曲线坐标计算(
曲线道路坐标计算(Excel)
曲线道路坐标计算§1 曲线要素计算缓和曲线是在不改变直线段方向和保持圆曲线半径不变的条件下，插入到直线段和圆曲线之间的。
其曲率半径ρ从直线的曲率半径∞（无穷大）逐渐变化到圆曲线的半径R ，在缓和曲线上任意一点的曲率半径ρ与缓和曲线的长度l 成反比，以公式表示为：l1∝ρ 或 C l =⋅ρ（C 为常数，称曲线半径变更率）。
当o l l =时，R =ρ，应有o l R l C ⋅=⋅=ρ以上几式是缓和曲线必要的前提条件。
在实际应用中，可采取符合这一前提条件的曲线作为缓和曲线。
常用的有辐射螺旋线及三次抛物线，我国采用辐射螺旋线。
为了在圆曲线与直线之间加入一段缓和曲线o l ，原来的圆曲线需要在垂直于其切线的方向移动一段距离p ，因而圆心就由'O 移到O ，而原来的半径R 保持不变，如图。
由图中可看出，缓和曲线约有一半的长度是靠近原来的直线部分，而另一半是靠近原来的圆曲线部分，原来圆曲线的两端其圆心角o β相对应的那部分圆弧，现在由缓和曲线所代替，因而圆曲线只剩下缓圆点(HY )到圆缓点(YH )这段长度即y l 。
o β为缓和曲线的切线角，即缓圆点或圆缓点切线与直缓点或缓直点切线的交角，亦即圆曲线HY→YH 两端各延长2ol 部分所对应的圆心角。
γ为缓和曲线总偏角，即从直缓点(ZH )测设缓圆点(HY )或从缓直点(HZ )测设圆缓点(YH )的偏角。
q 为切线增量(切垂距)，即ZH (或HZ )到从圆心O 向ZH (或HZ )的切线作垂线垂足的距离。
p 为圆曲线内移值，即垂线(从圆心O 向ZH (或HZ )的切线作垂线)长与圆曲线半径R 之差。
§1.1 不等长缓和曲线要素计算：在铁路曲线测设中，线路曲线一般是由相等的两条缓和曲线中间加一个圆曲线构成，有时还会出现由两个不等长的缓和曲线中间加一个圆曲线构成的特殊情况，如图：缓和曲线长分别为1o l 、2o l ， 切线长分别为1T 、2T ，曲线偏角(线路转角)为α，圆曲线半径为R ，圆曲线长为y l ，曲线长为L ，外矢距为E ，切曲差为J ，(缓和曲线后)圆曲线内移值分别为1p 、2p ，(缓和曲线)切线增量分别为1q 、2q ，缓和曲线偏角分别为1o β、2o β ， 回旋线参数分别为121o Rl A =、222o Rl A =各曲线要素计算公式如下：231112402R ll q o o -=232222402Rll q o o -=341211268824R lR l p o o -=342222268824RlR l p o o -=ααsin )(2)(12111p p tgp R q T -+++=ααsin )(2)(21222p p tgp R q T -+++=Rl R l o o o ππβ111901802=⋅=Rl R l o o o ππβ222901802=⋅=︒--++=180)(2121Rl l L o o o o πββα从以上公式可以看出，当21o o l l =时，就是等长(对称)缓和曲线的情况。
公路线路(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道)坐标计算公式
公路线路(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道)坐标计算公式一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：x Z，y Z计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反x Z，y Z为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：x Z，y Z计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反x Z，y Z为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l0——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”)②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”)③变坡点桩号：S Z④变坡点高程：H Z⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程：五、超高缓和过渡段的横坡计算已知：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x 求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1六、匝道坐标计算已知：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K0③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y0⑤曲线起点切线方位角：α0⑥曲线起点处曲率：P0(左转为“－”，右转为“＋”)⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－”，右转为“＋”)求：①线路匝道上点的坐标：x,y②待求点的切线方位角：αT计算过程：注：sgn(x)函数是取符号函数，当x<0时sgn(x)=-1，当x>0时sgn(x)=1，当x=0时sgn(x)=0。
曲线坐标计算万能公式
曲线坐标计算通用公式（复化Simpson 公式）推导一、已知条件1、线元起点坐标：(),A A A x y2、线元起点切线方位角：A α3、线元起点里程：A K4、线元终点里程：B K 5、线元起点曲率半径：A ρ 6、线元终点曲率半径：B ρ二、求解问题求线元上任意点的坐标：(),C x y 。
即推导曲线坐标计算通用公式。
三、图示：如右上图（图中未示y ∆值） 四、坐标计算公式线元上任意点C 的坐标计算公式为：A x x x =+∆————① A y y y =+∆————②由上式可知，关键问题是求出x ∆、y ∆。
五、x ∆计算若AC 是直线，直接采用公式cos x l α∆=可求出x ∆（其中l 为A 、C 两点间直线距离，α为AC 直线方位角），但是，A 、C 两点间是任意曲线相连,不能直接用上述公式计算x ∆,需利用微积分原理计算。
1、曲线AB 上任意一点的曲率ρ计算采用内插法得：()B AA AB Ak k k k ρρρρ-=+--————③其中：k ——曲线AB 上任意一点的里程。
2、曲线AB 上任意一点的切线方位角α计算如右图：C 是曲线AB 上任意一点，AT 、TC 是A 、C 两点的切线，利用圆曲线求弧长公式得：()90A A k k A R π-=()90A k k Rδβπ-==其中：k ——曲线上任意点里程。
R ——曲线上任意点的曲率半径。
（通过公式③求得，1R ρ=）()()1190A A A R R k k ααπ=++-()()90A A A k k αρρπ=++-————④ 使用公式③、④时的符号规定：线元右偏：A ρ、B ρ均为“+”（即线元起终点曲率半径输正值）。
线元左偏：A ρ、B ρ均为“—”（即线元起终点曲率半径输负值）。
3、x ∆计算根据公式③、④可推知，()cos y k α=⎡⎤⎣⎦是里程间隔[],A C k k 上k 的一个连续函数，计算A 、C 两点的坐标增量x ∆，也就是求在里程段[],A C k k 内，x 坐标的改变量。
EXCEL曲线坐标计算公式
公式解析一．坐标转换X =A +N COSα-E SINαY =B +N SINα+E COSαN=(X-A) COSα±(Y-B)SINαE=(Y-B)COSα±(X-A)SINαA,B为施工坐标系坐标原点α为施工坐标系与北京坐标系X轴的夹角（旋转角）即大地坐标系方位角X,Y为北京坐标值 N，E为施工坐标值二．方位角计算1.直线段方位角: α=tanˉ¹ [(Yb-Ya)/(Xb-Xa)]2.交点转角角度: α=2 tanˉ¹ (T/R)计算结果①为﹢且＜360，则用原数;②为﹢且＞360，则减去360;③为﹣，则加上180.3.缓和曲线上切线角: α=ƟZH±90°*Lo²/(π*R* Ls）α= Lo/(2ρ)=Lo²/(2 A²)=Lo²/(2R*Ls)ρ—该点的曲率半径4.圆曲线上切线角: α=ƟHY±180°*Lo/(π*R）ƟZH—直缓点方位角, ƟHY—缓圆点方位角,注：以计算方向为准，左偏，取"﹣"；右偏，取"﹢"。
左偏，则第一段缓和曲线和圆曲线上取"﹣"，第二段缓和曲线上取"﹢" ；右偏，则第一段缓和曲线和圆曲线上取"﹢"，第二段缓和曲线上取"﹣" .。
符号说明:A—回旋线参数（A²=R* Ls） Ls—缓和曲线长度R—曲线半径Lo—曲线长度：计算点位到特殊点(ZH、HY、YH、HZ)的长度三．坐标值计算1．直线段坐标计算公式：直线两端点A.B间距离为S；A点坐标为A(Xa, Ya)；方位角为αXb= Xa+S*cosαYb= Ya+S*sinα2．缓和曲线及圆曲线坐标计算公式：①缓和曲线坐标计算公式：X=XZH+(Lo-Lo^5/(40*R^2*Ls^2)+Lo^9/(3456*R^4*Ls ^4)-Lo^13/(599040*R^6*Ls^6)+Lo^17/(175472640*R ^8*Ls^8))*cosα-(Lo^3/(6*R*Ls)-Lo^7/(336*R^3*L s^3)+Lo^11/(42240*R^5*Ls^5)-Lo^15/(9676800*R^7 *Ls^7)+Lo^19/(3530096640*R^9*Ls^9))*sinαY=YZH+(Lo-^5/(40*R^2*Ls^2)+Lo^9/(3456*R^4*Ls^4 )-Lo^13/(599040*R^6*Ls^6)+Lo^17/(175472640*R^8 *Ls^8))*sinα+(Lo^3/(6*R*Ls)-Lo^7/(336*R^3*Ls^ 3)+Lo^11/(42240*R^5*Ls^5)-Lo^15/(9676800*R^7*L s^7)+Lo^19/(3530096640*R^9*Ls^9))* cosα符号说明:XZH—直缓点X坐标值 YZH—直缓点Y坐标值 A—回旋线参数（A²=R* Ls）Lo—计算点位到特殊点的长度 Ls—缓和曲线长度R—曲线半径α—方位角注:式中，紫色部分为缓和曲线任意点的坐标增量(支距坐标)。
各种曲线计算公式
一、公路平曲线坐标计算公式1、缓和曲线：Lb1 0{K,D}①T=A2/R ②L=J（K-O）+T ③B=T2 /2/A2 *180/π④M=（L-T）-（L5-T5）/40/A4+（L9-T9）/3456/A8-（L13-T13）/599040/A12+（L17-T17）/17542600/A165.N=(L3-T3)/6/A2-(L7-T7)/336/A6+(L11-T11)/42240/A10-(L15-T15) /9676800/A14+(L19-T19)/3530097000/A18⑥I=(L2-T2)*180/2/A2/π⑦X=C+Mcos(Q-ZB)-ZNsin(Q-ZB)+Dcon(Q+ZI+S)◢⑧Y=F+Msin(Q-ZB)+ZNcos(Q-ZB)+Dsin(Q+ZI+S)◢Goto 0注：A：缘和曲线参数 R：起点半径 J：曲率半径判定值（当曲率半径由小到大取1,否则取-1）（当起点半径到终点半径是由大或无穷大到小取+1，反之则取-1） K：欲求点里程 O：缘和曲线起点里程 C：缘和曲线起点X坐标Q：起始方位角（当J=-1时，方位角应+180。
） Z：偏角判定值(当J=1时，左偏为-1，右偏为1；当J=-1时，左偏为1，右偏为-1) D：距中桩的距离 S：斜交角度 F：缘和曲线起点Y坐标2、圆曲线Lb1 0{K,D}①L=K-0②X=C+R[sin(Q+L/R*180/π)-sinQ]+Dcos(Q+L/R*180/π+S)◢③Y=F-R[cos(Q+L/R*180/π)-cosQ]+Dsin(Q+L/R*180/π+S)◢ Goto 0注：K：欲求点里程 O：圆曲线起点里程 C：圆曲线起点X坐标 R：圆曲线半径 (左偏为负) Q：起始方位角 D：距中桩的距离 S：斜交角度 F：圆曲线起点Y坐标3、直线Lb1 0{K,D}①L=K-0②X=C+LcosQ+Dcos(Q+S)◢③Y=F+LsinQ+Dsin(Q+S)◢Goto 0注：K：欲求点里程 O：直线起点里程 C：直线起点X坐标 Q：起始方位角 D：距中桩的距离 S：斜交角度 F：直线起点Y坐标二、竖曲线计算公式Lb1 0①{K} ②L=K-（0-T）③H=M-IT+LI-ZL2 /2/R◢ Goto 0 注：K：欲求点里程;O：顶点里程;T：切线长;M：顶点高程;I：坡度;Z：竖曲线判定值三、预拱度计算公式Lb1 0①{K} ②H=D-(4D÷B2)×(B/2-(K-O)) 2◢ Goto 0注：D：跨中最大设计预拱度 H：要计算的预拱度 K：欲求点里程桩号（距支座的距离） O：起点桩号 B：本跨净长。
圆锥曲线的顶点坐标计算
圆锥曲线的顶点坐标计算圆锥曲线是数学中重要的曲线之一，具有许多重要的性质和应用。
在数学上，圆锥曲线可以用方程表示，而在实际问题中，我们常常需要计算圆锥曲线上的特殊点，比如顶点。
本文将重点讨论如何计算圆锥曲线的顶点坐标，从而帮助读者更好地理解和应用圆锥曲线。
1. 抛物线的顶点坐标计算首先，我们来看抛物线这一种圆锥曲线。
抛物线的一般方程可以写为：$$y = ax^2 + bx + c$$其中，a、b、c为常数，且a≠0。
抛物线的顶点坐标可以通过以下公式计算得到：$$x = -\frac{b}{2a}, y = c - \frac{b^2}{4a}$$这里面的x、y分别表示顶点的横纵坐标。
通过这个公式，我们可以快速准确地计算出抛物线的顶点坐标。
2. 椭圆和双曲线的顶点坐标计算除了抛物线，椭圆和双曲线也是常见的圆锥曲线。
它们的一般方程可以分别写为：对于椭圆：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$对于双曲线：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，a、b为正常数。
椭圆和双曲线的顶点坐标计算方法与抛物线有所不同，需要通过不同的公式来计算。
读者可以根据具体的方程形式，灵活运用相应的计算方法，以求得所需的顶点坐标。
3. 圆的顶点坐标计算最后，我们再来看一个比较特殊的圆。
圆的一般方程为：$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。
圆的顶点即为圆心本身，坐标为(h, k)。
因此，圆的顶点坐标计算非常简单，只需要根据给定的圆心坐标即可得到顶点坐标。
总结通过以上几种圆锥曲线的顶点坐标计算方法，我们可以看到不同类型的曲线存在着不同的计算规律。
在实际问题中，我们往往需要根据具体情况选择合适的计算方法，并通过数学手段求解，以得到所需的顶点坐标。
希望本文的内容能帮助读者更好地理解和运用圆锥曲线的相关知识。
曲线坐标计算
圆曲线起点和终点坐标，圆曲线半径。
求这段曲线上任意点的坐标.通过起终点坐标算出弦长S和起点到终点的坐标方位角A，R为已知，即：S=2Rsin(θ/2)Sin(θ/2)=S/2/Rθ=2*arcsin(S/2/R)θ——圆曲线对应的圆心角由于圆心和两端点成一个等腰三角形，所以另三角形两个内角也可算出来：β=(180-θ)/2由坐标正算公式可算得圆心坐标,和圆心到起点的坐标方位角，即：X0=N0+Rcos(A+β)Y0=E0+Rsin(A+β)A0= A+β+180根据弧长公式l=R*θ（θ——长度为l的弧长所对应的圆心角，以弧度为单位）可以算得该圆曲线上距起点任意弧长所对应的圆心角偏转值：θ’=180*l/π/R故圆曲线上任意一点的坐标即可再次使用坐标正算公式得出：X=X0+Rcos(A0+θ’)Y=Y0+Rsin(A0+θ’)以上算例只需用到坐标正反算知识，其他知识都是基于初中几何水平的解算，所以只要多动一下脑子，办法是很多的，读者也可以算出JD 坐标和前直线方位角用手头上已有的程序解算。
一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反xZ，yZ为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反xZ，yZ为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l0——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值。
曲线计算公式
缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道（计算公式）一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反xZ，yZ为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反xZ，yZ为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l0——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”)②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”)③变坡点桩号：SZ④变坡点高程：HZ⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程：五、超高缓和过渡段的横坡计算已知：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x 求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1六、匝道坐标计算已知：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K0③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y0⑤曲线起点切线方位角：α0⑥曲线起点处曲率：P0(左转为“－”，右转为“＋”)⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－”，右转为“＋”) 求：①线路匝道上点的坐标：xy②待求点的切线方位角：αT计算过程：注：sgn(x)函数是取符号函数，当x0。
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曲线坐标计算一、圆曲线圆曲线要素：a -------------- 曲线转向角R -------------- 曲线半径根据a及R可以求出以下要素：T --------------- 切线长L -------------- 曲线长E -------------- 外矢距q -------------- 切曲差（两切线长与曲线全长之差）各要素的计算公式为:L R180（弧长）E RRsec 1）2（sec a =cos a 的倒数）圆曲线主点里程：ZY=J[> TQZ=ZY + L/2 或QZ=JD —q /2YZ=QZ + L/2 或YZ=JD + T—qJD=QZ + q/2 （校核用）1、基本知识里程：由线路起点算起，沿线路中线到该中线桩的距离。
表示方法：DK26＋284.56 。
“+”号前为公里数，即26km，“ +”后为米数，即284.56m CK ——表示初测导线的里程。
DK ——表示定测中线的里程。
K ——表示竣工后的连续里程。
铁路和公路计算方法略有不同。
2、曲线点坐标计算（偏角法或弦切角法）已知条件：起点、终点及各交点的坐标。
1）计算ZY、YZ 点坐标通用公式：2）计算曲线点坐标①计算坐标方位角i 点为曲线上任意一点li为i点与ZY点里程之差当曲线左转时用“-”，右转时用“ +”② 计算弦长③ 计算曲线点坐标此时的已知数据为：ZY ( xZY , yZY 、？ZY- i 、C 。
根据坐标正算原理：切线支距法 这种方法是以曲线起点ZY 或终点YZ 为坐标原点，以切线为X 轴，以过原点的半径为丫轴，则圆曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得： 利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得: 式中：a 为ZY(YZ)点沿线路前进方向的切线方位角。
当起点为ZY 时“土”取“ + ”，XO=X(ZY),YO=Y(ZY),曲线为左偏时应以yi=-yi 代入；当起点为YZ 时，“土”取“ -”，XO=X(YZ), YO=Y(YZ), 曲线为左偏时应以yi 二yi 代入；弧长所对的圆心角弦切角弦的方位角注：1、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半2、切线性质圆的切线与过切点的半径相垂直3、弦切角定理弦切角等于它所夹弧上的圆周角4、弧长公式由L/ n R=n /180 °得L=n°n R/ 180 °=n n R/180二、缓和曲线(回旋线)缓和曲线主要有以下几类：A:对称完整缓和曲线(基本形)------切线长、Is1与ls2都相等。
B:非对称完整缓和曲线-------------- 切线长、Is1与ls2都不相等C:非完整缓和曲线(卵形曲线)----连接两个同向、半径不等的圆的缓和段所组成的卵形曲线D:回头曲线----------- 回头曲线是一种半径小、转弯急、线型标准低的曲线形式，其转角接近、等于或大于180度。
1、基本形缓和曲线基本公式:p =A/\ A= V RIsp为缓和曲线上任意点的曲率半径 A 为回旋线参数I为缓和曲线上任意点到起点（ZH）的距离（弧长）Is为缓和曲线的全长切线角公式：缓和曲线直角坐标任意一点P处取一微分弧段ds，其所对应的中心角为d B x dx=dscos B xdy=dssin B x缓和曲线常数主曲线的内移值p及切线增长值q内移值：p=Y s-R（1- cos B s）=l s2/24R切线增长值：q=X s- Rsin B s=l s/2-Is /240R缓和曲线的总偏角及总弦长总偏角： B s=l s/2R ? 180 /n总弦长：C s=l s-I s3/90R2缓和曲线要素计算切线长外距曲线长圆曲线长切线差平曲线五个基本桩号：ZH——HY——QZ——YH——HZ缓和曲线主点里程：ZH=JD-T HY=ZH+Ls YH=HY+Ly HZ=YH+LsQZ=ZH+总/2=HZ-L 总/2 JD=QZ+q/2 (校核)缓和曲线上任意点坐标计算切线支距法：以缓和曲线起点ZH(HZ)点为坐标原点，起点的切线为x 轴，过原点的垂直于切线的垂线为y轴建立坐标系，则缓和曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得：利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得: 式中：a为ZH(HZ)点沿线路前进方向的切线方位角。
当起点为ZH时“土”取“ + ”，XO=X(ZH),YO=Y(ZH), 曲线为左偏时应以yi=-yi代入；当起点为HZ时，“土”取“ -”，XO=X(HZ),YO=Y(HZ), 曲线为左偏时应以yi二yi代入；曲线上任意点的方位角a (i)= a( ZH或HQ ±B B为切线角土为右转“ + ”左转“-” 当点位于圆曲线上，有:/ —/j ISO 0R其中，，，为点到坐标原点的曲线长。
2、非对称完整缓和曲线由于受特殊地形和地物条件限制采用对称缓和曲线型平曲线难以与地形条件相结合，于是引入非对称缓和曲线型平曲线。
非对称缓和曲线在计算时较困难，不能简单套用对称缓和曲线的公式。
以下阐述非对称缓和曲线几何要素和任意点坐标及方位角的计算原理。
(1)计算原理如图1所示，平曲线由非对称缓和曲线Ls1、Ls2及半径R的圆曲线组成，JD为平曲线切线交点，转角a。
由于平曲线两端的缓和曲线不等长，因此在计算平曲线各要素时就不能简单套用等长缓和曲线的计算公式。
平曲线各要素计算：注：第一式最后一项应+q1根据交点坐标和切线长计算缓和曲线起点(ZH或HZ)坐标：X(ZH)=X(JD)+T1 X co aY(ZH)=Y(JD)+T1 X Sin a a 为JD〜ZH方位角X(HZ)=X(JD)+ T2 X CO SY(ZH)=Y(JD)+T2X Sin a a 为JD〜HZ方位角曲线上任意点坐标按基本型缓和曲线的切线支距法和坐标变换、旋转来计算求出3、非完整缓和曲线（卵形曲线）卵形曲线是指在两个同向、半径不等的圆曲线间插入一段不完整的缓和曲线，即卵形曲线是缓和曲线的一段，在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段。
首先需要计算出实际并不存在只是在计算过程中起辅助作用的完整缓和曲线段的起点即ZH 或HZ点桩号、坐标和切线方位角。
这样卵形曲线段的计算就转化为完整缓和曲线段的计算。
（1）卵形曲线参数式中：R大，R小为卵形曲线相连的两圆曲线半径，*为非完整缓和曲线段即卵形曲线段长度。
（2）与斥相对应的完整缓和曲线的长度人为（3）卵形曲线的起点Q （接大半径圆的点）至假设存在的完整缓和曲线起点ZH或HZ点的弧长为或h=C ■（4）与占对应的弦长补为又因为B Q——切线角△ Q——切点Q至假设起点ZH（HZ）的弦切角故可得，Q点至ZH点的方位角ZH点的切线方位角Q点至HZ点的方位角HZ点的切线方位角求得卵形曲线起点Q至ZH(HZ)的弦长人和方位角后，则ZH(HZ)点的坐标为求出假设的ZH(HZ)点的坐标后，就可以根据基本形缓和曲线的计算方法来计算曲线上任意点的坐标。
上面的公式(3)到(11)是以不完整缓和曲线的起点Q (接大圆点)来计算假设的完整缓和曲线起点ZH(HZ)的坐标。
也可以以接小圆的缓和曲线终点YH(HY来计算起点ZH(HZ)坐标。
如下：①与斥相对应的完整缓和曲线的长度鼻为②与对应的的弦长为总弦长：C s= I s-l s5/90R2 l s2= l s-l s3/90R2③接小圆的YH(HY)点的切线角总偏角： B s=l s/2R ? 180 /n④接小圆的YH(HY)点到假设起点ZH(HZ)的弦切角⑤设接小圆的YH(HY)点为乙则Z点至ZH点的方位角a( Z-ZH) =a (Z) + 180土b o 2 o⑥ZH点的切线方位角a( ZH =a (Z) ±B (Z)⑦Z点至HZ点的方位角a( Z-HZ) =a (Z) ±b o2 01 s 3 R⑧HZ点的切线方位角a( HZ =a (Z) ±B (Z)⑨ ZH(HZ)点的坐标为(设接小圆的YH(HY点为Z)X(ZH或HZ)=X(Z)+ C s cos a Z-ZH(HZ)Y(ZH或HZ)=Y(Z)+ C s Sin a Z-ZH(HZ) G为弦长注：卵形曲线上大圆包含小圆，也就是说接小圆处的曲率半径为R小，沿大圆方向曲率半径渐大。
假设的完整缓和曲线的起点ZH(HZ)在大圆那边。
4、回头曲线什么是回头曲线回头曲线是一种半径小、转弯急、线型标准低的曲线形式，其转角接近、等于或大于180 度。
在实际中，我们确实经常在山区道路碰到回头曲线，基本的感觉就是一个急弯，并且转了一百八十度，跟掉头差不多，也就是前面描述的：转角接近、等于或大于180度。
下图是湘西“公路奇观”的连续回头曲线。
这里所讨论的回头曲线，主要是基于其平面坐标计算的特殊性而言的，它只有一个定义, 就是：转角大于或等于180度，由于实际使用中很少有转角正好等于180度的情况，所以就是指转角大于180度这种情况了。
为什么这么定义呢，因为一般情况下，交点与曲线的关系是：交点在曲线的外侧，即便是转角接近180度，它的交点也在曲线外侧，如下图：而当转角等于180度时，则成为两条平行线，没有交点，或者说无限远，其曲线位置不具有唯一性，这种情况实际中几乎不会采用；而当转角大于180度时，则交点的位置就比较特殊了，如下图：这个图中，JD1和JD3是普通情况下的交点，均在曲线的外侧，而JD2的转角大于180 度，其位置在曲线的内侧，这种情况，才是本此讨论的回头曲线。
回头曲线的计算（1）曲线要素的计算先看一个案例，邵怀高速公路溆浦连接线（二级公路），有一个回头曲线，其曲线设计参数如下：JD5,交点坐标X=3046429.812, Y=450083.958,转角224° 08' 21.8 〃（左转），半径60m 缓和曲线长35m曲线ZH点桩号K49+302.600,切线方位角359° 23' 17.9 〃，平面图形如下所示：交点桩号：ZH点桩号K49+302.600加上切线长T,结果为K49+169.972。
从这个计算结果来看，我们发现与一般曲线要素不同的地方是：1 •切线长T和外距E为负值；2.交点桩号比ZH点桩号小。
设计文件中的直曲表数据也表明了这一点：（2）中桩坐标的计算虽然回头曲线的曲线要素与普通曲线有一些特别的地方，但现在我们更关心的是，按照普通平曲线的中桩坐标计算公式，能否计算出准确的结果。
答案肯定是不能的，否则我也不会写这篇文章，在这里白费神了。
中间具体的计算过程我就不展示了，按照普通平曲线的中桩坐标计算公式，能够计算出各个桩号的坐标，只可惜是错误的结果。
按照这个错误的结果，展示该回头曲线的图形如下：回头曲线的处理回头曲线按照普通曲线中桩坐标计算方法不能得到正确的结果，原因在于它的交点实际在曲线内侧，而程序则把它当作普通曲线来处理，从上面那个图形即可看出。