黄冈市高中数学三角函数状元学习笔记

黄冈市高中数学三角函数状元学习笔记第一讲：任意角的三角函数一、基本知识点.(掌握从特殊到一般的方法 和 扩散法)1.正角， 负角， 零角， 象限角.（例1）若角α是第二象限角，则 （1）2α是哪个象限角？ （2）α2是哪个象限角？ （例2）若α是第四象限角，则πα-是第 象限角，2πα-是第 象限角。

（例3）已知下列各个角：πα7111-=，πα65112=，93=α，︒-=8554α 其中是第三象限的角是 ;将它们化为另一种度量制下的数量分别是多少？2.终边相同的角.a.角α和β终边相同：Z k k ∈⨯+=,2παβb.3.弧度制(单位是“a.弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角 b.角度制与弧度制的互化. 依据:把角度化成弧度：360 = ；180 = ； 1= ； 把弧度化成角度：π= ；32π= ；57π-= ；1弧度= ； c 弧长公式：r l ||α= （α是圆心角的弧度数） 4. 任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为(0)r r ==>，那么正弦: sin y r α= 余弦: cos x r α=； 正切: tan yx α=；余切: cot x y α=正割: sec r x α=； 余割: csc r y α=.（例1）已知角α的终边经过点P （2，-3），求α的六个三角函数值.（例2）求下列各角的六个三角函数值：（1）0； （2）π； （3）32π； （例3）若23cos 4m mα-=-，且α为二、三象限角，则m 的取值范围是（例4）已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4α=，求cos ,sin αα的值。

（例5）已知点P (3,-4)r r (0)r ≠，在角α的终边上，求sin α、cos α、tan α的值。

（例6）特殊角的三角函数值(很重要)：5.三角函数的符号：（口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。

） 正弦在: 余弦在: 正切在: 余切在:6三角函数的定义域、值域： 7. 倒数关系： tan cot 1αα⋅=商数关系： sin tan cos ααα= （cos cot sin ααα=） 平方关系：22sin cos 1αα+=（例1）已知sin α=45，并且α是第二象限角，求cos α，tan α, cot α的值. （例2）知，2tan =α求下列各式的值.ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--αααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--αααα22cos 5cos sin 3sin 4-- （例38.诱导公式. 方法：奇变偶不变，符号看象限.（例1）cos （32π-α）= 步骤：1、把32π写成2k π的形式.若k 为奇数，则变为sin α;若k 为偶数，则不变，仍为cos α.2、把α看成一个锐角，确定角（32π-α）所在的象限，以及这个角在原三角函数名下的正负.（例2）用诱导公式化简.sin(-α)= cos(-α)= tan(-α)= sin(2πα-)= cos(2πα-)= tan(2πα-)= sin(πα-)= cos(πα+)= sin(2πα+)=cos(2πα+)= sin(πα+)= cos(πα-)= sin(32πα+)= cos(32πα-)= sin(2002π+ )= cos(2πα-)= sin(52πα+)= cos(5912π- )= 二、学生练习.（例1）已知：tan 3α=，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值（例2）sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-sin120cos330sin(690)cos(660)tan675cot 765⋅+--++（例3（例4）已知3sin 5α=-，且α是第四象限角，求tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+的值第二讲：两角和与差的三角函数一、基本知识点. 1.和、差角公式sin()αβ+= cos()αβ+=sin()αβ-= cos()αβ-= tan()αβ+= tan()αβ-=（例1）利用和差角公式求75，15的正弦、余弦、正切值.（例2）已知sin α=23,α∈(,)2ππ,cos β=34-,β∈3(,)2ππ,求sin ()αβ-,cos ()αβ+,tan ()αβ+. （例3）利用和角公式计算1tan151tan15+-的值.（例4）已知tan α=2，求tan ()4πα-的值.（例5）利用和差公式求下列各式的值：（1）sin13cos17cos13sin17+(2) cos80cos 20sin80sin 20+(3) sin 70cos 25sin 20sin 25+(4) 22cos 15sin 15-(5) tan12tan 331tan12tan 33+-(6)cos()cos()44ππφφ+--2.倍角公式=α2sin α2cos = = =tan 2α=3.降幂公式(可以不记,能够用二倍角公式熟练推导)=ααcos sin =α2sin =α2cos 22sin cos αα-=4.辅助角公式用途：用来化简形如sin cos a b αα+、cos sin a b αα-、……到标准形式（即得到一元一次的形式），化简前要根据原形选定一个和、差角公式作为依据.原理：如 sin cos a b αα+=sin α+cos α()αϕ+（其中，cos ϕ, sin ϕ）.注意：若能用特殊角时要用特殊角表示，其余则引进辅助角ϕ. 技巧一：（4种情况）①形如“2sinx+3cosx ”,则向“sin()αβ+”靠拢；②形如“2sinx-3cosx ”, 则向“sin()αβ-”靠拢； ③形如“2cosx-3sinx ”, 则向“cos()αβ+”靠拢；④形如“-2sinx-3cosx ”,则向“sin()αβ+”靠拢(先提出负号即可，原式=-(2sinx+3cosx))。

技巧二：①能用特殊角表示ϕ时，就不用出现ϕ，而是具体数值（如6π、4π、3π）；②ϕ=特殊角时，必然出现这样的一对数：12 ；2 与2。

（例1）x x cos sin += 23cos x －23sin x =23cos2x +21sin2x = cos2x +3sin2x=1cosx x = s i n 5c o sx x+= cos )x x-=cos x x +=sin()cos()4444x x ππ-+-= 5cos x x +=第三讲：三角函数的图像与性质一、基本知识点.1. 正弦函数、余弦函数、正切、余切函数的图像2.单调性（有时用求导法）x y sin =的递增区间是递减区间是x y cos =的递增区间是递减区间是x y tan =的递增区间是 x y cot =的递减区间是 3.奇偶性x y sin =是 x y cos =是 x y tan =是x y cot =是4.对称性（即对称轴与对称中心）sin y x =的对称轴为 ，对称中心为 ； cos y x =的对称轴为 ，对称中心为；tan y x =的对称轴为 ，对称中心为；y cotx =的对称轴为 ，对称中心为；对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

5.周期性sin y x =的最小正周期为 cos y x =的最小正周期为 tan y x =的的最小正周期为 y cotx =的最小正周期为6.化简要求: 将一个三角函数式化简，最终结果一般都是出现两种形式：1、一元一次（即类似B x A y ++=)sin(ϕω）的标准形式；2、一元二次（即类似y=A(cosx+B)2+C ）的标准形式(一般用来求值域)。

以函数B x A y ++=)sin(ϕω）（其中A >0, ω>0）为例： 最小正周期为：最大值为： 最小值为： 对称轴为： 对称中心为： 单调增区间为： 单调减区间为：（补充：判断y =－A sin （ωx +ϕ）、y =A sin （－ωx +ϕ）（A ＞0,ω＞0）的单调区间，只需求y =sin （ωx +ϕ）的相反区间即可，一般常用化归、数形结合.）7.图像变换：（A 变：即纵标伸缩-相同；ω变，即横标伸缩-相反；ϕ变，即图像左右平移<注意只针对x 变化去加减>；B 变，即图像上下平移。

）如何由y =31sin （2x +3π）的图象得到y =sin x 的图象？方法一：y =31sin （2x +3π）.....................−−−−→）（3πsin 31+=x y .....................−−−−→x y sin 31=.....................−−−−→x y sin =.方法二： y =31sin （2x +3π）.....................−−−−→y =31sin2x .....................−−−−→y =31sin x .....................−−−−→y =sin x.8.五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图.二、学生练习.（例1）求函数f （x ）=x xx x x 2sin 2cos sin cos sin 2244-++的最小正周期、最大值和最小值.（例2）求函数y =sin 4x +23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在［0，π］上的单调递增区间.（例3）（1）y =cos x +cos （x +3π）的最大值是_______；（2）y =2sin （3x －4π）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______.（例4）求函数y =sin 6x +cos 6x 的最小正周期，并求x 为何值时，y 有最大值. （例5）判断下面函数的奇偶性： f （x ）=lg （sin x +x 2sin 1+）.（例6）已知函数f （x ）=xx x 2cos 1cos 5cos 624+-，求f （x ）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.（例7）设函数f （x ）=A +B sin x ，若B ＜0时，f （x ）的最大值是23，最小值是－21，则A =_______，B =_______. （例8）已知函数y =tan （2x +ϕ）的图象过点（12π，0），则ϕ可以是 A.－6πB.6πC.－12πD.12π（例9）函数y =sin （3π－2x ）+sin2x 的最小正周期是 （例10）若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是A.sin xB.cos xC.sin2xD.cos2x（例11）函数y =2sin （6π－2x ）（x ∈［0，π］）为增函数的区间是A.［0，3π］B.［12π，12π7］C.［3π，6π5］D.［6π5，π］（例12）把y =sin x 的图象向左平移3π个单位，得到函数__________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数__________的图象. （例13）函数y =lg （cos x －sin x ）的定义域是_______.（例14） f （x ）=2cos 2x +3sin2x +a （a 为实常数）在区间［0，2π］上的最小值为－4，那么a 的值等于A.4B.－6C.－4D.－3 （例15）函数y =3sinx-的定义域是_________. （例16）函数y =tan x －cot x 的最小正周期为____________.（例17）已知x ∈［4π3,2π3］，函数y =cos2x -sin x +b +1的最大值为89,试求其最小值.（例18）关于函数f （x ）=sin 2x －（32）|x |+21，有下面四个结论，其中正确结论的个数为①f （x ）是奇函数②当x ＞2003时，f （x ）＞21恒成立 ③f （x ）的最大值是23 ④f （x ）的最小值是－21A.1B.2C.3D.4（例19）定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，2π］时，f （x ）=sin x ，则f （3π5）的值为A.－21B.21C.－23D.23（例20）函数y =x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数A.（2π，2π3）B.（π，2π）C.（2π3，2π5） D .（2π，3π）（例21）函数y =sin 4x +cos 2x 的最小正周期为（例22）y =5sin （2x +θ）的图象关于y 轴对称，则θ=_______. （例23）函数y =x sin x +cos x 在下面哪个区间内是增函数A.（2π，2π3）B.（π，2π）C.（2π3，2π5） D.（2π，3π）（例24）为了使y =sin ωx （ω＞0）在区间［0，1］上至少出现50次最大值，则ω的最小值是A.98πB.2π197C.2π199 D.100π（例25）已知函数2π()sinsin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．（例26）已知函数1)4()cos x f x xπ-=. （Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）设α的第四象限的角，且tan α43=-，求()f α的值 （例27）函数xxx f cos 2cos 1)(-=(A)在[0，2π)，(2π，π]上递增，在[π，23π)，(23π，2π]上递减(B)在[0，2π)，[π，23π)上递增，在(2π，π]，(23π，2π]上递减(C)在(2π，π]，(23π，2π]上递增，在[0，2π)，[π，23π)上递减(D)在[π，23π)，(23π，2π]上递增，在[0，2π)，(2π，π]上递减（例28）已知tan 2α=2，则tan α的值为 ，tan(α+4π)的值为（例29）函数的最小正周期是___________（例30）在中，，，，求的值和的面积（例31）函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（例32）函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1] （例33）函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间为 A ,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B()(),1,k k k Zππ+∈ C 3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ D3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭（例34）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8=x（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）证明直线025=+-c y x 于函数)(x f y =的图像不相切（例35）ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值（例36）为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象 （ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度 （例37）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.（例38）已知2(π-∈x ，0），54co s =x ，则tan 2x = （ ）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-（例39）函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）2 （例40）设函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,22sin π，则()x f 是 (A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数(C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数 （例41）已知⎪⎭⎫⎝⎛3∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,2,1024cos πππx x .（Ⅰ）求x sin 的值；（Ⅱ）求⎪⎭⎫ ⎝⎛+32sin πx 的值. （例42）函数()3sin 4cos f x x x =-在[0,]2π上的最小值为___________.。