旋转与半角倍角证明及计算

1．阅读下面文字，解决下列问题

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD上的点，且∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF．

他的方法是将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GE即是DF+BE．

请回答：在图2中，∠GAF的度数是、△AGE≌△．

（2）拓展研究如图3，若E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠B+∠D=180°，AB=AD，要使（1）中线段BE，EF，FD的等量关系仍然成立，则∠EAF与∠BAD应满足的关系是．

（3）构造运用运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下面问题：如图4，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=22.5°，点E在AB上，且∠DCE=67.5°，DE⊥AB于点E，若AE=，试求线段AD，BE的长．

2．在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．

（1）在图1中，求证：DE=DF．

（2）在图1中，若点G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明．

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=5，求BE的长．

3．在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一

点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．

（1）在图1中，求证：DE=DF；

（2）在图1中，若点G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明；

（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，点E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．

4．同学们，在初一学习正多边形和圆这节课时，我们就学习过四边形的内角和等于360°．下面我们就在四边形中来研究几个问题：

在四边形ABCD中，AC=AB，DC=BD，∠CAB=60°且∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．

（1）求证：DE=DF；

（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明你的结论；

（3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α且∠CDB=180°﹣α，G 在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中的结论仍成立？（只写结果不要证明）

（4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．

5．在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．

思考验证：

（1）求证：DE=DF；

（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；

归纳结论：

（3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G 在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）

探究应用：

（4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．

6．在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．

（1）求证：DE=DF；

（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明所归纳结论；

（3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G 在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）．

（4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．

7．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下列两题：

①如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是

AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，则DE=．

②如图4，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，且BD=2，AD=6，求△ABC的面积．

8．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；

分析：由BE=DF，∠EBC=∠CDF=90°，BC=CD可得△EBC≌△FDC，从而CE=CF．（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCB=45°，请你利用（1）的思路证明：GE=BE+GD．

（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求四边形ABCD的面积．

9．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；

（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，探索GE、BE、GD之间的数量关系，并加以证明；

（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=10，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=3，求DE的长．

10．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠ECG=45°，请你利用（1）的结论证明：S

=S△BCE+S△CDG．

△ECG

（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B=90°，AB=BC=6，E是AB 上一点，且∠ECG=45°，BE=2．求△ECG的面积．