九年级数学下册 3.7 切线长定理教案1 (新版)北师大版
九年级数学下册 3.7 切线长定理教案 (新版)北师大版
3.如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙ O的直径，∠ACB=70°.则∠P=_____
检测课堂效果
教学反思
教学后完成
根据教师讲授，学生完成导学提纲上的 相关问题，做好笔记
知识解难释疑
检
教师出示当堂检测
学生在规定时间内完成当堂检测
1.如图，⊙O与△ABC的边BC相切，切点为点D，与AB、AC的延长线相切，切点分别为店E、F，则
图中相等的线段有_______________________________________________________.
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————
切线长定理
课程标准描述
探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条 切线长相等。
考试大纲描述
教材内容分析
本节课是一节选学内容，学生的要求较高
学生分析
实验班学生的理论水平尚且足够，平行班的学生在学习本节内容的时候估计存在困难。
学习目标
1.理解切线长的定义；2.掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题.
重点
切线长定理的理解
难点
切线长定理的应用
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图（备注）
导
教师用问题导入，引入新课题，明确目标
（一） 探究切线长的 定义：
如下图，过⊙O外一点 P，画出⊙O 的所有切线.
引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段 的 长，叫做这点到圆的切线长.
典例解析：
例1：如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，PA=PB=4cm，
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计一. 教材分析《切线长定理》是北师大版九年级数学下册第3章第7节的内容。
本节课主要介绍切线长定理及其应用。
切线长定理是初中数学中的一个重要定理，它涉及到圆的切线性质和几何图形的对称性。
在学习本节课时，学生需要掌握切线与圆的位置关系，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
教材通过生动的例题和丰富的练习，帮助学生理解和掌握切线长定理，并能够灵活运用它解决相关问题。
二. 学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了相似三角形的性质、圆的性质等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。
然而，对于部分学生来说，理解和运用切线长定理解决实际问题仍存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导，帮助学生克服学习中的困难。
三. 教学目标1.理解切线长定理的含义，掌握切线长定理的证明过程。
2.能够运用切线长定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的空间想象力，提高学生的逻辑思维能力。
4.激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和合作精神。
四. 教学重难点1.重点：切线长定理的证明过程，切线长定理的应用。
2.难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究切线长定理。
2.运用几何画板等教学软件，直观展示切线与圆的位置关系，帮助学生理解切线长定理。
3.通过例题讲解和练习，巩固学生对切线长定理的理解和运用。
4.鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关教学课件，包括切线与圆的位置关系示意图、切线长定理的证明过程等。
2.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生对切线长定理的应用。
3.准备几何画板等教学软件，用于直观展示切线与圆的位置关系。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板展示一个圆和一条切线，引导学生观察切线与圆的位置关系，提出问题：“切线与圆有什么特殊的性质？”让学生回顾已学过的知识，为新课的学习做好铺垫。
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计1
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计1一. 教材分析《切线长定理》是北师大版九年级数学下册第3章第7节的内容。
本节课主要介绍切线长定理，即从圆外一点引出两条切线，切线长相等。
这个定理是圆的有关性质之一，对于学生理解圆的性质和解决与圆相关的问题具有重要意义。
教材通过生活中的实例引入切线长定理，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了相似三角形、平行线等知识，对几何图形的性质有一定的了解。
但是，他们对圆的性质认识不足，切线长定理较为抽象，需要通过实例和操作活动来加深理解。
此外，学生对于实际问题的解决方法还不够熟练，需要教师在教学中给予引导和指导。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解切线长定理，并能运用切线长定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、操作、思考、交流等过程，培养几何思维能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：学生体验数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：学生能够理解并运用切线长定理。
2.难点：学生能够将切线长定理应用于实际问题，并解决问题。
五. 教学方法1.引导发现法：教师通过实例和问题引导学生发现切线长定理，培养学生的几何思维能力。
2.操作活动法：学生通过实际操作，加深对切线长定理的理解。
3.合作交流法：学生分组讨论，分享解题方法和经验，培养团队合作精神。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体课件。
2.学具：圆、直尺、圆规、剪刀、彩笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活中的实例引入切线长定理，激发学生的学习兴趣。
例如，讲解在修剪树枝时，如何利用切线长定理剪出相等的树枝。
2.呈现（10分钟）教师展示切线长定理的定义和性质，引导学生观察、思考。
同时，通过多媒体课件演示切线长定理的证明过程，帮助学生理解。
3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，运用切线长定理解决几何问题。
九年级数学下册 3.7 切线长定理教案 (新版)北师大版
3.7切线长定理【教学内容】切线长定理【教学目标】知识与技能 理解切线长的概念，掌握切线长定理，会应用切线长定理解决问题；过程与方法 学习中注重动手操作、观察、发现、总结等活动去发现相关结论，并注意切线与切线长、切线的性质与切线长定理的对比，培养学生分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学中相关定义的区别与联系。
从而发现事物之间的相互联系。
【教学重难点】重点：切线长定理及其应用。
难点：切线长定理及其应用【导学过程】【知识回顾】1.什么是切线？切线的判定和性质是什么？2.什么是三角形的内切圆？什么是内心？它是什么的交点？【情景导入】过圆上一点作圆的切线如何做？如果我们过圆外一点画圆的切线，能画几条？试试看？【新知探究】探究一、 经过圆外一点可作圆的 ，这点和切点之间的 ，叫做这点到圆的 . 如图1，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，点A ，B 为切点，把线段 PA ，PB 的长叫做点P 到⊙O 的（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）找出图形中相等的线段，并说明理由。
注意：切线和切线长的区别：切线是 线，不可度量，而切线长是线段， 度量.探究二： 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分_______________．几何语言：PA PB 、是⊙O 的两条切线 _____________,________________ .（2）如何证明切线长定理呢？已知：如图2，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线．求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB． 证明：（3）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形. （图2）探究二、四边形的四边都与⊙O 相切，则它相对的两边有何关系？与同伴进行交流。
九年级数学下册 3.7 切线长定理教案1 (新版)北师大版
课题：3.7切线长定理教学目标：1. 通过作图、观图理解切线长的概念，体会切线与切线长的区别与联系.2.经历探索切线长定理的过程,发展学生合情推理和演绎推理的能力.3．应用切线长定理进行相关的计算和证明.教学重、难点：重点：切线长定理的推导过程及运用.难点：综合运用切线长定理进行有关的证明和计算.课前准备：课件、实物投影仪、圆规、三角板、导学案.教学过程：一、创设情境，引入新课活动内容：上节课我们认识了圆的切线，知道过⊙O上任一点A都可以作一条切线，•并且只有一条.那么过圆外一点可以画几条切线？它们之间又有什么关系呢？想知道答案就一起进入今天的课堂学习.1.根据条件画出图形已知⊙O外一点P，过点P作⊙O的切线,可以画圆的条切线？你有几种方法?P处理方式：学生小组合作，尝试作图.师巡视指导，参与到学生的活动中.待多数小组完成后，选个别小组展示交流作法.师再播放课件小结作图方法.最后，引导学生发现过圆外一点只能画2条切线.设计意图：由学生作图，体验如何过圆外一点画圆的切线的方法和条数，为下面的学习做好经验和事实铺垫.二、合作探究，感悟新知活动2：认识切线长如图1，是我们所画的图形，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 是切点，我们把线段PA ， PB 叫做点P 到⊙O的切线长． 图1问题1：切线长是如何定义的？问题2：观察图形，切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别和联系？处理方式：问题1可以先让学生回答，如：圆外的点和切点的线段叫做切线长；过圆外一点做圆的切线，这个点和切点的线段叫做切线长等.此时，师生补充纠正共同得出的定义. (课件展示)问题2先由学生争论，师生再总结：切线和切线长是两个不同的概念，切线是一条与圆相切的直线，不能度量；切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. (课件展示)设计意图：放手让学生给切线长下定义，可使学生更好地理解切线长的概念，体会切线与切线长的区别与联系.活动3：探索切线长定理问题1：如图1，（课件展示）是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？问题2：在这个图中你能找到相等的线段吗?说说你的理由？由此你得到什么猜想？问题3：如何证明你的猜想？处理方式：问题1学生直接判断.问题2当学生回答PA=PB时，师关注学生是怎么找到的？如：有的学生会利用图形的对称性解释；有的可能通过测量得到. 对学生的回答师给予鼓励.学生猜想: 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.(若学生提不出师及时引导.)问题3学生分组探究，写出证明过程.(个别组展示交流.)已知：如图2，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B 是切点.求证：PA=PB.证明：连接OA,OB.∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°.在Rt△AOP和Rt△BOP中，∵OA=OB,OP=OP.图2∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA=PB至此，我们证明了猜想是正确的，得到切线长定理.（课件展示）师追加反思：切线长定理为说明线段相等提供了新的方法.师追问：由Rt△AOP≌Rt△BOP我们还能得到哪些结论？处理方式：学生观察图形可直接回答，∠OPA=∠OPB，∠POA=∠P OB.因此，切线长定理可拓展为过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.设计意图：让学生经历观察—猜想---验证的数学探索过程，有助于学生理解切线长定理，更深层次的挖掘其内涵,为解题提供方便.三、例题解析，运用新知.活动4：应用切线长定理应用切线长定理可以解决那些问题呢？例1. 如图，四边形ABCD 的四条边都与⊙O 相切，切点分别为E ,F ,G ,H ,由切线长定理你能发现哪些线段相等? GF E 处理方式：学生观察图形，直接回答.若学生有困难，师可以进行如下引导：分析： 由点A 的切线可知 = .由点B 的切线可知 = . 由点C 的切线可知 = .由点D 的切线可知 = .师追问：将上面四个等式左右两边分别相加，你能得到什么结论？处理方式：由学生发现：AB +CD=A D+BC ，进而得出结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.例2. 已知如图，在Rt△ABC 的两条直角边AC =10，BC =24，⊙O 是△ABC的内切圆，切点分别为D ,E ,F ，求⊙O 的半径.处理方式：解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外，还要用到解方程的知识，是一道综合性较强的计算题．因此，教师可组织学生小组讨论，寻求解题思路，并写出解题过程；师巡视指导，深入到学生的讨论中，适时提示学生添加辅助线解答. 完成后， 学生代表展示交流解题方法，师同步播放课件.解法1：连接OD ,OE ,OF ,则OD=OE=OF ，设OD=r .在Rt△ABC 中，AC =10，BC =24，AB=AC 2+BC 2=102+242=26∵⊙O分别于AB，BC，AC相切于点D,E,F，∴OD⊥AB, OE⊥BC , OF⊥AC , BD= BE , AD=AF ,CE=CF.又∵∠C=90°，∴四边形OECF为正方形.∴CE=CF=r. ∴BE=24-r, AF=10-r.∴AB=BD+ AD= BE+ AF=24-r+10-r =34-2r而AB=26，∴34-2r=26∴r=4，⊙O的半径为4.解法2：连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,在Rt△ABC中，AC=10，BC=24，AB=AC2+BC2=102+242=26∵⊙O分别于AB，BC，AC相切于点D,E,F，∴OD⊥AB, OE⊥BC , OF⊥AC ,设⊙O的半径为r∵S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC1 2BC•AC=12AB•OD+12BC•OE+12AC•OF1 2BC•AC=12(AB+BC+AC)•r∴ 24X10= (26+24+10)• r∴r=4，⊙O的半径为4.师追问：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们添加辅助线构建基本图形.从上面的解题过程中你体会到那些添加辅助线的方法？引导学生发现：（1）分别连接圆心和切点.（2）连接圆心和圆外一点.设计意图：借助例题解析，引导学生领悟运用切线长定理解决问题的方法，以及常用的解题思路.四、达标测试，检验新知.1.已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm,过点P两条画⊙O的两条切线，这两条切线的切线长为 cm.2. 如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．3.如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点,∠ A =50°，点P是圆上异于B、C，且在（1题）（2题）（3题）4.已知：如图PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，C为⊙O上一点，过C点作⊙O的切线，交PA,PB于D,E点，已知PA=PB=5cm，求△PDE的周长.(4题)处理方式：学生独立完成1—3题，个别学生回答，简要说明思路.第4题，要求学生写出解题过程.师巡回辅导.设计意图：学生通过检测练习，加深对知识巩固，提高学生的解题能力.五、回顾反思，共同进步这节课你在知识方面有哪些收获？在学习方法上，你学会了什么？你还有什么疑惑？你想进一步探究的问题是什么？处理方式：给学生一定的时间进行思考，得出结论后，再进行集体交流和课件展示.设计意图：以“回顾反思”的方式让学生总结本节课的收获，使学生养成梳理学习内容、思想、方法、思路形成知识体系的习惯.六、布置作业，课外巩固课本习题P96习题3.9 1， 2, 3，板书设计图1图2。
北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》说课稿1
北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》是本节课的主要内容。
切线长定理是初中数学中的一个重要定理，它揭示了圆的切线与半径之间的关系。
在本节课中，学生将学习如何运用切线长定理解决实际问题，为后续学习圆的性质和几何问题打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的代数和几何知识，具备一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。
但是，对于圆的切线性质和切线长定理的理解还需要进一步引导和培养。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习兴趣，激发他们的探究欲望，并通过实例演示和动手操作，让学生更好地理解切线长定理的应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解和掌握切线长定理，并能够运用切线长定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、操作和思考，培养直观思维和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：学生培养对数学的兴趣和自信心，培养合作意识和问题解决能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解和掌握切线长定理，并能够运用切线长定理解决实际问题。
2.教学难点：学生对于圆的切线性质和切线长定理的理解，以及如何运用切线长定理解决复杂问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何模型和黑板进行教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考圆的切线与半径之间的关系，激发学生的学习兴趣。
2.探究：学生分组讨论，观察和操作几何模型，发现切线长定理的规律。
3.讲解：教师引导学生总结切线长定理的定义和证明过程，并解释切线长定理的应用。
4.练习：学生独立完成一些练习题，巩固对切线长定理的理解和运用。
5.拓展：学生分组讨论，探索切线长定理在实际问题中的应用，并进行展示和交流。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出切线长定理的主要内容。
可以采用以下板书设计：切线长定理：1.定义：从圆外一点引出的切线与圆的半径垂直。
北师大版九年级数学37切线长定理教案
教案一、教学目标1.知识与技能：(1)了解什么是切线以及切线的性质；(2)掌握切线长定理的概念和计算方法；(3)能够运用切线长定理解决实际问题。
2.过程与方法：(1)通过引导学生思考，引出切线的概念；(2)通过数学实例，引导学生了解切线的性质；(3)通过练习题，巩固学生对切线长定理的掌握。
3.情感态度与价值观(1)培养学生具备良好的数学思维能力；(2)培养学生独立思考和解决问题的能力；(3)培养学生对数学的兴趣与好奇心。
二、教学重难点1.教学重点：(1)切线的概念；(2)切线的性质；(3)切线长定理的计算方法。
2.教学难点：(1)引导学生理解切线的性质；(2)能够善于运用切线长定理解决实际问题。
三、教学过程1.引入新知识：(1)通过投影片展示一个圆形，并引导学生观察、思考圆上的点到圆心的连线和切线有什么共同点和区别。
(2)以学生感兴趣的问题为切入点，例如一个人站在操场的跑道上，他站在一个点上，他向前走穿过人行道一直走到跑道外面，这个人行道与跑道的交点与他最初站的地方之间的线段是多长？(3)引导学生讨论圆上的点到圆心的连线和切线的性质，引出切线的概念以及切线长定理。
2.学习切线的性质：(1)通过一组具体的数学实例，让学生观察、分析，并总结切线的性质。
(2)引导学生进行合作探究，提出问题和解决问题的方法。
3.掌握切线长定理的计算方法：(1)讲解切线长定理的概念和计算方法。
(2)通过数学实例，引导学生掌握切线长定理的计算方法。
4.运用切线长定理解决实际问题：(1)通过具体实例和练习题，引导学生运用切线长定理解决实际问题。
(2)让学生在小组或个人中解答问题，并进行讨论和分享解决思路。
5.深化与拓展学习：(1)提供一些拓展问题，让学生深化对切线长定理的理解。
(2)讲解一些切线的拓展知识，如相切、切线的性质等。
(3)提供一些挑战性问题，让学生进行探究和解决。
四、课堂练习1.选择题：(1)已知半径为6cm的圆O，切线AB与半径OA的夹角为60°，则AB的长度为（）。
北师大版数学九年级下册3.7切线长定理教学设计
2.针对不同层次的学生，提供不同难度的题目，使每个学生都能在作业中找到适合自己的挑战。
3.鼓励学生家长参与作业监督，关注学生的学习进度，适时给予指导和鼓励。
4.在作业批改过程中，注重反馈和指导，针对学生的错误和不足，给予有针对性的建议，帮助学生不断提高。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我打算通过以下方式激发学生的兴趣和好奇心：
1.提问方式：向学生提问：“我们已经学习过圆的基本概念和性质，那么大家知道什么是圆的切线吗？切线与圆有哪些特殊的关系？”通过这个问题，引发学生对切线的思考。
2.生活实例：展示一些生活中的例子，如圆盘上的一根细线与圆盘的接触点，车轮与地面的接触点等，让学生认识到切线在实际生活中的重要性。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我将：
1.回顾所学：带领学生回顾切线长定理的概念、证明过程和应用方法。
2.学生分享：邀请学生分享学习心得，总结自己在学习切线长定理过程中的收获和困惑。
3.教师点评：针对学生的分享，给予肯定和鼓励，同时指出需要改进的地方。
4.知识拓展：简要介绍切线长定理在高中数学中的应用，激发学生的学习兴趣。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握切线长定理的概念及其应用，能够熟练运用切线长定理解决相关问题。
2.掌握切线长定理的证明过程，理解其中的逻辑关系和几何意义。
3.能够将切线长定理与圆的其他性质相结合，解决综合性几何问题。
（二）教学设想
1.利用直观教具和多媒体辅助教学，帮助学生形象地理解切线长定理。通过动态演示，让学生观察切线与半径的关系，引导学生发现并总结切线长定理。
2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案
2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案一. 教材分析《切线长定理》是北师大版数学九年级下册第3.7节的内容，主要讲述了圆的切线与圆内的点到切线的距离之间的关系。
本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、切线的定义以及点与圆的位置关系的基础上进行学习的，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的概念和性质有一定的了解。
但是，对于圆的切线长定理的理解和运用还需要通过实例进行引导和巩固。
三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，能够运用切线长定理解决实际问题。
2.培养学生的空间想象力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
四. 教学重难点1.切线长定理的证明和理解。
2.运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究切线长定理。
2.运用多媒体课件，直观展示圆的切线和切线长定理。
3.采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
4.通过实例讲解，巩固学生对切线长定理的理解。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.圆规、直尺、彩色粉笔。
3.练习题和实例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一个圆和它的切线，引导学生回顾切线的定义。
然后提出问题：“圆内的点到切线的距离与切线有什么关系？”2.呈现（10分钟）利用多媒体课件呈现切线长定理的证明过程，引导学生直观地理解切线长定理。
同时，解释切线长定理的意义和应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用切线长定理进行解答。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固对切线长定理的理解。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。
5.拓展（10分钟）提出一些与切线长定理相关的问题，引导学生进行思考和讨论。
例如：在圆中，到一个定点等距离的点的轨迹是什么？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，强调切线长定理的应用。
北师大版九年级数学下册：第三章 3.7《切线长定理》精品说课稿
北师大版九年级数学下册：第三章 3.7《切线长定理》精品说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章3.7《切线长定理》是本章的重要内容。
切线长定理是圆的性质定理之一，它揭示了圆上一点到圆外一点的切线长与该点到圆心的距离之间的关系。
这一定理在解决几何问题时具有广泛的应用，是学生进一步学习圆的性质和解决实际问题的关键。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。
但是，对于切线长定理的理解和应用，部分学生可能会感到抽象和难以理解。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和解答。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握切线长定理的内容，理解切线长、圆心角和圆周角之间的关系。
2.过程与方法：通过观察、实验、证明等方法，培养学生探究和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：切线长定理的内容及其应用。
2.教学难点：切线长定理的证明和灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作探究法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入切线长定理的概念。
2.自主学习：学生阅读教材，了解切线长定理的内容。
3.小组讨论：学生分组讨论，探究切线长定理的证明方法。
4.教师讲解：讲解切线长定理的证明过程，引导学生理解定理的含义。
5.应用练习：学生进行课堂练习，巩固切线长定理的应用。
6.拓展提高：引导学生思考切线长定理在实际问题中的应用，进行拓展训练。
7.课堂小结：总结本节课的主要内容和收获。
七. 说板书设计板书设计如下：1.定义：圆上一点到圆外一点的切线长等于该点到圆心的距离。
2.证明：利用圆的性质和几何变换进行证明。
3.应用：解决实际问题，如圆的切割、角度计算等。
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课题：3.7切线长定理
教学目标：
1. 通过作图、观图理解切线长的概念，体会切线与切线长的区别与联系.
2.经历探索切线长定理的过程,发展学生合情推理和演绎推理的能力.
3．应用切线长定理进行相关的计算和证明.
教学重、难点：
重点：切线长定理的推导过程及运用.
难点：综合运用切线长定理进行有关的证明和计算.
课前准备：课件、实物投影仪、圆规、三角板、导学案.
教学过程：
一、创设情境，引入新课
活动内容：
上节课我们认识了圆的切线，知道过⊙O上任一点A都可以作一条切线，•并且只有一条.那么过圆外一点可以画几条切线？它们之间又有什么关系呢？想知道答案就一起进
入今天的课堂学习.
1.根据条件画出图形
已知⊙O外一点P，过点P作⊙O的切线,可以画圆的条切线？你有几种方法?
P
处理方式：
学生小组合作，尝试作图.师巡视指导，参与到学生的活动中.待多数小组完成后，选
个别小组展示交流作法.师再播放课件小结作图方法.
最后，引导学生发现过圆外一点只能画2条切线.
设计意图：由学生作图，体验如何过圆外一点画圆的切线的方法和条数，为下面的学习做好
经验和事实铺垫.
二、合作探究，感悟新知
活动2：认识切线长
如图1，是我们所画的图形，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 是切点，我们把线段PA ， PB 叫做点P 到⊙O
的切线长． 图1
问题1：切线长是如何定义的？
问题2：观察图形，切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别和联系？
处理方式：
问题1可以先让学生回答，如：圆外的点和切点的线段叫做切线长；过圆外一点做圆的切线，这个点和切点的线段叫做切线长等.此时，师生补充纠正共同得出的定义. (课件展示)
问题2先由学生争论，师生再总结：切线和切线长是两个不同的概念，切线是一条与圆相切的直线，不能度量；切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. (课件展示)
设计意图：放手让学生给切线长下定义，可使学生更好地理解切线长的概念，体会切线与切线长的区别与联系.
活动3：探索切线长定理
问题1：如图1，（课件展示）是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
问题2：在这个图中你能找到相等的线段吗?说说你的理由？由此你得到什么猜想？
问题3：如何证明你的猜想？
处理方式：
问题1学生直接判断.
问题2当学生回答PA=PB时，师关注学生是怎么找到的？如：有的学生会利用图形的对称性解释；有的可能通过测量得到. 对学生的回答师给予鼓励.
学生猜想: 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.(若学生提不出师及时引导.)
问题3学生分组探究，写出证明过程.(个别组展示交流.)
已知：如图2，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B 是切点.
求证：PA=PB.
证明：连接OA,OB.
∵PA、PB分别是⊙O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°.
在Rt△AOP和Rt△BOP中，
∵OA=OB,OP=OP.
图2∴Rt△AOP≌Rt△BOP
∴PA=PB
至此，我们证明了猜想是正确的，得到切线长定理.（课件展示）
师追加反思：切线长定理为说明线段相等提供了新的方法.
师追问：由Rt△AOP≌Rt△BOP我们还能得到哪些结论？
处理方式：学生观察图形可直接回答，∠OPA=∠OPB，∠POA=∠P OB.
因此，切线长定理可拓展为过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这
一点的连线平分两条切线的夹角.
设计意图：让学生经历观察—猜想---验证的数学探索过程，有助于学生理解切线长定理，
更深层次的挖掘其内涵,为解题提供方便.
三、例题解析，运用新知.
活动4：应用切线长定理
应用切线长定理可以解决那些问题呢？
例1.如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，切点分别为E,F,G,H, 由切线长定理你能发现哪些线段相等?
H
G F
E
处理方式：学生观察图形，直接回答.若学生有困难，师可以进行如下引导：
分析：由点A的切线可知 = .
由点B的切线可知 = .
由点C的切线可知 = .
由点D的切线可知 = .
师追问：将上面四个等式左右两边分别相加，你能得到什么结论？
处理方式：由学生发现：AB+CD=A D+BC，进而得出
结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.
例2.已知如图，在Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O的半径.
处理方式：解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外，还要用到解方程的知识，是一道综合性较强的计算题．因此，教师可组织学生小组讨论，寻求解题思路，并写出解题过程；师巡视指导，深入到学生的讨论中，适时提示学生添加辅助线解答.
完成后，学生代表展示交流解题方法，师同步播放课件.
解法1：连接OD,OE,OF,则OD=OE=OF，设OD=r.
在Rt△ABC中，AC=10，BC=24，
AB=AC2+BC2=102+242=26
∵⊙O分别于AB，BC，AC相切于点D,E,F，
∴OD⊥AB, OE⊥BC , OF⊥AC , BD= BE , AD=AF ,CE=CF.
又∵∠C=90°，∴四边形OECF为正方形.
∴CE=CF=r. ∴BE=24-r, AF=10-r.
∴AB=BD+ AD= BE+ AF=24-r+10-r =34-2r
而AB=26，∴34-2r=26
∴r=4，⊙O的半径为4.
解法2：连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,
在Rt△ABC中，AC=10，BC=24，
AB=AC2+BC2=102+242=26
∵⊙O分别于AB，BC，AC相切于点D,E,F，
∴OD⊥AB, OE⊥BC , OF⊥AC ,
设⊙O的半径为r
∵S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC
1 2BC•AC=
1
2
AB•OD+
1
2
BC•OE+
1
2
AC•OF
1 2BC•AC=
1
2
(AB+BC+AC)•r
∴ 24X10= (26+24+10)• r
∴r=4，⊙O的半径为4.
师追问：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们添加辅助线构建基本图形.从上面的解题过程中你体会到那些添加辅助线的方法？
引导学生发现：（1）分别连接圆心和切点.
（2）连接圆心和圆外一点.
设计意图：借助例题解析，引导学生领悟运用切线长定理解决问题的方法，以及常用的解题思路.
四、达标测试，检验新知.
1.已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm,过点P两条画⊙O的两条切线，这两条切线的切线长为 cm.
2. 如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．
3.如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点,∠ A =50°，点P是圆上异于B、C，且在
上的动点，则∠BPC的度数是（）
A．65°B．115°C．115°或65°D．130°或65°
（1题）（2题）（3题）
4.已知：如图PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，C为⊙O上一点，过C点作⊙O的
切线，交PA,PB于D,E点，已知PA=PB=5cm，求△PDE的周长.
(4题)
处理方式：学生独立完成1—3题，个别学生回答，简要说明思路.
第4题，要求学生写出解题过程.师巡回辅导.
设计意图：学生通过检测练习，加深对知识巩固，提高学生的解题能力.
五、回顾反思，共同进步
这节课你在知识方面有哪些收获？
在学习方法上，你学会了什么？
你还有什么疑惑？
你想进一步探究的问题是什么？
处理方式：给学生一定的时间进行思考，得出结论后，再进行集体交流和课件展示.
设计意图：以“回顾反思”的方式让学生总结本节课的收获，使学生养成梳理学习内容、
思想、方法、思路形成知识体系的习惯.
六、布置作业，课外巩固
课本习题P96习题3.9 1， 2, 3，
板书设计
3.7切线长定理
图1
图2。