陕西省咸阳市实验中学2019_2020学年高二数学上学期第三次月考试题理(含解析)
陕西省咸阳市实验中学2019-2020学年高二数学上学期第三次月考试题 理（含解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1.在等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（ ） A. 45 B. 75C. 300D. 180【答案】D 【解析】试题分析：由已知得55285545090,2180a a a a a =∴=+==，故选D ． 考点：等差数列的性质．2.在ABC 中，若2sin b a B =，则角A 为（ ） A. 30°或60° B. 45°或60° C. 120°或60° D. 30°或150°【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理和题设条件，求得1sin 2A =，进而求得角A 的值，得到答案. 【详解】在ABC 中，因为2sin b a B =， 由正弦定理可得sin 2sin sin B A B =， 又由(0,)B π∈，则sin 0B >，所以1sin 2A =， 又因为(0,)A π∈，所以30A =或150A =. 故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及特殊角的三角三角函数的应用，着重考查运算与求解能力.3.a∈R，且a 2＋a ＜0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A a 2＞－a 3＞－a B. －a ＞a 2＞－a 3 C. －a 3＞a 2＞－aD. a 2＞－a ＞－a 3【答案】B 【解析】试题分析：由已知中a 2+a ＜0，解不等式可能求出参数a 的范围，进而根据实数的性质确定出a 3，a 2，-a ，-的大小关系．解：因为a 2+a ＜0，即a （a+1）＜0，所以-1＜a ＜0，根据不等式的性质可知－a ＞a 2＞－a 3，故选B. 考点：不等式比较大小点评：本题考查的知识点是不等式比较大小，其中解不等式求出参数a 的范围是解答的关键 4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】A 【解析】分析：条件已提供了首项，故用“a 1，d”法，再转化为关于n 的二次函数解得． 解答：解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2， 所以S n =-11n+()n n 12-×2=n 2-12n=(n-6)2-36，所以当n=6时，S n 取最小值．故选A点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．5.在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，30B =︒，ABC ∆的面积为32，那么b =（ ）B. 1 D.2+【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得22222cos ()22cos b a c c B a c ac ac B =+-=+--，又面积1sin 2ABC S ac B ∆=13642ac ac ==⇒=，因为a b c ，，成等差数列，所以2a c b +=，代入上式可得22412b b =--24b =+，解得1b =+B ．考点：余弦定理；三角形的面积公式．6.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=（ ）A. -12B.12C. -1D. 1【答案】D 【解析】试题分析：由cos sin a A b B =得2sin cos sin A A B =222sin cos cos sin cos 1A A B B B ∴+=+=考点：正弦定理及同角间的三角函数关系 点评：正弦定理sin sin sin a b cA B C==可实现三角形边与角的互相转化，同角间三角函数关系22sin cos 1B B +=7.若数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)的值为( ) A. 102 B. 101 C. 100 D. 99【答案】A 【解析】由1lg 1ln n n x x +=+，得110n nx x +=， 所以数列{}n x 是公比为10的等比数列，又10010010010111022200100,,,x x q x x q x x q =⋅=⋅=⋅，所以10010010210110220012100()1010010x x x q x x x +++=+++=⋅=，所以()101102200lg 102x x x +++=，故选A ．8.若实数x 、y 满足22000x y y x y --≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，则11y x-+的取值范围是 ( )A. 1[,1)2-B. 11[,]23-C. 1[,)2-+∞D. 1[1,]3-【答案】A 【解析】由,x y 满足的约束条件画出可行域，如图：目标函数11y x ω-=+表示区域内的动点(),x y 与定点()1,1P -连线的斜率 由图可知()011112PA k -==---是ω的最小值，故ω的取值范围是)112⎡-⎢⎣，故答案选A点睛：线性规划转化为几何意义，11y x -+转化为可行域内的点到点()1,1-连线的斜率，先画出可行域，然后计算出斜率范围．9.x y ，满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，若目标函数(43)00z ax by a b =+>>，最大值为12，则11a b+的最小值为（ ） A. 1B. 2C. 4D.12【答案】C 【解析】 【分析】利用线性规划求得1a b +=，从而1111()()a b a b a b+=++，展开后利用基本不等式，即可求解.【详解】画出不等式组1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域，如图所示的阴影部分（包含边界），由直线43z ax by =+，可得433a z y x b b =-+，由0,0a b >>，可得403a b-<， 当直线433a zy x b b=+过点B 时，在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值， 又由122x y x y -=-⎧⎨-=⎩，解得(3,4)B ，此时目标函数43z ax by =+取得最大值12，即121212a b +=，即1a b +=，则1111()()2224b a b aa b a b a b a b a b+=++=++≥+⨯=， 当且仅当b aa b=时，即a b =时等号成立， 所以11a b+的最小值为4. 故选：C.【点睛】本题主要考查了线性规划问题和基本不等式求解函数的最值问题，其中解答中准确画出不等式组所表示的平面区域，求得,a b 的关系式是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.10.定义在R 上的运算：()1x y x y *=-.若不等式()()1x a x a -*+<对任意实数x 都成立，则（ ） A. 3122a -<< B. 1322a -<< C. 11a -<< D. 02a <<【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出2210x x a a -+-+>对任意实数x 都成立，由判别式小于0求解即可. 【详解】不等式()()1x a x a -*+<可化为()()11x a x a -⋅--<，即2210x x a a -+-+>对任意实数x 都成立，∴()21410a a ∆=-⨯-+<，解得1322a -<<.故选B. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的恒成立问题，属于中档题.11.钝角三角形的三边为a ，1a +，2a +，其最大角不超过120︒，则a 的取值范围是（ ） A. 0<<3aB.332a ≤< C. 23a <≤D.512a ≤<【答案】B 【解析】钝角三角形的三边分别是a ，a+1，a+2，其最大内角不超过120°，∴()()()()222121210212a a a a a a a a ⎧+++⎪++-+⎨≥-⎪⋅+⎩＞＞，解得332a ≤＜，故选B ．点睛：在判断三角形的形状时，若三边长均含有参数，一定要考虑构成三角形的条件，即任意两边之和大于第三边，这也是本题的易错点. 12.已知函数221(),()()2x f x x g x m x =+=-，若任意的[]11,2x ∈，存在[]21,1x ∈-，使得()()12f x f x ≥，则实数m 的取值范围是（ ） A. )5,2⎡-+∞⎢⎣ B. [)1,-+∞ C. [)4,-+∞D.12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数的的单调性求出()g x 是单调递减函数，利用导数判断()f x 为增函数，再根据题意()f x 的最小值大于等于()g x 的最小值即可求解.【详解】由于12x⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调递减函数，故()g x 是单调递减函数，由于[]21,1x ∈-，故()g x 的最小值为()112g m =-， 对()f x 求导得()222f x x x '=-， 令()0f x '=，可得1x =，且1x >时，()f x 为增函数， 故()f x 的最小值为()1123f =+=，要使得()()12f x f x ≥，则有132m ≥-，解得52m ≥-. 故选：A【点睛】本题考查了指数函数的单调性、利用导数求函数的最值、含有一个量词的不等式恒成立问题，属于中档题.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 13.在△ABC 中，若a ＝cos C ＝13，S △ABC ＝b ＝________． 【答案】【解析】 由cosC=13， 得，所以S △ABC =12absinC=12×所以b=14.已知{a n }为等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，n∈N *，若a 3=16，S 20=20，则S 10值为 ． 【答案】110 【解析】【详解】由题意a 3=16，故S 5=5×a 3=80，由数列的性质S 10﹣S 5=80+25d ，S 15﹣S 10=80+50d ，S 20﹣S 15=80+75d ， 故S 20=20=320+150d ，解之得d=﹣2 又S 10= =80+80+25d=160﹣50=110 故答案为110点评：本题考点是等差数列的性质，考查等差数列前n 项和的性质，以及数列的中项的运用，本题技巧性较强，属于等差数列的性质运用题，解答本题，要注意从题设条件中分析出应该用那个性质来进行转化．15.设点P(x ，y)在函数y ＝4－2x 的图象上运动，则9x＋3y的最小值为________． 【答案】18 【解析】试题分析：根据题意，由于点P(x ，y)在函数y ＝4－2x 的图象上运动，，则可知2x+y=4，由于9x＋3y18≥==，故可知当y=2,x=1时取得等号，故答案为18. 考点：均值不等式点评：主要是考查了不等式求解最值的运用，属于基础题．16.设,,a b c 为正数，241a b c ++=的最大值是___________【答案】2【解析】 【分析】根据柯西不等式直接求最值.【详解】22222225()(11((2)]22a b c +≤++++=当且仅当25,5a b c===时取等号1022a b c∴++≤，即2a b c++的最大值是10 2故答案为：10 2【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题(本大题共6小题，共70分.)17.已知等差数列{a n}中，a1=1，a3=﹣3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n}的前k项和S k=﹣35，求k的值．【答案】（Ⅰ）a n=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n（Ⅱ）k=7【解析】试题分析：（I）设出等差数列的公差为d，然后根据首项为1和第3项等于﹣3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式，当其等于﹣35得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k为正整数得到满足题意的k的值．解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d由a1=1，a3=﹣3，可得1+2d=﹣3，解得d=﹣2，从而，a n=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n；（II）由（I）可知a n=3﹣2n，所以S n==2n﹣n2，进而由S k=﹣35，可得2k﹣k2=﹣35，即k2﹣2k﹣35=0，解得k=7或k=﹣5，又k∈N+，故k=7为所求．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．18.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc .求∠A 的大小及sin b Bc的值． 【答案】∠A ＝60°，sin 3b Bc =【解析】试题分析：由题意得2b ac =代入原式，求得222a b c bc =+-，进而根据余弦定理，求得cos A 的值，进而得到角A ，再把2b ac =和A 的值代入正弦定理，即可求解sin b Bc的值． 试题解析：∵a、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac. 又∵a 2－c 2＝ac －bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc.在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝＝＝，∴∠A＝60°.在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝，∵b 2＝ac ，∠A＝60°， ∴＝＝sin 60°＝.19.解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. 【答案】见解析 【解析】 【分析】将不等式化为(ax －1)(x －1)<0，再对a 的取值范围讨论，分类解不等式. 【详解】原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0 当a ＝0时，原不等式解为x >1.当a <0时，不等式可化为1()(1)0x x a-->， ∵11a<，∴1x a <或x >1.当a >0时，原不等式可化为1()(1)0x x a--< 若11a <，即a >1，则11x a<<； 若11a=，即a ＝1，则x ∈∅； 若11a >，即0<a <1，则11x a <<. 综上所述，当a <0时，原不等式的解集为1{|x x a <或1}x >； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，原不等式的解集为1{|1}x x a<<；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为1{|1}x x a <<. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，解题的关键是对参数的范围讨论，分类解不等式，属于中档题.20.设函数()|1||21|f x x x =-+-.（1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）若x R ∀∈，不等式()||f x a x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|0x x ≤或4}3x ≥（2）1a ≤【解析】【分析】（1）根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，求其并集得结果； （2）先讨论x 为零的情况，再对x 不为零的情况分离变量，利用绝对值三角不等式求最小值，解得结果.【详解】（1）1()21212x f x x x ≥⎧≥∴⎨-+-≥⎩ 或1121212x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≥⎩或121122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≥⎩143x x ≥⎧⎪∴⎨≥⎪⎩或1122x x ⎧<<⎪⎨⎪≥⎩或120x x ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，43x ∴≥ 或x ∈∅或0x ≤， 即解集为{|0x x ≤或4}3x ≥（2）|1|(|2)||||1|f x a x a x x x -+≥-≥⇔当0x =时，20a R ≥∴∈当0x ≠时，||11|1||21||1||2|a x x x a x x ≥⇔---+-≥+ 因为1111|1||2||(1)(2)|1x x x x-+----=≥，所以1a ≤ 综上，1a ≤【点睛】本题考查分类讨论法解含绝对值不等式、利用绝对值三角不等式求最值，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属中档题.21.已知不等式230x x t -+<的解集为{}1,x x m x R <<∈（1）求实数,t m 的值；（2）若函数()24f x x ax =-++在区间(],1-∞上递增，求关于x 的不等式()2log 320a mx x t -++-<的解集． 【答案】（1）22m t =⎧⎨=⎩；（2）130122x x x ⎧⎫<<<<⎨⎬⎩⎭或； 【解析】【分析】（1）根据不等式解集得对应方程230x x t -+=的根，根据韦达定理解得实数,t m 的值；（2）先根据二次函数单调性性质确定a 的范围，再根据对数函数单调性化简不等式，最后解一元二次不等式得结果.【详解】（1）由题意得1m ，为方程230x x t -+=的根，所以13212m m m t t +==⎧⎧∴⎨⎨⨯==⎩⎩， （2）因为函数()24f x x ax =-++在区间(],1-∞上递增，所以122a a ≥∴≥， 因此由()2log 320a mx x t -++-<得20321mx x t <-++-<,2 0231x x <-+<,301320112212x x x x x ⎧<<⎪⎪∴<<<<⎨⎪><⎪⎩或或,即130122x x x ⎧⎫<<<<⎨⎬⎩⎭或. 【点睛】本题考查一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系、对数函数单调性以及解二次不等式，考查基本分析转化求解能力.22.某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角105°的方向，以9海里/时的速度向某小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救，恰在小岛B 处追上渔船.（1）试问舰艇应按照怎样的航向前进？（2）求出舰艇靠近渔船所用的时间？(参考数据：133333cos 21.8,sin 21.8,tan 21.814==︒︒=︒) 【答案】（1）舰艇应按照北偏东66.8°的航向前进（2）舰艇靠近渔船所用的时间为23小时 【解析】【分析】 （1）设舰艇靠近渔船所用的时间为x 小时，则219AB x BC x ==，，根据渔船在方位角为45°，渔船正沿方位角105°的方向行驶，得到ACB ∠，利用正弦定理求得BAC ∠即可.（2）在ABC 中，结合（1）的结论，利用余弦定理求解即可.【详解】设舰艇靠近渔船所用的时间为x 小时，则219AB x BC x ==，，结合图形可知，275145∠=︒∠=︒，，则4575120ACB ∠=︒+︒=︒.（1）由正弦定理得，sin sin AB BC ACB BAC=∠∠，即219sin120sin x x BAC=︒∠，sin 14BAC ∴∠=， 218BAC ∴∠=︒．，21845668︒+︒=︒．．，∴舰艇应按照北偏东66.8°的航向前进.（2）在ABC 中，2222AB AC BC AC BC cos ACB =+-⋅⋅∠，即()()222211092109120x x x cos =+-⨯⨯⋅︒， 解得23x =或512x =-(不合题意，舍去)， ∴舰艇靠近渔船所用的时间为23小时. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
陕西省咸阳市实验中学2020-2021学年高二上学期第三次月考数学(理)试题
C．100D．99
8．若实数x、y满足 ，则 的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
9． 满足约束条件 ，若目标函数 最大值为12，则 的最小值为（）
A．1B．2C．4D．
10．在R上定义运算：x*y＝x(1－y).若不等式(x－a)*(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则（）
（2）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
21．已知不等式 的解集为
（1）求实数 的值；
（2）若函数 在区间 上递增，求关于 的不等式 的解集．
22．某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角105°的方向，以9海里/时的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救，恰在小岛B处追上渔船.
A．6B．7C．8D．9
5．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是 ，则b=（）
A．1+ B． C． D．2+
6．在 中，角 所对的边分 ．若 ，则 （）
A．- B． C．-1D．1
7．若数列{xn}满足lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N＋)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)的值为( )
当直线 过点 时，在 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，
又由 ，解得 ，
此时目标函数 取得最大值12，即 ，即 ，
则 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，
所以 的最小值为4.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了线性规划问题和基本不等式求解函数的最值问题，其中解答中准确画出不等式组所表示的平面区域，求得 的关系式是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.
陕西实验中学2019-2020年下学期高二理科数学第三次检测试题附答案
实验中学2019-2020年下学期第三次阶段检测试题高二数学（理科）试题命题人： 审阅人：注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，用2B 铅笔将答案涂在答题卡上。
第Ⅱ卷为非选择题，用0.5mm 黑色签字笔将答案答在答题纸上。
考试结束后，只收答题卡和答题纸。
2．答第Ⅰ、Ⅱ卷时，先将答题卡首和答题纸首有关项目填写清楚。
3．全卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数7413iz i-=+在复平面内所对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设E （X ）=10，E （Y ）=3，则E （3X +5Y ）=（ ） A ．45B ．40C ．30D ．153.6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人，每人1本，共有不同分法（ ）A ．CB ．AC ．AD ．AA4.由曲线y=，直线y=x ﹣2及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．B ．4C ．D ．65.下面是利用数学归纳法证明不等式22(1)n n +-<（2n ≥，且*n ∈N ）的部分过程： “……假设当n k =（2k ≥）时，22(1)k k +-<，故当1n k =+时，有______，因为=<______，故2(1)(1)k k +-<+，……”则横线处应该填（ ）A.2(1)k +-2k <+21k +B.22(1)k k +-<+21k +C.2(1)k +-2k <+22k +D.22(1)k k +-<+22k +6.()()3411x x --的展开式2x的系数是（ ）A ．﹣6B ．﹣3C ．0D ．37.盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．8.函数x x y ln =过点()1,0-的切线为（ ）A.1--=x y B.1-=x yC.12-=x yD.不存在9.小红和小明利用体育课时间进行投篮游戏，规定双方各投两次，进球次数多者获胜.已知小红投篮命中的概率为35，小明投篮命中的概率为12，且两人投篮相互独立，则小明获胜的概率为（ ） A.1225 B.25 C.825 D.62510.某大学推荐7名男生和5名女生参加某企业的暑期兼职，该企业欲在这12人中随机挑选3人从事产品的销售工作，记抽到的男生人数为X ，则()E X =（ ） A.2B.74C.94D.3211.已知函数)(x f x y '=的图象如图所示（其中 )(x f '是函数)(x f 的导函数），下面四个图象中)(x f y =的图象大致是 ( )12定义在R 上的函数()f x 满足()()2e xf x f x '-<（e 为自然对数的底数），其中()f x '为()f x 的导函数，若2(2)4f e =，则()e 2x f x x >的解集为（ ） A.(,1)-∞B.(1,)+∞C.(,2)-∞D.(2,)+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设z ∈C ，且（1﹣i ）z=2i （i 是虚数单位），则|z |= . 14.设当θ=x时，函数()x x x f cos 2sin -=取得最大值5，则=θcos ________.15.已知,0,0≥≥yx 且1=+y x ，则22yx +的取值范围 .16.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号）．①；②；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P （B ）的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中哪一个发生有关．三、解答题：（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17. (本小题满分10分)已知a ，b 均为实数，求证：().2222b a b a +≥+18.(本小题满分12分)先阅读下列不等式的证法：已知12,a a ∈R ，121a a =＋，求证：221212a a +≥. 证明：构造函数222221212()()()22()f x x a x a x x a a =-+-=-++． 因为对一切x ∈R ，恒有()0f x ≥，所以2212Δ48()0a a =-+≤，从而得221212a a +≥. 再解决以下2题：(Ⅰ)若1212,,1n n a a a R a a a ∈+++=，，，请写出上述结论的推广式；(Ⅱ)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．19.(本小题满分12分)数列{}n a 满足*153618,n n a a n n N ++=+∈，且14a =. （Ⅰ）写出{}n a 的前4项，并猜想其通项公式；（6分） （Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想.（6分）20.(本小题满分12分)某公司甲、乙、丙三位员工独立参加某项专业技能测试，根据平时经验，甲、乙、丙能达标的概率分别为，，；（Ⅰ）若甲、乙两位员工各自参加一次测试，各自测试达标与否互不影响，求甲、乙两位员工中恰好只有一人达标的概率；（6分）（Ⅱ）若三位员工各自参加一次测试，记达标的人数为X,求X 的分布列和数学期望.（6分）21.(本小题满分12分)设()42280128223x x a a x a x a x -+=+++⋅⋅⋅+.（Ⅰ）求0a 的值； （Ⅱ）求864aa a a +++的值.22.(本小题满分12分)已知函数()()0≠=a eaxx f x（e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若1=a 时，如果()t x f =有两个不等的实根21,xx ，求实数t的范围，并证明：.221>+x x高二数学（理）答案一．选择题：13.552-14. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,2116. ②④ 三．解答题：17.略 18.略 19.（1）,22,16,10,44321====a a a a 猜想：16-=n a n（2）证明略 20.解： （1）125()60121=X E 21.（12分）解：（1）160=a ；（2）104984=+⋅⋅⋅++a a a 22.（12分） 解：(1),0>a ()x f 在()1,∞-上递增，在()+∞,1上递减； ,0<a ()x f 在()1,∞-上递减，在()+∞,1上递增（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e t 1,0 欲证122x x +>，即证212x x >-，因为1201x x <<<，故122,(1,)x x -∈+∞，又因为()f x 在(1,)+∞上单调递减，故只需证21()(2)f x f x <-，又因为12()()f x f x =，故也即证11()(2)f x f x <-，构造函数()()(2),(0,1)H x f x f x x =--∈，则等价于证明()0H x <对(0,1)x ∈恒成立.由221()()(2)(1)0x x xH x f x f x e e--'''=+-=->，则()H x 在(0,1)x ∈上单调递增，所以()(1)0H x H <=，即已证明()0H x <对(0,1)x ∈恒成立，故原不等式122x x +>亦成立.。
2019-2020年高二上学期第三次月考数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二上学期第三次月考数学试卷（理科）含解析一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．过点（﹣1，3）且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x﹣y+5=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=02．双曲线﹣=1的焦点到其渐近线距离为（）A．1 B． C． D．23．下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．当a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减D．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件4．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（）A．﹣+B．﹣++C． D．5．下列命题中正确命题的个数是（）①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．A．1 B．2 C．3 D．46．P为抛物线y2=﹣4x上一点，A（0，1），则P到此抛物线的准线的距离与P 到点A的距离之和的最小值为（）A． B． C． D．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π+B．4π+C．4π+4 D．2π+48．已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25，圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为（）A． B． C． D．9．正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SB的中点，且SO=OD，则直线BC与AP所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．10．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A． B． C． D．11．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球．设AP=x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f（x），则函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．12．已知点P为椭圆+=1上的动点，EF为圆N：x2+（y﹣1）2=1的任一直径，求最大值和最小值是（）A．16，12﹣4 B．17，13﹣4 C．19，12﹣4 D．20，13﹣4二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）13．长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为．14．直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=．15．已知正四面体ABCD，则直线BC与平面ACD所成角的正弦值为．16．圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|﹣|PT|=．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知命题p：“+=1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，命题q：∃x1∈R，8x12﹣8mx1+7m﹣6=0．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．18．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=，OA ⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（1）证明：直线MN∥平面OCD．（2）求三棱锥N﹣CDM的体积．19．已知抛物线x2=4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|=2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB 面积的最大值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．21．如图所示，在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角．（1）证明：BE⊥CD′；（2）求二面角D′﹣BC﹣E的余弦值．22．已知椭圆G的中心是原点O，对称轴是坐标轴，抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）已知圆M的方程是x2+y2=R2（1＜R＜2），设直线l与圆M和椭圆G都相切，且切点分别为A，B．求当R为何值时，|AB|取得最大值？并求出最大值．xx重庆市杨家坪中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．过点（﹣1，3）且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x﹣y+5=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=0【考点】待定系数法求直线方程．【分析】过点（m，n）且与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为B（x﹣m）﹣A （y﹣n）=0，代入可得答案．【解答】解：过点（﹣1，3）且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为（x+1）﹣2（y﹣3）=0，即x﹣2y+7=0，故选：A．2．双曲线﹣=1的焦点到其渐近线距离为（）A．1 B． C． D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程求出焦点坐标及一条渐近线方程，在由点到直线的距离公式求得答案．【解答】解：由双曲线﹣=1，得a2=2，b2=3，c2=a2+b2=5，∴双曲线的右焦点F（，0），一条渐近线方程为y=x=x，即2y﹣x=0．由点到直线的距离公式得，焦点到其渐近线的距离d==．故选C．3．下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．当a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减D．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件【考点】特称命题．【分析】A根据复合命题的真假性，即可判断命题是否正确；B根据特称命题的否定是全称命，写出它的全称命题即可；C根据幂函数的图象与性质即可得出正确的结论；D说明充分性与必要性是否成立即可．【解答】解：对于A，当“p且q”为假时，p、q至少有一个是假命题，是正确的；对于B，命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，是正确的；对于C，a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上是减函数，命题正确；对于D，φ=时，y=sin（2x+φ）=cos2x是偶函数，充分性成立，y=sin（2x+φ）为偶函数时，φ=kπ+，k∈Z，必要性不成立；∴是充分不必要条件，命题错误．故选：D．4．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（）A．﹣+B．﹣++C． D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】由题意结合图形，直接利用，求出，然后即可解答．【解答】解：因为空间四边形OABC如图，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，所以=．所以=．故选B．5．下列命题中正确命题的个数是（）①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面的基本性质及推论．【分析】为了对各个选项进行甄别，不必每个选项分别构造一个图形，只须考查正方体中的线面即可．【解答】解：考察正方体中互相垂直的线和平面．对于①：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知平面垂直；如图中平面A1D和平面A1B与平面AC垂直；故错；对于②：过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；这是正确的，如图中，已知平面A1D和平面A1B与平面AC垂直；故正确；对于③：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；如图中：过C1的与A1B1与AD都平行的平面就不存在；故错；对于④：过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直是正确的．故选B．6．P为抛物线y2=﹣4x上一点，A（0，1），则P到此抛物线的准线的距离与P 到点A的距离之和的最小值为（）A． B． C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】通过抛物线方程可知焦点F（﹣1，0），利用两点间距离公式可知|AF|=，通过抛物线定义可知点P到准线的距离d与|PF|相等，P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值．【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣4x，∴焦点F（﹣1，0），又∵A（0，1），∴|AF|==，由抛物线定义可知点P到准线的距离d与|PF|相等，∴d+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|=，故选：D．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π+B．4π+C．4π+4 D．2π+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，几何体的直观图是三棱锥与圆柱的的组合体，三棱锥的底面是直角边长为2的等腰三角形，高为2，圆柱的底面半径是2，高为2，即可求出几何体的体积．【解答】解：由题意，几何体的直观图是三棱锥与圆柱的的组合体，三棱锥的底面是直角边长为2的等腰三角形，高为2，圆柱的底面半径是2，高为2，所以体积为+=2π+，故选：A．8．已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25，圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°，根据几何概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l与一点，∵圆心到直线的距离是=5，∴在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60°根据几何概型的概率公式得到P==故选A．9．正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SB的中点，且SO=OD，则直线BC与AP所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出直线BC与AP所成的角的余弦值．【解答】如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．设OD=SO=OA=OB=OC=a，则A（a，0，0），B（0，a，0），S（0，0，a），C（﹣a，0，0），P（0，，）．则=（﹣a，﹣a，0），=（﹣a，，），C=（a，a，0）．设直线BC与AP所成的角为θ，则cosθ===．∴直线BC与AP所成的角的余弦值为．故选：C．10．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求出A的对称点的坐标，然后求解椭圆长轴长的最小值，然后求解离心率即可．【解答】解：A（﹣1，0）关于直线l：y=x+3的对称点为A′（﹣3，2），连接A′B 交直线l于点P，则椭圆C的长轴长的最小值为|A′B|=2，所以椭圆C的离心率的最大值为：==．故选：A．11．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球．设AP=x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f（x），则函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【考点】棱柱的结构特征；函数的图象与图象变化．【分析】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：①当x=1；②当x=；③当x=．其中①③两种情形所得弧长相等且为函数f（x）的最大值，根据图形的相似，②中弧长为①中弧长的一半．对照选项，即可得出答案．【解答】解：如图，球面与正方体的表面都相交，根据选项的特点，我们考虑三个特殊情形：①当x=1；②当x=；③当x=．①当x=1时，以A为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的红色的弧线，其弧长为：3××2π×1=，且为函数f（x）的最大值；②当x=时，以A为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的兰色的弧线，根据图形的相似，其弧长为①中弧长的一半；③当x=．以A为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的粉红色的弧线，其弧长为：3××2π×1=，且为函数f（x）的最大值；对照选项，B正确．故选B．12．已知点P为椭圆+=1上的动点，EF为圆N：x2+（y﹣1）2=1的任一直径，求最大值和最小值是（）A．16，12﹣4 B．17，13﹣4 C．19，12﹣4 D．20，13﹣4【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，得|NE|=|NF|=1且，由此化简得=﹣1，根据椭圆方程与两点的距离公式，求出当P的纵坐标为﹣3时，取得最大值20，由此即得=﹣1的最大值，当P的纵坐标为时，取得最小值，由此即得=﹣1的最小值．【解答】解：∵EF为圆N的直径，∴|NE|=|NF|=1，且，则=（+）•（+）=（+）•（）==﹣1，设P（x0，y0），则有即x02=16﹣y02又N（0，1），∴=，而y0∈[﹣2，2]，∴当y0=﹣3时，取得最大值20，则=﹣1=20﹣1=19，当y0=时，取得最小值，则=﹣1=﹣1=．∴最大值和最小值是：19，．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）13．长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为50π．【考点】球内接多面体．【分析】设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线的长，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．R2=50π．∴S球=4π×故答案为：50π．14．直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=﹣7．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据两直线平行的条件可知，（3+a）（5+a）﹣4×2=0，且5﹣3a≠8．进而可求出a的值．【解答】解：直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则（3+a）（5+a）﹣4×2=0，即a2+8a+7=0．解得，a=﹣1或a=﹣7．又∵5﹣3a≠8，∴a≠﹣1．∴a=﹣7．故答案为：﹣7．15．已知正四面体ABCD，则直线BC与平面ACD所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】取AD中点E，连结CE，过B作BO⊥CE，交CE于点O，则∠BCO就是线BC与平面ACD所成角，由此能求出结果．【解答】解：如图，取AD中点E，连结CE，过B作BO⊥CE，交CE于点O，则∠BCO就是线BC与平面ACD所成角，设正四面体ABCD的棱长为2，则CO===，∴cos∠BCO==，∴sin∠BCO==．故答案为：．16．圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|﹣|PT|=2﹣3．【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程，求得c=，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，可知|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，并结合双曲线的定义可得|PO|﹣|PT|=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3．【解答】解：设双曲线的右焦点为F′，则PO是△PFF′的中位线，∴|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，根据双曲线的方程得：a=3，b=2，c=，∴|OF|=，∵MF是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，∴Rt△OTF中，|FT|==2，∴|PO|﹣|PT|=|PF′|﹣（|MF|﹣|FT|）=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3，故答案为：2﹣3．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知命题p：“+=1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，命题q：∃x1∈R，8x12﹣8mx1+7m﹣6=0．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，进而可得实数m的取值范围．【解答】解：如果p为真命题，则有，即1＜m＜2；若果q为真命题，则64m2﹣32（7m﹣6）≥0，解得m≤或m≥2．因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，若p真q假，则＜m＜2，若p假q真，则m≤1或m≥2．所以实数m的取值范围为（∞，1]∪（，+∞）．18．如图，在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC=，OA ⊥底面ABCD ，OA=2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．（1）证明：直线MN ∥平面OCD ．（2）求三棱锥N ﹣CDM 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AD 中点E ，连结ME ，NE ，推导出平面MNE ∥平面CDO ，由此能证明直线MN ∥平面OCD ．（2）三棱锥N ﹣CDM 的体积V N ﹣CDM =V M ﹣CDN ，由此能求出结果．【解答】证明：（1）取AD 中点E ，连结ME ，NE ，∵M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，∴ME ∥OD ，NE ∥CD ，∵ME ∩NE=E ，OD ∩CD=D ，ME ，NE ⊂平面MNE ，OD ，CD ⊂平面CDO ， ∴平面MNE ∥平面CDO ，∵MN ⊂平面MNE ，∴直线MN ∥平面OCD ．解：（2）∵OA ⊥底面ABCD ，OA=2，M 为OA 的中点，∴AM ⊥平面CDN ，且AM=1，∵底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC=，∴=，∴三棱锥N ﹣CDM 的体积V N ﹣CDM =V M ﹣CDN ===．19．已知抛物线x2=4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|=2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB 面积的最大值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）当|PF|=2时，利用抛物线的定义，即可求点P的坐标；（2）先求出|AB|，再计算抛物线上点到直线的最大距离，即可求出△PAB的面积的最大值．【解答】解：（1）设P（x，y），则y+1=2，∴y=1，∴x=±2，∴P（±2，1）；（2）过F的直线方程为y=x+1，代入抛物线方程，可得y2﹣6y+1=0，可得A（2﹣2，3﹣2），B（2+2，3+2），∴|AB|=•|2+2﹣2+2|=8．平行于直线l：x﹣y+1=0的直线设为x﹣y+c=0，与抛物线C：x2=4y联立，可得x2﹣4x﹣4c=0，∴△=16+16c=0，∴c=﹣1，两条平行线间的距离为=，∴△PAB的面积的最大值为=4．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（1）分类讨论，利用待定系数法给出切线方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；（2）可先利用PM（PM可用P点到圆心的距离与半径来表示）=PO，求出P点的轨迹（求出后是一条直线），然后再将求PM的最小值转化为求直线上的点到原点的距离PO之最小值．【解答】解：（1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y=kx，由直线与圆相切得=，即k=2±，从而切线方程为y=（2±）x．…②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x+y﹣a=0，由直线与圆相切得x+y+1=0，或x+y﹣3=0．∴所求切线的方程为y=（2±）xx+y+1=0或x+y﹣3=0．…（2）由|PO|=|PM|得，x12+y12=（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2⇒2x1﹣4y1+3=0..…即点P在直线l：2x﹣4y+3=0上，|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x+y=0．…解方程组得P点坐标为（﹣，）．…21．如图所示，在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角．（1）证明：BE⊥CD′；（2）求二面角D′﹣BC﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知得BE⊥EC．从而BE⊥面D'EC，由此能证明BE⊥CD'．（2）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC垂足为F，则∠D'FM是二面角D'﹣BC﹣E的平面角．由此能求出二面角D'﹣BC﹣E的余弦值．法二：分别以EB，EC所在的直线为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z 轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角D'﹣BC﹣E的余弦值．【解答】证明：（1）∵AD=2，AB=1，E是AD的中点，∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∵AB=AE=DE=CD，∠BAE=∠CDE=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥EC．又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC，∴BE⊥面D'EC，又CD'⊂面D'EC，∴BE⊥CD'．…解：（2）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC垂足为F，连接D'M，D'F，则D'M⊥EC，∵平面D'EC⊥平面BEC，∴D'M⊥平面BEC，∴D'M⊥BC，∴BC⊥平面D′MF，∴D'F⊥BC，∴∠D'FM是二面角D'﹣BC﹣E的平面角．在Rt△D'MF中，D'M=，，∴，∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值为．…法二：分别以EB，EC所在的直线为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z 轴，建立如图空间直角坐标系．则，，，．设平面BEC的法向量为，平面D'BC的法向量为，则，取x2=1，得=（1，1，1），cos＜＞==，∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值为．…22．已知椭圆G的中心是原点O，对称轴是坐标轴，抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）已知圆M的方程是x2+y2=R2（1＜R＜2），设直线l与圆M和椭圆G都相切，且切点分别为A，B．求当R为何值时，|AB|取得最大值？并求出最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）依题意可设椭圆G的方程，利用抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率，求得几何量，即可求椭圆G的方程；（II）直线方程与椭圆方程联立，利用直线与圆、椭圆相切，确定参数之间的关系，表示出|AB|，利用基本不等式，可求|AB|最大值．【解答】解：（I）依题意可设椭圆G的方程为，则因为抛物线的焦点坐标为，所以，又因为，所以，所以，故椭圆G的方程为．…（II）由题意知直线l的斜率存在，所以可设直线l：y=kx+m，即kx﹣y+m=0∵直线l和圆M相切，∴，即m2=R2（k2+1）①联立方程组消去y整理可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∵直线l和椭圆G相切，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=0，即m2=4k2+1②由①②可得设点B的坐标为（x0，y0），则有，，所以，所以等号仅当，即取得故当时，|AB|取得最大值，最大值为1．…xx2月7日。
实验中学高二数学上学期第三次月考试题文
陕西省咸阳市实验中学2020—2021学年高二数学上学期第三次月考试题 文一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.sin 600=（ )A ．12B 。
32 C ．12- D ．32-2。
2020是等差数列2,4,6,8,⋅⋅⋅的( )A ．第1008项B ．第1009项C ．第1010项D ．第1011项3.在ABC∆中，若222sin sin sin A B C=+,则A ∠=（ ）A ．B ．C ．D ．4.原命题是“若0,a =则ab =”,则它的否命题是（ )A ．若0,ab =则0a =B ．若0,a ≠则0ab ≠C ．若0,a ≠则0b ≠D ．若0,ab ≠则0a ≠ 5.:P 向量=0α或β=，:q 0αβ⋅=,则P是q的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6。
当2m <时，方程22152x y m m+=--表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴的椭圆;B ．焦点在y 轴的椭圆;C ．双曲线；D ．圆。
7.“存在实数x,使得210x x +-=”的否定是( ）A ．对任意的实数x ，使得210x x +-=;B. 对任意的实数x ,使得210x x +-≠;C ．存在的实数x ,使得210xx +-≠；D ．不存在的实数x ,使得210x x +-=. 8.“2a b c+>”的一个充分条件是( )A ．a c >或bc > B ．a c >且b c < C ．a c >且b c > D ．a c >或b c < 9.抛物线2y x=的焦点坐标是（ ）A ．(1,0)B ．1(,0)2C ．1(,0)4D ．1(,0)810.将实轴长等于虚轴长的双曲线叫等轴双曲线。
等轴双曲线离心率等于 ( )A ．B ．2C ．D11.圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切,则p =（ )A ．1B ．2C ．12D ．412.“,,a b c 成等比数列"的一个必要条件是:①。
实验中学高二数学上学期第三次月考试题理含解析
所以 ,
所以 ,故选A．
8。若实数x、y满足 ，则 的取值范围是 （ ）
A。 B。 C. D。
【答案】A
【解析】
由 满足的约束条件画出可行域,如图:
目标函数 表示区域内的动点 与定点 连线的斜率
由图可知 是 最小值，故 的取值范围是
故答案选
点睛：线性规划转化为几何意义, 转化为可行域内的点到点 连线的斜率，先画出可行域，然后计算出斜率范围．
∴∠A＝60°.
在△ABC中,由正弦定理得sin B＝ ，
∵b2＝ac,∠A＝60°，
∴ ＝ ＝sin 60°＝ .
19。解关于x的不等式ax2－（a＋1)x＋1〈0。
【答案】见解析
【解析】
【分析】
将不等式化为(ax－1)（x－1）<0，再对 的取值范围讨论，分类解不等式.
【详解】原不等式可化为（ax－1）（x－1）<0
16。设 为正数， ，则 的最大值是___________
【答案】
【解析】
【分析】
根据柯西不等式直接求最值.
【详解】
当且仅当 时取等号
,即 的最大值是
故答案为：
【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
三、解答题(本大题共6小题，共70分.)
17.已知等差数列{an｝中，a1=1，a3=﹣3．
(II）由（I）可知an=3﹣2n，
所以Sn= =2n﹣n2，
进而由Sk=﹣35，可得2k﹣k2=﹣35，
即k2﹣2k﹣35=0，解得k=7或k=﹣5，
又k∈N+,故k=7为所求．
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．
陕西省咸阳市实验中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学(理)试题
数学试题(理)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．在等差数列{a n}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于( ) A．45 B．75 C．180 D．3002．在△ABC中，若b＝2a sin B，则角A为( )A．30°或60° B．45°或60°C．120°或60° D．30°或150°3．a∈R，且a2＋a＜0，那么－a，－a3，a2的大小关系是( )A．a2＞－a3＞－a B．－a＞a2＞－a3C．－a3＞a2＞－a D．a2＞－a＞－a34．设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于( )A．6 B．7 C．8 D．95．△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为32，那么b＝( )A.1＋32B．1＋ 3 C.2＋32D．2＋ 36．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a cos A＝b sin B，则sin A cos A＋cos2B＝( )A．－12B.12C．－1 D．17．若数列{x n}满足lg x n＋1＝1＋lg x n(n∈N＋)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)的值为( )A．102 B．101 C．100 D．998．实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围为( ) A ．[－1，13] B ．[－12，13] C ．[－12，＋∞) D．[－12，1)9．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，若目标函数z ＝4ax ＋3by (a >0，b >0)最大值为12，则1a ＋1b的最小值为( )A ．1B ．2C ．4 D.1210．在R 上定义运算*：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )*(x ＋a )＜1对任意实数x 均成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜1211．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是( )A ．0＜a ＜3 B.32≤a ＜3 C ．2＜a ≤3D ．1≤a ＜5212已知函数221(),()(),2x f x x g x m x=+=- 若[][]121,21,1∈∈-任意的x ，存在x 使得12x )()f f x ≥（，则实数m 的取值范围是( )A ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B.[)1,-+∞C ． [)4,-+∞D ．12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.14．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．15．设点P (x ，y )在函数y ＝4－2x 的图像上运动，则9x ＋3y 的最小值为________．16．设a,b,c 为正数，241a b c ++= 的最大值是 ___________ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc .求∠A 的大小及b sin Bc的值． 19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0. 20．(本小题满分12分设函数()|1||21|f x x x =-+-(1)求不等式()2f x ≥ 的解集；(2)若x R ∀∈ ，不等式()||f x a x ≥ 恒成立，求实数a 的取值范围 21．(本小题满分12分)已知不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m ，x ∈R }．(1)求t ，m 的值；(2)若函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4在区间(－∞，1]上递增，求关于x 的不等式log a (－mx 2＋3x ＋2－t )＜0的解集．22．(本小题满分12分)某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角105°的方向，以9海里/时的速度向某小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救，恰在小岛B 处追上渔船． (1)试问舰艇应按照怎样的航向前进？ (2)求出舰艇靠近渔船所用的时间？(参考数据：cos21.8°＝1314，sin21.8°＝3314，tan21.8°＝3313)数学（理）答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C DBABDADCCBA填空题13. 2 3 14. 110 15.18 16.10217. 解析： (1) a n ＝＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2.由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.18. 解析： ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又∵a 2－c 2＝ac －bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa， ∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin 60°ca ＝sin 60°＝32.19. 当a ＜0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞1；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}； 当0＜a ＜1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ；当a ＝1时，解集为∅； 当a ＞1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜120.(1)4|0,3x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 (2)1a ≤ 21.解析： (1)∵不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m ，x ∈R }，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝3m ＝t 得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2t ＝2.(2)∵f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋4＋a 24在(－∞，1]上递增，∴a2≥1，a ≥2.又log a (－mx 2＋3x ＋2－t )＝log a (－2x 2＋3x )＜0， 由a ≥2，可知0＜－2x 2＋3x ＜1， 由2x 2－3x ＜0，得0＜x ＜32，由2x 2－3x ＋1＞0得x ＜12或x ＞1.所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜12或1＜x ＜32.22. 解析：解：设舰艇靠近渔船所用的时间为x 小时，则AB ＝21x ，BC ＝9x ，结合图形可知，∠2＝75°，∠1＝45°，则∠ACB ＝45°＋75°＝120°.(1)由正弦定理得，AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC，即21x sin120°＝9x sin ∠BAC， ∴sin ∠BAC ＝3314，∴∠BAC ＝21.8°，21.8°＋45°＝66.8°， ∴舰艇应按照北偏东66.8°的航向前进． (2)在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ，即(21x )2＝102＋(9x )2－2×10×9x ·cos120°，解得x ＝23或x ＝－512(不合题意，舍去)，∴舰艇靠近渔船所用的时间为23小时．。
高二数学第三次月考卷02(人教A版选修1~4章)-24-25学年高中上学期第三次月考(考试版A4)
2023-2024学年高二数学上学期第三次月考卷02（人教A 版2019）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A 版2019选择性必修第一册全部内容+选择性必修第二册第四章数列（第一章 空间向量与立体几何21%+第二章 直线和圆的方程21%+第三章 圆锥曲线的方程26%+第四章 数列32%）。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．等差数列{}()*n a n ÎN 中，274110,2a a a a =-=，则7a =（ ）A ．40B ．30C ．20D ．102．经过点()()3,2,4,4A B -的直线在y 轴上的截距是（ ）A ．207B ．207-C ．10D ．-23．已知抛物线C ：2y mx =过点(，则抛物线C 的准线方程为（ ）A ．58x =B ．58x =-C ．38y =D ．38y =-4．设,R x y Î，向量(,1,1)a x =-r ，(1,,1)b y =r ，(2,4,2)c =-r ，且a c ^r r ，//b c r r ，则×=r r a b （ ）A ．B ．0C ．1D ．25．已知点P 是圆 22:4210C x y x y +--+=上一点，点(1,5)Q -，则线段PQ 长度的最大值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．96．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若51012,48S S ==，则20S =（ ）A ．324B ．420C ．480D ．7687．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若存在空间一点P ，满足1312433DP DA DC DD =+-u uuu r uuu r u uu r uuu r ，则点P 到直线BC 的距离为（ ）A ．56B C D 8．已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为F ，过焦点F 作圆222x y b +=的一条切线l 交椭圆E 的一个交点为A ，切点为Q ，且2OA OF OQ +=uuu r uuu r uuu r （O 为坐标原点），则椭圆E 的离心率为（ ）A B C D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且67789,a a S S S >=>，则下列结论正确的是（ ）A ．80a =B ．0d >C ．7S 与8S 均为n S 的最大值D ．8S 为n S 的最小值10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，直线y kx =与双曲线交于,A B 两点（点A 在第一象限），且12F AF Ð=，若223BF AF =，则下列结论正确的是（ ）A B ．双曲线的渐近线方程为23y x =±C ．23a b=D ．若点P 是双曲线上异于,A B 的任意一点，则94PA PB k k ×=11．如图，已知正六棱柱ABCDEF A B C D E F ¢¢¢¢¢¢-的底面边长为2，所有顶点均在球O 的球面上，则下列说法错误的是（ ）A ．直线DE ¢与直线AF ¢异面B ．若M 是侧棱CC ¢上的动点，则AM MD ¢+C ．直线AF ¢与平面DFE ¢D ．球O 的表面积为18π第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中12题第一空2分，第二空3分。
2021-2022学年陕西省咸阳市实验中学高二上学期第三次月考数学(理)试题(解析版)
2021-2022学年陕西省咸阳市实验中学高二上学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1．不等式12x ->的解集为（ ） A ．()(),13,-∞-+∞ B ．()1,3- C ．()1,-+∞ D ．()3,+∞【答案】A【分析】由12x ->，可得12x ->或12x -<-，计算即可. 【详解】12x ->，∴12x ->或12x -<-， ∴3x >或1x <-，即解集为()(),13,-∞-+∞.故选：A2．下列结论中不正确的个数是（ ） ①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题； ②命题“R x ∀∈，210x ”是全称命题；③若命题p ：R x ∃∈，2210x x ++≤，则p ⌝：R x ∀∈，2210x x ++≤. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据全称命题以及特称命题的概念可判断①、②的正误；根据含有一个量词的命题的否定，可判断③的正误，可得答案.【详解】①命题“所有的四边形都是矩形”是全称命题，故①不正确； ②命题“R x ∀∈，210x ”是全称命题，正确；③若命题p ：R x ∃∈，2210x x ++≤，则p ⌝：R x ∀∈，2210x x ++>，故③不正确， 故选：C.3．若0a b <<，则下列不等式中成立的是（ ）A ．11a b -<-BC ．22a b >D ．11a b> 【答案】D【分析】根据不等式的性质可判断AB ，作差可判断CD.﹒【详解】对于A ，因为0a b <<，所以a b ->-，所以11a b ->-，故错误； 对于B ，因为0a b <<，所以0对于C ，因为0a b <<，所以0,0-<+>a b a b 所以()()220a b a b a b -=-+<，即22a b <，故错误；对于D ，因为0a b <<，所以0b a ->，所以110b a a b ab--=>，所以11a b >，故正确. 故选：D.4．若平面α与β的法向量分别是()2,4,3a =-，()1,2,2b =-，则平面α与β的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．无法确定【答案】B【分析】根据所给向量可知其数量积为零，故知两向量垂直.【详解】因为2,4,3)(1,2,2)0a b ⋅=-⋅-=（，所以a b ⊥，所以两平面垂直. 【点睛】本题主要考查了平面的法向量，向量的数量积，利用法向量判断平面的位置关系，属于中档题.5．若平面α的一个法向量为()1,2,2n →=，点()3,0,2A ，()5,1,3B ，A α，B α∈，A 到平面α的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】求出AB →，点A 到平面α的距离：AB nnd →→→⋅=，由此能求出结果【详解】解：()3,0,2A ，()5,1,3B ，A α，B α∈，∴AB 为平面α的一条斜线，且(2,1,1)AB →=∴ 点A 到平面α的距离：236AB d nn→→→⋅==== 故选：B.6．如图，在三棱锥-P ABC 中，点N 为棱AP 的中点，点M 在棱BC 上，且满足2CM BM =，设PA a =，PB b =，PC c =，则MN =（ ）A ．121233a b c -+-B ．121233a b c +-C ．121233a b c --D ．121233a b c --+【答案】C【分析】利用空间向量基本定理可得答案.【详解】因为点N 为棱AP 的中点，2CM BM =，所以2132=++=-+MN MC CP PN BC PC PA 221121332332=--+=--+PC PB PC PA PC PB PA 121233=--a b c . 故选：C.7．设α、β是两个不同的平面，则αβ⊥的充要条件是（ ）. A ．平面α内任意一条直线与平面β垂直 B ．平面α、β都垂直于同一条直线 C ．平面α、β都垂直于同一平面 D ．平面α内存在一条直线与平面β垂直 【答案】D【解析】当两个平面垂直时，一个平面内的一条直线可以与另一个平面成任意角，可判断A 项不正确；垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可判断B 项不正确；垂直于同一个平面的两个平面可以成任意角，可判断C 项错误；利用面面垂直的判定定理可以得到D 项正确；从而得到答案 【详解】若αβ⊥，则平面α内存在直线与平面β不垂直，选项A 不正确； 若平面α、β都垂直于同一条直线，则平面α与β平行，选项B 不正确；若平面α、β都垂直于同一平面，则平面α、β可以平行，也可以相交，选项C 不正确； 若平面α内存在一条直线与平面β垂直，则根据面面垂直的判定定理，可知αβ⊥， 若αβ⊥，则由面面垂直的性质定理知，平面α内垂直于平面β内的两条相交直线的直线一定垂直于平面β，故选项D 正确； 故选：D .【点睛】关键点点睛：该题考查的是有面面垂直的相关条件及结论，在做题的过程中，要注意： （1）要建立很强的空间立体感；（2）对空间关系对应的相关结论要非常熟悉； （3）可以随手制造模型.8．下列命题中正确的个数是（ ）．①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线． ②向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面．③如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对于空间任意一个向量p ，存在有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++．④若a ，b 是两个不共线的向量，而c a b λμ=+（,λμ∈R 且0λμ≠），则{},,a b c 是空间向量的一组基底． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【分析】举例0b =，判断①，由向量共面的定义判断②，由空间向量基本定理判断③，由共面向量定理和空间向量基本定理判断④．【详解】①当0b =时，a 与c 不一定共线，故①错误；②当a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内， 故②错误；由空间向量基本定理知③正确；④当a ，b 不共线且c a b λμ=+时，a ，b ，c 共面，故④错误． 故选：B ．9．李先生的私家车基本上每月需要去加油站加油两次，假定每月去加油时两次的油价略有差异.有以下两种加油方案：方案一：不考虑两次油价的升降，每次都加油200元； 方案二：不考虑两次油价的升降，每次都加油30升. 李先生下个月采用哪种方案比较经济划算?（ ） A ．方案一 B ．方案二 C ．一样划算 D ．不能确定【答案】A【分析】设第一次油价为a ，第二次油价为b ，计算两种方案的平均油价，作差比较得到答案. 【详解】设第一次油价为a ，第二次油价为b ，ab ，,0a b >，方案一的平均油价为：4002200200aba b a b=++；方案二的平均油价为：3030602a b a b++=. 则()()()()22420222ab a b a b ab a b a b a b a b -+--+-==<+++，故22ab a b a b +<+. 故选：A.10．已知命题p ：若//a b （0a ≠，0b ≠），则a a bb =，命题q ：函数2sin sin y x x =+，π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，最大值为3-，下列是真命题的为（ ） A ．()p q ⌝∧ B ．p q ∧ C ．()p q ∨⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】A【分析】根据向量平行的性质判断p 的真假，由正弦函数及对勾函数的性质判断q 的真假，进而判断各选项中复合命题的真假即可. 【详解】当a 与b 方向相反时，a a bb =不成立，p 为假命题．令[)sin 1,0t x =∈-，则2y t t =+在[)1,0t ∈-上单调递减，max 3y ∴=-，q 为真命题．综上，()p q ⌝∧为真，p q ∧为假，()p q ∨⌝为假，()()p q ⌝∧⌝为假. 故选：A11．已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3|x x ≤-或4}x ≥，则下列说法中正确的是（ ） A ．a<0B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为{1|4x x <-或1}3x >D ．0a b c ++> 【答案】C【分析】根据关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3|x x ≤-或4}x ≥可判断0a >，判断A;由此可得3,4-是20ax bx c ++=的两根，推得,12b a c a =-=-，即可求解0bx c +>以及20cx bx a -+<的解集，判断B,C ;结合题意将1x =代入2ax bx c ++，可退的结果为负，判断D. 【详解】由于关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3|x x ≤-或4}x ≥， 故0a >，A 错误；由以上分析可知，3,4-是20ax bx c ++=的两根，则34,34b ca a -+=--⨯=，即,12b a c a =-=- ，故0bx c +>即120ax a -->，则12x <-，B 错误； 不等式20cx bx a -+<即22120,1210a ax x a x x -+<-∴->+，则14x <-或13x >，即不等式20cx bx a -+<的解集为{1|4x x <-或1}3x >，C 正确；由于关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3|x x ≤-或4}x ≥，故20ax bx c ++<的解集为{|34}x x -<<，所以1x =时，2110a b c ⨯+⨯+<， 即0a b c ++<，故D 错误， 故选：C.12．已知四边形ABCD 为正方形GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接EF ，FB ，BE ，H 为BF 的中点，有下述四个结论： ①DE ⊥BF ；②EF 与CH 所成角为3π；③EC ⊥平面DBF ；④BF 与平面ACFE 所成角为4π． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．①②③ C ．①③④ D ．①②③④【答案】B【分析】根据题意，将几何体补形成一个正方体,进而建立空间直角坐标系，通过空间向量的坐标运算得到答案.【详解】由题意得，所得几何体可以补形成一个正方体，如图所示．以D 为坐标原点，DA ，DC ，DG 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设AD ＝DC ＝DG ＝2，则D (0，0，0)，C (0，2，0)，E (2，0，2)， F (0，2，2)，B (2，2，0)，H (1，2，1)．对①，()()2,0,2,2,0,2DE BF →→==-，所以()()2,0,22,0,24040DE BF →→⋅=⋅-=-++=， 则DE BF DE BF →→⊥⇒⊥，正确；对②，()()2,2,0,1,0,1BF CH →→=-=，设,CH BF 所成角为,(0,]2πθθ∈，所以1cos |cos ,|||23||||BF CH BF CH BF CH πθθ→→→→→→⋅=<>==⇒=，正确； 对③，()()()2,2,2,2,2,0,0,2,2EC DB DF →→→=--==，设(),,n x y z →=是平面DBF 的一个法向量，所以220220n DB x y n DF y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令x =1，则()1,1,1n →=-，所以2//EC n EC n →→→→=-⇒，则EC ⊥平面DBF ，正确； 对④，由题意，EA ⊥平面ABCD ，则EA ⊥DB ，易得：DB ⊥AC ，EA 与AC 交于A ，则DB ⊥平面ACFE ，则()2,2,0DB →=是平面ACFE 的一个法向量，设BF 与平面ACFE 所成的角为,0,2παα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin |cos ,|||26||||DB BF DB BF DB BF παα→→→→→→⋅=<>==⇒=，错误. 故选：B.二、填空题 13．若1x >，则11x x +-的最小值为______． 【答案】3【分析】运用基本不等式即可. 【详解】因为11(1)121311x x x x +=-++≥+=--， 当且仅当111x x -=-时，即2x =，等号成立， 所以11x x +-的最小值为3. 即答案为:3.14．已知数列{}n a 满足①1N ,k k k a a ∀*+∈>，②1N ,2k k k a a ∀*+∈-≤，请写出一个满足条件的数列的通项公式________．（答案不唯一）【答案】()*n a n n N =∈【分析】判断数列的特征，从等差数列或等比数列入手考虑解答.【详解】*1k k k N a a +∀∈>，，说明数列是递增数列；由*12k k k N a a +∀∈-<，，不妨设该数列为等差数列， 则公差为1，首项为1， 所以n a n =.故答案为：()*n a n n N =∈15．若关于x 的不等式13x x m ++-<有实数解，则实数m 的取值范围为___________. 【答案】(4,2)-【分析】由绝对值的性质求得1x x m ++-的最小值后可得结论． 【详解】由绝对值三角不等式得11++-≥+x x m m ， 所以13m +<，解得42m -<<， 故答案为：(4,2)-．16．已知数列{}n a 满足22log 1n n a n +⎛⎫= ⎪+⎝⎭．给出定义：使数列{}n a 的前k 项和为正整数的k ()*k ∈N 叫做“好数”，则在[]1,2021内的所有“好数”的和为______． 【答案】2026【分析】先计算出数列{}n a 的前k 项和，然后找到使其为正整数的k ()*k ∈N ，相加即可得到答案．【详解】由题，22212222log log log 11211n n S n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭222342log log log 231n n +⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭()()22222log log 2log 2log 212n n n +==+-=+-．所以，()2log 21k S k =+-．因为k S 为正整数，所以()2log 210k +->，即220k k +>⇒>． 令()2log 2m k =+，则22=-m k ．因为[]1,2021k ∈，所以[]23,2023m∈．因为2x y =为增函数，且12101122,24,,21024,22048====所以[]2,10m ∈．所以所有“好数”的和为210231022222222229202612-⨯-+-++-=-⨯=-．故答案为：2026．【点睛】本题考查了数列的新定义、对数运算法则，解题时应认真审题，找到规律，注意等比数列求前n 项和公式的灵活运用．三、解答题17．设函数()|23|||f x x x a =-+-. (1)若1a =-，解不等式()6f x ≥； (2)已知32a >，若3,2x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x ≤，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)48(][,)33-∞-⋃+∞(2)3522a <≤【分析】（1）分类讨论x ，求绝对值不等式的解集即可.（2）由题设可得()3f x x a =+-，结合()2f x ≤在3,2x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求a 的取值范围.【详解】（1）由题设，()|23||1|f x x x =-++， 当1x <-时，()32123f x x x x =---=-， 当312-≤<x 时，()3214f x x x x =-++=-， 当32x ≥时，()23132f x x x x =-++=-， ∴()6f x ≥，则1236x x <-⎧⎨-≥⎩得：43x ≤-；31246x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-≥⎩，无解；32326x x ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩得：83x ≥；综上，()6f x ≥的解集为48(][,)33-∞-⋃+∞.（2）由题设，3,2x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()233f x x x a x a =--+=+-，由()2f x ≤，∴32x a +-≤，即5a x ≤-恒成立， ∴5a a ≤-，则52a ≤，故3522a <≤. 18．已知命题p ：实数x 满足2280x x --≤，命题q ：实数x 满足22m x m -≤≤+. (1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；(2)若5m =，p q ∨为真命题，求实数x 的取值范围. 【答案】(1)[)4,+∞ (2)[]3,7-【分析】（1）通过解不等式化简命题p ，将p 是q 的充分不必要条件转化为[]2,4-是[]2,2m m -+的真子集，列出不等式组，求出m 的范围．（2）将复合命题的真假转化为构成其简单命题的真假，求出x 的范围即可. 【详解】（1）由2280x x --≤，得24x -≤≤， 若p 是q 的充分不必要条件，则[][]2,42,2m m --+，∴222422m m m m -≤-⎧⎪+≥⎨⎪-≤+⎩，解得4m ≥， ∴实数m 的取值范围是[)4,+∞；（2）当5m =时，命题q ：实数x 满足37x -≤≤， ∵p q ∨为真命题，∴24x -≤≤或37x -≤≤，即37x -≤≤， ∴实数x 的取值范围为[]3,7-.19．已知数列{}n a 满足132n n a a +=+，*n ∈N ，且11 a =. （1）求证数列{}1n a +是等比数列；（2）已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且312log 112n n a b +=-，求n S 的最小值. 【答案】（1）证明见解析（2）36-【解析】（1）根据等比数列定义,结合所给递推公式,证明111n n a a +++为常数即可.（2）由（1）可求得数列{}n a 的通项公式,代入表达式可得数列{}n b 的通项公式,结合通项公式即可判断n S 取得最小值时n 的值，进而求得结果. 【详解】（1）由11321311n n n n a a a a ++++==++,且112a += 则{}1n a +是以2为首项,3为公比的等比数列. （2）由（1）可知1123n n a -+=⨯.则1231n n a -=⨯-, 代入可得312log 112132n n a b n +=-=-, 由数列{}n b 的通项公式可知60b <,70b >,当n = 6时，n S 取得最小值，此时最小值为()1666=362b b S +=-. 20．在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＞c 2．现有以下四个条件： ①a ＝2，②b ＝3，③7cos 8A =，④11cos 16B =． (1)条件①、②成立的前提下，条件③和④能否同时成立?请说明理由；(2)请你从条件③和④中剔除一个，则同时满足余下三个条件的△ABC 是否存在?若存在，求c ；若不存在，说明理由．【答案】(1)③④不能同时成立(2)若剔除③，△ABC 不存在，若剔除④，ABC 是存在的，且54c =．【分析】（1）假设③④都成立，可得c 的值，但是不符合222a b c +>的条件；（2）分别讨论③④中有一个剔除的情况，然后对应求解即可．【详解】（1）③④不能同时成立，因为2a =，3b =，若③④成立，则在三角形中，可得sin A ==，sin B ==， 由正弦定理sin sin a b A B ===，此时117sin sin()sin cos cos sin 168C A B A B A B =+=+=+=， 由正弦定理sin sin a c A C == 解得4c =，22222231316a b c +=+=<=，所以③④不能同时成立；（2）若剔除③，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-， 即211942216c c =+-⨯⨯，整理可得：2411200c c --=，解得4c =，2221316a b c +=<=，所以不符合222a b c +>．若剔除④，则余弦定理22223cos a b c c A =+-⨯⨯⨯， 即2749238c c =+-⨯⨯⨯， 整理可得：2421200c c --=，解得54c =或4c =， 再由222a b c +>可得54c =． 综上所述，剔除④满足余下三个条件的ABC ∆是存在的，且可得54c =． 21．已知直三棱柱111ABC A B C 中，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且1AB AA =，D ，E ，F 分别为11,,B A C C BC 的中点.(1)求证：直线//DE 平面ABC ；(2)求直线1AB 与平面AEF 所成角的大小.【答案】(1)见解析(2)3π【分析】根据图形，建立空间直角坐标系（1）求出平面ABC 的一个法向量m ，只需证明DE m ⊥，再结合DE ⊄平面ABC ，即可证明//DE 平面ABC ；（2）求出平面AEF 的一个法向量n ，设直线1AB 与平面AEF 所成角为([0,])2πθθ∈，则1sin cos ,AB n θ<=>，求出θ的值.【详解】（1）解：由直三棱柱，以及90BAC ∠=︒，可建立如图所示空间直角坐标系，因为ABC 为等腰直角三角形且1AB AA =，不妨设12AC AB AA ===，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,0,1),(0,2,1)A B C D E(0,0,1)m =为平面ABC 的一个法向量，(1,2,0)DE =-，0m DE ∴⋅=，即m DE ⊥，又DE ⊄平面ABC ，//DE ∴平面ABC（2）()()12,0,2,1,1,0B F1(2,0,2)AB ∴=设(,,)n x y z =为平面AEF 的一个法向量，(0,2,1),(1,1,0)AE AF ==，200y z x y +=⎧∴⎨+=⎩，取(1,1,2)n =-， 设直线1AB 与平面AEF 所成角为([0,])2πθθ∈， 则12043sin cos ,226AB n θ++=<>==⨯ 又[0,]2πθ∈， 3πθ∴=.22．如图，在四棱锥M ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，90ADC ∠=︒，MBC 与MCD △均为边长为2的等边三角形，12BC AD =.(1)求证：平面MBD ⊥平面ABCD ；(2)求二面角A MB C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)6【分析】（1）取BD 的中点E ，连接ME 、CE ，证明出ME ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）由（1）以点E 为坐标原点，EC 、ED 、EM 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角A MB C --的余弦值．【详解】（1）取BD 的中点E ，连接ME 、CE ，由MBC 与MCD △均为边长为2的等边三角形则2MB MC BC MD CD =====， E 为BD 的中点，则CE BD ⊥，同理可得ME BD ⊥，//AD BC ，90ADC ∠=，所以，90BCD ∠=，则22BD =，122CE BD ∴==222MB MD BD +=， 90BMD ∴∠=，则122ME BD == 所以，222CE ME MC +=，则CE ME ⊥，又ME BD ⊥CE BD E =，CE ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，ME ⊄平面ABCD ， ME ∴⊥平面ABCD ，ME ⊂平面MBD ，所以，平面MBD ⊥平面ABCD ；（2）ME ⊥平面ABCD ，CE BD ⊥，以点E 为坐标原点，EC 、ED 、EM 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，由MBC 、MCD △的边长均为2，则(2M 、()0,2,0B 、()2,0,0C 、()22,2,0A -， 设平面ABM 的法向量为()111,,m x y z =，()22,0,0AB =，(2,2BM =，由00m AB m BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得11120220x z ⎧=⎪=，取11y =，可得()0,1,1m =-， 设平面BCM 的法向量为()222,,x n y z =，()2,2,0BC =， 由00n BC n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得2222220220x z ==，取21y =-，可得()1,1,1n =-， 26cos ,23m nm n m n ⋅-<>===⨯⋅ 由图可知，二面角A MB C --为钝角，因此，二面角A MB C --的余弦值为6。
2019-2020学年陕西省咸阳市新时中学高二数学理月考试卷含解析
2019-2020学年陕西省咸阳市新时中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列关于样本相关系数的说法不正确的是A.相关系数用来衡量与间的线性相关程度B.且越接近于0,相关程度越小C.且越接近于1,相关程度越大D.且越接近于1,相关程度越大参考答案：C本题主要考查相关系数，考查学生对基础知识的掌握情况.因为相关系数r的绝对值越大，相关程序越大，所以答案为C.2. 已知点M（a，b，c）是空间直角坐标系O﹣xyz中的一点，则与点M关于z轴对称的点的坐标是（）A．（a，﹣b，﹣c）B．（﹣a，b，﹣c）C．（﹣a，﹣b，c）D．（﹣a，﹣b，﹣c）参考答案：C【考点】空间中的点的坐标．【专题】计算题；规律型；对应思想；数学模型法；空间向量及应用．【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标为只须将横坐标、纵坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标为：（﹣x，﹣y，z），∴点M（a，b，c）关于z轴的对称点的坐标为：（﹣a，﹣b，c）．故选：C．【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．3. 函数y=在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】3O：函数的图象．【分析】根据当x=2时，y=＞0，故排除A、D．当x＞0时，利用导数求得函数在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，从而得出结论．【解答】解：对于函数y=，故当x=2时，y=＞0，故排除A、D；当x＞0时，由于y′==，令y′=0，求得x=，在（0，）上，y′＞0，函数y单调递增；在（，+∞）上，y′＜0，函数y单调递故排除C，故选：B．4. 已知函数在x=1有极值, 则_____________。
咸阳市实验中学2019-2020学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
咸阳市实验中学2019-2020学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 执行右面的程序框图，如果输入的[1,1]t ∈-，则输出的S 属于（ ）
A.[0,2]e -
B. (,2]e -?
C.[0,5]
D.[3,5]e -
【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的
运用．
2． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FMC E -的体
积为1V ，多面体BCE ADF -的体积为2V ，则
=2
1V V （ ）1111] A ．41 B ．31 C ．21 D ．不是定值，随点M 的变化而变化
3． 已知命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（ ） A ．﹣1 B ．0
C ．1
D ．2 4． 已知函数()f x 的定义域为[],a b ，函数()y f x =的图象如图甲所示，则函数(||)
f x 的图象是
图乙中的（ ）
5． 如图所示，已知四边形ABCD 的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长为（ ）
A ．22
B ． C.
D ．42+2
6． 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。
A
B
C
D
7． 若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为( )
A5
B4
C3。