高二数学必修五--数列知识点总结及解题技巧(含答案)---强烈-推荐
高中数学 必修五 数列 全套教案(知识讲解+经典例题+巩固练习+答案)
数列的概念与简单表示法【学习目标】1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题.2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系.3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项.4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系.【学习策略】数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。
关于数列的一些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决.【要点梳理】要点一、数列的概念数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.要点诠释：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项.要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。
数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；（2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.数列的一般形式：数列的一般形式可以写成： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项.要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项.要点二、数列的分类根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
高中数学必修5等差数列知识点总结和题型归纳
等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示知识点2、等差数列的判定方法：②定义法:对于数列，若(常数），则数列是等差数列③等差中项:对于数列,若,则数列是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数知识点4、等差数列的前n项和：⑤⑥对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:⑥如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或在一个等差数列中,从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有⑧对于等差数列，若，则也就是:⑨若数列是等差数列，是其前n项的和,，那么,,成等差数列如下图所示：10、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为,则，且，（其中,）．二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用)1、。
等差数列{a n｝的前三项依次为a-6，2a -5, -3a +2，则a 等于（）A . -1B . 1C 。
—2 D. 22．在数列｛a n}中，a1=2，2a n+1=2a n+1，则a101的值为( ）A．49 B．50 C．51 D．523．等差数列1,－1,－3，…，－89的项数是（)A．92 B．47 C．46 D．454、已知等差数列中,的值是（）（)A 15B 30C 31D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.d＞B.d＜3 C。
≤d＜3 D.＜d≤36、。
在数列中，，且对任意大于1的正整数,点在直上,则=_____________。
高中数学必修五数列知识点总结归纳
高中数学必修五数列知识点总结归纳数列是以正整数集为定义域的函数，是一列有序的数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
下面肖博老师给大家分享高中数学必修五数列知识点总结。
一、数列的概念和简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．二、等差数列1.理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系．三、等比数列1.理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．四．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数．(2)数列的分类(3)数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．五．数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式.1．辨明两个易误点(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集N*或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．。
高中数列知识点总结(附例题)
高中数列知识点总结（附例题）知识点1：等差数列及其前n 项 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项如果 A ＝a ＋b2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋（n-m ）d ，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数)．7．等差数列的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最 大 值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最 小 值．[难点正本 疑点清源] 1．等差数列的判定(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.2．等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1)a n .(4)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝n2d . 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．例1（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明 ∵a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1.∴n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.∴数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n＝1＋22n －7，设函数f (x )＝1＋22x －7，易知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞内为减函数． ∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.例2（等差数列的基本量的计算）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1 (2)求d 的取值范围．解 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8.所以⎩⎨⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7. (2)方法一 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.因为关于a 1的一元二次方程有解，所以 Δ＝81d 2－8(10d 2＋1)＝d 2－8≥0，解得d ≤－22或d ≥2 2. 方法二 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0， 9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d )2＝d 2－8.所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.例3（前n 项和及综合应用）(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值； (2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．解 方法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653.∴a 13＝0，即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n <0，∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.方法二 同方法一求得d ＝－53.∴S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列． 令⎩⎨⎧a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝4(n ＋1)－25≥0， ②由①得n <614；由②得n ≥514，所以n ＝6. 即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列， 而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ，则T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧21n ＋n (n －1)2×(－4) (n ≤6)66＋3(n －6)＋(n －6)(n －7)2×4 (n ≥7)＝⎩⎨⎧－2n 2＋23n (n ≤6)，2n 2－23n ＋132 (n ≥7).例4，已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 3例5等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为{},{}n n S T ，且7453n nS n T n,则使得n na b 为正整数的正整数n 的个数是 3 . （先求an/bn n=5,13,35）已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“a n+1=pa n+q ”这种形式通常转化为an +1+λ=p (an +λ),由待定系数法求出,再化为等比数列； (3)逐差累加或累乘法.例6 已知数列{}n a 中，113a =，当2≥n 时，其前n 项和n S 满足2221nn n S a S =-，则数列{}n a 的通项公式为例7在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n+=++，则n a = .知识点2：等比数列及其n 项和 1．等比数列的定义 2．等比数列的通项公式 3．等比中项若G 2＝a ·b (ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a n q n－m，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n . (3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，21221nn n n S S S S --=-1.21n S n ⇒=+1111122(2)n n n n n n S S S S n S S ---⇒-=⇒-=≥()()21132214n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪-⎩≥13211221, 2.≥n n n n n a a a a a a n a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅2ln n+⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q(q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .7. 等比数列的单调性【难点】1．等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非常数． 2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小． 3．等比数列的前n 项和S n(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1及前n 项和公式S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q(q ≠1)共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，知三求二，体现了方程的思想的应用．(3)在使用等比数列的前n 项和公式时，如果不确定q 与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q ＝1和q ≠1两种情况．例1：(1)在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求{a n }的前8项和S 8； (2)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3 280，且前n 项中数值最大的项为27，求数列的第2n 项． (1)设数列{a n }的公比为q ，由通项公式a n ＝a 1q n －1及已知条件得： ⎩⎨⎧a 6－a 4＝a 1q 3(q 2－1)＝24， ①a 3·a 5＝(a 1q 3)2＝64. ②由②得a 1q 3＝±8.将a 1q 3＝－8代入①式，得q 2＝－2，无解将a 1q 3＝8代入①式，得q 2＝4，∴q ＝±2.，故舍去．当q ＝2时，a 1＝1，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝255；当q ＝－2时，a 1＝－1，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝85.(2)若q ＝1，则na 1＝40,2na 1＝3 280，矛盾．∴q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q ＝40， ①a 1(1－q 2n )1－q ＝3 280， ②②①得：1＋q n ＝82，∴q n＝81， ③ 将③代入①得q ＝1＋2a 1. ④又∵q >0，∴q >1，∴a 1>0，{a n }为递增数列． ∴a n ＝a 1q n －1＝27， ⑤ 由③、④、⑤得q ＝3，a 1＝1，n ＝4. ∴a 2n ＝a 8＝1×37＝2 187.例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n ＝n.(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． 1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ， ① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1. ②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列． ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，∴c 1＝－12，公比q ＝12. 又c n ＝a n －1，∴{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)解 由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .例3 在等比数列{a n }中，(1)若已知a 2＝4，a 5＝－12，求a n ；(2)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．解 (1)设公比为q ，则a 5a 2＝q 3，即q 3＝－18，∴q ＝－12，∴a n ＝a 5·q n －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －4.(2)∵a 3a 4a 5＝8，又a 3a 5＝a 24，∴a 34＝8，a 4＝2.∴a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝25＝32.例4已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． 规范解答(1)证明 b 1＝a 2－a 1＝1， [1分]当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， [5分]∴{b n }是首项为1，公比为－12的等比数列． [6分](2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， [8分]当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) [10分]＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1， ∴a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 (n ∈N *)． [14分]例4 （07 重庆11）设11a a -+是和的等比中项，则a +3b 的最大值为 2 .（三角函数）例5 若数列1, 2cos θ, 22cos 2θ,23cos 3θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为（ ）例 6 △ABC 的三内角成等差数列, 三边成等比数列,则三角形的形状为__等边三角形__________.【综合应用】例7.已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；22,Z 3k k ππ±∈(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013.解 (1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )．解得d ＝2 (∵d >0). ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3， ∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n＝a n ＋1得当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n .两式相减得：n ≥2时，c nb n＝a n ＋1－a n ＝2.∴c n ＝2b n ＝2·3n －1 (n ≥2)．又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3.∴c n ＝⎩⎨⎧3 (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2).∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013＝3＋6－2×32 0131－3＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.知识点3：数列的基本知识1，1-1)1(n n n n n S S n S a S a -==或的关系：与例1：设{}n a 数列的前n 项和2n S n =，则8a 的值为 15 .2，数列的递推公式及应用：利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有三种方法：累加法，累积法，构造法①对形如q pa a a a n n +==+11;的递推公式()1.≠p q p 为常数且，可令()λλ+=++n n a p a 1，整理得()λλλ+=+=+n n a p a p q1,1-，所以是{}λ+n a 等比数列②对形如q pa a a n n n +=+1的递推公式，两边取倒数后换元转化为nn a qp a +=+11，再求出⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1即可例2：已知数列{}n a 满足n a a a n n 2-,3311==+，则na n的最小值为 10.5。
高二数列知识点归纳总结人教版
高二数列知识点归纳总结人教版高二数列知识点归纳总结（人教版）数列是数学中重要的概念之一，在高中数学中也有着重要的地位。
本文将对高二数列的相关知识进行归纳总结。
一、数列的基本概念数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的有序集合。
数列中的每个数称为数列的项，用an表示。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
二、等差数列等差数列是指数列中的每两个相邻的项之间的差等于同一个常数d，该常数称为公差。
用下列公式表示等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d1. 等差数列的通项公式对于等差数列an，如果已知首项a1和公差d，可以使用通项公式求出任意项an。
2. 等差数列的前n项和等差数列的前n项和可以用以下公式表示：Sn = n/2 × (a1 + an)三、等比数列等比数列是指数列中的每两个相邻的项之间的比等于同一个非零常数q，该常数称为公比。
用下列公式表示等比数列的通项公式：an = a1 × q^(n-1)1. 等比数列的通项公式对于等比数列an，如果已知首项a1和公比q，可以使用通项公式求出任意项an。
2. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和可以用以下公式表示：Sn = a1 × (1-q^n) / (1-q)四、数列的性质和应用1. 数列分类根据数列的性质可以将数列分为递增数列、递减数列、常数列和振荡列等。
2. 极限当数列的项无限接近某个确定的值时，称该值为数列的极限。
数列的极限可以用于证明一些数学问题的存在性和计算问题的精确解。
3. 数列的应用数列在实际中有广泛的应用，例如金融领域中的复利计算、物理学中的运动学问题等。
掌握数列的性质和应用可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
五、数列的问题求解方法1. 求出数列的通项公式对于已知的数列问题，如果能够求出数列的通项公式，就能够方便地计算出任意项和前n项的和。
2. 求和问题的解法利用等差数列和等比数列的前n项和公式，可以快速求解数列的和。
高二数学知识点总结数列和导数
高二数学知识点总结数列和导数高二数学知识点总结 - 数列和导数数学是一门重要而广泛应用的学科，数学中有许多重要的概念和知识点需要我们掌握和理解。
在高二数学中，数列和导数是我们需要重点掌握的知识点之一。
本文将对高二数学中的数列和导数进行总结和归纳。
一、数列数列是指按照一定规律排列的一串数字组成的序列。
在高二数学中，我们主要学习了等差数列和等比数列。
1. 等差数列等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与其前一项之间的差都相等的数列。
我们可以通过以下公式来表示等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
在解题中，我们可以通过已知的条件求解等差数列的某一项或者整个数列的和。
2. 等比数列等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与其前一项之间的比都相等的数列。
我们可以通过以下公式来表示等比数列的通项公式：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
在解题中，我们可以利用已知的条件求解等比数列的任意一项或者整个数列的和。
二、导数导数是微积分的重要概念之一，它描述了函数在一点处的变化率。
在高二数学中，我们主要学习了一元函数的导数和导数的应用。
1. 一元函数的导数对于一元函数y = f(x)，在某一点x处的导数可以通过以下公式来计算：f'(x) = lim(h->0) (f(x + h) - f(x))/h导数可以理解为函数图像在某一点处的切线斜率。
求导可以帮助我们进一步了解函数的性质以及相关变化趋势。
2. 导数的应用导数在数学中有广泛的应用，特别是在物理、经济学等领域中。
在高二数学中，我们主要学习了导数的几何和物理应用。
几何应用方面，我们可以通过导数求解函数的最值、切线和法线方程等问题。
物理应用方面，我们可以通过导数来描述物体的速度、加速度等运动特性。
例如，我们可以通过对位移函数求导得到速度函数，再对速度函数求导得到加速度函数。
高中数学必修五 数列求和及综合应用(总结、例题、练习)
第六节 数列求和及综合应用【基础知识】1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式 S n ＝1()2n n a a +＝na 1＋(1)2n n -d . 推导方法：倒序相加法； ②等比数列的前n 项和公式S n ＝111(1)(1)(1)11n n na q a a q a q q q q =⎧⎪--⎨=≠⎪--⎩推导方法：乘公比，错位相减法．(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2．常见的裂项公式(1)111(1)1n n n n =-++；(2)1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+；= 难点正本 疑点清源1．解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和． 2．等价转化思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决． 【考点剖析】 考点一：分组转化法例1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝22n n+，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝22n n +－2(1)12n n -+-＝n .a 1＝1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝22(12)12n --＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. 【解题技法】[口诀记忆]通项和差玩组合，分组求和各管各.若数列通项是几个数列通项的和或差的组合，如：等差加等比，等比加等比．对于这类数列求和，就是对数列通项进行分解，然后分别对每个数列进行求和．例如：a n ＝b n ＋c n ＋…＋h n ，则1nkk a=∑＝1nkk b=∑＋1nkk c=∑＋…＋1nkk h=∑考点二：错位相减法例2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝nna ，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】(1)由2S n ＝3a n －1，① 得2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②，得2a n ＝3a n －3a n －1，∴1nn a a -＝3(n ≥2)， 又2S 1＝3a 1－1，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.(2)由(1)得，b n ＝13n n -， ∴T n ＝0121123···3333n n-++++， 13T n ＝123123 (3333)n n ++++， 两式相减，得23T n ＝01211111···33333n n n-++++-113233=1322313n n n n n -+-=-⨯-，∴T n ＝969443n n +-⨯. 【解题技法】[口诀记忆]通项等差乘等比，乘q 相减化等比.如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解． 【提示】(1)在写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式． (2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．考点三：裂项相消法 考法(一) 形如a n ＝1()n n k + (k 为非零常数)型[例2] (2021·福州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝a n ＋1－a n . (1)证明：数列{b n }是等比数列； (2)设c n ＝2(41)2nnb n -，求数列{c n }的前n 项和S n . 【解析】(1)证明：因为a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝a n ＋1－a n ， 所以1n n b b +＝211n n n n a a a a +++--＝11132n n n n n a a a a a +++---＝112()n n n na a a a ++--＝2， 又b 1＝a 2－a 1＝2－1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝1×2n －1＝2n －1，因为c n ＝2(41)2nnb n -所以c n ＝11112(21)(21)42121n n n n ⎛⎫=- ⎪+--+⎝⎭，所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝111111111?··14335212142142nn n n n ⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ 考法(二)(k 为非零常数)型【例3】已知函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，令a n ＝1(1)()f n f n ++，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项为S n ，则S 2 018＝( )1B. 1C.1D.1【解析】由f (4)＝2，可得4α＝2，解得α＝12， 则f (x )所以a n ＝1(1)()f n f n ++所以S2 018＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝－)＋＋＋…＋＝1.[答案]C[规律探求]【过关检测】1．已知数列{}na满足)111,Nna a n*+==∈.记数列{}na的前n项和为nS，则（）A．100321S<<B．10034S<<C．100942S<<D．100952S<<2．数列{}na满足123232nna a a na++++=，则239101229444a a a aa a+++的值为（）A．710B．1310C．95D．9203．数列()()123n n⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前20项和为（）A．723B．2069C．13D．1969【答案】B4．数列{}nb满足11122nn nbb++=+﹐若112b=，则{}nb的前n项和为（）A．1212nn++-B．1112nn++-C．222nn+-D．13322nn++-5．已知数列{}n a 的前n 项和为nS ，且3n n nS a n λλ+<对任意*N n ∈恒成立，若212n n n a -=，则实数λ的取值范围为（ ）A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．3,14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．3,14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．2,9⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 6．已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，1n n n a b a +=．若100()S k k Z <∈，则k 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．我国古代很早就有对等差数列和等比数列的研究成果.北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题.现有一物品堆，从上向下数，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，…，以此类推.记第n 层货物的个数为n a，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2021项和为（ ）A ．40412021B ．20211011C ．20212022D ．202010118．已知数列{}n a 满足112a =，且对任意*n ∈N ，2112n n n a a a +=-，112n n b a =++，数列{}n b 的前n 项和为nT ，则2021T 的整数部分是（ ）A ．2021B ．2022C ．2023D ．20249．数列{}n a 且21,212sin ,24n n k n na n n kπ⎧=-⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩()k N *∈，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2021S =__________.10．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，514a =，且1a ，3a ，11a 成等比数列，设()11n nnb a +=-，数列{}n b 的前n 项的和为nS ，则2021S =______．11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2211,n n n n a a a n a +=-=-，则100S =__________.12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n n a S +=，则812128S S S a a a +++=______________．13．设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记nS 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．14．已知数列{}n a 是等差数列，23a =，713a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足2133n n S b =+. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设2242n n b c a n =-+-，求数列{}n c 的前n 项和nT.15．已知等差数列{}na的前n项和为nS，且11a=，39S=.数列{}nb满足121221nnnaa ab b b++⋅⋅⋅+=+.（1）求{}na和{}nb的通项公式；（2）设数列{}nb的前n项和为n T，求证163nT<.16．已知等差数列{}na满足:13a+，3a，4a成等差数列，且1a，3a，8a成等比数列.（1）求数列{}na的通项公式（2）在任意相邻两项k a与()11,2,...ka k+=之间插入2k个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}nb，求数列{}nb的前200项和200T.【过关检测答案】1．已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．100321S << B ．10034S <<C ．100942S <<D ．100952S << 【答案】A【解析】因为)111,N n a a n *+==∈，所以0n a >，10012S >．由211111124n n n a a a ++⎛⎫=⇒=+=-⎪⎪⎭2111122n a +⎛⎫∴<+⇒<⎪⎪⎭12<11122n n -+≤+=，当且仅当1n =时取等号，12412(1)311n n n n a n a a a n n n ++∴≥∴=≤=++++ 1163(1)(2)n n n a n a a n n n ++∴≤⇒≤+++，当且仅当1n =时取等号，所以10011111111116632334451011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-++-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100321S <<．故选：A ． 2．数列{}n a 满足123232n n a a a na ++++=，则239101229444a aa a a a +++的值为（ ）A ．710B ．1310C ．95D ．920 【答案】A【解析】123232n n a a a na ++++=，取2a ≥，()112312312n n a a a n a --++++-=相减11,222n n n n n a n a n--=⇒⇒=≥，1122a ==，则推出12,12,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨≥⎪⎩ 当2k ≥时，()()11222111114122121kk k k k ka a k k k k k k -+⋅⎛⎫==⋅=⋅- ⎪+⋅++⎝⎭原式21121111111111121117 (24223234291042221010)a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=⨯⨯+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故选：A3．数列()()123n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前20项和为（ ）A ．723B ．2069C ．13D ．1969【答案】B 【解析】()()1112323n n n n =-++++， ()()123n n ⎧⎫⎪⎪⎨∴⎬++⎪⎪⎩⎭的前20项和为1111111134********⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭112032369-=.故选：B.4．数列{}n b 满足11122n n n b b ++=+﹐若112b =，则{}n b 的前n 项和为（ ） A ．1212n n ++-B ．1112n n ++-C ．222n n +- D ．13322n n ++-【答案】C【解析】因为11122n n n b b ++=+，所以11221n nn n b b ++=+，所以数列{}2n n b 是公差为1d =，首项为1212⨯=的等差数列，所以1(1)2=+-=nn n b n ，所以2n n n b =，设{}n b 的前n 项和为n S ，所以212 (222)n nn S =+++①，231112...2222n n n S +=+++②，①-②得，23111111+ (222222)+=+++-n n n nS ，得222n n n S +=-.故选：C5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3n n nS a n λλ+<对任意*N n ∈恒成立，若212n nn a -=，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．3,14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,14⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．2,9⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】依题意()2112122nn n n a n -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以231111135(21)2222nn S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①()()23411111111352321222222nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②①-②，得()234111111112212222222n n n S n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()211111221122112212n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭-，所以()()2111321323222n n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()()()212121212323231232n n n n n a n n n nS n n n n n n λ⎛⎫- ⎪--⎝⎭>===-++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以只需2max2123n n n λ-⎛⎫> ⎪+⎝⎭，则()*21N n t n -=∈，则12t n +=(t 为正奇数)， 所以222122423545n t n n t t t t-==+++++(t 为正奇数). 根据对勾函数的特征，易得当3t =时，245t t++的值最大，最大值为314， 所以2max 2132314n n n -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，即314λ>，故所求实数λ的取值范围是3,14⎛⎫+∞⎪⎝⎭.故选：C 6．已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，1n n n a b a +=．若100()S k k Z <∈，则k 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由1n n n a b a +=，得1n n n a b a +=，由21n n n a a a +=+，得111n n n a a a +=+， ∴11n n b a =+，而()1111111n n n n n a a a a a +==-++，∴11111n n n n b a a a +==-+， ∴10012100111111S a a a =++⋅⋅⋅++++122310010110111111111a a a a a a a =-+-+⋅⋅⋅+-=-． 由题意，0n a >则210n n n a a a +-=>，故{}n a 为递增数列，又11a =，∴101101a <<，即10010111(0,1)a S =-∈，要使100()S k k Z <∈成立，则1k ，∴k 的最小值为1．故选：A.7．我国古代很早就有对等差数列和等比数列的研究成果.北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题.现有一物品堆，从上向下数，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，…，以此类推.记第n 层货物的个数为n a ，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2021项和为（ ） A ．40412021B ．20211011C ．20212022D ．20201011【答案】B【解析】由题意知，2132*123,2,...n n a a a a n n N a a n--=⎧⎪-=⎪≥∈⎨⎪⎪-=⎩且11a =，则由累加法可知， 123...n a a n -=+++，所以()()1112 (22)n n n n n a n n -+=+++=+=， 当1n =时，()111112a ⨯+==，则()*1,2n n n a n N +=∈，则()1211211na n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 记1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和为n S ，则1211111111...21...2231n n S a a a n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪+⎝⎭ 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则2021S 1202121202111011⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭，故选:B. 8．已知数列{}n a 满足112a =，且对任意*n ∈N ，2112n n n a a a +=-，112n nb a =++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2021T 的整数部分是（ ）A ．2021B ．2022C ．2023D ．2024【答案】B【解析】已知数列{}n a 满足2112n n n a a a +=-，112nn b a =++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2021T 的整数部分是由2112n n n a a a +=-，*n ∈N 得()()21212122n nn n n a a a a a ++=+=， 即11112n n n a a a +=-+，所以11112n n n a a a +=-+， 1212111222n n n b b b n a a a T =+++++++=+++122311111111111n n n n a a a n a a a a a ++=++++=----+ 因为112a =，*n ∈N ，所以212n nn a T +-+=， 又因为2112n n n a a a +=+，112a =211211152828a a a +==+=，3222125510521288128a a a =+=+=，43232110510537905121128128327628a a a ⎛⎫=+=> ⎪⎝+=⨯⎭， 所以*,5n n ∈≥N 时，()10,1n a ∈，()10,12n a ∈+，所以202120211202212T a ++=-的整数部分为2022.故选：B.9．数列{}n a 且21,212sin ,24n n k n na n n k π⎧=-⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩()k N *∈，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2021S =__________. 【答案】30342023【解析】数列{}n a 且21,212sin ,24n n k n na n n k π⎧=-⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩()k N *∈， ①当n 为奇数时，21111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，②当n 为偶数时，sin4n n a π=，24680a a a a +++=，则偶数项和为()()246810121416a a a a a a a a ++++++++()20102012201420162018202020182024201a a a a a a a a a a +++++++==+=，所以 ()()2021132021242020S a a a a a a =+++++++1111111233520212023⎛⎫=-+-++- ⎪⎝⎭101130341120232023+=+=， 故答案为:30342023. 10．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，514a =，且1a ，3a ，11a 成等比数列，设()11n n n b a +=-，数列{}n b 的前n 项的和为n S ，则2021S =______．【答案】3032【解析】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由1311,,a a a 成等比数列得：23111a a a =⨯，()()()2555246a d a d a d ∴-=-⨯+，整理可得：25143d a d =，0d ≠，514a =，3d ∴=，()5531n a a n d n ∴=+-=-，()()1131n n b n +∴=--，()()()20211234520202021S b b b b b b b ∴=+++++⋅⋅⋅++2310103032=+⨯=. 故答案为：3032.11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2211,n n n n a a a n a +=-=-，则100S =__________.【答案】1189【解析】因为2211,n n n n a a a n a +=-=-， 所以221+1n n a a n +=-，所以234598994849()()()014811762a a a a a a ⨯++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+==， 由2211,n n n n a a a n a +=-=-，可得3110a a =-=所以100502512631210111212a a a a a a =-=-=-=-=-=，所以100123459899100()()()S a a a a a a a a =+++++⋅⋅⋅+++11176121189=++=，故答案为：118912．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n n a S +=，则812128S S S a a a +++=______________． 【答案】502【解析】由数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足1n n a S +=， 当2n ≥时，111n n a S --+=，两式相减，可得()11120n n n n n n a a S S a a ----+-=-=，即11(2)2n n a n a -=≥， 令1n =，可得11121a S a +==，解得112a =， 所以数列{}n a 表示首项为12，公比为12的等比数列，所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则11122111212nn n S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-，所以1122112nn n n n S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()8882312123222(111)S S S S a a a a ++++=+++-+++ ()89212821050212-=-=-=-.故答案为：502.13．设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 【解析】因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）证明：由（1）可得11(1)313(1)12313nn n S ⨯-==--，211213333n n n n nT --=++++，①231112133333n n n n nT +-=++++，②①-②得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(1)4323n n n n T =--⋅， 所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n nn n ----=-<⋅⋅，所以2nn S T <. 14．已知数列{}n a 是等差数列，23a =，713a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足2133n n S b =+. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设2242n n b c a n =-+-，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则7225a a d -==，所以，()22221n a a n n =+-=-. 当1n =时，1112133b S b ==+，解得11b =；当2n ≥时，由2133n n S b =+可得112133n n S b --=+，上述两式作差得12233n n n b b b -=-，整理可得12n n b b -=-，则12n n b b -=-， 所以，数列{}n b 是首项为1，公比为2-的等比数列，所以，()12n n b -=-；（2）()()()2222222114241212121212142n n b c a n n n n n n n n =-====-+---+-+-+-， 所以，11111121133521212121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++. 15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，39S =.数列{}n b 满足121221n n na a ab b b ++⋅⋅⋅+=+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证163n T <. 【解析】（1）设数列{}n a 公差为d ，由题可知：1131113392a a S a d d ==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩，21n a n ∴=-， 当1n =时，113a b =，113b ∴=；当2n ≥时，由121221nn n a a a b b b ++⋅⋅⋅+=+可得111212121n n n a a a b b b ---++⋅⋅⋅+=+， 两式作差得()1121212n n n n n a b --=+-+=，所以，112122n n n n a n b ---==.113b =不满足1212n n n b --=，11,1321,22n n n b n n -⎧=⎪⎪∴=⎨-⎪≥⎪⎩；（2）32112135213222n n n T b b b n b --=++++⋅=++⋅⋅⋅+⋅⋅+，21113232126222n n n n n T ---∴=++⋅⋅⋅++， 22311111522221521823221232222323212n n n n n n n n n T --⎛⎫- ⎪--+⎝⎭∴=++++-=+-=--，1162316323n n n T -+∴=-<. 16．已知等差数列{}n a 满足:13a +，3a ，4a 成等差数列，且1a ，3a ，8a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式（2）在任意相邻两项k a 与()11,2,...k a k +=之间插入2k 个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，求数列{}n b 的前200项和200T .【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .由题意得14332a a a ++=，即1123324a d a d ++=+，解得3d =，又2183a a a ⋅=，即()()21117323a a a ⋅+⨯=+⨯，解得14a =，所以31n a n =+.（2）在新数列{}n b 中，1k a +前面（包括1k a +）共有()2312222121k k k k +++++++=+-项，令121200k k ++-≤，()1,2,k =，则6k ≤，所以1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a 出现在新数列{}n b 的前200项中，当6k =时，121133k k ++-=，所以7a 前面包括7a ）共有133项，所以7a 后面（不包括7a ）还有67个2.所以()()2362004722222226791386477T =+++++++++=+=.注：1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a 出现在新数列{}n b 的前200项中，实际上表明：数列{}n b 的前200项中，有7项是1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a 其余193项都是2.。
高二数学数列知识点总结精选5篇
高二数学数列知识点总结精选5篇高二数学数列知识点总结精选5篇创新创业和科技成果转化是推动知识产业和经济发展的重要推动力。
社会文化多样性是世界知识体系演化的重要基础。
下面就让小编给大家带来高二数学数列知识点总结，希望大家喜欢!高二数学数列知识点总结篇1一、数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d(1)前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)以上n均属于正整数。
二、解释说明：从(1)式可以看出，an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
在等差数列中，等差中项：一般设为Ar，Am+An=2Ar,所以Ar 为Am，An的等差中项，且为数列的平均数。
且任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。
三、推论公式：从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}若m，n，p，q∈N，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq，Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。
四、基本公式：和=(首项+末项)×项数÷2项数=(末项-首项)÷公差+1首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项末项=首项+(项数-1)×公差高二数学数列知识点总结篇2一、随机事件主要掌握好(三四五)(1)事件的三种运算：并(和)、交(积)、差;注意差A-B可以表示成A与B的逆的积。
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学习必备 精品知识点 数学数列部分知识点梳理 一数列的概念
1）数列的前n项和与通项的公式①nnaaaS21；
)2()1(11nSSnS
a
nnn
2）数列的分类：①递增数列:对于任何Nn,均有nnaa1.②递减数列:对于任何Nn,均有nnaa1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M使NnMan,.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项na使得Man. 一、等差数列
1）通项公式dnaan)1(1，1a为首项，d为公差。前n项和公式2)(1nnaanS或
dnnnaSn)1(211.
2）等差中项：baA2。 3）等差数列的判定方法：⑴定义法：daann1（Nn，d是常数）na是等差数列；⑵中项法：212nnnaaa(Nn)na是等差数列. 4）等差数列的性质： ⑴数列na是等差数列，则数列pan、npa（p是常数）都是等差数列； ⑵在等差数列na中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即,,,,32knknknnaaaa为等差数列，公差为kd.
⑶dmnaamn)(；banan(a,b是常数)；bnanSn2(a,b是常数，0a)
⑷若),,,(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；
⑸若等差数列na的前n项和nS，则nSn是等差数列；
⑹当项数为)(2Nnn，则nnaaSSndSS1,奇偶奇偶； 当项数为)(12Nnn，则nnSSaSSn1,奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列； (8)设，，，则有； (9) 是等差数列的前项和，则； (10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则 ①．为等差数列，公差为； 学习必备 精品知识点 ②．（即）为等差数列，公差；
③．（即）为等差数列，公差为. 二、等比数列 1）通项公式：11nnqaa，1a为首项，q为公比 。前n项和公式：①当1q时，1naSn
②当1q时，qqaaqqaSnnn11)1(11.
2）等比中项：baG2。； 3）等比数列的判定方法：⑴定义法：qaann1（Nn，0q是常数）na是等比数列；⑵中项法：221nnnaaa(Nn)且0nana是等比数列. 4）等比数列的性质： ⑴数列na是等比数列，则数列npa、npa（0q是常数）都是等比数列；
（2）),(Nmnqaamnmn
（3）若),,,(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；
（4）若等比数列na的前n项和nS，则kS、kkSS2、kkSS23、kkSS34是等比数列.
（5）设，是等比数列，则也是等比数列。 （6）设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；
（7）设是正项等比数列，则是等差数列； （8）设，，，则有； （9）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则 ①．为等比数列，公比为； ②．（即）为等比数列，公比为； 三、解题技巧： A、数列求和的常用方法： 学习必备 精品知识点 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。 2、错项相减法：适用于差比数列（如果na等差，nb等比，那么nnab叫做差比数列）
即把每一项都乘以nb的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。 3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适
用于数列11nnaa和11nnaa（其中na等差）。可裂项为：
111111()nnnnaadaa，1111()nnnnaadaa
B、等差数列前n项和的最值问题： 1、若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最大值。
（ⅰ）若已知通项na，则nS最大100nnaa； （ⅱ）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最大； 2、若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最小值 （ⅰ）若已知通项na，则nS最小100nnaa； （ⅱ）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最小； C、根据递推公式求通项： 1、构造法： 1°递推关系形如“qpaann1”，利用待定系数法求解 【例题】已知数列na中，32,111nnaaa，求数列na的通项公式. 2°递推关系形如“，两边同除1np或待定系数法求解 【例题】nnnaaa32,111，求数列na的通项公式. 3°递推已知数列na中，关系形如“nnnaqapa12”，利用待定系数法求解 【例题】已知数列na中，nnnaaaaa23,2,11221，求数列na的通项公式. 4°递推关系形如"11nnnnapaqaa（p,q0),两边同除以1nnaa 【例题】已知数列na中，1122nnnnaaaa1（n2),a，求数列na的通项公式.
【例题】数列na中，)(42,211Nnaaaannn，求数列na的通项公式. 2、迭代法： a、⑴已知关系式)(1nfaann，可利用迭加法或迭代法；学习必备 精品知识点 11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn 【例题】已知数列na中，)2(12,211nnaaann，求数列na的通项公式
b、已知关系式)(1nfaann，可利用迭乘法.1122332211aaaaaaaaaaaannnnnnn
【例题】已知数列na满足：111(2),21nnannaan，求求数列na的通项公式； 3、给出关于nS和ma的关系 【例题】设数列na的前n项和为nS，已知)(3,11NnSaaannn，设nnnSb3，
求数列nb的通项公式． 五、典型例题： A、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想） 【例题】已知nS为等差数列na的前n项和，63,6,994nSaa，求n； 2）根据数列的性质求解（整体思想） 【例题】已知nS为等比数列na前n项和，54nS，602nS，则nS3 . B、求数列通项公式（参考前面根据递推公式求通项部分） C、证明数列是等差或等比数列 1)证明数列等差
【例题】已知nS为等差数列na的前n项和，)(NnnSbnn.求证：数列nb是等差数列. 2）证明数列等比 【例题】数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，若an+Sn=n.设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列； D、求数列的前n项和
【例题1】求数列n{223}n的前n项和nS.（拆项求和法）
【例题2】求和：S=1+n32113211211（裂项相消法）
【例题3】设221)(xxxf，求：⑴)4()3()2()()()(213141ffffff； ⑵).2010()2009()2()()()()(21312009120101fffffff（倒序相加法） 【例题4】若数列na的通项nnna3)12(，求此数列的前n项和nS.（错位相减法） 【例题5】已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn. E、数列单调性最值问题
【例题】数列na中，492nan，当数列na的前n项和nS取得最小值时，n
学习必备 精品知识点 练习 1数列{}na满足12a，110nnaa，(n∈N)，则此数列的通项na等于 ( )
A 21n B 1n C 1n D 3n 2个数,,abc，既是等差数列，又是等比数列，则,,abc间的关系为 ( ) A bacb B 2bac C abc D 0abc 3差数列{}na的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和是( ) A 130 B 170 C 210 D 260 4差数列na中，已知1251,4,333naaaa，则n为（ ）. A 48 B 49 C 50 D 51 5知等比数列{}na的公比13q,则13572468aaaaaaaa等于( )
A 13 B 3 C 13 D 3 6各项都为正数的等比数列na中，若569,aa则3132310logloglogaaa
（ ）. A 12 B 10 C 8 D 32log5 7 和81之间插入两个正数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则这两个数的和等于（ ）. A 80 B 70 C 18 D 16
8两各等差数列{}na、{}nb前n项和分别为nA、nB，满足71()427nnAnnNBn，
则1111ab的值为（ ） A 74 B 32 C 43 D 7871 9nS是等差数列na的前n项和，6636,324,144(6)nnSSSn，则n等于（ ）. A 15 B 16 C 17 D 18
10列1,1617,815,413,21,前n项和为（ ）
A 2112nn B 211122nn C 2112nnn