必修5数列的基本概念(难)
人教版必修5第二章数列第一节 数列的概念及通项公式
S
n
f (n), Sn
f (an ), an
f
(Sn )
注意： n 1 是一定要单独计算；有时求出的结果可以合并，有时只能分开。
【例】①已知数列{an}的前 n 项的和 Sn 2n2 3n ，则其通项公式 an =_______________
②数列{an}的前 n 项的和满足 Sn 4an 1，则其通项公式 an =______________
的最小值为________
6、已知数列{an}的首项 a1 2, 且 (n 1)an nan1 ，则 an ________
7、数列{an}满足 a1 2, an 4an1 3(n 2) ，则此数列的通项公式 an ________
8、已知数列{an}满足 a1
1,
an1
an an
2
, bn1
(n
)( 1 an
1), b1
（1）求证：数列{ 1 1} 是等比数列。 an
（2）若数列{bn} 是递增数列，求实数 的取值范围。
9．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是________．
10、已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2n＋1，则 an＝________；
【例】①已知 a1 2, an1 an 2n ，则 an =______________ ②数列{an}中， a1 1, an an1 3n1(n 2) ，求 an 。
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20 ：叠乘法（又称累乘法）适用 an1 an f (n) ，类似等比数列。
【例】已知数列 {an } 中，
4、特殊数列求通项公式（学完等比与等差后掌握）
（1）观察法 【例】求 1 , 4 , 9 , 16 的通项公式 2 5 10 17
(完整版)数列公式汇总.doc
人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2． 1数列的概念与简单表示法2． 2等差数列2． 3等差数列的前n 项和2． 4等比数列2． 5等比数列前n 项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。
2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。
3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
4、等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。
5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。
6、等比数列的前n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式【难点】1、根据数列的前n 项观察、归纳数列的一个通项公式。
2、理解递推公式与通项公式的关系。
3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。
4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。
5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
一、数列的概念与简单表示法⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列 .注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项 . 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第2 项，，第 n 项， .⒊数列的一般形式：a1 , a2 , a3 , , a n , ，或简记为a n，其中 a n是数列的第n项⒋数列的通项公式：如果数列 a n 的第 n 项a n与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 .注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1， 0， 1， 0， 1 ， 0 ，它的通项公式可以是1 ( 1) n 1|.a n ，也可以是 a n | cos n 12 2⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系：*数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{1 ， 2， 3，， n} ）为定义域的函数a n f (n) ，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
数列概念说课稿
数列概念说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是“数列的概念”。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“数列的概念”是高中数学必修 5 第二章数列的第一节内容。
数列是高中数学的重要内容之一，它不仅在数学中有着广泛的应用，而且在实际生活中也有着重要的意义。
数列作为一种特殊的函数，与函数的概念紧密相连，同时又为后续学习等差数列、等比数列等内容奠定了基础。
本节课主要介绍了数列的定义、通项公式、数列的分类等基本概念，通过对数列概念的学习，让学生初步感受数列是一种特殊的函数，体会从特殊到一般、从有限到无限的数学思想。
二、学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了函数的基本概念和性质，具备了一定的抽象思维能力和逻辑推理能力。
但是，对于数列这种较为抽象的概念，学生可能会感到理解上有一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、分析、归纳等方法，逐步理解数列的概念。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解数列的概念，能够区分数列与集合。
（2）掌握数列的通项公式，能够根据通项公式写出数列的任意一项。
（3）了解数列的分类，能够判断给定的数列是有穷数列还是无穷数列，递增数列还是递减数列。
2、过程与方法目标（1）通过对数列实例的观察、分析，培养学生的观察能力、分析能力和归纳能力。
（2）通过对数列通项公式的探究，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生在自主探究、合作交流的过程中，体验数学学习的乐趣，增强学习数学的信心。
（2）通过对数列在实际生活中的应用的介绍，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
四、教学重难点1、教学重点（1）数列的概念和通项公式。
（2）根据数列的前几项写出数列的通项公式。
2、教学难点（1）理解数列是一种特殊的函数。
（2）根据数列的递推关系求出数列的通项公式。
必修5课件2.1数列的概念及其表示
"一尺之棰,日取其半, 万世不竭 的意思为: 一尺长的木棒 每 " , 日取其一半 永远也取不完.如果将 "一尺之棰" 视为一份, 那 , 么每日剩下的部分依次 为 1 1 1 1 4 1, , , , , . 2 4 8 16 8 某种树木第1 年长出幼枝, 第2 年幼枝 5 长成粗干, 第3 年粗干可生出幼枝 (如 3 图 ), 那么按照这个规律, 各年树木的 2 1 枝干数依次为 1 5 1, 1, 2, 3, 5 , 8 , .
对应,因此, 数列可以看成以正整数集 定义域 的函 数 an f n ,当自变 量 按 照 从 小 到大的 顺 序 依 次取 值时, 所 对应的一列函 数 值 . 反过来, 对于函
数 y f x , 如果 f i i 1, 2, 3 , 有 f 1, f 2, f 3, , f n , .
意义, 那么我们可以得到一个数列
例1 已知数列的第n 项为2n 1, 写出这个数列的 首项、第2 项和第3 项.
解 首项为
a1 2 1 1 1 ;
第2 项为 a2 2 2 1 3 ; 第3 项为 a3 2 3 1 5 .
一般地, 如果数列 an 的第 n 项与序号 n 之间的关系 可以用一个公式来表示, 那么这个公式叫做这个数 列的通项公式 ( the formula of general term ).
2这个数列的奇数项是 0 , 偶数项是 2 , n 所以它的一个通项公式 是 an 1 1 .
写出数列的通项公式, 就是寻找 an与n 的对应关系 an f n .
n n an n 1
an
1 1 2
1 2
高一数学必修5：数列(知识点梳理)
第二章：数列一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成a a a a n ,,,,,123，简记为数列a n {}，其中第一项a 1也成为首项；a n 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集*N （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列a n {}的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成=a f n n ()，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列a n {}，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即>+a a n n 1，那么这个数列叫做递增数列;高一数学必修5：数列（知识点梳理）如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列; 如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列满足21=2n n n a a a +++，则数列是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和； （2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）.即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a qa q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ; （2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列， {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则 （1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列的首项,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
苏教版学高中数学必修五数列等差数列的概念等差数列的通项公式等差数列的概念及通项公式讲义
学习目标核心素养１．理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系．（重点）２．会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题．（重点）３．等差数列的证明及其应用．（难点）１．通过等差数列的通项公式的应用，提升数学运算素养．２．借助等差数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.１．等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．思考１：等差数列定义中，为什么要注明“从第二项起”？[提示] 第１项前面没有项，无法与前一项作差．思考２：等差数列定义中的“同一个”三个字可以去掉吗？[提示] 不可以．如果差是常数，而这些常数不相等，则不是等差数列．２．等差数列的通项公式对于等差数列{a n}的第n项a n，有a n＝a１＋（n—１）d＝a m＋（n—m）d.思考３：已知等差数列{a n}的首项a１和公差d能表示出通项公式a n＝a１＋（n—１）d，如果已知第m项a m和公差d，又如何表示通项公式a n？[提示] 设等差数列的首项为a１，则a m＝a１＋（m—１）d，变形得a１＝a m—（m—１）d，则a n＝a１＋（n—１）d＝a m—（m—１）d＋（n—１）d＝a m＋（n—m）d.１．已知等差数列{a n}的首项a１＝４，公差d＝—２，则通项公式a n＝（）Ａ．４—２nＢ．２n—４Ｃ．6—２nＤ．２n—6C[a n＝a１＋（n—１）d＝４＋（n—１）×（—２）＝４—２n＋２＝6—２n.]２．等差数列—6，—３,0,３，…的公差d＝________.３[（—３）—（—6）＝３，故d＝３．]３．下列数列：１0,0,0,0；２0,１,２,３,４；３１,３,５,7,9；４0,１,２,３，….其中一定是等差数列的有________个．３[１２３是等差数列，４只能说明前４项成等差数列．]４．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于________．60°[因为三内角A、B、C成等差数列，所以２B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝１80°，所以３B＝１80°，所以B＝60°.]等差数列的判定与证明【例１】（１）在数列{a n}中，a n＝３n＋２；（２）在数列{a n}中，a n＝n２＋n.思路探究：错误!―→错误!―→错误![解] （１）a n＋１—a n＝３（n＋１）＋２—（３n＋２）＝３（n∈N*）．由n的任意性知，这个数列为等差数列．（２）a n＋１—a n＝（n＋１）２＋（n＋１）—（n２＋n）＝２n＋２，不是常数，所以这个数列不是等差数列．１．定义法是判定（或证明）数列{a n}是等差数列的基本方法，其步骤为：（１）作差a n＋１—a n；（２）对差式进行变形；（３）当a n＋１—a n是一个与n无关的常数时，数列{a n}是等差数列；当a n＋１—a n不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n}不是等差数列．２．应注意等差数列的公差d是一个定值，它不随n的改变而改变．提醒：当n≥２时，a n＋１—a n＝d（d为常数），无法说明数列{a n}是等差数列，因为a２—a１不一定等于d.１．已知函数f（x）＝错误!，数列{x n}的通项由x n＝f（x n—１）（n≥２且x∈N*）确定．（１）求证：数列错误!是等差数列；（２）当x１＝错误!时，求x２0１9.[解] （１）因为f（x）＝错误!，数列{x n}的通项x n＝f（x n—１），所以x n＝错误!，所以错误!＝错误!＋错误!，所以错误!—错误!＝错误!，所以错误!是等差数列．（２）x１＝错误!时，错误!＝２，所以错误!＝２＋错误!（n—１）＝错误!，所以x n＝错误!，所以x２0１9＝错误!.等差数列的通项公式【例２】已知数列{a n}是等差数列，且a５＝１0，a１２＝３１．（１）求{a n}的通项公式；（２）若a n＝１３，求n的值．思路探究：建立首项a１和d的方程组求a n；由a n＝１３解方程得n.[解] （１）设{a n}的首项为a１，公差为d，则由题意可知错误!解得错误!∴a n＝—２＋（n—１）×３＝３n—５．（２）由a n＝１３，得３n—５＝１３，解得n＝6．１．从方程的观点看等差数列的通项公式，a n＝a１＋（n—１）d中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．２．已知数列的其中两项，求公差d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形a n＝a m＋（n—m）d.２．已知递减等差数列{a n}前三项的和为１8，前三项的积为66．求该数列的通项公式，并判断—３４是该数列的项吗？[解] 依题意得错误!∴错误!解得错误!或错误!∵数列{a n}是递减等差数列，∴d<0．故取a１＝１１，d＝—５．∴a n＝１１＋（n—１）·（—５）＝—５n＋１6，即等差数列{a n}的通项公式为a n＝—５n＋１6．令a n＝—３４，即—５n＋１6＝—３４，得n＝１0．∴—３４是数列{a n}的第１0项．等差数列的应用[探究问题]１．若数列{a n}满足错误!＝错误!＋１且a１＝１，则a５如何求解？[提示] 由错误!＝错误!＋１可知错误!—错误!＝１．∴{错误!}是首项错误!＝１，公差d＝１的等差数列．∴错误!＝１＋（n—１）×１＝n，∴a n＝n２，∴a５＝５２＝２５．２．某剧场有２0排座位，第一排有２0个座位，从第２排起，后一排都比前一排多２个座位，则第１５排有多少个座位？[提示] 设第n排有a n个座位，由题意可知a n—a n—１＝２（n≥２）．又a１＝２0，∴a n＝２0＋（n—１）×２＝２n＋１8．∴a１５＝２×１５＋１8＝４8．即第１５排有４8个座位．【例３】某公司经销一种数码产品，第１年可获利２00万元．从第２年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少２0万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？思路探究：分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可．[解] 由题设可知第１年获利２00万元，第２年获利１80万元，第３年获利１60万元，…，每年获利构成等差数列{a n}，且当a n<0时，该公司会出现亏损．设从第１年起，第n年的利润为a n，则a n—a n—１＝—２0，n≥２，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{a n}，且首项a１＝２00，公差d＝—２0．所以a n＝a１＋（n—１）d＝２２0—２0n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n＝２２0—２0n<0，得n>１１，即从第起，该公司经销此产品将亏损．１．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．２．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．３．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t（s）１２３...？ (60)距离s（cm）9．8１9．6２9．４…４9…？（２）利用建立的模型计算，甲虫１min能爬多远？它爬行４9 cm需要多长时间？[解] （１）由题目表中数据可知，该数列从第２项起，每一项与前一项的差都是常数9．8，所以是一个等差数列模型．因为a１＝9．8，d＝9．8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9．8t.（２）当t＝１min＝60 s时，s＝9．8t＝9．8×60＝５88 cm.当s＝４9 cm时，t＝错误!＝错误!＝５s.１．判断一个数列是否为等差数列的常用方法（１）a n＋１—a n＝d（d为常数，n∈N*）⇔{a n}是等差数列；（２）２a n＋１＝a n＋a n＋２（n∈N*）⇔{a n}是等差数列；（３）a n＝kn＋b（k，b为常数，n∈N*）⇔{a n}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．２．由等差数列的通项公式a n＝a１＋（n—１）d可以看出，只要知道首项a１和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a１，d，n，a n四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．１．判断正误（１）若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．（）（２）等差数列{a n}的单调性与公差d有关．（）（３）若三个数a，b，c满足２b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．（）[答案] （１）×（２）√（３）√[提示] （１）错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．（２）正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．（３）正确．若a，b，c满足２b＝a＋c，即b—a＝c—b，故a，b，c为等差数列．２．在等差数列{a n}中，若a１＝8４，a２＝80，则使a n≥0，且a n＋１<0的n为（）Ａ．２１Ｂ．２２Ｃ．２３Ｄ．２４B[公差d＝a２—a１＝—４，∴a n＝a１＋（n—１）d＝8４＋（n—１）（—４）＝88—４n，令错误!即错误!⇒２１<n≤２２．又∵n∈N*，∴n＝２２．]３．若数列{a n}满足a１＝１，a n＋１＝a n＋２，则a n＝________.２n—１[由a n＋１＝a n＋２，得a n＋１—a n＝２，∴{a n}是首项a１＝１，d＝２的等差数列，∴a n＝１＋（n—１）×２＝２n—１．]４．已知数列{a n}，a１＝a２＝１，a n＝a n—１＋２（n≥３），判断数列{a n}是否为等差数列？说明理由．[解] 因为a n＝a n—１＋２（n≥３），所以a n—a n—１＝２（常数）．又n≥３，所以从第３项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数２，而a２—a１＝0≠a３—a２，所以数列{a n}不是等差数列．。
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数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。
前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。
3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。
北师大版高二数学上册必修5第一章数列第一课数列的概念课件(共21张PPT)
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
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高中数学必修5数列的基本概念(难)测试试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．单选题（共__小题）1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）A．1，，，，…B．-1，-2，-3，-4，…C．-1，-，-，-，…D．1，，，…，2．已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=（n∈N+），则a3=（）A．-B．C．-1D．23．数列3，7，11，…，4n+15的项数为多少项（）A．n B．n+2C．n+4D．n+64．已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+3n-1，则a5的值为（）A．20B．21C．22D．235．已知数列的前n项和为S n=4n2+1，则a1和a10的值分别为（）A．4，76B．5，76C．5，401D．4，4016．已知数列{a n}的前四项为1，3，5，7，…，则下列可以做为该数列通项的是（）A．n B．2n+1C．2n-1D．2n-17．凸n边形有f（n）条对角线，则凸n+1边形有对角线条数f（n+1）为（）A．f（n）+n+1B．f（n）+n C．f（n）+n-1D．f（n）+n-28．已知数列，，，，…则3是它的（）A．第23项B．第24项C．第19项D．第25项9．在数列{a n}中，a n=1-+-+…+-，则a k+1=（）A．a k+B．a k+-C．a k+D．a k+-10．已知数列{a n}的通项公式，在它的前12项中最大的项是（）A．a9B．a10C．a11D．a1211．-1，3，-7，15，（），63，…，括号中的数字应为（）A．-33B．-31C．-27D．5712．数列：1，-，，-，，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．13．在数列{a n}中，已知a n=n2-n-50，则-8是该数列的（）A．第6项B．第7项C．第8项D．非任何一项14．在数列2，9，23，44，72，…中，紧接着72后面的那一项应该是（）A．82B．107C．100D．8315．删去正整数数列1，2，3，…，中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2012项是（）A．2055B．2056C．2057D．2058二．填空题（共__小题）16．数列1，43，46，49…，43n+6，…中，43n+6是这个数列的第______项．17．已知数列{a n}的前n项和，则a n=______．18．观察规律猜想下列数列的通项公式：（1）1，-2，4，-8，16，…（2）1，4，2，8，3，12，4，16，5，20，…（3）-，，-，，…19．数列1，，2，，，…的一个通项公式为______．20．数列{a n}的前几项为2，-5，10，-17，26，-37，…试写出此数列的一个通项公式______．21．从集合{1，2，3，4，5，6，7}中任取五个不同元素构成数列a1，a2，a3，a4，a5，其中是a3是a1和a5的等差中项，且a2＜a4，这样的数列共有______．22．设数列，，，，，，…，，，…，，…这个数列第2015项的值是______；这个数列中，第2015个值为1的项的序号是______．三．简答题（共__小题）23．根据数列{a n}的通项公式a n=，写出它的前4项及第2n项．24．已知数列：1，2，2，4，8，32，…，写出这个数列的一个递推公式．25．已知“-1.，-，，-，…”，求通项．26．求数列1、10、2、11、3、12…的通项公式．27．写出下列数列的一个通项公式．（1）1，-2，3，-4，5，…；（2）7，77，777，7777，…；（3）1，3，5，7，…；（4），，，，…；（5）-，，-，，…．28．写出下面数列{a n}的前5项：（1）a1=，a n=4a n-1+1（n＞1）；（2）a1=-，a n=1-（n＞1）．29．已知a1=5，=a n，求{a n}通项．30．写出下列数列的一个通项公式0.90.990.9990.9999．高中数学必修5数列的基本概念(难)测试试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．单选题（共__小题）1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）A．1，，，，…B．-1，-2，-3，-4，…C．-1，-，-，-，…D．1，，，…，答案：C解析：解：A、此数列1，，，，…是递减数列，则A不符合题意；B、此数列-1，-2，-3，-4，…是递减数列，则B不符合题意；C、此数列-1，-，-，-，…是递增数列又是无穷数列，则C符合题意；D、此数列1，，，…，，是有穷数列，则D不符合题意；故选：C．2．已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=（n∈N+），则a3=（）A．-B．C．-1D．2答案：B解析：解：∵a1=2，a n+1=，∴a2==-1，a3==故选B．3．数列3，7，11，…，4n+15的项数为多少项（）A．n B．n+2C．n+4D．n+6答案：C解析：解：根据所给的项的特征，首项为3，公差为4，∴通项公式为：a m=3+（m-1）×4=4m-1，∵4n+13=4m-1，∴m=n+4∴该项为第n+4项，故选：C．4．已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+3n-1，则a5的值为（）A．20B．21C．22D．23答案：B解析：解：由题意知，S n=2n2+3n-1，∴a5=S5-S4=（50+15-1）-（32+12-1）=21，故选：B．5．已知数列的前n项和为S n=4n2+1，则a1和a10的值分别为（）A．4，76B．5，76C．5，401D．4，401答案：B解析：解：当n=1时，=5．当n≥2时，a n=S n-S n-1=4n2+1-[4（n-1）2+1]=8n-4．∴a10=8×10-4=76．故选B．6．已知数列{a n}的前四项为1，3，5，7，…，则下列可以做为该数列通项的是（）A．n B．2n+1C．2n-1D．2n-1答案：C解析：解：因为1，3，5，7，是连续的四个奇数，所以数列的通项公式为a n=2n-1，故选：C．7．凸n边形有f（n）条对角线，则凸n+1边形有对角线条数f（n+1）为（）A．f（n）+n+1B．f（n）+n C．f（n）+n-1D．f（n）+n-2答案：C解析：解：由n边形到n+1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原n-2个顶点连成的n-2条对角线，及原先的一条边成了对角线．故答案为C．8．已知数列，，，，…则3是它的（）A．第23项B．第24项C．第19项D．第25项答案：D解析：解：∵7-3=11-7=15-11=4，即a n2-a n-12=4，∴a n2=3+（n-1）×4=4n-1，由于（3）2=99．令4n-1=99，则n=25．故选D．9．在数列{a n}中，a n=1-+-+…+-，则a k+1=（）A．a k+B．a k+-C．a k+D．a k+-答案：D解析：解：∵a n=1-+-+…+-，∴a1=1-，a2=1-+-，…，a n=1-+-+…+-，a k=1-+-+…+-，所以，a k+1=a k+-．故选：D．10．已知数列{a n}的通项公式，在它的前12项中最大的项是（）A．a9B．a10C．a11D．a12答案：A解析：解：∵当1≤n≤8时，a n＜1，当n≥9时，a n＞1且a n在[1，+∞）上是减函数∴当n=9时，a n有最大值故选A11．-1，3，-7，15，（），63，…，括号中的数字应为（）A．-33B．-31C．-27D．57答案：B解析：解：∵数据-1，3，-7，15，其符号规律是正负相间，绝对值规律是：2n-1，∴第5个数为-（25-1）=-31，故应填-31．故选B．12．数列：1，-，，-，，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．答案：B解析：解：由数列：1，-，，-，，…．可知：奇数项的符号为“+”，偶数项的符号为“-”，每项的绝对值为．∴数列：1，-，，-，，…的一个通项公式是a n=．故选：B．13．在数列{a n}中，已知a n=n2-n-50，则-8是该数列的（）A．第6项B．第7项C．第8项D．非任何一项答案：B解析：解：令a n=n2-n-50=-8，可得n2-n-42=0，解得n=7或n=-6（舍去），即-8是该数列的第7项．故选：B．14．在数列2，9，23，44，72，…中，紧接着72后面的那一项应该是（）A．82B．107C．100D．83答案：B解析：解：由数列2，9，23，44，72，…看出，从第二项起，每一项与它前一项的差构成以7为首项，以7为公差的等差数列，则紧接着72后面的那一项应该是72+35=107．故选：B．15．删去正整数数列1，2，3，…，中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2012项是（）A．2055B．2056C．2057D．2058答案：C解析：解“由题意可得，这些数可以写为：12，2，3，22，5，6，7，8，32…第k个平方数与第k+1个平方数之间有2k个正整数，而数列12，2，3，22，5，6，7，8，32…452共有2025项，去掉45个平方数后，还剩余1980个数所以去掉平方数后第2012项应在2025后的第32个数，即是原来数列的第2057项，即为2057．故选C．二．填空题（共__小题）16．数列1，43，46，49…，43n+6，…中，43n+6是这个数列的第______项．答案：n+3解析：解：由数列1，43，46，49…，43n+6，…，可知：此数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为43．∴a n=43（n-1），43n+6=43（n+3-1），∴43n+6是这个数列的第n+3项．故答案为：n+3．17．已知数列{a n}的前n项和，则a n=______．答案：解析：解：当n=1时，S1=2×12-3=-1，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n2-3-2（n-1）2+3=4n-2，又n=1时不满足通项公式，∴其通项公式为a n=，故答案为：a n=．18．观察规律猜想下列数列的通项公式：（1）1，-2，4，-8，16，…（2）1，4，2，8，3，12，4，16，5，20，…（3）-，，-，，…答案：解析：解：（1）1，-2，4，-8，16，…，其符号为：（-1）n+1，其绝对值为等比数列，首项为1，公比为2，可得：a n=（-1）n+1•2n-1．（2）1，4，2，8，3，12，4，16，5，20，…，其奇数项为：1，2，3，4，…，为等差数列，其通项公式为a n=；其偶数项为：4，8，12，16，…，为等差数列，其通项公式为a n=4n，可得：a n=．（3）-，，-，，…，其符号为：（-1）n，其绝对值为，首项为1，公比为2，可得：a n=（-1）n•．19．数列1，，2，，，…的一个通项公式为______．答案：a n=解析：解：设该数列为{a n}，由1，，2，，，…，可以变为：，，，，，…．因此a n=．故答案为：a n=．20．数列{a n}的前几项为2，-5，10，-17，26，-37，…试写出此数列的一个通项公式______．答案：a n=（-1）n+1（n2+1）解析：解：由数列{a n}的前几项为2，-5，10，-17，26，-37，…．可得：第n项的符号为（-1）n+1，其绝对值为2，5，10，17，26，37，…，可得|a2|-|a1|=3，|a3|-|a2|=5，|a4|-|a3|=7，…，成等差数列，∴|a n+1|-|a n|=3+2（n-1）=2n+1，∴|a n|=（|a n|-|a n-1|）+（|a n-1|-|a n-2|）+…+（|a2|-|a1|）+|a1|=（2n-1）+（2n-3）+…+3+2=+1=n2+1．∴此数列的一个通项公式a n=（-1）n+1（n2+1）．故答案为：a n=（-1）n+1（n2+1）．21．从集合{1，2，3，4，5，6，7}中任取五个不同元素构成数列a1，a2，a3，a4，a5，其中是a3是a1和a5的等差中项，且a2＜a4，这样的数列共有______．答案：108解析：解：∵a3是a1和a5的等差中项，∴2a3=a1+a5，从集合{1，2，3，4，5，6，7}中任取五个不同元素，其中3个满足a3是a1和a5的等差中项的共有18组：1，2，3；3，2，1；1，3，5；5，3，1；1，4，7；7，4，1；2，3，4；4，3，2；2，4，6；6，4，2；3，4，5；5，4，3；3，5，7；7，5，3；4，5，6；6，5，4；5，6，7；7，6，5．其中对于每一组等差数列，且a2＜a4的可有：=6组满足．∴这样的数列共有18×6=108组．故答案为：108．22．设数列，，，，，，…，，，…，，…这个数列第2015项的值是______；这个数列中，第2015个值为1的项的序号是______．答案：318116421解析：解：（1）将数列分组：，（，），（，，），…，（，，…，），因为1+2+3+…+62=1953，1+2+3+…+63=2016，所以数列的第2015项属于第63组倒数第1个数，即为=31；（2）由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个1，则第2015个1出现在第4029组，令得n=2015，则第4029组中的1位于该组第2015位，所以第2010个值为1的项的序号为：（1+2+3+…+4028）+2015=+2015=8116421．故答案为：31；8116421．三．简答题（共__小题）23．根据数列{a n}的通项公式a n=，写出它的前4项及第2n项．答案：解：∵a n=，∴=-，a2==，a3==-，=；∴a2n==．解析：解：∵a n=，∴=-，a2==，a3==-，=；∴a2n==．24．已知数列：1，2，2，4，8，32，…，写出这个数列的一个递推公式．答案：解：由数列：1，2，2，4，8，32，…，可得这个数列的一个递推公式a1=1，a2=2，a n+2=a n a n+1．解析：解：由数列：1，2，2，4，8，32，…，可得这个数列的一个递推公式a1=1，a2=2，a n+2=a n a n+1．25．已知“-1.，-，，-，…”，求通项．答案：解：由-1，，-，，-，…，可知：奇数项为a n=，偶数项为．因此通项公式为．解析：解：由-1，，-，，-，…，可知：奇数项为a n=，偶数项为．因此通项公式为．26．求数列1、10、2、11、3、12…的通项公式．答案：解：．解析：解：．27．写出下列数列的一个通项公式．（1）1，-2，3，-4，5，…；（2）7，77，777，7777，…；（3）1，3，5，7，…；（4），，，，…；（5）-，，-，，…．答案：解：（1）1，-2，3，-4，5，…，可得；（2）∵9，99，999，9999，…，其通项公式为，∴7，77，777，7777，…其通项公式为：b n=；（3）1，3，5，7，…，其通项公式为：a n=（2n-1）+；（4），，，，…，其通项公式为：a n=；（5）-，，-，，…，其通项公式为：．解析：解：（1）1，-2，3，-4，5，…，可得；（2）∵9，99，999，9999，…，其通项公式为，∴7，77，777，7777，…其通项公式为：b n=；（3）1，3，5，7，…，其通项公式为：a n=（2n-1）+；（4），，，，…，其通项公式为：a n=；（5）-，，-，，…，其通项公式为：．28．写出下面数列{a n}的前5项：（1）a1=，a n=4a n-1+1（n＞1）；（2）a1=-，a n=1-（n＞1）．答案：解：（1）∵a1=，a n=4a n-1+1（n＞1），分别取n=2，3，4，5，可得a2=4a1+1=3，a3=13，a4=53，a5=213；（2）∵a1=-，a n=1-（n＞1），分别取n=2，3，4，5，可得a2=1-=5，a3=，a4=，a5=6．解析：解：（1）∵a1=，a n=4a n-1+1（n＞1），分别取n=2，3，4，5，可得a2=4a1+1=3，a3=13，a4=53，a5=213；（2）∵a1=-，a n=1-（n＞1），分别取n=2，3，4，5，可得a2=1-=5，a3=，a4=，a5=6．29．已知a1=5，=a n，求{a n}通项．答案：解：∵=a n，∴，∴数列{lga n}为等比数列，公比为3，首项为lg5．∴lga n=lg5•3n-1．∴=．解析：解：∵=a n，∴，∴数列{lga n}为等比数列，公比为3，首项为lg5．∴lga n=lg5•3n-1．∴=．30．写出下列数列的一个通项公式0.90.990.9990.9999．答案：解：∵0.9=1-0.1，0.99=1-0.12，0.999=1-0.13，0.9999=1-0.14．∴数列的通项公式为a n=1-0.1n．解析：解：∵0.9=1-0.1，0.99=1-0.12，0.999=1-0.13，0.9999=1-0.14．∴数列的通项公式为a n=1-0.1n．。