四川省成都市第七中学2020-2021学年高三入学考试理科数学试题含答案
成都七中2020~2021学年度上期2021届高三入学考试 数学试卷（理科） 考试时间：120分钟总分：150分 一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.把答案涂在答题卷上.） 1. 已知集合,21Axyyx，2,Bxyyx，则AB（ ）
A. B. 1 C. 1,1 D. 1,1
2. 复数131izi的模是（ ）
A. 1 B. 2 C. 2 D. 6
3. 已知命题:,0,23xxpx；命题:0,,sin2qxxx，则下列命题为真命题的是（ ） A. pq B. pq
C. pq D. pq
4. 抛物线2:4Wyx的焦点为F，点A在抛物线上，且点A到直线3x的距离是线段AF长度的2倍，
则线段AF的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则
所得新数据的平均数和方差分别是( ) A. 55.2,3.6 B. 55.2,56.4 C. 64.8,63.6 D. 64.8,3.6
6. 设1323a，2313b，1313c，则a，b，c大小关系是（ ）
A. abc B. acb C. cab D. bca 7. 一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积可能为（ ） A. 12 B. 22 C. 1 D. 2 8. 若,为锐角，且满足4cos5，5cos()13，则sin的值为（ ）
A. 1665 B. 3365 C. 5665 D. 6365 9. 已知数列na满足132nna，*nN，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i行有i个数，*iN），
从左至右第i行第j个数记为,ija（i、*jN且ji），则21,20a（ ） 123654789101514131211
aaaaaaaaaaaaaaa
A. 23132 B. 21232 C. 23032 D. 21132 10. 已知函数()sin()fxx，其中0，0，()4fxf恒成立，且()fx在区间
0,
4
上恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. (6,10) B. (6,8) C. (8,10) D. (6,12)
11. 正方形1111ABCDABCD中，若12CMMC，P在底面ABCD内运动，且满足1DPCPDPMP，则点P
的轨迹为（ ） A. 圆弧 B. 线段 C. 椭圆一部分 D. 抛物线的一部分
12. 已知函数212lnxfxx的定义域为10,e，若对任意的121,0,xxe，
1212221212
fxfxmxxxxxx
恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. ,3 B. ,4 C. ,5 D. ,6
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.） 13. 在空间直角坐标系Oxyz中，记点1,2,3A在xOz平面内的正投影为点B，则OB________．
14. 已知x，y满足22xyxxy，则2zxy的最大值为____________. 15. 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且coscos2BbCac，若13b，4ac，
则a的值为______.
16. 已知椭圆22221xyab：与双曲线22221xymn：共焦点，F1、F2分别为左、右焦点，曲线与在第
一象限交点为P，且离心率之积为1.若1212sin2sinFPFPFF，则该双曲线离心率为____________. 三、解答题（共70分，22与23题二选一，各10分，其余大题均为12分） 17. 设数列na的前n项和为nS，且111,21nnaaS，数列nb满足11ab，点1,nnPbb在
20xy上，*.nN
（1）求数列na，nb的通项公式； （2）设nnnbca，求数列nc的前n项和nT．
的 18. 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量gy与尺寸(mm)x之间近似满足关
系式bycx（b，c为大于0的常数）.按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(0.302,0.388)内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下： 尺寸(mm)x 38 48 58 68 78 88
质量()yg 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸的比yx 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290
（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率； （2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
61lnlniiixy 61lniix 61lniiy
62
1lniix
75.3 24.6 18.3 101.4 根据所给统计量，求y关于x的回归方程. 附：对于样本,(1,2,,6)iivui，其回归直线ubva的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
1122211ˆnniiiiiinniiiivvuuvunvubvvvnv
，ˆˆaubv，2.7183e.
19. 如图，在以P为顶点圆锥中，母线长为2，底面圆的直径AB长为2，O为圆心.C是圆O所在平面
上一点，且AC与圆O相切.连接BC交圆于点D，连接PD，PC，E是PC的中点，连接OE，ED. （1）求证：平面PBC平面PAC； （2）若二面角BPOD的大小为23，求面PAC与面DOE所成锐．二面角的余弦值.
20. 已知抛物线24xy，F为其焦点，椭圆22221(0)xyabab，1F，2F为其左右焦点，离心率
12e，过F作x轴的平行线交椭圆于,PQ两点，46||3PQ.
（1）求椭圆的标准方程； （2）过抛物线上一点A作切线l交椭圆于,BC两点，设l与x轴的交点为D，BC的中点为E，BC的中
垂线交x轴为K，KED，FOD的面积分别记为1S，2S，若121849SS，且点A在第一象限．求点A的坐标． 21. 已知函数1xfxxe，lngxax，其中e是自然对数的底数. （1）若曲线yfx在1x处的切线与曲线ygx也相切.求实数a的值； （2）设hxbfxgxa，求证：当10be时，hx恰好有2个零点. （22题与23题为选做题，二选一）
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为22114xttytt（t为参数）. （1）求曲线C普通方程； （2）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为6，（R），直线l与曲线C交于,AB两点，求线段AB的长度AB.
23. 已知函数1144fxxx，M为不等式2fx的解集．
（1）求M； （2）证明：当a，bM时，21abab≥． 参考答案 考试时间：120分钟总分：150分 一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.把答案涂在答题卷上.） 1. C 2. B. 3. C. 4. B
5.D 6. B 7. B 8. B 9. D 10. A 11. A 12. B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.）
13. 在空间直角坐标系Oxyz中，记点1,2,3A在xOz平面内的正投影为点B，则OB________．
【答案】10 【解析】 分析】 根据正投影定义确定点B坐标，再根据空间两点距离公式求结果. 【详解】因为点1,2,3A在xOz平面内的正投影为1,0,3，即B1,0,3， 所以221+0+3=10OB 故答案为：10 【点睛】本题考查空间直角坐标正投影以及空间两点距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
{高中试卷}四川省2021年上学期成都七中高三数学理入学考试试题答案[仅供参考]
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20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：四川省2021年上学期成都七中高三数学理入学考试试题答案1-5：CBCBD 6-10：BBBDA 11-12：DB13．1- 15．1或3 16．17．【答案】（Ⅰ）1321n n n a b n -==- （Ⅱ）1133n n n T -+=-【解析】（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥．又21213a S =+=，所以213a a =．故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列．所以13n n a -=．由点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=．则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．则()11221n b n n =+-⋅=-．（Ⅱ）因为1213n n n n b n c a --==，所以0121135213333n n n T --=++++．则12311352133333n n n T -=++++，两式相减得：21222221133333n n nn T --=++++-11113321121313n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=+⨯--1121233n n n --⎛⎫=--⎪⎝⎭∴21112113323233n n n n n n T ----+=--=-⋅⋅18．【答案】（1）15； （2）0.5y ex =．【解析】（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比()0.302,0.388yx ∈则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，有3件为非优等品，所求概率为232631155C P C ===．（2）对by c x =⋅两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+令ln i iv x =，ln i iu y =，则u b v a =⋅+，且ln a c =由所给统计量及最小二乘估计公式有：11222175.324.618.360.271101.424.660.542ni i nii v u nuvb vnv==--⨯÷====-÷-∑∑118.324.6216a u bv ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=-==，由ln a c =得c e =，所以y 关于x 的回归方程为0.5y ex =．19．【解析】（1）证明：AB 是底面圆的直径，AC 与圆切于点A ， 所以AC AB ⊥，又PO ⊥底面，则PO AC ⊥，PO AB O =，所以：AC ⊥面PAB AC PB ⇒⊥，又因为，在三角形PAB中，PA PB AB PA PB ==⇒⊥PA AC A =，所以PB ⊥面PAC ，∵PB ⊂面PBC所以：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）因为OB PO ⊥，OD PO ⊥，∴BOD ∠为二面角B PO D --的平面角，∴23BOD π∠=，如图建立坐标系，易知1OB =，则()0,1,0A -，()0,1,0B，1,022D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P，11,22E ⎫-⎪⎪⎝⎭，由（1）知()0,1,1BP =-为平面PAC 的一个法向量，设平面ODE 的法向量为(),,n x y z =，31111,02222OEx y z ⎛⎫=-⇒-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 311,0022OD x y ⎛⎫=-⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：()3,3,1n =，26cos 13n BP n BPθ⋅==．20．【答案】（1）22143x y +=． （2）()2,1 【解析】（1）不妨设P 在第一象限，由题可知,13P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∴228113a b +=， 又∵12e =，∴22811123c c +=，可得1c =，椭圆的方程为22143x y +=．（2）设200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则切线l 的方程为20024x x y x =-代入椭圆方程得：()4223031204x x x x x +-+-=，设()11,B x y ，()22,C x y ，()33,E x y ，则()3012320223x x x x x +==+，()22000332032443x x x y x x =-=-+，KE 的方程为()()230022000324323x x y x x x x ⎡⎤⎢⎥+=--++⎢⎥⎣⎦，即()20200243x y x x x =-++，令0y =得()32083K x x x =+，在直线l 方程中令0y =得02D x x =，222004124x x FD +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ()()()23000022003428383x x x x DK x x +=-=++，02FD k x =-，02BC x k =，∴1FD BC k k ⋅=-，FD BC ⊥，∴~DEK FOD △△，∴()()22200122220941849163x x S DK S FD x +===+．化简得()()220177240xx +-=，∴02x =（02x =-舍去）∴A 的坐标为()1,1，()4223031204x x x x x +-+-=，()()462420000431234814404x x x x x ⎛⎫∆=-+-=---≥ ⎪⎝⎭，因为2008x ≤≤+21．【解析】（1）由()()1xf x x e =-得()xf x xe '=，所以切线的斜率()1k f e'==．因为切点坐标为()1,0，所以切线的方程为()1y e x =-．设曲线()y g x =的切点坐标为()11,x y ．由()ln g x a x =+得()1g x x '=，所以()111g x e x '==，得11x e =． 所以切点坐标为1,1a e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为对1,1a e ⎛⎫- ⎪⎝⎭也在直线()1y e x =-上．所以2a e =-． （2）由()()1ln x h x b x e x =--，得()211x xbx e h x bxe x x -'=-=．令()21xm x bx e =-，0x >，当10b e <<时，()()220x m x bx bx e '=+>，故()m x 在()0,+∞上单调递增．又因为()110m be =-<，且221111ln ln 1ln 10m b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以()0m x =在()0,+∞上有唯一解，从而()0h x '=在()0,+∞上有唯一解．不妨设为x ，则011lnx b <<．当()00,x x ∈时，()()()00m x m x h x x x '=<=，所以()h x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()()()00m x m x h x x x '=>=，所以()h x 在()0,x +∞上单调递增．故x 是()h x 的唯一极值点．令()ln 1t x x x =-+，则当1x >时，()110t x x '=-<，所以()t x 在()1,+∞上单调递减，从而当1x >时，()()10t x t <=，即ln 1x x <-，所以1ln 111ln ln 1ln ln b h b e b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111ln 1ln ln ln 0t b b b ⎛⎫⎛⎫=--=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()010h x h <=，所以()h x 在()0,x +∞上有唯一零点．又因为()h x 在()00,x 上有唯一零点，为1，所以()h x 在()0,+∞上恰好有2个零点．另解：∵02011x x e e b =>>，∴0111x b <<+，再证明11111ln 10b h e b b +⎛⎫⎛⎫+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22．【答案】（1）26y x =-（2x ≤-或2x ≥）；（2．【解析】（1）曲线C 的参数方程为221,14,x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩①②（t 为参数），将①式两边平方，得22212x t t =++③，③②，得26x y -=，即26y x =-，因为112x t t t t =+=+≥=，当且仅当1t t=，即1t =±时取“=”，所以2x ≥，即2x ≤-或2x ≥，所以曲线C 的普通方程为26y x =-（2x ≤-或2x ≥）． （2）把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 得：22sin cos 6ρθρθ=-，()cos 2ρθ≥， 则曲线C 的极坐标方程为22sin cos 6ρθρθ=-，()cos 2ρθ≥ 设A ，B 的极坐标分别为1,6A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由226sin cos 6πθρθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得22sincos 666ππρρ=-，即232240ρρ--=，且3ρ≥因为44324473∆=+⨯⨯=⨯，∴13ρ=或13ρ+=，满足ρ≥，不妨设1ρ=，2ρ=所以12AB ρρ=-=注：没考虑ρ≥要酌情扣分23．【解析】（1）()12,,411111,,4424412,4x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩所以不等式的解集为[]1,1M =-．（2）要证a b ≥-，只需证a b≥-，即证()241ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b -≥-+，即2242a ab b ≥++，即证()24a b ≥+，只需证2a b≥+因为a ，b M ∈，所以2a b +≤，所以所证不等式成立．。
四川省成都七中2021届高三数学上学期入学考试试题文【含答案】
3
，
b
1 3
3
，
c
1 3
3
，则
a
，
b
，
c
的大小关系是（
）
A． a b c
B． a c b
C． c a b
D． b c a
7．若 ， 为锐角，且满足 cos 4 ， cos 5 ，则 sin 的值为（ ）
5
13
A． 16 65
33
B．
65
56
C．
65
63
D．
在第一象限交点为 P ，且离心率之积为 1．若 sin F1PF2 2 sin PF1F2 ，则该双曲线的离心率为
________． 三、解答题（共 70 分，22 与 23 题二选一，各 10 分，其余大题均为 12 分）
17．（本题 12 分）设数列an的前 n 项和为 Sn ，且 a 1 ， an1 2Sn 1 ，数列bn满足 a1 b1 ，点 P bn , bn1 在直线 x y 2 0 上， n N* ． （Ⅰ）求数列 an ， bn 的通项公式；
6
ln xi ln yi
i 1
6
ln xi
i 1
6
ln yi
i 1
6
ln xi 2
i 1
75.3
24.6
18.3
101.4
根据所给统计量，求 y 关于 x 的回归方程．
附：对于样本 vi ,ui i 1, 2,, 6，其回归直线 u b v a 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
n
b i1
vi v ui u
n
2
vi v
n
i 1 n
成都七中2021届高三理科数学10月月考(有答案)
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．(本题 12 分) 如图,在四棱锥 P ABCD 中,四边形 ABCD 是直角梯形, AB AD, AB / /CD, PC 底面ABCD , AB 2AD 2CD 4, PC 2a, E 是 PB
（Ⅱ）设点 P(2, 3) ，若直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，求| PA | | PB | 的值．
23．(本题 10 分)选修 4-5：不等式选讲
（Ⅰ）求函数
的最大值 .
（Ⅱ）若实数 ， ， 满足 取等条件.
，证明：
，并说明
试卷第 4 页，总 4 页
f
x
ax2
ex
，其中 a
bx 1
0
，bR
，e
为自然对数
的底数. 1 若 b 1， x 0, ，①若函数 f x 单调递增，求实数 a 的取值范围；
②若对任意 x 0 ， f x 1 恒成立，求实数 f
x 存在两个极值点 x1 ， x2 ，求证：1
3 2a
π 6
x
R
②y f x 是以 2π 为最小正周期的周期函数；
③y
f
x
的图象关于点
π 6
,
0
对称；
试卷第 1 页，总 4 页
15. 已知集合a,b,c 0,1,2，有下列三个关系① a 2 ；② b 2 ；③ c 0 ，若
三个关系中有且只有一个正确的，则 a 2b 3c _______________.
四川省成都市第七中学2021届高三三诊模拟考试理科数学试题及答案
成都七中高2021届三诊模拟考试数学试题（理科）时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合}32|{2≤-∈=x x N x A ，}22|{≥=x x B ，则B A 等于（A ）}3,2,1,0{ （B ）}3,2,1{ （C ）]3,0[ （D ）]3,1[2．若复数z 满足)21)(3(2i i i z +-=++，则z 的模为（A ）5 （B ）3 （C（D3．空间中两条直线,l m 和平面α，在下列条件中，能得到//l m 的是（A ）,l m 与α所成角相等 （B ）,l m 在α内的射影分别为//,l m ，且////l m（C ）,l m αα⊥⊥ （D ）//,//l m αα4．为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：但是统计员不小心丢失了一个数据（用m 代替），在数据丢失之前得到回归直线方程为0.760.4y x =+，则m 的值等于（A ）8.60 （B ）8.80 （C）9.25 （D ）9.525．函数11)(-+=x x e e x f 的图像大致为 （A ）（C） 6．已知1sin 2,(0,)34παα=∈，则sin cos αα-=（A （B ）（C ）23（D ）23-7．从1,2,3,4,5中选出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是3的倍数的概率为 （A ）320（B ）310（C ）25（D ）158．若ln 1,ln3b a e c =-=，则,,a b c 的大小关系为（A ）a c b >> （B ）b c a >> （C ）c b a >> （D ）a b c>>经研究发现，A 疾病在老年人中发病率较高，已知某养老院的男女比例为3:2，为了解A 疾病在该养老院的发病情况，按性别用分层抽样的方法抽取100位老人作为样本，对这100位老人是否患有A 疾病进行了统计，其条形图如图所示．（Ⅰ）完成下列的22⨯列联表，并判断有没有90%的把握认为患A 疾病与性别有关？（Ⅱ）已知治疗A 疾病所需的费用为每人800元，若打了该疾病的预苗，则可将发病率降为5%，打预苗的费用为每人200元，用样本的频率来估计总体的概率，从经济的角度判断是否需要给该养老院的老人打该疾病的预苗，并说明理由．附：22()(n ad bc K -=，其中n a b c d =+++．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，90ACB ∠=， CA = CB =2，AA 1=，D 是棱A 1B 1的中点，E 在棱BB 1上，且AD ⊥EC 1．（Ⅰ）在棱BC 上是否存在点F ，满足EF ∥ 平面ADC 1，若存在，求出 BF 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面DEC 1与平面AEF 所成锐二面角的余弦值．E A D B C B 1 A 1 C 1F已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴长为4． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线:l y x m =+与椭圆交于A ，B 两点，AB 的中垂线交椭圆于C ，D 两点，M 为CD 的中点，若5cos 13AMB ∠=-，求实数m 的值．21．（本小题满分12分） 已知函数1()ln f x x m x x =--，1()(ln )m g x x x x=+-，其中0,x m R >∈．（Ⅰ）若函数()f x 无极值，求m 的取值范围；（Ⅱ）当m 取（Ⅰ）中的最大值时，求函数()g x 的最小值； （Ⅲ）若不等式1(1)n a e n -+≤对任意的*n N ∈恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=t y t x ,21（t 为参数）．以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 ρ = 2 cos θ．（Ⅰ）求直线l 和曲线C 交点的直角坐标；（Ⅱ）设点A 的极坐标为（2，3π），点B 是曲线C 上的点，求△AOB 面积的最大值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数 f （x ）=︱x + 3︱+︱x －1︱，x ∈R ，不等式f （x ）＜6的解集为M ．（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当a 2∈M ，b 2∈M 时，证明：||2||2|b a ab +>+．成都七中高2021届三诊模拟考试（理科数学参考答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.B 、A 、C 、A 、D 、B 、C 、A 、A 、C 、D 、C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.10-．2±．34．811(,34．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则由已知得2(22)2(28)2d d d +=+⇒=或0d =（舍去）所以2n a n =．………………………………………………………………….5分（Ⅱ）1112n n n b b --= ，12112(1)n n n b b --∴-=-，211122b b -=⨯ ，即21112n n n b b ∴-=+-．解得21n b n n =+，即111111223(1)11n n S n n n n ∴=+++=-=⨯⨯+++ ．………………………………………………….12分18．解：（Ⅰ）由条形图可知未患有A 疾病的男性为40人，女性25人，由男女比例为3:2可知100个样本中，男性有60人，女性有40人，所以22⨯列联表如下：222()100(500600)0.18 2.706()()()()60403565n ad bc K a b c d a c b d --∴==≈<++++⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为患A 疾病与性别有关．………………….6分（Ⅱ）设打了预苗后，针对A 疾病的花费为X 元，没有打预苗，针对A 疾病的花费为Y 元，则X 的分布列为：所以29550240EX =⨯+=元，则Y 的分布列为：所以835280EY =⨯=元，EX EY < 元，所以从经济的角度应该为该养老院的老人打该疾病的预苗．………………….12分男性女性合计患有A 疾病201535未患A 疾病402565合计6040100X 2001000P 951005100Y0800P 6510035100联立解：22324m y x x y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩得224234039m m x x ++-=．2,99M M m m x y ∴=-=-，|||MN ∴=………………………………………….…8分由5cos 13AMB ∠=-，知cos AMN ∠=||3tan 2||2AB AMB MN ∴∠==，……………….…10分46423||39∴=，解得m =………………………………………….…12分21．解：（Ⅰ）2/2211()1m x mx f x x x x -+=+-=，据题意得方程210x mx -+=在区间(0,)+∞上无根或有唯一根，即方程1m x x=+在区间(0,)+∞上无根或有唯一根，解得2m ≤，…………………3分（Ⅱ）当2m =时，1()2ln f x x x x =--，21()(ln )g x x x x=+-，由（Ⅰ）知()f x 在区间(0,)+∞上是增函数，且(1)0f =，当(0,1)x ∈时，1()2ln (1)0f x x x f x =--<=，得12ln 0x x x-<<，当(1,)x ∈+∞时，1()2ln (1)0f x x x f x =-->=，得12ln 0x x x ->>，所以当0x >时，21|||2ln ||ln |x x x x-≥=，令20x u =>，所以|ln |u ≥，平方的得212(ln )u u u +-≥，即当0u >时，不等式21(ln )2u u u +-≥成立，当1u =时取等号，所以当1x =时，函数)(x g 取最小值2.…………………7分（Ⅲ）由11()ln(111ln(1n a n a n n ⇔-+≤⇔-≤+11ln(1)a n n⇔≤-+，令11(1,2]t n =+∈，11111ln ln(1)a n a t tn ∴≥-⇔≥--+，令11()1ln h t t t=--，则2/221(ln )2()(1)(ln )t t t h t t t +--=-，由（Ⅱ）知21(ln )20t t t+--≥，即/()0h t ≥，()h t ∴在(1,2]单调递增，即max 1()(2)1ln 2h t h ∴==-，11ln 2a ∴≥-，即a 的范围为1[1,)ln 2-+∞．…………………12分22．解：（Ⅰ）∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=ty t x ,21（t 为参数），∴1:(1)2l y x =+．∵曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ，∴曲线C ：x 2+y 2=2x ．联立方程组2221(1)2x y x y x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，得5x 2－6x +1=0，解得1111x y =⎧⎨=⎩，221535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线l 和曲线C 交点的坐标为13(1,1),(,55．…………………5分（Ⅱ）设(,)B ρθ，则2cos ρθ=．∴△AOB 的面积11||||sin |2sin()||2cos sin()|2233S OA OB AOB ππρθθθ=⋅⋅⋅∠=-=-|cos(2)6πθ=+，∴当2312θπ=时，△AOB的面积的最大值为1…………………10分23．解：（Ⅰ）22(3),()|3||1|4(31),22(1),x x f x x x x x x --<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪+>⎩当x ＜－3时，－2x －2＜6，解得－4＜x ＜－3；当－3≤x ≤1时，由4＜6可得－3≤x ≤1；当x ＞1时，2x +2＜6，解得1＜x ＜2．综上，不等式f （x ）＜6的解集M ={x ︱－4＜x ＜2}．…………………5分（Ⅱ）当a 2∈M ，b 2∈M 时，即0≤a 2＜2，0≤b 2＜2．要证||2||2|b a ab +>+，只需证（ab +2）2＞2（a +b ）2，只需证a 2b 2+4ab +4＞2a 2+4ab +2b 2，只需证a 2b 2－2a 2－2b 2+4＞0，只需证（a 2－2）（b 2－2）＞0，又a 2－2＜0，b 2－2＜0，故（a 2－2）（b 2－2）＞0成立，即原不等式成立．…………………10分。
四川省成都七中2021届高三上学期入学考试数学文试题及答案
成都七中2020~2021学年度上期2021届高三入学考试数学试卷（文科）考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．把答案涂在答题卷上．）1．已知集合(){},21A x y y x ==-，(){}2,B x y y x ==，则AB =（ ）A ．∅B ．{}1C ．(){}1,1D ．(){}1,1-2．复数z = ）A ．1BC ．2D3．已知命题():,0p x ∃∈-∞，23x x <；命题:0,2q x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin x x <，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝4．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ） A ．55.2，3.6 B ．55.2，56.4C ．64.8，63.6D ．64.8，3.66．设2323a ⎛⎫=⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>7．若α，β为锐角，且满足4cos 5α=，()5cos 13αβ+=，则sin β的值为（ ） A ．1665-B ．3365C ．5665D ．63658．要做一个圆锥形漏斗，其母线为20，要使其体积最大，则其高为（ ） AB ．100C ．20D ．2039．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积可能为（ ）A ．12π+B ．22π+C ．1π+D ．2π+10．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n ∈N ，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i 行有i 个数，*i ∈N ），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （i ，*j ∈N 且j i ≤），则()21,20a =（ ）．A ．21132⨯B ．21232⨯C ．23032⨯D ．23132⨯11．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，0ϕπ<<，()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．()6,10B ．()6,8C ．()8,10D ．()6,1212．己知函数()212ln x f x x -=的定义域为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，若对任意的1x ，210,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．(],5-∞D ．(],6-∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）13．在空间直角坐标系O xyz -中，记点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点B ，则OB =________．14．已知x ，y 满足22x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-+的最大值为________．15．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+，若b =4a c +=，则a 的值为________．16．已知椭圆2222:1x y a b Γ+=与双曲线2222:1x y m nΩ-=共焦点，1F 、2F 分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1．若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为________． 三、解答题（共70分，22与23题二选一，各10分，其余大题均为12分）17．（本题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a =，121n n a S +=+，数列{}n b 满足11a b =，点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．（本题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，平面PDC ⊥底面ABCD ，PDC △是等边三角形，底面ABCD 为梯形，且60DAB ∠=︒，ABCD ，22DC AD AB ===．（Ⅰ）证明：BD PC ⊥； （Ⅱ）求A 到平面PBD 的距离．19．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()g y 与尺寸()mm x 之间近似满足关系式by c x =⋅（b ，c 为大于0的常数）．按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（0.302，0.388）内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率；（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程． 附：对于样本()(),1,2,,6i i v u i =，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()1122211nniii i i i nniii i v v u u v u nvub v v vnv====---==--∑∑∑∑，a u bv =-， 2.7183e ≈．20．（本题12分）设函数()()24143xf x ax a x a e ⎡⎤=-+++⎣⎦．（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f处的切线与x 轴平行，求a ； （2）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围．21．（本题12分）如图，设椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121F F DF =12DF F △的面积为2．（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由． （22题与23题为选做题，二选一）22．（本题10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22114x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程；（2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6πθ=，()ρ∈R ，直线l与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度AB ． 23．（本题10分）已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，a b ≥-．成都七中2020-2021学年度上期2021届高三入学考试数学试卷（理科）答案1-5：CBCBD 6-10：BBABA 11-12：AB 1314．1- 15．1或3 1617．【答案】（Ⅰ）1321n n n a b n -==- （Ⅱ）1133n n n T -+=-【解析】（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥． 又21213a S =+=，所以213a a =．故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列．所以13n n a -=．由点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=．则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．则()11221n b n n =+-⋅=-． （Ⅱ）因为1213n n n n b n c a --==，所以0121135213333n n n T --=++++． 则12311352133333n nn T -=++++， 两式相减得：21222221133333n n n n T --=++++-11113321121313n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=+⨯--1121233n n n --⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴21112113323233n n n n n nT ----+=--=-⋅⋅ 18．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2h =． 【解析】（Ⅰ）由余弦定理得BD == ∴222BD AB AD +=，∴90ABD ∠=︒，BD AB ⊥，∵AB DC ，∴BD DC ⊥．又平面PDC ⊥底面ABCD ，平面PDC底面ABCD DC =，BD ⊂底面ABCD ，∴BD ⊥平面PDC ，又PC ⊂平面PDC ，∴BD PC ⊥． （Ⅱ）设A 到平面PBD 的距离为h ．取DC 中点Q ，连结PQ ，∵PDC △是等边三角形，∴PQ DC ⊥． 又平面PDC ⊥底面ABCD ，平面PDC 底面ABCD DC =，PQ ⊂平面PDC ，∴PQ ⊥底面ABCD ，且PQ =由（Ⅰ）知BD ⊥平面PDC ，又PD ⊂平面PDC ，∴BD PD⊥． ∴APBD P ABD V V --=，即1111213232h ⨯⨯=⨯⨯ 解得h =19．【答案】（1）15；（2）0.5y ex =． 【解析】由已知，优等品的质量与尺寸的比()0.302,0.388yx∈ 则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，记为a ，b ，c ，有3件为非优等品，记为d ，e ，f ，现从抽取的6件合格产品中再任选2件，基本事件为：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，选中的两件均为优等品的事件为(),a b ，(),a c ，(),b c ， 所求概率为31155=． （Ⅱ）对by c x =⋅两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+ 令ln i i v x =，ln i i u y =，则u b v a =⋅+，且ln a c = 由所给统计量及最小二乘估计公式有：11222175.324.618.360.271101.424.660.542ni i nii v u nuvb vnv==--⨯÷====-÷-∑∑118.324.6216a u bv ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=-==，由ln a c =得c e =，所以y 关于x 的回归方程为0.5y ex=．20．【答案】（1）a 的值为1；（2）a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭． 【解析】（1）因为()()24143xf x ax a x a e ⎡⎤=-+++⎣⎦，所以()()()()22414143x xf x ax a e ax a x a e x '⎡⎤=-++-+++∈⎡⎤⎣⎦⎣⎦R ()2212xax a x e ⎡⎤=-++⎣⎦．()()11f a e '=-．由题设知()10f '=，即()10a e -=，解得1a =．此时()130f e =≠． 所以a 的值为1．注：没验证()130f e =≠要酌情扣分（2）由（1）得()()()()221212x xf x ax a x e ax x e '⎡⎤=-++=--⎣⎦．若12a >，则当1,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>． 所以()0f x <在2x =处取得极小值． 若12a ≤，则当()0,2x ∈时，20x -<，11102ax x -≤-<，所以()0f x '>． 所以2不是()f x 的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭． 21．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的圆，其方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 【解析】（1）设()1,0F c -，()2,0F c ，其中222c a b =-，由121F F DF =得12DF ==从而1221121222DF F S DF F F =⋅==△，故1c =．从而12DF =，由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此22DF =．所以122a DF DF =+=a =2221b a c =-=因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=（2）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，()111,P x y ，()222,P x y 是两个交点，10y >，20y >，11F P ，22F P 是圆C 的切线，且1122F P F P ⊥由圆和椭圆的对称性，易知21x x =-，12y y =1212PP x =．由（1）知()11,0F -，()21,0F ，所以()11111,F P x y =+，()22111,F P x y =--，再由1122F P F P ⊥ 得()221110x y -++=，由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=， 解得143x =-或10x = 当10x =时，1P ，2P 重合，此时题设要求的圆不存在． 当143x =-时，过1P ，2P 分别与11F P ，22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ，设()00,C y 由111CP F P ⊥，得1011111y y y x x -⋅=-+，而11113y x =+=，故053y = 圆C的半径1CP == 综上，存在满足条件的圆，其方程为：2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．22．【答案】（1）26y x =-（2x ≤-或2x ≥）；（2． 【解析】（1）曲线C 的参数方程为221,14,x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩①②（t 为参数），将①式两边平方，得22212x t t =++③， ③-②，得26x y -=，即26y x =-，因为112x t t t t =+=+≥=，当且仅当1t t =，即1t =±时取“=”，所以2x ≥，即2x ≤-或2x ≥，所以曲线C 的普通方程为26y x =-（2x ≤-或2x ≥）．（2）因为曲线C 的直角坐标系方程为26y x =-（2x ≤-或2x ≥）， 所以把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得：22sin cos 6ρθρθ=-，()cos 2ρθ≥，则曲线C 的极坐标方程为22sin cos 6ρθρθ=-，()cos 2ρθ≥设A ，B 的极坐标分别为1,6A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由226sin cos 6πθρθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 得22sincos 666ππρρ=-，即232240ρρ--=，且ρ≥因为44324473∆=+⨯⨯=⨯，∴ρ=ρ=，满足3ρ≥，不妨设113ρ-=，213ρ=所以12AB ρρ=-=注：没考虑3ρ≥要酌情扣分 23．【解析】（1）()12,,411111,,4424412,4x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩所以不等式的解集为[]1,1M =-．（2）要证a b -，只需证a b ≥-，即证()241ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b -≥-+，即2242a ab b ≥++，即证()24a b ≥+，只需证2a b ≥+ 因为a ，b M ∈，所以2a b +≤， 所以所证不等式成立．。
导数中的朗博同构、双元同构、指对同构与二次同构问题(九大题型)(原卷版)-高中数学
导数中的朗博同构、双元同构、指对同构与二次同构问题目录方法技巧总结一、常见的同构函数图像1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围． （3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解3、常见的指数放缩：4、常见的对数放缩：5、常见三角函数的放缩：6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式： （1） 且时，有（2） 当 且时，有再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中） （3）（4） ()0f a =()0f b =,a b ()0f x =()x f x x e =×()xf x e x =±x ()()1122,,,A x y B x y ,A B AB (),n a n ()1,1n a n --)1();0(1=³=+³x ex e x x e x x )(ln );1(1ln 11e x exx x x x x =£=-££-x x x x tan sin ,2,0<<÷øöçèæÎp 0a >噍1,0a x ¹>log a x a x =0a >1a ¹log xa a x =0 x >()ln ee ;ln ln e xx x x x x x x +=+=ln :ln lnx x x xe e e x x x x-=-=（5）（6） 再结合常用的切线不等式lnx x -1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：（7）；（8）；7、同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有： ①； ②； ③8、乘法同构、加法同构（1）乘法同构，即乘同构，如； （2）加法同构，即加同构，如， （3）两种构法的区别：①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；()22ln 2e e ;2ln ln e xx x x xx x x +=+=2ln 2ln 22,x xx x x x e e e e x x--==£ln ,e 1,e e exx x x x x £³+³ln ee ln 1xx x x x x +=³++()ln ln e e 1x x x x x x +=£-ln e e e(ln )x x xx x x +=³+()1ln ln x xx xe x x xe xe e-+=£=x xe ln x x 1ln ln ln ln log ln ln ln ln ln ln xx ax a x e a xa x e x a e x x x e x a x a e a>Þ>Þ×>=×Þ>Þ>ln ln 1ln ln ln ln x x x x x xee x x e x x x e x e x x el l l l l l l l l l >Þ>Þ×>Þ×>×Þ>Þ>()()()()ln 1ln 11ln 1ln 1x ax e ax x x e x ax x ++>+++=++Þ>+x ln ln ln ln ln ln ln x a x a x a e x x a e x e ×>Û×>×x log log log log a x x x a a a a x a x x x a x >Û+>+=+x xe ln x x x xe ln x x题型一：同构法的理解【典例1-1】对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．(1)； (2)；(3)； (4)；(5)；(6)； (7)； (8)．【典例1-2】关于的不等式有解，则实数的取值范围是 .【变式1-1】（2024·内蒙古·三模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求的取值范围.2log 20kx x k -׳21e0xl l-³2ln e 0mx x x m -³()æö+³+ç÷èø1e 12ln ax a x x x ()()ln 1212e xa x x ax -+-³+ln e (1)x a x a x x x -++³>e 2ln 0x x x ---=2e ln 0x x x +=x e 2ln 2ln 2ax a x -£a ()22ln f x x ax x =-+()f x ()0,e axa f x >£a题型二：利用同构比较大小【典例2-1】已知，且，，，则（ ） A ． B ． C ．D ．【典例2-2】已知．且，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【变式2-1】已知a ，b ，，且，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．B ．C ．D ．【变式2-2】已知，，，则，，的大小顺序是（ ） A ． B ． C ．D ．题型三：方程同构【典例3-1】（江苏省常州市前黄高级中学2023-2024学年高三期初数学试题）已知实数满足，，则 ．【典例3-2】（江苏省泰州市泰兴中学2023-2024学年高三期中数学试题）已知实数a ，b 满足，则ab ＝ ．【变式3-1】设x ，y 为实数，且满足，则（ ）A ．2B ．5C ．10D ．2018【变式3-2】同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式．已知实数满足，，则 ．【变式3-3】（2024·高三·辽宁大连·期中）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b 的方程可化为同构方程，则的值为（ ）A ．B ．eC ．D ．11,,,e a b c æöÎ+¥ç÷èøln55ln a a =-ln33ln b b =-ln 22ln c c =-b<c<a c b a <<a c b <<a b c <<,,(1,)a b c Î+¥2ln 22ln 12a a --=212ln 1eb b --=2ln π2ln 1πc c --=b a c >>b c a >>a b c >>c a b >>(0,1)c Î5ln ln 5a a -=-4ln ln 4b b -=-3ln ln 3c c -=-b<c<a a c b <<a b c <<c b a <<0.5ln 2a =()0.4ln5ln 2b =-()8ln 3ln 29c =-a b c a b c <<b a c <<c b a <<a c b <<,a b 2024a a e -=3ln 2021ln b b e -+=ab =20210a e a --=2ln ln 20190,b e b ---=()()3(1)2018153(1)201815x x y y -+-=-ìï-+-=íïîx y +=()e x f x x =+()ln ln ln e ln xf x x x x =+=+e x x +ln x x +12,x x 11e 6xx +=23522x =123x x +=a 24e e a a -=()31(ln 2),b b a b l -+-=Îe R ab 8e ln 6题型四：零点同构【典例4-1】（2024·高三·天津西青·期末）已知函数和．(1)若曲线数与在处切线的斜率相等，求的值； (2)若函数与有相同的最小值． ①求的值；②证明：存在直线，其与两条曲线与共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标成等差数列．【典例4-2】（2024·江西南昌·模拟预测）已知函数和有相同的最小值．(1)求；(2)是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列？说明理由．【变式4-1】（2024·上海嘉定·一模）已知． (1)求函数的单调区间和极值； (2)请严格证明曲线有唯一交点；(3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列．()e x f x ax =-()ln g x ax x =-()y f x =()y g x =1x =a ()f x ()g x a y b =()y f x =()y g x =()e x f x ax =-()ln g x ax x =-a y b =()y f x =()y g x =ln (),()e x x xf xg x x==()()y f x y g x ==キ()()y f x y g x ==キ10,e a æöÎç÷èøy a =()()y f x y g x ==キ()()()123,,,x a x a x a キキ123x x x <<123x x x キキ【变式4-2】已知函数和有相同的最大值. (1)求；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.题型五：双元同构【典例5-1】已知函数． 当时，求函数的单调增区间；若函数在上是增函数，求实数a 的取值范围；若，且对任意，，，都有，求实数a 的最小值．【典例5-2】（河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学试题）已知对任意的，都有恒成立，则实数的值为（ ）A ．B ．1C ．0D ．【变式5-1】（四川省成都市第七中学2023-2024学年高三阶段性考试数学试题）若实数，满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．【变式5-2】（山西省太原市2024届高三期中数学试题）已知，对任意都有，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．()e x ax f x =()ln xg x ax=b ,a b y m =()y f x =()y g x =()()21ln 112f x a x x a x =++++()11a =-()f x ()2()f x ()0,+¥()30a >1x ()20,x Î+¥12x x ¹()()12122f x f x x x ->-a b ÎR()b ab b a e be a l ---³-l e e -x y 24ln 2ln 44x y x y +³+-xy =x y +=21x y +=31x y =21()e (1)2x f x ax a x =-++12,(0,)x x Î+¥()()1212f x f x a x x -<-a (,0]-¥(0,1)(,1]-¥[1,)+¥【变式5-3】对于任意，，当时，恒有成立；则实数的取值范围是 A ． B ． C ．D ．【变式5-4】（多选题）（重庆市2024届高三冲刺押题联考（二）数学试题）若实数，满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．题型六：朗博同构【典例6-1】已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 .【典例6-2】（2024·陕西·模拟预测）当时，恒成立，则实数最大值为（ ）A ．B ．4C ．D ．8【变式6-1】不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）A ．B ．C ．1D ．2【变式6-2】对任意，若不等式恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．题型七：利用同构解决不等式恒成立问题【典例7-1】（2024·江西·三模）已知函数，若在其定义域上没有零点，则的取值范围是 .【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．【变式7-1】已知函数，若对任意的恒成立，则正实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．1x 2[1,)x Î+¥21x x >2211ln2()x a x x x <-a (,0]-¥(,1]-¥(,2]-¥(,3]-¥x y ()24ln 2ln 284x y x y +³+-xy =x y +=122x y +=21x y =()ln 2(0)f x a x x a =->()2e 31a xx f x -³+0x >a 0x >24e 2ln 1x x x ax ×-³+a 4e24e 2e 2ln210x x ax x ---³a 14120x >2e ln (0)x ax ax x a £+>(0,2e](1,)+¥(0,1](]0,e ()log ,(0,1)(1,)xa f x a x a =-ÎÈ+¥()f x a ()211ln e x x a x -<+()1,x Î+¥a [)1,+¥3,2éö+¥÷êëø[)2,+¥[)4,+¥()1e ln 1axf x a x +=-+()()e,,0x f x Î+¥³a 210,eæöç÷èø1,e ¥éö+÷êëø[)e,+¥21,e éö+¥÷êëø【变式7-2】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式7-3】（2024·江西赣州·二模）已知函数，.若，则k 的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．【变式7-4】已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．题型八：利用同构求最值【典例8-1】“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【典例8-2】已知函数，若，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【变式8-1】（2024·江西·临川一中校联考模拟预测）已知函数，，若，的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【变式8-2】已知函数，若，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【变式8-3】已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．5D ．11()1n22xf x ae ax =+-+()0f x >a 0e a <<2e a >e a >2e a >()e 1kxf x =+()11lng x x x æö=+ç÷èø()()kf x g x ³(]0,e [)e,+¥1,e ¥éö+÷êëø10,e æùçúèû22e ln ln x x l l +³()0,x Î+¥l 1,e ¥éö+÷êëø21,e éö+¥÷êëø1,2e éö+¥÷êëø2,eéö+¥÷êëøx ln e x x =()ln e0xx x =>()e xf x x =×()ln xg x x=-()()120f x g x t ==>12e t x x 21e 1e1e ()ln(1),()ln f x x x g x x x =+-=()()21212ln ,f x t g x t =+=()2122ln -x x x t 1e-12e-21e 2e()()ln 1f x x x =+-()ln g x x x =()112ln f x t =+()22g x t =ln t 21e 1e-12e -2e()ln(1),()ln f x x x g x x x =+-=()()21212ln ,f x t g x t =+=122ln tx x x -12e1e12e e a b 22ln ()e na b b a<n题型九：利用同构证明不等式【典例9-1】已知函数． （1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：在上恒成立；（3）求证：当时，．【典例9-2】已知函数． （1）讨论函数的零点的个数；（2）证明：．【变式9-1】已知函数． （1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：．【变式9-2】已知函数，函数，，． （1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．（3）证明：当时，．2()2()1a f x lnx a R x =+-Î+()f x 2a =()0f x >(1,)+¥0x >2(1)1x x ln x e +>-21()x f x e x=-()fx 220x xe lnx x -->()1()f x ax lnx a R =--Î2a =()f x ()f x 1x =(0,)x "Î+¥()2f x bx -b 1x y e >>-(1)(1)x y ln x e ln y -+>+()2(1)sin 1f x ln x x =+++()1(g x ax blnx a =--b R Î0)ab ¹()g x 0x ()31f x x +1x >-2sin ()(22)x f x x x e <++1．若对任意的，且，则m 的最小值是（ ） A． B ． C ． D ． 2．对于任意，当 时，恒有成立,则实数的取值范围是 3．若，则实数a 的取值范围为4．已知，对任意都有，则实数的取值范围是 . 5．已知当，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是 . 6．当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 7．已知当时，不等式恒成立，则正实数的取值范围是 ． 8．已知函数，． (1)求函数在区间上的最大值；(2)若，恒成立，求实数a 的取值范围．9．（2024·云南·模拟预测）已知函数 (1)若函数在处的切线也与函数的图象相切，求的值；(2)若恒成立，求的取值范围.12,(,)x x m ¥Î+12211221ln ln ,2x x x x x x x x -<<-2e 1e 21e e 412,(2,)x x Î+¥12x x <2211ln 2()0x a x x x --<a e ln()x ax x ax -³-+1a >()1,x Î+¥11e 1e ln e ln 0x a a x x xæö--£ç÷èøa (]0,e x Î2eln 2x x a a +³-0x >2e ln e xx x a a ³a e x ³11e ln a x x a x x+-³a ()ln 1f x x ax =-+R a Î()f x []1,20x ">()2e 2x f x x ax £-()e ,()ln .x f x a g x x =+=()g x 1x =l ()f x a ()()f x a g x +³a10．已知函数 (1)若求曲线在点处的切线方程．(2)若证明：在上单调递增．(3)当时，恒成立，求的取值范围．11．已知函数. (1)求的最小值；(2)求证：；(3)当时，不等式恒成立，求正数的取值范围.12．（2024·广东佛山·一模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，，求的取值范围.13．（2024·广东深圳·二模）已知函数的图象在处的切线经过点. (1)求的值及函数的单调区间；(2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.()()e 1ln ,.x a f x x ax x a =+-ÎR 0,a =()y f x =(1,(1))f 1,a =()f x (0,)+¥1x >()ln f x a x ³a ()()e 0xf x x x>=()f x ()ln 3f x x x >-+1x ³()e ln 2x a ax ax +Ｌa ()e x f x a =()()F x f x x =+2x >()2ln2x f x a->-a ()2e 1x a f x x-=()()1,1f ()22,2e a ()f x ()21ln ax g x x-=x ()2e 1x xg x l l £-()1,+¥l14．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数，其中，.(1)当时，求函数的零点；(2)若函数恒成立，求的取值范围.15．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．16．（2024·广东汕头·三模）设，，(1)证明：；(2)若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列.()()e ln 11x f x a ax =-+-0a >0x ³1a =()f x ()0f x ³a ()ln ln (1)2(0)f x x a a x a =++-+>()f x 2e ()x f x -³a ()e x f x =()ln g x x =()()1xf x x g x ³++y t =()xy f x =()g x y x =()1,A x t ()2,B x t ()3,C x t ()123x x x <<1x 2x 3x17．（2024·江西宜春·一模）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)对任意的，恒成立，求的取值范围.18．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数，，直线为曲线与的一条公切线.(1)求；(2)若直线与曲线，直线，曲线分别交于三点，其中，且成等差数列，证明：满足条件的有且只有一个.()()ln 1f x x a x =+-a ÎR ()f x 0x >()2e ln 41x f x x x x £---a ()x f x e =ln()()n x g x =+:l y x m =+()y f x =()y g x =,m n ():01l y s s ¢=<<()y f x =l ()y g x =112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 123x x x <<123,,x x x s。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学(理)试题
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．4B．57．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择观洞窟的概率是（）A．47B．128．设,,l m n表示直线，,αβ表示平面，使A．αβ⊥，//lβC．//l n，nα⊥9．等比数列{}a的前n项和为S，若二、填空题中，15．在ABC的面积，则若S为ABC16．已知抛物线过,A B两点分别作四边形PMFN的面积为三、解答题17．已知公差d(1)求数列{}n a的通项公式；b=(2)若数列2n18．如图所示，在四棱锥BC=，又SD=1(1)证明：//CF 平面SAB ；(2)求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值19．《中国统计年鉴2021》数据显示，截止到千万辆．下图是2011年至2020图．（注：年份代码1-10分别对应年份(1)由折线图能够看出，可以用线性回归模型拟合(2)建立y 关于t 的线性回归方程（系数精确到量．参考数据：15.5y =，(101i i t =∑25550.5159.8≈，25690.5参考公式：相关系数n r =∑。
四川省成都市2023 2024学年高三下学期入学考试理科数学试卷含答案
2023—2024学年度下期高2024届入学考试理科数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2Z 2150A x x x =∈--<，{}R 10B x x =∈-≤，则()A B Rð的真子集的个数为（）A.9B.8C.7D.6【答案】C 【解析】【分析】解不等式求出集合A ，求出集合B 的补集，即可确定()A B R ð的元素，根据元素的个数，即可求得()A B R ð的真子集的个数.【详解】由题意{}{}2Z 2150Z (3)(5)0A x x x x x x =∈--<=∈+-<{}Z 35{2,1,0,1,2,3,4}x x =∈-<<=--，{}R 10{|1}B x x x x =∈-≤=≤，故R {|1}B x x =>ð，故{2,3,()4}A B =R ð，则()A B R ð的真子集的个数为3217-=，故选：C2.若函数()21f x x ax =++是定义在(,22)b b --上的偶函数，则2b f ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A.14B.54C.74D.2【答案】D 【解析】【分析】利用偶函数的定义可计算,a b 的值，再根据解析式计算函数值即可.【详解】因为函数2()1=++f x x ax 是定义在(,22)b b --上的偶函数，所以220b b -+-=且()()2211f x x ax x ax f x -=-+=++=，则02a b =⎧⎨=⎩，所以2()1f x x =+，则2(1)1122b f f ⎛⎫==+=⎪⎝⎭.故选：D ．3.已知复数z 满足1i 1iz -=+，则z z +=（）A.i - B.iC.1D.1-【答案】C 【解析】【分析】利用复数的四则运算求出复数z 即可得出答案.【详解】由题意，复数z 满足1i 1iz -=+，可得()()11i 11i i i 1i 1i 1i 22z -=+=+=+++-，所以1122z i =-．则z z +=1，故选：C ．4.已知()()()()626012621111x a a x a x a x -=+-+-++- ，则2a =（）A.60- B.30- C.30D.60【答案】D 【解析】【分析】设1t x =-，则1x t =+，变换()()662121x t -=+，利用二项式定理计算得到答案.【详解】设1t x =-，则1x t =+，所以()()662601262121x t a a t a t a t -=+=++++ ．()621t +的展开式的通项()666166C 21C 2rrr r r rr T t t ---+=⨯=，取4r =得4226C 260a =⨯=．故选：D ．5.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23341S a =+，()24441S a =+．则（）A.1020a =B.550S =C.5758a S +=D.2nna S ≥【答案】C 【解析】【分析】由等差数列,n n a S 的关系结合已知等式化简，可得2d =，结合()23341S a =+，求出首项，即可得等差数列的通项公式以及前n 项和公式，由此一一判断各选项，即可得解.【详解】设正项等差数列{}n a 的公差为d ，因为()23341S a =+，()24441S a =+，所以两式相减得()()22443411a a a =+-+，可得()4434a a a =-()432a a ++，即()143a d d +=()1252a d ++，所以()()12250d a d -+=，因为{}n a 是正项等差数列，则0,0n a d >≥，则1250a d +>，所以2d =，由()23341S a +＝，得()212314()21a a a a d ++=++，得()2114(33)21a d a d +=++，即()2114(36)5a a +=+，所以11a =，所以21n a n =-，2(121)2n n n S n +-==，得1019a =，525S =，A ，B 错误；5794958a S +=+=，C 正确；22211111n n a n S n n -⎛⎫==--+≤ ⎪⎝⎭，D 错误，故选：C.6.已知π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4417sin cos 25θθ+=，则πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.13B.12C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】由同角三角函数的基本关系可得出关于sin θ、cos θ的方程组，解出这两个量的值，可得出tan θ的值，再利用两角和的正切公式可求得πtan 4θ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【详解】由已知可得442217sin cos 25sin cos 10sin 22cos 12θθθθθθ⎧+=⎪⎪+=⎪⎪⎨<<⎪<<⎩，解得sin 525cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，sin 1tan cos 52θθθ==⋅=，故π1tan tan1π42tan 3π141tan tan 1142θθθ++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--⨯.故选：D.7.对于数列{}n a ，若满足：12321111333n n n nR a a a a -=+++⋅⋅⋅+，则称n R 为数列{}n a 的“优值”，现已知数列{}n a 的“优值”13n nR =，记数列83n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则n S 的最大值为（）A.223B.233C.243D.253【答案】D 【解析】【分析】将1231221111133333n n n n n n a a a a a ---=+++⋅⋅⋅++中的n 变为n 1-后两式相减可得数列{}n a 的通项公式，然后令830n a +>即可求出n S 的最大值.【详解】由已知得1231221111133333n n n n n n a a a a a ---=+++⋅⋅⋅++①，则当2n ≥时，123112211113333n n n n a a a a ----=+++⋅⋅⋅+②所以①-②得1111333n n n n n n a ----=，即()21133n n a n n =--=-+，又当1n =时，113a =，符合213n a n =-+，故213n a n =-+，所以2113383n a n ++=-令21103833n a n =+-+>，得5n ≤，所以n S 的最大值为513525323S ⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭==.故选：D.8.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)(2)2C x y ++-=，若圆22:()(1)2D x a y -+-=上存在点P ，由点P 向圆C 引一条切线，切点为M，且满足||||PM PO =，则实数a 的取值范围为（）A.[1]-B.[4,2]- C.[3,3]- D.[2,4]-【答案】D【解析】【分析】根据PM =可求出点P 的轨迹方程，根据点P 的轨迹与圆D 有交点列出不等式求解.【详解】设点P 的坐标为(),x y ，如图所示：由PM =可知：222PM PO =，而222PM PC CM =-，∴2222PC CM PO-=∴()()()22221222x y x y++--=+，整理得222430x y x y +-+-=，即()()22128x y -++=.∴点P 的轨迹为以点()1,2E -为圆心，P 在圆D 上，∴所以点P 为圆D 与圆E 的交点，即要想满足题意，只要让圆D 和圆E ≤≤，解得24a -≤≤.故选：D9.设函数π()2sin(),(0),6f x x ωω=+>若存在12ππ,[,33x x ω∈-且12x x ≠，使得()()121f x f x ==，则ω的取值范围是（）A.[)4,∞+B.(]4,6C.[)6,∞+ D.(]6,10【答案】A 【解析】【分析】根据题意，需将π6x ω+看成整体角X ，由x 范围ππ[,33ω-求得X 范围πππ[,]362ω-+，结合函数2sin y X =的图象，求得使1sin 2X =的两个解，由题只需使π7π66x ω+≤-即可，计算即得.【详解】不妨取π6X x ω=+，由ππ[,33x ω∈-可得：ππππ[,]6362X x ωω=+∈-+，由2sin 1X =可得1sin 2X =，由图可取12π7π,,66X X ==-要使存在12ππ,[,33x x ω∈-且12x x ≠，使得()()121f x f x ==，需使，ππ7π366ω-+≤-，解得4ω≥.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题主要考查与正弦型函数图象有关的等高线问题.解决的关键在于将π6x ω+看成整体角，作出正弦函数的图象，结合求得的整体角的范围求得最近的符合要求的角，从而界定参数范围.10.在四面体ABCD 中，AB =，1AD BC CD ===，，且2πBAD ABC ∠==∠，则该四面体的外接球表面积为（）A.7π2B.7πC.8πD.10π【答案】B 【解析】【分析】根据题设条件作出四面体的高DH ，通过相关条件推理计算分别求出,AH DH ，最后在直角梯形HEOD ，利用勾股定理列出方程即可求得外接球半径.【详解】如图，作DH ⊥平面ABC ，连接,,AH HB HC ，易得,DH AB ⊥因AB AD ⊥，,,AD DH D AD DH ⋂=⊂平面DAH ，所以AB ⊥平面DAH ，AH ⊂平面DAH ，故AB AH ⊥,由题可得30BAC ∠= ，2AC =，则120HAC ∠= .不妨设,AH x DH h ==，则有221x h +=①，在HAC △中，由余弦定理，222422cos12024HC x x x x =+-⨯=++ ，在HDC △中，22246h x x +++=②，将两式相减化简即得：12x =，32h =.取线段AC 中点E ，过点E 作OE ⊥平面ABC ，其中点O 为外接球的球心，设外接球半径为R ，由余弦定理求得211712cos120424HE =+-⨯= ，在直角梯形HEOD 中，221OE R =-，由223724R =-+计算可得：274R =，则该四面体的外接球表面积为7π.故选：B .【点睛】方法点睛：本题主要考查四面体的外接球的表面积，属于中档题.求解多面体的外接球的主要方法有：（1）构造模型法:即寻找适合题意的长方体，正方体，圆柱等几何体，借助于这些几何体迅速求得外接球半径；（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多边形的外心，作出外接球球心，借助于题设中的条件得到多面体的高，构成直角梯形或直角三角形来求解.11.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中任意取出三个不同的数，若这三个数的和为不小于9的奇数，则不同的取法有（）种.A.54B.53C.47D.46【答案】B 【解析】【分析】将10个数分为2组，一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：0、2､4､6､8，然后分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，再由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，将10个数分为2组，一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数0、2､4､6､8，若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，有25C 10=种情况，都符合题意，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，若奇数取9，有25C 10=种情况；若奇数取7，有25C 10=种情况；若奇数取5，有25C 19-=种情况；若奇数取3，有25C 28-=种情况；若奇数取1，有25C 46-=种情况；综上，三个数的和为不小于9的奇数，不同的取法有10101098653+++++=种.故选：B.12.定义在R 上的可导函数()f x 满足()()e e xx x f x f x x --=+，当0x <时，1()0e xx f x -'+>，若实数a 满足222(2)(2)2e e 2e 0a a a f a f a a a ------+-++≤，则a 的取值范围为（）A.2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.[2,)+∞C.2,[2,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D.(,2]-∞【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件构造函数()g x ，利用偶函数的定义及导数的正负与函数的单调性的关系，结合偶函数的性质及函数的单调性即可求解.【详解】由()()e e xx xf x f x x --=+，得()()e e x xx x f x f x ---=--.令()()ex xg x f x =-，则()()g x g x =-，即()g x 为偶函数.当0x <时，1()()0ex x g x f x -''=+>，所以()g x 在(),0∞-上单调递增；所以()g x 在()0,∞+上单调递减.由()()222222ee 2e 0aa a f a f a a a ------+-++≤，得()()222222e e a a a a f a f a +≤+-+-，即()()22g a g a ≤+.又()g x 为偶函数，所以()()22g a g a ≤+，因为()g x 在()0,∞+上单调递减，所以22a a ≥+，即22444a a a ≥++，解得23a ≤-，或2a ≥，所以a 的取值范围为2,[2,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选：C.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数()g x ，利用偶函数定义和导数法求出函数的单调性，再利用偶函数和单调性即可解决抽象不等式.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与直线240x y +-=平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为__________．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据已知条件求得b ，再求焦点到渐近线距离即可.【详解】根据题意可得12b -=-，故可得12b =，则2c ==，则右焦点坐标为,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，一条渐近线为12y x =，右焦点到一条渐近线的距离5142d ==.故答案为：12.14.在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点E ∈平面11ABB A ，点F 是线段1AA 的中点，若1D E CF ⊥，则当EBC 的面积取得最小值时，1D E =_____________．【答案】##322【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设(2,,)E y z ，根据1D E CF ⊥，结合数量积运算，求得22z y =-，进而表示出EBC 的面积，结合面积有最小值即可求得,z y ，即可求得答案.【详解】以点D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则1(0,2,0),(2,2,0),(2,0,1),(0,0,2)C B F D ，设(2,,)E y z ，则()12,2,1,(2,,2)CF D E y z =-=-，因为1D E CF ⊥，故14220D E CF y z ⋅=-+-=，即22z y =-，由于BC ⊥平面11ABB A ，EB ⊂平面11ABB A ，故BC EB ⊥，所以EBC 的面积为222BE BC BE S BE ⋅⨯===，而BE ===故S =65y =时，25128y y -+取最小值，即S 最小，此时62,55y z ==，则1682,,55D E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故1D E =，即1DE =，故答案为：【点睛】方法点睛：由于是在正方体中求解线段的长，因此可以建立空间直角坐标系，根据空间向量的数量积运算结合EBC 面积最小，求出参数，即E 点的坐标，从而解决问题.15.设数列{}n a 满足11a =，22a =，()*21,N 2,n n n a n a n a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数，令()22221πlog sin 2n n n b a a -⎛⎫=⋅⋅⎪⎝⎭，则数列{}n b 的前100项和为___________．【答案】5000-【解析】【分析】根据给定的递推公式，求出数列{}n a 的通项公式，进而求出n b ，再利用分组求和法求解即得.【详解】数列{}n a 满足11a =，22a =，()*21,N 2,n n n a n a n a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数，∴数列{}21n a -是以1为首项，1为公差的等差数列，即21n a n -=，数列{}2n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，即22nn a =，因此()222ππlog 2sinsin 22nn n n b n =⋅=，显然πsin 2n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的周期为4，则4342414k k k kb b b b ---+++()()()()()()()222243π42π41π4π43sin42sin41sin4sin2222k k k k k k k k ---=-+-+-+()()()224341821k k k =---=--，令4342414n n n n n c b b b b ---+++=，则有()821n c n =--，()()1821182116n n c c n n +⎡⎤⎡⎤=-+----=-⎣⎣⎦-⎦，∴数列{}n c 是等差数列，数列{}n b 的前100项和，即数列{}n c 的前25项和()()2588122550002⎡⎤⨯-+-⨯⎣⎦=-.故答案为：5000-.16.已知函数()21ln ,04,0x x f x xx x x ⎧+>⎪=⎨⎪--+≤⎩，()g x x a =-+，若函数()()()F x f x g x =-有三个零点123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅的取值范围是__________.【答案】(⎤⎦【解析】【分析】由题意首先得(]2,4a ∈，212233222321111124ln ln ln 41a x x x x x x x x x x <=-+=-++=++=++≤，进一步有231x x =，由此即可顺利得解.【详解】由题意设()()h x f x x =+，则函数()()()F x f x g x =-的零点即为方程()h x a =的根，在同一平面直角坐标系中分别画出函数()h x 的图象以及直线y a =如图所示：若函数()()()F x f x g x =-有三个零点123,,x x x ，（不妨设为123x x x <<），则方程()h x a =的根有三个根123,,x x x ，且12301x x x ≤<<<，所以(]2,4a ∈，且212233222321111124ln ln ln 41a x x x x x x x x x x <=-+=-++=++=++≤，因为1ln y x x x =++在()1,∞+单调递增，所以321x x =，即231x x =，所以1231x x x x ⋅⋅=，令224a x ==-+，0x ≤，解得x =，令244a x ==-+，0x ≤，解得0x =，所以(1231x x x x ⎤⋅⋅=∈⎦.故答案为：(⎤⎦.【点睛】关键点睛：关键是根据函数单调性得到231x x =，由此即可顺利得解.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：不太了解比较了解合计男生204060女生202040合计4060100（1）判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；（2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为X ，求X 的分布列及()E X .附：①()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++；②当2 3.841χ>时有95%的把握认为两变量有关联.【答案】（1）没有（2）分布列见解析，()45E X =【解析】【分析】（1）根据题意和公式求出2χ，然后根据附②即可得出结论；（2）由题得出X 的取值依次为0，1，2，依次求出各种取值的概率，然后写出分布列求出期望.【小问1详解】根据列联表中的数据，得()2210020202040252.7783.841406040609χ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异.【小问2详解】这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，则抽取的男生有3人，女生在2人，所以X 的取值依次为0，1，2，()2325C 30C 10P X ===，()112325C C 31C 5P X ===，()2225C 12C 10P X ===，所以X 的分布列为X012P31035110()3314012105105E X =⨯+⨯+⨯=.18.在锐角ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知sin Ca b =+．（1）求B 的值；（2）若2b =，求ABC 面积的取值范围．【答案】（1）π6B =（2）(S ∈+【解析】【分析】（1）由正弦定理、余弦定理进行边角转换即可.（2）由正弦定理、三角形面积公式结合三角恒等变换得5π2cos 26SA ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭解.【小问1详解】sin C a b =+ca b =+，即222a cb +-=，由余弦定理得222cos 222a cb B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π6B =．【小问2详解】在锐角ABC 中，π2,6b B ==，记ABC 的面积为S ．由正弦定理得2πsin sin sin 6a c AC ==，即4sin ,4sin a A c C ==．所以()()15πsin 4sin sin 2cos cos 2cos 226S ac B A C A C A C A ⎛⎫⎡⎤===--+=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭因为在锐角ABC 中，π6B =，所以πππ0,,π0,262A C A ⎛⎫⎛⎫∈=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得ππ5πππ,,2,32666A A ⎛⎫⎛⎫∈-∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5πcos 2,162A ⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故(S ∈+．19.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，且11,.2BD CD BD CD DE ==⊥⊥平面ABCD ，且12DE BF DE == BF .点,H G 分别为线段,DC EF 上的动点，满足(02)DH EG λλ==<<.（1）证明：直线GH 平面BCF ；（2）是否存在λ，使得直线GH 与平面AEF 所成角的正弦值为14？请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【解析】【分析】（1）以D 为原点，分别以,,DC DB DE 方向为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，证明GH与平面BCF 的法向量垂直即可证；（2）由线面角的向量法求线面角后可得结论．【小问1详解】如图，以D 为原点，分别以,,DC DB DE 方向为,,x y z 轴建立坐标系.()()()((2,0,0,0,1,0,2,1,0,0,0,,0,1,C B A E F -.()(((2,1,0,0,0,,2,1,,0,1,BC BF AE EF =-==-=.设平面BCF 的法向量为()1111,,n x y z =，则由11111200,0,0x y BC n BF n -=⎧⎪⋅=⋅=⎨=⎪⎩，取11x =得()11,2,0n = .因为2,DC EF EG DH λ====，所以,22DH DC EG EFλλ==解得(),0,0,0,,,,2222H G GH λλλλλλ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以10n GH ⋅=，且GH ⊄平面BCF ，所以GH 平面BCF【小问2详解】设平面AEF 的法向量为()2222,,n x y z =则由2222222200,0,0x y AE n EF n y ⎧-+=⎪⋅=⋅=⎨+=⎪⎩，解得)21n =- .所以242sin cos ,14n GH θ===，解得1λ=.20.设点P 是椭圆221:14x C y +=上任意一点，过点P 作椭圆的切线，与椭圆()22222:114x y C t t t +=>交于A B ，两点.（1）求证：PA PB =;（2）OAB 的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）是定值，定值为【解析】【分析】（1）直线AB 与椭圆方程联立，证明AB 的中点坐标，即切点P 的坐标；（2）首先讨论直线AB 的斜率不存在的情况，以及直线AB 的斜率存在时与椭圆方程联立，并利用韦达定理表示弦长AB ，并表示OAB 的面积.【小问1详解】设直线AB 斜率不存在，则点P 在x 轴上，由对称性可知，PA PB =，若直线AB 的斜率存在，设:AB y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，联立()2204y kx mx y λλ=+⎧⎪⎨+=>⎪⎩，可得()222418440k x kmx m λ+++-=，当1λ=时，直线AB 与椭圆切于点P ，()()2222Δ64164110k m k m =-+-=，解得：2241m k =+，02441kmx k -=+，当2t λ=时，线段AB 中点的横坐标12024241x x kmx k +-==+，所以点P 为线段AB 的中点，PA PB =，综上，PA PB =；【小问2详解】若直线AB 斜率不存在，则:2AB x =±，与椭圆2C方程联立可得，(2,A ±，(B ±，故OAB S = 若直线AB 的斜率存在，由（1）可得122841km x x k -+=+，221224441m t x x k -=+，2241m k =+AB ==点O 到直线AB的距离d ==所以12OAB S AB d =⋅= 综上OAB 的面积为定值.【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是转化为直线AB 与椭圆相交和相切的问题，转化为证明AB 的中点，即切点P .21.设函数()()2e axf x x =-．（1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为30y x b -+=，求a ，b 的值；（2）若当0x >时，恒有()2f x x >--，求实数a 的取值范围；（3）设*n ∈N 时，求证：()()2222223521ln 112231n n n n +++⋅⋅⋅+<+++++．【答案】（1）1,2a b =-=（2）(],1-∞（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据题意结合导数的几何意义列式求解；（2）构建()()2g x f x x =++，由题意可知：当0x >时，恒有()0g x >，且()00g =，结合端点效应分析求解；（3）由（2）可知：当1,0a x ≤>时，()2e 20axx x -++>，令1a =，12e x t =，可得221ln 1t t t -<+，再令1n t n +=，可得()()2221ln 1ln 1n n n n n +<+-++，利用累加法分析证明.【小问1详解】因为()()2e axf x x =-，则()()e 2e axaxf x a x =+-'，则()02f =-，()012f a '=-，即切点坐标为()0,2-，斜率12k a =-，由题意可得：2300123b a --⨯+=⎧⎨-=⎩，解得1,2a b =-=.【小问2详解】令()()()22e 2axg x f x x x x =++=-++，则()()()e 2e 121e 1axaxaxg x a x ax a =+-+=-++'，由题意可知：当0x >时，恒有()0g x >，且()00g =，则()01210g a =+'-≥，解得1a ≤，若1a ≤，则有：①当a<0时，()()()()242e 22e e 2e 1e 22ax ax ax ax ax x g x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫=-++=++=+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，因为0x >，可知()2e 0axx +>，令()41e 2ax h x x -=-++，因为41,e 2ax y y x -=-=+在()0,∞+内单调递增，可得()h x 在()0,∞+内单调递增，则()()00h x h >=，即()()()2e 0axg x x h x =+>，符合题意；②当0a =时，则()2220g x x x x =-++=>在()0,∞+内恒成立，符合题意；③当01a <≤时，令()()x g x ϕ='，则()()()e 21e22e axaxax x a a ax a a ax a ϕ=+-+=-+'，因为0x >，则22220ax a a -+>-+≥，e 0ax >，可知()()22e0axx a ax a ϕ+'=->在()0,∞+内恒成立，则()x ϕ在()0,∞+内单调递增，可得()()0220x a ϕϕ>=-≥，则()g x 在()0,∞+内单调递增，可得()()00g x ϕ>=，符合题意；综上所述：实数a 的取值范围为(],1-∞.【小问3详解】由（2）可知：当1,0a x ≤>时，()2e 20axx x -++>，令1a =，可得()2e 20xx x -++>，令12e1x t =>，则2e ,2ln xt x t ==，则()22ln 22ln 20t t t -++>，整理得221ln 1t t t -<+，令*11,n t n n +=>∈N ，则22111ln 11n n n n n n +⎛⎫- ⎪+⎝⎭<+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，整理得()()2221ln 1ln 1n n n n n +<+-++，则()()2222223521ln 2ln1,ln 3ln 2,,ln 1ln 12231n n n n n +<-<-⋅⋅⋅<+-++++，所以()()()2222223521ln 1ln1ln 112231n n n n n +++⋅⋅⋅+<+-=+++++.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多选，则按所做的第一题记分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()sin cos 3ρθθ+=．（1）写出曲线1C 的极坐标方程，曲线2C 的直角坐标方程；（2）曲线1C 与曲线2C ，如有公共点，求出公共点坐标；如无公共点，设,A B 分别为曲线1C 与曲线2C 上的动点，求线段AB 的最小值．【答案】（1）曲线1C 极坐标方程()22cos sin 10ρρθθ--+=，曲线2C 的直角坐标方程为30x y +-=（2）无公共点，3212-【解析】【分析】(1)由参数方程，直角坐标方程及极坐标方程互化求解；(2)由直线与圆的位置关系求解即可.【小问1详解】曲线1C 的普通方程()()22111x y -++=，极坐标方程()()22cos 1sin 11ρθρθ-++=，()22cos sin 10ρρθθ∴--+=，曲线2C 的极坐标方程为()sin cos 3ρθθ+=．化为直角坐标方程为30x y +-=；【小问2详解】曲线1C 的普通方程()()22111x y -++=，圆心为()11,1O -，到直线30x y +-=的距离为12d =>，故曲线1C 与曲线2C 的无公共点，即直线与圆相离，得线段AB 的最小值为3212-．【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()223f x x x =--．（1）求不等式()5f x ≥的解集；（2）设函数()()12g x f x x =+++的最小值为m ，若0,0a b >>且2a b m +=，求证：2242a b +≥．【答案】（1）][(),24,-∞-⋃+∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）解绝对值不等式时，一般考虑分类讨论法求解，最后再合并；（2）分类讨论()g x 的单调性，判断其在不同区间上的最小值，最后确定m 的值，利用基本不等式即可证明.【小问1详解】不等式()5f x ≥可化为2235x x --≥或2235x x --≤-，由2235x x --≥，可得2280x x --≥，解得4x ≥或2x ≤-；由2235x x --≤-，可得2220x x -+≤，解得x ∈∅，所以不等式()5f x ≥的解集为][(),24,∞∞--⋃+．【小问2详解】由题意，知()()()()123112g x f x x x x x =+++=-++++，当1x ≤-时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-+-++2317(24x =--，因()g x 在(,1]-∞-上单调递减，则min ()(1)2g x g =-=；当13x -<<时，()(3)(1)(1)2g x x x x =--++++=233324x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，因()g x 在3(1,)2-上单调递增，在3(,3)2上单调递减，故()g x 在(1,3)-无最小值，但是()2g x >；当3x ≥时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-++++211(24x =--，因()g x 在[3,)+∞上单调递增，则min ()(3)6g x g ==.综上，当=1x -时，函数()g x 取得最小值2，即2m =，所以22a b +=，因0,0a b >>，所以()()2222224222a b a b a b ++=+≥=，当且仅当1,12a b ==时等号成立，故2242a b +≥．。
四川省成都市第七中学2020-2021学年度上学期2021届高三阶段性测试
成都七中2020-2021学年度上学期2021届高三阶段性测试数学试卷（理科）一，选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把答案涂在答题卷上）1，复数()21i z +=的虚部为( )A. 2iB.2C.-2iD.-22,{}2|x y y P ==, {}2|22=+=y x x Q ,则Q P ⋂=A. []22-，B.()(){}1,1,1,1-- C,{}2,0 D,[]2,03,“2a >”是“函数()x e a x x -+)(f 在()∞+，0上的极值”的（ ） A,充分不必要条件 B 必要不充分条件C ，充要条件D ，既不充分也不必要条件4，若如图所示的程序框图输出S 是126，则①可为（ ）A. ?5n ≤B.?6n ≤C.?7n ≤D.?8n ≤5,某几何体的三视图如上图(右)所示，则该几何体的体积为（ ）A. 23B.1C.21D.31 6,关于函数()()R x x x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 4π有如下命题，其中正确的个数有（ ） ①()x f =y 的表达式可改写为()()R x x x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62cos 4π； ②()x f =y 是以为π2最小周期的周期函数；③()x f =y 的图像关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,6π对称； ④()x f =y 的图像关于直线3x π=对称； A.0个 B.1 个 C.2 个 D.3个7，为抗击新冠病毒，某部门安排甲，乙，丙，丁，戊五名专家到三地指导防疫工作，因为工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲，乙两名专家必须安排在同一地工作，丙，丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方式总数为（ ）A.18B.24C.30D.368,在平面直角坐标系xoy 中，直线04:l =+-k y kx 与曲线29y x -=交于A,B 两点，且2=⋅AB AO ，则k=( ) A. 33 B.22 C.1 D.3 9,如图，四棱锥S-ABCD 中，底面是边长2为的正方形ABCD ，AC 与BD 的交点为O ，SO ⊥平面ABCD 且2=SO ，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持AC PE ⊥，则动点P 的轨迹的周长为( )21.+A 32.B 21.+C 31.+D10,已知定义域为R 的奇函数()x f 的周期为2，且]1,0(∈x 时()x x f 21log =， 若函数()()x x f x F 2sin π-=在区间[]()3m 3-->∈m Z m 且，上至少有5个零点，则m 的最小值为（）A.2B.3C.4D.611,过抛物线E ：()02x 2>=p py .的焦点作两条相互垂直的弦AB,CD ，设P 为抛物线的一动点，()2,1Q 若4111=+CD AB ，则PQ PF +的最小值是（） A.4 B.3 C.2 D.112,已知定义在R 上的奇函数()x f 满足()2/->x f ，则不等式()()()x x x x f 213ln 2312-+-<-的解集为（）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛e 10，B.()10，C.()e 1， D .⎪⎭⎫ ⎝⎛e ,e 1 二，填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。