§1.3 全称量词与存在量词、逻辑联结词
高三数学一轮复习课时作业15：§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧(綈q ) C ．(綈p )∧q D ．p ∧(綈q )答案 D解析 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x ＞0恒成立，故p 为真命题；因为当x ＞1时，x ＞2不一定成立，反之，当x ＞2时，一定有x ＞1成立，故“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件，故q 为假命题．则p ∧q ，綈p 为假命题，綈q 为真命题，(綈p )∧(綈q )，(綈p )∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，故选D.2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真答案 C解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，故命题q 为假命题，故p ∧q 为假．故选C. 3．下列命题中为假命题的是( )A ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x ＞sin x B ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 C ．∀x ∈R ，3x ＞0 D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 答案 B解析 对于A ，令f (x )＝x －sin x ，则f ′(x )＝1－cos x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0.从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，则f (x )＞f (0)＝0，即x ＞sin x ，故A 正确；对于B ，由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2＜2知，不存在x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝2，故B 错误；对于C ，易知3x ＞0，故C 正确；对于D ，由lg 1＝0知，D 正确．故选B.4．(2017·豫西五校联考)若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)＝－f (x 0) 答案 C解析 由题意知∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )是假命题，则其否定为真命题，∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)是真命题，故选C.5．(2017·安庆二模)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，则下列命题为真的是( ) A ．p ∧(綈q ) B ．(綈p )∧q C ．p ∧q D ．(綈p )∨q答案 A解析 对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174＞3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即∃x 0∈(2，＋∞)，使得02x ＝x 20成立，故命题q 为假命题，所以p ∧(綈q )为真命题，故选A.6．(2018届东莞外国语学校月考)已知命题p ：∃x 0∈R ，cos x 0＝54；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x＋1>0.则下列结论正确的是( ) A ．命题p ∧q 是真命题 B ．命题p ∧(綈q )是真命题 C ．命题(綈p )∧q 是真命题 D ．命题(綈p )∨(綈q )是假命题 答案 C解析 因为对任意x ∈R ，都有cos x ≤1成立，而54>1，所以命题p ：∃x 0∈R ，cos x 0＝54是假命题；因为对任意的x ∈R ，x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 所以命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0是真命题． 由此对照各个选项，可知命题(綈p )∧q 是真命题． 7．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，0e x ≤0 B ．∀x ∈R ，2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1D ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的充分条件 答案 D解析 因为y ＝e x ＞0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确； 因为当x ＝－5时，2－5＜(－5)2，所以B 不正确； “ab ＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确； 当a ＞1，b ＞1时，显然ab ＞1，D 正确．8．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4』B ．『0,4』C ．(－∞，0』∪『4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)答案 D解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0， 所以綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1＜0，则a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4.9．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为____________________． 答案 ∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋1解析 因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可． 10．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________. 答案 0解析 若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0. 11．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x 0∈Q ，x 20＝2；③∃x 0∈R ，x 20＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________． 答案 0解析 ∵x 2－3x ＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0， ∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立， ∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x 0∈Q ，使得x 20＝2，∴②为假命题； 对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题； 4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0， 即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立， ∴④为假命题． ∴①②③④均为假命题． 故真命题的个数为0.12．(2017·江西五校联考)已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)·(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________． 答案 (－∞，－2』∪(－1，＋∞)解析 由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0，可得m ≤－1，由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2，因为p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.13．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x >1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是___．答案 (－∞，－3)∪(1,2』∪『3，＋∞)解析 因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而当q 为真命题时，13－x －1＝－x －2x －3>0，即2<x <3，所以当q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；当p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x <－3，所以x 的取值范围是{x |x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3}． 14．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________． 答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题， 所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确； ③正确，所以正确结论的序号为①③.15．已知命题p ：∃x 0∈R ，0e x－mx 0＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是____． 答案 『0,2』解析 若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真． 由e x－mx ＝0，可得m ＝e xx，x ≠0，设f (x )＝e xx ，x ≠0，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e xx 2，当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e xx 在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e xx 在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e xx的值域是(－∞，0)∪『e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e.当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)．(1)若∃x 0∈『2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________； (2)若∀x 1∈『2，＋∞)，∃x 2∈『2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________．答案 (1)『3，＋∞) (2)(1，3』解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若∃x 0∈『2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为『3，＋∞)． (2)因为当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若∀x 1∈『2，＋∞)，∃x 2∈『2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3，a ＞1， 解得a ∈(1，3』．。
高考北师大版数学总复习课件：1.3全称量词与存在量词
[答案 ] 真
12 3 3 [解析] 由于任意 x∈ R， x ＋ x＋ 1＝ (x＋ ) ＋ ≥ >0，因 2 4 4
2
为只需 m2－ m≤ 0，即 0≤ m≤ 1，所以当 m＝ 0 或 m＝1 时，任 意 x∈ R， m2－ m< x2＋ x＋ 1 成立，因此命题是真命题．
7．分别写出下列各命题的“p∨ q”、“p∧ q”和“ ¬p” 的形式，并判断它们的真假． (1)p： 3 是无理数， q： 3是实数； (2)p： 4>6， q： 4＋ 6≤10； (3)p： 8 是 30 的约数， q： 6 是 30 的约数； (4)p： 矩形的对角线互相垂直，q： 矩形的对角线互相平分．
π 2sinx＋ ∈ [－ 4
2 ， 2]知④正确．
1 5．命题“对一切非零实数 x，总有 x＋ ≥2”的否定是 x ________，它是________(填“真”或“假” )命题．
1 [答案] ∃x∈R，x≠0，x＋ <2 真 x
1 [解析] 例如：x＝－2，则 x∈R，x≠0，x＋ <2. x
所以 p、 q 中至少有一个为真命题．
4．给出如下几个结论： ①命题“存在 x∈ R， sinx＋ cos x＝ 2”的否定是“存在 x ∈ R，sinx＋ cos x≠ 2”； 1 ②命题“任意 x∈ R，sinx＋ ≥ 2”的否定是“存在 x∈ sin x 1 R， sinx＋ <2”； sin x ③对于任意
真
假 假 假
真
假
真
假 假 假
假
假
真
真
真
真
假
真
真
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3.全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一 个”、“任何一个”、“所有”等． (2)常见的存在量词有：“存在”、“至少有一个”、“有 些”、“有一个”、“某个”、“有的”等．
1-3逻辑连接词 全称量词与存在量词
对于C选项， 对于 选项，∵x2＞0，∴x＞0，为假命题． 选项 ， ＞ ，为假命题． 对于D选项， 对于 选项，∵2x＞0，∴x∈R，为真命题． 选项 ， ∈ ，为真命题． 答案： 答案：C
考基联动
考向导析
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3．已知：綈p且q为真，则下列命题中的假命题是 ．已知： 为真， 且 为真 ①p；②p或q；③p且q；④綈q. ； 或 ； 且 ； A．①④ ． 答案： 答案：C 4．对命题“∃x0∈R，x02 －2x0＋4≤0”的否定正确的是 ．对命题“ ， ” A．∃x0∈R ，x02 －2x0＋4＞0 ． ＞ B．∀x∈R，x2－2x＋4≤0 ． ∈ ， ＋ C．∀x∈R，x2－2x＋4＞0 ． ∈ ， ＋ ＞ D．∀x∈R，x2－2x＋4≥0 ． ∈ ， ＋ 解析： 的否定是： 解析：∃x0∈R，x02－2x0＋4≤0的否定是： ， 的否定是 ∀x∈R，x2－2x＋4＞0. ∈ ， ＋ ＞ 答案： 答案：C
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x 1 2 x 解析： 为假命题． 解析：对任意 x∈ R，均有 sin ＋ cos ＝ 1 而不是 ，故 p1 为假命题． ∈ ， 3 3 3 成立， 当 x， y， x－ y 有一个为 kπ(k∈ Z)时， tan x－ tan y＝ tan(x－ y)成立 ，故 ， ， － ∈ 时 － ＝ － 成立 1＋ cos 2x ＋ π 2 2 p2 是真命题．∵ cos 2x＝ 2cos x－ 1，∴ 是真命题． ＝ － ， ＝ cos x.又 x∈ [0， ]时， 又 ∈ ， 时 2 2
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考向一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
新课标全国卷)已知命题 上为增函数， 【例1】 (2010·新课标全国卷 已知命题 1：函数 ＝2x－2－x在R上为增函数， 】 新课标全国卷 已知命题p 函数y＝ 上为增函数 p2：函数 ＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题 1：p1∨p2，q2：p1∧p2： 函数y＝ 上为减函数， 上为减函数 则在命题q q3(綈p1)∨P2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是 綈 ∨ 綈 中 A．q1，q3 ． B．q2，q3 ．
1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词-5年3年模拟北京高考
1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词五年高考考点1 简单的逻辑联结词 1．（2013湖北．3,5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ( ))().(q p A ⌝⌝∨ )(q p B ⌝⋅∨ )().(q p c ⌝⌝∧ q p D∨⋅ 2．（2012辽宁．4,5分）已知命题-∈∀)[,,:221x f R x x p （,0))]((121≥-x x x f 则p ⌝是( )0))](()([,,.121221≤--∈∃x x x f x f R x x A 0))](()([,,.121221≤--∈∀x x x f x f R x x B0))](()([,,.121221<--∈∃x x x f x f R x x C 0))](()([,,.121221<--∈∀x x x f x f R x x D考点2 全称量词与存在量词1．（2013重庆．2,5分）命题“对任意.R x ∈都有”02≥x 的否定为( )A ．对任意,R x ∈都有02<x B ．不存在,R x ∈使得02<xC ．存在,0R x ∈使得020≥x D ．存在,0R x ∈使得020<x2．（2013四川．4,5分）设,z x ∈集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题,2,:B x A x p ∈∈∀则( )B x A x p A ∉∈∀⌝⋅2,:, B x A x p B ∉∉∀⌝⋅2,:B x A x pC ∈∉∃⌝2,:. B x A x pD ∉∈∃⋅2,:￢3．（2012湖北．2,5分）命题”“Q x Q C x R ∈∈∃300,的否定是( ) Q x Q C x A R ∈∉∃300,. Q x Q C x B R ∉∈∃300,.Q x Q C x C R ∈∉∀3,. Q x Q C x D R ∉∈∀3,.4．（2010辽宁，11,5分）已知a>0，则0x 满足关于x 的方程b ax =的充要条件是( )02022121,.bx ax bx ax R x A -≥-∈∃020222,.bx ax bx ax R x B -≤-∈∃02022121,.bx ax bx ax R x C -≥-∈∀02022121,.bx ax bx ax R x D -≤-∈∀5．（2012北京．14,5分）已知),3)(2()(++-=m x m x m x f .22)(-=x x g 若同时满足条件：0)(,<∈∀x f R x ①或;0)(<x g ,0)()(),4,(<--∞∈∃x g x f x ②则m 的取值范围是6．（2010安徽．11,5分）命题“对任何>-+-∈|4||2|,x x R x ”3的否定是智力背景高明的蜂王 有一箱蜜蜂，每天辛勤地采蜜．但是如果它们归巢时蜂拥而来，就会拥挤碰伤 ，聪明的蜂王想了一个办法：把蜜蜂分成三群，第一群50分钟归巢一次；第二群60分钟归巢一次；第三群70分钟归巢一次．这样就避免了全体一起归巢的情况发生，你能说明 这是为什么吗？答案：如果早上9时，蜜蜂倾巢而出的话，要到35小时以后，即第二天晚上8时才会出现全体同时归巢的情况，而蜜蜂晚上不工作，因此不必担心拥挤了.解读探究知识清单1．命题中的“① ”“② ”“③ ”叫做逻辑联结词，一般地，用联结词“且”把命题p 和g 联结起来，得到一个新命题，记作,q p ∧读作“p 且q”；用联结词“或”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作,q p ∨读作“p 或q”；对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作,p ⌝读作“非p”或“p 的否定”．2．用来判断复合命题的真假的真值表：3．全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切…每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个’’‘‘有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号表示；存在量词用符号表示． 4．全称命题与特称命题 (1)的命题叫全称命题． (2)的命题叫特称命题． 5．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.(2)p 或q 的否定：非p 且非q;p 且q 的否定：非p 或非q ．6．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择，【知识拓展】1．逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解(1)“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语“或”带有“不可兼有”的意思，如工作或休息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思．(2)集合中的“交”“并”“补”与逻辑联结词“且”“或”“非”密切相关，①A x x B ∈=|{A或},B x ∈集合的并集是用“或”来定义的，A x xB A ∈=|{ ②且|,B x ∈集合的交集是用“且”来定义的， U x x AC U ∈=|{③且},A x ∉集合的补集与“非”密切相关，④“p 或q ”的含义有三种情形：只有p 成立；只有q 成立；p 、q 同时成立．这三种情形依次对应于集合中;)(;)(B A C A B C UU .B A⑤“或”“且”联结词的否定形式：“p 或q ”的否定形式是“非p 且非q ”，“p 且q ”的否定形式是“非p 或非q ”，它类似于集合中的”“)()()();()()(B C LA B A L B CLA B A c U UU ==2．复合命题是由简单命题与逻辑联结词构成的，简单命题的真假决定了复合命题的真假，复合命题的真假用真值表来判断， ·知识清单答案智力背景美丽的数学 奇妙的图像 分形几何是描述不规则 复杂现象的秩序和结构的新方法，是研究无 限复杂但具有一定意义的自相似图形和结构的几何学，分形几何冲击着不同的学术领域，她在艺术领域 显示出非凡的作用，用数学方法对放大区域进行着色处理，这些区域就变成一幅幅精美的艺术图案，这 些艺术图案人们称之为““分形艺术”.她天生丽质的源泉就是优美的数学方程.突破方法方法1复合命题的真假判断——真值表法对于复合命题真假的判断，一定要分清其结构形式，确定构成它的简单命题p 和q ．首先对简单命题p 、q 的真假作出判断，然后根据真值表对复合命题的真假作出判断．例1 （2012河北石家庄二模，8,5分）命题P ：将函数=y x 2sin 的图象向右平移3π个单位得到函数)32sin(π-=x y 的图象；命题Q ：函数)3cos()6sin(x x y -+=ππ的最小正周期为,π则复合命题””“￢∧”“∨“P Q P Q P 为真命题的个数是 ( ) 1.A 2.B 3.C 4.D解析 函数x y 2sin =的图象向右平移3π个单位后，所得函数为)]3(2sin[π-=x y ),32.2sin(π-=x ∴ 命题P 是假命题． 又)3cos()6sin(x x y -+=ππ)]6(2cos[)6sin(πππ+-+=x x),32cos(2121)6(sin 2ππ+-=+=x x∴ 其最小正周期为∴==,22ππT 命题p 真． 由此，可判断复合命题”∨“Q p 真，”∧“Q p 假，”“p ⌝为真，故选B ． 答案 B【方法点拨】””“￢∧”““p q p q pv ,形式命题真假的判断步骤： (1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定””“∨”“∧“p q p q p ⌝形式命题的真假， 方法2 全（特）称命题真假的判断方法例2（2012河南郑州三模，6,5分）下列命题中的假命题是( )02,.1>∈∀-x R x A 0)1(*,.2>-∈∀x N x B1lg ,.<∈∃x R x C 2tan ,.=∈∃x R x D 解题思路 理解””““∃∀的含义，依据相关数学知识进行分析、判断．解析 A 正确；对于B ，当1=x 时，,0)1(2=-x 错误；对于C ，当)1,0(∈x 时，,10lg <<x 正确；对于=∈∃x R x D tan ,,,2正确． 答案 B 【方法点拨】三年模拟A 组2011-2013年模拟探究专项基础测试时间：20分钟 分值：30分 选择题（每题5分，共30分）1．（2013河南安阳一模．4）已知命题,:R x p ∈∃使;25sin =x 命题,:R x q ∈∀都有.012>++x x 给出下列结论：①命题∧“p ”q 是真命题；②命题”∧“q p ⌝是假命题；③命题”∨“q p ⌝是真命题；④命题”∨“q p ⌝⌝是假命题，其中正确的是 ( ) ②④.A ②③.B ③④.C ①②③.D2．（2013福建宁德4月．2）已知命题2:>x p “是42>x 的充要条件”，命题q ：“若,22cbc a >则 ”，b a >则( )A ．“p 或q”为真B ．“p 且q”为真 C.p 真q 假 D.p ，q 均为假3．（2012河北保定二模．2）下列命题中正确的是 ( )A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题”∧“q P 为真命题 ”“21sin .=αB 是”“6πα=的充分不必要条件C.L 为直线，βα,为两个不同的平面，若,,βαβ⊥⊥l 则α//lD ．命题”“02,>∈∀x R x 的否定是”“02,00≤∈∃x R x 4．（2012安徽皖南八校三联．4）下列命题中，真命题是( )A ．存在212cos 2sin,22=+∈x x R x B ．任意x x x cos sin ),,0(>∈π C ．任意x e x x +>+∞∈1),,0(D ．存在1,0200-=+∈x x R x5．（2012北京东城二模．1）下列命题中，真命题是 ( )01,..2<--∈∀x R x A1,.0200-=+∈∃x x R x B041,.2>+-∈∀x x R x C 022,.0200<++∈∃x x R x D智力背景有关人体的一些有趣数字 一个体型较大的人，全身皮肤总够有1000亿个细胞，几乎相当于地球人口的20倍，，心脏每天消耗的能量足以把900千克重的物体升高1.2米.一个人活到50岁时，其心脏所做的功，相当于把18000吨的物体升高20多万米人躺在床上，每分钟只需要吸入8.8升空气，而坐起来就需要17.6升，散步时需要26.4升，跑步每分钟则需要55升．6．（2011湖南六校4月模拟．2）已知命题;21,:2x x R x p <+∈∃命题q ：若012<--mx mx 恒成立，则,04<<-m 那么( )”“p A ⌝.是假命题 B.q 是真命题 C ．“p 或q”为假命题 D ．“p 且q”为真命题B 组2011-2013年模拟探究专项提升测试时间.20分钟 分值：30分选择题（每题5分，共30分） 1．（2013吉林延边一模，4）下列命题错误的是 ( )A ．命题“若022=+y x ，则x=y=0”的逆否命题为“若x ，y 中至少有一个不为0，则”022=/+y x B ．若命题,01,:0200≤+-∈∃x x R x p 则1,:2+-∈∀⌝x x R x p 0>C ．△ABC 中，B A sin sin >是A>B 的充要条件D ．若向量a ，b 满足,0<⋅b a 则a 与b 的夹角为钝角 2．（2012河南开封二模．4）下列说法不正确的是 ( )”“01,0200<--∈∃x x R x A 的否定是”“01,2≥--∈∀x x R x B ．命题“若,00>>y x 且则”0>+y x 的否命题是假命题,R a C ∈∃“使方程022=++a x x 的两根21,x x 满足<<11x ,,2x 和“函数)1(log )(2-=ax x f 在[1，2]上单调递增”都为真D ．△ABC 中，A 是最大角，则A C B 222sin sin sin <+是△ABC 为钝角三角形的充要条件3．（2012辽宁鞍山五模．2）A x ∈∃“使得,,0322>--x x 的否定为 ( ) ,.A x A ∈∃使得0322<--x x ,.A xB ∈∃使得0322≤--x x ,.A xC ∈∀使得0322>--x x ,.A xD ∈∀使得0322≤--x x4．（2012北京海淀二模．2）已知命题p R x p nx 则￢,12,:0=∈∃是( )12,.00=/∈∀x R x A 12,.00=/∉∀x R x B 12,.00=/∈∃x R x C 12,.00=/∉∃xR x D5．（2011广东中山4月模拟．2）q p ∨为真命题”是q p ∧“为真命题”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2011辽宁协作体4月模拟，4）命题R x ∈∃0“使0log 02≤x 成立”的否定为 ( ),.0R x A ∈∃使0log 02>x 成立 ,.0R x B ∈∃使0log 02≥x 成立 ,.0R x C ∈∀均有0log 02≥x 成立,.0R x D ∈∀均有0log 02>x 成立智力背景千千万、万万千 “千千万”是形容数量多，“万万千”也是形容数量多.那么是“干千万”多呢，还是“万万千”多？顾名思义，应该是：)千千万=10101000010001000=⨯⨯。
高三数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语第3课时 逻辑联结词、全称量词与存在量词精品课件
【变式训练】 3.写出下列命题的否定形式： (1)有些三角形的三个内角都等于60°； (2)能够被3整除的整数，能够被6整除； (3)存在θ∈R，使得函数y＝sin(2x＋θ)是偶函数； (4)任意x，y∈R，|x＋1|＋|y－1|＞0. 解析： (1)任意一个三角形的三个内角不能都等于60°. (2)存在一个能够被3整除的整数，不能够被6整除． (3)任意θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)都不是偶函数． (4)存在x，y∈R，|x＋1|＋|y－1|≤0.
3．(2010·广州三校联考)已知命题P：集合{x|x＝i2n＋1，n∈N，i为
虚数单位}只有3个真子集；Q：集合{y|y＝x2＋1，x∈R}与集合{x|y＝＋1} 相等．则复合命题：①P或Q；②P且Q；③非P；④非Q中，真命题有
()
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析： 命题P中的集合即为{i，－i}，只有2个元素，有3个真子
特称命题 “存在x∈A，p(x)”
①存在x∈A，使p(x)成立 ②至少有一个x∈A，使p(x) 成立 ③对有些x∈A，使p(x)成立 ④对某个x∈A，使p(x)成立 ⑤有一个x∈A，使p(x)成立
从近两年的高考题来看，常以逻辑联结词“或”“且”“非”为工 具，考查函数、数列、立体几何、解析几何等知识．主要以选择题、填 空题的形式出现，属于容易题．全称命题、特称命题的否定、真假的判 断及逻辑联结词是高考的热点，常与其他知识相结合命题，题型为选择 题，分值为5分，属容易题．尤其全称命题、特称命题为新课标新增内容， 在课改区高考中有升温的趋势，应引起重视．
∴对任意 x∈[0，π]，均有
1－cos 2
2x＝sin
x，因此
p3
是真命题．
高考数学第1章集合与常用逻辑用语第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”课件理北师大版
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根据命题的真假求参数取值范围的策略 (1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题可转化为存在性问 题． (2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化 为函数的最值解决．
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1.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝
(2)由特称命题的否定可得綈p为“任意m∈R，f(x)＝2x－mx不 是增函数”．]
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全(特)称命题的否定方法：任意x∈M，p(x) 互否 存 在x0∈M，綈p(x0)，简记：改量词，否结论．
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全称命题、特称命题的真假判断 (1)下列命题中的假命题是( ) A．任意x∈R，x2≥0 B．任意x∈R,2x－1＞0 C．存在x0∈R，lg x0＜1 D．存在x0∈R，sin x0＋cos x0＝2
6
4．逻辑联结词
(1)命题中的_且___、_或___、__非__叫做逻辑联结词．
(2)命题 p 且 q、p 或 q、非 p 的真假判断
p
q
p且q
p或q
非p
真真
_真__
_真__
_假__
真假
_假__
_真__
_假__
假真
_假__
_真__
_真__
假假
_假__
_假__
_真__
7
[常用结论] 1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 (1)p或q：p，q中有一个为真，则p或q为真，即有真即真． (2)p且q：p，q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假． (3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．
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二、教材改编 1．命题“任意x∈R，x2＋x≥0”的否定是( ) A．存在x0∈R，x20＋x0≤0 B．存在x0∈R，x20＋x0＜0 C．任意x∈R，x2＋x≤0 D．任意x∈R，x2＋x＜0 B [由全称命题的否定是特称命题知选项B正确．故选B.]
高三数学考点-简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．逻辑联结词命题中的“或”“且”“非”称为____________________．2．全称量词“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做____________，并用符号“________”表示．含有全称量词的命题称为____________，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．3．存在量词“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做______________，并用符号“________”表示．含有存在量词的命题称为______________，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．注：特称命题也称存在性命题．4．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)因此，全称命题的否定是________命题；特称命题的否定是________命题．5．命题p∧q，p∨q，p的真假判断(真值表)p q p∧q p∨q p真真①②③真假④⑤⑥假真⑦⑧⑨假假○10⑪⑫注：“p∧q”“p∨q”“p”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q命题称为简单命题．自查自纠1．逻辑联结词2．全称量词∀全称命题3．存在量词∃特称命题4．∃x 0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x)特称全称5．①真②真③假④假⑤真⑥假⑦假⑧真⑨真○10假⑪假⑫真(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则p为()A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解：因为特称命题的否定是全称命题，所以p ：∀n ∈N ，n 2≤2n .故选C . 下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x <1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2 解：对于B 选项，x ＝1时，(x －1)2＝0 .故选B .(2017·山东)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2，下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧q C ．p ∧q D ．p ∧q解：由x ＞0时x ＋1＞1，知p 是真命题，由－1＞－2，(－1)2＜(－2)2可知q 是假命题，即p ，q 均是真命题．故选B .命题“∀x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是_______________________________．解：由定义知命题的否定为“∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3”．故填∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3.(2015·山东)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解：根据题意，m ≥(tan x )max ，而y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，有(tan x )max ＝tan π4＝1，所以m ≥1，m 的最小值为1.故填1.类型一 含有逻辑联结词的命题及其真假判断(1)设命题p ：若x ，y ∈R ，x ＝y ，则xy ＝1；命题q ：若函数f (x )＝e x ，则对任意x 1≠x 2都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立．则在下列命题中，真命题是( ) ①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(q )；④(p )∨q .A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④(2)已知命题p ：∀x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫13x ；命题q ：∃x 0∈N *，2x 0＋21－x 0＝22，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．(p )∧qC ．p ∧(q )D ．(p )∧(q )解：(1)当x ＝y ＝0时，xy无意义，故命题p 为假命题；由于函数f (x )单调递增，所以对任意x 1≠x 2，x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，所以一定有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0成立，所以命题q 为真命题．显然只有命题②④为真命题．故选D .(2)根据幂函数的性质，可知命题p 为真命题；由2x0＋21－x0＝22，得22x0－22·2x0＋2＝0，解得2 x0＝2，即x 0＝12(或2x 0＋21－x 0≥22 x 0·21－x 0＝22，当且仅当2x 0＝21－x0，即x 0＝12时等号成立)，命题q 为假命题．所以只有p ∧(q )为真命题．故选C .【点拨】判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤：(1)判断复合命题的结构；(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假；(3)依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反作出判断．(1)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0；命题q ：∀x ∈R ，e x >1.则( ) A ．命题p ∨q 是假命题 B ．命题p ∧q 是真命题 C ．命题p ∧(q )是真命题 D ．命题p ∨(q )是假命题(2)已知命题p ：若b 2＝ac (a ，b ，c ∈R )，则a ，b ，c 成等比数列；q ：函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x 是奇函数．则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．p ∨(q ) D ．(p )∧(q )解：(1)取x 0＝10，得x 0－2＞lg x 0，所以命题p 是真命题；取x ＝－1，得e x ＜1，所以命题q 是假命题．则p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p ∧( q )是真命题，p ∨( q )是真命题．故选C .(2)对于命题p .若b 2＝ac ，不妨取a ＝b ＝c ＝0，则a ，b ，c 不成等比数列，故命题p 为假命题；对于命题q ，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝－sin x 是奇函数，故命题q 是真命题．显然只有p ∨q 是真命题．故选A .类型二 含有逻辑联结词的命题的综合问题(2015·金华联考)已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负实数根；q ：不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R .若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是________．解：p 为真命题，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＞0，－m ＜0， 解得m >2.q 为真命题，有Δ＝[4(m －2)]2－4×4×1<0，解得1<m <3. 由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，知p 与q 一真一假． 当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3， 得m ≥3；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3， 得1<m ≤2.综上，实数m 的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)． 故填(1，2]∪[3，＋∞)．【点拨】由“p 或q ”为真，“p 且q ”为假判断出p 和q 一真一假后，再根据命题与集合之间的对应关系求m 的范围．逻辑联结词与集合的运算具有一致性，逻辑联结词中“且”“或”“非”恰好分别对应集合运算的“交”“并”“补”．已知命题p ：在x ∈[1，2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立；命题q ：函数f (x )＝log 13(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p ∨q ”是真命题，求实数a 的取值范围． 解：因为x ∈[1，2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立，所以a >2－x 2x ＝2x －x 在x ∈[1，2]时恒成立，令g (x )＝2x －x ，则g (x )在[1，2]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝1，所以a >1.即若命题p 真，则a >1.又因为函数f (x )＝log 13(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数，所以u (x )＝x 2－2ax ＋3a 是[1，＋∞)上的增函数，且u (x )>0在[1，＋∞)上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，u （1）>0，所以－1<a ≤1，即若命题q 真，则－1<a ≤1.综上知，若命题“p ∨q ”是真命题，则a >－1.类型三 全称命题与特称命题(1)已知命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ＞1，则 p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x0≤1 B ．∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C ．∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ≤1 D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1解：全称命题的否定是特称命题．故选B .(2)已知“命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋2x 0＋1<0”为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，1) B ．(－∞，1) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1]解法一：当a ＝0时，2x ＋1＜0，可得x ＜－12，此时命题p 为真；当a ≠0时，要使命题p 为真，只要Δ＝4－4a ＞0，即a ＜1且a ≠0即可．综上可知，a ＜1.解法二：命题p 的否定是“∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≥0”．当a ＝0时，显然命题 p 为假；当a ≠0时，命题 p 为真的充要条件是a ＞0且Δ＝4－4a ≤0，即a ≥1.故 p 为真时，a 的取值范围为A ＝[1，＋∞)，故p 为真时，a 的取值范围为∁R A ＝(－∞，1)．故选B .【点拨】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题． 命题 否定 p p p ∨q ( p )∧( q ) p ∧q ( p )∨( q ) ∀x ∈M ，p (x ) ∃x 0∈M ， p (x 0) ∃x 0∈M ，p (x 0)∀x ∈M ， p (x )(1)设命题p ：∀平面向量a 和b ，|a －b |<|a |＋|b |，则 p 为( ) A ．∀平面向量a 和b ，|a －b |≥|a |＋|b | B ．∃平面向量a 0和b 0，|a 0－b 0|<|a 0|＋|b 0| C ．∃平面向量a 0和b 0，|a 0－b 0|>|a 0|＋|b 0| D ．∃平面向量a 0和b 0，|a 0－b 0|≥|a 0|＋|b 0|(2)命题“∃x 0∈R ，a sin x 0＋cos x 0≥2”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 解：(1)改全称量词为存在量词并且否定结论．故选D .(2)原命题为假，即命题“∀x ∈R ，a sin x ＋cos x ＜2”为真命题，即a 2＋1＜2，解得－3＜a ＜3，即实数a 的取值范围是(－3，3)．故填(－3，3)．1．含有逻辑联结词命题真假的判断判断一个含有逻辑联结词命题的真假，应先对该命题进行分解，判断出构成它的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．2．全称命题与特称命题真假的判断(1)要判断全称命题是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )成立；如果在集合M 中找到一个元素x 0，使得p (x 0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，至少能找一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．3．在有些命题中，逻辑联结词“或”“且”“非”是以另一种形式出现的．如“x ＝±1”中含逻辑联结词“或”，“≥”表示“大于或等于”；“”表示“平行且等于”，“并且”的含义为“且”；“∉”表示“不属于”，“不是”的含义为“非”等．4．一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表：正面词语 等于(＝) 大于(＞) 小于(＜) 是 都是 否定词语 不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥) 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 一定 否定词语至少有两个一个也没有某个某些不一定1．“a 和b 都不是偶数”的否定形式是( ) A ．a 和b 至少有一个是偶数 B ．a 和b 至多有一个是偶数 C ．a 是偶数，b 不是偶数 D ．a 和b 都是偶数解：“a 和b 都不是偶数”的否定形式是“a 和b 至少有一个是偶数”．故选A . 2．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则( ) A ． p ：∃x 0∈R ，sin x 0≥1 B ． p ：∀x ∈R ，sin x ≥1 C ． p ：∃x 0∈R ，sin x 0>1 D ． p ：∀x ∈R ，sin x >1解： p 是对p 的否定，故为∃x 0∈R ，sin x 0>1.故选C . 3．对于函数f (x )＝sin x ＋cos x ，下列命题正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )＝ 2 B ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝2C ．∀x ∈R ，f (x )＞ 2D ．∃x 0∈R ，f (x 0)＞2解：f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]．故选B .4．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，e x0≤0 B ．∀x ∈R ，2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件解：此类题目多选用筛选法，因为e x >0对任意x ∈R 恒成立，所以A 选项错误；因为当x ＝3时23＝8，32＝9且8<9，所以选项B 错误；因为当a ＝b ＝0时a ＋b ＝0，而ab 无意义，所以选项C 错误．故选D .5．下列命题中，正确的是( )A ．命题“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20－x 0≥0”B ．命题“p ∧q 为真”是命题“p ∨q 为真”的必要不充分条件C ．“若am 2≤bm 2，则a ≤b ”的否命题为真D ．若实数x ，y ∈[－1，1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π4解：A 中否定不能有等号．B 中命题“p ∧q 为真”是命题“p ∨q 为真”的充分不必要条件．D 中概率应为1－π4.故选C . 6．已知a >0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( )A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0解：由于a >0，令函数y ＝12ax 2－bx ＝12a ⎝⎛⎭⎫x －b a 2－b 22a ，此时函数对应的开口向上，当x ＝b a 时，取得最小值－b 22a，而x 0满足关于x 的方程ax ＝b ，那么x 0＝b a ，y min ＝12ax 20－bx 0＝－b 22a ，那么对于任意的x ∈R ，都有y ＝12ax 2－bx ≥－b 22a ＝12ax 20－bx 0.故选C .7．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数；p 2：函数y ＝x ＋1x 在(0，＋∞)上为减函数．则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：( p 1)∨p 2和q 4：p 1∧( p 2)中，是真命题的是________． 解：p 1是真命题，则 p 1为假命题；p 2是假命题，则 p 2为真命题， 所以q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题， 所以q 3：( p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧( p 2)为真命题． 所以真命题是q 1，q 4.故填q 1，q 4.8．已知命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解：由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1，因为“p 且q ”为真命题，所以p ，q 均为真命题，所以a ≤－2或a ＝1.故填{a|a ≤－2或a ＝1}．9．分别写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“ p ”形式的新命题，并判断其真假． (1)p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；(2)p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分． 解：(1)p ∨q ：2是4的约数或2是6的约数，真命题； p ∧q ：2是4的约数且2是6的约数，真命题； p ：2不是4的约数，假命题．(2)p ∨q ：矩形的对角线相等或互相平分，真命题； p ∧q ：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；p ：矩形的对角线不相等，假命题．10．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，写出它们的否定形式，并判断否定形式的真假． (1)若a ＞0且a ≠1，则对任意实数x ，a x ＞0； (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1＜x 2，则tan x 1＜tan x 2； (3)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |； (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1＜0.解：(1)全称命题，其否定形式为：若a >0且a ≠1，则∃x ∈R ，a x ≤0，显然该命题为假命题．(2)全称命题，其否定形式为：∃x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，使tan x 1≥tan x 2，该命题为真命题．例如取x 1＝0，x 2＝π，有x 1＜x 2，但tan x 1＝tan x 2＝0；又当x 1＝0，x 2＝2π3时，有x 1＜x 2，但tan0＝0，tan 2π3＝－3，所以tan x 1＞tan x 2.(3)特称命题，其否定形式为：∀T ∈R ，|sin(x ＋T )|≠|sin x |，该命题是假命题．例如T 0＝π时，有|sin(x ＋π)|＝|sin x |.(4)特称命题，其否定形式为∀x ∈R ，x 2＋1≥0.因为x ∈R 时，x 2≥0，所以x 2＋1≥1＞0，故为真命题． 11．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．求使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0， 得m ＜－1，所以p ：m ＜－1；由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0，得－2＜m ＜3， 所以q ：－2＜m ＜3.由p ∨q 为真，p ∧q 为假可知，命题p ，q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1，m ≥3或m ≤－2， 此时m ≤－2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2＜m ＜3， 此时－1≤m ＜3.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1，3)．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0，1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1，1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1时，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围．解：(1)因为对任意x ∈[0，1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，所以(2x －2)min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]． (2)因为a ＝1，且存在x ∈[－1，1]，使得m ≤ax 成立， 所以m ≤1.因此，命题q 为真时，m ≤1. 因为p 且q 为假，p 或q 为真，所以p ，q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m ＞1， 得1＜m ≤2；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1或m ＞2，m ≤1， 得m ＜1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1，2]．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2017·北京)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞2}，则∁U A ＝ ( ) A ．(－2，2) B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C ．[－2，2] D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解：由已知可得，集合A 的补集∁U A ＝[－2，2]．故选C .2．(2017·浙江)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}，那么P ∪Q ＝ ( ) A ．(－1，2) B ．(0，1) C ．(－1，0) D ．(1，2)解：根据集合的并集的定义，得P ∪Q ＝(－1，2)．故选A .3．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝ ( ) A ．{1} B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{－1，0，1，2，3}解：集合B ＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0，1}，而A ＝{1，2，3}，所以A ∪B ＝{0，1，2，3}．故选C .4．命题“∃m ∈[0，1]，使得x ＋1x ＜2m ”的否定形式是 ( )A ．∀m ∈[0，1]，总有x ＋1x ＜2mB ．∃m ∈[0，1]，使得x ＋1x≥2mC ．∃m ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，使得x ＋1x≥2mD ．∀m ∈[0，1]，总有x ＋1x ≥2m解：特称命题的否定是全称命题．故选D .5．已知全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝4x ，x ＞0，B ＝{y |y ＝2x ，x ＜1}，则A ∩(∁R B )＝ ( )A ．(0，2)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(2，＋∞) 解：因为集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝4x ，x ＞0＝(0，＋∞)，B ＝{y |y ＝2x ，x ＜1}＝(0，2)，所以∁R B ＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝[2，＋∞)．故选B .6．已知p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1，2}，由它们构成的新命题“p ∧q ”“p ∨q ”“ p ”中，真命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解：因为空集是任何集合的子集，{1}⊆{1，2}，所以p 真q 假．所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”“ p ”为假．故选B .7．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈Z 且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5解：因为32－x ∈Z 且x ∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，x 的值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4.故选C .8．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：a －b >1，即a >b ＋1.因为a ，b 为正数，所以a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立．反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．所以“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的充分不必要条件．故选A .9．下列命题中：①“∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0”的否定； ②“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题； ③命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题． 其中真命题的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解：只有③不正确．故选C .10．(2017·浙江)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解：S 4＋S 6－2S 5＝a 5＋a 6－2a 5＝d ，所以为充要条件．故选C .11．短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，( q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( ) A ．甲第一、乙第二、丙第三 B ．甲第二、乙第一、丙第三 C ．甲第一、乙第三、丙第二 D ．甲第一、乙没得第二名、丙第三解：( q )∧r 是真命题意味着 q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名．故选D .12．已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是 ( ) A.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，14 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 解：当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.故选A .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是________．解：把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定．故填∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0＜0. 14．已知集合A ＝{－1，2，3，6}，B ＝{x |－2<x <3}，则A ∩B 子集的个数为________．解：由交集的定义可得A ∩B ＝{－1，2}．因此A ∩B 的子集为∅，{－1}，{2}，{－1，2}．故填4. 15．已知集合A ＝{1，a ，5}，B ＝{2，a 2＋1}．若A ∩B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为________． 解：若a 2＋1＝1，则a ＝0，A ∩B ＝{1}；若a 2＋1＝5，则a ＝±2，当a ＝2时，A ∩B ＝{2，5}，不合题意，舍去；当a ＝－2时，A ∩B ＝{5}； 若a 2＋1＝a ，则a 2－a ＋1＝0无解． 所以a ＝0或a ＝－2.故填0或－2.16．如图所示的韦恩图中，A ，B 是非空集合，定义集合A ⊕B 为阴影部分所表示的集合．若A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊕B ＝________.解：依据定义，A ⊕B 就是将A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合．B ＝{y |y >1}，所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1，2]，依据定义得A ⊕B ＝{x |0≤x ≤1或x >2}．故填{x|0≤x ≤1或x>2}．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知R 为全集，A ＝{x |log 12(3－x )≥－2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪5x ＋2≥1.(1)求A ∩B ；(2)求(∁R A )∩B 与(∁R A )∪B .解：(1)由log 12(3－x )≥log 124，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＞0，3－x ≤4.即A ＝{x |－1≤x <3}．由5x ＋2≥1，得x －3x ＋2≤0， 即B ＝{x |－2<x ≤3}， 所以A ∩B ＝{x |－1≤x <3}． (2)因为∁R A ＝{x |x <－1或x ≥3}，故(∁R A )∩B ＝{x |－2<x <－1或x ＝3}，(∁R A )∪B ＝R .18．(12分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，若A ∪B ＝A ，求a 的值．解：A ＝{1，2}，因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，B ＝{x |[x －(a －1)](x －1)＝0}，所以a －1＝1或2，即a ＝2或3. 19．(12分)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}． (1)求集合A 和∁R B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为|x －a |≤2⇔－2≤x －a ≤2⇔a －2≤x ≤a ＋2， 所以集合A ＝{x |a －2≤x ≤a ＋2}． 因为lg(x 2＋6x ＋9)>0，所以x 2＋6x ＋9>1， 所以x ＜－4或x ＞－2.所以集合B ＝{x |x <－4或x >－2}． 所以∁R B ＝[－4，－2]．(2)由A ⊆B ，得2＋a <－4或－2<a －2， 解得a <－6或a >0.所以a 的取值范围为{a |a <－6或a >0}．20．(12分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1，3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为A ∩B ＝[1，3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3， 得m ＝3. (2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}，因为A ⊆∁R B ，所以m －2＞3或m ＋2＜－1，解得m ＞5或m ＜－3.所以实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．21．(12分)已知p ：x 2≤5x －4，q ：x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0.(1)求p 中对应x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．解：(1)因为x 2≤5x －4，所以x 2－5x ＋4≤0，即(x －1)(x －4)≤0，所以1≤x ≤4，即p 中对应x 的取值范围为[1，4]．(2)设p 对应的集合为A ＝{x |1≤x ≤4}．由x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0，得(x －2)(x －a )≤0.当a ＝2时，不等式的解为x ＝2，对应的解集为B ＝{2}；当a >2时，不等式的解为2≤x ≤a ，对应的解集为B ＝{x |2≤x ≤a }；当a <2时，不等式的解为a ≤x ≤2，对应的解集为B ＝{x |a ≤x ≤2}；若p 是q 的必要不充分条件，则B A ，当a ＝2时，满足条件；当a >2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |2≤x ≤a }，要使B A ，则满足2<a ≤4； 当a <2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |a ≤x ≤2}，要使B A ，则满足1≤a <2. 综上，实数a 的取值范围为{a |1≤a ≤4}．22．(12分)设a ∈R ，二次函数f (x )＝ax 2－2x －2a .若f (x )>0的解集为A ，B ＝{x |1<x <3}，A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围．解：由f (x )为二次函数知a ≠0，令f (x )＝0解得其两根为x 1＝1a－2＋1a 2，x 2＝1a ＋2＋1a2. 由此可知x 1<0，x 2>0.(1)当a >0时，A ＝{x |x <x 1}∪{x |x >x 2}．A ∩B ≠∅的充要条件是x 2<3，即1a ＋2＋1a 2<3，解得a >67. (2)当a <0时，A ＝{x |x 1<x <x 2}．A ∩B ≠∅的充要条件是x 2>1，即1a ＋2＋1a2>1，解得a <－2. 综上，使A ∩B ≠∅成立的a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞．。
全称量词与存在量词
全称量词与存在量词§1.3 逻辑联结词“且”“或”“非”一、课前预习学习目标1．理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。
2．会判断由“或”“且”“非”构成的复合命题的真假。
3．理解由“或”“且”“非”构成的复合命题与集合的“交”“并”“补”之间的关系。
要点梳理（预习教材P16~ P18，完成下面的空格，并找出疑惑之处）1.三种基本逻辑联结词（1）逻辑联结词“且”与日常语言中的___________相当。
（2）逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的___________是相当的。
(3)逻辑联结词“非”（也称__________ ）的意义是由日常语言中的___________、_______、___等抽象出来的。
2.由基本逻辑联结词构成的新命题及其表示、读法（1）用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作____________________，读作____________________。
（2）用逻辑联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作____________________，读作____________________。
（3）对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作__________________，读作__________或__________。
3.含有逻辑联结词的复合命题的真假规律p q非p p或q p且q真真真假假真假假二、课内探究※学生汇报自学成果，提出自学中遇到的问题。
※新课探究：1、将含有逻辑联结词的复合命题化为简单命题。
2、含逻辑联结词的命题真假的判断。
3、如果写出一个命题的否命题。
※典型例题:例1、指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题．(1)96是48与16的倍数；(2)方程x2－3＝0没有有理数解；(3)不等式x2－x－2＞0的解集是{x|x＜－1或x＞2}．例2、分别指出下列各组命题构成的“p且q”“p或q”“綈p”形式的命题的真假．(1)p：6＜6，q：6＝6.(2)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点．q：方程x2＋x＋2＝0没有实根．例3、写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题，并判断其真假：(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等．(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．※变式训练:1.将下列命题写成“p或q”“p且q”和“綈p”的形式：(1)p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；(2)p：能被5整除的整数的个位数一定为5，q：能被5整除的整数的个位数一定为0.2.指出下列各组命题构成的“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假．p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分．三、当堂检测对于下列各组命题，利用“且”“或”“非”分别构造新命题，并判断新命题的真假．(1)命题p：任何集合都有两个子集；命题q：任何一个集合都至少有一个真子集；(2)命题p：等比数列的公比可以是负数；命题q：等比数列可以是等差数列；(3)命题p：7<7，命题q：7＝7.四、课后巩固提高一、选择题1．如果命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，那么（）A.命题“非p”与命题“非q”的真值不同B.命题p与命题“非q”的真值不同C.命题q与命题“非p”的真值不同D.命题“非p且非q”是真命题2．命题p：60是5和4的公倍数；命题q：梯形不是平行四边形；命题r：有两个内角互补的四边形是梯形或是圆内接四边形或是平行四边形；命题s：等腰三角形的底角相等。
2021届高考数学一轮必备 1.3《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》考情分析学案(1)
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情分析1．考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用“或”、“且”、“非”表述相关的命题．2．考查对全称量词与存在量词意义的明白得，表达简单的数学内容，并能正确地对含有一个量词的命题进行否定．基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：p q p∧q p∨q¬p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.注意事项1.逻辑联结词与集合的关系。
“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词组成的命题问题2．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．(2)特称命题的否定是全称命题特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．3．复合命题的否定(1)綈(p∧q)⇔(¬p)∨(¬q)；(2)綈(p∨q)⇔(¬p)∧(¬q)．典型例题题型一含有逻辑联结词命题真假的判定【例1】已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，那么在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是( )．A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4解析可判定p1为真，p2为假；那么q1为真，q2为假，q3为假，q4为真．答案C【变式1】已知命题p：∃x0∈R，使sin x0＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出以下结论①命题“p∧q”是真命题；②命题“¬p∨¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“p∨¬q”是假命题．其中正确的选项是( )．A ．②③B ．②④C ．③④D ．①②③解析 命题p 是假命题，命题q 是真命题，故③④正确．答案 C题型二 全称命题与特称命题【例2】►写出以下命题的否定，并判定其真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；(4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.解 (1)¬p：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0，假命题． (2)¬q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，真命题．(4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．【变式2】 写出以下命题的否定，并判定真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 不是3x －5＝0的根；(2)q ：有些合数是偶数；(3)r ：∃x 0∈R ，|x 0－1|＞0.解 (1)¬p：∃x 0∈R ，x 0是3x －5＝0的根，真命题．(2)¬q：每一个合数都不是偶数，假命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，|x －1|≤0，假命题．题型三 依照命题的真假，求参数的取值范围【例3】已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q ：方程4x 2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．假设“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．解 由p 得：⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝m 2－4＞0，－m ＜0，则m ＞2. 由q 得：Δ2＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0，那么1＜m ＜3.又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 与q 一真一假． ①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3，解得m ≥3； ②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3，解得1＜m ≤2. ∴m 的取值范围为m ≥3或1＜m ≤2.【变式3】 已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立．假设p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围． 解 ∵函数y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a ＞1.不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立，∴a ＞0且a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4，∴q ：0＜a ＜4.∵“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，∴p 、q 中必有一真一假． ①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ≥4，得a ≥4. ②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ≤1，0＜a ＜4，得0＜a ≤1. 故a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．难点冲破【例1】(2021辽宁模拟)已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，假设“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c 的取值范围． [解答示范] ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0＜c ＜1.(2分)即p ：0＜c ＜1.∵c ＞0且c ≠1，∴¬p：c ＞1.(3分)又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12.即q ：0＜c ≤12. ∵c ＞0且c ≠1，∴¬q：c ＞12且c ≠1.(6分) 又∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 真q 假或p 假q 真．(7分)①当p 真，q 假时，{c |0＜c ＜1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪ c ＞12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪ 12＜c ＜1；(9分) ②当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪ 0＜c ≤12＝∅.(11分) 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪ 12＜c ＜1.(12分)【例2】 设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．求使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围．[尝试解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0，得m ＜－1. ∴p ：m ＜－1；由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0，知－2＜m ＜3，∴q ：－2＜m ＜3.由p ∨q 为真，p ∧q 为假可知，命题p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1，m ≥3或m ≤－2，现在m ≤－2； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2＜m ＜3，现在－1≤m ＜3.∴m的取值范围是{m|m≤－2，或－1≤m＜3}．巩固提高1．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，那么( )．A．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 B．¬p：∀x∈R，sin x≥1 C．¬p：∃x0∈R，sin x0>1 D．¬p：∀x∈R，sin x>1解析命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题．答案C2．假设p是真命题，q是假命题，那么( )．A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬p是真命题D．¬q是真命题解析此题考查命题和逻辑联结词的基础知识，意在考查考生对逻辑联结词的明白得运用能力．只有¬q是真命题．答案D3．命题p：假设a，b∈R，那么|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而没必要要条件．命题q：函数y＝|x－1|－2的概念域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)那么( )．A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真答案D4．设p、q是两个命题，那么复合命题“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是( )．A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为真D．p为真、q为假答案C5．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________________．答案存在x0∈R，使|x0－2|＋|x0－4|≤3。
第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”
第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”考试要求 1.了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识梳理1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫作逻辑联结词.(2)命题p且q，p或q，綈p的真假判断p q p且q p或q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.3.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记任意x∈M，p(x)存在x0∈M，p(x0)否定存在x0∈M，綈p(x0)任意x∈M，綈p(x)1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p或q→见真即真，p且q→见假即假，p 与綈p→真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.3.“p或q”的否定是“(綈p)且(綈q)”，“p且q”的否定是“(綈p)或(綈q)”.4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题.()(2)命题綈(p且q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)存在x0∈M，p(x0)与任意x∈M，綈p(x)的真假性相反.()解析(1)错误.命题p或q中，p，q有一真则真.(2)错误.p且q是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(老教材选修2－1P19习题1－4T2(4)改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p或q，p且q中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p或q，p且q都是真命题.答案 B3.(新教材必修第一册P23A3改编)命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是________________________.答案有些表面积相等的三棱锥体积不相等4.(2020·渭南调研)已知命题p：存在x0∈R，x20＋4x0＋6<0，则綈p为()A.任意x∈R，x2＋4x＋6≥0B.存在x∈R，x2＋4x＋6>0C.任意x∈R，x2＋4x＋6>0D.存在x∈R，x2＋4x＋6≥0解析依据特称命题的否定是全称命题，由此知答案A是正确的.答案 A5.(2020·唐山模拟)已知命题p ：f (x )＝x 3－ax 的图像关于原点对称；命题q ：g (x )＝x cos x 的图像关于y 轴对称.则下列命题为真命题的是( ) A.綈p B.q C.p 且qD.p 且(綈q )解析 根据题意，对于f (x )＝x 3－ax ，有f (－x )＝(－x )3－a (－x )＝－(x 3－ax )＝ －f (x )，为奇函数，其图像关于原点对称，p 为真命题；对于g (x )＝x cos x ，有 g (－x )＝(－x )cos(－x )＝－x cos x ，为奇函数，其图像关于原点对称，q 为假命题，则綈p 为假命题，q 为假命题，p 且q 为假命题，p 且(綈q )为真命题. 答案 D6.(2019·豫南五校联考)若“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则实数m的最大值为________.解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，∴1≤tan x ＋2≤2＋ 3.∵“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则m ≤1.∴实数m 的最大值为1. 答案 1考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】 (1)设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p: 若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( ) A.p 或qB.p 且qC.(綈p )且(綈q )D.p 且(綈q )(2)(2020·济南调研)已知命题p ：若a >|b |，则a 2>b 2；命题q ：m ，n 是直线，α为平面，若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n .下列命题为真命题的是( ) A.p 且q B.p 且(綈q ) C.(綈p )且qD.(綈p )且(綈q )解析 (1)取a ＝c ＝(1，0)，b ＝(0，1)，显然a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ＝1≠0，∴p 是假命题.又a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝x b(x∈R)，由b∥c知b＝y c(y∈R)，∴a＝xy c，∴a∥c，∴q是真命题.综上知p或q是真命题，p且q是假命题.綈p为真命题，綈q为假命题.∴(綈p)且(綈q)，p且(綈q)都是假命题.(2)对于命题p，由a>|b|两边平方，可得到a2>b2，故命题p为真命题.对于命题q，直线m∥α，但是m，n有可能是异面直线，故命题q为假命题，綈q为真命题.所以p且(綈q)为真命题.答案(1)A(2)B规律方法 1.“p或q”、“p且q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p或q”“p且q”“綈p”形式命题的真假.2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，綈p则是“与p的真假相反”.【训练1】(1)若命题“p或q”与命题“綈p”都是真命题，则()A.命题p与命题q都是真命题B.命题p与命题q都是假命题C.命题p是真命题，命题q是假命题D.命题p是假命题，命题q是真命题(2)(2020·衡水中学检测)命题p：若向量a·b<0，则a与b的夹角为钝角；命题q：若cos α·cos β＝1，则sin(α＋β)＝0.下列命题为真命题的是()A.pB.綈qC.p且qD.p或q解析(1)因为綈p为真命题，所以p为假命题，又p或q为真命题，所以q为真命题.(2)当a，b方向相反时，a·b<0，但夹角是180°，不是钝角，命题p是假命题；若cos αcos β＝1，则cos α＝cos β＝1或cos α＝cos β＝－1，所以sin α＝sin β＝0，从而sin(α＋β)＝0，命题q是真命题，所以p或q是真命题.考点二 全称量词与存在量词 多维探究角度1 含有量词命题的否定【例2－1】 (2020·河南八所重点高中联考)已知集合A 是奇函数集，B 是偶函数集.若命题p ：任意f (x )∈A ，|f (x )|∈B ，则綈p 为( ) A.任意f (x )∈A ，|f (x )|∉B B.任意f (x )∉A ，|f (x )|∉B C.存在f (x )∈A ，|f (x )|∉BD.存在f (x )∉A ，|f (x )|∉B 解析 全称命题的否定为特称命题：改写量词，否定结论. ∴綈p ：存在f (x )∈A ，|f (x )|∉B . 答案 C角度2 全称(特称)命题的真假判断【例2－2】 (1)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )A.任意x ∈R ，f (－x )≠f (x )B.任意x ∈R ，f (－x )≠－f (x )C.存在x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D.存在x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0)(2)(2020·九江检测)已知命题p ：任意x ∈N +，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，命题q ：存在x ∈R ，2x＋21－x ＝22，则下列命题中是真命题的是( ) A.p 且q B.(綈p )且q C.p 且(綈q )D.(綈p )且(綈q )解析 (1)∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴存在x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题. (2)因为y ＝x n (n ∈N +)在(0，＋∞)上递增. ∴任意x ∈N +，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13x成立，p 为真命题.又2x ＋21－x ≥22x ·21－x ＝22，当且仅当2x ＝21－x ，即x ＝12时，上式取等号， 则q 为真命题.因此p 且q 为真命题.规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“任意x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可.【训练2】(1)(角度1)命题“存在x0∈R，1<f(x0)≤2”的否定形式是()A.任意x∈R，1<f(x)≤2B.存在x0∈R，1<f(x0)≤2C.存在x0∈R，f(x0)≤1或f(x0)>2D.任意x∈R，f(x)≤1或f(x)>2(2)(角度2)(2020·合肥模拟)已知命题p：任意x>0，e x>x＋1，命题q：存在x∈(0，＋∞)，ln x≥x，则下列命题正确的是()A.p且qB.(綈p)且qC.p且(綈q)D.(綈p)且(綈q)解析(1)特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“任意x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”.(2)令f(x)＝e x－x－1，则f′(x)＝e x－1，当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)>f(0)＝0，即e x>x＋1，命题p真；令g(x)＝ln x－x，x>0，则g′(x)＝1x－1＝1－xx，当x∈(0，1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，即当x＝1时，g(x)取得极大值，也是最大值，所以g(x)max＝g(1)＝－1<0，∴g(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，则命题q假，因此綈q为真，故p且(綈q)为真.答案(1)D(2)C考点三由命题的真假求参数典例迁移【例3】 (1)已知命题p ：“任意x ∈[0，1]，a ≥e x ”；命题q ：“存在x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”.若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为________________.(2)(经典母题)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对任意x 1∈[0，3]，存在x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________. 解析 (1)若命题“p 且q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题.由任意x ∈[0，1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由存在x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，得Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e ，4]. (2)当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0， 当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ， 由f (x )min ≥g (x )min ， 得0≥14－m ，所以m ≥14. 答案 (1)[e ，4] (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞【迁移】 本例(2)中，若将“存在x 2∈[1，2]”改为“任意x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是______________________________________. 解析 当x ∈[1，2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，对任意x 1∈[0，3]，任意x 2∈[1，2]使得f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： (1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围. 2.全称命题可转化为恒成立问题.3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决. 【训练3】 已知命题p ：任意x ∈R ，2x <3x ，命题q ：存在x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(綈p )且q 为真命题，则x 的值为( ) A.1B.－1C.2D.－2解析 因为綈p ：存在x ∈R ，2x ≥3x ，要使(綈p )且q 为真，所以綈p 与q 同时为真.由2x ≥3x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫23x≥1，所以x ≤0.①由x 2＝2－x ，得x ＝1或x ＝－2.② 由①②知x ＝－2. 答案 D逻辑推理——突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.类型1 形如“对任意x 1∈A ，都存在x 2∈B ，使得g (x 2)＝f (x 1)成立”的问题 【例1】 已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ，g (x )＝196x －13，若对任意x 1∈[－1，1]，总存在x 2∈[0，2]，使得f ′(x 1)＋2ax 1＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围. 解 由题意知，g (x )在[0，2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，6.令h (x )＝f ′(x )＋2ax ＝3x 2＋2x －a (a ＋2)， 则h ′(x )＝6x ＋2，由h ′(x )＝0得x ＝－13.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－13时，h ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－13，1时，h ′(x )>0，所以[h (x )]min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－a 2－2a －13.又由题意可知，h (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，6的子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧h （－1）≤6，－a 2－2a －13≥－13，h （1）≤6，解得实数a 的取值范围是[－2，0].思维升华 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f (x )的值域是g (x )的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于a 的不等式组，求得参数的取值范围.类型2 形如“存在x 1∈A 及x 2∈B ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立”的问题【例2】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3x ＋1，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，－13x ＋16，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，函数g (x )＝k sin πx 6－2k ＋2(k >0)，若存在x 1∈[0，1]及x 2∈[0，1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数k 的取值范围. 解 由题意，易得函数f (x )的值域为[0，1]，g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2k ，2－3k 2，并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况，即2－2k >1或2－32k <0，解得k <12或k >43，所以，要使两个值域有公共部分，k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43.思维升华 本类问题的实质是“两函数f (x )与g (x )的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f (x )的值域和g (x )的值域相等”来求解参数的取值范围.类型3 形如“对任意x 1∈A ，都存在x 2∈B ，使得f (x 1)<g (x 2)成立”的问题 【例3】 已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若任意x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，存在x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是________. 解析 依题意知f (x )max ≤g (x )max . ∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝172.又g (x )＝2x ＋a 在[2，3]上是增函数，∴g (x )max ＝8＋a ， 因此172≤8＋a ，则a ≥12. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞思维升华 理解量词的含义，将原不等式转化为[f (x )]max ≤[g (x )]max ；利用函数的单调性，求f (x )与g (x )的最大值，得关于a 的不等式，求得a 的取值范围. 思考1：在[例3]中，若把“存在x 2∈[2，3]”变为“任意x 2∈[2，3]”时，其它条件不变，则a 的取值范围是________.问题“等价转化”为[f (x )]max ≤[g (x )]min ，请读者完成.思考2：在[例3]中，若将“任意x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1”改为“存在x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1”，其它条件不变，则a 的取值范围是______.问题“等价转化”为f (x )min ≤g (x )max ，请读者自行求解.A 级 基础巩固一、选择题1.(2020·咸阳调研)命题p ：“任意x >1，x 2－1>0”，则綈p 为( ) A.任意x >1，x 2－1≤0B.任意x ≤1，x 2－1≤0C.存在x 0>1，x 20－1≤0D.存在x 0≤1，x 20－1≤0解析 命题p ：“任意x >1，x 2－1>0”，则綈p 为：存在x 0>1，x 20－1≤0.答案 C2.第32届夏季奥林匹克运动会将于2020年7月24日在日本东京隆重开幕.在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( ) A.(綈p )或(綈q ) B.p 或(綈q ) C.(綈p )且(綈q )D.p 或q解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p )或(綈q ).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p 且q ”的否定，选A.答案 A3.命题“任意n ∈N +，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A.任意n ∈N +，f (n )∉N +且f (n )＞n B.任意n ∈N +，f (n )∉N +或f (n )＞n C.存在n 0∈N +，f (n 0)∉N +且f (n 0)＞n 0 D.存在n 0∈N +，f (n 0)∉N +或f (n 0)＞n 0 解析 ∵全称命题的否定为特称命题，∴该命题的否定是：存在n 0∈N +，f (n 0)∉N +或f (n 0)>n 0. 答案 D4.已知命题p ：存在x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( ) A.p 且q B.p 且綈q C.綈p 且qD.綈p 且綈q解析 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0恒成立，所以p 为真命题，则綈p 为假命题；当a ＝1，b ＝－2时，满足a 2<b 2，但不满足a <b ，所以q 为假命题，则綈q 为真命题，根据且命题同真则真的原则，p 且綈q 为真命题. 答案 B5.(2020·河南六校联考)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >x 2，q ：“ab >4”是“a >2，b >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A.p 且q B.(綈p )且q C.p 且(綈q )D.(綈p )且(綈q )解析 当x ＝2时，2x ＝x 2，所以p 是假命题；由a >2，b >2可以推出ab >4；反之不成立，例如a ＝2，b ＝4，所以“ab >4”是“a >2，b >2”的必要不充分条件，故q 是假命题；所以(綈p )且(綈q )是真命题. 答案 D6.已知命题“存在x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，0)B.[0，4]C.[4，＋∞)D.(0，4)解析 因为命题“存在x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以其否定命题“任意x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题. 则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4. 答案 D7.命题p ：函数y ＝log 2(x －2)的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x＋1的值域为(0，1).下列命题是真命题的为( ) A.p 且qB.p 或qC.p 且(綈q )D.綈q解析 由于y ＝log 2(x －2)的单调递增区间是(2，＋∞)， 所以命题p 是假命题.由3x >0，得3x ＋1>1，所以0<13x ＋1<1，所以函数y ＝13x ＋1的值域为(0，1)，故命题q 为真命题. 所以p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，p 且(綈q )为假命题，綈q 为假命题. 答案 B8.已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“任意x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B.(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) 解析 ∵函数f (x )＝a 2x －2a ＋1，命题“任意x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，∴原命题的否定：“存在x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题， ∴f (1)f (0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0， ∴(a －1)2(2a －1)>0，解得a >12，且a ≠1， ∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞).答案 D 二、填空题9.若“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1，依题意，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1. 答案 110.命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为________________________________.解析 因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可.答案 存在x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋111.(2020·湖南百校大联考改编)下列四个命题：p 1：任意x ∈R ，2x >0；p 2：存在x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0；p 3：任意x ∈R ，sin x <2x ；p 4：存在x ∈R ，cos x >x 2＋x ＋1.其中是真命题的为________.解析 任意x ∈R ，2x >0恒成立，p 1是真命题. 又x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴p 2是假命题.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π＝1>2－32π，知p 3是假命题.取x ＝－12时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝32，但x 2＋x ＋1＝34<32，则p 4为真.综上，p 1，p 4为真命题，p 2，p 3是假命题. 答案 p 1，p 412.已知命题p ：存在x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0，命题q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立.若p 且q 为假命题，则实数m 的取值范围为________.解析 由命题p ：存在x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0可得m ≤－1；由命题q ：任意x∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，即Δ＝m 2－4<0，可得－2<m <2， 若p 且q 为真命题，则－2<m ≤－1，因为p 且q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1. 答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)B 级 能力提升13.命题“任意x ∈R ，存在n ∈N +，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A.任意x ∈R ，存在n ∈N +，使得n <x 2 B.任意x ∈R ，任意n ∈N +，使得n <x 2 C.存在x ∈R ，存在n ∈N +，使得n <x 2 D.存在x 0∈R ，任意n ∈N +，使得n <x 20 解析 改变量词，否定结论.∴该命题的否定应为：存在x 0∈R ，任意n ∈N +，使得n <x 20. 答案 D14.(2020·南昌质检)下列有关命题的说法正确的是( ) A.命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B.命题p ：存在x 0∈R ，sin x 0＝62；命题q ：任意x ∈R ，x >sin x ，则命题p 或q 为真C.命题“存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”D.命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题是真命题解析 选项A ，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，∴A 选项错误.选项B ，∵sin x 0＝62>1，∴命题p 是假命题.命题q ：当x ＝0时，x ＝sin x ，∴命题q 是假命题，则命题p 或q 为假.∴B 选项错误.选项C ，命题“存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，∴C 选项错误.选项D ，∵x ＝y ，∴sin x ＝sin y ，∴该命题的逆否命题为真命题.∴D 选项正确. 答案 D15.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：存在m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解；命题q ：若m ＝19，则f [f (－1)]＝0，那么，下列命题为真命题的是____________(填序号).①p 且q ；②(綈p )且q ；③p 且(綈q )；④(綈p )且(綈q ). 解析 因为3x >0，当m <0时，m －x 2<0， 所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13， 所以f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0，所以命题q 为真命题；逐项检验可知，只有(綈p )且q 为真命题. 答案 ②16.(2020·漳州八校联考)设p ：函数f (x )＝ax 2－x ＋14a 的定义域为R ，q ：存在x∈(0，1)，使得不等式3x －9x －a <0成立.如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数a 的取值范围为________. 解析 若命题p 为真，则ax 2－x ＋14a ≥0恒成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝（－1）2－4a ·14a ≤0，解得a ≥1. 设y ＝3x －9x .令3x ＝t ，则y ＝3x －9x ＝t －t 2， 当x ∈(0，1)时，t ∈(1，3)， 所以y ＝3x －9x 的值域为(－6，0). 若命题q 为真，则a >－6.由命题“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，可知p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，a 不存在；当p 假q 真时，－6<a <1， 所以实数a 的取值范围是(－6，1). 答案 (－6，1)C 级 创新猜想17.(组合选择题)(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：存在(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：任意(x ，y )∈D ，2x＋y≤12.下面给出了四个命题①p或q②綈p或q③p且綈q④綈p且綈q这四个命题中，所有真命题的编号是()A.①③B.①②C.②③D.③④解析由不等式组画出平面区域D，如图阴影部分所示，在图中画出直线2x＋y＝9，可知命题p正确，作出直线2x＋y＝12，2x＋y≤12表示直线及其下方区域，易知命题q错误. ∴綈p为假，綈q为真，∴p或q为真，綈p或q为假，p且綈q为真，綈p且綈q为假.故真命题的编号为①③.答案 A。
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§1.3 全称量词与存在量词、逻辑联结词 1． 全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任意一条”“一切”等． (2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等． 2． 全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题． 3． 命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q. 4． 简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词． (2)简单复合命题的真值表：
p q 綈p 綈q p或q p且q 綈(p或q) 綈(p且q) 綈p或綈q 綈p且綈q 真 真 假 假 真 真 假 假 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 真 假 假 真 真 假 假 假 真 真 假 假 真 真 真 真
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题且q为假命题，则命题p、q都是假命题． ( × ) (2)已知命题p：存在n0∈N,2n0>1 000，则綈p：存在n∈N,2n0≤1 000. ( × ) (3)命题p和綈p不可能都是真命题． ( √ ) (4)命题“任意x∈R，x2≥0”的否定是“任意x∈R，x2<0”． ( × ) (5)若命题p、q至少有一个是真命题，则p或q是真命题． ( √ ) 2． 命题p：任意x∈R，sin x<1；命题q：存在x∈R，cos x≤－1，则下列结论是真命题的 是 ( ) A．p且q B．綈p且q C．p或綈q D．綈p且綈q 答案 B 解析 p是假命题，q是真命题， ∴綈p且q是真命题． 3． (2013·重庆)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为 ( ) A．对任意x∈R，都有x2<0 B．不存在x∈R，使得x2<0 C．存在x0∈R，使得x20≥0 D．存在x0∈R，使得x20<0 答案 D 解析 因为“任意x∈M，p(x)”的否定是“存在x∈M，綈p(x)”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x20<0”． 4． (2013·湖北)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ( ) A．(綈p)或(綈q) B. p或(綈q) C．(綈p)且(綈q) D．p或q 答案 A 解析 “至少有一位学员没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”＝(綈p)或(綈q)． 5． 若命题“存在x∈R，x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________． 答案 [－4,0] 解析 “存在x∈R，x2－mx－m<0”是假命题，则“任意x∈R，x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0.
题型一 全(特)称命题的否定 例1 写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：任意x∈R，x2－x＋14≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：存在x0∈R，x20＋2x0＋2≤0； (4)s：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0. 思维启迪 否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假．
解 (1)綈p：存在x0∈R，x20－x0＋14<0，假命题． (2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)綈r：任意x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题． (4)綈s：任意x∈R，x3＋1≠0，假命题． 思维升华 (1)对全(特)称命题进行否定的方法 ①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定． ②对原命题的结论进行否定． (2)判定全称命题“任意x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立． (1)已知命题p：任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)≥0，则綈p是( ) A．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 B．任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 C．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 D．任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 (2)命题“存在实数x，使x>1”的否定．．是 ( ) A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x ，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1 答案 (1)C (2)C 解析 (1)綈p：存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0. (2)利用特称命题的否定是全称命题求解． “存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C. 题型二 含有逻辑联结词命题的真假判断
例2 命题p：将函数y＝sin 2x的图像向右平移π3个单位得到函数y＝sin2x－π3的图像；命 题q：函数y＝sinx＋π6cosπ3－x的最小正周期为π，则命题“p或q”“p且q”“綈p”为真命题的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．0 思维启迪 先判断命题p、q的真假，然后利用真值表判断p或q、p且q、綈p的真假． 答案 B 解析 函数y＝sin 2x的图像向右平移π3个单位后，
所得函数为y＝sin2x－π3＝sin2x－2π3， ∴命题p是假命题． 又y＝sinx＋π6cosπ3－x
＝sinx＋π6cosπ2－x＋π6 ＝sin2x＋π6＝12－12cos2x＋π3， ∴其最小正周期为T＝2π2＝π， ∴命题q真． 由此，可判断命题“p或q”真，“p且q”假，“綈p”为真． 思维升华 “p或q”“p且q”“綈p”形式命题真假的判断步骤： (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p、q的真假； (3)确定“p且q”“p或q”“綈p”形式命题的真假． (1)若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－1x的单调递增区间是[1，＋∞)，则 ( ) A．p且q是真命题 B．p或q是假命题 C．綈p是真命题 D．綈q是真命题 (2)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的________条件． 答案 (1)D (2)必要不充分 解析 (1)因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)， 所以p是真命题；
因为函数y＝x－1x的单调递增区间(－∞，0)和(0，＋∞)， 所以q是假命题． 所以p且q为假命题，p或q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题，故选D. (2)若命题“p或q”为真命题，则p、q中至少有一个为真命题． 若命题“p且q”为真命题，则p、q都为真命题， 因此“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件． 题型三 逻辑联结词与命题真假的应用 例3 (1)已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围为 ( ) A．m≥2 B．m≤－2 C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2 (2)已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“存在x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是__________． 思维启迪 利用含逻辑联结词命题的真假求参数范围问题，可先求出各命题为真时参数的范围，再利用逻辑联结词的含义求参数范围． 答案 (1)A (2)[e,4] 解析 (1)依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得
m≥0m≤－2或m≥2，即m≥2.
(2)若命题“p且q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由任意x∈[0,1]，a≥ex, 得a≥e；由存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4. 思维升华 以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p且q”“p或q”“綈p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可． (1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是 ( ) A．{a|a≤－2或a＝1} B．{a|a≥1} C．{a|a≤－2或1≤a≤2} D．{a|－2≤a≤1} (2)命题“存在x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________． 答案 (1)A (2)[－22，22] 解析 (1)由题意知，p：a≤1，q：a≤－2或a≥1， ∵“p且q”为真命题，∴p、q均为真命题，∴a≤－2或a＝1. (2)因题中的命题为假命题，则它的否定“任意x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，也就