2.解：原式＝4a2b2•b36a2＝23b.原式＝9a4b2÷b24a2＝9a4b2•4a2b2＝36a6.活动1 小组讨论例1 计算：；3.解：3＝n63.＝33＝a6b3－c3d9.分式的乘方运算将分式的分子、分母分别乘方，再根据幂的乘方进行运算.例2 计算：n2÷3；2÷3•3.解：3n2÷3＝3n2÷3n3＝3n2•n33＝n5.÷3•3＝n242÷n69•8n33＝n242•9n6•8n33＝24n.分式混合运算，要注意：化除法为乘法；分式的乘方；约分化简成最简分式.活动2 跟踪训练计算：2n3pq2•5p2q4n2÷5np3q；－a2a2＋8a＋16÷a－42a＋8•a－2a＋2；÷•9－a2a－1.解：原式＝22n3pq2•5p2q4n2•3q5np＝12n2.原式＝2•2a－4•a－2a＋2＝－2a＋2.原式＝22•1a－1•a－1＝3－aa＋3.计算：；2÷6a4b3•3.解：原式＝33＝－8x12y627z3.原式＝4a2b6c4d2•b36a4•－27c3b6＝－18b3a2cd2.化简求值：b2a2－ab÷2•a2ba－b，其中a＝12，b＝－3.解：化简结果是ab；求值结果为－32.化简过程中注意“－”.化简中，乘除混合运算顺序要从左到右.活动3 课堂小结分式乘方的运算.分式乘除法及乘方的运算方法.3 整数指数幂3.1 同底数幂的除法理解同底数幂的除法法则.熟练进行同底数幂的除法运算.自学指导：阅读教材P14～15，完成下列问题.知识探究同底数幂相除，底数不变，指数相减.设a≠0，，n是正整数，且＞n，则aan＝an•an＝a－n.自学反馈计算a10÷a2的结果是A.a5B.－a5c.a8D.－a8计算：x5÷2＝x3；5÷2＝a3b3.活动1 小组讨论例1 计算：x3；85.解：5x3＝－x5－3＝－x2.5＝x8y8－x5＝－x3y3.例2 计算：6÷3÷.解：原式＝6÷[－]3÷＝－6－3－1＝－2.活动2 跟踪训练计算：a5a2；22.解：原式＝a3.原式＝1.计算：4÷3•2.解：原式＝4÷[－3]•2＝－•2＝－3.活动3 课堂小结同底数幂的除法的运算.3.2 零次幂和负整数指数幂理解零次幂和整数指数幂的运算性质，并能解决一些实际问题.理解零指数幂和负整数指数幂的意义.负整数指数幂在科学记数法中的应用.自学指导：阅读教材P16～18，完成下列问题.知识探究任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a0＝1.a－n＝1an.自学反馈计算：30＝1；－3＝－18.用科学记数法表示数0.000XX为2.016×10－4.计算：23－0－－2.解：原式＝8－1－4＝3.活动1 小组讨论例1 计算：－2；－3；－2.解：3－2＝132＝19.10－3＝1103＝0.001.－2＝2＝2516.例2 把下列各式写成分式的形式：x－3；2x－23y－3.解：3x－3＝3x3.2x－23y－3＝6x2y3.例3 用科学记数法表示下列各数：0.0003267；－0.0011.解：0.0003267＝3.267×10－4.－0.0011＝－1.10×10－3.活动2 跟踪训练计算：0＝1；3－1＝13.把0，－2，2按从小到大的顺序排列为0>2＝－2.计算：XX×0＋－1.解：原式＝1×1＋2＝3.活动3 课堂小结零次幂和整数指数幂的运算性质.零指数幂和负整数指数幂的意义.负整数指数幂在科学记数法中的应用.1.3.3 整数指数幂的运算法则理解整数指数幂的运算法则.熟练掌握整数指数幂的各种运算.自学指导：阅读教材P19～20，完成下列问题.知识探究a•an＝a＋n.n＝an.n＝anbn.自学反馈计算：a3•a－5＝a－2＝1a2；a－3•a－5＝a－8＝1a8；a0•a－5＝a－5＝1a5；a•an＝a＋n.a•an＝a＋n这条性质对于，n是任意整数的情形仍然适用.同样正整数指数幂的运算可以推广到整数指数幂的运算.活动1 小组讨论例1 计算：；a－2b2•－3.解：原式＝a－3b6＝b6a3.原式＝a－2b2•a－6b6＝a－8b8＝b8a8.例2 下列等式是否正确？为什么？a÷an＝a•a－n；n＝anb－n.解：正确.理由：a÷an＝a－n＝a＋＝a•a－n.正确.理由：n＝anbn＝an•1bn＝anb－n.活动2 跟踪训练下列式子中，正确的有①a2÷a5＝a－3＝1a3；②a2•a－3＝a－1＝1a；③－3＝13＝1a3b3；④－2＝a－6＝1a6.A.1个B.2个c.3个D.4个计算：[x]－2•2＝12.活动3 课堂小结牢记整数指数幂的运算法则.4 分式的加法和减法第1课时同分母分式的加减法掌握同分母分式的加、减法则，并能运用法则进行同分母分式的加减运算.会将分母互为相反数的分式化为同分母分式进行运算.自学指导：阅读教材P23～24，完成下列问题.知识探究同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.即，fg±hg＝f±hg.－fg＝f－g＝－fg，－f－g＝fg.自学反馈计算：yx＋2x＝y＋2x；－ay＝5－ay.计算：－3x－1＋3x2－3x；a2a－b－b2－2abb－a.解：32－3x－1＋3x2－3x＝3－1－3x2－3x＝2－3x2－3x＝1.a2a－b－b2－2abb－a＝a2a－b＋b2－2aba－b＝2a－b ＝a－b.活动1 小组讨论例1 计算：x－1x＋1x；5x＋3yx2－y2－2xx2－y2.解：原式＝x－1＋1x＝xx＝1.原式＝5x＋3y－2xx2－y2＝3x＋3y＝3＝3x－y.例2 计算：－1－11－；5xx2－x－51－x.解：原式＝－1＋1－1＝＋1－1.原式＝5xx－51－x＝5x－1＋5x－1＝5＋5x－1＝10x－1.活动2 跟踪训练化简x2x－1＋x1－x的结果是A.x＋1B.x－1c.－xD.x化简a2a－b－b2a－b的结果是A.a＋bB.a－bc.a2－b2D.1计算：x＋1x－1x；ab＋1＋2ab＋1－3ab＋1.解：原式＝x＋1－1x＝1.原式＝a＋2a－3ab＋1＝0.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；注意：计算过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.活动3 课堂小结分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式.第2课时通分了解什么是最简公分母，会求最简公分母.了解通分的概念，并能将异分母分式通分.自学指导：阅读教材P25～26，完成下列问题.知识探究异分母分式进行加减运算时，也要先化成同分母分式，然后再加减.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分.通分时，关键是确定公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.自学反馈12x，13y的最简公分母是6xy.对分式y2x，x3y2，14xy通分时，最简公分母是12xy2.通分：c2ab2与－a8bc2；x4a与x6b.解：3c2ab2＝3c•4c22ab2•4c2＝12c38ab2c2；－a8bc2＝－a•ab8bc2•ab＝－a2b8ab2c2.x4a＝3bx12ab，y6b＝2ay12ab.活动1 小组讨论例1 通分：32a2b与a－bab2c；2xx－5与3xx＋5.解：最简公分母是2a2b2c.a2b＝3•bc2a2b•bc＝3bc2a2b2c，a－bab2c＝•2aab2c•2a＝2a2a2b2c.最简公分母是.xx－5＝2x＝2x2＋10xx2－25，xx＋5＝3x＝3x2－15xx2－25.例2 通分：2cbd与3ac4b2；1x2－4与x4－2x.解：最简公分母是4b2d.cbd＝8bc4b2d，3ac4b2＝3acd4b2d.最简公分母是2.x2－4＝1×2×2＝22x2－8，x4－2x＝x－2＝－x•2＝－x2＋2x2x2－8.活动2 跟踪训练分式1x2－4，x2的最简公分母为A.B.2c.22D.－2分式1x2－1，x－1x2－x，1x2＋2x＋1的最简公分母是x2.通分：x3y与3x2y2；x－y2x＋2y与xy2；2n42－9与2－32＋3.解：x3y＝2xy6y2，3x2y2＝9x6y2.x－y2x＋2y＝x2－y222，xy2＝2xy22.n42－9＝2n42－9，2－32＋3＝242－9.活动3 课堂小结确定最简公分母.将异分母分式通分.第3课时异分母分式的加减法熟练掌握求最简公分母的方法.能根据异分母分式的加减法则进行计算.自学指导：阅读教材P27～29，完成下列问题.知识探究异分母的分式相加减时，要先通分，即把各个分式的分子、分母同乘一个适当的整式，化成同分母分式，然后再加减.自学反馈化简分式1x＋1x的结果是A.xB.1x2c.1x－1D.xx－1下列计算正确的是A.1x＋12x＝13xB.1x－1y＝1x－c.xx＋1＋1＝1x＋1D.1a－1－1a＋1＝2a2－1活动1 小组讨论例1 计算：x＋2y；1a＋1－1a－1.解：原式＝3yxy＋2xxy＝3y＋2xxy.原式＝a－1－＝－2.例2 计算：÷aa2－b2；12p＋3q＋12p－3q.解：原式＝a＋b－ba＋b•a2－b2a＝aa＋b•a＝a－b.原式＝2p－3q＋2p＋3q＝2p－3q＋2p＋3q＝4p4p2－9q2.活动2 跟踪训练计算÷a＋3a的结果为A.aB.－ac.2D.1化简÷aa－2的结果是A.a＋2aB.aa＋2c.a－2aD.aa－2化简x2－1x2－2x＋1•x－1x2＋x＋2x的结果是3x.化简的结果是.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；注意：化简过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.活动3 课堂小结分式加减运算的方法思路：异分母相加减――→通分转化为同分母相加减――→分母不变分子相加减分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式.1.5 可化为一元一次方程的分式方程第1课时可化为一元一次方程的分式方程理解分式方程的意义.了解分式方程的基本思路和解法.理解分式方程可能无解的原因，并掌握验根的方法.自学指导：阅读教材P32～34，完成下列问题.知识探究分母中含有未知数的方程叫作分式方程.在检验分式方程的根时，将所求的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根.解分式方程有可能产生增根，因此解分式方程必须检验.自学反馈下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？①x－22＝x3；②4x＋3y＝7；③1x－2＝3x；④xx＝－1；⑤3－xπ＝x2；⑥2x＋x－15＝10；⑦x－1x＝2；⑧2x＋1x ＋3x＝1.解：①⑤⑥是整式方程，②③④⑦⑧是分式方程.判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数.解分式方程的一般步骤是：去分母；解整式方程；验根；小结.活动1 小组讨论例1 解方程：2x－3＝3x.解：方程两边同乘x，得2x＝3.解得x＝9.检验：当x＝9时，x≠0.所以，原分式方程的解为x＝9.例2 解方程：xx－1－1＝3.解：方程两边同乘，得x－＝3.解得x＝1.检验：当x＝1时，＝0.所以x＝1不是原方程的解.所以，原方程无解.活动2 跟踪训练解方程：x＝2x＋3；xx＋1＝2x3x＋3＋1；2x－1＝4x2－1；5x2＋x－1x2－x＝0.解：方程两边同乘2x，得x＋3＝4x.化简得3x＝3.解得x＝1.检验：当x＝1时，2x≠0.所以x＝1是方程的解.方程两边同乘3，得3x＝2x＋3x＋3.解得x＝－32.检验：当x＝－32时，3x＋3≠0.所以x＝－32是方程的解.方程两边同乘x2－1，得2＝4.解得x＝1.检验：当x＝1时，x2－1＝0，所以x＝1不是方程的解.所以原方程无解.方程两边同乘x，得5－＝0.解得x＝32.检验：当x＝32时，x≠0.所以x＝32是原方程的解.方程中分母是多项式，要先分解因式再找公分母.活动3 课堂小结解分式方程的思路是：第2课时分式方程的应用能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结.自学指导：阅读教材P35～36，完成下列问题.知识探究列分式方程解应用题的一般步骤是：审题设未知数；找等量关系列方程；去分母，化分式方程为整式方程；解整式方程.验根是否符合实际意义；答题.自学反馈重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半.后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半.乙型挖土机单独挖这块地需要几天？甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖12÷4＝18，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x天，那么一天挖1x；两台挖土机一天共挖18＋1x；两台一天完成另一半.所以列方程为18＋1x＝12；解得x＝83，即乙单独挖需83天.认真分析题意.根据等量关系列方程.活动1 小组讨论例甲、乙两人分别从相距36千米的A，B两地相向而行，甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点处相遇.已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？分析：路程速度时间甲18＋1×2x＋0.518＋1×2x＋0.5乙18x18x等量关系：t甲＝t乙.解：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为千米/小时.根据题意，列方程得＋1×2x＋0.5＝18x.解得x＝4.5.检验：当x＝4.5时，x≠0.所以x＝4.5是原方程的解.则x＋0.5＝5.答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时.等量关系是时间相等，那么就要找到相等时间里每个人所走的路程，甲的路程比乙的路程多两个1千米.活动2 跟踪训练A、B两地相距135千米，有大、小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2∶5，求两辆汽车的速度.解：设大汽车的速度为2x千米/小时，则小汽车的速度为5x千米/小时.根据题意，列方程得135－2x×52x＝135－12×5x5x.解得x＝9.检验：当x＝9时，10x≠0.所以，x＝9是原方程的解.则2x＝18，5x＝45.答：大汽车的速度是18千米/小时，小汽车的速度是45千米/小时.等量关系是大汽车5小时后剩下路程所走的时间，等于小汽车去掉30分钟路程所用的时间.一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？解：设规定日期是x天，则甲队独做需x天，乙队独做需天，根据题意，列方程得x＋xx＋3＝1.解得x＝6.检验：当x＝6时，x≠0.所以，x＝6是原方程的解.答：规定日期是6天.活动3 课堂小结列分式方程解应用题，应该注意解题的六个步骤.列方程的关键是要在准确设元的前提下找出等量关系. 解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系. 注意不要遗漏检验和写答案.。
湘教版数学八年级上册第1课时 分式的概念
第1章分式1.1 分式第1课时分式的概念【知识与技能】1.了解分式的概念，明确分式和整式的区别.2.使学生能够求出分式有意义的条件.【过程与方法】让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型.【情感态度】培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流.【教学重点】理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.【教学难点】能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.一、情景导入，初步认知下列式子中哪些是整式？【教学说明】因为分式概念的学习是学生通过观察，比较分式与整式的区别从而获得的，所以必须熟练掌握整式的概念．二、思考探究，获取新知1.思考：（1）某长方形画的面积为Sm2，长为8m，则它的宽为____m.（2）某长方形画的面积为Sm2，长为xm，则它的宽为____m.（3）如果两块面积为x公顷，y公顷的稻田，分别产稻谷akg,bkg,那么这两块稻田平均每公顷产稻谷_____kg.【教学说明】要给学生一定的思考时间，让学生积极投身于问题情景中，根据学生的情况，教师可以给予适当的提示和引导.2.讨论内容：前面出现的代数式如下，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？【教学说明】让学生通过观察、归纳、总结出整式与分式的异同，从而得出分式的概念．【归纳结论】一般地，一个整式f除以一个非零整式g（g中含有字母）所得的商记作fg,那么代数式fg叫做分式．3.当x取什么值时，分式223xx--的值满足下列条件：（1）不存在;（2）等于0.解：（1）当分母2x-3=0时，即x=32时，分子的值为32－2≠0，因此x=32时，分式223xx--的值不存在.（2）当x -2=0，即x=2时，分式223xx--的值等于0.【教学说明】让学生通过观察，归纳、总结出整式与分式的异同，从而得到分式的概念.三、运用新知，深化理解1.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？解：（2）、（4）是整式，（1）、（3）是分式．2.若分式13x-有意义，则x的取值范围是（）A.x≠3B.x≠-3C.x＞3D.x＞-3解：当分母x-3≠0，即x≠3时，分式有意义，故选A.3.x取什么值时，下列分式无意义？解：（1）因为当分母的值为零时，分式没有意义．由2x-3=0，得x =32, 所以当x=32时，分式无意义．（2）因为当分母的值为零时，分式没有意义．由5x+10=0，得x=-2,所以当x=-2 时，分式无意义．4.若分式||11xx-+的值为零，则x的值为 1 .【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题.解：要使||11xx-+的值为0，则|x|-1=0，即x=±1，且x+1≠0，即x≠-1．故x=1．四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.布置作业:教材“习题1.1”中第1、2题.在学习分式的概念时，借助整式的概念，用类比的思想进行教学，学生掌握的较好，能够紧抓概念，很容易的区分整式与分式.而在分式的值等于0的教学中，一部分学生都只考虑分式的分子等于0，而没有考虑分式的分母.因此，在后面的教学中对这方面的教学有待加强.。
新版湘教版秋八年级数学上册第一章分式课题分式的基本概念说课稿
新版湘教版秋八年级数学上册第一章分式课题分式的基本概念说课稿一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第一章分式课题“分式的基本概念”，是学生在学习了实数、代数式等基础知识后的进一步拓展。
本章主要介绍分式的定义、分式的运算、分式的性质等内容。
通过本章的学习，使学生掌握分式的基本概念，理解分式的运算规则，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对实数、代数式等知识有了初步的认识。
但学生在学习本章内容时，可能会对分式的抽象概念和运算规则产生困惑。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习困惑，引导学生理解和掌握分式的基本概念。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握分式的基本概念，理解分式的运算规则，能运用分式解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流等途径，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：分式的基本概念、分式的运算规则。
2.教学难点：分式的性质、分式的运算规则的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解等教学方法，引导学生主动探究分式的基本概念和运算规则。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学手段，直观地展示分式的运算过程，帮助学生理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.引入新课：通过生活实例，引导学生认识分式，激发学生的学习兴趣。
2.讲解分式的基本概念：讲解分式的定义、分式的组成部分，使学生理解分式的基本概念。
3.演示分式的运算过程：利用多媒体课件，展示分式的加减乘除运算过程，引导学生掌握分式的运算规则。
4.巩固练习：布置练习题，让学生独立完成，检查学生对分式知识的掌握情况。
5.拓展应用：结合实际问题，让学生运用分式解决实际问题，提高学生的应用能力。
6.课堂小结：对本节课的内容进行总结，使学生形成系统化的知识结构。
湘教版初中八年级数学上册第一章《分式》复习知识点
湘教版初中八年级数学上册第一章《分式》复习知识点一、分式的概念咱先来说说啥是分式哈。
分式呢，就是形如A/B 的式子，其中A、B 是整式，且 B 中含有字母。
比如说2/x，x/y+1 这些都是分式。
可别把分式和整式弄混了哈，整式里可没有分母含字母这一说。
那啥时候分式有意义呢？很简单，当分母 B 不等于0 的时候，分式就有意义。
举个例子，对于分式1/(x-1)，当x-1≠0，也就是x≠1 的时候，这个分式就有意义。
要是分母等于0 了呢，那分式就没意义了。
比如还是这个分式，当x=1 的时候，分母为0，这时候分式就没意义了。
再说说分式值为零的情况。
那得满足两个条件，一是分子 A 等于0，二是分母B 不等于0。
比如说分式(x-1)/(x+1)，要让这个分式值为零，那就得x-1=0，同时x+1≠0。
解第一个方程得x=1，再看第二个条件，当x=1 的时候，x+1=2≠0，所以当x=1 的时候，这个分式值为零。
咱再来几个式子让大家判断判断哈。
像3/x²，这肯定是分式。
当x=0 的时候，这个分式没意义，因为分母为0 了。
当x≠0 的时候，这个分式有意义。
那这个分式啥时候值为零呢？因为分子是3，恒不为0，所以这个分式值永远不可能为零。
再看(x²-4)/(x-2)，先化简一下，分子可以因式分解为(x+2)(x-2)，这样这个式子就变成了(x+2)(x-2)/(x-2)，约分后就是x+2。
当x=2 的时候，原来的式子分母为0，没意义。
当x≠2 的时候，这个式子就等于x+2。
那这个式子啥时候值为零呢？当x+2=0，也就是x=-2 的时候，这个式子值为零。
大家可都得把分式的概念弄清楚了哈，这可是学好分式这一章的基础呢。
二、分式的基本性质咱先来说说分式的基本性质是啥哈。
那就是分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。
听起来有点绕口不？咱举个例子就明白啦。
比如说有个分式$\frac{2}{3}$，要是分子分母都乘以2，那就变成了$\frac{2\times2}{3\times2}=\frac{4}{6}$。
湘教版数学八年级上册1.1《分式的概念》教学设计
湘教版数学八年级上册1.1《分式的概念》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级上册1.1《分式的概念》是学生在掌握了有理数、实数和整式的基础上，进一步拓展的知识。
本节课主要介绍分式的概念、分式的基本性质以及分式的运算。
通过本节课的学习，使学生掌握分式的基本概念，理解分式的意义，能够进行简单的分式运算。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数、实数和整式的知识，具备了一定的数学基础。
但部分学生对分式的概念和性质可能理解起来比较困难，因此在教学过程中，需要教师耐心引导，让学生逐步理解和掌握分式的知识。
三. 教学目标1.理解分式的概念，掌握分式的基本性质。
2.能够正确进行分式的运算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.分式的概念和性质。
2.分式的运算方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究分式的概念和性质。
2.利用实例讲解，让学生直观地理解分式的意义。
3.采用合作学习法，让学生在小组讨论中解决问题，提高学生的动手能力和团队协作能力。
4.运用练习法，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括分式的概念、性质和运算方法。
2.准备一些实际的例子，用于讲解分式的意义。
3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题引入分式的概念，如：某商店进行打折活动，原价为240元，打八折后的价格是多少？让学生尝试用数学语言来表示这个问题，从而引出分式的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示分式的定义，解释分式的概念，并举例说明。
同时，介绍分式的基本性质，如分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
3.操练（10分钟）让学生进行一些分式的基本运算，如分式的加减法、乘除法。
教师在这个过程中，要引导学生注意分式的约分和通分，以及分式运算的符号变化。
4.巩固（10分钟）让学生解决一些实际问题，运用分式的知识。
八年级数学上册《分式》知识点湘教版
八年级数学上册《分式》知识点湘教版八年级数学上册《分式》知识点湘教版知识点1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0;分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3.分式值为零的条件：分式AB =0的条件是A=0，且B≠0.(首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。
)4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为 (其中A、B、C是整式 )，5.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：(1)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;(2)如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;(3)如果分母是多项式，一般应先分解因式。
6.分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。
约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。
(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分;(2)找公因式的方法：① 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式;②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。
最新湘教版八上数学1.1第1课时 分式的概念【上课课件】
2 分式有意义或无意义、分式值为零的条件
当g≠0时，分式
f g
有意义；当g=0，分式
f g
无意义；
当g≠0且f=0时，分式
f g
的值为零.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
的值为负数，则x的取值范围是________.
分子、分母异号
解：（1）∵x2+3＞0 ，
∴4x+9＞0.
解得x＞
9 4
4.（1）要使分式4xx2
+ +
39的值为正数，则x的取值范围是__x＞___94__；
分子、分母同号
（2）要使分式
x-2 2x+ 6
的值为负数，则x的取值范围是-_3_＜__x_＜__2_.
例2
求下列条件下分式
x-5 x+6
的值：
（1）x=3；
（2）x=-0.4.
解：（1）当x=3时，xx+- 56
=
3-5 3+ 6
=
2 9
.
（2）当x=-0.4时，xx
-5 6
0.4 -0.4
5 6
5.4 5.6
27 28
.
巩固练习
1.填空： （1）某村有m个人，耕地面积约为50公顷，则该村的人均耕
湘教版·八年级数学上册
1
分式
1.1分式
第1课时 分式的概念
一块面积为x公顷的稻田总产量为akg，那么这块稻田每
a
公顷的平均产量就是x____ kg.
像ax 这样的式子叫做分式。
新课导入
S
1.（1）某长方形画的面积为Sm2，长为8m，则它的宽为__8__m；
1.1 分 式++++第1课时++++课件+++2024-2025学年湘教版八年级数学上册
= =-1;
(-2)2 -1
1
2
1
( ) 2 -1
2
2× +1
3
2
8
-
3
= 3=- .
4
目
解
标
析
突
破
-
(2)当 a=-2,b=4 时,求分式
-
解:当 a=-2,b=4 时,
=
-2-4
(-2)×4
的值.
=
-6
-8
3
= .
4
目
解
标
析
突
破
归纳
分式求值的步骤
(1)代:将对应未知数的值分别代入分式的分子、分母中;
目
解
标
析
突
破
目标二 理解分式的值不存在和值为零的条件
例 2 (教材例 1 针对训练)(1)当 x=
±2
不存在;
1
(2)当 x=
-
3
时,分式
3+1
||-2
的值等于 0.
3+1
时,分式
||-2
的值
目
解
标
析
突
破
归纳
分式的值不存在、分式的值为零的条件
分式的值不存在的条件:分母为零;
分式的值为零的条件:分子为零且分母不为零.
解:由|x|-3=0,得|x|=3,所以 x=±3,
即当 x=±3 时,分式
||-3
2 -5+6
的值为 0.
(1)上面的解题过程有没有错误?若有,请指出来;
(2)请写出正确的解题过程.
总
解
结
析
反
湘教版八年级上册分式的概念课件
1.当x____________时，分式 的值为正？
2.当 ____或_________ 时，分式 的值为正？
3.把下列各式写成分式，并 试着赋予它们实际意义：
1、1÷a 2、(v1t1+v2t2)÷(t1+t2)
２.是非判断
(1)式子
x－5 3
中因含有分母,所以是分叫分式.
( ×)
3.把下列各有理式分别填入相应的圈内
1 x²
,
1 5
(x＋y)
,
3 -x
,0 ,
a 3
,
ab 2
＋
1 c
,
x 2
＋y
1 5
(x＋y)
,
0
,
a 3
,
x 2
＋y
整式
1 x²
,
3 -x
,
ab 2
＋
1 c
分式
练习2 x为何值时，下列分式值为零？
1.有理式是分式还是整式的关键是观察分 母是否含有字母.如果分母不含字母,就是 整式;如果分母含有字母,就是分式,与分子 是否含字母无关.
２.在分式中,分母不能为零.如果分母为零, 则分式没有意义. 3.如果分子为零且分母不为零,则分式的值 为零.
a １.把式子a÷(b＋c)写成分式是_b_＋___c_
(2)分母2x＋3 ≠0,即x ≠－
所以,当x
≠－
3 2
时,分式
2x2.3x－＋23有意义.
练习
你知道吗?当x取什么值时，
下列分式有意义？
(1)
8
湘教版八年级数学第1章《分式》 知识清单
第1章分式1.1分式知识点1 分式的概念1.分式的定义:类似地，一个整式f 除以一个非零整式g（g 中含有字母），所得的商记作fg,把代数式f g叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0. 分式的三要素：（1）形如fg的式子；（2）f为整式，g为非0整式；（3）分母g中含有字母2.分式与分数、整式的关系：（1）分式中分母含有字母，由于字母表示不同的数，因此分式比分数更具有一般性。
分数是分式中字母取特定值时的特殊情况. （2）分式与整式的根本区别是分式的分母中含有字母.知识点2 分式的值存在、不存在的条件1.分式的值存在（分式有意义）的条件：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，因此分式的分母不能为即当g≠0时，分式fg才有意义.分式的分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分母的整式的值不能为0.2.分式的值不存在（分式无意义）的条件：分式的分母为0，即g＝0时，分式fg无有意义.求法：当分式的值不存在时，根据分式中分母的值为0的条件转化为解方程问题.知识点3 分式的值为0的条件分式的值为0的条件：1.当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0.即对于分式fg，当f＝0且g≠0时，fg=0.2.对于分式fg，常见的特殊分式值的情况讨论：（1）若fg的值为1，则f=g,且g≠0；反过来若f=g,且g≠0，则fg的值为1.（2）若fg的值为-1，则f=-g,且g≠0；反过来若f=-g,且g≠0，则fg的值为-1.知识点4 分式的基本性质1.分式的基本性质：（1）分式的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分式与原分式相等，即对于分式fg，有fg=f·ℎg·ℎ(h≠0).（2）分式得分子与分母都除以他们的一个公因数，所得分式与原分式相等.3.分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变.用字母表示如下：（1）fg = −f−g= −f−g=−−fg（2）−fg= −−f−g= −fg= f−g知识点5 分式的约分1.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以他们的公因式），叫作分式的约分.2.找公因式的方法：（1）当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式.（2）当分子、分母都是多项式时，先把多项式分解因式，再按（1）中的方法找公因式.3.约分的方法（1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式；（2）若分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去.4.最简分式分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.注意事项：①约分式针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和分母都是乘积形式；②约分一定要彻底，其结果必须是最简分式或整式；③注意发现分式的分子与分母的一些隐藏的公因式（如互为相反数的式子）④当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面.1.2分式的乘法和除法知识点1分式的乘法1.分式的乘法运算法则：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.即fg·uv= fugv2.法则的运用方法：（1）若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法运算法则运算后再约分；（2）若分子、分母有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后，再进行乘法运算；（3）若分式乘整式，可把整式看成分母为1的“分式”进行运算. （4）运算的结果应为最简分式或整式.3.分式乘法运算的基本步骤：第一步：确定积的符号，写在积中分式的前面.第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式要带扩号；第三步：约分，将结果化成最简分式或正式.知识点2 分式的除法1.分式的除法运算法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即f g÷ u v= f g× v u=fv gu（u ≠0）.2. 法则的运用方法：（1）分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法运算法则计算； （2）当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运算.3.分式除法运算的基本步骤：第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分； 第二步：将除法转化成乘法；第三步：利用分式的乘法运算法则计算。