最新2019年中考数学试题分类汇编：一元二次方程(含答案解析,精美排版) (1)

一元二次方程
一．选择题
1.（2018•广东）若关于x的方程2904xxa有两个不相等的实数根，则实数a的取值
范围是
A.2a≥ B.2a≤ C.2a＞ D.2a＜
【答案】C.

【解析】△＝1－4（94a）＞0，即1＋4a－9＞0，所以，
2a＞

2. （2018•甘肃兰州）一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为
A. 17)4(2x B. 15)4(2x

C. 17)4(2x D. 15)4(2x
3. （2018•甘肃兰州）股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能
再张，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。已知一支股票某天跌停，
之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是

A. 1011)1(2x B. 910)1(2x

C. 101121x D. 91021x
4. （2018•湖北滨州）一元二次方程2414xx的根的情况是( )
A.没有实数根 B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根

5. （2018•湖北滨州）用配方法解一元二次方程01062xx时，下列变形正确的为

A.1)32x（ B.1)32x（
C.19)32x（ D.19)32x（
6. （2018•湖南衡阳）若关于x的方程230xxa有一个根为-1，则另一个根为（ B ）．
A．-2 B．2 C．4 D．-3
7. （2018•湖南衡阳）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900
平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（ B ）．

A．10900xx B．10900xx C．1010900x

D．210900xx
8. （2018•益阳）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从
20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（）
A． 20（1+2x）=80 B． 2×20（1+x）=80 C． 20（1+x2）=80 D． 20（1+x）2=80
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：增长率问题．
分析：根据第一年的销售额×（1+平均年增长率）2=第三年的销售额，列出方程即可．
解答：解：设增长率为x，根据题意得20（1+x）2=80，
故选D．
点评：本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化
后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增
长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“﹣”）．

9. （2018•湖南株洲）有两个一元二次方程：M：20axbxcN：20cxbxa，其
中0ac，以下列四个结论中，错误的是
A、如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；
B、如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；

C、如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是1x
【试题分析】
本题是关于二元一次方程的判别式，及根与系数的关系：
A、∵M有两个不相等的实数根
∴△＞0

即240bac

而此时N的判别式△＝240bac，故它也有两个不相等的实数根；
B、M的两根符号相同：即120cxxa，而N的两根之积＝ac＞0也大于0，故N的两个
根也是同号的。
C、如果5是M的一个根，则有：2550abc①，我们只需要考虑将15代入N方程看是

否成立，代入得：110255cba②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25
得到，故②式成立。
D、比较方程M与N可得：

故可知，它们如果有根相同的根可是1或-1
答案为：D

10. （2018•成都）关于x的一元二次方程0122xkx有两个不相等实数根，则k的
取值范围是
（A）1k （B）1k （C）0k （D）1k且0k

-
2
2
()()1 1acxacxx



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2019-2020年中考真题汇编：一元二次方程考点1 一元二次方程的解法（1---8每小题2分，9--10题各5分，共26分） 1、（2015•山西）我们解一元二次方程3x 2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x （x ﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x ﹣2=0，进而得到原方程的解为x 1=0，x 2=2．这种解法体现的数学思想是（） A ．转化思想 B ．函数思想 C ．数形结合思想 D ．公理化思想 2、（2015•烟台）如果x 2﹣x ﹣1=（x+1）0，那么x 的值为（） A ． 2或﹣1 B ． 0或1 C ． 2 D ． ﹣1 3.（2015•重庆）一元二次方程x 2﹣2x=0的根是（） A ． x 1=0，x 2=﹣2 B ． x 1=1，x 2=2 C ． x 1=1，x 2=﹣2 D ．x 1=0，x 2=2 4、（2015•安顺）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x 2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（） A ． 14 B ． 12 C ． 12或14 D ．以上都不对 5、（2015年浙江丽水）解一元二次方程0322=-+x x 时，可转化为两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程 .6、（2015年大庆）方程3（x ﹣5）2=2（x ﹣5）的根是。

7、（2015•柳州）若x=1是一元二次方程x 2+2x+m=0的一个根，则m 的值为．8、（2015•泰安）方程：（2x+1）（x ﹣1）=8（9﹣x ）﹣1的根为．9、（2015年广东）解方程：2320x x -+=.10、（2015•大连）用配方法解一元二次方程：x 2﹣6x ﹣4=0．考点2 一元二次方程根的判别式（1---6每小题2分，7-- 8题各4分，共20分） 1、（2015年广东珠海）一元二次方程2104x x ++=的根的情况是【】 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定根的情况2.（2015•广东）若关于x 的方程2904x x a +-+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 A.2a ≥B.2a ≤C.2a ＞D.2a ＜3、（2015•成都）关于x 的一元二次方程0122=-+x kx 有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（A ）1->k （B ）1-≥k （C ）0≠k （D ）1->k 且0≠k4、（2015年浙江温州）若关于x 的一元二次方程0442=+-c x x 有两个相等实数根，则c 的值是【】A. 1-B. 1C. 4-D. 4 5、（2015年广东）若关于x 的方程2904x x a +-+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是【】A. 2a ≥B. 2a ≤C. 2a ＞D. 2a ＜6、(2015·湖北荆门)若关于x 的一元二次方程2450x x a -+-=有实数根，则a 的取值范围是（）A ．1a ≥B ．1a >C ．1a ≤D ．1a <7、（2015年广东梅州9分）已知关于x 的方程2220x x a ++-=. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根.8.（2015•河南）已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣2）=|m|．（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m 的值及方程的另一个根．考点3 一元二次方程根与系数的关系（1---7每小题2分，8题4分，共,18分）1、（2015年浙江金华）一元二次方程2x 4x 30+-=的两根为1x ，2x ，则12x x ⋅的值是【】A. 4B. -4C. 3D. -3 2、（2015•凉山州）已知实数m ，n 满足3m 2+6m ﹣5=0，3n 2+6n ﹣5=0，且m ≠n ，则= ．3、（2015•荆门）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+3）x+m+1=0的两个实数根为x 1，x 2，若x 12+x 22=4，则m 的值为．4、（2015•南京）已知方程x 2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是，m 的值是．5、(2015·湖北荆门，15题，3分)已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=的两个实数根为1x ，2x ，若22124x x +=，则m 的值为．6、（2015·湖北黄冈，10题，3分）若方程2210x x --= 的两根分别为1x ，2x ，则1212x x x x +-的值为_________．．7、（2015•四川泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为 .8.（2015•大庆）已知实数a ，b 是方程x 2﹣x ﹣1=0的两根，求+的值．考点4 一元二次方程的应用（1---5每小题2分，6---9题各4分，共36分） 1、（2015年广东佛山）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m ，另一边减少了3m ，剩余一块面积为202m 的矩形空地，则原正方形空地的边长是【】A. 7mB. 8mC. 9mD. 10m2、(2015·湖北衡阳)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（）．A．()x x+= C．()x+= D．()101090010900x x-= B．()10900++=x x210900⎡⎤⎣⎦3、（2015•遵义）2015年1月20日遵义市政府工作报告公布：2013年全市生产总值约为1585亿元，经过连续两年增长后，预计2015年将达到2180亿元．设平均每年增长的百分率为x，可列方程为．4、（2015•达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x元，可列方程为．5、（2015•毕节市）一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是L．6、（2015•巴中）如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．7、（2015•连云港）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．8、（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？9、（2015•东营）2013年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元．（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）分类训练七一元二次方程考点1 一元二次方程的解法1、A上述解题过程利用了转化的数学思想．解析解：我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是转化思想，故选A．2、C 解析首先利用零指数幂的性质整理一元二次方程，进而利用因式分解法解方程得出即可．解：∵x2﹣x﹣1=（x+1）0，∴x2﹣x﹣1=1，即（x﹣2）（x+1）=0，解得：x1=2，x2=﹣1，当x=﹣1时，x+1=0，故x≠﹣1，故选：C．3、D解析：先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，x﹣2=0，x1=0，x2=2，故选D．4、解析：易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．解：解方程x2﹣12x+35=0得：x=5或x=7．当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．5、30x +=（答案不唯一）.【解析】∵由2230x x +-=得()()310x x +-=， ∴30x +=或10x -=.6、x 1=5，x 2=7、﹣3．解析：将x=1代入方程得到关于m 的方程，从而可求得m 的值．解：将x=1代入得：1+2+m=0，解得：m=﹣3．故答案为：﹣3．8、﹣8或．解析：首先去括号，进而合并同类项，再利用十字相乘法分解因式得出即可．解：（2x+1）（x ﹣1）=8（9﹣x ）﹣1 整理得：2x 2﹣x ﹣1=72﹣8x ﹣1 2x 2+7x ﹣72=0，则（x+8）（2x ﹣9）=0，解得：x 1=﹣8，x 2=．故答案为：﹣8或．9、解：(1)(2)0--=x x ，∴10-=x 或20-=x . ∴11=x ，22=x .10、解析：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题解析：方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可．解：方程变形得：3（x ﹣5）2﹣2（x ﹣5）=0，分解因式得：（x ﹣5）[3（x ﹣5）﹣2]=0，可得x ﹣5=0或3x ﹣17=0，解得：x 1=5，x 2=．故答案为：x 1=5，x 2=步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．解：移项得x 2﹣6x=4，配方得x 2﹣6x+9=4+9，即（x ﹣3）2=13，开方得x ﹣3=±， ∴x 1=3+，x 2=3﹣．考点2 一元二次方程根的判别式 1、B.【解析】∵对于方程2104x x ++=有2114104D =-创=， ∴方程2104x x ++=有两个相等的实数根. 故选B.2、C.．【解析】△＝1－4（94a -+）＞0，即1＋4a －9＞0，所以，2a ＞3、D ．【解析】：这是一道一元二次方程的题，首先要是一元二次，则0k ≠，然后有两个不想等的实数根，则0∆>，则有224(1)01k k ∆=-⨯->⇒>-，所以1k >-且0k ≠，因此选择D 。

2019中考数学压轴题一元二次方程精选解析

2019中考数学压轴题一元二次方程精选解析例1．已知关于x的方程x2－4|x|＋3＝k．（1）当k为何值时，方程有4个互不相等的实数根？（2）当k为何值时，方程有3个互不相等的实数根？（3）当k为何值时，方程有2个互不相等的实数根？（4）是否存在实数k，使得方程只有1个实数根？若存在，求k的值和方程的根；若不存在，请说明理由．解析：例2．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4x2＋4(m－1)x＋m2＝0的两个非零实数根，则x1与x2能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由．解析：例3．已知α、β为关于x的方程x2－2mx＋3m＝0的两个实数根，且(α－β)2＝16，如果关于x的另一个方程x2－2mx＋6m－9＝0的两个实数根都在α和β之间，求m的值．解析：例1．已知关于x的方程x2－4|x|＋3＝k．（1）当k为何值时，方程有4个互不相等的实数根？（2）当k为何值时，方程有3个互不相等的实数根？（3）当k为何值时，方程有2个互不相等的实数根？（4）是否存在实数k，使得方程只有1个实数根？若存在，求k的值和方程的根；若不存在，请说明理由．解析：（1）令t＝|x|，则原方程化为：t2－4t＋3－k＝0△＝(－4)2－4(3－k)＝4k＋4 ················· 1分要使原方程有四个互不相等的实数根，则方程t2－4t＋3－k＝0必须有两个不相等的实数根∴4k＋4＞0，∴k＞－1 ···················· 2分同时t1·t2＝3－k＞0，∴k＜3 ················ 3分∴当－1＜k＜3时，原方程有4个互不相等的实数根······· 4分（2）要使原方程有3个互不相等的实数根，则方程t2－4t＋3－k＝0必须有一个零根和一个正根∴4k＋4＞0，∴k＞－1···················· 5分同时t1·t2＝3－k＝0，∴k＝3 ················· 6分∴当k＝3时，原方程有3个互不相等的实数根·········· 7分（3）要使原方程有2个互不相等的实数根，则方程t2－4t＋3－k＝0必须只有一个非零根∴4k＋4＝0，∴k＝－1 ···················· 8分且当x＝0时，3－k≠0，即k≠3 ················ 9分∴当k＝－1时，原方程有2个互不相等的实数根·········10分（4）要使原方程只有1个实数根，则方程t2－4t＋3－k＝0必须有两个零根∴4k＋4＝0，∴k＝－1 ····················11分同时t1·t2＝3－k＝0，∴k＝3 ·················12分∴不存在符合条件的k值···················13分例2．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4x2＋4(m－1)x＋m2＝0的两个非零实数根，则x1与x2能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由．解析：∵关于x的一元二次方程4x2＋4(m－1)x＋m2＝0有两个非零实数根∴△＝[4(m－1)]2－4×4m2＝－32m＋16≥0∴m≤1 2又x1＋x2＝1－m，x1x2＝14m2当x＋3＝0时，－m＝0，m＝0假设x 1，x 2能同号，则有以下两种可能：①若x 1＞0，x 2＞0，则：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＞0x 1x 2＞0 即 ⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞0 1 4m 2＞0 解得m ＜1且m ≠0 此时m 的取值范围是m ≤12且m ≠0②若x 1＜0，x 2＜0，则：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＜0x 1x 2＞0 即 ⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜0 1 4 m 2＞0 解得m ＞1（不合题意，舍去）故当m ≤12且m ≠0时，方程的两个实数根同号例3．已知α、β为关于x 的方程x 2－2mx ＋3m ＝0的两个实数根，且(α－β)2＝16，如果关于x 的另一个方程x 2－2mx ＋6m －9＝0的两个实数根都在α和β之间，求m 的值．解析：∵α、β为方程x 2－2mx ＋3m ＝0的两个实数根∴α＋β＝2m ，αβ＝3m∵(α－β)2＝16，∴(α＋β)2－4αβ＝16∴4m 2－12m ＝16，解得m 1＝－1，m 2＝4方法一：①当m 1＝－1时方程x 2－2mx ＋3m ＝0化为：x 2＋2x －3＝0，解得：α＝－3，β＝1 方程x 2－2mx ＋6m －9＝0化为：x 2＋2x －15＝0，解得：x 1＝－5，x 2＝3 ∵－5和3都不在－3和1之间，∴m ＝－1不合题意，舍去 ②当m ＝4时方程x 2－2mx ＋3m ＝0化为：x 2－8x ＋12＝0，解得：α＝2，β＝6 方程x 2－2mx ＋6m －9＝0化为：x 2－8x ＋15＝0，解得：x 1＝3，x 2＝5 ∵3和5都在2和6之间，∴m ＝4综合①②可得m ＝4方法二：设y ＝x 2－2mx ＋6m －9，则该函数的图象为开口向上的抛物线 ∵方程x 2－2mx ＋6m －9＝0的两个实数根都在α和β之间 ∴⎩⎨⎧α 2－2m α＋6m －9＞0β 2－2m β＋6m －9＞0两式相加得α 2＋β 2－2m (α＋β)＋12m －18＞0 即(α＋β)2－2αβ－2m (α＋β)＋12m －18＞0 ∴4m 2－6m －4m 2＋12m －18＞0，∴m ＞3∴m ＝4。

2019年中考数学一元二次方程专题复习试卷含详解

2018-2019学年初三数学专题复习一元二次方程一、单选题1. 已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（）A. ﹣3B. ﹣2C. 3D. 62.一元二次方程（x﹣2）2=3（x﹣2）的根是（）A. 2B. 5C. 2和5D. 2和33.方程x（x+1）=0的解是（）A. x=0B. x=﹣1C. x1=0，x2=﹣1D. x1=0，x2=14.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D.5.一元二次方程根的情况是（）.A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根6.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A. k≥-1且k≠0B. k≥-1C. k≤1D. k≤1且k≠07.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( )A. 560(1＋x)2＝315B. 560(1－x)2＝315C. 560(1－2x)2＝315D. 560(1－x2)＝3158.某商店将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件，现商家采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件涨0.5元，其销量就会减少10件，那么要使利润为640元，需将售价定为（）A. 16元B. 12元C. 16元或12元D. 14元9. 一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根10.已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，则x1+x2的值是（）A. 3B. -3C. 1D. -111.用配方法解方程x2+4x=﹣2下列配方正确的是（）A. （x+4）2=14B. （x+2）2=6C. （x+2）2=2D. （x﹣2）2=212.下列方程中两个实数根的和等于2的方程是（）A. 2x2﹣4x+3=0B. 2x2﹣2x﹣3=0C. 2y2+4y﹣3=0D. 2t2﹣4t﹣3=013.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值为（）A. B. C. D.14.若关于的方程没有实数根，则的取值范围是A. B. C. D.15.已知一个直角三角形的两条直角边恰好是方程2x2﹣9x+8=0的两根，则此三角形的面积为（）A. 1B. 2C. 3D. 416.已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则的值为（）A. ﹣402B.C.D.17.若α、β是方程x2+2x﹣2007=0的两个实数根，则α2+3α+β的值（）A. 2007B. 2005C. ﹣2007D. 4010二、填空题18.若m是方程的一个根，则代数式=________.19.若方程x2﹣3x﹣3=0的两根为x1，x2，则x12+3x2═________．20.n是方程x2﹣2x﹣1=0的一个根，则代数式2n﹣n2的值是________21.已知x=2是关于x的方程x2﹣6x+m=0的一个根，则m=________．22.已知实数m、n满足m2﹣4m﹣1=0，n2﹣4n﹣1=0，则+ =________．三、计算题23.2x2+3x+1=0．24.用适当的方法解下列方程：（2x﹣1）（x+3）=4．25.解下列一元二次方程。

2019年中考数学总复习：一元二次方程考试试卷详解

2019年中考数学总复习：一元二次方程考试试卷详解试卷一一．选择题（共8小题）1．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a的值为（）A．1或4 B．﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或﹣4考点：一元二次方程的解．专题：计算题．分析：将x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0，再解关于a的一元二次方程即可．解答：解：∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，∴4+5a+a2=0，∴（a+1）（a+4）=0，解得a1=﹣1，a2=﹣4，故选：B．点评：本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把x的值代入，再解关于a的方程即可．2．已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为（）A． 2 B．0 C0或2 D．0或﹣2考点：一元二次方程的解．分析：直接把x=2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．解答：解：∵x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，∴4﹣4m+4=0，∴m=2．故选：A．点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．3．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2考点：解一元二次方程-直接开平方法．专题：计算题．分析：利用直接开平方法得方程m（x+h）2+k=0的解x=﹣h±，则﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，再解方程m（x+h﹣3）2+k=0得x=3﹣h±，所以x1=0，x2=5．解答：解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=﹣h±，而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，所以﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，方程m（x+h﹣3）2+k=0的解为x=3﹣h±，所以x1=3﹣3=0，x2=3+2=5．故选：B．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．4．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（）A．x1=x2=1 B．x1=1+，x2=﹣1﹣C．x1=1+，x2=1﹣D．x1=﹣1+，x2=﹣1﹣考点：解一元二次方程-配方法．专题：计算题．分析：方程变形后，配方得到结果，开方即可求出值．解答：解：方程x2﹣2x﹣1=0，变形得：x2﹣2x=1，配方得：x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x2=1﹣．故选：C．点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：因式分解．分析：直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根解答：解：x2﹣x﹣2=0（x﹣2）（x+1）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．故选：D．点评：此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．6．一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≤1考点：根的判别式．分析：根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可．解答：解：∵方程x2﹣2x+m=0总有实数根，∴△≥0，即4﹣4m≥0，∴﹣4m≥﹣4，∴m≤1．故选：D．点评：本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．7．若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．解答：解：两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2．A、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选：B．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负．8．已知m，n是方程x2﹣x﹣1=0的两实数根，则+的值为（）A．﹣1 B﹣C．D．1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：先根据根与系数的关系得到m+n=1，mn=﹣1，再利用通分把+变形为，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：根据题意得m+n=1，mn=﹣1，所以+===﹣1．故选：A．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．二．填空题（共8小题）9．为了美化环境，某市加大对绿化的投资，2007年用于绿化的投资20万元，2009年用于绿化的投资是25万元，求这两年绿化投资的平均增长率，设这两年绿化投资的平均增长率为x，根据题意所列的方程为20×（1+x）2=25 ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：2009年绿化投资=2007年的绿化投资×（1+两年绿化投资的平均增长率）2，把相关数值代入即可求解．解答：解：∵2007年用于绿化的投资20万元，这两年绿化投资的平均增长率为x，∴2008年的绿化投资为20×（1+x），∴2009年的绿化投资为20×（1+x）×（1+x）=20×（1+x）2，∴可列方程为20×（1+x）2=25，故答案为：20×（1+x）2=25．点评：本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b，得到2009年绿化投资的等量关系是解决本题的关键．10一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a= 1 ．考点：一元二次方程的定义．专题：计算题；待定系数法．分析：根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．解答：解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，∴a+1≠0且a2﹣1=0，∴a=1．故答案为：1．点评：本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．11．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k= 2 ．考点：一元二次方程的解．专题：待定系数法．分析：把x=1代入已知方程列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值．解答：解：依题意，得2×12﹣3k×1+4=0，即2﹣3k+4=0，解得，k=2．故答案是：2．点评：本题考查了一元二次方程的解的定义．此题是通过代入法列出关于k的新方程，通过解新方程可以求得k的值．12关于x的一元二次方程x2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为 6 ．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：根据判别式的意义得到△=（﹣5）2﹣4k＞0，解不等式得k＜，然后在此范围内找出最大整数即可．解答：解：根据题意得△=（﹣5）2﹣4k＞0，解得k＜，所以k可取的最大整数为6．故答案为6．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．13．方程x2﹣3x=0的根为x1=0，x2=3 ．考点：解一元二次方程-因式分解法．分析：根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解得原方程的解．解答：解：因式分解得，x（x﹣3）=0，解得，x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3．点评：本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．14．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：几何图形问题．分析：设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．解答：解：设道路的宽为xm，由题意得：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．15．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得x2﹣70x+825=0 ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：方程思想．分析：本题设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80﹣2x）cm，宽是（60﹣2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出．解答：解：由题意得：（80﹣2x）（60﹣2x）=1500整理得：x2﹣70x+825=0，故答案为：x2﹣70x+825=0．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，要学会通过图形求出面积．16．某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划2015年绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是20% ．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．解答：解：设这个增长率是x，根据题意得：2000×（1+x）2=2880解得：x1=20%，x2=﹣220%（舍去）故答案为：20%．点评：本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．三．解答题（共8小题）17．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，求k的值．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．分析：根据根的判别式令△=0，建立关于k的方程，解方程即可．解答：解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴[﹣（k﹣1）]2﹣4（k﹣1）=0，整理得，k2﹣3k+2=0，即（k﹣1）（k﹣2）=0，解得：k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2．∴k=2．点评：本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．18．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？考点：一元二次方程的应用．专题：应用题．分析：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．解答：解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得 x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20．答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．19．电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．（1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x．等量关系为：1月份的销售量×（1+增长率）2=3月份的销售量，把相关数值代入求解即可．（2）根据（1）求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案．解答：解：（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，根据题意列方程：150（1+x）2=216，解得x1=﹣220%（不合题意，舍去），x2=20%．答：求该品牌电动自行车销售量的月均增长率20%．（2）二月份的销量是：150×（1+20%）=180（辆）．所以该经销商1至3月共盈利：（2800﹣2300）×（150+180+216）=500×546=273000（元）．点评：本题考主要查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．20天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？考点：一元二次方程的应用．专题：应用题．分析：首先根据共支付给旅行社旅游费用27000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去黄果树风景区旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x﹣25）人，每人降低20元，共降低了20（x﹣25）元．实际每人收了[1000﹣20（x﹣25）]元，列出方程求解．解答：解：设该单位去具有喀斯特地貌特征的黄果树旅游人数为x人，则人均费用为1000﹣20（x﹣25）元由题意得 x[1000﹣20（x﹣25）] =27000整理得x2﹣75x+1350=0，解得x1=45，x2=30．当x=45时，人均旅游费用为1000﹣20（x﹣25）=600＜700，不符合题意，应舍去．当x=30时，人均旅游费用为1000﹣20（x﹣25）=900＞700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游．点评：考查了一元二次方程的应用．此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．21某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 2.6（1+x）2万元．（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6（1+x），则第三年的可变成本为2.6（1+x）2，故得出答案；（2）根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可．解答：解：（1）由题意，得第3年的可变成本为：2.6（1+x）2，故答案为：2.6（1+x）2；（2）由题意，得4+2.6（1+x）2=7.146，解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．点评：本题考查了增长率的问题关系的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是关键．22．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？考点：一元二次方程的应用；分式方程的应用．专题：行程问题．分析：（1）利用原工作时间﹣现工作时间=4这一等量关系列出分式方程求解即可；（2）根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可．解答：解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：﹣=4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．点评：本题考查了分式方程及一元二次方程的应用，解分式方程时一定要检验．23．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？考点：一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：利用销售利润=售价﹣进价，根据题中条件可以列出利润与x的关系式，求出即可．解答：解：设每个商品的定价是x元，由题意，得（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]=2000，整理，得x2﹣110x+3000=0，解得x1=50，x2=60．当x=50时，进货180﹣10（50﹣52）=200个＞180个，不符合题意，舍去；当x=60时，进货180﹣10（60﹣52）=100个＜180个，符合题意．答：当该商品每个定价为60元时，进货100个．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用；找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．24．某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．（1）求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；（2）2014年这种产品的产量应达到多少万件？考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）根据提高后的产量=提高前的产量（1+增长率），设年平均增长率为x，则第一年的常量是100（1+x），第二年的产量是100（1+x）2，即可列方程求得增长率，然后再求第4年该工厂的年产量．（2）2014年的产量是100（1+x）．解答：解：（1）2013年到2015年这种产品产量的年增长率x，则100（1+x）2=121，解得 x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（舍去），答：2013年到2015年这种产品产量的年增长率10%．（2）2014年这种产品的产量为：100（1+0.1）=110（万件）．答：2014年这种产品的产量应达到110万件．点评：考查了一元二次方程的应用，本题运用增长率（下降率）的模型解题．读懂题意，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键．试卷二一．选择题（共8小题）1．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x的方程为（）A．x（5+x）=6 B．x（5﹣x）=6 C．x（10﹣x）=6 D．x（10﹣2x）=6考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：几何图形问题．分析：一边长为x米，则另外一边长为：5﹣x，根据它的面积为6平方米，即可列出方程式．解答：解：一边长为x米，则另外一边长为：5﹣x，由题意得：x（5﹣x）=6，故选：B．点评：本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式．2．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=15考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：销售问题．分析：根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）=15即可．解答：解：设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4﹣0.5x）=15，故选：A．点评：此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．3．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（）A．20 B．40 C．100 D．120考点：一元二次方程的应用．专题：判别式法．分析：设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，由长方形的周长公式得出宽为（40÷2﹣x）cm，根据长方形的面积公式列出方程x（40÷2﹣x）=a，整理得x2﹣20x+a=0，由△=400﹣4a≥0，求出a≤100，即可求解．解答：解：设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得x（40÷2﹣x）=a，整理，得x2﹣20x+a=0，∵△=400﹣4a≥0，解得a≤100，故选：D．点评：本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，找到等量关系并列出方程是解题的关键．4．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）=28 B． x（x﹣1）=28 C．x（x+1）=28 D．x（x﹣1）=28考点：由实际问题抽象出一元二次方程．分析：关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．解答：解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为： x（x﹣1）=4×7．故选：B．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．5．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A． 1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．考点：一元二次方程的解．专题：计算题．分析：由一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，将x=0代入方程得到关于a的方程，求出方程的解得到a的值，将a的值代入方程进行检验，即可得到满足题意a的值．解答：解：∵一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，∴将x=0代入方程得：a2﹣1=0，解得：a=1或a=﹣1，将a=1代入方程得二次项系数为0，不合题意，舍去，则a的值为﹣1．故选：B．点评：此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．6．一元二次方程x2﹣1=0的根为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=1，x2=﹣1 D．x1=0，x2=1考点：解一元二次方程-直接开平方法．专题：压轴题．分析：首先把﹣1移到方程的右边，再两边直接开平方即可．解答：解：x2﹣1=0，移项得：x2=1，两边直接开平方得：x=±1，故选：C．点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．7．三角形的两边分别为3和5，第三边是方程x2﹣5x+6=0的解，则第三边的长为（）A． 2 B．3 C．2或3 D．无法确定考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．专题：计算题．分析：求出方程的解得到x的值，即可确定出第三边长．解答：解：方程x2﹣5x+6=0，变形得：（x﹣2）（x﹣3）=0，解得：x=2或x=3，当x=2时，三角形三边分别为2，3，5，不成立，舍去，则第三边为3．故选B点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．方程x（x+1）=x+1的解是（）A． 1 B．0 C．﹣1或0 D．1或﹣1考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：方程变形后，利用因式分解法求出解即可．解答：解：方程移项得：x（x+1）﹣（x+1）=0，分解因式得：（x﹣1）（x+1）=0，解得：x=1或x=﹣1，故选D．点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．二．填空题（共8小题）9．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：几何图形问题．分析：设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．解答：解：设道路的宽为xm，由题意得：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．10．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得x2﹣70x+825=0 ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：方程思想．分析：本题设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80﹣2x）cm，宽是（60﹣2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出．解答：解：由题意得：（80﹣2x）（60﹣2x）=1500整理得：x2﹣70x+825=0，故答案为：x2﹣70x+825=0．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，要学会通过图形求出面积．11．某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划2015年绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是20% ．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．解答：解：设这个增长率是x，根据题意得：2000×（1+x）2=2880解得：x1=20%，x2=﹣220%（舍去）故答案为：20%．点评：本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．12．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为20% ．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可．解答：解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，125（1﹣x）2=80，解得x1=0.2=20%，x2=1. 8（不合题意，舍去）；故答案为：20%点评：本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程得依据是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格．13．一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12 m．考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：根据“如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多2米，利用矩形的面积公式列出方程即可．解答：解：∵长减少2m，菜地就变成正方形，∴设原菜地的长为x米，则宽为（x﹣2）米，根据题意得：x（x﹣2）=120，解得：x=12或x=﹣10（舍去），故答案为：12．点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．14．已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 4 ．考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方．专题：压轴题；整体思想．分析：已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可确定出最小值．解答：解：∵m﹣n2=1，即n2=m﹣1≥0，m≥1，∴原式=m2+2m﹣2+4m﹣1=m2+6m+9﹣12=（m+3）2﹣12，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（1+3）2﹣12=4．故答案为：4．点评：此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．已知关于x的一元二次方程ax2+x﹣b=0的一根为﹣1，则a﹣b的值是 1 ．考点：一元二次方程的解．分析：将x=﹣1代入已知一元二次方程，通过移项即可求得（a﹣b）的值．解答：解：∵关于x的一元二次方程ax2+x﹣b=0的一根为﹣1，∴x=﹣1满足该方程，∴a﹣1﹣b=0，解得，1．。

2019版中考数学《2.2一元二次方程》导向(含答案)

§2.2 一元二次方程一、选择题1．(原创题)若a是方程x2－x－1＝0的一个根，则－a3＋2a＋2 015的值为( ) A．2 015 B．2 014 C．2 013 D．－2 015解析∵a是方程x2－x－1＝0的一个根，∴a2－a－1＝0.∴a2＝a＋1，a2－a＝1.∴－a3＋2a＋2 015＝－a·a2＋2a＋2 015＝－a·(a＋1)＋2a＋2 015＝－a2－a＋2a＋2 015＝－a2＋a＋2 015＝－(a2－a)＋2 015＝2 014.故选B.答案 B2．(原创题)三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的解，则第三边的长为( )A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定解析原方程可变形为x2－10x＋25－4＝0，即(x－5)2－4＝0.因式分解，得(x－5＋2)(x－5－2)＝0.∴x－3＝0或x－7＝0，即x1＝3，x2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足6－2＜x＜6＋2，即4＜x＜8.所以第三边的长x＝7.故选A.答案 A3．(改编题)方程x2－bx＋2＝0有一个根是1，则方程的另一个根是( )A．1 B．2 C．3 D.1 2解析把x＝1代入原方程得1－b＋2＝0，∴b＝3，∴原方程为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.答案 B4．(改编题)方程x(x－5)＝0的根是( ) A．x＝0 B．x＝5C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝0，x2＝－5解析本题考查一元二次方程的解法，应采用因式分解法．∵x(x－5)＝0，∴x＝0或x－5＝0，即x1＝0，x2＝5.故选C.答案 C5．(改编题)如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为( )A ．32B ．126C ．135D ．144解析根据日历表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16.设最小数为x ，则最大数为x ＋16，根据题意，得x(x ＋16)＝192，解得x 1＝8，x 2＝－24(不合题意舍去)，故这九个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24，这9个数的和为：8＋9＋10＋15＋16＋17＋22＋23＋24＝144.故选D. 答案 D6．(原创题)若反比例函数y ＝kx与一次函数y ＝x ＋2的图象没有交点，则k 的值可以是( ) A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析从“形”上看两个函数图象没有交点，反映到“数”上就是组成的方程或方程组无解．∵反比例函数y ＝k x 与一次函数y ＝x ＋2的图象没有交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ①y ＝x ＋2②无解，即k x＝x ＋2无解，整理得x 2＋2x －k ＝0，∴Δ＝4＋4k ＜0，解得k ＜－1，四个选项中只有－2＜－1，所以只有A 符合条件．答案 A二、填空题7．(原创题)已知方程x 2＋4x ＋n ＝0可以配方成(x ＋m)2＝3，则(m －n)2 014＝________．解析 ∵(x＋m)2＝3，∴x 2＋2mx ＋m 2－3＝0. ∴2m ＝4，n ＝m 2－3.∴m＝2，n ＝1. ∴(m －n)2 014＝(2－1)2 014＝1.答案 18．(改编题)若关于x 的方程ax 2＋2(a ＋2)x ＋a ＝0有实数解，那么实数a 的取值范围是________．解析当ax 2＋2(a ＋2)x ＋a ＝0是一元二次方程即a≠0时，Δ＝4(a ＋2)2－4a 2≥0，解得a≥－1且a≠0；当a ＝0时，原方程可化为4x ＝0，是一元一次方程，有实数解；所以本题答案为a≥－1. 答案 a≥－1解析 ∵m 2－2m ＝1，即m 2－2m －1＝0，∴可以把m 看作是方程x 2－2x －1＝0的根．∵n 2－2n ＝1，即n 2－2n －1＝0，∴可以把n 看作是方程x 2－2x －1＝0的根．∴m，n 是方程x 2－2x －1＝0的两个不相等的实数根．∴m＋n ＝2，mn ＝－1.∴m ＋n －mn ＝2－(－1)＝3. 答案 310．(原创题)若a ，b 是一元二次方程x(x －2)＝x －2的两根，且点A(－a ，－b)是反比例函数y ＝kx图象上的一个点．若自点A 向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴构成的矩形的面积是________．解析解方程x(x －2)＝x －2，得x 1＝1，x 2＝2，即a ＝1，b ＝2或a ＝2，b ＝1.把(－1，－2)或(－2，－1)代入y ＝kx 都可以得出k ＝2，∴所求矩形的面积为2.答案 2三、解答题11．(原创题)已知关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (3)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解 (1)△ABC 是等腰三角形；理由：∵x＝－1是方程的根， ∴(a ＋c)×(－1)2－2b ＋(a －c)＝0， ∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0， ∴a －b ＝0，∴a ＝b ， ∴△ABC 是等腰三角形； (2)∵方程有两个相等的实数根， ∴(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0， ∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0，∴a 2＝b 2＋c 2， ∴△ABC 是直角三角形； (3)当△ABC 是等边三角形时，∴(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0，可整理为： 2ax 2＋2ax ＝0，∴x 2＋x ＝0，解得：x 1＝0，x 2＝－1.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，▱ABCD 中，点A 在反比例函数y=(0)kk x≠的图像上，点D 在y 轴上，点B 、点C 在x 轴上．若▱ABCD 的面积为10，则k 的值是（）A ．5B ．5-C ．10D ．10-2．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x 匹，小马有y 匹，那么可列方程组为（）A ．10033100x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．1003100x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩D ．1003100x y x y +=⎧⎨+=⎩ 3．2018年5月21日，西昌卫星发射中心成功发射探月工程嫦娥四号任务“鹊桥号”中继星，卫星进入近地点高度为200公里，远地点高度为40万公里的预定轨道，将数据40万用科学记数法表示为( ) A.4×105B.4×104C.4×106D.0.4×1054．如图，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒ ，已知△ABC 的周长为15，则菱形ABCD 的对角线BD 的长为( ).A．BC．D5．如图，矩形ABCD 的顶点A 和对称中心在反比例函数(0,0)ky k x x=≠>上，若矩形ABCD 的面积为8，则k 的值为（）A ．4B．C．D ．8重合，折痕交AB 于点E ，交AC 于点F ，那么sin ∠BED 的值为（）．A ．35B ．53C ．512D ．127．若一个正九边形的边长为α，则这个正九边形的半径是( ) A ．cos 20α︒B ．sin 20α︒C ．2cos 20α︒D ．2sin 20α︒8．已知一多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形是（） A ．十二边形 B ．十边形C ．八边形D ．六边形9．如图，AB 为O 的直径，P 为BA 延长线上的一点，D 在O 上（不与点A ，点B 重合），连结PD 交O于点C ，且PC=OB ．设,P B αβ∠=∠=，下列说法正确的是（）A ．若30β︒=，则120D ︒∠= B ．若60β︒= ，则90D ︒∠= C ．若10α︒= ，则150AD ︒= D ．若15α︒= ，则90AD ︒=10．2019年春节联欢晚会在某网站取得了同时在线人数超34200000的惊人成绩，创下了全球单平台网络直播记录，将数34200000用科学记数法表示为( ) A ．80.34210⨯B ．73.4210⨯C ．83.4210⨯D ．634.210⨯11．如图，四个有理数在数轴上的对应点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（）A.点MB.点NC.点PD.点Q12．如图所示，二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的图象的一部分与x 轴的交点A 在(2,0)与(3,0)之间，对称轴为直线1x =.下列结论：①0ab <；②20a b +=；③30a c +>；④A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题13．一次函数y ＝kx+6的图象与两坐标围成的三角形面积为9，那么这个一次函数的表达式为_____． 14．将抛物线y ＝x 2+2x+3向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为_____．15．一个多边形的内角和与外角和之差为720︒，则这个多边形的边数为______. 16．计算：2(2)a b -=________．17．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为． 18．因式分解m 3﹣4m ＝_____．三、解答题19．如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝4，CA ＝6，CD ∥AB ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 交AC 于点E ，求AE 的长．20．已知二次函数y ＝x 2﹣（k+1）x+14k 2+1与x 轴有交点．（1）求k 的取值范围；（2）方程x 2﹣（k+1）x+14k 2+1＝0有两个实数根，分别为x 1，x 2，且方程x 12+x 22+15＝6x 1x 2，求k 的值，并写出y ＝x 2﹣（k+1）x+14k 2+1的代数解析式．21．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划把68吨有机化肥运送到果园，为节省时间需要在一天之内运完．货运站有甲、乙两种货车，果农决定租用甲、乙两种货车共18辆，两种型号的货车的运输量和租金如下表（所租用货车都按一整天收费）：（1）求所付的货车租金总费用y （元）与租用甲型货车数量x （辆）的函数关系式；（2）请你帮该果农设计一种使租金总费用最少的方案，并求出所付的最少租金．扇形COD,AP,BQ 分别切优弧CD 于点P ，Q ，且点P ，Q 在AB 异侧，连接OP.（1）求证：AP=BQ ；（2）当BQ= ,求QD 的长(结果保留 π)；（3）若△APO 的外心在扇形COD 的内部，求OC 的取值范围.23．如图，一次函数y ＝k 1x+b 的图象经过A （0，﹣2），B （1，0）两点，与反比例函数2k y x=的图象在第一象限内的交点为M ，若△OBM 的面积为2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x 轴上是否存在点P ，使AM ⊥MP ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．24．如图，在ABC △中，90ACB ︒∠=，:4:3AC BC =，点D 在ABC △外部，且90D ︒∠=.（1）尺规作图：作ABC △的外接圆O （保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）若:12:25CD AB =，求证：CD 是O 的切线.25．某商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物.若不够卡购物和使用优惠卡购物分别视为方式一购物和方式二购物，且设顾客购买商品的金额为x 元. （Ⅰ）根据题意，填写下表：（Ⅱ）顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？（Ⅲ）小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？（Ⅳ）小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果该商场还能盈利25%，那么这台冰箱的进价是多少元？【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．y ＝±2x+6 14．y=（x+3）2﹣1 15．816．2244a ab b -+ 17．1718．m （m+2）（m ﹣2）三、解答题 19．4 【解析】【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD,求出BC=CD=4;利用两个角对应相等证得△AEB ∽△CED,得出比例AB AECD CE= , 代值,求出AE=2CE,即可得出答案【详解】∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴∠ABD ＝∠CBD ， ∵AB ∥CD ， ∴∠D ＝∠ABD ， ∴∠D ＝∠CBD ， ∴BC ＝CD ， ∵BC ＝4， ∴CD ＝4， ∵AB ∥CD ， ∴△ABE ∽△CDE ，∴AB AECD CE =， ∴84＝AE CE， ∴AE ＝2CE ， ∵AC ＝6＝AE+CE ，【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和等腰三角形的判定、平行线的性质等知识点,能求出AE=2CE 和△ABE △CDE 是解此题的关键; 20．（1）32k ≥；（2）k 的值是4，y ＝x 2﹣5x+5．【解析】【分析】（1）根据题意可以得到关于k 的不等式，从而可以得到k 的取值范围；（2）根据题意和根据系数的关系，可以求得k 的值，进而可以写出y ＝x 2﹣（k+1）x+14k 2+1的代数解析式．【详解】解：（1）∵二次函数y ＝x 2﹣（k+1）x+14k 2+1与x 轴有交点， ∴△＝221[(k 1)]41k 14⎛⎫-+-⨯⨯+ ⎪⎝⎭≥0，解得32k ≥，所以，k 的取值范围是32k ≥；（2）∵方程x 2﹣（k+1）x+14k 2+1＝0有两个实数根，分别为x 1，x 2，∴x 1+x 2＝k+1，x 1x 2＝14k 2+1，∵x 12+x 22+15＝6x 1x 2，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2+15＝6x 1x 2， ∴（k+1）2﹣2（14k 2+1）+15＝6×（14k 2+1），解得，k ＝4或k ＝﹣2（舍去）， ∴y ＝x 2﹣5x+5，所以，k 的值是4，y ＝x 2﹣（k+1）x+14k 2+1的代数解析式是y ＝x 2﹣5x+5．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、根的判别式、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．21．（1）y ＝100x+5400；（2）租用7辆甲型货车，11辆乙型货车所付的租金最少，最少租金为6100元．【解析】【分析】（1）租用甲型货车数量x （辆），则租用乙型货车数量（18﹣x ）（辆），根据题意即可求出所付的货车租金总费用y （元）与租用甲型货车数量x （辆）的函数关系式；（2）根据题意可得不等式5x+3（18﹣x ）≥68，解得x≥7，再根据一次函数的性质解答即可求解．解：（1）租用甲型货车数量x （辆），则租用乙型货车数量（18﹣x ）（辆），根据题意得， y ＝400x+300（18﹣x ）＝100x+5400；（2）根据题意可得，5x+3（18﹣x ）≥68，解得x≥7， ∵k ＝100＞0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x ＝7时，y 最小＝100×7+5400＝6100，即租用7辆甲型货车，11辆乙型货车所付的租金最少，最少租金为6100元．【点睛】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值． 22．（1）详见解析；（2）143π；（3）4<OC<8. 【解析】【分析】（1）连接OQ ，由切线性质得∠APO=∠BQO=90°，由直角三角形判定HL 得Rt △APO ≌Rt △BQO ，再由全等三角形性质即可得证.（2）由（1）中全等三角形性质得∠AOP=∠BOQ ，从而可得P 、O 、Q 三点共线，在Rt △BOQ 中，根据余弦定义可得cosB=QBOB，由特殊角的三角函数值可得∠B=30°，∠BOQ=60° ，根据直角三角形的性质得 OQ=4，结合题意可得 ∠QOD 度数，由弧长公式即可求得答案.（3）由直角三角形性质可得△APO 的外心是OA 的中点，结合题意可得OC 取值范围. 【详解】（1）证明：连接OQ.∵AP 、BQ 是⊙O 的切线， ∴OP ⊥AP ，OQ ⊥BQ ， ∴∠APO=∠BQO=90∘，在Rt △APO 和Rt △BQO 中，OP OQOA OB=⎧⎨=⎩， ∴Rt △APO ≌Rt △BQO ， ∴AP=BQ.（2）∵Rt △APO ≌Rt △BQO ，∴P 、O 、Q 三点共线， ∵在Rt △BOQ 中,cosB=QB OB ==∴∠B=30∘,∠BOQ= 60° ， ∴OQ=12OB=4， ∵∠COD=90°，∴∠QOD= 90°+ 60° = 150°， ∴优弧QD 的长=2104141803ππ⋅⋅=，（3）解：设点M 为Rt △APO 的外心，则M 为OA 的中点， ∵OA=8， ∴OM=4，∴当△APO 的外心在扇形COD 的内部时，OM ＜OC ， ∴OC 的取值范围为4＜OC ＜8．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、弧长的计算、扇形面积的计算、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理HL 证出Rt △APO ≌Rt △BQO ；（2）通过解直角三角形求出圆的半径；（3）牢记直角三角形外心为斜边的中点是解题的关键． 23．（1）12y x=；（2）是，P 的坐标为（11，0）. 【解析】【分析】（1）根据一次函数y= k 1x+b 的图象经过A （0，-2），B （1，0）可得到关于b 、k1的方程组，进而可得到一次函数的解析式，设M （m ，n ）作MD ⊥x 轴于点D ，由△OBM 的面积为2可求出n 的值，将M （m ，4）代入y=2x-2求出m 的值，由M （3，4）在双曲线y=2k x上即可求出k 2的值，进而求出其反比例函数的解析式；（2）过点M （3，4）作MP ⊥AM 交x 轴于点P ，由MD ⊥BP 可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO ，再由锐角三角函数的定义可得出OP 的值，进而可得出结论．【详解】解：（1）∵直线y ＝k 1x+b 过A （0，﹣2），B （1，0）两点 ∴12+0b k b =-⎧⎨=⎩，∴122b k =-⎧⎨=⎩ ∴一次函数的表达式为y ＝2x ﹣2． ∴设M （m ，n ），作MD ⊥x 轴于点D ∵S △OBM ＝2，∴122OB MD ⋅= ， ∴122n = ∴n ＝4∴将M （m ，4）代入y ＝2x ﹣2得4＝2m ﹣2， ∴m ＝3∵M （3，4）在双曲线2k y x= 上， ∴24=3k ， ∴k 2＝12∴反比例函数的表达式为12y x=（2）过点M （3，4）作MP ⊥AM 交x 轴于点P ， ∵MD ⊥BP ，∴∠PMD ＝∠MBD ＝∠ABO∴tan ∠PMD ＝tan ∠MBD ＝tan ∠ABO ＝221OA OB == ＝2 ∴在Rt △PDM 中，2PDMD= ， ∴PD ＝2MD ＝8， ∴OP ＝OD+PD ＝11∴在x 轴上存在点P ，使PM ⊥AM ，此时点P 的坐标为（11，0）【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于将已知点代入解析式 24．（1）如图所示，O 为所求作的圆，见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据圆的定义，确定圆心和半径即可；（2）根据相似三角形判定证Rt ABC Rt CBD △△∽，证90BCD OCB ︒∠+∠=可得结论.【详解】（1）如图所示，O 为所求作的圆：（2）由作图可知，OB OC =， ∴OBC OCB ∠=∠.∵在ABC △中，90ACB ︒∠=，:4:3AC BC =， ∴可设4AC a =，3BC a =，则5AB a = 又∵:12:25CD AB =， ∴122.425CD AB a ==. ∵90D ︒∠=，∴ 1.8BD a ===，∴2.441.83CD a BD a ==. ∵:4:3AC BC =， ∴CD ACBD BC=. ∵90ACB D ︒∠=∠=， ∴Rt ABC Rt CBD △△∽， ∴OBC CBD ∠=∠. ∴OCB CBD ∠=∠. ∵90BCD CBD ︒∠+∠=，∴90BCD OCB ︒∠+∠=，即CD OC ⊥， ∵OC 为O 的半径， ∴CD 是O 的切线.【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质，切线判定.25．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）当顾客消费等于1500元时买卡与不买卡花钱相等；（Ⅲ）小张买卡（方式二购物）合算，能节省400元钱；（Ⅳ）这台冰箱的进价是2480元. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物，进行计算即可（Ⅱ）根据花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物，得出方程求出即可；（Ⅲ）根据方案一：总费用=标价．方案二：费用=300 +标价0.8⨯．据此可得出方案一和方案二总费用和购物金额之间的函数关系式，再得出当x 3500=时，y 的值即可得出答案．（Ⅳ）首先假设进价为a 元，则可得出（300+3500×0.8）-a=25%a 进而求出即可．【详解】解：（Ⅰ）（Ⅱ）顾客购买x 元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等根据题意，得3000.8x x +=，解得：x 1500=，所以，当顾客消费等于1500元时买卡与不买卡花钱相等；（Ⅲ）依题意可知：方式一购物的总费用为1y x =；方式二购物的总费用为2y 3000.8x =+，当x 3500=时，1y x 3500==（元）；2y 3000.8x 3000.835003100=+=+⨯=（元）； ∴12y y 35003100400-=-=（元），所以，小张买卡（方式二购物）合算，能节省400元钱；（Ⅳ）设这台冰箱的进价为a 元，根据题意，（300+3500×0.8）-a=25%a 得：a 2480=.答：这台冰箱的进价是2480元. 【点睛】本题考查一次函数的应用—方案选择问题，以及一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列图案是用长度相同的火柴按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴，图案②需15根火柴，…，按此规律，图案⑩需几根火柴棒()A．71 B．72 C．74 D．782．2018年是打赢脱贫攻坚战三年行动起步之年.国家统计局2月15日发布的数据显示，2018年年末，全国农村贫困人口比上年末减少1386万人，其中1386万用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.3．O为等边△ABC所在平面内一点，若△OAB、△OBC、△OAC都为等腰三角形，则这样的点O一共有（）A．4 B．5 C．6 D．104．若数k使关于x的不等式组301132x kx x+≤⎧⎪-⎨-≤⎪⎩只有4个整数解，且使关于y的分式方程1ky-+1＝1y ky++的解为正数，则符合条件的所有整数k的积为（）A．2 B．0 C．﹣3 D．﹣65．若5-m（0，则（）A．m＜5 B．3≤m＜5 C．3≤m≤5D．3＜m＜56．《语文课程标准》规定：7﹣9年级学生，要求学会制订自己的阅读计划，广泛阅读各种类型的读物，课外阅读总量不少于260万字，每学年阅读两三部名著．那么260万用科学记数法可表示为（）A．26×105B．2.6×102C．2.6×106D．260×1047．下列四个函数中，自变量的取值范围为x≥1的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=8．在平面直角坐标系中，将直线y1：y＝2x﹣2平移后，得到直线y2：y＝2x+4，则下列平移作法正确的是（）A．将y1向上平移2个单位长度B．将y1向上平移4个单位长度C．将y1向左平移3个单位长度D．将y2向右平移6个单位长度9．如图，点A（0，2），在x轴上取一点B，连接AB，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、AB于点M、N，再以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD并延长交x轴于点P．若△OPA与△OAB相似，则点P的坐标为（）A ．（1，0）B ．0）C ．（230） D ．（0）10．给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y'＝n×x n ﹣1．若函数y ＝x 4，则有y'＝4×x 3，已知函数y ＝x 3，则方程y'＝6x 的解是（） A ．x ＝2B ．x ＝3C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x ＝﹣211．下列说法不一定成立的是（） A ．若a ＞b ，则a+c ＞b+c B ．若a+c ＞b+c ，则a ＞b C ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2D ．若a ＞b ，则1+a ＞b ﹣112．如图，正方形ABCD 的对称中心在坐标原点，AB ∥x 轴，AD ，BC 分别与x 轴交于E ，F ，连接BE ，DF ，若正方形ABCD 的顶点B ，D 在双曲线y ＝a x上，实数a 满足a 1﹣a＝1，则四边形DEBF 的面积是( )A ．12B ．32C ．1D ．2二、填空题13．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于_____度． 14．从、、、、中，任取一个数，取到无理数的概率是_____．15．在一次数学探究活动课中，某同学有一块矩形纸片ABCD ，已知AD=13，AB=5，M 为射线AD 上的一个动点，将△ABM 沿BM 折叠得到△NBM ，若△NBC 是直角三角形，则所有符合条件的M 点所对应的AM 的和为__________．16．某种商品的票价为x 元，如果按标价的六折出售还可以盈利20元，则这种商品的进价为__________元(用含x 的代数式表示)．1721|2|sin 60()2-----＝_____．18．如图，正方形AEFG 的顶点E ，G 在正方形ABCD 的边AB ，AD 上，连接BF ，DF ．则BE ：CF 的值为_____．三、解答题19．计算：324cos 45-︒-20．某市卫生局为了了解该市社区医院对患者随访情况，随机抽查了部分社区医院一年来对患者随访的次数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图：请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）该市卫生局共抽查了社区医院的患者多少人？并补全条形统计图；（2）请直接写出在这次抽样调查中的众数是，中位数是；（3）如果该市社区医院患者有60000人，请你估计“随访的次数不少于7次”社区医院的患者有多少人． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝x+b 的图象经过点A （0，1），与反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象交于B （m ，2）．（1）求k 和b 的值；（2）在双曲线y ＝kx（x ＞0）上是否存在点C ，使得△ABC 为等腰直角三角形？若存在，求出点C 坐标；若不存在，请说明理由．22．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y （件）与销售价x （元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）求每天的销售利润W （元）与销售价x （元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）请你直接写出售价在什么范围时，每天的利润不低于104元？23．温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件获利减少2元．设每天安排x 人生产乙产品．（1）根据信息填表（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．（3）如何安排工人，可获得的总利润W （元）的最大值及相应的x 值．24．在平面直角坐标系xOy 中. 已知抛物线22y ax bx a =++-的对称轴是直线x=1. （1）用含a 的式子表示b ，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点()0,4A -，()2,3B -，若抛物线与线段AB 没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m x n ≤≤时，y 的取值范围是6m y ≤≤，结合函数图象，直接写出满足条件的m ，n 的值.25．有一块含30°角的直角三角板OMN ，其中∠MON ＝90°，∠NMO ＝30°，ON ＝，将这块直角三角板按如图所示位置摆放．等边△ABC 的顶点B 与点O 重合，BC 边落在OM 上，点A 恰好落在斜边MN 上，将等边△ABC 从图1的位置沿OM 方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB ，AC 分别与斜边MN 交于点E ，F （如图2所示），设△ABC 平移的时间为t （s ）（0＜t ＜6）．（1）等边△ABC 的边长为；（2）在运动过程中，当时，MN 垂直平分AB ；（3）当0＜t ＜6时，求直角三角板OMN 与等边△ABC 重叠部分的面积S 与时间t 之间的函数关系式．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．1440 14．． 15．26 16．6x －2017．2-18．2三、解答题 19．178-【解析】【分析】分别根据负整数指数幂的计算法则、二次根式的性质及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【详解】原式18=--2+42⨯-18=--178=-．【点睛】本题考查了实数的运算，熟知负整数指数幂的计算法则、二次根式的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．20．(1)600,图见解析（2）4次，5次；（3）9000.【解析】【分析】（1）根据随访4次的有240人，所占百分比为40%，可得共抽查了社区医院的患者人数；再用被抽查的患者人数减去其余4个组的人数求出随访7次的人数，补全条形统计图即可；（2）根据众数和中位数的定义即可求出答案；（3）用总人数乘以“随访的次数不少于7次”的百分比，计算即可得解．【详解】解：（1）被抽查的社区医院的患者人数：240÷40%＝600（人）．所以该市卫生局共抽查了社区医院的患者600人．随访7次的人数：600﹣（240+120+150+30）＝60（人），补全统计图如图所示：（2）社区医院一年来对患者随访的次数中4次的人数最多，所以众数是4次，600个数据中，按照随访的次数从少到多排列，第300和301个数据都是5次，所以中位数是5次；故答案为：4次，5次；（3）60000×6030600+=9000（人）．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．除此之外，本题也考查了中位数、众数的定义以及用样本估计总体的思想．21．（1）k＝2，b＝1；（2）C（2，1）．【解析】【分析】（1）将点A坐标代入直线y=x+b中求出b，进而求出点B坐标，最后代入反比例函数解析式中，求出k；（2）先求出AB的长，再分三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出点C的坐标，判断即可得出结论．【详解】（1）将A （0，1）代入y ＝x+b 中得，0+b ＝1∴b ＝1将B （m ，2）代入y ＝x+1中得，m+1＝2∴m ＝1∴B （1，2）将B （1，2）代入y ＝k x 中得，k ＝1×2＝2 ∴k ＝2，b ＝1；（2）∵A （0，1），B （1，2），∴AB ，由（1）知，b ＝1，∴直线AB 的解析式为y ＝x+1，分情况讨论：△ABC 是等腰直角三角形①当∠CAB ＝90°时，AC ＝AB ，∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x+1，设C （c ，﹣c+1），∴AC =∴c ＝±1，∴C 为（﹣1，2）或（1，0），将点C 代入2y x=中判断出都不在双曲线上，． ②当∠ABC ＝90°时，同①的方法得，C 为（2，1）或（0，3），将点C 坐标代入2y x =中得，判断出点C （2，1）在双曲线上， ③当∠ACB ＝90°时，∵A （0，1），B （1，2），易知，C 为（1，1）或（0，2），将点C 坐标代入2y x=中判断出都不在双曲线上， ∴C （2，1）．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，等腰直角三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．22．（1）.40(1016)y x x =-+≤≤（2）2(25)225w x =--+，当x=16时.最大利润是144元；（3）1416x ≤≤【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解可得y 关于x 的函数解析式;(2)根据“总利润=每件的利润×销售量”可得函数解析式,将其配方成顶点式,利用二次函数的性质进一步求解可得.（3）根据（2）可列出不等式2(25)225104x --+≥，即可解答【详解】解:(1)设y 与x 的函数解析式为y=kx+b,将(10,30)、(16,24)代入,得:10301624k b k b +=+=⎧⎨⎩解得:140k b =-⎧⎨=⎩所以y 与x 的函数解析式为y=-x+40(10≤x≤16):(2)根据题意知,W=(x-10)y=(x-10)(-x+40)=-x 2+50x-400=-(x-25)2+225∵a=-1<0,∴当x<25时,W 随x 的增大而增大,∵10≤x≤16,∴当x=16时,W 取得最大值,最大值为144,答:每件销售价为16元时,每天的销售利润最大,最大利润是144元（3）根据题（2）可列出不等式2(25)225104x --+≥（x=16时,W 取得最大值）解得14x ≤,综合题（2）可知当1416x ≤≤时利润不低于104元【点睛】此题考查了利用待定系数法求二元一次方程的解析式，二次函数的性质和一元一次不等式的解，解题关键在于把已知的数代入方程求解23．（1）65﹣x ；130﹣2x ；130﹣2x ；（2）110元；（3）安排25名工人生产甲产品获得利润最大，为3200元．【解析】【分析】（1）根据题意列代数式即可；（2）根据（1）中数据表示每天生产甲乙产品获得利润根据题意构造方程即可；（3）根据题意用x 表示总利润利用二次函数性质讨论最值．【详解】解：（1）由已知，每天安排x 人生产乙产品时，生产甲产品的有（65﹣x ）人，共生产甲产品2（65﹣x ）130﹣2x 件．在乙每件120元获利的基础上，增加x 人，利润减少2x 元每件，则乙产品的每件利润为120﹣2（x ﹣5）＝130﹣2x ．故答案为：65﹣x ；130﹣2x ；130﹣2x ；（2）由题意15×2（65﹣x ）＝x （130﹣2x ）+550∴x 2﹣80x+700＝0解得x 1＝10，x 2＝70（不合题意，舍去）∴130﹣2x ＝110（元）答：每件乙产品可获得的利润是110元．（3）根据题意得：w ＝15（130﹣2x ）+x （130﹣2x ）＝﹣2（x ﹣25）2+3200，所以安排25名工人生产甲产品获得利润最大，为3200元．【点睛】本题以盈利问题为背景，考查一元二次方程和二次函数的实际应用，解答时注意利用未知量表示相关未知量．24．（1）2b a =-，抛物线的顶点为()1,2-；（2）10a -<<或0a >；（3）25m n =-⎧⎨=⎩或25.m n ⎧=+⎪⎨=⎪⎩ 【解析】【分析】（1）由12b a-=，则2b a =-.得到抛物线方程.则当1x =时，抛物线的顶点为()1,2-. （2）分条件讨论0a > ，0a <，将点B 代入方程得3442a a a -=-+-，解得1a =-.由于抛物线与线段AB 没有公共点，则10a -<<或0a >.（3）根据题意抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m x n ≤≤时，y 的取值范围是6m y ≤≤，作出图象，即可得出答.【详解】解：（1）∵12b a -=， ∴2b a =-.∴抛物线为222y ax ax a =-+-.当1x =时，222y a a a =-+-=-，∴抛物线的顶点为()1,2-.（2）若0a >，抛物线与线段AB 没有公共点；若0a <，当抛物线经过点()2,3B -时，它与线段AB 恰有一个公共点，此时3442a a a -=-+-，解得1a =-.∵抛物线与线段AB 没有公共点，∴结合函数图像可知，10a -<<或0a >.（3）根据题意作抛物线与x 轴交点图，通过图象即可得出25m n =-⎧⎨=⎩或25.m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩本题考查二元一次函数和一元一次函数的综合，解题的关键是熟练掌握二元一次函数和一元一次函数的性质和求解.25．（1）3；（2）3；（3）22(03)(36)822tSt<=-+<<⎩….【解析】【分析】（1）根据，∠OMN＝30°和△ABC为等边三角形，求证△OAM为直角三角形，然后即可得出答案．（2）易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时OB＝3，由此即可解决问题；（3）分两种情形分别求解：当0＜t≤3时，作CD⊥FM于D．根据S＝S△MEB﹣2S△MDC，计算即可．②当3＜t ＜6时，S＝S△MEB．【详解】解：（1）在Rt△MON中，∵∠MON＝90°，ON＝M＝30°∴OM＝6，∵△ABC为等边三角形∴∠AOC＝60°，∴∠OAM＝90°∴OA⊥MN，即△OAM为直角三角形，∴OA＝12OM＝12×6＝3．故答案为3．（2）易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时OB＝3，所以t＝3．故答案为3．（3）易知：OM＝6，MN＝，S△OMN＝12×6＝∵∠M＝30°，∠MBA＝60°，∴∠BEM＝90°．①当0＜t≤3时，作CD⊥FM于D．∵∠ACB＝60°，∠M＝30°，∠FCB＝∠M+∠CFM，∴∠CFM＝∠M＝30°，∴CF＝CM，∴DF ＝DM ，∴S △CMF ＝2S △CDM ，∵△MEB ∽△MON ， ∴2MEB MON S BM S MB ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴S△MEB＝2822t -+， ∵△MDC ∽△MON ，∴2MDC MON S MC S MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴S △MDC＝2848t -+， ∴S ＝S △MEB ﹣2S △MDC ＝﹣284+． ②当3＜t＜6时，S ＝S △MEB2综上所述，S＝22(03)(36)822t t t t +<-+<<⎩… ．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

2019年中考复习试题-九年级上数学一元二次方程与实际问题(含解析答案)

一元二次方程与实际问题一．选择题（共12小题）1．某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为（）A．400（1+x2）＝900B．400（1+2x）＝900C．900（1﹣x）2＝400D．400（1+x）2＝9002．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．73．扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30C．30x+2×20x＝×20×30D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×304．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）A．20%B．40%C．18%D．36%5．化肥厂1月份某种化肥的产量为20万吨，通过技术革新，产量逐月上升，第一季度共生产这种化肥95万吨，求2、3月份平均每月增产的百分率是多少？若设2、3月份平均每月增产的百分率为x，根据题意列方程为（）A．20（1+x）＝95B．20（1+x）2＝95C．20（1+x）+20（1+x）2＝95D．20+20（1+x）+20（1+x）2＝956．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）A．x（x﹣1）＝36B．x（x+1）＝36C．x（x﹣1）＝36D．x（x+1）＝367．将一块长方形桌布铺在长为3m，宽为2m的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，且桌布的面积是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度设桌布下垂的长度为xm，则所列的方程是（）A．（2x+3）（2x+2）＝2×3×2B．2（x+3）（x+2）＝3×2C．（x+3）（x+2）＝2×3×2D．2（2x+3）2x+2）＝3×28．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．82+x2＝（x﹣3）2B．82+（x+3）2＝x2C．82+（x﹣3）2＝x2D．x2+（x﹣3）2＝829．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为，则点P运动的时间是（）A．2s B．3s C．4s D．5s10．2018年第一季度，合肥高新区某企业营收入比2017年同期增长12%，2019年第一季度营收入比2018年同期增长10%，设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，则可列方程（）A．2x＝12%+10%B．（1+x）2＝1+12%+10%C．1+2x＝（1+12%）（1+10%）D．（1+x）2＝（1+12%）（1+10%）11．2019年2月底某种疫苗的原价为80元/支，2019年两会后因实施医保新措施，4月份经过两次连续降价后该疫苗的价格为60元，求此疫苗的月平均降价率．设此疫苗的月平均降价率x，则可列方程为（）A．80（1﹣2x）＝60B．80（1﹣x）2＝60C．80（1+x）2＝100D．60（1﹣x）2＝8012．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x＝32B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32C．（10﹣x）（6﹣x）＝32D．10×6﹣4x2＝32二．填空题（共3小题）13．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为．14．某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是．15．某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若第二次降价的百分率是第一次的2倍．设第一次降价的百分率为x，由题意可列得方程：．三．解答题（共21小题）16．如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？17．改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？18．为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？19．随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．20．HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%．（1）求2018年甲类芯片的产量；（2）HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值．21．某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？22．某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费．（1）菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？（2）为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加2a%，毎个摊位的管理费将会减少a%；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加6a%，每个摊位的管理费将会减少a%．这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少a%，求a的值．23．建造一个面积为130m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长为a米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆总长为33米．（1）求养鸡场的长与宽各为多少米？（2）若10≤a＜18，题中的解的情况如何？24．如图，在矩形ABCD中，AD＝6cm，BC＝12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动（P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．25．某书店积极响应政府“改革创新，奋发有为”的号召，举办“读书节“系列活动．活动中故事类图书的标价是典籍类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买故事类图书的数量恰好比单独购买典籍类图书的数量少10本．（1）求活动中典籍类图书的标价；（2）该店经理为鼓励广大读者购书，免费为购买故事类的读者赠送图1所示的精致矩形包书纸．在图1的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．已知该包书纸的面积为875cm2（含阴影部分），且正好可以包好图2中的《中国故事》这本书，该书的长为21cm，宽为15cm，厚为1cm，请直接写出该包书纸包这本书时折叠进去的宽度．26．水果店进口一种高档水果，卖出每斤水果盈利（毛利润）5元，每天可卖出1000斤，经市场调査后发现，在进价不变的情况下，若每斤售价涨0.5元，每天销量将减少40斤．（1）若以每斤盈利9元的价钱出售，问每天能盈利多少元？（2）若水果店要保证每天销售这种水果的毛利润为6000元，同时又要使顾客觉得价不太贵，则每斤水果应涨价多少元？27．我市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品获1件乙产品，经测第，甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件获利减少2元，设每天安排x人生产乙产品（1）根据信息填表：（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多650元，试问：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是多少元？（3）根据市场需求，该企业在不增加工人的情况下，需要增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元．要使该企业每天生产三种产品也能获得第（2）题中同样的利润，请问该企业应如何安排工人进行生产？28．某地特产槟榔芋深受欢迎，某商场以7元/千克收购了3000千克优质槟榔芋，若现在马上出售，每千克可获得利润3元．根据市场调查发现，近段时间内槟榔芋的售价每天上涨0.2元/千克，为了获得更大利润，商家决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批槟榔芋的贮藏时间不宜超过100天，在贮藏过程中平均每天损耗约10千克．（1）若商家将这批槟榔芋贮藏x天后一次性出售，请完成下列表格：（2）将这批槟榔芋贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润29000元？29．有一张面积为100cm2的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为5：3，面积为150cm2，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请通过计算说明你的判断．30．如图所示，有一长方形的空地，长为x米，宽为12米，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形，现计划甲建筑成住宅区，乙建成商场，丙开辟成公园．（1）请用含x的代数式表示正方形乙的边长：米；（2）若丙地的面积为32平方米，请求出x的值．31．如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym（其中y≥4），另两边的篱笆长分别为xm．（1）求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围．（2）若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．32．探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次（1）若参加聚会的人数为3，则共握手次：；若参加聚会的人数为5，则共握手次；（2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次；（3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．拓展：嘉嘉给琪琪出题：“若线段AB上共有m个点（含端点A，B），线段总数为30，求m的值．”琪琪的思考：“在这个问题上，线段总数不可能为30”琪琪的思考对吗？为什么？33．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD，剪去图中阴影部分的四个全等的直角三角形，再沿图中的虚线折起，可以得到一个长方体盒子，（A、B、C、D正好重合于上底面一点，且AE＝BF），若所得到的长方体盒子的表面积为11cm2，求线段AE的长．34．现有一块宽为a（a＞2），长是宽的2倍的矩形空地，想采取下列两种方案进行改造．方案一：如图①，在矩形内预留一块宽为1，长为2的小矩形空地，剩下部分（阴影部分）进行绿化，记绿化面积为S1；方案二：如图②，在矩形内部四周预留宽均为1的小路，剩下部分（阴影部分）进行绿化，记绿化面积为S2；（1）请用含a的代数式表示S1和S2；（2）当a＝4时，比较哪一种方案的绿化面积大？35．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“加倍”矩形．解决问题：（1）当矩形的长和宽分别为3，2时，它是否存在“加倍”矩形？若存在，求出“加倍”矩形的长与宽，若不存在，请说明理由．（2）边长为a的正方形存在“加倍”正方形吗？请做出判断，并说明理由36．春临大地，学校决定给长12米，宽9米的一块长方形展示区进行种植改造现将其划分成如图两个区域：区域Ⅰ矩形ABCD部分和区域Ⅱ四周环形部分，其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种花卉种植，且EF平分BD，G，H分别为AB，CD中点．（1）若区域Ⅰ的面积为Sm2，种植均价为180元/m2，区域Ⅱ的草坪均价为40元/m2，且两区域的总价为16500元，求S的值．（2）若AB：BC＝4：5，区域Ⅱ左右两侧草坪环宽相等，均为上、下草坪环宽的2倍①求AB，BC的长；②若甲、丙单价和为360元/m2，乙、丙单价比为13：12，三种花卉单价均为20的整数倍．当矩形ABCD中花卉的种植总价为14520元时，求种植乙花卉的总价．一元二次方程与实际问题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【解答】解：设月平均增长率为x，根据题意得：400（1+x）2＝900．故选：D．2．【解答】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意，得：1+x+x2＝43，解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．故选：C．3．【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30，故选：D．4．【解答】解：设降价的百分率为x根据题意可列方程为25（1﹣x）2＝16解方程得，（舍）∴每次降价得百分率为20%故选：A．5．【解答】解：设2、3月份平均每月增产的百分率为x，依题意．得20+20（1+x）+20（1+x）2＝95，故选：D．6．【解答】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36，故选：A．7．【解答】解：设桌布铺到桌面上时各边垂下的长度为xm，则桌布的长为（3+2x）m，宽为（2+2x）m，依题意得（2x+3）（2x+2）＝2×3×2，故选：A．8．【解答】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x﹣3）2+82＝x2，故选：C．9．【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为，则BP为（4﹣t）cm，BQ为tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，（4﹣t）×t＝，解得t1＝3，t2＝5（舍去，不合题意）．∴动点P，Q运动3或5秒时，能使△PBQ的面积为cm2．故选：B．10．【解答】解：设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，则可列方程（1+x）2＝（1+12%）（1+10%），故选：D．11．【解答】解：设此疫苗的月平均降价率x，则可列方程为80（1﹣x）2＝60，故选：B．12．【解答】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．故选：B．二．填空题（共3小题）13．【解答】解：∵道路的宽应为x米，∴由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝77，故答案为：（12﹣x）（8﹣x）＝77．14．【解答】解：设每个季度平均降低成本的百分率为x，依题意，得：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．故答案为：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．15．【解答】解：设第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x，依题意，得：50（1﹣x）（1﹣2x）＝36．故答案为：50（1﹣x）（1﹣2x）＝36．三．解答题（共21小题）16．【解答】解：设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，依题意，得：2×[（30﹣2x）+（20﹣2x）]x＝200，整理，得：2x2﹣25x+50＝0，解得：x1＝，x2＝10．当x＝10时，20﹣2x＝0，不合题意，舍去．答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2．17．【解答】解：设小路的宽应为xm，根据题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，解得：x1＝1，x2＝16．∵16＞9，∴x＝16不符合题意，舍去，∴x＝1．答：小路的宽应为1m．18．【解答】解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，依题意，得：（x﹣100）[300+5（200﹣x）]＝32000，整理，得：x2﹣360x+32400＝0，解得：x1＝x2＝180．180＜200，符合题意．答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．19．【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）．答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，依题意，得：6（1+x）2＝17.34，解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（舍去）．答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．20．【解答】解：（1）设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意得：x+2x+（x+2x）+400＝2800，解得：x＝400；答：2018年甲类芯片的产量为400万块；（2）2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，∴丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），设m%＝t，化简得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t＝﹣（舍去），∴t＝4，∴m%＝4，∴m＝400；答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400．21．【解答】解：设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，依题意得：3x•2x•100+30（3x•2x﹣50×40）＝642000解得x1＝30，x2＝﹣30（舍去）．所以3x＝90，2x＝60，答：扩充后广场的长为90m，宽为60m．22．【解答】解：（1）设该菜市场共有x个4平方米的摊位，则有2x个2.5平方米的摊位，依题意，得：20×4x+20×2.5×2x＝4500，解得：x＝25．答：该菜市场共有25个4平方米的摊位．（2）由（1）可知：5月份参加活动一的2.5平方米摊位的个数为25×2×40%＝20（个），5月份参加活动一的4平方米摊位的个数为25×20%＝5（个）．依题意，得：20（1+2a%）×20×2.5×a%+5（1+6a%）×20×4×a%＝[20（1+2a%）×20×2.5+5（1+6a%）×20×4]×a%，整理，得：a2﹣50a＝0，解得：a1＝0（舍去），a2＝50．答：a的值为50．23．【解答】解：（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，依题意，得：（33﹣2x）x＝130，解得：x1＝6.5，x2＝10，∴33﹣2x＝20或13．答：养鸡场的长为20米宽为6.5米或长为13米宽为10米．（2）∵10≤a＜18，∴33﹣2x＝13，∴养鸡场的长为13米宽为10米．24．【解答】解：（1）点P从开始到运动停止用的时间为：（12+6）÷2＝9s，点Q从开始到运动停止用的时间为：（6+12）÷1＝18s，∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，∴点P先到终点，此时点Q离终点的距离是：（6+12）﹣1×9＝9cm，答：点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm；（2）在运动过程中，△APQ的面积能等于22cm2，当P从点B运动到点C的过程中，设点P运动时间为as，∵△APQ的面积能否等于22cm2，∴12×6﹣＝22，解得，此方程无解；当点P从C到D的过程中，设点P运动的时间为（b+6）s，∵△APQ的面积能否等于22cm2，∴12×6﹣＝22，解得，b1＝6+（舍去），b2＝6﹣，即需运动（6﹣）s，△APQ的面积能否等于22cm2．25．【解答】解：（1）设典籍类图书的标价为元，由题意，得﹣10＝．解得x＝18．经检验：x＝18是原分式方程的解，且符合题意．答：典籍类图书的标价为18元；（2）设折叠进去的宽度为ycm，则（2y+15×2+1）（2y+21）＝875，化简得y2+26y﹣56＝0，∴y＝2或﹣28（不合题意，舍去），答：折叠进去的宽度为2cm．26．【解答】解：（1）1000﹣×40＝680（斤），9×680＝6120（元）．答：每天能盈利6120元．（2）设每斤水果涨价x元，则每天可卖出（1000﹣40×）斤水果，依题意，得：（x+5）（1000﹣40×）＝6000，解得：x1＝2.5，x2＝5．又∵要使顾客觉得价不太贵，∴x＝2.5．答：每斤水果应涨价2.5元．27．【解答】解：（1）设每天安排x人生产乙产品，则每天安排（65﹣x）人生产甲产品，每天可生产x件乙产品，每件的利润为（120﹣2x）元，每天可生产2（65﹣x）件甲产品．故答案为：2（65﹣x）；120﹣2x．（2）依题意，得：15×2（65﹣x）﹣（120﹣2x）•x＝650，整理，得：x2﹣75x+650＝0解得：x1＝10，x2＝65（不合题意，舍去），∴15×2（65﹣x）+（120﹣2x）•x＝2650．答：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是2650元．（3）设该企业安排m人生产甲产品，则安排2m人生产丙产品，安排（65﹣3m）人生产乙产品，依题意，得：15×2m+30×2m+[120﹣2（65﹣3m）]（65﹣3m）＝2650，整理，得：3m2﹣85m+550＝0，解得：m1＝10，x2＝（不合题意，舍去），∴2m＝20，65﹣3m＝35．答：该企业应安排10人生产甲产品，35人生产乙产品，20人生产丙产品．28．【解答】解：（1）7+3＝10（元），x天后出售的售价为（10+0.2x）元/千克，可供出售的槟榔芋重量为（3000﹣10x）千克．故答案为：10；10+0.2x；3000﹣10x．（2）依题意，得：（10+0.2x）（3000﹣10x）﹣7×3000＝29000，整理，得：x2﹣250x+10000＝0，解得：x1＝50，x2＝200．∵x2＝200＞100，不合题意，舍去，∴x＝50．答：将这批槟榔芋贮藏50天后一次性出售最终可获得总利润29000元．29．【解答】解：设长方形信封的长为5xcm，宽为3xcm．由题意得：5x•3x＝150，解得：x＝（负值舍去）所以长方形信封的宽为：3x＝3，∵＝10，∴正方形贺卡的边长为10cm．∵（3）2＝90，而90＜100，∴3＜10，答：不能将这张贺卡不折叠的放入此信封中．30．【解答】解：（1）因为甲和乙为正方形，结合图形可得丙的长为：（x﹣12）米．同样乙的边长也为（x﹣12）米故答案是：（x﹣12）；（2）结合（1）得，丙的宽为（24﹣x），所以丙的面积为：（x﹣12）（24﹣x）列方程得，（x﹣12）（24﹣x）＝32解方程得x1＝20，x2＝16．31．【解答】解：（1）∵矩形的面积为12m2，∴y＝．∵4≤y≤8，∴1.5≤x≤3．（2）∵篱笆长11m，∴y＝（11﹣2x）m．依题意，得：xy＝12，即x（11﹣2x）＝12，解得：x1＝1.5，x2＝4（舍去），∴y＝11﹣2x＝8．答：矩形园子的长为8m，宽为1.5m．32．【解答】解：探究：（1）3×（3﹣1）÷2＝3，5×（5﹣1）÷2＝10．故答案为：3；10．（2）∵参加聚会的人数为n（n为正整数），∴每人需跟（n﹣1）人握手，∴握手总数为．故答案为：．（3）依题意，得：＝28，整理，得：n2﹣n﹣56＝0，解得：n1＝8，n2＝﹣7（舍去）．答：参加聚会的人数为8人．拓展：琪琪的思考对，理由如下：如果线段数为30，则由题意，得：＝30，整理，得：m2﹣m﹣60＝0，解得m1＝，m2＝（舍去）．∵m为正整数，∴没有符合题意的解，∴线段总数不可能为30．33．【解答】解：设AE＝BF＝xcm，由题意可得，长方体盒子的底面为正方形，其边长为xcm，长方体盒子的高为cm，∵得到的长方体盒子的表面积为11cm2∴2[2x2+x（6﹣2x）+x（6﹣2x）]＝11，整理得：4x2﹣24x+11＝0，解得x＝0.5或x＝5.5（舍去），∴线段AE的长0.5cm．34．【解答】解：（1）S1＝a×2a﹣1×2＝2a2﹣2，S2＝（2a﹣1﹣1）（a﹣1﹣1）＝2a2﹣6a+4；（2）当a＝4时，S1＝2×42﹣2＝30，S2＝2×42﹣6×4+4＝12，∵30＞12，∴方案一的绿化面积大．35．【解答】（1）解：存在；设“加倍”矩形的一边为x，则另一边为（10﹣x）则：x（10﹣x）＝12 （3分）解之得：x1＝5+，x2＝5﹣，∴10﹣x1＝5﹣；10﹣x2＝5﹣；答：“加倍”矩形的长为5+，宽为5﹣；（2）不存在．因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在．36．【解答】解：（1）由题意180S+（108﹣S）×40＝16500，解得S＝87．∴S的值为87；（2）①设区域Ⅱ上、下草坪环宽度为a，则左右两侧草坪环宽度为2a，由题意（9﹣2a）：（12﹣4a）＝4：5，解得a＝，∴AB＝9﹣2a＝8，CB＝12﹣4a＝10；②设乙、丙瓷砖单价分别为13x元/m2和12x元/m2，则甲的单价为（360﹣12x）元/m2，∵GH∥AD，∴甲的面积＝矩形ABCD的面积的一半＝40，设乙的面积为s，则丙的面积为（40﹣s），由题意40（360﹣12x）+13x•s+12x•（40﹣s）＝14520，解得s＝，∵0＜s＜40，∴0＜＜40，又∵360﹣12x＞0，综上所述，3＜x＜30，39＜13x＜390，∵三种花卉单价均为20的整数倍，∴乙花卉的总价为：1560元．。

全国2019—2020年最新中考数学真题分类汇编 9 一元二次方程及其应用专题精品试题及答案解析

一元二次方程及其应用考点一、一元二次方程的解法（10分）1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

考点二、一元二次方程根的判别式（3分）根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆考点三、一元二次方程根与系数的关系（3分）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a c x x =21。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

考点四、分式方程（8分）1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。

中考数学专题练习直接开平方法解一元二次方程(含解析)

2019中考数学专题练习-直接开平方法解一元二次方程（含解析）一、单选题1.若分式的值为0，则x的值是（）A.1或-1B.1C. -1D.0【答案】B【考点】分式的值为零的条件，解一元二次方程-直接开平方法【解析】【分析】根据分子为0，同时分母不等于0时，分式值是零，即可得到结果．由题意得，解得，则x=1，故选B.【点评】解答本题的关键是熟练掌握分式值是零的条件：分子为0，同时分母不等于0．2.若25x2=16，则x的值为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：25x2=16，x2= ，x=± ，故答案为：A【分析】观察次方程缺一次项，可以用直接开平方法求解或利用因式分解法求解。

3.方程的根是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】用开平方法可得【分析】将原方程变形为=4，用直接开平方法解得x=2，即= 2 ，= − 2.4.一元二次方程x2=2的解是（）A.x=2或x=﹣2B.x=2C.x=4或x=﹣4D.x=或x=﹣【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：∵x2=2，∵x=±．故选：D．【分析】直接开平方解方程得出答案．5.方程x2=9的解是（）A.x1=x2=3B.x1=x2=9C.x1=3，x2=﹣3D.x1=9，x2=﹣9【答案】C【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：x2=9，两边开平方，得x1=3，x2=﹣3．故选C．【分析】利用直接开平方法求解即可．6.一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）A.x-6=-4B.x-6=4C.x+6=4D.x+6=-4【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【分析】方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案．【解答】（x+6）2=16，两边直接开平方得：x+6=±4，则：x+6=4，x+6=-4，故选：D．7.方程x2=9的解是（）A.x=9B.x=±9C.x=3D.x=±3【答案】D【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：∵x2=9，∵x=±3，故选：D．【分析】直接开平方法即可得．8.若是反比例函数，则b的值为（）A.1B.－1C.D.任意实数【答案】A【考点】直接开平方法解一元二次方程，反比例函数的定义【解析】【解答】，解得.故答案为：A.【分析】根据反比例函数的定义知，自变量次数为-1，b2-2=-1，得b=1，,又因为比例系数k≠0，得b+1≠0，得b≠-1，综合分析可得b=1。

全国各地中考数学分类：一元二次方程综合题汇编附答案解析

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%3a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值.【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30.【解析】【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可.【详解】（1）设销售A 品牌的建材x 件.根据题意，得()60009000126966000x x +-≥，解这个不等式，得56x ≤，答：至多销售A 品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件，根据题意，得 ()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2323a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=，解这个方程，得1230,10y y ==， ∴10a =（舍去），230a =，即a 的值是30.【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．2．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.3．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．4．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0…①（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1 ∴2--2=0． ∴∴另一根是2；(2)∵， ∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根5．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x 元.根据题意，得（60﹣x ﹣40）（100+x 2×20）=2240，化简，得 x 2﹣10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90%60⨯. 答：该店应按原售价的九折出售.6．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0．（1）求证：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC 的一边长a ＝3，另两边b 、c 恰好是这个方程的两个根，求k 值多少？【答案】（1）详见解析；（2）k ＝32或2．【解析】【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k ﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x 1＝2k ﹣1，x 2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k ﹣1＝2或2k ﹣1＝3，然后分别解关于k 的方程即可．【详解】（1）∵△＝（2k +1）2﹣4×4（k ﹣12）＝4k 2﹣12k +9＝（2k ﹣3）2≥0， ∴该方程总有实数根；（2）()2k 12k 3x=2±＋﹣ ∴x 1＝2k ﹣1，x 2＝2， ∵a 、b 、c 为等腰三角形的三边，∴2k ﹣1＝2或2k ﹣1＝3，∴k ＝32或2．【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a 是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.7．已知：关于x 的一元二次方程221(1)204x m x m +++-=. （1）若此方程有两个实数根，求没m 的最小整数值；（2）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22211221184x x x m x +=--，求m 的值. 【答案】（1）-4；（2）m=3【解析】【分析】（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+，212124x x m =-，然后解关于m 的一元二次方程，即可确定m 的值．【详解】解：（1）∵221(1)204x m x m +++-=有两个实数根， ∴221(1)41(2)04m m ∆=+-⨯⨯-≥，∴290m +≥， ∴92m ≥-； ∴m 的最小整数值为：4m =-；（2）由根与系数的关系得：12(1)x x m +=-+，212124x x m =-，由22212121184x x x x m ++=-得： ()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭∴22150m m +-=，解得：3m =或5m =-； ∵92m ≥-， ∴3m =.【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则12b x x a +=-，12c x x a=．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.8．解方程：（x 2+x ）2+（x 2+x ）＝6．【答案】x 1＝﹣2，x 2＝1【解析】【分析】设x 2+x ＝y ，将原方程变形整理为y 2+y ﹣6＝0，求得y 的值，然后再解一元二次方程即可．【详解】解：设x 2+x ＝y ，则原方程变形为y 2+y ﹣6＝0，解得y1＝﹣3，y2＝2．①当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1；②当y＝﹣3时，x2+x＝﹣3，即x2+x+3＝0，∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，∴此方程无解；∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.9．解方程：x2－2x＝2x＋1.【答案】x1＝2，x2＝2【解析】试题分析：根据方程，求出系数a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式x=求解即可.试题解析：方程化为x2－4x－1＝0.∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x＝，∴x1＝2，x2＝210．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．【答案】（1）证明见解析；（2）x1=﹣，x2=﹣1或【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-ba，x1•x2=ca，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣35）2+365，∴△＞0，则方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1•x2=ca=﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，∴x1，x2异号，又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，∴m﹣3=﹣2，即m=1，方程化为x2+2x﹣1=0，解得：x1=﹣x2=﹣1，若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，方程化为x2﹣2x﹣25=0，解得：x1=1，x2。

全国各地中考模拟试卷数学分类：一元二次方程综合题汇编及答案解析

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