4 刘次华《随机过程及其应用(第三版)》课件
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随机过程课件打印版
当An An 1 , n 1
当An An 1 , n 1
9
A1 A2
连续性定理
A1 A2
则称P为（Ω，F）上的概率，（Ω，F，P）称 为概率空间，P（A）为事件A的概率。
An Ai 新事件：lim n i 1
lim An Ai
n i 1
3 对于R n中的任意区域， a1 , b1; a2 , b2 ;;a n , bn ，其中 ai bi , i 1,, n
F b1 , b2 ,, bn F b1 ,, bi 1 , ai , bi 1 ,bn F b1 ,, bi 1 , ai , bi 1 ,, b j 1 , a j , b j 1 ,, bn ，
d P({e : g( X ) y, e X }) dy
如果上式右端概率的导数对于y处处存在，那么这 个导数就给出了随机变量Y的概率密度
fY ( y)
19
20
n维联合分布函数F x1 , x 2 , x n 具有下列性质 :
三、边缘分布
若二维联合分布函数中有一个变元趋于无 穷，则其极限函数便是一维分布函数，对于这 种特殊性质，我们称其为边缘分布。 对于任意两个随机变量X,Y，其联合分布函数为： F ( x, y ) 则： FX ( x ) P ( X x ) P ( X x , Y ) F ( x , )
P( X x,Y y) P((X x) (Y y)) P( X x)P(Y y)kFra biblioteknpkq
nk
, k 0 ,1 , 2 n
p
P(X k)
k
k!
当An An 1 , n 1
9
A1 A2
连续性定理
A1 A2
则称P为（Ω，F）上的概率，（Ω，F，P）称 为概率空间，P（A）为事件A的概率。
An Ai 新事件：lim n i 1
lim An Ai
n i 1
3 对于R n中的任意区域， a1 , b1; a2 , b2 ;;a n , bn ，其中 ai bi , i 1,, n
F b1 , b2 ,, bn F b1 ,, bi 1 , ai , bi 1 ,bn F b1 ,, bi 1 , ai , bi 1 ,, b j 1 , a j , b j 1 ,, bn ，
d P({e : g( X ) y, e X }) dy
如果上式右端概率的导数对于y处处存在，那么这 个导数就给出了随机变量Y的概率密度
fY ( y)
19
20
n维联合分布函数F x1 , x 2 , x n 具有下列性质 :
三、边缘分布
若二维联合分布函数中有一个变元趋于无 穷，则其极限函数便是一维分布函数，对于这 种特殊性质，我们称其为边缘分布。 对于任意两个随机变量X,Y，其联合分布函数为： F ( x, y ) 则： FX ( x ) P ( X x ) P ( X x , Y ) F ( x , )
P( X x,Y y) P((X x) (Y y)) P( X x)P(Y y)kFra biblioteknpkq
nk
, k 0 ,1 , 2 n
p
P(X k)
k
k!
随机过程论(第3版)PPT完整全套教学课件
在独立增量过程中有一类很重要的特例一稳定过程，它满足条件:存在a>0(a称为此稳定 过程的阶)，使对∀c>0恒有
04 马 氏 过 程
马氏过程
定义14(马氏过程)
成立。式(1.17)又称为马氏性。 特别地，
马氏过程
命题1.2
成立。
证明 当
时，式(1.17)显然蕴含式(1.18);另外，用测度论典型
证明
可见Y是一元正态分布。
Gauss 系
命题1.6
证明
Gauss 系
命题1.7
令
Gauss 系
命题1.7
于是 这就可得到 于是
Gauss 系
命题1.8
于是 这就可得到 于是 这就证明了 (a)，(b)可采用同样的方法证明。
Gauss 系
命题1.9
于是 这就可得到 而式(1.28)左侧等于
Gauss 系
第二章
鞅论初步
随机过程论
上鞅、下鞅的概
01 念 、 简 单 性 质 与
分解定理
1.概念与简单性质
设在概率空间
上有一个非降的σ-代数族
和实随机过程
条件2’)还蕴含 证明1)令
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
2)证明P( · )在δ上是完全可加的。
1° 为书写方便，我们先定义以下m-步转移概率测度。设
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
及
再令 由
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
2° 用归纳法来证明存在 由于
当K=-1时，式(1.27)可写成
Kolmogorov定理给出了由有限维联合分布族构造(Ω,ƒ)上测度P的方法。
1.Kolmogorov定理
04 马 氏 过 程
马氏过程
定义14(马氏过程)
成立。式(1.17)又称为马氏性。 特别地，
马氏过程
命题1.2
成立。
证明 当
时，式(1.17)显然蕴含式(1.18);另外，用测度论典型
证明
可见Y是一元正态分布。
Gauss 系
命题1.6
证明
Gauss 系
命题1.7
令
Gauss 系
命题1.7
于是 这就可得到 于是
Gauss 系
命题1.8
于是 这就可得到 于是 这就证明了 (a)，(b)可采用同样的方法证明。
Gauss 系
命题1.9
于是 这就可得到 而式(1.28)左侧等于
Gauss 系
第二章
鞅论初步
随机过程论
上鞅、下鞅的概
01 念 、 简 单 性 质 与
分解定理
1.概念与简单性质
设在概率空间
上有一个非降的σ-代数族
和实随机过程
条件2’)还蕴含 证明1)令
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
2)证明P( · )在δ上是完全可加的。
1° 为书写方便，我们先定义以下m-步转移概率测度。设
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
及
再令 由
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
2° 用归纳法来证明存在 由于
当K=-1时，式(1.27)可写成
Kolmogorov定理给出了由有限维联合分布族构造(Ω,ƒ)上测度P的方法。
1.Kolmogorov定理
《随机过程及其应用》PPT课件
• 我们称这个极限limP(x(n)=0)＝ 为{x(n),n 0} 的绝灭概率，显然 0 1 • 定理2.5设{x(n),n 0}是一个初始状态为1的以 f(s)=p(0)+p(1)s+…为本原母函数的分枝过程。 为其绝灭概率，则 • (1) =f( ) =1 • (2)当 1,p(1)<1时有 • (3)当1< 时, 是s=f(s)在[0,1)内的唯一解
• 所以对于一个取非负整数值的随机变量x,只要 知道了它的母函数其分布也就完全知道了。 • 二、分枝过程 • • • • 设有一个反应堆，最初有n(0)个质点，由于质 点之间的相互碰撞或其它射线的轰击，每隔一 单位时间，一个质点可分离成k个质点 （k=0,1,2…)并设 • （1）这些质点的分离情况是相互独立的，具 有共同分布 • （2）质点的分离情况与其年龄无关
k
(5) 2 (1) n(0) 2 , 2 f " (1) f ' (1) ( f ' (1))2 (6) 当 1时, 2 (n) n(0) 2 n ( n 1) /( 2 ) 2 2 当 = 1时， (n) n0 n 从定理2.4可知，只要f(s)已知，则{X(n),n 0} 的一切信息都知道了。 对于某一时刻n,若x(n)=0,则该过程就灭绝了。 下面来讨论过程灭绝的概率 • 因为{X(n)=0} {x(n+1) =0} • 所以0 P(x(n)=0) P(x(n+1)=0)1,即 {P(x(n)=0),n=1,2,…}是一个单调有界序列，故 其极限一定存在。 • • • • • •
• Z(n+1,i)表示时刻n存在的第i个质点在下一时刻 (n+1)时刻分离出的质点数。 • X(n)表示n时刻反应堆中的质点数，则有 • X(0)=n(0) • X(1)=Z(1,1)+Z(1,2)＋…+Z(1,n(0)) • X(2)=Z(2,1)+Z(2,2)+…Z(2,x(1)） • ……………. • X(n+1)=Z(n+1,1)+Z(n+1,2)+…+Z(n+1),x(n)) • 上面的假设（1）、（2）说明{z(n+1,i),i 1,n 0}是一族相互独立具有共同分布的取非负整数 的随机变量。令其共同分布为p(k)=P(z(n,i)=k)
刘次华《随机过程及其应用(第三版)》课件6b剖析
协方差函数 CX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t)
min( s,t) s , (s t)
(2) 时间间隔与等待时间
设 {X (t), t 0 }是泊松过程，令X (t)表示 t 时刻事件A
发生的次数， T1 T2 T3
n
Wn Ti (n 1)
Tn
i 1
考虑机器在 (t, t+h] 内发生故障这一事件。若机器发生故障， 立即修理后继续工作，则在 (t, t+h] 内机器发生故障而停止 工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松过程来描 述。
6.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
P{X (t s) X (s) n} (t)n et , n 0,1,
fT
(t )
et
(t)k 1 ,
(k 1)!
t
0
0 ,
t 0
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
P P(T t0 )
e
t
(t)k 1
dt
t0
(k 1)!
P[ X (t0 )
k]
k 1
e t0
n0
(t0 )n
n!
(3) 到达时间的条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P( X
k)
n kpkqnkE( X ) np, D( X ) npq
[泊松定理] 在二项分布中，设 np= 是常数，则有
lim P( X k ) ke
n
k!
泊松分布
[泊松分布] 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, … ，而 取各个值的概率为
《随机过程及其应用(第三版)》课件SJGC6-2
13
1 p1 j = P{ X (n + 1) = j | X ( n) = 1} = , j = 1, 2, L , 6 6 而又当X(n)=2时 由题意应知条件概率
p 21 = P{ X ( n + 1) = 1 | X ( n ) = 2} = 0 p2 j = 1 , j = 3, 4, 5, 6 6
1) pij ( k ) ≥ 0 2) ∑ p ij ( k ) = 1
j∈E
∀ i, j ∈ E ∀i ∈ E
第1)条性质是由概率定义所决定的; 第2)条性质利用全概率公式可知其正确性 实际上 ∀i ∈ E , ∑ pij (k ) = ∑ P{ X (k + 1) = j | X (k ) = i}
2
一 马氏链的定义
1 可列状态与有限状态马氏链
定义2.1 设{X(n),n 0}为一随机序列 其状态集为 E= {i0,i1,i2,…} 若对于任意的n 及i0,i1,i2,…in+1 对应的随机变量X(0),X(1),X(2),...,X(n+1)满足
P{X (n +1) = j | X (n) = in , X (n −1) = in−1,L, X (1) = i1, X (0) = i0} = P{X (n +1) = j | X (n) = in )
= P{X (n +1) = in+1 | X (0) = i0 , X (1) = i1,L, X (n) = in }P{X (0) = i0 ,
X (1) = i1,L, X (n) = in } = P{X (n +1) = in+1 | X (n) = in }P{X (0) = i0 , X (1) = i1,L, X (n) = in }
1 p1 j = P{ X (n + 1) = j | X ( n) = 1} = , j = 1, 2, L , 6 6 而又当X(n)=2时 由题意应知条件概率
p 21 = P{ X ( n + 1) = 1 | X ( n ) = 2} = 0 p2 j = 1 , j = 3, 4, 5, 6 6
1) pij ( k ) ≥ 0 2) ∑ p ij ( k ) = 1
j∈E
∀ i, j ∈ E ∀i ∈ E
第1)条性质是由概率定义所决定的; 第2)条性质利用全概率公式可知其正确性 实际上 ∀i ∈ E , ∑ pij (k ) = ∑ P{ X (k + 1) = j | X (k ) = i}
2
一 马氏链的定义
1 可列状态与有限状态马氏链
定义2.1 设{X(n),n 0}为一随机序列 其状态集为 E= {i0,i1,i2,…} 若对于任意的n 及i0,i1,i2,…in+1 对应的随机变量X(0),X(1),X(2),...,X(n+1)满足
P{X (n +1) = j | X (n) = in , X (n −1) = in−1,L, X (1) = i1, X (0) = i0} = P{X (n +1) = j | X (n) = in )
= P{X (n +1) = in+1 | X (0) = i0 , X (1) = i1,L, X (n) = in }P{X (0) = i0 ,
X (1) = i1,L, X (n) = in } = P{X (n +1) = in+1 | X (n) = in }P{X (0) = i0 , X (1) = i1,L, X (n) = in }
《随机过程——计算与应用》课件平稳过程4
RX ( ) e2 , (, )
试计算X的谱密度.
解
谱密度S（X ）
e
j
RX
(
)d
e j e2 d
2 cos( )e2 d 0
4
4 2 2
,
(, )
例5.4.2 设X={Xt, -∞<t<+∞ }为零均值的实的正交增量过程，
且满足 E[Xt -Xs ]2 t s , 令 Yt Xt -Xt1,
k l =-
+
2 ckckm RY (m) k=-
Y为平稳序列.
+
又
RY (m)
2 ckckm
m
m k=-
+
2
ck ckm
m k=-
+
2
ck cl
k=- l
令 kml
2 ( ck ) cl
k
l
（2 ck ）2 k
所以Y 存在谱密度.
Y的谱密度
又称
lim E[ 1
T 2T
T T
Xt
2 dt]
为平稳过程X的平均功率.
定理5.4.1 设平稳过程X={Xt -∞<t<+ ∞}的相关函数RX(τ)
绝对可积,则有
SX ()
e
jt
RX
(
)dt
证明 因为
1E 2T
T T
e
jt
X t dt
2
1 2T
E[
T T
e
js
X
s
ds
T T
e
jt
X
T
X
e
jwu
随机过程4(34)精品PPT课件
1. 功率谱密度的概念
●工程实际中, 能量有限的信号x(t)称为 能量型信号, 可以定义它的总能量:
x2 (t)dt
当时间趋于无穷时,它的平均功率趋于零.
●另一类信号x(t),其能量是无限的,但平均功率有限.即
P lim 1 T x2(t)dt
T 2T T
称为 功率型信号.周期信号就是常见的功率信号.
说明信号的总能量等于能谱密度在全频域上的积分. 右式也是总能量的谱表达式.
由于实际中很多信号(函数)的总能量是无限的, 不满足绝对可积的条件,所以通常研究x(t)在 (-∞,+ ∞)上的平均功率,即
lim 1 T x2 (t)dt
T 2T T
为了能利用Fouier变换给出平均功率的谱表达式, 构造一个截尾函数:
§4 平稳过程的功率谱密度
● 之前对平稳过程的讨论都是在进行的. 在时域上描述了平稳过程的统计特征.
● 但对许多物理和工程领域中问题,不仅要研究其 在时域上的特性,还要研究其在频域内的特征,即 从频率的角度来研究随机过程的统计特征. 例如对信号处理、线性系统分析以及随机振动的 研究. 其中广泛采用的方法是频率域分析方法.
T e jt X (t)dt
T
称 lim E[ 1 T X 2 (t) dt] 为过程的平均功率.
T 2T T
定理1 设{X(t), -∞<t<+ ∞}是平稳过程,若RX(τ) 绝对可积,则有
S X
()
lim
T t
T
lim 1
T 2T
E[ FX (,T ) 2 ]=
即
S（x ）
lim 1 T 2T
Fx (,T )
2
lim
《随机过程及其应用(第三版)》课件SJGC5-1
6
3. 严平稳过程的数字特征
(1)均值函数 m X ( t ) = E [ X ( t )]
=∫
2
+∞
−∞
xf ( x, t )dx = ∫
+∞
−∞
xf ( x)dx = 常数= mX
均方值函数
2 (t) = E[X 2 (t)]= ψX
∫
+∞
−∞
x f (x, t)dx =
+∞ −∞ 2
2
∫
+∞
一 二 三
平稳过程 宽平稳过程 联合平稳过程
1
一
平稳过程
为一随机过程 若对任
1. 严平稳过程定义
定义1.1 设{X (t) ,t 意整数n 任意的
t1 , t 2 , L , t n ∈ T ,
即
t1 + ε, t2 + ε ,L, tn + ε ∈T
其n维分布函数相等
F , xn,t1,t2,L ,tn) = F(x1, x2,L , xn,t1 +ε,t2 +ε,L ,tn +ε) n(x 1, x2,L
[
]
[
] [
]
14
2 ) R X ( −τ ) = R X (τ )
பைடு நூலகம்
因为R X (τ ) = E X (t ) X (t + τ ) = E X (t )X (t + τ )
= E X (t + τ ) X (t ) = E ( X ( s ) X ( s − τ )] = R X ( −τ )
[
CX (t1 , t2 ) = Cov( X (t), X (t2 )) = RX (t1 , t2 ) − mX (t1 )mX (t 2 ) = RX (t2 − t1 ) − mX mX = CX (t2 − t1 )
3. 严平稳过程的数字特征
(1)均值函数 m X ( t ) = E [ X ( t )]
=∫
2
+∞
−∞
xf ( x, t )dx = ∫
+∞
−∞
xf ( x)dx = 常数= mX
均方值函数
2 (t) = E[X 2 (t)]= ψX
∫
+∞
−∞
x f (x, t)dx =
+∞ −∞ 2
2
∫
+∞
一 二 三
平稳过程 宽平稳过程 联合平稳过程
1
一
平稳过程
为一随机过程 若对任
1. 严平稳过程定义
定义1.1 设{X (t) ,t 意整数n 任意的
t1 , t 2 , L , t n ∈ T ,
即
t1 + ε, t2 + ε ,L, tn + ε ∈T
其n维分布函数相等
F , xn,t1,t2,L ,tn) = F(x1, x2,L , xn,t1 +ε,t2 +ε,L ,tn +ε) n(x 1, x2,L
[
]
[
] [
]
14
2 ) R X ( −τ ) = R X (τ )
பைடு நூலகம்
因为R X (τ ) = E X (t ) X (t + τ ) = E X (t )X (t + τ )
= E X (t + τ ) X (t ) = E ( X ( s ) X ( s − τ )] = R X ( −τ )
[
CX (t1 , t2 ) = Cov( X (t), X (t2 )) = RX (t1 , t2 ) − mX (t1 )mX (t 2 ) = RX (t2 − t1 ) − mX mX = CX (t2 − t1 )
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有相同的n维联合分布函数，则称{X (t), t T } 具有N 阶
平稳性。
（其实，当 n = N 时条件满足即可）
宽平稳过程
[定义] 设{X (t), t T }是随机过程，如果 (1) {X (t), t T }是二阶矩过程； (2) 对任意 t T ，mX(t) = E{X(t)} = 常数；（均值平稳）
大数定理表明，随着时间的无限增长，随机过程的样本函数按时间 平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。
只要观测的时间足够长，则随机过—遍历性（或各 态历经性、埃尔古德性）
时间均值和时间相关函数
[定义] 设 { X (t), < t < } 为均方连续的平稳过程，则
设 { Xn , n = 0, 1, 2, } 是实的互不相关随机变量 序列，且 E[Xn] = 0，D[Xn] = 2 ，试讨论随机序列的 平稳性 。
[解]
因为: (1) E[Xn] = 0
2 , 0 ( 2 )R ( n , n ) E [ X X ] X n n 0 , 0
2 t ) f ( ) d sin( 2 t ) d 0 sin(
1 0
R ( t , t ) E [ X ( t ) X ( t )] X
1
1 2 , 0 sin( 2 t ) sin[ 2 ( t )] d 0 0 , 0
同的联合分布函数，则称{X (t), t T } 为严平稳过程，
也称狭义平稳过程。
N 阶平稳过程
[定义] 设{X (t), t T }是随机过程，若对于正整数 n N 和
任意常数 ，t1 , t2 , … , tn T ，t1+ , t2+ , … , tn+ T ，
( X(t1), X(t2), … , X(tn) )与( X(t1+ ), X(t2+ ), … , X(tn+ ) )
lim R ( X
) m Xm X.
4.2
平稳过程的各态历经性
对于随机过程 X (t, e) ，
对于每一个固定的 t T ，X (t, e) 是一个随机变量，
E[X (t)] = mX (t) 为统计平均。
对于每一个固定的 e ，X (t, e) 是普通的时间函数，
R ( ) R ( ) X X
R (t ,t ) a a 0;
X i j i j
(4) RX()是非负定的，即
i, j 1
(5) 若 X (t) = X (t+T)，则有 RX() = RX(+T) ； (6) 若 X (t) 是非周期过程，当 时，X (t) 与 X (t+)相互 独立，则
T 1 X ( t ) E [ X ( t )] ,即 l . i . m X ( t ) d t m X T T 2 T P . 1 r
以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。
若
X ( t)X ( t ) E [X ( t)X ( t ) ], 即
P. r 1
(3) 对任意s , t T ，RX (s, t) = E[X(s)X(t)] = RX (ts) ；
（自相关平稳）
则称{X (t), t T } 为广义平稳过程，简称(宽)平稳过程。
常用平稳性之间的关系
严平稳
n 阶平稳 ( n>2 )
高斯过程
广义平稳
二阶平稳
自相关平稳
一阶平稳
均值平稳
例1——白噪声
故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关， 因此它是平稳随机序列。
例2
设有状态连续、时间离散的随机过程 X (t) = sin(2t)，
其中 为（0, 1）上均匀分布的随机变量，t 只取整数 值 1, 2, ，试讨论随机过程X (t)的平稳性。
[解] E [ X ( t )] E [sin( 2 t )]
因此 X (t)是平稳随机过程。
平稳过程相关函数的性质
[定理] 设 {X (t), t T }是平稳过程，则其相关函数 RX() 具有下列性质：
(1) R 0 ) 0 ; X( (2) R ( ) R ( ) ; X X (3) R ) R 0 ); X( X(
n
实平稳过程的相关函数是偶函数
1 T l.i.m X ( t)X ( t )d t R ) X( T T 2 T 以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。
[定义] 如果均方连续的平稳过程 { X (t), t T } 的均值和相关函数都 具有各态历经性，则称该平稳过程具有各态历经性或遍历性。
4 平稳随机过程
内容提要
平稳过程的概念与性质
平稳过程 的各态历经性
平稳过程的功率谱密度
联合平稳过程
4.1
平稳过程的概念与性质
严平稳过程
[定义] 设{X (t), t T }是随机过程，若对任意常数 和正整 数n，t1 , t2 , … , tn T ，t1+ , t2+ , … , tn+ T ，( X (t1), X(t2), … , X (tn) )与( X (t1+ ), X(t2+ ), … , X (tn+ ) )有相
分别称
1 T X ( t) l.i.m X ( t)d t T T 2 T 1 T X ( t)X ( t ) l.i.m X ( t)X ( t )d t T T 2 T
为该过程的时间均值和时间相关函数。
各态历经性
[定义] 设 { X (t), < t < } 为均方连续的平稳过程，若
在 T 上对 t 取平均，即得时间平均。
大数定理（回顾）
设独立同分布的随机变量序列 {Xn , n = 1, 2, }， 具有 E[Xn] = m, D[Xn] = 2, ( n = 1, 2, )，则
1 N lim P X m 1 k N N k 1
平稳性。
（其实，当 n = N 时条件满足即可）
宽平稳过程
[定义] 设{X (t), t T }是随机过程，如果 (1) {X (t), t T }是二阶矩过程； (2) 对任意 t T ，mX(t) = E{X(t)} = 常数；（均值平稳）
大数定理表明，随着时间的无限增长，随机过程的样本函数按时间 平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。
只要观测的时间足够长，则随机过—遍历性（或各 态历经性、埃尔古德性）
时间均值和时间相关函数
[定义] 设 { X (t), < t < } 为均方连续的平稳过程，则
设 { Xn , n = 0, 1, 2, } 是实的互不相关随机变量 序列，且 E[Xn] = 0，D[Xn] = 2 ，试讨论随机序列的 平稳性 。
[解]
因为: (1) E[Xn] = 0
2 , 0 ( 2 )R ( n , n ) E [ X X ] X n n 0 , 0
2 t ) f ( ) d sin( 2 t ) d 0 sin(
1 0
R ( t , t ) E [ X ( t ) X ( t )] X
1
1 2 , 0 sin( 2 t ) sin[ 2 ( t )] d 0 0 , 0
同的联合分布函数，则称{X (t), t T } 为严平稳过程，
也称狭义平稳过程。
N 阶平稳过程
[定义] 设{X (t), t T }是随机过程，若对于正整数 n N 和
任意常数 ，t1 , t2 , … , tn T ，t1+ , t2+ , … , tn+ T ，
( X(t1), X(t2), … , X(tn) )与( X(t1+ ), X(t2+ ), … , X(tn+ ) )
lim R ( X
) m Xm X.
4.2
平稳过程的各态历经性
对于随机过程 X (t, e) ，
对于每一个固定的 t T ，X (t, e) 是一个随机变量，
E[X (t)] = mX (t) 为统计平均。
对于每一个固定的 e ，X (t, e) 是普通的时间函数，
R ( ) R ( ) X X
R (t ,t ) a a 0;
X i j i j
(4) RX()是非负定的，即
i, j 1
(5) 若 X (t) = X (t+T)，则有 RX() = RX(+T) ； (6) 若 X (t) 是非周期过程，当 时，X (t) 与 X (t+)相互 独立，则
T 1 X ( t ) E [ X ( t )] ,即 l . i . m X ( t ) d t m X T T 2 T P . 1 r
以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。
若
X ( t)X ( t ) E [X ( t)X ( t ) ], 即
P. r 1
(3) 对任意s , t T ，RX (s, t) = E[X(s)X(t)] = RX (ts) ；
（自相关平稳）
则称{X (t), t T } 为广义平稳过程，简称(宽)平稳过程。
常用平稳性之间的关系
严平稳
n 阶平稳 ( n>2 )
高斯过程
广义平稳
二阶平稳
自相关平稳
一阶平稳
均值平稳
例1——白噪声
故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关， 因此它是平稳随机序列。
例2
设有状态连续、时间离散的随机过程 X (t) = sin(2t)，
其中 为（0, 1）上均匀分布的随机变量，t 只取整数 值 1, 2, ，试讨论随机过程X (t)的平稳性。
[解] E [ X ( t )] E [sin( 2 t )]
因此 X (t)是平稳随机过程。
平稳过程相关函数的性质
[定理] 设 {X (t), t T }是平稳过程，则其相关函数 RX() 具有下列性质：
(1) R 0 ) 0 ; X( (2) R ( ) R ( ) ; X X (3) R ) R 0 ); X( X(
n
实平稳过程的相关函数是偶函数
1 T l.i.m X ( t)X ( t )d t R ) X( T T 2 T 以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。
[定义] 如果均方连续的平稳过程 { X (t), t T } 的均值和相关函数都 具有各态历经性，则称该平稳过程具有各态历经性或遍历性。
4 平稳随机过程
内容提要
平稳过程的概念与性质
平稳过程 的各态历经性
平稳过程的功率谱密度
联合平稳过程
4.1
平稳过程的概念与性质
严平稳过程
[定义] 设{X (t), t T }是随机过程，若对任意常数 和正整 数n，t1 , t2 , … , tn T ，t1+ , t2+ , … , tn+ T ，( X (t1), X(t2), … , X (tn) )与( X (t1+ ), X(t2+ ), … , X (tn+ ) )有相
分别称
1 T X ( t) l.i.m X ( t)d t T T 2 T 1 T X ( t)X ( t ) l.i.m X ( t)X ( t )d t T T 2 T
为该过程的时间均值和时间相关函数。
各态历经性
[定义] 设 { X (t), < t < } 为均方连续的平稳过程，若
在 T 上对 t 取平均，即得时间平均。
大数定理（回顾）
设独立同分布的随机变量序列 {Xn , n = 1, 2, }， 具有 E[Xn] = m, D[Xn] = 2, ( n = 1, 2, )，则
1 N lim P X m 1 k N N k 1