高中数学第三章函数的概念与性质3-1函数3-1-1对函数概念的再认识学生用书湘教版必修第一册

3．1 函数3．1.1 对函数概念的再认识教材要点要点一函数的概念(1)非空性：函数定义中的集合A，B必须是两个非空实数集．(2)任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值．(3)单值性：每一个自变量有唯一的函数值与之对应．(4)方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系．要点二两个函数相等两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作相等．状元随笔由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均取数值)之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x在定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y和它对应．要点三常见函数的定义域和值域1．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为________，值域是________．2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是__________，当a＞0时，值域为__________________，当a＜0时，值域为__________________．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(2)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )(3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．( )(4)两个函数的定义域和值域相同就表示同一函数．( )2．下列可作为函数y＝f(x)的图象的是( )的定义域是( )3．函数y＝√x−1A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|x＞1}D．{x|x＜1}4．若f(x)＝x－√x+1，则f(3)＝________．题型1 函数关系的判断例1 (1)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积(2)设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤2}，能表示从集合A到集合B的函数关系的是( )方法归纳(1)判断所给对应是否为函数的方法 ①首先观察两个数集A ，B 是否非空；②其次验证对应关系下，集合A 中x 的任意性，集合B 中y 的唯一性，既不能没有数y 对应数x ，也不能有多于一个的数y 对应x .(2)根据图形判断对应是否为函数的方法步骤 ①任取一条垂直于x 轴的直线l ； ②在定义域内平行移动直线l ；③若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．跟踪训练1 (1)(多选)已知集合M ＝{－1，1，2，4}，N ＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y ＝x 2，②y ＝x ＋1，③y ＝x －1，④y ＝|x |.其中不能构成从M 到N 的函数的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④(2)图中所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4题型2 求函数的定义域 例2 (1)函数f (x )＝√1−x +1x+3的定义域为( )A ．{x |－3＜x ≤0}B ．{x |－3＜x ≤1}C ．{x |x ＜－3或－3＜x ≤0}D ．{x |x ＜－3或－3＜x ≤1}(2)函数f (x )＝(x −12)0＋√x +2的定义域为( )}A．{x|x≥−2且x≠12B．{x|x≥－2}}C．{x|x＞−2且x≠12D．{x|x＞－2}方法归纳求给出解析式的函数的定义域的基本步骤常见函数的定义域(1)f(x)为整式型函数时，定义域为R；(2)由于分式的分母不为0，所以当f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合；(3)由于偶次根式的被开方数非负，所以当f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方数为非负的实数的集合；(4)函数y＝x0中的x不为0；(5)如果函数是由一些简单函数通过四则运算构成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集．跟踪训练2 (1)函数f(x)＝√−x的定义域为( )2x2−3x−2A．{x|x≤0}}B．{x|x≤−12}C．{x|x≤0且x≠−12＜x≤0}D．{x|−12的定义域为________．(2)函数y＝√x+3x−2题型3 两个函数是相等函数的判断例3 (多选)下列各组函数是相等函数的是( )A．f(x)＝√−2x3与g(x)＝x·√−2xB ．f (x )＝x 与g (x )＝√x 2C ．f (x )＝x 0与g (x )＝1xD ．f (x )＝x 2－x ＋1与g (t )＝t 2－t ＋1方法归纳判断相等函数的三个步骤和两个注意点(1)判断相等函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形； ②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3 下列函数中与函数y ＝x 2是相等函数的是( ) A ．u ＝v 2B ．y ＝x ·|x |C ．y ＝x 3x D ．y ＝(√x )4题型4 函数值与函数的值域例4 (1)设f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x+2，求： ①f (2)，f (a ＋3)，g (a )＋g (0)(a ≠－2)； ②g (f (2))，f (g (2))． (2)求下列函数的值域． ①y ＝3－4x ，x ∈(－1，3]； ②y ＝2xx+1； ③y ＝x －√1−2x .方法归纳1．函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．2．求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b±√cx+d(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法．(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．跟踪训练4 (1)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )A．y＝√x B．y＝√xC．y＝1xD．y＝x2＋1(2)已知函数f(x)＝x+1x+2.求f(2)；f(f(1))．易错辨析忽略参数取值范围致误例5 若函数f(x)＝√mx2−mx+2的定义域为R，则实数m的取值范围是________．解析：函数f(x)＝√mx2−mx+2的定义域为R，即mx2－mx＋2＞0恒成立．当m＝0时，易知成立，当m≠0时，需满足{m＞0，Δ=m2−8m＜0，∴0＜m＜8，综上所述，0≤m＜8.答案：0≤m＜8易错警示课堂十分钟1．下列各图中，一定不是函数图象的是( )2．函数f (x )＝√1−3xx的定义域为( )A ．{x|x ≤13}B ．{x|x ＜13}C ．{x|0＜x ≤13}D ．{x|x ≤13且x ≠0}3．下列各组函数中，表示相等函数的是( ) A ．f (x )＝√x 2，g (x )＝(√x )2B ．f (x )＝√x 2，g (x )＝|x |C ．f (x )＝1，g (x )＝x 0D ．f (x )＝x+1x 2−1，g (x )＝1x−14．已知函数f (x )＝11+x ，又知f (t )＝6，则t ＝________． 5．已知函数f (x )＝1x+1+√x +2.(1)求f (x )的定义域； (2)若a ＞0，求f (a －1)的值．第三章 函数的概念与性质3．1 函数3．1.1 对函数概念的再认识新知初探·课前预习要点一实数集 唯一确定 x 要点三 1．R R 2．R [4ac−b 24a，+∞) (−∞，4ac−b 24a][基础自测]1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．解析：由函数的定义可知D 正确． 答案：D3．解析：要使函数y ＝√x−1有意义，则必须{x −1≥0，√x −1≠0.∴x >1，故选C. 答案：C4．解析：f (3)＝3－√3+1＝3－2＝1. 答案：1题型探究·课堂解透例1 解析：(1)对B ，集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数的定义；对C ，集合A 中的元素0取倒数没有意义，在集合B 中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D ，A 集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.(2)A 中，函数的值域为{y |0≤y ≤2}，不满足条件；B 中，函数的值域为{y |0≤y ≤2}，不满足条件；C 中，在0≤x <2内，一个x 有两个y 与之对应，不满足条件；D 中，每个x 都有唯一确定的y 与之对应，是函数关系．故选D.答案：(1)A (2)D跟踪训练1 解析：(1)①中，当x ＝4时，y ＝42＝16∉N ，故不能构成函数．②中，当x ＝－1时，y ＝－1＋1＝0∉N ，故不能构成函数；③中，当x ＝－1时，y ＝－1－1＝－2∉N ，故不能构成函数；④中，当x ＝±1时，y ＝|x |＝1∈N ，当x ＝2时，y ＝|x |＝2∈N ，当x ＝4时，y ＝|x |＝4∈N ，故构成函数．故选ABC.(2)根据函数的概念可知③④是函数的图象．故选B. 答案：(1)ABC (2)B例2 解析：(1)要使函数f (x )有意义， 则{1−x ≥0，x +3≠0，解得x ≤1且x ≠－3， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≤1且x ≠－3}，即{x |x ＜－3或－3＜x ≤1}．故选D. (2)要使函数f (x )有意义，则{x ≠12，x +2≥0，解得x ≥－2且x ≠12，故选A. 答案：(1)D (2)A跟踪训练2 解析：(1)要使函数f (x )有意义， 则{−x ≥0，2x 2−3x −2≠0，解得x ≤0且x ≠－12，故选C. (2)∵函数解析式为y ＝√x+3x−2， ∴x ＋3≥0且x ≠2， ∴x ≥－3且x ≠2.答案：(1)C (2){x |x ≥－3且x ≠2}例3 解析：A 中，定义域都是(－∞，0]，但解析式不相同；B 中，g (x )＝√x 2＝|x |与f (x )＝x 解析式不同；C 、D 是相等函数．答案：CD跟踪训练3 解析：函数y ＝x 2的定义域为R ，对于A 项，u ＝v 2的定义域为R ，对应法则与y ＝x 2一致，则A 正确；对于B 项，y ＝x ·|x |的对应法则与y ＝x 2不一致，则B 错误；对于C 项，y ＝x 3x 的定义域为{x |x ≠0}，则C 错误；对于D 项，y ＝(√x )4的定义域为{x |x ≥0}，则D 错误；故选A.答案：A例4 解析：(1)①f (2)＝2×22＋2＝10；f (a ＋3)＝2(a ＋3)2＋2＝2a 2＋12a ＋20；g (a )＋g (0)＝1a+2+12；②g (f (2))＝g (10)＝110+2＝112；f (g (2))＝f (14)＝2×(14)2＋2＝178.(2)①因为x ∈(－1，3]，所以－12≤－4x <4，所以－9≤3－4x <7， 所以函数y ＝3－4x ，x ∈(－1，3]的值域是[－9，7)． ②因为y ＝2xx+1＝2(x+1)−2x+1＝2－2x+1≠2，所以函数y ＝2x x+1的值域为{y |y ≠2}． ③设√1−2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1−t 22，所以y ＝1−t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋1)＝－12(t ＋1)2＋1，因为t ≥0，所以y ≤12，所以函数y ＝x －√1−2x 的值域为(−∞，12].跟踪训练4 解析：(1)A 中，由x ≥0得y ＝√x ≥0，∴y ＝√x (x ≥0)的值域为[0，＋∞)，A 不符合；B 中，设√x ＝t ，由x >0得t ＝√x >0，由y ＝1t (t >0)的图象知其值域为(0，＋∞)，B 符合；C 中，由y ＝1x (x ≠0)的图象知，y ＝1x 的值域为(－∞，0)∪(0，+∞)，C 不符合；D 中，y ＝x 2＋1≥1，值域为[1，＋∞)，不符合．(2)①f (2)＝2+12+2＝34； ②∵f (1)＝1+11+2＝23；∴f (f (1))＝f (23)＝23+123+2＝58.答案：(1)B (2)见解析[课堂十分钟]1．解析：对于A 选项，由图象可知，存在x 同时对应两个函数值y ，A 选项中的图象不是函数图象；对于B 选项，由图象可知，每个x 有唯一的函数值y 与之对应，B 选项中的图象是函数图象；对于C 选项，由图象可知，每个x 有唯一的函数值y 与之对应，C 选项中的图象是函数图象；对于D 选项，由图象可知，每个x 有唯一的函数值y 与之对应，D 选项中的图象是函数图象．故选A.答案：A2．解析：要使f (x )有意义，只需满足{1−3x ≥0，x ≠0，即x ≤13且x ≠0.故选D.11 答案：D3．解析：对于选项A ：f (x )＝√x 2的定义域为R ，g (x )＝(√x )2的定义域为[0，＋∞)，定义域不同不是相等函数，故A 不正确；对于选项B ：f (x )＝√x 2＝|x |，g (x )＝|x |是相等函数，故B 正确；对于选项C ：f (x )＝1定义域为R ，g (x )＝x 0＝1，定义域为{x |x ≠0}，定义域不同不是相等函数，故C 不正确；对于选项D ：f (x )＝x+1x 2−1的定义域为{x |x ≠±1}，g (x )＝1x−1的定义域为{x |x ≠1}，定义域不同不是相等函数，故D 不正确；故选B.答案：B4．解析：由f (t )＝6，得11+t ＝6，即t ＝－56.答案：－565．解析：(1)由{x +1≠0x +2≥0，解得x ≥－2且x ≠－1，故f (x )的定义域为{x |x ≥−2且x ≠−1}；(2)若a >0，f (a －1)＝1a−1+1+√a −1+2＝1a +√a +1.。