高考数学真题分类汇编：专题(08)直线与圆(理科)及答案
广西高考数学备考复习(理科)专题十三：直线与圆的方程
广西高考数学备考复习（理科）专题十三：直线与圆的方程姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是（）A . 2B . 3C . 4D . 62. （2分）点P(2,3)到直线x+y+3=0的距离为d，则d的值为（）A . 1B .C .D . 43. （2分）若直线x-y+1=0与圆有公共点，则实数a取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·玉溪期中) 若向量 =（1，1）， =（1，﹣1）， =（﹣1，2），则等于（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高一下·南通月考) 直线过点，且与轴正半轴围成的三角形的面积等于的直线方程是（）A .B .C .D .6. （2分）已知直线l经过点，当l截圆所得弦长最长时，直线l的方程为（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·吉林模拟) 已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率等于（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高一上·深圳月考) 已知，则的最大值（）A .B .C .D .9. （2分）若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为（）A . 或B . 1或3C . 或6D . 0或410. （2分） (2019高二上·大埔期中) 当时，两圆与的位置关系为（）A . 相交B . 相切C . 相交或相切D . 相交、相切或相离11. （2分） (2016高二上·公安期中) 若圆C与圆D：（x+2）2+（y﹣6）2=1关于直线l：x﹣y+5=0对称，则圆C的方程为（）A . （x+2）2+（y﹣6）2=1B . （x﹣6）2+（y+2）2=1C . （x﹣1）2+（y﹣3）2=1D . （x+1）2+（y+3）2=112. （2分）方程x2+y2+2ax﹣4y+（a2+a）=0表示一个圆，则a的取值范围是（）A . [4，+∞）B . （4，+∞）C . （﹣∞，4]D . （﹣∞，4）13. （2分）直线截圆x2+y2=4所得的弦长是（）A . 1B .C . 2D .14. （2分） (2019高一下·江门月考) 过点且与直线平行的直线方程是（）A .B .C .D .15. （2分） (2018高二上·北京月考) 曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共8分)16. （2分） (2015高一下·沈阳开学考) 直线x﹣y+2 =0上的点P到圆x2+y2=1的切线长最短为________．17. （1分）(2018·安徽模拟) 若圆C：，关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值为________．18. （1分）(2019·濮阳模拟) 平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线.给出以下四个结论：①当时，曲线是一个圆；②当时，曲线的离心率为；③当时，曲线的渐近线方程为；④当时，曲线的焦点坐标分别为和 .其中全部正确结论的序号为________.19. （1分） (2016高二上·水富期中) 已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0和直线x+2y﹣3=0交于不同的P，Q两点，若OP⊥OQ（O为坐标原点），则m=________．20. （1分） (2016高二上·徐州期中) 已知实数x，y满足x﹣ = ﹣y，则x+y的取值范围是________21. （1分） (2016高二上·蕉岭开学考) 已知圆C：（x﹣2）2+（y+m﹣4）2=1，当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是________．22. （1分）(2020·江门模拟) 已知实数、满足，则的最大值为________．三、解答题 (共3题；共15分)23. （5分） (2019高一下·钦州期末) 已知圆C的半径是2，圆心为 .（1）求圆C的方程；（2）若点P是圆C上的动点，点Q在x轴上，的最大值等于7，求点Q的坐标.24. （5分）(2017·衡水模拟) 已知两动圆F1：（x+ ）2+y2=r2和F2：（x﹣）2+y2=（4﹣r）2（0＜r＜4），把它们的公共点的轨迹记为曲线C，若曲线C与y轴的正半轴的交点为M，且曲线C上的相异两点A、B 满足：• =0．（1）求曲线C的方程；（2）证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标；（3）求△ABM面积S的最大值．25. （5分） (2019高二上·长治月考) 已知直线及圆．（1）判断直线与圆的位置关系；（2）求过点的圆的切线方程．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共7题；共8分)16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、三、解答题 (共3题；共15分) 23-1、23-2、24-1、24-2、24-3、25-1、25-2、。
解析几何(解答题)--五年(2020-2024)高考数学真题分类汇编(解析版)
专题解析几何(解答题)考点五年考情(2020-2024)命题趋势考点01椭圆及其性质2024Ⅰ甲卷北京卷天津卷2023北京乙卷天津2022乙卷北京卷浙江卷2021北京卷Ⅱ卷2020ⅠⅡ卷新ⅠⅡ卷椭圆轨迹标准方程问题，有关多边形面积问题，定值定点问题，新结构中的新定义问题是高考的一个高频考点考点02双曲线及其性质2024Ⅱ卷2023Ⅱ新课标Ⅱ2022Ⅰ卷2021Ⅰ双曲线离心率问题，轨迹方程有关面积问题，定值定点问题以及斜率有关的证明问题以及新结构中的新定义问题是高考的高频考点考点03抛物线及其性质2023甲卷2022甲卷2021浙江甲卷乙卷2020浙江抛物线有关三角形面积问题，关于定直线问题，有关P 的证明类问题考点01：椭圆及其性质1(2024·全国·高考Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【详解】(1)由题意得b =39a 2+94b2=1，解得b 2=9a 2=12 ，所以e =1-b 2a2=1-912=12.(2)法一：k AP =3-320-3=-12，则直线AP 的方程为y =-12x +3，即x +2y -6=0，AP =0-3 2+3-322=352，由(1)知C :x 212+y 29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B23cosθ,3sinθ，其中θ∈0,2π，则有23cosθ+6sinθ-65=1255，联立cos2θ+sin2θ=1，解得cosθ=-32sinθ=-12或cosθ=0sinθ=-1，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一；法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B0,-3，S△PAB=12×6×3=9，符合题意，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k2x2-8k3k-3 2x+36k2-36k-27=0，其中Δ=8k23k-3 22-43+4k236k2-36k-27>0，且k≠-1 2，则3x B=36k2-36k-273+4k2,x B=12k2-12k-93+4k2，则S=12AQx P-x B=123k+3212k+183+4k2=9，解的k=12或k=32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l为y=12x或y=32x-3，即3x-2y-6=0或x-2y=0.2(2024·全国·高考甲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点M1,32在C上，且MF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过点P4,0的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y 轴．【答案】(1)x24+y23=1(2)证明见解析【详解】(1)设F c,0，由题设有c=1且b2a=32，故a2-1a=32，故a=2，故b=3，故椭圆方程为x24+y23=1.(2)直线AB的斜率必定存在，设AB:y=k(x-4)，A x1,y1，B x2,y2，由3x2+4y2=12y=k(x-4)可得3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0，故Δ=1024k4-43+4k264k2-12>0，故-12<k<12，又x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2-123+4k2，而N52,0，故直线BN:y=y2x2-52x-52，故y Q=-32y2x2-52=-3y22x2-5，所以y1-y Q=y1+3y22x2-5=y1×2x2-5+3y22x2-5=k x1-4×2x2-5+3k x2-42x2-5=k 2x1x2-5x1+x2+82x2-5=k2×64k2-123+4k2-5×32k23+4k2+82x2-5=k 128k2-24-160k2+24+32k23+4k22x2-5=0，故y1=y Q，即AQ⊥y轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.3(2024·北京·高考真题)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点0,t t >2 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点A ,B ，过点A 和C 0,1 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,k ≠0,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t，化简并整理得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.4(2024·天津·高考真题)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32 的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC =12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.5(2023年全国乙卷理科)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率是53，点A -2,0 在C 上．(1)求C方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于P ,Q 两点，直线AP ,AQ 与y 轴的交点分别为M ,N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解解析：(1)由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1．(2)由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y2x 2+22=k x 1+2 +3 x 1+2+k x 2+2 +3 x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +3 16k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段MN 的中点是定点0,3 ．6(2020年高考课标Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【答案】(1)12；(2)C 1:x 236+y 227=1，C 2:y 2=12x ．解析：(1)∵F c ,0 ，AB ⊥x 轴且与椭圆C 1相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x =c ，联立x =c x 2a 2+y 2b 2=1a 2=b 2+c 2，解得x =c y =±b 2a，则AB =2b 2a ，抛物线C 2的方程为y 2=4cx ，联立x =cy 2=4cx ，解得x =cy =±2c，∴CD =4c ，∵CD =43AB ，即4c =8b 23a ，2b 2=3ac ，即2c 2+3ac -2a 2=0，即2e 2+3e -2=0，∵0<e <1，解得e =12，因此，椭圆C 1的离心率为12；(2)由(1)知a =2c ，b =3c ，椭圆C 1的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，联立y 2=4cxx24c2+y 23c 2=1，消去y 并整理得3x 2+16cx -12c 2=0，解得x =23c 或x =-6c (舍去)，由抛物线的定义可得MF =23c +c =5c3=5，解得c =3．因此，曲线C 1的标准方程为x 236+y 227=1，曲线C 2的标准方程为y 2=12x ．7(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，右焦点为F (2,0)，且离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．【答案】解析:(1)由题意，椭圆半焦距c =2且e =c a =63，所以a =3，又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆方程为x 23+y 2=1；(2)由(1)得，曲线为x 2+y 2=1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN :x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN :y =k x -2 即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得2kk 2+1=1，解得k =±1，联立y =±x -2x23+y 2=1 可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以MN =1+1⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=3,所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +b ,kb <0 即kx -y +b =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得bk 2+1=1，所以b 2=k 2+1，联立y =kx +bx 23+y 2=1可得1+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-3=0，所以x 1+x 2=-6kb 1+3k 2,x 1⋅x 2=3b 2-31+3k 2，所以MN =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=1+k2-6kb 1+3k22-4⋅3b 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1b =-2或k =-1b =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．8(2020年高考课标Ⅰ卷)已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E方程；(2)证明：直线CD 过定点．【答案】(1)x 29+y 2=1；(2)证明详见解析．【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ， B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1 ∴AG ⋅GB =a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3x +3 ，即：y =y 09x +3 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y 09x +3 ，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 ．同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1=6y 0y 02+9--2y 0y 02+1-3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02x -32故直线CD 过定点32,09(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】(1)x 26+y 23=1；(2)详见解析．解析：(1)由题意可得：c a =324a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6,b 2=c 2=3，故椭圆方程为：x 26+y 23=1．(2)设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．因为AM ⊥AN ，∴AM·AN=0，即x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0,①当直线MN 的斜率存在时，设方程为y =kx +m ,如图1．代入椭圆方程消去y 并整理得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2②,根据y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ,代入①整理可得：k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m -1 2+4=0将②代入，k 2+1 2m 2-61+2k 2+km -k -2 -4km1+2k2+m -1 2+4=0，整理化简得2k +3m +1 2k +m -1 =0,∵A (2,1)不在直线MN 上，∴2k +m -1≠0，∴2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k x -23 -13，所以直线过定点直线过定点E 23,-13．当直线MN 的斜率不存在时，可得N x 1,-y 1 ,如图2．代入x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0得x 1-2 2+1-y 22=0,结合x 216+y 213=1,解得x 1=2舍 ,x 1=23,此时直线MN 过点E 23,-13,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值(AE 长度的一半122-232+1+132=423)．由于A 2,1 ,E 23,-13 ，故由中点坐标公式可得Q 43,13．故存在点Q 43,13，使得|DQ |为定值．10(2022年高考全国乙卷)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A 0,-2 ,B 32,-1两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P 1,-2 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT =TH．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)y 24+x 23=1(2)(0,-2)解析：设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1，过A 0,-2 ,B 32,-1，则4n =194m +n =1 ，解得m =13，n =14，所以椭圆E 的方程为：y 24+x 23=1．【小问2详解】A (0,-2),B 32,-1，所以AB :y +2=23x ，①若过点P (1,-2)的直线斜率不存在，直线x =1．代入x 23+y 24=1，可得M 1,-263 ，N 1,263 ，代入AB 方程y =23x -2，可得T -6+3,-263 ，由MT =TH 得到H -26+5,-263 ．求得HN 方程：y =2+263x -2，过点(0,-2)．②若过点P (1,-2)的直线斜率存在，设kx -y -(k +2)=0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)．联立kx -y -(k +2)=0x 23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2-6k (2+k )x +3k (k +4)=0，可得x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，y 1+y 2=-8(2+k )3k 2+4y 2y 2=4(4+4k -2k 2)3k 2+4，且x 1y 2+x 2y 1=-24k 3k 2+4(*)联立y =y 1y =23x -2,可得T 3y12+3,y 1 ,H (3y 1+6-x 1,y 1).可求得此时HN :y -y 2=y 1-y 23y 1+6-x 1-x 2(x -x 2)，将(0,-2)，代入整理得2(x 1+x 2)-6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1-3y 1y 2-12=0，将(*)代入，得24k +12k 2+96+48k -24k -48-48k +24k 2-36k 2-48=0,显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,-2).11(2020年新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．【答案】(1)x 216+y 212=1；(2)18．解析：(1)由题意可知直线AM 的方程为：y -3=12(x -2)，即x -2y =-4．当y =0时，解得x =-4，所以a =4，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 过点M (2，3)，可得416+9b 2=1，解得b 2=12．所以C 的方程：x 216+y 212=1．(2)设与直线AM 平行的直线方程为：x -2y =m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1，可得：3m +2y 2+4y 2=48，化简可得：16y 2+12my +3m 2-48=0，所以Δ=144m 2-4×163m 2-48 =0，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：x -2y =8，直线AM 方程为：x -2y =-4，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d =8+41+4=1255，由两点之间距离公式可得|AM |=(2+4)2+32=35．所以△AMN 的面积的最大值：12×35×1255=18．12(2020年高考课标Ⅲ卷)已知椭圆C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．【答案】(1)x 225+16y 225=1；(2)52．解析：(1)∵C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)∴a =5，b =m ，根据离心率e =ca=1-b a2=1-m 5 2=154，解得m =54或m =-54(舍)，∴C 的方程为：x 225+y 2542=1，即x 225+16y 225=1；(2)不妨设P ,Q 在x 轴上方∵点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设x =6与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，∠PMB =∠QNB =90°，又∵∠PBM +∠QBN =90°，∠BQN +∠QBN =90°，∴∠PBM =∠BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：△PMB ≅△BNQ ，∵x 225+16y 225=1，∴B (5,0)，∴PM =BN =6-5=1，设P 点为(x P ,y P )，可得P 点纵坐标为y P =1，将其代入x 225+16y 225=1，可得：x P 225+1625=1，解得：x P =3或x P =-3，∴P 点为(3,1)或(-3,1)，①当P 点为(3,1)时，故MB =5-3=2，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=2，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,2)，可求得直线AQ 的直线方程为：2x -11y +10=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =2×3-11×1+1022+112=5125=55，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+2-0 2=55，∴△APQ 面积为：12×55×55=52；②当P 点为(-3,1)时，故MB =5+3=8，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=8，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,8)，可求得直线AQ 的直线方程为：8x -11y +40=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =8×-3 -11×1+4082+112=5185=5185，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+8-0 2=185，∴△APQ 面积为：12×185×5185=52，综上所述，△APQ 面积为：52．1313(2023年北京卷)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率为53，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，|AC |=4．(1)求E 的方程；(2)设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线y =-2交于点N ．求证：MN ⎳CD ．【答案】(1)x 29+y 24=1(2)证明见解析：(1)依题意，得e =c a =53，则c =53a ，又A ,C 分别为椭圆上下顶点，AC =4，所以2b =4，即b =2，所以a 2-c 2=b 2=4，即a 2-59a 2=49a 2=4，则a 2=9，所以椭圆E 的方程为x 29+y 24=1．(2)因为椭圆E 的方程为x 29+y 24=1，所以A 0,2 ,C 0,-2 ,B -3,0 ,D 3,0 ，因为P 为第一象限E 上的动点，设P m ,n 0<m <3,0<n <2 ，则m 29+n 24=1，易得k BC =0+2-3-0=-23，则直线BC 的方程为y =-23x -2，k PD =n -0m -3=n m -3，则直线PD 的方程为y =n m -3x -3 ，联立y =-23x -2y =n m -3x -3，解得x =33n -2m +63n +2m -6y =-12n 3n +2m -6，即M 33n -2m +6 3n +2m -6,-12n 3n +2m -6，而k PA =n -2m -0=n -2m ，则直线PA 的方程为y =n -2mx +2，令y =-2，则-2=n -2m x +2，解得x =-4m n -2，即N -4mn -2,-2 ，又m 29+n 24=1，则m 2=9-9n 24，8m 2=72-18n 2，所以k MN =-12n3n +2m -6+233n -2m +6 3n +2m -6--4mn-2=-6n +4m -12 n -29n -6m +18 n -2 +4m 3n +2m -6=-6n 2+4mn -8m +249n 2+8m 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +249n 2+72-18n 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +24-9n 2+6mn -12m +36=2-3n 2+2mn -4m +12 3-3n 2+2mn -4m +12 =23，又k CD =0+23-0=23，即k MN =k CD ，显然，MN 与CD 不重合，所以MN ⎳CD ．14(2023年天津卷)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点分别为A 1,A 2，右焦点为F ，已知A 1F =3,A 2F =1．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A 2P 交y 轴于点Q ，若三角形A 1PQ 的面积是三角形A 2FP 面积的二倍，求直线A 2P 的方程．【答案】(1)椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =12．(2)y =±62x -2 ．解析：(1)如图，由题意得a +c =3a -c =1，解得a =2,c =1，所以b =22-12=3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =c a =12．(2)由题意得，直线A 2P 斜率存在，由椭圆的方程为x 24+y 23=1可得A 22,0 ，设直线A 2P 的方程为y =k x -2 ，联立方程组x 24+y 23=1y =k x -2，消去y 整理得：3+4k 2 x 2-16k 2x +16k 2-12=0，由韦达定理得x A 2⋅x P =16k 2-123+4k 2，所以x P =8k 2-63+4k 2，所以P 8k 2-63+4k 2,--12k3+4k 2，Q 0,-2k ．所以S △A 2QA 1=12×4×y Q ,S △A 2PF =12×1×y P ,S △A 1A 2P =12×4×y P ，所以S △A 2QA 1=S △A 1PQ +S △A 1A 2P =2S △A 2PF +S △A 1A 2P ，所以2y Q =3y P ，即2-2k =3-12k3+4k 2，解得k =±62，所以直线A 2P 的方程为y =±62x -2 ．15(2022高考北京卷)已知椭圆：E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1)，焦距为23．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (-2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当|MN |=2时，求k 的值．【答案】解析:(1)依题意可得b =1，2c =23，又c 2=a 2-b 2，所以a =2，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)解：依题意过点P -2,1 的直线为y -1=k x +2 ，设B x 1,y 1 、C x 2,y 2 ，不妨令-2≤x 1<x 2≤2，由y -1=k x +2x 24+y 2=1，消去y 整理得1+4k 2 x 2+16k 2+8k x +16k 2+16k =0，所以Δ=16k 2+8k 2-41+4k 2 16k 2+16k >0，解得k <0，所以x 1+x 2=-16k 2+8k 1+4k 2，x 1⋅x 2=16k 2+16k1+4k2，直线AB 的方程为y -1=y 1-1x 1x ，令y =0，解得x M =x 11-y 1，直线AC 的方程为y -1=y 2-1x 2x ，令y =0，解得x N =x 21-y 2，所以MN =x N -x M =x 21-y 2-x 11-y 1=x 21-k x 2+2 +1 -x 11-k x 1+2 +1=x 2-k x 2+2 +x 1k x 1+2=x 2+2 x 1-x 2x 1+2k x 2+2 x 1+2=2x 1-x 2k x 2+2 x 1+2=2，所以x 1-x 2 =k x 2+2 x 1+2 ，即x 1+x 22-4x 1x 2=k x 2x 1+2x 2+x 1 +4即-16k 2+8k 1+4k22-4×16k 2+16k 1+4k 2=k 16k 2+16k 1+4k 2+2-16k 2+8k 1+4k2+4 即81+4k 22k 2+k 2-1+4k 2 k 2+k =k1+4k216k2+16k -216k 2+8k +41+4k 2整理得8-k =4k ，解得k =-416(2022年浙江省高考)如图，已知椭圆x 212+y 2=1．设A ，B 是椭圆上异于P (0,1)的两点，且点Q 0,12 在线段AB 上，直线PA ,PB 分别交直线y =-12x +3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求|CD |的最小值．【答案】解析:(1)设Q (23cos θ,sin θ)是椭圆上任意一点,P (0,1),则|PQ |2=12cos 2θ+(1-sin θ)2=13-11sin 2θ-2sin θ=-11sin θ+111 2+14411≤14411，当且仅当sin θ=-111时取等号，故|PQ |的最大值是121111．(2)设直线AB :y =kx +12,直线AB 方程与椭圆x 212+y 2=1联立,可得k 2+112 x 2+kx -34=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，所以x 1+x 2=-kk 2+112x 1x 2=-34k 2+112 ，因为直线PA :y =y 1-1x 1x +1与直线y =-12x +3交于C ,则x C=4x 1x 1+2y 1-2=4x 1(2k +1)x 1-1,同理可得,x D =4x 2x 2+2y 2-2=4x 2(2k +1)x 2-1．则|CD |=1+14x C -x D =524x 1(2k +1)x 1-1-4x 2(2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)x 1-1 (2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)2x 1x 2-(2k +1)x 1+x 2 +1=352⋅16k 2+13k +1=655⋅16k 2+1916+13k +1≥655×4k ×34+1×123k +1=655，当且仅当k =316时取等号，故CD 的最小值为655．17(2021高考北京)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)一个顶点A (0,-2)，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．【答案】(1)x 25+y 24=1；(2)[-3,-1)∪(1,3]．解析：(1)因为椭圆过A 0,-2 ，故b =2，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故12×2a ×2b =45，即a =5，故椭圆的标准方程为：x 25+y 24=1．(2)设B x 1,y 1 ,C x 2,y 2 ， 因为直线BC 的斜率存在，故x 1x 2≠0，故直线AB :y =y 1+2x 1x -2，令y =-3，则x M =-x1y 1+2，同理x N =-x 2y 2+2直线BC :y =kx -3，由y =kx -34x 2+5y 2=20可得4+5k 2 x 2-30kx +25=0，故Δ=900k 2-1004+5k 2 >0，解得k <-1或k >1．又x 1+x 2=30k 4+5k 2,x 1x 2=254+5k 2，故x 1x 2>0，所以x M x N >0又PM +PN =x M +x N =x 1y 1+2+x 2y 2+2=x1kx1-1+x2kx2-1=2kx1x2-x1+x2k2x1x2-k x1+x2+1=50k4+5k2-30k4+5k225k24+5k2-30k24+5k2+1=5k故5k ≤15即k ≤3，综上，-3≤k<-1或1<k≤3．考点02双曲线及其性质1(2024·全国·高考Ⅱ)已知双曲线C:x2-y2=m m>0，点P15,4在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...：过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1，令P n为Q n-1关于y轴的对称点，记P n的坐标为x n,y n .(1)若k=12，求x2,y2；(2)证明：数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积，证明：对任意正整数n，S n=S n+1.【答案】(1)x2=3，y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】(1)由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9.当k=12时，过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32，与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0，该点显然在C的左支上.故P23,0，从而x2=3，y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n，与x2-y2=9联立，得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0，由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点，故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理，另一根x=2k y n-kx n1-k2-x n=2ky n-x n-k2x n1-k2，相应的y=k x-x n+y n=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW=c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n=121-k 1+k m -1+k 1-k mx 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k-921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m .这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.2(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为-25,0 ，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C左、右顶点分别为A1，A2，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上．【答案】(1)x24-y216=1(2)证明见解析．解析：(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由焦点坐标可知c=25，则由e=ca=5可得a=2，b=c2-a2=4，双曲线方程为x24-y216=1．(2)由(1)可得A1-2,0,A22,0，设M x1,y1,N x2,y2，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my-4，且-12<m<12，与x24-y216=1联立可得4m2-1y2-32my+48=0，且Δ=64(4m2+3)>0，则y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1，直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2，直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2，联立直线MA1与直线NA2的方程可得：x+2 x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1=m⋅484m2-1-2⋅32m4m2-1+2y1m×484m2-1-6y1=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13，由x+2x-2=-13可得x=-1，即x P=-1，据此可得点P在定直线x=-1上运动．3(2022新高考全国II卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±3x．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P x1,y1,Q x2,y2在C上，且．x1>x2>0,y1>0．过P 且斜率为-3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA |=|MB |．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)见解析:(1)右焦点为F (2,0)，∴c =2,∵渐近线方程为y =±3x ，∴ba=3，∴b =3a ，∴c 2=a 2+b 2=4a 2=4，∴a =1，∴b =3．∴C 的方程为：x 2-y 23=1；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而x 1=x 2，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零．设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为y =k x -2 ,则条件①M 在AB 上，等价于y 0=k x 0-2 ⇔ky 0=k 2x 0-2 ；两渐近线方程合并为3x 2-y 2=0,联立消去y 并化简整理得：k 2-3 x 2-4k 2x +4k 2=0设A x 3,y 3 ,B x 3,y 4 ,线段中点N x N ,y N ,则x N =x 3+x 42=2k 2k 2-3,y N =k x N -2 =6kk 2-3,设M x 0,y 0 , 则条件③AM =BM 等价于x 0-x 3 2+y 0-y 3 2=x 0-x 4 2+y 0-y 4 2,移项并利用平方差公式整理得：x 3-x 4 2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4 2y 0-y 3+y 4 =0，2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4x 3-x 42y 0-y 3+y 4 =0,即x 0-x N +k y 0-y N =0,即x 0+ky 0=8k 2k 2-3；由题意知直线PM 的斜率为-3, 直线QM 的斜率为3,∴由y 1-y 0=-3x 1-x 0 ,y 2-y 0=3x 2-x 0 ,∴y 1-y 2=-3x 1+x 2-2x 0 ,所以直线PQ 的斜率m =y 1-y 2x 1-x 2=-3x 1+x 2-2x 0 x 1-x 2,直线PM :y =-3x -x 0 +y 0,即y =y 0+3x 0-3x ,代入双曲线的方程3x 2-y 2-3=0,即3x +y 3x -y =3中，得：y 0+3x 0 23x -y 0+3x 0 =3,解得P 的横坐标：x 1=1233y 0+3x 0+y 0+3x 0,。
四川省南充市高考数学备考复习(理科)专题十三：直线与圆的方程
四川省南充市高考数学备考复习（理科）专题十三：直线与圆的方程姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分） (2016高一下·六安期中) 已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A . 3B .C .D . 22. （2分）(2017·海淀模拟) 在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A . θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2B . θ= （ρ∈R）和ρcosθ=2C . θ= （ρ∈R）和ρcosθ=1D . θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=13. （2分） (2017高二上·武清期中) 直线3x+4y﹣10=0与圆x2+y2﹣2x+6y+2=0的位置关系是（）A . 相交且直线经过圆心B . 相交但直线不经过圆心C . 相切D . 相离4. （2分）称为两个向量间的“距离”.若向量满足:①;②;③对任意的,恒有,则（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二上·重庆期中) 一束光线从点A（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短路程是（）A . 3 ﹣1B . 2C . 4D . 56. （2分）对于a∈R，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C ，则以C为圆心，以为半径的圆的方程为（）A . x2＋y2－2x－4y＝0B . x2＋y2＋2x＋4y＝0C . x2＋y2＋2x－4y＝0D . x2＋y2－2x＋4y＝07. （2分）若直线y=kx+1与圆相交于P,Q两点，且（其中O为原点），则k的值为（）A . 或B .C . 或D .8. （2分）若圆上的任意一点关于直线的对称点仍在圆上，则最小值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二上·石家庄期末) 若过点P（1，）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A . [ ， ]B . [ ， ]C . [ ， ]D . [ ， ]10. （2分）两圆相交于点,两圆的圆心均在直线上，则的值为（）A . -1B . 2C . 3D . 011. （2分） (2020高二下·嘉兴期中) 在平面直角坐标系中，若圆上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆上，则的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）若方程x2+y2﹣4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是（）A . RB . （﹣∞，1）C . （﹣∞，1]D . [1，+∞）13. （2分）直线x+2y+3=0将圆（x﹣a）2+（y+5）2=3平分，则a=（）A . 13B . 7C . ﹣13D . ﹣714. （2分）与圆x2+（y﹣2）2=2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有（）A . 6条B . 4条C . 3条D . 2条15. （2分）(2017·湖北模拟) 已知实数x，y满足x2+（y﹣2）2=1，则的取值范围是（）A . （，2]B . [1，2]C . （0，2]D . （，1]二、填空题 (共7题；共8分)16. （2分）已知，分别是双曲线：的左、右顶点，为上一点，则的外接圆的标准方程为________．17. （1分）若圆C与圆（x+2）2+（y﹣1）2=1关于原点对称，则圆C的标准方程是________18. （1分）若圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为________．19. （1分）直线 =0截圆x2+y2=4得劣弧对应的圆心角的度数为________．20. （1分） (2019高二上·南宁月考) 已知圆O：x2＋y2＝9及点C(2，1)，过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为________．21. （1分）圆，过点的直线与圆相交于两点， ,则直线的方程是________．22. （1分） (2018高二上·鼓楼期中) 在平面直角坐标系xoy中，已知点， ,若直线x-y+m=0上存在点P，使得2PA=PB,则实数m的取值范围为________．三、解答题 (共3题；共15分)23. （5分） (2020高一下·惠山期中) 已知圆：，直线过点 .（1）判断点A与圆M的位置关系；（2）当直线l与圆M相切时，求直线的方程；（3）当直线l的倾斜角为时，求直线l被圆M所截得的弦长.24. （5分） (2017高一下·哈尔滨期末) 已知圆的方程:（1）求的取值范围；（2）圆与直线相交于两点，且( 为坐标原点)，求的值．25. （5分）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）若定点P（1，1）分弦AB为 = ，求此时直线l的方程．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共7题；共8分)16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、三、解答题 (共3题；共15分)23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、25-1、25-2、。
专题12直线和圆(新高考地区专用)-2021届高三《新题速递·数学》(适用于高考复习)(解析版)
专题12直线和圆姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．（2020·河北省尚义县第一中学高二期中）直线)12y x +=-的倾斜角为（ ）A ．30°B ．120°C ．60°D ．150°2．（2020·福建高二期中）已知直线MN 的斜率为4，其中点()1,1N -，点M 在直线1y x =+上，则点M 的坐标为（ ）A ．（2，3）B ．（4，5）C ．（2，1）D ．（5，7）3．（2020·吕梁市贺昌中学高二期中）已知直线(2)a x -+1ay -=0与直线2x +3y +5=0平行，a 的值为（ ）A ．-6B ．6C ．45-D ．454．（2020·福建高二期中）两直线1:3260l x y --=，2:3280l x y -+=，则直线1l 关于直线2l 对称的直线方程为（ ）A ．32240x y -+=B ．32100x y --=C ．32200x y --=D ．32220x y -+=5．（2020·安徽宣城·高二期中（文））已知圆C 的方程为222610x y x y +-++=，点P 在圆C 上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值为（ ）A ．3B 3C ．3-D ．26．（2020·湖南高二期中）直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（ ）A ．9B ．4C ．12D ．147．（2020·安徽宿州·高二期中（理））若P 是直线l ：3490x y +-=上一动点，过P 作圆C ：2240x y x ++=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A B ．C D ．8．（2018·安庆市第七中学高二期中（理））设点(3,4)M 在圆222(0)x y r r +=>外，若圆O 上存在点N ，使得3OMN π∠=，则实数r 的取值范围是（ ）A ．5[,)2+∞ B ．[,)2+∞ C ．[2 D ．5[,5)2二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．（2020·重庆市万州第二高级中学高二月考）下列说法正确的有（ ）A ．若直线y kx b =+经过第一、二、四象限，则()k b ，在第二象限B ．直线32y ax a =-+过定点()32，C ．过点()21-，斜率为的点斜式方程为)12y x +=-D ．斜率为2-，在y 轴截距为3的直线方程为23y x =-±．10．（2020·湖南湘潭一中高二期末）已知直线l ：(2)10mx m y m --+-=，圆C ：22(1)1x y -+=，则下列结论中正确的是（ ）A ．存在m 的一个值，使直线l 经过圆心CB ．无论m 为何值时，直线l 与圆C 一定有两个公共点C ．圆心C 到直线l 的最大距离是22D ．当1m =时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程为22(1)1y x +-=.11．（2020·河北承德第一中学高二月考）圆221:(2cos )(2sin )1C x y θθ-+-=与圆222:1C x y +=，下列说法正确的是（ ）A ．对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终相切B ．对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终有四条公切线C ．当6πθ=时，圆1C 被直线310l x y --=3D ．P ，Q 分别为圆1C 与圆2C 上的动点，则PQ 的最大值为412．（2020·山东高二期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy 中，已知()4,2A -，()2,2B ，点P 满足2PAPB =，设点P 的轨迹为圆C ，下列结论正确的是（ ）A ．圆C 的方程是()()224216x y -+-=B ．过点A 向圆C 引切线，两条切线的夹角为3π C ．过点A 作直线l ，若圆C 上恰有三个点到直线l 距离为2，该直线斜率为155±D ．在直线2y =上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得2PD PE= 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（2020·上海黄浦·格致中学高三期中）如果直线l 将圆：22240x y x y +--=平分，且不经过第四象限，则l 的斜率取值范围是_________.14．（2020·内蒙古包头一中高二期中（文））已知M ，N 是圆22:20A x y x +-=与圆22:240B x y x y ++-=的公共点，则线段MN 的长度为______.15．（2020·淮南第一中学高二期中（理））已知直线1:220l x by ++=与直线2:210l x y -+=平行，则直线1l ，2l 之间的距离为__________.16．（2020·浙江诸暨中学高二期中）已知直线:l 10mx y m -+-=，则此直线必过定点_________；设直线l 与圆22:(1)5C x y +-=交于,A B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为____________四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．（2020·上海徐汇·南洋中学高二期中）已知圆C 的圆心在直线2x -y -3=0上，且圆C 过点(1，6)，(5，2). （1）求圆C 的标准方程；（2）过点P (3，2)的直线l 与圆C 交于A 、B 两点，当|AB |=6时，求直线l 的方程.18．（2020·重庆市江津中学校高二月考）已知圆C ：()2234x y -+=，直线l ：()()13130+--+-=m x m y m ．（1）求直线l 所过定点A 的坐标及当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值；（2）已知点()3,3M ，在直线MC 上存在定点N （异于点M ），满足对圆C 上任一点P 都有PM PN为常数，试求所有满足条件的点N 坐标及该常数． 19．（2020·福建高二期中）已知一个动点M 在圆2216x y +=上运动，它与定点()8,0Q 所连线段的中点为P ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程.20．（2020·浙江台州·高二期中）已知直线20x y -+=和圆22:8120C x y x +-+=，过直线上的一点()00,P x y 作两条直线PA ，PB 与圆C 相切于A ，B 两点.（1）当P 点坐标为()2,4时，求以PC 为直径的圆的方程，并求直线AB 的方程；（2）设切线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，且127k k ⋅=-时，求点P 的坐标.21．（2020·山东高二期中）已知点A ，B 关于原点O 对称，点A 在直线0x y +=上，2AB =，圆M 过点A ，B 且与直线10x +=相切，设圆心M 的横坐标为a .（1）求圆M 的半径；（2）已知点()0,1P ，当2a <时，作直线l 与圆M 相交于不同的两点M ，N ，已知直线l 不经过点P ，且直线PM ，PN 斜率之和为1-，求证：直线l 恒过定点.22．（2020·四川高二期中（理））已知圆C ：22(3)(4)16x y ++-=，直线l ：(21)(2)340()m x m y m m R ++---=∈.（1）若圆C 截直线l 所得弦AB 的长为m 的值；（2）若0m >，直线l 与圆C 相离，在直线l 上有一动点P ，过P 作圆C 的两条切线PM ，PN ，切点分别13 45.求m的值，并证明直线MN经过定点.为M，N，且cos MPN的最小值为。
2021高考数学复习专题 直线与圆、圆与圆的位置关系(文 精练)
专题9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2020·福建省厦门市科技中学模拟)直线kx －2y ＋1＝0与圆x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定2．(2020·江西省鹰潭市一中模拟)若直线x ＝5与圆x 2＋y 2－6x ＋a ＝0相切，则a ＝( ) A ．13B ．5C ．－5D ．－133．(2020·山东省日照市实验中学模拟)与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．(2020·河南省卫辉一中模拟)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π65．(2020·湖北省武汉市四中模拟)已知直线l ：kx －y －3＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且OA →·OB→＝2，则k ＝( )A ．2B ．± 2C ．±2D.26．(2020·湖南省邵阳模拟)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定7．(2020·广东省深圳市松岗中学模拟)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]8．(2020·重庆市合川中学模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－149．(2020·四川省攀枝花市三中模拟)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ .10．(2020·湖北荆州中学模拟)过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为 ．11．(2020·云南昆明第三中学模拟)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为 ．12．(2020·贵州凯里一中模拟)已知直线l ：x －3y －a ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y ＋3)2＝4交于M ，N ，点P 在圆C 上，且△MPN ＝π3，则实数a ＝ .13．(2020·浙江温州中学模拟)设O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P ，Q ，满足关于直线x ＋my ＋4＝0对称，且OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程．14．(2020·吉林省实验中学模拟)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线P A ，PB ，切点为A ，B .(1)若△APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标． 15．(2020·湖南浏阳一中模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC △BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．16．(2020·山西康杰中学模拟)如图所示，圆C ：x 2－(1＋a )x ＋y 2－ay ＋a ＝0.(1)若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；(2)已知a ＞1，圆C 与x 轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)．过点M 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B .问：是否存在实数a ，使得△ANM ＝△BNM ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．专题9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2020·福建省厦门市科技中学模拟)直线kx －2y ＋1＝0与圆x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 【答案】A【解析】直线kx －2y ＋1＝0恒过定点⎝⎛⎭⎫0，12，且0＋⎝⎛⎭⎫12－12＜1， 所以点⎝⎛⎭⎫0，12在圆内，故直线和圆恒相交，故选A. 2．(2020·江西省鹰潭市一中模拟)若直线x ＝5与圆x 2＋y 2－6x ＋a ＝0相切，则a ＝( ) A ．13 B ．5 C ．－5 D ．－13【答案】B【解析】圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9－a .其圆心坐标为(3,0)，半径r ＝9－a (a ＜9)．由直线x ＝5和圆x 2＋y 2－6x ＋a ＝0相切，则圆的半径r ＝5－3＝2，即9－a ＝2.解得a ＝5，故选B.3．(2020·山东省日照市实验中学模拟)与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】A【解析】两圆分别化为标准形式为C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，C 2：(x －7)2＋(y －1)2＝36，则两圆圆心距|C 1C 2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.4．(2020·河南省卫辉一中模拟)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π6 【答案】A【解析】由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1.即d ＝|2k |1＋k 2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A. 5．(2020·湖北省武汉市四中模拟)已知直线l ：kx －y －3＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝2，则k ＝( )A ．2B ．± 2C ．±2 D.2【答案】B【解析】圆O ：x 2＋y 2＝4的圆心为(0,0)，半径为2， 设OA →与OB →的夹角为θ，则 2×2×cos θ＝2， 解得cos θ＝12，θ＝π3，△圆心到直线l 的距离为2cos π6＝3，可得|－3|1＋k 2＝3，解得k ＝± 2. 6．(2020·湖南省邵阳模拟)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 【答案】B【解析】由题意知a 2＋b 2＞1，圆心O (0,0)到直线ax ＋by －1＝0的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，因此直线和圆相交，故选B.7．(2020·广东省深圳市松岗中学模拟)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]【答案】A【解析】由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r ＝2，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ＝32，最小距离是d －r ＝ 2.易知A (－2,0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以2≤S △ABP ≤6.故选A.8．(2020·重庆市合川中学模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14【答案】B【解析】圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B.9．(2020·四川省攀枝花市三中模拟)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ .【答案】22【解析】由题意知圆的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|1＋1|2＝2，所以|AB |＝222－(2)2＝2 2.10．(2020·湖北荆州中学模拟)过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为 ．【答案】－53【解析】因为P (－3,1)关于x 轴的对称点的坐标为P ′(－3，－1)，所以直线P ′Q 的方程为y ＝－1－3－a (x －a )，即x －(3＋a )y －a ＝0，圆心(0,0)到直线的距离d ＝|－a |1＋(3＋a )2＝1，所以a ＝－53.11．(2020·云南昆明第三中学模拟)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为 ．【答案】4π【解析】圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.12．(2020·贵州凯里一中模拟)已知直线l ：x －3y －a ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y ＋3)2＝4交于M ，N ，点P 在圆C 上，且△MPN ＝π3，则实数a ＝ .【答案】4或8【解析】由△MPN ＝π3可得△MCN ＝2△MPN ＝2π3，在△MCN 中，CM ＝CN ＝2，△CMN ＝△CNM ＝π6.则圆心C (3，－3)到直线l 的距离d ＝2sin π6＝1，即|3－3×(－3)－a |1＋3＝1，解得a ＝4或a ＝8.13．(2020·浙江温州中学模拟)设O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P ，Q ，满足关于直线x ＋my ＋4＝0对称，且OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程．【解析】(1)x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，所以曲线是以(－1,3)为圆心，3为半径的圆．由已知得直线过圆心，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.(2)设直线PQ ：y ＝－x ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，y ＝－x ＋b ，得2x 2＋2(4－b )x ＋b 2－6b ＋1＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝b －4，x 1x 2＝b 2－6b ＋12.又OP →·OQ →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即2x 1x 2－b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，将x 1＋x 2＝b －4，x 1x 2＝b 2－6b ＋12代入上式得b 2－2b ＋1＝0，所以b ＝1，所以直线PQ 的方程为y ＝－x ＋1.14．(2020·吉林省实验中学模拟)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线P A ，PB ，切点为A ，B .(1)若△APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标． 【解析】(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，|PC |＝2， 设P (a,2a )，则a 2＋(2a －4)2＝2，解得a ＝2或a ＝65，△点P 的坐标为(2,4)或⎝⎛⎭⎫65，125.(2)设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0，即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝85，y ＝165，△该圆必经过定点(0,4)和⎝⎛⎭⎫85，165.15．(2020·湖南浏阳一中模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC △BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 【解析】(1)不能出现AC △BC 的情况．理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC △BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．16．(2020·山西康杰中学模拟)如图所示，圆C ：x 2－(1＋a )x ＋y 2－ay ＋a ＝0.(1)若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；(2)已知a ＞1，圆C 与x 轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)．过点M 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B .问：是否存在实数a ，使得△ANM ＝△BNM ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x 2－(1＋a )x ＋y 2－ay ＋a ＝0， 得x 2－(1＋a )x ＋a ＝0，由题意得Δ＝(1＋a )2－4a ＝(a －1)2＝0，解得a ＝1， 故所求圆C 的方程为x 2－2x ＋y 2－y ＋1＝0. (2)令y ＝0，得x 2－(1＋a )x ＋a ＝0， 即(x －1)(x －a )＝0， 所以M (1,0)，N (a,0)．假设存在实数a ，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)， 代入x 2＋y 2＝4，得 (1＋k 2)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 21＋k 2，x 1x 2＝k 2－41＋k 2.因为△ANM ＝△BNM ，所以y 1x 1－a ＋y 2x 2－a＝0. 因为y 1x 1－a ＋y 2x 2－a第 11 页 共 11 页 ＝k [(x 1－1)(x 2－a )＋(x 2－1)(x 1－a )](x 1－a )(x 2－a )， 而(x 1－1)(x 2－a )＋(x 2－1)(x 1－a )＝2x 1x 2－(a ＋1)(x 2＋x 1)＋2a ＝2·k 2－41＋k 2－(a ＋1)·2k 21＋k 2＋2a ＝2a －81＋k 2， 所以2a －81＋k 2＝0，解得a ＝4. 当直线AB 与x 轴垂直时，也成立．故存在实数a ＝4，使得△ANM ＝△BNM .。
2008年广东高考(理科)数学试题(附答案)
2008年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．已知n 是正整数，则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ ．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）A ．(15)，B ．(13)， C． D．2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ ） A ．16B ．24C ．36D ．483．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）A ．24B ．18C ．16D ．12 表14．若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（ ）A ．90B ．80C ．70D ．405．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）E F DIA H GBC EF D AB C侧视 图1 图2 BEA ．BEB ． BEC ．BED ．6．已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝7．设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-8．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ） A ．1142+a b B ．2133+a bC ．1124+a b D ．1233+a b 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9~12题） 9．阅读图3的程序框图，若输入4m =，6n =，则输出 a = ，i = ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”） 10．已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k = ．11．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ．12．已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ．二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，π4cos 002ρθρθ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，≥≤，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 ．14．（不等式选讲选做题）已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围是 ． 15．（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB =，则圆O 的半径R = ．图3图4三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．17．（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ． （1）求ξ的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少?18．（本小题满分14分）设0b >，椭圆方程为222212x y b b +=，抛物线方程为28()x y b =-．如图4所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）19．（本小题满分14分）设k ∈R ，函数111()1x x f x x ⎧<⎪-=⎨⎪⎩，≥，()()F x f x kx =-，x ∈R ，试讨论函数()F x 的单调性．20．（本小题满分14分）如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，PD 垂直底面E F ，分别是PB CD ，上的点，且PE DFEB FC =，过点E 作BC （1）求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值；（2）证明：EFG △是直角三角形；（3）当12PE EB =时，求EFG △的面积．21．（本小题满分12分）设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，…）． （1）证明：p αβ+=，q αβ=； （2）求数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S ．图52008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案一、选择题：C D C C A D B B 1．C 【解析】12+=a z ，而20<<a ，即5112<+<a ，51<<∴z2．D 【解析】20624=+=d S ，3=∴d ，故481536=+=d S3．C 【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是5003703803773732000=----，即总体中各个年级的人数比例为2:3:3，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为168264=⨯ 4．C 5．A6．D 【解析】不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有()()p q ⌝∨⌝为真命题7．B 【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30ax f x ae =+=有正根。
2008江苏高考数学试卷含答案(校正精确版)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题1．若函数cos()(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= ▲ ． 【解析】2105T ππωω==⇒=2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ▲ ．【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1，3)、(2，2)、(3，1)共3个，故316612P ==⨯ 3．若将复数11ii+-表示为(,,a bi a b R i +∈是虚数单位）的形式，则a b += ▲ ．【解析】因()21112i i i i ++==-，故a ＝0，b ＝1，因此1a b += 4．若集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则A Z I 中有 ▲ 个元素【解析】由2(1)37x x -<+得2560x x --<，(1,6)A =-∴，因此}{0,1,2,3,4,5A Z =I ，共有6个元素．5．已知向量a r 和b r 的夹角为0120，||1,||3a b ==r r ，则|5|a b -=r r ▲ ． 【解析】22222|5|(5)25||10||251a b a b a a b b -=-=-⋅+=⨯-r r r r r r r r 211013()3492⨯⨯⨯-+=，故|5|7a b -=r r ．6．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是 ▲【解析】如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此214416P ππ⨯==⨯7．某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统序号i 分组 （睡眠时间） 组中值（i G ） 频数 （人数） 频率（i F ） 1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.510 0.20 3 [6,7) 6.520 0.40 4 [7,8) 7.510 0.20 5 [8,9] 8.54 0.08 开始 S ←0 输入G i ，F ii ←1 S ← S ＋G i ·F ii ≥5 i ← i ＋1NY计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 ▲ 【解析】由流程图1122334455S G F G F G F G F G F =++++4.50.125.50.206.50.407.50.28.50.08=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 6.42=8．设直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b 的值是 ▲【解析】'1y x =，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，故b ＝ln2－1．9．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方程为1111()()0x y b c p a -+-=，请你完成直线OF 的方程：( ▲ )11()0x y p a+-=． 【解析】画草图，由对称性可猜想填11c b-．事实上，由截距式可得直线AB ：1x yb a+=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得1111()()0x y b c p a -+-=，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．10．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为 ▲【解析】前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n-个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为262n n -+．11．设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 ▲【解析】由230x y z -+=得32x zy +=，代入2y xz 得229666344x z xz xz xz xz xz +++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15………………12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过2(0)a P c，作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 ▲【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，故△OAP 是等腰直角三角形，故22a a c=，解得22c e a ==．13．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值为解析 设BC ＝x ，则AC ＝2x .根据三角形的面积公式， 得S △ABC ＝12·AB ·BC sin B ＝x 1－cos 2B .①根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－2x 24x ＝4－x 24x .②将②代入①，得 S △ABC ＝x1－⎝⎛⎭⎫4－x 24x 2＝128－x 2－12216.由三角形的三边关系，得⎩⎨⎧2x ＋x >2，x ＋2>2x ，解得22－2<x <22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值22，故选A.14．f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1，1]，总有f (x )≥0成立，则a ＝【解】若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0，1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3．设g (x )＝3x 2－1x3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间(0，12]上单调递增，在区间[12，1]上单调递减，因此g (x )max ＝g (12)＝4，从而a ≥4．当x ＜0即x ∈[－1，0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，设g (x )＝3x 2－1x 3，且g (x )在区间[－1，0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4．二如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A ，B 两点．已知A ，B 两点的横坐标分别是210，255． ⑴．求tan(α＋β)的值； ⑵．求α＋2β的值．【解】⑴．由已知条件即三角函数的定义可知225cos ,cos αβ==，因α为锐角，故ABC DEF Bsin 0α>，从而sin 10α==，同理可得sin 5β==，故1tan 7,tan 2αβ==．故tan()αβ+=17tan tan 2311tan tan 172αβαβ++==---⨯g ； ⑵．132tan(2)tan[()]111(3)2αβαββ-++=++==---⨯，又0,022ππαβ<<<<，故3022παβ<+<，从而由 tan(2)1αβ+=-得，324παβ+=． 16．如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F ，分别是AB BD ，的中点．求证： ⑴．直线//EF 面ACD ； ⑵．平面EFC ⊥面BCD ．【标准答案】证明：⑴．因E ，F 分别是AB BD ，的中点．故EF 是△ABD的中位线，故EF ∥AD ，因EF ∥⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，故直线EF ∥面ACD ；⑵．因AD ⊥BD ，EF ∥AD ，故EF ⊥BD ，因CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，故CF ⊥BD ，又EF∩CF=F ，故BD ⊥面EFC ，因BD ⊂面BCD ，故面EFC ⊥面BCD 17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ． ⑴．按下列要求建立函数关系式：（i ）设BAO θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数； （ii ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数；⑵．请你选用⑴中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短． 【解】⑴．①．由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad)，则10cos cos AQ OA θθ==， 故10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-，故10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-，所求函数关系式为2010sin 10(0)cos 4y θπθθ-=+≤≤；②．若OP=x (km)，则OQ ＝10－x，故OA OB ===数关系式为10)y x x =+≤≤．⑵．选择函数模型①，'2210cos cos (2010)(sin )10(2sin 1)cos cos sin y θθθθθθθ-⋅----==，令'y =0 得sin 12θ=，因04πθ<<，故θ=6π，当(0,)6πθ∈时，'0y <，y 是θ的减函数；当(,)64ππθ∈时，'0y >，y 是θ的增函数，故当θ=6π时，min 10y =+．这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离ABkm 处． 18．在平面直角坐标系xOy 中，记二次函数2()2f x x x b =++（x ∈R ）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C ．⑴．求实数b 的取值范围； ⑵．求圆C 的方程；⑶．问圆C 是否经过定点（其坐标与b 的无关）？请证明你的结论．【解】⑴．令0x =，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；令2()20f x x x b =++=，由题意b ≠0且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．⑵．设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=，令y ＝0得，20x Dx F ++=这与22x x b ++＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ．令x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1．故圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=． ⑶．圆C 必过定点，证明如下：假设圆C 过定点0000(,)(,)x y x y b 不依赖于，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为22000002(1)0x y x y b y ++-+-=(*)，为使(*)式对所有满足1(0)b b <≠的b 都成立，必须有010y -=，结合(*)式得，2200020x y x y ++-=，解得000002 11x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，－，或，，，经 检验知，点(0,1),(2,1)-均在圆C 上，因此圆C 过定点．19．⑴．设12,,,n a a a L 是各项均不为零的等差数列(4n ≥)，且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列： ①．当4n =时，求1a d的数值；②．求n 的所有可能值； ⑵．求证：对于一个给定的正整数(4)n n ≥，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,,,n b b b L ，其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列．【解】⑴．①．当4n =时， 1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出0d =．若删去2a ，则2314a a a =⋅，即2111(2)(3)a d a a d +=⋅+化简得140a d +=，得14a d=-； 若删去3a ，则2214a a a =⋅，即2111()(3)a d a a d +=⋅+化简得10a d -=，得11a d=； 综上，得14a d =-或11ad=．②．当5n =时，12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去1245,,,a a a a ，否则出现连续三项．若删去3a ，则1524a a a a ⋅=⋅，即1111(4)()(3)a a d a d a d +=+⋅+化简得230d =，因0≠d ，故3a 不能删去；当6n ≥时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列12321,,,,,,n n n a a a a a a --L 中，由于不能删去首项或末项，若删去2a ，则必有132n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾；同样若删去1n a -也有132n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾；若删去32,,n a a -L 中任意一个，则必有121n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾．(或者说：当n ≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，4n =．⑵假设对于某个正整数n ，存在一个公差为d 的n 项等差数列12,,...,n b b b ，其中111,,x y z b b b +++(01x y z n ≤<<≤-)为任意三项成等比数列，则2111yx z b b b +++=⋅，即2111()()()b yd b xd b zd +=+⋅+，化简得221()(2)y xz d x z y b d -=+-(*)，由10b d ≠知，2y xz-与2x z y +-同时为0或同时不为0；当2y xz -与2x z y +-同时为0时，有x y z ==与题设矛盾．故2y xz -与2x z y +-同时不为0，故由(*)得212b y xz d x z y-=+-，因01x y z n ≤<<≤-，且x 、y 、z为整数，故上式右边为有理数，从而1b d 为有理数．于是，对于任意的正整数)4(≥n n ，只要1bd为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列．例如n 项数列1，11+……，1(n +-满足要求．20．已知函数11()3x p f x -=，22()23x p f x -=⋅（12,,x R p p ∈为常数）．函数()f x 定义为：对每个给定的实数x ，112212(),()()()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩若若⑴．求1()()f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）；⑵．设,a b 是两个实数，满足a b <，且12,(,)p p a b ∈．若()()f a f b =，求证：函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为2b a-（闭区间[,]m n 的长度定义为n m -） 【解】⑴．由()f x 的定义可知，1()()f x f x =（对所有实数x ）等价于12()()f x f x ≤（对所有实数x ）这又等价于12||||323x p x p --≤⋅，即312log 2||||332x p x p ---≤=对所有实数x 均成立．（*）由于121212|||||()()|||()x p x p x p x p p p x R ---≤---=-∈的最大值为12||p p -，故（*）等价于12||32p p -≤，即123||log 2p p -≤，这就是所求的充分必要条件⑵．分两种情形讨论（i ）当123||log 2p p -≤时，由⑴知，1()()f x f x =（对所有实数[,]x a b ∈）则由()()f a f b =及1a p b <<易知12a bp +=，再111113,()3,p x x px p f x x p --⎧<⎪=⎨≥⎪⎩的单调性可知，函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度为22a b b ab +--=（参见示意图1） （ii ）123||log 2p p ->时，不妨设12,p p <，是当1x p ≤时，有1212()33()p xp x f x f x --=<<，从1()()f x f x =；当2x p ≥时，312122122log 212()333333(x p p p x p p p x p x p f x f --+----===>=g g 2当12p x p <<时，11()3x p f x -=，及22()23p xf x -=⋅，由方程12323x p p x --=⋅，解得12()()f x f x 与图象交点的横坐标为12031log 222p p x +=+⑴，显然10221321[()log 2]2p x p p p p <=---<，这表明0x 在1p 与2p 之间．由⑴知，101022(),()(),p x x f x f x x x p f x ≤≤⎧=⎨<≤⎩综上可知，在区间[,]a b 上，0102(),()(),a x x f x f x x x bf x ≤≤⎧=⎨<≤⎩ （参见示意图2），故由函数1()f x 及2()f x 的单调性可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为012()()x p b p -+-，由于()()f a f b =，即12323p a b p --=⋅，得123log 2p p a b +=++⑵，故由⑴、⑵得0121231()()[log 2]22b ax p b p b p p --+-=-+-=综合（i ）（ii ）可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度和为2ab -．2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）B ．选修4—2 矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F的方程．解：设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点，'''00(,)P x y 则有'0'0020 01x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'00'002x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故'0'002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而'2'200()()1x y +=，故曲线F 的方程是 221x y +=C ．选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值． 解：因椭圆2213x y +=的参数方程为 (sin x y φφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），故可设动点P的坐标为,sin φφ），其中02φπ≤<，故1sin 2(cos sin )2sin()223S x y πφφφφφ=+=+=+=+，故当6πφ=时，S 取最大值222．【必做题】记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点，记11D PD Bλ=．当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围．解：由题设可知，以DA u u u r 、DC u u ur 、1DD u u u u r 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则有(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)D ，由1(1,1,1)D B =-u u u u r，得11(,,)D P D B λλλλ==-u u u u r u u u u r ，故11(,,)(1,0,1)(1,,1)PA PD D A λλλλλλ=+=--+-=---u u u r u u u u r u u u u r11(,,)(0,1,1)(,1,1)PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=---u u u r u u u u r u u u u r ，显然APC ∠不是平角，故APC ∠为钝角等价于cos cos ,0||||PA PCAPC PA PC PA PC ∠=<>=<⋅u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r ，则等价于0PA PC <u u u r u u u r g ，即2(1)()()(1)(1)(1)(31)0λλλλλλλ--+--+-=--<，得113λ<<，故λ的取值范围是1(,1)323．在等式2cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）的两边求导，得：2(cos 2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则，得(sin 2)24cos (sin )x x x -=-g g ，化简得等式：sin 22cos sin x x x =g ．⑴．利用上题的想法（或其他方法），结合等式0122(1)C C C C n n n n n n n x x x x +=++++L （x ∈R ，正整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x --=+-=∑．⑵．对于正整数3n ≥，求证：①．1(1)C 0nkknk k =-=∑； ②．21(1)C 0nkk nk k =-=∑； ③．11121C 11n nkn k k n +=-=++∑．【解】⑴．在等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++L 两边对x 求导得112121(1)2(1)n n n n n n n nnn x C C x n Cx nC x----+=+++-+L 移项得112[(1)1]nn k k n k n x kC x --=+-=∑（*）⑵．①．在（*）式中，令1x =-，整理得，11(1)0nk knk kC -=-=∑故1(1)0nk kn k kC =-=∑ ②．由⑴知，112121(1)2(1),3n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x n ----+=+++-+≥L 两边对x 求导，得2232(1)(1)232(1)n n n n n n n n x C C x n n C x---+=+++-g L 在上式中，令1x =-23220232(1)(1)(1)n n n nC C n n C -=+-++--g L 即22(1)(1)0nkk nk k k C-=--=∑，亦即22(1)()0nkknk k k C =--=∑（1）又由（i ）知1(1)0nkknk kC =-=∑（2）由（1）+（2）得21(1)C 0nk kn k k =-=∑ ③．将等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++L 两边在[0,1]上对x 积分1101220(1)(C C C C )n n nn n n n x dx x x x dx+=++++⎰⎰L 由微积分基本定理，得11110011(1)()11nn k k n k x C x n k ++=+=++∑，故1012111n nk n k C k n +=-=++∑。
专题8.8 立体几何综合问题(精练)-2021年新高考数学一轮复习学与练(解析版)
专题8.8 立体几何综合问题一、选择题1.（2020·浙江高三月考）“直线l与平面α内无数条直线垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不必要也不充分条件【答案】B【解析】设命题p：直线l与平面α内无数条直线垂直，命题q：直线l与平面α垂直，⇒，所以p是q的必要不充分条件.则p q，但q p故选：B、是空间两个不同的平面，则“平面α上存在不共线的三点到2．（2020·上海市建平中学月考）已知αβαβ”的（）平面β的距离相等”是“//A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【答案】B【解析】、是空间两个不同的平面，若平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，已知αβαβ或相交，可得//αβ，则平面α上存在不共线的三点到平面β的距离相等；反之，若//αβ”的必要不充分条件．所以“平面α上存在不共线的三点到平面β的距离相等”是“//故选：B.3.（2020·浙江高三月考）设m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，则下列选项中不正确的是（）A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件⊥”的充分不必要条件B．当时，“m⊥β”是“αβC．当时，“n//α”是“”必要不充分条件D ．当时，“”是“”的充分不必要条件【答案】C 【解析】A,B,D 正确；C 错误．,////m n m n m n αα⊂⇒或与异面；,////;m n m n n ααα⊂⇒⊂或所以当m α⊂时，//n α是//m n 的既不充分又不必要条件.故选C3．（2020·河北新华·石家庄二中高三月考（理））如图，正方体1111ABCD A BC D -中，P 为底面ABCD 上的动点，1PE A C ⊥于E ，且,PA PE =则点P 的轨迹是（ ）A ．线段B ．圆C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分【答案】A【解析】 连结1AP ，可证11A AP A EP ≌，即11A A A E =，即点E 是体对角线1AC 上的定点，直线AE 也是定直线．PA PE =，∴动点P 必定在线段AE 的中垂面α上，则中垂面α与底面ABCD 的交线就是动点P 的轨迹，所以动点P 的轨迹是线段．故选：A5．（2020·河南月考（理））3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为31 g/cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（取π 3.14=，精确到0.1）A．609.4g B．447.3g C．398.3g D．357.3g【答案】C【解析】如图，是几何体的轴截面，因为圆锥底面直径为，所以半径为OB=．因为母线与底面所成角的正切值为tan B，所以圆锥的高为10cmPO=．设正方体的棱长为a，DE=1010a-=，解得5a=．所以该模型的体积为(()2331500ππ105125cm33V=⨯⨯-=-．所以制作该模型所需原料的质量为()500π500π1251125398.3g33⎛⎫-⨯=-≈⎪⎝⎭．故选：C．6．（2020·上海浦东新·华师大二附中月考）运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等.现将椭圆221916x y +=绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）A ．64πB ．48πC ．16πD ．32π【答案】B【解析】 构造一个底面半径为3，高为4的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，则当截面与顶点距离为(04)h h 时，小圆锥的底面半径为r ，则43h r =， 34r h ∴=， 故截面面积为26991h ππ-，把y h =代入椭圆221916x y +=可得x =， ∴橄榄球形几何体的截面面积为221699h x πππ=-， 由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积()1229494483V V V πππ⎛⎫=-=⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭圆柱圆锥． 故选：B ．7．（2018·浙江高考真题）已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则（ ）A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤【答案】D【解析】 设O 为正方形ABCD 的中心，M 为AB 中点，过E 作BC 的平行线EF ，交CD 于F ，过O 作ON 垂直EF 于N ，连接SO 、SN 、OM ，则SO 垂直于底面ABCD ，OM 垂直于AB ，因此123,,,SEN SEO SMO θθθ∠=∠=∠= 从而123tan ,tan ,tan ,SN SN SO SO EN OM EO OMθθθ==== 因为SN SO EO OM ≥≥，，所以132tan tan tan ,θθθ≥≥即132θθθ≥≥，选D.8．（2019·山西高二期中（理））如图，在Rt ABC ∆中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，且4AB =，2BC =.现将ABC ∆沿DE 折起，使得A 到达1A 的位置，且二面角1A DE B --为60︒，则1AC =（ ）A ．B ．3CD ．【答案】A【解析】 ,D E 分别为,AB AC 中点 //DE BC ∴ DE BD ∴⊥，1DE A D ⊥又1,BD A D ⊂平面1A BD ，1BD A D D = DE ∴⊥平面1A BD二面角1A DE B --的平面角为1A DB ∠ 160A DB ∴∠=12A D BD == 12A B ∴=//BC DE BC ∴⊥平面1A BD ，又1A B ⊂平面1A BD 1BC A B ∴⊥1AC ∴===故选：A9．（2020·浙江诸暨·）正方体1111ABCD A BC D -中，在111A B D ∆内部（不含边界）存在点P ，满足点P 到平面11ACC A 的距离等于点P 到棱1BB 的距离.分别记二面角P AD B --为α，P AC B --为β，P BC A --为γ，则下列说法正确的是（ ）A ．αβγ>>B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．以上说法均不正确【答案】C【解析】如图所示，作PQ ⊥面ABCD 于Q ，作QE AD ⊥于E ，QF BC ⊥于F ，QG AC ⊥于G ，连PE ，PF ，PG ， 则PEQ α=∠，PGQ β=∠，PFQ γ=∠. 因此tan PQ QE α=，tan PQ QG β=，tan PQ QFγ=， 作111PE A D ⊥于1E ，111PF B C ⊥于1F ，111PG AC ⊥于1G ，1PG 即点P 到平面11ACC A 的距离，1PB 即点P 到棱1BB 的距离，因此11PB PG =，因为111QF PF PB PG QG =<==，因此tan tan βγ<，因为11QG PG PE QE =<=，因此tan tan αβ<综上有：tan tan tan αβγ<<，即αβγ<<，故选:C10．（2020·安徽合肥·高三三模（理））在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB AD ==，12AA =，M 为棱BC 的中点，动点P 满足APD CPM ∠=∠，则点P 的轨迹与长方体的面11DCC D 的交线长等于（）A ．23πB ．πC ．43πD【答案】A【解析】如下图所示：当P 在面11DCC D 内时，AD ⊥面11DCC D ，CM ⊥面11DCC D ；又APD MPC ∠=∠， 在Rt PDA △与Rt PCM 中，∵6AD =，则3MC =， ∴tan tan AD MC APD MPC PD PC ∠==∠=，则63PD PC =， 即2PD PC =．在平面11DCC D 中，以DC 所在直线为x 轴，以DC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系， 则()3,0D -，()3,0C ，设(),P x y ， 由2PD PC ==整理得：221090x x y -++=，即()22516x y -+=．∴点P 的轨迹是以()5,0F 为圆心，半径为4的圆．设圆F 与面11DCC D 的交点为E 、M ，作EK 垂直x 轴于点K ，则21sin 42EK EFK EF ∠===； ∴6EFK π∠=；故点P 的轨迹与长方体的面11DCC D 的交线为劣弧ME ，所以劣弧ME 的长为2463ππ⨯=. 故选：A ．二、多选题 11．（2020·广东宝安·高三开学考试）如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF 的面积与BEF 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值【答案】ABD【解析】可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确；由11//B D 平面ABCD ，可知//EF 平面ABCD ，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，1111224BEF S =⨯⨯=△，三棱锥A BEF -的体积为1134224⨯⨯=为定值，D 正确；很显然，点A 和点B 到的EF 距离是不相等的，C 错误. 故选：ABD 12．（2020·江苏赣榆一中高一月考）已知在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，将矩形ABCD 沿对角线AC 折成大小为θ的二面角B AC D --，若折成的四面体ABCD 内接于球O ，则下列说法正确的是（ ） A ．四面体ABCD 的体积的最大值是245 B ．球的体积随θ的变化而变化C ．球心O 为原矩形的两条对角线的交点D ．球O 的表面积为定值25π 【答案】ACD【解析】如图，（1）当面ACD ⊥面ABC 时，四面体ABCD 的体积最大，此时，如图，过点D 作AC 的垂线，交AC 于点E ，则DE 即为四面体ABCD 的高，由等面积法得：AC DE AD DC ⨯=⨯,∴ 125DE = , ∴四面体ABCD 的最大值为11112243433255ABC V S h =⋅=⨯⨯⨯⨯=， 故A 选项正确； （2）在四面体ABCD 内，AC 的中点O 到点,,,A B C D 的距离相等，∴点O 为外接球的球心，此时球的半径522AC R ==，球的体积242533V R ππ== ，为定值，球的表面积2425S R ππ== ，为定制，故B 选项错误，,C D 正确，故选,,A C D 13．（2020·湖北江岸·期末）向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x （01x <<）的液体，旋转容器，下列说法正确的是（ ）A ．当12x =时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同 B ．不管注入多少液体，液面都可以成正三角形形状CD 【答案】AC【解析】对于A ，当12x =时，题目等价于过正方体中心的平面截正方体为两部分， 根据对称性知两部分完全相同，所以A 正确； 对于B ，取12x =，此时液面过正方体中心，截面不可能为三角形，所以B 错误； 对于C ，当液面与正方体的体对角线垂直时，液面为如图所示正六边形时面积最大，其中正六边形的顶点均为对应棱的中点，所以液面面积的最大值为162S ==，C 正确； 对于D ，当液面过1DB 时，截面为1B NDG ，将1111D C B A 绕11C D 旋转2π，如图所示；则111DN B N DN B N DB ''+=+≥= 当D 、N 、1B '三点共线时等号成立，所以液面周长最小值为D 错误. 故选：AC.14．（2020·广东深圳·高二月考）（多选题）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1223AA AC AB ===，AB AC ⊥，点D ，E 分别是线段BC ，1BC 上的动点（不含端点），且1EC DC B C BC=．则下列说法正确的是（ ）A ．//ED 平面1ACCB ．该三棱柱的外接球的表面积为68πC ．异面直线1BC 与1AA 所成角的正切值为32 D ．二面角A EC D --的余弦值为413【答案】AD【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是矩形， 因为1EC DC B C BC=，所以11////ED BB AA ，ED 不在平面1ACC 内，1AA ⊂平面1ACC ， 所以//ED 平面1ACC ，A 项正确； 因为1223AA AC AB ===，所以3AB =， 因为AB AC ⊥，所以BC ==1BC 易知1BC 是三棱柱外接球的直径，所以三棱柱外接球的表面积为22417πππ=⨯=⎝⎭，所以B 项错误； 因为11//AA BB ，所以异面直线1BC 与1AA 所成角为1BB C ∠．在1Rt B BC 中，12BB =，BC =，所以11tan BC BB C BB ∠==C 项错误； 二面角A EC D --即二面角1A B C B --，以A 为坐标原点，以AB ，AC ，1AA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图则1(0,0,0),(3,0,0),(0,2,0),(3,0,2)A B C B ，1(3,0,2)AB ∴=，(3,2,0)BC =-，1(3,2,2)BC =--， 设平面1ABC 的法向量(,,)n x y z =，则1100n AB n B C ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，即3203220x z x y z +=⎧⎨-+-=⎩，令2x =可得(2,0,3)n =-， 设平面1BB C 的一个法向量为(,,)m x y z =，则100m BC m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3203220x y x y z -+=⎧⎨-+-=⎩，令2x =可得(2,3,0)m = 故二面角A EC D --413=，所以D 项正确． 故选：AD.三、填空题15．（2020·浙江高三月考）在2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线.已知一个圆锥的高和底面半径都为2，则用与底面呈45的平面截这个圆锥，得到的曲线是___________.【答案】抛物线【解析】因为圆锥的高和底面半径都为2，因此有, ︒tan 145OS SAO SAO AO︒∠==⇒∠=所以母线SA 与底面所成的角为45，因为用与底面呈45的平面截这个圆锥，所以该平面一定会与圆锥的某条母线(如SA )平行，由题中所给的结论可知：用与底面呈45的平面截这个圆锥，得到的曲线是抛物线.故答案为：抛物线16．（2020·江西其他（文））《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.己知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为______立方寸.（注：一丈=10尺=100寸，，答案四舍五入，只取整数．．．．．．．．．．．）【答案】317 【解析】如图，设圆半径为寸（下面长度单位都是寸），连接，已知，， 在中，，即，解得， ︒︒︒1AB =1CD =53.14,sin 22.513π≈≈r ,OA OD 152AD AB ==1OD OC CD r =-=-Rt ADO 222AD OD OA 2225(1)r r +-=13r =由得，所以， 图中阴影部分面积为扇形（平方寸）， 镶嵌在墙体中木材是以阴影部分为底面，以锯刀长为高的柱体，所以其体积为（立方寸）故答案为：317．17．（2020·河北新华·石家庄二中高二月考）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，且是等边三角形，点是侧面内的一个动点，且满足，则点所形成的轨迹长度是_______.【解析】根据题意，连接AC ，BD ，记其交点为O ，取PC 上一点为M ，连接MB ，MD ，作图如下：5sin 13AD AOD AO ∠==22.5AOD ∠=︒45AOB ∠=︒S S =214131012 6.332522AOB S πππ-=⨯⨯-⨯⨯≈△6.332550317V Sh =≈⨯≈P ABCD -ABCD 2,60,AB DAB PAD =∠=∆PB Q =PBC DQ AC ⊥Q若满足题意，又，故平面DBQ ，则点Q 只要在平面DBQ 与平面PBC 的交线上即可.假设如图所示：平面DBM 与平面DBQ 是同一个平面，则Q 点的轨迹就是线段BM.根据假设，此时直线平面DBM ，则.故三角形MOC 为直角三角形.因为三角形PAD 是等边三角形，三角形BAD 也是等边三角形，故AD ，又因为BC //AD ，故BC PB ，故三角形PBC 为直角三角形，故故在三角形PAC 中，由余弦定理可得：故在直角三角形MOC 中， 在直角三角形PBC 中， 在三角形BCM 中： 故可得：. DQ AC ⊥AC BD ⊥AC ⊥AC ⊥AC MO ⊥PB ⊥⊥2210PC PB BC +2,23,10PA AC PC ===33021023cos PCA ∠==⨯210OC MC cos PCA ==∠BC cos PCB PC ∠=1010=2222829BM BC CM BC CM cos PCB =+-⨯⨯⨯∠=27BM =故答案为. 18．（2021·福建其他）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.①当在上时，______；②点的轨迹的长度为______.【答案】【解析】 (1)当在上时,因为平面,故,又,故平面.故.又,为中点,故所以为中点.故. (2)取中点则由(1)有平面,故,又,设平面则有平面.故点的轨迹为.又此时,,故. 所以3P ABC -PA ⊥ABC 90ACB ∠=︒4CA =2PA =D AB E PAC ∆PC DE ⊥E AC AE =E E AC PA ⊥ABC PA DE ⊥PC DE ⊥DE ⊥PAC DE AC ⊥90ACB ∠=︒D AB //DE BC E AC 122AE AC ==AC F DF ⊥PAC PC DF ⊥PC DE ⊥DEF PC G ⋂=PC ⊥DGF E FG 2CF =1tan 2PA PCA AC ∠==sin PCA ∠==sin 5FG CF PCA =⋅∠==故答案为：19．（2020·全国高三专题练习（文））现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界第一运动”．早在2000多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠”，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球．1863年10月26日，英国人在伦敦成立了世界上第一个足球运动组织——英国足球协会，并统一了足球规则．人们称这一天是现代足球的诞生日．如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面，任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱．已知足球表面中的正六边形的面为20个，则该足球表面中的正五边形的面为______个，该足球表面的棱为______条．【答案】12 90【解析】足球每块黑色皮子的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其他白色皮子的边缝在一起.所以设这个足球有x 块正五边形，一共有5x 条边，其中白皮三条边和黑皮相连，又足球表面中的正六边形的面为20个，根据题意可得方程：，解得，该足球表面中的正五边形的面为12个；因为任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱，所以每条棱由两条边组成，该足球表面的棱为：条.故答案为：12；90.20．如图在三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，且2ASB BSC CSA π∠=∠=∠=，M N 、分别是AB 和SC 的中点．则异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值为______，直线SM 与面SAC 所成角大小为5203x =⨯12x =()125+206290⨯⨯÷=_________.4π 【解析】 因为2ASB BSC CSA π∠=∠=∠=，所以以S 为坐标原点，SA,SB,SC 为x,y,z 轴建立空间直角坐标系.设2SA SB SC ===，则(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1),(2,0,0),(0,0,2).M B N A C因为2(1,1,0),(0,2,1),cos ,2SM BNSM BN -==-==，所以异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值为5，面SAC 一个法向量为(0,2,0),SB =则由2cos ,22SM SB ==得π,4SM SB =，即直线SM 与面SAC 所成角大小为π4. 21.（2020·包头市第九中学高一期末）设三棱锥的底面和侧面都是全等的正三角形，是棱的中点.记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则，，中最大的是_________，最小的是________.【答案】【解析】S ABC -P SA PB AC αPB ABC βP AC B --γαβγαβ作交于，由于，， 所以为正三棱锥，由对称性知，取中点，连接，作平面，交平面于，连接， 作平面，交平面于，连接，作，交于，连接，所以， 由于，所以，由于平面，所以，由于，平面，所以，， 因为，在上，平面于，平面于， 所以.所以.所以， 由于都是锐角，所以， 由于在上，由对称性，而，则，由于也是锐角，所以，由,，所以 综上所述，三个角中的最小角是，最大角是.故答案为：①；②.四、解答题//PD CA SC D AB BC CA ==SA SB SC ==S ABC -BD PB =PD E BE EH ⊥ABC ABC H BH PF ⊥ABC ABC F BF PG AC ⊥AC G GF BE PD ⊥//PD AC BPD α=∠PF ⊥ABC PBF β=∠PG AC ⊥PF ⊥ABC PGF γ=∠sin BE EH BP BP BP BPα==>=//PD CA E PD EH ⊥ABC H PF ⊥ABC F EH PF =sin PF EH BP BPβ==sin sin αβ>,αβαβ>P SA PB CP =CP PG >sin sin PF PF PF PG CP BP γβ=>==γγβ>PB BG<sin BE EH PF BP BP BP α==>==sin PF PGγ>=αγβααβ22．（2019·北京西城·高三三模）如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AB =，13AA =，过顶点A ，1C 的平面与棱1BB ，1DD 分别交于M ，N 两点（不在棱的端点处）.（1）求证：四边形1AMC N 是平行四边形；（2）求证：AM 与AN 不垂直；（3）若平面1AMC N 与棱BC 所在直线交于点P ，当四边形1AMC N 为菱形时，求PC 长.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）=2PC .【解析】（1）依题意1AM C N ，，，都在平面1AC 上， 因此AM ⊆平面1AC ，1NC ⊆平面1AC ，又AM ⊆平面11ABB A ，1NC ⊆平面11DCC D ，平面11ABB A 与平面11DCC D 平行，即两个平面没有交点，则AM 与1NC 不相交，又AM 与1NC 共面，所以//AM 1NC ，同理可证//AN 1MC ，所以四边形1AMC N 是平行四边形；（2）因为M ，N 两点不在棱的端点处，所以11MN BD AC <=，又四边形1AMC N 是平行四边形，1MN AC ≠，则1AMC N 不可能是矩形，所以AM 与AN 不垂直；（3）如图，延长1C M 交CB 的延长线于点P ，若四边形1AMC N 为菱形，则1AM MC =，易证11Rt ABM Rt C B M ≅，所以1BM B M =，即M 为1BB 的中点， 因此112BM CC =，且1//BM CC ，所以BM 是1PCC 的中位线， 则B 是PC 的中点，所以22PC BC ==.23．（2019·全国高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为4，CD 为AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B .(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP DE ⊥？如果存在，求出BP BC 的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）//AB 平面DEF ，理由见解析；（2）13. 【解析】(1)AB∥平面DEF ，理由如下：在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 的中点，得EF∥AB.又因为AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，所以AB∥平面DEF.(2)以点D 为坐标原点，直线DB ，DC ，DA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，0)，E(01)，故DE ＝(01)．假设存在点P(x ，y ，0)满足条件，则AP ＝(x ，y ，－2)，AP ·DE 20-=，所以y =.又BP ＝(x 2-，y ，0)，PC ＝(－x ，y ，0)，BP ∥PC ，所以(x 2-)(y )＝xy -y +=把y =代入上式得4x 3=，所以BP ＝1BC 3， 所以在线段BC 上存在点P 使AP⊥DE，此时BP 1BC 3=. 24．（2019·上海市金山中学高二月考）几何特征与圆柱类似，底面为椭圆面的几何体叫做“椭圆柱”，如图所示的“椭圆柱”中，A B ''、AB 和O '、O 分别是上下底面两椭圆的长轴和中心，1F 、2F 是下底面椭圆的焦点，其中长轴的长度为2，两中心O '、O M 、N 分别是上、下底面椭圆的短轴端点，且位于平面AA B B ''的两侧.（1）求证：OM ∥平面A B N ''；（2）求点M 到平面A B N ''的距离；（3）若点Q 是下底面椭圆上的动点，Q '是点Q 在上底面的投影，且1Q F '、2Q F '与下底面所成的角分别为α、β，试求出tan()αβ+的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2（3）tan()[5αβ+∈-. 【解析】（1）连接,,O M O N ON '',M N 分别为上下椭圆的短轴端点 //O M ON '∴∴四边形O MPN '为平行四边形 //OM O N '∴O N '⊂平面A B N ''，OM ⊄平面A B N '' //OM ∴平面A B N ''（2）连接OO '由“椭圆柱”定义可知OO '⊥平面12F NFON ⊂平面12F NF OO ON '∴⊥ O N '∴==由对称性可知：A N B N ''= O N A B '''∴⊥1122A B N S A B O N ''∆'''∴=⋅=⨯=又12A B M S A B O M ''∆'''=⨯⋅=，OO '1133N A B M A B M V S OO ''''-∆'∴=⋅==设点M 到平面A B N ''的距离为d ，则13M A B N N A B M A B N V V S d ''''''--∆==⋅==解得：7d =，即点M 到平面A B N ''的距离为7（3）连接12,QF QF由题意知：QQ '⊥平面12F F Q，QQ '=1Q FQ '∴∠即为1Q F'与下底面所成角；2Q F Q '∠即为2Q F '与下底面所成角 即1Q FQ α'∠=，2Q F Q β'∠= 设1QF m =，由椭圆定义知：2QF m =1tan QQ QF α'∴==，2tan QQ QF β'== ()tan tan tan 1tan tan 1αβαβαβ+∴+===-21m ⎡⎤∈⎣⎦[]265,4m∴-+-∈-- ()tan 5αβ⎡∴+∈-⎢⎣⎦25.（2016·天津高考真题（理））如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB=BE=2.（Ⅰ）求证：EG∥平面ADF ；（Ⅱ）求二面角O −EF −C 的正弦值；（Ⅲ）设H 为线段AF 上的点，且AH=23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）√33；（Ⅲ）√721.【解析】依题意，OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为点，分别以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0,0,0)，A(−1,1,0),B(−1,−1,0),C(1,−1,0),D(1，1,0),E(−1,−1,2),F(0,0,2),G(−1,0,0).（Ⅰ）证明：依题意，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,2). 设n 1=(x,y,z)为平面ADF 的法向量，则{n 1⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即{2x =0x −y +2z =0 . 不妨设z =1，可得n 1=(0,2,1)，又EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−2)，可得EG⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1=0， 又因为直线EG ⊄平面ADF ，所以EG//平面ADF .（Ⅱ）解：易证，OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)为平面OEF 的一个法向量. 依题意，EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,2).设n 2=(x,y,z)为平面CEF 的法向量，则{n 2⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 2⋅CF⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即{x +y =0−x +y +2z =0 . 不妨设x =1，可得n 2=(1,−1,1).因此有cos <OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2>=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2|=−√63，于是sin <OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2>=√33， 所以，二面角O −EF −C 的正弦值为√33.（Ⅲ）解：由AH =23HF ，得AH =25AF .因为，所以AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(25,−25,45)，进而有H(−35,35,45)，从而BH⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(25,85,45)，因此cos <BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2>=BH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2|BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2|=−√721. 所以，直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为√721.26．（2018·天津高考真题（理））如图，且AD =2BC ，,且EG =AD ，且CD =2FG ，，DA =DC =DG =2.（I ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：；（II ）求二面角的正弦值；（III ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ). 【解析】依题意，可以建立以D 为原点， 分别以，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D （0，0，0），A （2，0，0），B （1，2，0），C （0，2，0），//AD BC AD CD ⊥//EG AD //CD FG DG ABCD ⊥平面MN CDE 平面E BC F --103DA DC DGE （2，0，2），F （0，1，2），G （0，0，2），M （0，，1），N （1，0，2）．（Ⅰ）依题意=（0，2，0），=（2，0，2）．设n 0=(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量，则 即不妨令z =–1，可得n 0=（1，0，–1）．又=（1，，1），可得，又因为直线MN 平面CDE ，所以MN ∥平面CDE ．（Ⅱ）依题意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．设n =（x ，y ，z ）为平面BCE 的法向量，则 即 不妨令z =1，可得n =（0，1，1）．设m =（x ，y ，z ）为平面BCF 的法向量，则 即不妨令z =1，可得m =（0，2，1）．因此有cos <m ，n>=，于是sin <m ，n．所以，二面角E –BC–F ． 32DC DE 0000DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 20220y x z ，，=⎧⎨+=⎩MN 32-00MN n ⋅=⊄BC ()122BE =-，，CF 00n BC n BE ，，⎧⋅=⎨⋅=⎩0220x x y z -=⎧⎨-+=⎩，，00m BC m CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，020x y z -=⎧⎨-+=⎩，，10⋅=m nm n（Ⅲ）设线段DP 的长为h （h ∈［0，2］），则点P 的坐标为（0，0，h ），可得． 易知，=（0，2，0）为平面ADGE 的一个法向量，故=sinh0，2］．所以线段27．（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）如图，ABC 为正三角形，且2BC CD ==，CD BC ⊥，将ABC 沿BC 翻折.（1）若点A 的射影在BD 上，求AD 的长；（2）若点A 的射影在BCD 中，且直线AB 与平面ACD ，求AD 的长. 【答案】（1）2 （2【解析】（1）过A 作AE BD ⊥交BD 于E ，则AE ⊥平面BCD .取BC 中点O ，连接AO ，OE ，∵AE ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴AE BC ⊥，又ABC 是正三角形，∴BC AO ⊥，又AE AO A =，AE ，AO ⊂平面AOE ，∴BC ⊥平面AOE ，∴BC OE ⊥.又BC CD ⊥，O 为BC 的中点，∴E 为BD 的中点.()12BP h =--，，DC BP DCcos BP DC BP DC h ⋅⋅==DP∵2BC CD ==，∴112OE CD ==，AO =BD =∴DE =AE =∴2AD =；（2）取BC 中点为,O 过点A 作平面BCD 的垂线，垂足为E ,连接AO ,因为,AB AC OE BC =∴⊥.以O 为原点，以BC 为x 轴，以OE 为y 轴，以平面BCD 的过O 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设二面角D BC A --为θ，因为AE ⊥平面BCD ，与（1）同理可证BC ⊥平面AOE ，OE BC ⊥，AOE θ∴∠=，AO则)A θθ，(1,0,0)B -，(1,0,0)C ，(1,2,0)D .∴(1,)BA θθ=，(0,2,0)CD =，(1)CA θθ=-，设平面ACD 的法向量为(,,)n x yz =，则200n CD y n CA x y z θθ⎧⋅==⎪⎨⋅=-⋅+⋅=⎪⎩， 令1z =，得(3sin ,0,1)n θ=.∴cos ,n BA <>==解得sin 6θ=. ∴1(0,,22A ，又(1,2,0)D ，∴AD ==。