计量经济学教案

计量经济学教案

应用经济学教研室

2006年5月

目录

第1章绪论 (1)

1.1计量经济学 (1)

1.2计量经济学方法论 (2)

第2章一元线性回归模型 (7)

2.1回归分析概述 (7)

2.2一元线性回归模型 (12)

第3章多元线性回归模型 (30)

3.1多元线性回归模型 (30)

3.2多元线性回归模型的统计检验 (39)

3.3多元线性回归模型的置信区间 (43)

第4章异方差性 (49)

4.1异方差的概念 (49)

4.2异方差的后果 (51)

4.3异方差的检验 (52)

4.4异方差的修正 (54)

4.5案例—居民储蓄模型估计 (56)

第5章序列相关性 (59)

5.1序列相关性 (59)

5.2序列相关性的后果 (61)

5.3序列相关性的检验 (62)

5.4序列相关性的修正 (64)

5.5案例—地区商品出口模型估计 (67)

第6章多重共线性 (70)

6.1多重共线性 (70)

6.2多重共线性的后果 (71)

6.3多重共线性的检验 (73)

6.4多重共线性的方法 (74)

6.5案例—服装市场需求函数 (75)

第7章随机解释变量和虚拟变量 (78)

7.1随机解释变量问题 (78)

7.2虚拟变量模型 (83)

第8章单方程计量经济学应用模型 (89)

8.1生产函数模型 (89)

8.2需求函数模型 (96)

第9章滞后变量模型 (102)

9.1滞后变量模型的基本概念 (102)

9.2分布滞后模型的参数估计 (103)

9.3滞后变量模型的构造 (107)

9.4自回归模型的估计 (109)

9.5案例—我国长期货币流通量需求模型 (111)

第10章联立方程计量经济学模型理论与方法 (113)

10.1联立方程模型的基本概念 (113)

10.2联立方程模型的结构式和简化式 (115)

10.3计量经济学方法中的联立方程问题 (118)

第11章联立方程计量经济学模型的识别 (121)

11.1模型的识别的概念 (121)

11.2模型的识别的阶条件和秩条件 (125)

第12章联立方程模型的估计 (130)

12.1联立方程模型的单方程估计方法 (130)

12.2联立方程模型的系统估计方法 (138)

第一章绪论

【教学目的与要求】通过本章学习，要求了解计量经济学的基本概念、计量经济学的内容体系以及本课程涉及的内容、计量经济学的主要应用、建立与应用计量经济学模型的工作步骤、学习计量经济学的重要性。要求掌握计量经济学的经济学科性质以及在经济学科中的地位，在建立与应用计量经济学模型的每一步骤中应注意的关键问题。

【教学重点与难点】本章重点是对计量经济学的经济学科性质的理解和在建立与应用计量经济学模型的每一步骤中应注意的关键问题。难点是如何将本章的知识用于指导全课程的学习。

【教学方法】课堂讲授、实证分析与学生自学相结合。

§1.1计量经济学

一、计量经济学

计量经济学，是对经济学的作用存在有某种期待的结果，它把数理统计学应用于经济数据，以使数理经济学构造出来的模型得到经验上的支持，并获得数值结果。

计量经济学可定义为实际经济现象的数量分析。这种分析基于理论与观测的并行发展，而理论与观测又通过适当的方法而得以联系。

计量经济学研究经济定律的经验判断。

本质上，计量经济学的研究方法是，利用统计推断的理论和技术作为桥头堡，以达到经济理论和实际测算相衔接的目的。

对经济的数量研究有几个方面，其中任何一个就其本身来说都不应该与经济计量学混为一谈。因此，经济计量学与经济统计学绝不是一样的。它也不等于我们所说的一般经济理论，即使这种理论中有很大部分具有确定的数量特征。也不应把计量经济学的意义与经济学中应用经济学看成是一样的。经验表明，统计学、经济理论和数学的三个方面的观点之一是实际理解现代经济生活中数量关系的必要条件，但任何一种观点都不是充分条件。这三者的统一才是强有力的工具；正是由于这三者的统一才构成了经济计量学。（R.Frish，Economitrica,1933）

Comparison：Mathematical Economics----the mathematical development of the economic theory Economic Statistics----concerned with descriptive statistics: developing and refining

Economic data (national income accounts,index numbers) Econometrics----utilizes the data to estimate quantitative economic relationships and

To test hypotheses about them..

(Michael D. Intriligator, Professor of Economics, University of California, Los Angeles)

二、计量经济学模型

模型（models），是对现实的描述和模拟。对现实的各种不同的描述和模拟方法，就构成了各种不同的模型：

语义模型（也称逻辑模型）、物理模型、几何模型、数学模型和计算机模型等。

经济理论——语义模型

例1：对供给不足下的生产活动，我们可以用“产出量是由资本、劳动、技术等投入要

素决定的，在一般情况下，随着各种投入要素的增加，产出量也随之增加，但要素的边际产出是递减的”来描述。

数理经济模型——（经济）数学模型

计量经济模型——（经济）数学模型

比较：

数理经济模型：揭示经济活动中各个因素之间的理论关系，用确定性的数学方程加以描

述。如可将例1中的语义模型写成数理经济模型：

(,,)Q f T K L = 或 t Q Ae K L γαβ

=

计量经济模型：揭示经济活动中各个因素之间的定量关系，用随机性的数学方程加以描

述：如可将例1中的语义模型写成计量经济模型：t Q Ae K L γαβμ=

三、计量经济学的内容体系

1、 广义计量经济学和狭义计量经济学

计量经济学作为经济学的一个分支学科，有其广泛的内容。一般将它分为广义计量经济

学和狭义计量经济学。

广义计量经济学，是利用经济理论、数学以及统计学定量研究经济现象的经济计算方法

的统称，包括回归分析方法、投入产出分析方法、时间序列分析方法等。

狭义计量经济学，也就是我们通常所说的计量经济学，以揭示经济现象中的因果关系为

目的，在数学上主要应用回归分析方法。

2、 理论计量经济学和应用计量经济学

理论计量经济学：以介绍、研究计量经济学的理论与方法为主要内容，侧重于理论与方

法的数学证明与推导，与数理统计联系极为密切。

应用计量经济学：以建立与应用计量经济学模型为主要内容，强调应用模型的经济学和

经济统计学基础，侧重于建立与应用模型过程中实际问题的处理。

3、 计量经济学建模理论与方法的发展

传统方法（“结构模型方法”（50、60年代））：以先验给定的经济理论为建立模型的出

发点，以模型的参数估计为重心，以参数估计值与其理论预期值相一致为判断标准。

试验方法（70年代以后）：从只有少数方程和变量入手，进行试验，包括在各种变量的

组合中增删变量、或增删方程、或改变函数形式等，以求取得最佳模型。

§1.2计量经济学方法论

一、传统或经典方法论（建立模型）

（一）理论模型的设计

1、理论或假说的陈述；

2、理论的数学模型的设定；

3、理论的计量经济模型的设定；

（二）获取数据

（三）模型的参数估计

（四）模型的检验

1、经济意义的检验

2、统计检验

3、计量经济学检验

4、预测检验

（五）模型应用

1、经济分析/构分析

2、经济预测

3、政策评价

4、检验与发展经济理论

例2：凯恩斯消费理论

（一）理论模型的设计

1、理论或假说的陈述

“基本的心理定律是……，通常或平均而言，人们倾向于随着他们收入的增加而增加

其消费，但比不上收入增加得那么多。”（John Maynard Keynes, The General Theory of

Employment, Interest and Money ）

即：边际消费倾向（MPC ：marginal propensity to consume ）大于0而小于1。

●确定模型所包含的变量：消费（Y ）、（X ）

2、理论的数学模型的设定

数理经济学的设定：

()Y f X = （1.2.1）

或： 12Y X ββ=+ （1.2.2） 这里β1与2β分别表示一条直线的截距和斜率，其中2β就是对MPC 的度量。

●拟定理论模型中待估参数的理论期望值

1β>0; 0>2β>1

3、理论的计量经济学模型的设定

12Y X ββμ=++ （1.2.3） 其中：μ——误差项或干扰项（stochastic disturbance term ），是一个随机变量。

该计量经济消费模型假设了消费对收入有线性关系，但两者的关系还是不准确的，它从

一个家庭变到另一个家庭（由误差项表示）。

（二）样本数据的收集

为了估计（1.2.3）所示的计量经济模型，即为了得到1β和2β，需要有关于收入与消费

支出的统计数据。表1.1给出了一组美国经济的数据。

表1.1 Y(个人消费支出)和X(国内生产总值)数据(10亿万年美元)

(三) 模型的参数估计

参数估计将对模型赋予经验内容，是一个纯技术的过程。包括对模型进行识别（对联

立方程模型而言）、估计方法的选择、软件的应用等内容。在一定的假设下面，通过普通最小二乘法，利用表1.1中的数据所估计的消费函数是

X Y

7194.08.231?+-= (1.2.4) 从方程（1.2.4）可知，在1980~1991年期间，边际消费倾向约为0.72，表明在此期间，

实际收入每增加一美元，平均而言，实际消费支出增加约72美分。之所以说平均而言，是因为消费和收入之间没有准确的关系。

图1.1凯恩斯消费函数及其计量经济模型

a. 凯恩斯消费函数

b. 凯恩斯消费函数的计量经济模型

（四）模型的检验

1、 经济意义的检验 主要检验模型参数估计量在经济意义上的合理性。主要方法是将模型参数的估计量与

预先拟定的理论期望值进行比较，包括参数估计量的符号、大小、相互之间的关系，以判断其合理性。

这里，0<0.72<1，经济意义合理。

2、 统计检验

统计检验是由统计理论决定的，目的在于检验模型的统计学性质。通常最广泛应用的统

计检验准则有拟合优度检验、变量和方程的显著性检验等。

这里需要检验：0.72是否在统计意义上（statistical ）小于1？

3、 计量经济学检验

计量经济学检验是由计量经济学理论决定的，目的在于检验模型的计量经济学性质。

即运用所选定的估计方法（如上面所说的普通最小二乘法）时的前提假设是否存在。通常最主要的检验准则有随机误差项的序列相关检验和异方差性检验，解释变量的多重共线性检验等。

4、 预测检验

预测检验主要检验模型参数估计量的稳定性以及相对样本容量变化时的灵敏度，确定

所建立的模型是否可以用于样本观测值以外的范围，即模型的所谓超样本特性。

（五）模型应用

1、经济分析/结构分析

2、经济预测

3、政策评价

纯预测：假定1994年GDP 为60万亿美元，问1994年的消费将是多少？ 85.40607196.08.231?=?+-=Y

经济分析/政策评价：1993年克林顿总统上任后宣布其经济计划，其中包括对年收入超

过14万美元的人增税，假若政策改变的结果导致投资的下降，问这一收入政策对消费支出以至最后对就业的影响将如何？

根据宏观经济理论：投资支出每改变1元，收入的改变由收入乘数（M ）给出：

MPC

M -=11 因此，由模型中已得到的MPC=0.7196，可得到M=3.57。即投资减少1元，将最终导

致收入减少3.6美元。

于是，假定这一政策导致1994年投资支出下降1%，则可预算出收入下降1.014%，相

应的消费支出下降1.019%。

表1.2 1994年加税政策的影响

又问：政府认为4万亿美元的消费支出水平可维持当前约60.5%的失业率水平，问什么收入水平将保证消费支出的这一目标？

4000+

=

231

-

.0

X

7194

8.

X

=

5882

4、检验与发展经济理论

一方面，按照某种经济理论去建立模型，通过实际经济数据去拟合，根据拟合的好坏来检验经济理论；另一方面，根据实际数据来拟合各种模型，并通过分析总结拟合最好的模型所表现出来的变量间的关系，来探寻经济变化规律，即发现和发展经济理论。

二、计量经济学模型成功的三要素

从上述建立计量经济学模型的步骤中，不难看出，任何一项计量经济学研究、任何一个计量经济学模型赖以成功的要素应该有三个：理论、方法、数据

Economic Theory----econometric model

Statistic Theory---- econometric techniques

Facts----relevant data

理论、方法、数据

图1.2，The Econometric Approac

第二章一元线性回归模型的理论与方法

【教学目的与要求】

了解（最低要求）：一元线性单方程计量经济学模型的基本理论与方法；推导和证明与普通最小二乘法有关的参数估计过程和结论；应用计算器进行线性单方程模型的普通最小二乘估计；独立完成建立一元线性单方程计量经济学模型的全过程工作。

掌握（较高要求）：关于线性单方程积极性模型的基本假设，最小二乘法的基本原理；主要的统计检验方法及应用。

应用（对应用能力的要求）：学习该部分，要求建立一个实际的一元线性回归模型，用计算器完成参数估计量的计算与检验，最后提交一篇报告。

【教学重点与难点】本章重点是关于线性单方程积极性模型的基本假设，最小二乘法的基本原理；主要的统计检验方法及应用。难点是推导和证明与普通最小二乘法有关的参数估计过程和结论。

【教学方法】课堂讲授、实证分析与学生自学相结合。

§2.1 回归分析概述

一、变量间的关系及回归分析的基本概念

经济变量之间的关系，大体可分为两类：

确定性变量关系或函数关系：研究的是确定现象非随机变量间的关系。

统计依赖或相关关系：研究的是非确定现象随机变量间的关系。

例2.1：圆面积=F（π,圆半径）=π*圆半径*圆半径，函数关系；

农作物产量=F（气温、降雨量、阳光、施肥量），统计依赖（相关）关系。

线性相关不相关相关系数：

有因果关系回归分析统计依赖（相关）关系负相关-1≤ρ≤1

无因果关系相关分析

非线性相关不相关

负相关

▲注意：①不线性相关并不意味着不相关；

②有相关关系并不意味着一定有因果关系；

③回归分析/相关分析研究一个变量对另一个（些）变量的统计依赖关系，但它们

并不意味着一定有因果关系。

④回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和自

变量（解释变量）：前者是随机变量，后者不是；相关分析则对称地对待任何(两

个)变量，两个变量都被看作是随机的。

回归分析是研究一个变量关于另一个（些）变量的依赖关系的计算方法和理论。其用意在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。前一个变量

被称为被解释变量（Explained Variable ）或应变量（Dependent Variable ）后一个变量被称为解释变量（Explanatory Variable ）或自变量（Independent Variable ）。

回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括：

１、根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得回归方程；

２、对回归方程、参数估计值进行显著性检验；

３、利用回归方程进行分析、评价和预测。

二、总体回归函数（方程）：PRF

由于统计相关的随机性，回归方程关心的是根据解释变量的已知或给定值，考察被解释

变量的总体均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关的被解释变量所可能出现的对应值的平均值。

例2.1：一个假想的社区人口总体有６０户家庭组成，要研究该社区每月家庭消费支出

Y 与每月可支配家庭X 的关系，即知道了家庭的每月收入，预测每月消费支出的（总体）平均水平。为达到此目的，将该６０户家庭划分为组内收入差不多的１０组，以分析每一收入组的家庭消费支出（表2.1）

由于不确定因素的影响，对同一收入水平X ，不同家庭的消费支出不完全相同，但由于

调查的完备性，给定收入水平X 的消费支出Y 的分布是确定的，即以X 的给定值为条件的Y 的条件分布（Conditional distribution ）是已知的，如P （Y=550 | X=800）=1/5。

对Y 的每一个条件概率分布，可得其条件均值（conditional mean ）或条件期望（值）

（conditional expectation ）：E （Y | X=i X ），如E （Y| X=800）=650

散点图表示，随着收入的增加，消费“平均地说”也在增加，且Y 的条件均值均落在

一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。

在给定解释变量i X 条件下被解释变量i Y 的期望轨迹称为总体回归线（population

regression line ），或更一般地称为总体回归曲线（population regression curve ）。相应的函数（方程）： )()|(i i X f X Y E （2.1.1）

称为（双变量）总体回归函数（方程）（PRF ）(population regression function )。

●含义：回归函数（PRF ）说明被解释变量t Y 的平均状态（总体条件期望）随解释变量X 变化的规律。

●函数形式：可以是线性或非线性的。

例中：i i X X Y E 10)|(ββ+=为一线性函数。其中，10ββ与为未知然而固定的参数，

称为回归系数（regression coefficients ）

总体回归函数（方程）的随机设定

个体家庭的消费支出与给定收入水平间的关系：聚集在该收入水平平均消费支出周围。对每一个个别家庭，记

)X |Y (E Y i i i -=μ

)X (Y i 10i ββ+-= （2.1.2）

称i μ为观察值i Y 围绕它的期望值)X |Y (E i 的离差（deviation ），是一个不可观测的随机变量，又称为随机干扰项（stochastic disturbance ）或随机误差项（stochastic error ）。

由（2.1.2）式，个别家庭的消费支出为：

i i i )X |Y (E Y μ+=

i 10μββ++=i X （2.1.3）

即，给定收入水平i X ，个别家庭的支出可以表示为两部分之和：（1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|i X )，称为系统性（systematic ）或确定性（deterministic ）部分（2）

μ。

其他随机或非确定性（nonsystematic）部分

i

（2.1.3）式称为总体回归函数（方程）PRF的随机设定形式。表明被解释变量Y除了受解释变量X系统性影响外，还受其他未包括在模型中来而又集体地影响着Y的全部变量的随机性影响，μ即为这些集体变量的替代物。由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体回归模型。

三、随机干扰项的含义

随机干扰（误差）项μ是在模型设定中省略下来而由集体地影响着被解释变量Y的全部变量的替代物。

随机误差项主要包括下列因素的影响：

（1）在解释变量中被忽略的因素的影响；

（2）变量观测值的观测误差的影响；

（3）模型关系的设定误差的影响；

（4）其他随机因素的影响。

产生并设计随机误差项的主要原因：

（1）理论的含糊性；

（2）数据的欠缺；

（3）节省原则。

四、样本回归函数（SRF）

由于总体的信息往往无法掌握，实现的情况只能是在一次观测中得到总体的一个样本。

问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？

例2.2在例2.1的总体中有如下一个样本，问：能否从该样本中预测整个总体中对应于Y 700 650 900 950 1100 1150 1200 1400 1550 1500 X 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 该样本散点图为：

样本散点图近似于一条直线，画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体，可以该线近似地代表总体回归线。该成为样本回归线（sample regression lines），其函数形式为：

i

i i X X f Y 10??)(?ββ+== （2.1.4） 称为样本回归函数（sample regression function ）SRF 。

将（2.1.4）看成（2.1.1）的近似替代，则

?i

Y 就为(/)i E Y X 的估计量： ?i

β为i β的估计量，i = (0,1)i = 样本回归函数的随机形式

i

i i i i e X Y Y ++=+=10????ββμ （2.1.5） 式中，i e 称为（样本）残差（或剩余）项（residual ），代表了其他影响i Y 的随机因素

的集合体，可看成为i μ的估计量。由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，因此也称为样本回归模型。

▼回归分析的主要目的：根据样本回归函数SRF ，估计总体回归函数PRF 。即根据

i

i i i i e X e Y Y ++=+=10???ββ 估计 i i i i i X X Y E Y μββμ++=+=10)|(

即：设计一“方法”构造SRF ，以使SRF 尽可能“接近”PRF ，或者说使?(0,1)i

i β=尽可能接近(0,1)i i β=。（注：这里真实的PRF 可能无法无从知道）

i Y

i

i X 10???ββ+= i i X X Y 10)|ββ+=

样本与总体回归线

§２.2 一元线性回归模型

一、线性回归模型的特征

形如

μββ++=X Y 10 （2.2.1）

的计量经济学模型称为一元线性回归模型（双变量线性模型）。其中，Y 为被解释变量，X 为解释变量，10ββ与是待估参数，μ为随机干扰项。

例：凯恩斯的绝对收入假设消费理论，认为消费是由收入唯一决定的，是收入的线性函数。其模型为：

μβα++=Y C （2.2.2）

线性回归模型的特征：

1.通过引入随机误差项，将变量之间的关系用一个线性随机方程来描述，并用随机

数学的方法来估计方程中的参数，这就是线性回归模型的特征，也就是线性计量经济学

模型的特征。

2.在线性回归模型中，被解释变量的特征由解释变量与随机误差项共同决定。

单方程线性回归模型的一般形式为：

i ki k i i i X X X Y μββββ+++++= 22110 i=1,2,…n （2.2.3）

其中，Ｙ被称为解释变量，k X X X ,,21被称为解释变量，μ为随机误差项，i 为观测

值下标，n 为样本容量，k βββ ,,10为待估参数。

二、线性回归模型的普遍性

线性回归模型是计量经济学模型的主要形式，许多实际经济活动中经济变量间的复

杂关系都可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系。

将非线性关系化为线性关系的常用的数学处理方法：

1.直接置换法

例如，商品的需求曲线是一种双曲线形式，商品需求量q 与商品价格p 之间的关系

表现为非线性关系：

p

b a q 11+= 显然，可以用q y 1=和p

x 1= 的置换，将方程变成： bx a y +=

再如，拉弗曲线描述的税收s 和税率r 的关系是一种抛物线形式：

2s a br cr =++ 0c <

可以用2

21,r x r x ==进行置换，将方程变成： 12s a bx cr =++ 0c <

2、对数变化

例如，著名的Cobb-Dauglas 生产函数将产出量Q 与投入要素(K ，L)之间的关系描述为

幂函数的形式：

Q AK L αβ=

方程两边取对数后，即成为一个线性形式：

LnQ LnA LnK LnL αβ=++

再如，生产中成本C 与产量q 的关系呈现指数关系：

q C ab =

方程两边取对数后，即成为一个线性形式：

()()()Ln C Ln a qLn b =+

3、级数展开

例如，著名的CES 生产函数将产出量Q 与投入要素(K ，L)之间的关系描述为如下的

形式：

ρρρδδ121)

(---+=L K A Q （121δδ+=）

方程两边取对数后，得到：

)(1

21ρρδδρ--+-=L K Ln LnA LnQ

将式中)(21ρρδδ--+L K Ln 在ρ=0处展开台劳级数，取关于ρ的线性项，即得道一个线性近似式。

结论：实际经济生活中的许多问题，都可以最终化成线性问题，所以，线性回归模型有普遍意义。即使对于无法采取任何变换方法使之变成线性的非线性模型，目前使用得较多的参数估计方法——非线性最小二乘法，其原理仍然是以线性估计方法为基础。

三、线性回归模型的基本假设

由于回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）SRF 尽可能准确估计总体回

归函数（模型）PRF 。即通过

i

i i i i e X Y Y ++=+=10????ββμ （2.1.5） 估计 i i i i i X X Y E Y μββμ++=+=10)|( （2.1.6）

1、技术线路：

由于i Y ?是i Y 的估计值，要求i

Y ?与i Y 的“总体”误差尽可能地小→最小二乘法； 由于i

i X Y 10???ββ+=，是i i X X Y E 10)|(ββ+=的近似，要求1?β尽可能接近1β

?β尽可能接近0β→对模型的解释变量i X 与随机误差项i μ作出合理假定。 ２、线性回归模型在上述意义上的基本假设：

(1) 解释变量1X ,2X ,…k X 是确定性变量，不是随机变量，而且解释变量之间

互不相关。

(2) 随机误差项具有０均值和同方差。即

Ｅ(i μ)＝０ i=1,2,…n

Var(i μ)=2

μσ i=1,2,…n

其中E 表示均值或期望，也可用Ｍ表示；Ｖar 表示方差，也可以用Ｄ表示。

(3) 随机误差项在不同样本点之间是独立的，不存在序列相关。即

Cov(i μ,j μ)=0 i ≠j i,j=1,2,…n

其中Ｃov 表示协方差。

(4) 随机误差项与解释变量之间不相关。即

Cov(ji X ,i μ)=0 j=1,2,…k i=1,2,…n

(5) 随机误差项服从０均值、同方差的正态分布。即

),0(~2μσμN i i=1,2,…n

在实际建立模型的过程中，除了基本假设５外，对模型是否满足假设都要进行检验。这

就是“建立计量经济学模型步骤”中“计量经济学检验”的任务。对于基本假设５，根据中心极限定理，当样本容量趋于无穷大时，对于任何实际模型，都是满足的。

四、一元线性回归模型的参数估计：普通最小二乘法

１、普通最小二乘法估计

已知一组样本观测值（i Y ,i X ），（i=1,2,…n ），要求样本回归函数尽可能好地拟合这组

值，即样本回归线上的点i

Y ?与真实观测点i Y 的“总体误差”尽可能地小，或者说被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，最小二乘法给出的判断的标准是：二者之差的平方和

∑∑+-=-=n

i

i i i n X Y Y Y Q 121021))??(()?(ββ （2.2.4） 最小。即在给定样本观测值之下，选择出0?β、1?β能使i Y 与i

Y ?之差的平方和最小。 为什么用平方和？因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。这就是最小二乘原则。

根据微积分学的运算，可推得用于估计0

?β、1?β的下列方程组：

=-+0)??(10i i Y X ββ

(2.2.5) =-+0)??(10i i i X Y X ββ

或 ∑+=i i X n Y 10??ββ (2.2.6)

∑∑+=210??i i i i

X X X Y ββ 解得

(2.2.7)

∑∑∑∑∑--=22

1)(?i i i

i i i X X n X Y X Y n β 方程组(2.2.6)称为正则方程组(normal equations)。

2220

)(?∑∑∑∑∑∑--=i i i i i i i X X n X Y X Y X β