双曲型方程的差分方法
拟线性双曲-抛物奇异摄动问题的变步长差分格式
关 键 词 ： 网格 函数 ； 均 匀 网格 ； 非 离散 稳 定 不 等 式 ； 致 收 敛 一
中图分 类号 ： Ｏ１ ５ １ ７．
文献标 志码 ： Ａ
文章 编号 ：０ ４０ ６ （ ０ ２ ０ —０ ７０ １ ０ —３ ６ ２ １ ） ２０ １ —３
第 ２ ４卷
第 ２期
Байду номын сангаас
甘 肃 科 学 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＧａ ｓ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｎ ｕ Ｓ ｉｎ ｅ ｏ
Ｖｏ． ４ Ｎｏ ２ １２ ．
２１ ０ ８年 ６月
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拟 线 性双 曲一 抛 物 奇 异 摄 动 问题 的变 步 长 差 分 格 式
收 稿 日期 ：０ １０ 一 ８ ２ １—９ｚ
基 金项 目 。 放 军 陆 军 军 官 学 院 后 备 人 才 基 金 （０ ７５ ３ 解 ２００２） 作 者 简 介 ； 国玉 （９ ４） 女 ， 士 ， 师 ， 究 方 向为 偏 微 分 方 程 ． — ｉ ｇ ｃ ｅ６ ８ ＠１ ６ ｔｍ 陈 １７ 一 ， 硕 讲 研 Ｅｍａ ｔｙｈ ｎ ５ ３ ２ ．ｏ ｌ
ｄ ｒ ｔ ｅ ｃ ｎ ｉ ｏ ｈ ｔ ｈ ｅ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｆ ｎ ｔｏ ｓｕ ｉ ｒ ｌ ｏ ｖ ｒ ｅ ｔ ｔ ｅ ｐ ｃ ｏ ｔ ｅｓ ｌ ｐ ｒ ｍ ｅ ｅ ｅ ｈ ｏ ｄ ｔ ｎ ｔ ａ ｅ ｐ ｒ ｕ ｂ ｔ ｕ ｃ ｉ ｎ ｉ ｎ ｆ ｍ ｙ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｈ ｒ ｓ ｅ ｔ ｈ ｍａ ｌ ａ ａ ｔ ｒ ｉ ｔ ｏ ｏ ｗｉ ｔ ｅ Ｔｈ ｎ ａ ｎ ｎ ｕ ｉ ｒ ｍ ｅ ｈ ｉ ｃ ｎ ｔ ｕ ｔ ｄ ａ ｏ ｇ ｔ ｅ ｄ ｒ ｃ ｉ ｎ ｏ ｉ ｅ Ｔｈ ｎ ｆ ｒ ｌ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｆｔ ｉ ． ｅ ｏ － ｎ ｆ ｍ ｓ ｓ ｏ ｓ ｒ ｃ ｅ ｌ ｎ ｈ ｉｅ ｔｏ ｆ ｔ ． ｅ ｕ ｉ ｍ ｙ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｏ ｈ ｓ ｏ ｍ ｏ ｄ ｆ ｅ ｅ ｃ ｃ ｅ ｔ ｅ ｐ ｃ ｏ ｔ ｅ ｓ ａ ｌ ａ ａ ｅ ｅ ｓ ｆ ａ ｌ ｒ ｖ ｄ ｉ ｒ ｎ ｅ ｓ ｈ ｍｅ ｗｉｈ ｒ ｓ ｅ ｔｔ ｈ ｍ ｌ ｐ ｒ ｍ ｔ ｒ ｉ ｉ ｌ ｐ ｏ ｅ ． ｆ ｎ ｙ Ｋｅ ｒ ｓ ｍ ｅ ｈ ｆ ｎ ｔｏ ｎ ｎ ｕ ｉｏ ｍ ｓ ｄ ｓ ｒ ｔ ｔ ｂ ｅ ｉ ｅ ｕ ｌ ｙ； ｎ ｆ ｒ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｙ ｗｏ ｄ ： ｓ ｕ ｃ ｉ ｎ； ｏ — ｎ ｆ ｒ ｍｅ ｈ； ｉｃ ｅ ｅ ｓ ａ ｌ ｎ ｑ ａ ｉ ｕ ｉｏ ｍ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｔ
(高等数学)偏微分方程
第十四章 偏微分方程物理、力学、工程技术和其他自然科学经常提出大量的偏微分方程问题.由于实践的需要和一些数学学科（如泛函分析，计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展，使它形成一门内容十分丰富的数学学科.本章主要介绍一阶偏微分方程、线性方程组及二阶线性偏微分方程的理论.在二阶方程中，叙述了极值原理、能量积分及惟一性定理.阐明了一些解的性质和物理意义，介绍典型椭圆型、双曲型、抛物型方程的常用解法：分离变量法，基本解，格林方法,黎曼方法,势位方法及积分变换法.最后，扼要地介绍了有实用意义的数值解法：差分方法和变分方法.§1 偏微分方程的一般概念与定解问题[偏微分方程及其阶数] 一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程.如果等式不止一个，就称为偏微分方程组.出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或方程组的阶数.[方程的解与积分曲面] 设函数u 在区域D 内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如果将u 代入方程后，能使它在区域D 内成为恒等式，就称u 为方程在区域D 中的解，或称正规解. ),,,(21n x x x u u = 在n +1维空间),,,,(21n x x x u 中是一曲面，称它为方程的积分曲面. [齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程] 对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程.如()()()()y x f u y x c yuy x b x u y x a ,,,,=+∂∂+∂∂就是线性方程.在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，如上式的f (x,y ).若自由项不为零，称方程为非齐次的.若自由项为零，则称方程为齐次的.[拟线性方程与半线性方程] 如果一个方程，对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，称它为拟线性方程.如()()()()()()0,,,,,,,,,,,,22222122211=+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂u y x c y uu y x b x u u y x a yu u y x a y x u u y x a x u u y x a就是拟线性方程，在拟线性方程中，由最高阶偏导数所组成的部分称为方程的主部.上面方程的主部为()()()22222122211,,,,,,yuu y x a y x u u y x a x u u y x a ∂∂+∂∂∂+∂∂如果方程的主部的各项系数不含未知函数，就称它为半线性方程.如()()()()0,,,,,,2222=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂y yu y x d x y u y x c yu y x b x u y x a就是半线性方程.[非线性方程] 不是线性也不是拟线性的方程称为非线性方程.如1)()1(222=∂∂+∂∂+yux u u就是一阶非线性偏微分方程.[定解条件] 给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程.如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件.表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到约束的条件称为边界条件.[定解问题] 给定了泛定方程（在区域D 内）和相应的定解条件的数学物理问题称为定解问题.根据不同定解条件，定解问题分为三类.1︒ 初值问题 只有初始条件而没有边界条件的定解问题称为初值问题或柯西问题. 2︒ 边值问题 只有边值条件而没有初始条件的定解问题称为边值问题.3︒ 混合问题 既有边界条件也有初始条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题）.[定解问题的解] 设函数u 在区域D 内满足泛定方程，当点从区域D 内趋于给出初值的超平面或趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中所要求的u 及它的导数的极限处处存在而且满足相应的定解条件，就称u 为定解问题的解.[解的稳定性] 如果定解条件的微小变化只引起定解问题的解在整个定义域中的微小变化，也就是解对定解条件存在着连续依赖关系，那末称定解问题的解是稳定的.[定解问题的适定性] 如果定解问题的解存在与惟一并且关于定解条件是稳定的，就说定解问题的提法是适定的.§2 一阶偏微分方程一、 柯西-柯娃列夫斯卡娅定理[一阶偏微分方程的通解] 一阶偏微分方程的一般形式 是0),,,,,,,,(2121=∂∂∂∂∂∂nn x ux u x u u x x x F或()0,,,,,,,211=n n p p p u x x F ，其中()n i x up ii ,,2,1 =∂∂=如解出p 1，可得：p 1 = f (x 1 , x 2 ,…, x n , u , p 2 ,…, p n )当方程的解包含某些“任意元素”(指函数)，如果适当选取“任意元素”时，可得方程的任意解(某些“奇异解”除外)，则称这样的解为通解.在偏微分方程的研究中，重点在于确定方程在一些附加条件(即定解条件)下的解，而不在于求通解.[一阶方程的柯西问题]()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂=n x x n n x x u p p u x x x f x u,,|,,,,,,,22211011 ϕ 称为柯西问题，式中),,(2n x x ϕ为已知函数，对柯西问题有如下的存在惟一性定理.[柯西－柯娃列夫斯卡娅定理] 设 f ( x 1 , x 2 ,, x n , u , p 2 ,, p n ) 在点 ( x 10 , x 20 ,, x n 0 , u 0 , p 20 ,, p n 0 ) 的某一邻域内解析，而),,(2n x x ϕ在点( x 20 ,, x n 0 ) 的某邻域内解析，则柯西问题在点 ( x 10 ,, x n 0 ) 的某一邻域内存在着惟一的解析解.这个定理应用的局限性较大，因它要求f 及初始条件都是解析函数，一般的定解问题未必能满足这种条件.对高阶方程也有类似定理.二、 一阶线性方程1． 一阶齐次线性方程[特征方程∙特征曲线∙初积分(首次积分)] 给定一阶齐次线性方程在有些书中写作0),,,,,,,,,(121=∂∂∂∂∂∂nn x u x u t u u x x x t F()()0,,,,,,211211=∂∂++∂∂nn n n x u x x x a x u x x x a (1) 式中a i 为连续可微函数，在所考虑的区域内的每一点不同时为零(下同).方程组()n i ix x x a tx ,,,d d 21 = ( i = 1,2,, n ) 或()()()n n n n n x x x a x x x x a x x x x a x ,,,d ,,,d ,,,d 2121222111 === (2)称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n )满足特征方程(2)，就称曲线l 为一阶齐次线性方程的特征曲线.如果函数ψ ( x 1 , x 2 ,, x n )在特征曲线),,2,1()(n i t x x i i ==上等于常数，即ψ ( x 1(t ) , x 2(t ) ,, x n (t ) ) = c就称函数ψ ( x 1, x 2,, x n )为特征方程(2)的初积分(首次积分). [齐次方程的通解]1o 连续可微函数u = ψ ( x 1, x 2,, x n ) 是齐次线性方程(1)的解的充分必要条件是： ψ ( x 1, x 2,, x n )是这个方程的特征方程的初积分.2o 设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 是特征方程(2)在区域D 上连续可微而且相互独立的初积分(因此在D 内的每一点，矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂---n n n n n n x x x x x x x x x 121112221212111ψψψψψψψψψ 的秩为n 1-) ，则u = ω ( ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) ,, ψn -1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) )是一阶齐次线性方程(1)的通解，其中ω为n 1-个变量的任意连续可微函数. [柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni i n i x x u x u x x x a ,,|0,,,2121011 ϕ 式中ϕ ( x2 ,, x n )为已知的连续可微函数.设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 为特征方程的任意n 1-个相互独立的初积分，引入参变量 i ψ (1,,2,1-=n i )，从方程组()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===--120112201212011,,,,,,,,,n n n n n x x x x x x x x x ψψψψψψ 解出x 2 ,, x n 得()()⎪⎩⎪⎨⎧==--12112122,,,,,,n n nn x x ψψψωψψψω 则柯西问题的解为u = ϕ ( ω2 ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) ,, ωn ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) )2． 非齐次线性方程它的求解方法与拟线性方程相同.三、 一阶拟线性方程一阶拟线性方程为()()∑==∂∂ni n i n i u x x x R x uu x x x a 12121,,,,,,,, 其中a i 及R 为x 1 , x 2 ,, x n , u 的连续可微函数且不同时为零. [一阶拟线性方程的求解和它的特征方程]()()⎪⎩⎪⎨⎧===u x x x R t un i u x x x a t x n n i i,,,,d d ),,2,1(,,,,d d 2121 或()()()u x x R uu x x a x u x x a x n n n n n ,,,d ,,,d ,,,d 11111 ===为原拟线性方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n ) , u = u (t ) 满足特征方程，则称它为拟线性方程的特征曲线.设 ψi ( x 1 ,, x n ,u ) ( i = 1,2,, n ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，那末对于任何连续可微函数ω，ω ( ψ1 ( x 1,, x n , u ) , ψ2 ( x 1,, x n , u ) ,, ψn ( x 1,, x n , u ) ) = 0都是拟线性方程的隐式解.[柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni n i ni x x u u x x x R x u u x x x a ,,|,,,,,,,,212121011 ϕ ϕ为已知的连续可微函数.设 ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) ,, ψn ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，引入参变量 n ψψψ,,,21 , 从()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===nn n n n u x x x u x x x u x x x ψψψψψψ,,,,,,,,,,,,2012201212011解出 x 2 ,, x n , u()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===n n n n n u x x ψψψωψψψωψψψω,,,,,,,,,21212122 则由()()()()()()()0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2121221221121=-≡n n n n n n u x x x u x x x u x x x V ψψψωψψψωϕψψω给出柯西问题的隐式解.四、 一阶非线性方程[完全解·通解·奇异解] 一阶非线性方程的一般形式为()()n i x up p p p u x x x F ii n n ,,2,10,,,,,,,,2121 =∂∂== 若一阶偏微分方程的解包含任意n 个独立的常数，则称这样的解为完全解(全积分). 若V ( x 1, x 2 ,, x n , u , c 1 , c 2,, c n ) = 0为方程的完全解，从()n i c VV i,,2,10,0 ==∂∂= 消去c i ，若得一个解，则称它为方程的奇异解(奇积分).以两个独立变量为例说明完全解与通解、奇异解的关系，设方程()yzq x z p q p z y x F ∂∂=∂∂==,,0,,,,有完全解V (x ,y ,z ,a ,b )=0 ( a ,b 为任意常数),则方程等价于从方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=0,00,,,,q z Vy V p z V x V b a z y x V 消去a ,b 所得的方程.利用常数变易法把a ,b 看作x , y 的函数，将V (x ,y ,z ,a ,b )=0求关于x , y 的偏导数，得00=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂ybb V y a a V q z V y V xbb V x a a V p z V x V那末0,0=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂yb b V y a a V x b b V x a a V 与V=0联立可确定a ,b .有三种情况：1︒ 0≡∂∂≡∂∂bVa V ，将其与V (x ,y ,z ,a ,b )=0联立可确定不含任意常数的奇异解. 2︒ 如0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂yb x b y a x a ，即回到完全解. 3︒ 当0/,0/≡∂∂≡∂∂b Va V 时，必有()()0,,=∂∂y x b a ，这时，如果不属于情形2︒ ，则a 与b 存在函数关系：b=ω(a )，这里ω为任意可微函数，并从方程V (x ,y ,z ,a ,b )=0和()∂∂∂∂ωV a Vba +'=0消去a ,b ，可确定方程的通解.定理 偏微分方程的任何解包含在完全解内或通解内或奇异解内. [特征方程·特征带·特征曲线·初积分] 在一阶非线性方程：()F x x x u p p p n n 12120,,,,,,,, =中，设F 对所有变量的二阶偏导数存在且连续，称()n i uFp x F t p p F p t u p Ft x i i i ni iii i ,,2,1)(d d d d ,1 =∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂∑=或u F p x F p u F p x F p p Fp up F x p F xp F x n nnni i i nn ∂∂+∂∂-==∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂==∂∂=∂∂∑=d d d d d d 11112211为非线性方程的特征方程.设特征方程的解为x i =x i (t ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,…,n )称它为非线性方程的特征带.在x 1,x 2,, x n ,u 空间的曲线x i =x i (t ), u=u (t ) (i=1,2,…,n )称为非线性方程的特征曲线.如果函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 在特征方程的任一解x i =x i (t ) (i =1,2,, n ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,, n )上等于常数，即()()()()()()()()G x t x t x t u t p t p t p t C n n 1212,,,,,,,, =那末函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 称为特征方程的初积分.[求完全解的拉格朗日－恰比方法] 考虑两个变量的情况.对于方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0，选择使雅可比式()()0,,≠∂∂q p G F 的一个初积分G (x ,y ,z ,p ,q ).解方程组()()F x y z p q G x y z p q a,,,,,,,,==⎧⎨⎪⎩⎪0(a 为任意常数) 得p (x ,y ,z ,a )及q (x ,y ,z ,a ).则方程d z=p d x+q d y的通解V (x ,y ,z ,a ,b )=0(b 是积分d z=p d x+q d y 出现的任意常数)就是方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0的完全解.例 求方程()z p q x y 22222+=+的完全解.解 方程的特征方程为()()()qy x z y qp q p z x p q p z z q z y p z x 22222222222d 22d 2d 2d 2d +-=+-=+== 这里成立zpxx p z z p d d d =+ 所以特征方程的一个初积分为z 2p 2 －x 2 .解方程组 ()()z p q x y z p x a22222222+-+=-=⎧⎨⎪⎩⎪ (a 为任意常数) 得 p a x zq y az=+=-22, 积分微分方程dz a x zdx y azdy =++-22 得完全解z x x a y y a a x x a y y ab 22222=++-++++-+ln(b 为任意常数)[某些容易求完全解的方程] 1︒ 仅含p ,q 的方程F (p ,q )=0G =p 是特征方程的一个初积分.从F (p ,q )=0与p=a (a 为任意常数)得q=ψ(a )，积分d z=a d x+ψ(a )d y得完全解z=ax+ψ(a )y+b (b 为任意常数)2︒ 不显含x ,y 的方程F (z ,p ,q )=0 特征方程为zFqqz F p p q F q p F p z q F y p F x ∂∂-=∂∂-=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂d d d d d 因此q d p-p d q =0，显然G qp=为一个初积分，由F (z ,p ,q )=0，q=pa (a 为任意常数)解得p=ψ(z ,a ).于是由d z=ψ(z ,a )d x+a ψ(z ,a )d y得()⎰++=b ay x a z z,d ψ (b 为任意常数)可确定完全解.3︒ 变量分离形式的方程()f x p i i i i n,=∑=10特征方程为n n n n i i iin n n x f p x f p p f p z p f x p f x ∂∂-==∂∂-=∂∂=∂∂==∂∂∑=d d d d d 1111111 可取初积分G i =f i (x i ,p i ) , (i =1,2,, n ).从f i (x i ,p i )=a i (i =1,2,, n )解出p i =ϕi (x i ,a i )得完全解()∑⎰=+=ni i i i i b x a x z 1d ,ϕ式中a i ,b 为任意常数，且a i i n=∑=10.[克莱罗方程] 方程()z p x f p p p i i n i n=+=∑121,,,称为克莱罗方程，其完全解为()z c x f c c c i i n i n=+=∑121,,,对c i 微分得x fc i i=-∂∂ (i =1,2,…,n ) 与完全解的表达式联立消去c i 即得奇异解.例 求方程z －xp －yq －pq =0的完全解和奇异解. 解 这是克莱罗方程，它的完全解是z=ax+by+ab对a,b 微分，得x=－b,y=－a ，消去a ,b 得奇异解z=－xy[发甫方程] 方程P (x,y,z )d x+Q (x,y,z )d y+R (x,y,z )d z=0 (1)称为发甫方程，如果P,Q,R 二次连续可微并满足适当条件，那末方程可积分.如果可积分成一关系式时，则称它为完全可积.1︒ 方程完全可积的充分必要条件 当且仅当P,Q,R 满足条件0)()()(=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂yP x Q R x R z P Q z Q y R P (2) 时，存在一个积分因子μ(x,y,z )，使d U 1=μ(P d x+Q d y+R d z )从而方程的通解为U 1(x,y,z )=c特别，当0,0,0=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂yP x Q x R z P z Q y R 时，存在一个函数U (x,y,z )满足 zU R y U Q x U P ∂∂=∂∂=∂∂=,,从而 d U=P d x+Q d y+R d z 所以方程的通解为U (x,y,z )=c所以完全可积的发甫方程的通解是一单参数的曲面族.定理 设对于发甫方程(1)在某区域D 上的完全可积条件(2)成立，则对D 内任一点M (x,y,z )一定有方程的积分曲面通过，而且只有一个这样的积分曲面通过. 2︒ 方程积分曲面的求法设完全可积条件(2)成立.为了构造积分曲面，把z 看成x,y 的函数(设R (x,y,z )≠0)，于是原方程化为y RQ x R P z d d d --=由此得方程组()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡-=∂∂≡-=∂∂4,,3,,11z y x Q R Q y z z y x P R P xz发甫方程(1)与此方程组等价.把方程(3)中的y 看成参变量，积分后得一个含有常数 c 的通解 ()cy x z ~;,ϕ= 然后用未知函数()~cy 代替常数 c ，将()()z x y c y =ϕ,;~代入方程(4)，在完全可积的条件下，可得()~cy 的一个常微分方程，其通解为 ()()~,cy y c =ψ c 为任意常数，代回()()z x y cy =ϕ,;~中即得发甫方程的积分曲面 z=ϕ(x,y,ψ(y,c ))由于发甫方程关于x,y,z 的对称性，在上面的讨论中，也可把x 或y 看成未知函数，得到同样的结果.例 求方程yz d x+2xz d y+xy d z=0的积分曲面族.解 容易验证完全可积条件成立，显然存在一个积分因子μ=1xyz，用它乘原方程得 0d d 2d =++zz y y x x 积分后得积分曲面族xy 2z=c也可把方程化为等价的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂-=∂∂y z yz x z xz 2 把y 看成参变量，积分xzx z -=∂∂得通解 zx c= 用未知函数()~cy 代替 c ，将()y c zx ~=代入方程y z y z 2-=∂∂得 ()()yy cy y c ~2d ~d -= 积分后有()~cy c y =2所以原方程的积分曲面族是xy 2z=c五、 一阶线性微分方程组[一阶线性偏微分方程组的一般形式] 两个自变量的一阶线性方程组的形式是()n i F u C x u B t u A i n j j ij n j n j jij j ij ,,2,10111 ==++∂∂+∂∂∑∑∑=== 或()n i f u b x u a t u i n j j ij n j j ij i,,2,1011 ==++∂∂+∂∂∑∑== (1) 其中A ij ,B ij ,C ij ,F i ,a ij ,b ij ,f i 是(x,t )的充分光滑函数. [特征方程·特征方向·特征曲线]⎩⎨⎧=≠==-j i j i t xa ij ij ij ,1,0,0)d d det(δδ称为方程组(1)的特征方程.在点(x,t )满足特征方程的方向txd d 称为该点的特征方向.如果一条曲线l ，它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致，那末称曲线l 为特征曲线. [狭义双曲型方程与椭圆型方程] 如果区域D 内的每一点都存在n 个不同的实的特征方向，那末称方程组在D 内为狭义双曲型的.如果区域D 内的每一点没有一个实的特征方向，那末称方程组在D 内为椭圆型的. [狭义双曲型方程组的柯西问题] 1︒ 化方程组为标准形式——对角型因为det(a ij -δij λ)=0有n 个不同的实根λ1(x,t ) ,, λn (x,t )，不妨设),(),(),(21t x t x t x n λλλ<<<那末常微分方程()()n i t x txi ,,2,1,d d ==λ 的积分曲线l i (i =1,2,…,n )就是方程组(1)的特征曲线. 方程()()aijk ij k i i n-==∑λδλ1的非零解(λk (1) ,, λk (n ))称为对应于特征方向λk 的特征矢量. 作变换()()n i u v nj jj i i ,,2,11==∑=λ可将方程组化为标准形式——对角型()()()()n i t x v t x a x v t x t v i nj j ij ii i ,,2,1,,,1=+=∂∂+∂∂∑=βλ 所以狭义双曲型方程组可化为对角型，而一般的线性微分方程组(1)如在区域D 内通过未知函数的实系数可逆线性变换可化为对角型的话，(此时不一定要求 λi 都不相同)，就称这样的微分方程组在D 内为双曲型的. 2︒ 对角型方程组的柯西问题 考虑对角型方程组的柯西问题()()()()()()n i x x v t x v t x a x v t x tv i inj i j ij i i i,,2,10,,,,1 =⎪⎩⎪⎨⎧=+=∂∂+∂∂∑=ϕβλ ϕi (x )是[a,b ]上的连续可微函数.设αij ,βi ,λi 在区域D 内连续可微，在D 内可得相应的积分方程组()()()n i tv x t x v il i n j j ij i i i ,,2,1d ,~1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰∑=βαϕ 式中 l i 为第i 条特征曲线l i 上点(x,t )与点(x i ,0)之间的一段，(x i ,0)为l i与x 轴上[a,b ]的交点.上式可以更确切地写为()()[]()[]()[]()[]⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+==t n j i i i j i ij i i i t x x t x x v t x x a t x x t x v 01d ,,,,,,,,,0,,,τττβττττϕ(i =1,2,, n )式中x i =x i (x ︒,t ︒,t )为过点(x ︒,t ︒)的第i 条特征曲线，利用逐次逼近法可解此积分方程.为此令()()()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x v i i tnj i k j i ij i i k ii i tnj i j i ij i i ii i i ,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,10,,,}{}{01101010=+⋅+==+⋅+===⎰∑⎰∑=-=τττβττττϕτττβττττϕϕ序列{v i (k )} (k =0,1,2 ,)一致收敛于积分方程的连续可微解v i (x,t ) (i =1,2,, n )，这个v i (x,t )也就是对角型方程组的柯西问题的解.设在区域D 内对角型方程组的柯西问题的解存在，那末解与初值有下面的关系：(i) 依赖区间：过D 中任意点M (x,t )作特征曲线l 1,l n ，交x 轴于B,A ，称区间[A,B ]为M 点的依赖区间(图14.1(a ))，解在M 点的值由区间[A,B ]的初值确定而与[A,B ]外的初值无关. (ii) 决定区域：过点A,B 分别作特征曲线l n ,l 1,称l n ,l 1 与区间[A,B ]围成的区域D 1为区间[A,B ]的决定区域(图14.1(b ))，在区域D 1中解的值完全由[A,B ]上的初值决定.(iii) 影响区域：过点A,B 分别作特征曲线l 1,l n ，称l 1,l n 与[A,B ]围成的区域D 2为区间[A,B ]的影响区域(图14.1(c )).特别当区间[A,B ]缩为一点A 时，A 点的影响区域为D 3(图14.1(d )).在区域D 2中解的值受[A,B ]上的初值影响，而在区域D 2外的解的值则不受[A,B ]上的初值影响.图14.1[线性双曲型方程组的边值问题] 以下列线性方程组来说明：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++=∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂2122221111λλλλc v b u a x v t v c v b u a xu t u (1) 1︒ 第一边值问题(广义柯西问题) 设在平面(x,t )上给定曲线段⋂AB ，它处处不与特征方向相切.过A,B 分别引最左和最右的特征曲线l 1及l 2.要求函数u (x,t ),v (x,t )在⋂AB ，l 1及l 2围成的闭区域D 上满足方程组，且在⋂AB 上取给定的函数值(图14.2(a )).2︒ 第二边值问题(古沙问题) 设l 1是过P 点的第一族特征线，l 2是第二族特征线，在l 1的一段PA 上给定v (x,t )的数值，在l 2的一段PB 上给定u (x,t )的数值，过A 点作第二族特征线，过B 点作第一族特征线相交于Q .求在闭区域PAQB 上方程组的解(图14.2(b )).3︒ 第三边值问题 设AB 为非特征曲线的曲线弧，AC 为一特征线弧，且在AB 与AC 之间不存在过A 点的另外特征曲线,过C 点作第二族特征线与过B 点的第一族特征线交于E 点，在AC 上给定v (x,t )的数值，在AB 上给定u (x,t )的数值，求ACEBA 所围成的闭区域D 上的方程组的解(图14.2(c)).图14.2[边值问题的近似解——特征线法] 以上定解问题，可用逐步逼近法求解，也可用特征线法求解的近似值.以第一边值问题为例说明.在曲线AB 上取n 个分点A 1,A 2,, A n ，并记A 为A 0，B 为A n +1，过A 0按A 0的第二特征方向作直线与过A 1按A 1的第一特征方向作直线相交于B 0；过A 1按A 1第二特征方向作直线与过A 2按A 2的第一特征方向作直线相交于B 1 ,最后得到B n (图14.3).用如下的近似公式来确定方程组(1)的解u (x,t ),v (x,t )在B i (i =0,1,2,…,n )的数值：()()()()()()(){}()[]()()()()()()(){}()[]u B u A B A a A u A b A v A c A A v B v A B A a A u A b A v A c A A i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i -=++⨯+-=++⨯+⎧⎨⎪⎩⎪+++++++--11111111112122212121211λλ图14.3于是在一个三角形网格的节点上得到u,v 的数值.再经过适当的插值，当n 相当大，A i 、A i +1的距离相当小时，就得到所提问题的足够近似的解.[特殊形式的拟线性方程组——可化约系统] 一般的拟线性方程组的问题比较复杂，目前研究的结果不多，下面介绍一类特殊形式的拟线性方程组——可化约系统.如果方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂0022221111x v D t v C x u B tu A xv D t v C x u B t uA 中所有的系数只是u,v 的函数，称它为可化约系统. 考虑满足条件()()0,,≠∂∂t x v u 的方程组的解u=u (x,t ),v=v (x,t ).x,t 可以表示成u,v 的函数，且()()()()()()()()v u t x u t x v v u t x u x t v v u t x v tx u v u t x v x t u ,,,,,,,,,,∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 原方程化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂0022221111u t D u x C v t B vx A ut D u x C v t B v xA 这是关于自变量u,v 的线性方程组.这样就把求拟线性方程组满足()()0,,≠∂∂t x v u 的解，化为解线性方程组的问题.而此线性方程组满足条件()()0,,≠∂∂v u t x 的解，在(x,t )平面上的象即为原来拟线性方程组的解.§3 二阶偏微分方程一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程考虑二阶偏微分方程()0),,,,,,(111,2=∂∂∂∂+∂∂∂∑=nnnj i j i ij x u x u u x x F y x u x a (1) 式中a ij (x )=a ij (x 1,x 2,…,x n )为x 1,x 2,…,x n 的已知函数.[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]代数方程()01,=∑=nj i jiijaa x a称为二阶方程(1)的特征方程；这里a 1,a 2,…,a n 是某些参数，且有012≠∑=ni i a .如果点x ︒=(x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)满足特征方程，即()01,o =∑=nj i jiijaa x a则过x ︒的平面()01o=-∑=nk kk k x x a 的法线方向l :(a 1,a 2,…,a n )称为二阶方程的特征方向；如果一个(n 1-)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n 1-)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.[n 个自变量方程的分类与标准形式] 在点P (x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)，根据二次型()∑=nj i jinijaa x x x a 1,o o 2o 1,,, (a i 为参量)的特征根的符号，可将方程分为四类：(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P 为椭圆型.(ii) 特征根都不为零，有n 1-个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P 为双曲型.(iii) 特征根都不为零，有m n -个具有同一种符号(n >m >1)，其余m 个具有另一种符号，称方程在点P 为超双曲型.(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P 为抛物型.若在区域D 内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D 内是椭圆型、双曲型或抛物型.在点P 作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：椭圆型：∑==+∂∂ni ix u1220Φ双曲型：∑==+∂∂-∂∂n i ix ux u 22120Φ超双曲型：()10112222>>=+∂∂-∂∂∑∑=+=m n x ux u m i nm i ii Φ抛物型：()00122>=+∂∂∑-=m x umn i iΦ 式中Φ为不包含二阶导数的项.[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为0,,,,222222122211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂y u x u u y x F y u a y x u a x u a (2) a 11,a 12,a 22为x ,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程a 11d y 22-a 12d x d y +a 22d x 2=0称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. 在某点P (x 0,y 0)的邻域D 内，根据Δ=a 122－a 11a 12的符号将方程分类： 当Δ>0时，方程为双曲型； 当Δ=0时，方程为抛物型； 当Δ<0时，方程为椭圆型.在点P 的邻域D 内作变量替换，可将方程化为标准形式：（i ） 双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线11),(c y x =ϕ，22),(c y x =ϕ，作变换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=和,,ηηξ-=+=s t s 方程化为标准形式),,,,(2222tus u u t s t u s u ∂∂∂∂=∂∂-∂∂Φ或),,,,(12ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂∂uu u u （ii ） 抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线c y x =),(ϕ，取二次连续可微函数),(y x ψ，使0),(),(≠∂∂y x ψϕ，作变换),(y x ϕξ=，),(y x ψη=，方程化为标准形式),,,,(222ηξηξΦη∂∂∂∂=∂∂uu u u （iii ） 椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设c y x i y x y x =+=),(),(),(21ϕϕϕ为11221121212d d a a a a a x y -+=的积分，y x ϕϕ,不同时为零，作变量替换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=,方程化为标准形式),,,,(32222ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂+∂∂uu u u u二、 极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用. [椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理]1︒ 极值原理 设D 为n 维欧氏空间E n 的有界区域，S 是D 的边界，在D 内考虑椭圆型方程()()()()x x x x f u c x ub x x u a Lu ni i i n j i j i ij =+∂∂+∂∂∂≡∑∑==11,2式中a ij (x ),b i (x ),c (x ),f (x )在D 上连续，c (x )≤0且二次型()∑=nj i j i ij a a a 1,x 正定，即存在常数μ>0，对任意x D ∈和任意的a i 有()∑∑==≥ni i nj i jiija aa a 121,μx定理1 设u (x )为D 内椭圆型方程的解，它在D 内二次连续可微，在D 上连续，且不是常数，如f (x )≤0（或f (x )≥0），则u (x )不能在D 的内点取非正最小值（或非负最大值）. 如果过边界S 上的任一点P 都可作一球，使它在P 点与S 相切且完全包含在区域D 内，则有 定理2 设u (x )为椭圆型方程在D 内二次连续可微，在D 上连续可微的解，且不是常数，并设f (x )≤0（或f (x )≥0）.若u (x )在边界S 上某点M 处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数错误！未定义书签。
双曲线的点差法公式在高考中的妙用
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理 在双曲线12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x)2()1(-，得.02222122221=---byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,00021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.2200ab x y k MN=⋅∴ 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN=⋅. 典题妙解例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上.设点M 的坐标为),(y x ，由22ba x y k AB =⋅得：3121=⋅--x y x y ， 整理得：.032322=+--y x y x∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x（2） P 恰为弦AB 的中点，∴由2200ba x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k 即.32=AB k ∴直线l 的方程为)2(321-=-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围； （2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？ （3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=由⎩⎨⎧=--+=.22,222y x k kx y 得.064)2(2)2(2222=+-+---k k x k k x k直线l 与C 有两个公共点，∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.0)64)(2(4)2(4,0222222 k k k k k k 解之得：k ＜23且.2±≠k ∴k 的取值范围是).23,2()2,2()2,( ---∞（2）双曲线的标准方程为.2,1,122222==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200ab x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2200ab x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y x C 于A 、B 两点，已知OB OA OP +=（O 为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线1:22=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q .,OB OA OP +=由平行四边形法则知：OQ OP 2=，即Q 是线段OP 的中点. 设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2y x . 由2222a b x y k AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+x yx y x y x y，整理得：.0422=+-x y x配方得：144)2(22=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是144)2(22=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.例 4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由2234y x =-得)32(322-=x y ，∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x . ∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a ∴双曲线C 的方程为1322=-y x .（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x ky l . 设线段AB 的中点为),(00y x P . 由2200ab x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………② 由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .∴符合题意的k 的值存在，2±=k .金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（ ）A.14322=-y xB. 13422=-y xC. 12522=-y xD. 15222=-y x 2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹;（2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35-=y . 由2200ab x y k MN =⋅得222532351a b ==--⋅. 又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a a b 得5,222==b a . 故答案选D.2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200ab x y k AB =⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22ab x y k CD =⋅得：21=⋅-x y，即x y 2-=.由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x .∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -. 由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在.由22ab x y k AB =⋅得：32123=⋅++x y x y ， 整理，得：0332622=-+-y x y x .∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .（2）由2200abx y k AB =⋅得：32123=--⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线l 方程为)21(123+⋅=+x y ，即1-=x y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-.1,1322x y y x 得022=-+x x ， 解之得：1,221=-=x x . ∴.2332||1||122=⋅=-+=x x k AB4. 解：（1）在椭圆1132522=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ，∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.在抛物线x y 322-=中，3=p ，∴准线为23=x . ∴在双曲线中，232=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C 的方程为19322=-y x . （2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴k m 1-=，从而61:'+⋅-=x ky l . 设弦AB 的中点为),(00y x P .由2200ab x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由6100+⋅-=x ky 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………② 由①、②得：29,2300==y k x 又 300+=kx y ，∴32329+⋅=kk ，即12=k . ∴1±=k .由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.3,19322kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k 直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.故k 的值为1±.。
【计算流体力学】第3讲-差分方法1
a2u j
a3u j1+a4u j+2
扰动波传播方向
… j-2 j-1 j j+1 …
更多地使用上游信息
一般双曲守恒律方程
u f (u) 0 t x
f (u) f (u) f (u)
u f + f 0 t x x
df (u) 0 du
df (u) 0 du
例：
f 1 f u
u x j
时间积分，计算 出下一时刻的值
u lim u(x x) u(x) u j1 u j
x j x0
x
x
沿各自方向一维离散
➢多维方程的差分法： 维数分裂
u f1(u) f2 (u) 0 t x y
u
1. 构建差分格式
x j
已知均匀网格点上物理量的分布为uj ，
f1
x
f1
x
f2
y
f2
y
RAE2822翼型周 围的网格
问题： 原先需要计算2次导数，变换后需要计算4次，计算量增加 ✓利用坐标变换的性质，可以合并
14
坐标变换Jocabian系数的计算
已知 x x( ,)
y
y(
,)
需计算： x ,y ,x ,y
Step 1: 利用差分（或其他方法）计算出
网格间距变化要缓慢，否则会带 来较大误差
12
方法2） 在非等距网格上直接构造差分格式 （不易推广到高维）
原理： 直接进行Taylor展开，构造格式 格式系数是坐标（或网格间距）的函数
u x
j
a1u j2
a2u j1 a3u j
a4u j1 O(3 )
… j-2 j-1 j
双曲型偏微分方程的研究及改进
双曲型偏微分方程的研究及改进双曲型偏微分方程是一类重要的数学方程，其研究对于理解自然现象、解决工程问题等方面都有重要意义。
在本篇文章中，我们将从双曲型偏微分方程的基本概念入手，探讨其研究方法以及目前存在的问题，并提出改进方案。
一、双曲型偏微分方程的基本概念双曲型偏微分方程是一个包含两个独立变量的方程，其中一个变量表示时间，另一个变量表示空间。
其一般形式可以表示为：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 u}{\partialx^2}=f(x,t)$$其中，$u$表示未知函数，$f(x,t)$为已知函数。
该方程描述了一些物理现象，如波动方程和电磁波方程等。
二、双曲型偏微分方程的研究方法对于双曲型偏微分方程，我们通常采用分离变量法来求解。
具体来说，我们将未知函数表示为时间和空间的乘积，代入方程中，然后分别对时间和空间进行求解。
这样，我们就可以得到一组解析解（即可以用解析函数来表示的解），其形式为：$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}[A_n\sin(n\pi x/L)+B_n\cos(n\pix/L)]\cos(n\pi c/L)t$$其中，$L$为空间区间长度，$c$为波速，$A_n$和$B_n$为待定系数。
然而，实际情况中常常存在无法求得解析解的情况，这时我们就需要采用数值方法来求解。
目前常用的数值方法有有限差分法、有限元法等。
这些方法利用数值算法来逼近解析解，从而得到数值解。
三、双曲型偏微分方程存在的问题尽管分离变量法和数值方法可以用来求解双曲型偏微分方程，但是在某些情况下，这些方法并不能得到精确的解，或者难以求解。
例如，当方程的初始条件、边界条件或非线性项比较复杂时，很难通过分离变量法来求解；而当方程的空间维度较高时，利用数值方法求解计算量较大。
此外，双曲型偏微分方程还存在着数值不稳定性、数值误差积累等问题，这些问题会影响计算结果的精度和可靠性。
偏微(05)一阶双曲型方程
Lax-Friedrichs格式 1.2 Lax-Friedrichs格式
un+1 − un j j
u n − u n− 1 j +a j =0 , τ h un+1 − un u n+ 1 − u n j j j +a j =0 , τ h
a >0,
a <0,
(1.4)
(1.5)
把迎风格式写成统一的形式（1.11） 把迎风格式写成统一的形式（ ） 就可以不考虑微分方程特征线的走向而直接应用
截断误差为 O(τ + h2 ) 是绝对不稳定的
n +1 − 1 u n + u n u j + 1 j −1 j 2 un − un +a j +1 j −1 =0, 2h
τ
(1.9)
Lax-Friedrichs格式1954 Lax-Friedrichs格式1954 格式
Lax-Friedrichs格式 1.2 Lax-Friedrichs格式
n 2 2 n ∂u τ ∂ u u x ,t = u x ,t j n +1 +O τ 3 j n +τ + ∂t 2t j 2 ∂ j
(
) (
)
∂u + a ∂ u = 0 Lax-Wendroff格式 1.3 Lax-Wendroff格式 ∂t ∂x 将 u ( x j , t n+1 ) 在点 x j ,tn 处做Taylor展开 处做Taylor展开 Taylor
G (τ , k ) = 1 + aλ ( 1 − cos kh ) + a 2λ 2 sin2 kh
一类线性双曲型偏微分方程的有限差分格式求解
一类线性双曲型偏微分方程的有限差分格式求解刘付军;龚东;王高放【摘要】针对一类二阶双曲型偏微分方程,利用有限差分法建立了显式和隐式两种差分格式.对两种差分格式进行加权平均,得到了一种新的加权平均格式,给出了新加权平均差分格式解的存在性、收敛性和稳定性分析,最后给出了数值算例验证.【期刊名称】《河南工程学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(026)003【总页数】4页(P73-76)【关键词】显式差分格式;隐式差分格式;加权平均;收敛性【作者】刘付军;龚东;王高放【作者单位】河南工程学院理学院,河南郑州451191;河南工程学院理学院,河南郑州451191;河南工程学院理学院,河南郑州451191【正文语种】中文【中图分类】O241.84有限差分法是求解微分方程的一种有效的数值解法.对于线性双曲型偏微分方程,已建立了一些典型差分格式,如显式、隐式和紧差分格式等[1-4].文献[5]利用差分格式对二阶常微分方程进行了求解.文献[6]利用一种加权平均格式对一阶双曲型偏微分方程进行了数值分析.双曲型偏微分方程是描述振动或波动现象的一类重要的偏微分方程,在实际问题中有着广泛的应用[7].针对二阶常系数线性双曲型偏微分方程建立了两种差分格式并对这两种差分格式进行加权平均,求出加权平均值,建立了一个新的差分格式,验证了该差分格式解的存在性、收敛性和稳定性.考虑二阶双曲型问题区域记作Ω={(x，t)|0≤x≤1，0<t≤T}.对区域Ω进行剖分.记xi=ih, 0≤i≤m；tk=kτ，0≤k≤n.其中,h=1/m，τ=T/n.记Ωh={xi|0≤i≤m}, Ωτ={tk|0≤k≤n}, Ωhτ=Ωh×Ωτ.称在t=tk上的节点{(xi,tk)|0≤i≤m}为第k层节点.定义Ωhτ上的网格函数用来表示,其中).此外,记n.1.1 显式差分格式在节点(xi,tk)上考虑定解问题(1),有将u(xi-1, tk)和u(xi+1, tk)分别在节点(xi, tk)处进行Taylor展开,得到其中,xi-1<ζik<xi+1.将u(xi, tk-1)和u(xi, tk+1)分别在节点(xi, tk)处进行Taylor 展开,得到其中,tk-1<ηik<tk+1.将式(3)和式(4)代入式(2)得到针对问题(1),建立如下近似差分格式：该格式称为3层5点显式差分格式.1.2 隐式差分格式针对给出如下的差商格式:将u(xi,tk-1)和u(xi,tk+1)分别在节点(xi,tk)处进行Taylor展开,得将式(7)和式(8)代入到式(2)中,可得如下近似差分格式:该格式称为3层5点的隐式差分格式.1.3 加权平均差分格式对显格式(6)和隐格式(9)进行加权平均,加权平均数用θ表示,得到将在点(xi，tk)利用Taylor展开,得到其截断误差记为将式(11)至式(14)代入式(10),可得为了便于处理,不考虑二阶项,由式(1)可得=a2,分别对x和 t求四阶偏导,得=a2，=a2，于是有=a4,将其代入式(15),可得令--+=0，则θ=, 令r=,则θ=1+, 1-θ=-, 代入式(10)可得如下差分格式:该格式称为一种新的加权平均差分格式.首先,得到该加权平均差分格式解的存在性.定理1 加权平均差分格式(17)的解是存在唯一的.证明设记r=ατ/h, 给定u0和u1,则将格式(17)进行变形,得到利用上式当中的递推关系,计算可以得到因而差分格式(17)是显式的,对于任意的r 都是唯一可解的.下面给出该加权平均差分格式解的收敛性和稳定性.定理2 加权平均差分格式(17)的解是收敛的.证明设{u(x,t)|0≤x≤1,0≤t≤T}是定解问题(1)的解,是差分格式(17)的解.记则由式(16)可知当h,τ→0时,误差e(h3+τ3)→0, 差分格式(17)的解收敛到定解问题的精确解,则差分格式(17)与相应的微分方程(1)相容,故该差分格式是收敛的且差分格式具有三阶精度.定理3 加权平均差分格式(17)的解是稳定的.证明 Lax定理指出，对于一个适当提出的线性微分方程初值问题以及它的一个满足相容性条件的差分逼近,收敛性的充分必要条件是稳定性.根据前面已经证明了的差分格式(17)的相容性和收敛性,由Lax定理即可得差分格式(17)的稳定性.应用新的加权平均差分格式(17)计算如下定解问题：该定解问题的精确解为u(x,t)=ex+t.下面给出了当步长h=1/10,τ=1/20(即步长比r=1/2)时,计算得到的部分数值结果,如表1所示.由表1可以看出，精确解与数值解的误差控制在量级范围之内,且当h，τ→0时,所得的结果越接近精确解.【相关文献】[1] 李立康.微分方程数值解法[M].上海:复旦大学出版社,2003.[2] 孙志忠.偏微分方程数值解法[M].北京:科学出版社,2012.[3] 胡建伟,汤怀民.微分方程数值方法[M].北京:科学出版社,2007.[4] 李胜坤,冯民富,李珊.Benjamin-Bona-Mahony方程的有限差分近似解[J].四川师范大学学报:自然科学版,2003,26(4):363-365.[5] 张守贵.用差分法求解二阶常微分方程初值问题[J].重庆理工大学学报:自然科学版,2012,26(8):110-112.[6] 杨韧.求解一阶线性双曲型偏微分方程组的一个差分格式[J].四川师范大学学报:自然科学版,2009,32(5):614-617.[7] 谷超豪,李大潜,陈恕行,等.数学物理方程[M].北京: 高等教育出版社，2002.。
偏微分方程数值解
参考书
第一版,7-115-14203-3；
第二版,0-521-60793-0；
第三版,7-04-005806-5；
第一版,7-309-02114-2；
教学大纲
学习和掌握偏微分方程数值方法的基本知识，包括格式的选取、稳定性和收敛性分析、算法的实现等，并且培养学生在偏微分方程数值求解方面分析问题和解决问题的能力，以及实际编程计算的能力。
Galerkin 方法和Ritz方法，有限元空间的构造，刚度矩阵和载荷向量的计算，有限元代数方程组，有限元解的存在唯一性。
七、椭圆边值问题有限元解的误差估计（约8学时）
抽象误差估计，插值误差估计，由数值积分引起的相容性误差估计
八、有限元解的误差控制与自适应方法（约4学时）
有限元解的后验误差估计子，自适应方法。
开课院系
数学科学学院
通选课领域
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
英文
教材
偏微分方程数值解讲义,李治平,北京大学出版社,2010年,第一版,978-7-301-17647-4；
Numerical Solution for ng；
每周授课3学时，学生在课外完成书面作业和上机作业。课堂授课总学时54，上机实习及习题等在课外完成。
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4、Courant-Friedrichs-Lewy条件
由差分方程解的依赖区域与微分方程解的依赖区域 的关系导出的差分方程收敛的必要条件
一般的，双曲 差型 分方 格程 式 unj， 的 中会 的 涉及到初 u0jl,值 u0jl： 1,u0j,u0jm
那 么 x轴 上x的 jl,xjm内 的 节 点 ， 即程 是 差 分
程的特征线。
t
(x0 ,t0)
x –at=
0 (x0 -at0 ,0)
x
采用对流方程开始研究双曲型方程的数值解法的原因：
第一、对流方程非常简单，对它的研究是探讨更复杂 的双曲型方程（组）的基础。 第二、，尽管对流方程简单，但是通过它可以看到双 曲方程在数值计算中特有的性质和现象。 第三，利用它的特殊的、复杂的初值给定，完全可以 用来检验数值方法的效果和功能。 第四、它的差分格式可以推广到变系数双曲方程（组） 以及非线性双曲方程领域。
实际上| a | 1 也是稳定性的充分条件
5、 利用特征线构造差分格式
设ttn层上各网 A,B,格 C,D点 上得 un j已计算出 现 计t 算 tn1层 上 P点 的un j值 1：
设 a0，P 过 向 下 作 x特 a t x征 j a线 nt
交 ttn于 Q 点 ，U则 PU 有 Q。
AB CD Q
n
j-2 j-1 j j+1 j+2
a>0
a>0
若引入:
ama i,0 n 1 2aa 0 a
a0 a0
ama a ,0x 1 2aa 0 a
a0 a0
迎 风 格 式 可 统 一 成 ： 适 用 于 变 系 数 的 情 形
unj1unj aunj unj1aunj1unj 0,
故当 a 1时，
Lax-Friedr格 ich式 s 稳定。
Lax-Friedrichs格式的性质：
1、ห้องสมุดไป่ตู้足相容性，一阶精度，
截断误差为：T(xj,tn)O(h)
2、条件稳定的，稳定性条件为：| a | 1
3、条件收敛的，收敛条件为：| a | 1
两种格式的比较格式的比较:
1、它们的精度都是一阶的精度,在实际应用中, L-F格式可以不考虑对应方程的特征线的走向, 而迎风格式却要考虑其走向.
|G (,k )| |1 ia sk in | h1 a 22s2 ikn
所以此格式绝对不稳定.
1 9 5 4 年 L a x 和 F r i e d r i c h s 分 别 提 出 格 式 ：
unj11 2unj1unj1 aunj1unj10 2h
即 u n j 1 ： 1 2u n j 1 u n j 1 1 2 au n j 1 u n j 1
a 0
a 0
u n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
0,
h
un1 j
1 a
u
n j
a
u
n j 1
x at x j atn1
P
n+1
u n1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j
0
u n1 j
1 a
u
n j
a
u
n j 1
x at x j atn1
P
n+1
AB CD Q
n
j-2 j-1 j j+1 j+2
u (x j,tn 1 ) u (x j,tn )[ u t]n j2 2[ 2 2 u t]n j O (3 )
利 用 微 分 方 程u有： a u
t
x
2u t2
（a t
u） x
a2
2u x2
代入上面的式子,于是有
u (x j,tn 1 ) u (x j,tn ) a [ u x ]n j a 2 2 2 [ 2 2 u x ]n j O (3 )
差 分 方 程 的 依 赖 区 域 u 0 j,u 0 j- 1 ,u 0 j- 2 ,......,u 0 j- n
C条 F:L x j 件 n x j an tx ja1
实际上 a 1 也是稳定性的充分条件
中心格式： 差 分 方 程 的 依 赖 区 域 u0 j-n,,....,u0 j-2,u0 j-2,u0 j,u0 j1,u0 j2,......,u0 jn
左 端 相 同un j 1un j aun j 1un j 1
2h
它 们 都 以 O （ h 2 ） 趋 近 对 流 方 程 。
L-F格式的右端项： a1a2hunj12hu2nj unj1
由稳定性的限a制 条 1，件 如果a取1，
则上面2个 的式子相等。如 1，果则 L小 F于 格式的截断误差截比断迎误风差大。
h
h
u n j 1 u n j a u n j u n j 1 a u n j 1 u n j
u n j 1 2a au n j u n j 1 1 2a au n j 1 u n j
迎风格式的性质：
1、满足相容性，一阶精度，
截断误差为： T(xj,tn)O(h)
略去高阶项得到差分方程：
un1 j
unj
a
2h
un j1
unj1
12a（ 2 h）2 unj12unj unj1
Lax-Wendroff格式
L ax-W endroff格 式 ：
un j 1un j1 2a
un j 1un j 1
1a2 2
2
un j 12un j un j 1
此 格 式 具 有 二 阶 精 度 , O (2 h 2 ).
并 用 中 心 差 商 近 似 u x, x2u 2
u xn j u(xj1,tn)2 hu(xj1,tn)O(h2)
x 2u 2 n j u(xj 1,tn)2u(h x2 j,tn)u(xj 1,tn)O (h2)
得到：
u(xj,tn1)u(xj,tn)a 2hu(xj1,tn)u(xj1,tn)O (h2) 1 2a （ 2h） 2u(xj1,tn)2u(xj,tn)u(xj1,tn)O （ 2h2） O （ 3）
此 格 式 的 截 断 误 差 为 ： O h 2 O (h 2)
令unj vneikjh，有
vn1 [1（eikh eikh）a（eikh eikh） ]vn
2
2
（coskhiasinkh）vn
而且其增长因子为：
G ,k c o sk h ia rs in k h
G ,k 2 1 1 a 22s in 2k h
双曲型方程的差分方程
第一节 一阶线性常系数双曲型方程
设一阶常线性方程为
ut a u x0 x
ux,0fx
为了讨论方便，设常数 a 0 。对流方程的特征方程是常微分方程 dx adt 0 ，求解出此微分方程，得到一组解， x at 。很显然，
P10 它们是一组相互平行的直线（如下图所示），称这组直线为对流方
几种典型的差分格式
迎风格式 Lax-Friedrichs格式 Lax-Wendroff格式 Courant-Friedrichs-Lewy条件 利用特征线构造差分格式 隐式格式 蛙跳格式
1、迎风格式
迎风格式的思想:在对微商进行近似的时候,关于空间导数 用在特征线方向一侧的单边差商来代替，于是有如下格式：
2、条件稳定的，稳定性条件为：| a|1
3、条件收敛的，收敛条件为：| a|1
2、Lax-Friedrichs 格式
中心差分格式
un j1un j aun j1un j1 0
2h
用 F ourier分 析 方 法 分 析 此 格 式 的 稳 定 性 。
设 un j vneikjh于 是 有
vn1 （ 1-iasinkh)vn
截断E 误 O 差 h2：
增长因子： G ,k 1 a 1 isikn h 1 1 a a 2 2 is sii2 kk n nh h
对U 于 Q用不同的插 同 值 的 ， 差 可 分
根据方程的这一利 特用 点插 ，值法，比如有
UPUQatUBxatUC
x
x
(1)若用B，C两点进行线性差值，
得：unj 1
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
这是迎风格式。
(2)若用 B，D两点进行线性差值，
有UPUQhaUDhaUB
2h
2h
得LaxFriedr格 ich 式 s ：
注、如果迎风格式写成统一格式,也不必考虑特征线走向， 但多了绝对值的计算。
2、比较截断误差
迎 风 格 式 ： (a>0)
unj1unj aunj12hunj1a2hunj12hu2nj unj1
LaF x ri ed格 ri式 ch改 s 写为
un j1un j aun j12hun j12hun j12u hn 2 j 2un j1 a1a2hunj12hu2nj unj1
G ,k 2 1 4 a2 a1 a4 si 4k n 2 故当a 2时，二阶迎风格式稳。定
如果a0，
二阶迎风格式为：
un1 j
unj
aunj1unj
1ar1a 2
un j2
2unj1unj
6、隐式格式
①隐式中心
unj unj1aunj1unj10
2h
即 au n j ： 1 2 u n j au n j 1 2 u n j 1
此格式也可以理解为在不稳定的中心差分格式
的基础上适当的增加了一个起耗散作用的扩散
项h2