2019-2020年中考数学培优复习整式及其运算专题训练
2019-2020年中考数学培优复习整式及其运算专题训练
（一）：【知识梳理】 1.整式有关概念
（1）单项式：只含有 的积的代数式叫做单项式。单项式中____________
叫做这个单项式的系数；单项式中____________叫做这个单项式的次数；
（2）多项式：几个 的和，叫做多项式。____________ 叫做常数项。 多项式中____________的次数，就是这个多项式的次数。多项式中____________
的个数，就是这个多项式的项数。 2.同类项、合并同类项
（1）同类项：________________________________ 叫做同类项； （2）合并同类项：________________________________ 叫做合并同类项； （3）合并同类项法则： 。 （4）去括号法则：括号前是“＋”号，________________________________ 括号前是“－”号，________________________________ （5）添括号法则：添括号后，括号前是“+”号，插到括号里的各项的符号都 ；
括号前是“－”号，括到括号里的各项的符号都 。 3.整式的运算
（1）整式的加减法：运算实质上就是合并同类项，遇到括号要先去括号。 （2）整式的乘除法： ①幂的运算：
0;;();()11,(0,)
m n m n m n m n m n mn n n n
p
p a a a a a a a a ab a b a a a p a
+--?=÷=====≠为整数 ②整式的乘法法则：单项式乘以单项式： 。 单项式乘以多项式：()m a b += 。 单项式乘以多项式：()()m n a b ++= 。 ③乘法公式：
平方差： 。 完全平方公式： 。
2()()()a b x a x b x a b x ab ++=+++、型公式：
④整式的除法：单项式相除：把它们的系数、相同字母分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，相同字母相除要用到同底数幂的运算性质。 多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
【经典考题剖析】
1.计算：－7a 2b+3ab 2－｛[4a 2b-(2ab 2-3ab)]-4ab-(11ab 2b-31ab －6ab 2
｝
2. 若3m3n
x=4,y=5,求(x2m)3+(y n)3－x2m·y n的值．
3. 已知：A=2x2+3ax－2x－1, B=－x2+ax－1，且3A+6B的值与 x无关，求a的值．
4. 如图所示是杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a+b）2（其中n
为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）4展开式中的系数：
(a+b)1=a +b；
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3 +3a2 b+3ab2+b3
则(a+b)4=____a4+____a3 b+___ a2 b2+_____
(a+b)6=
5. 阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表
示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：(2a＋b)(a+b)=2a2＋3ab+ b2就可以用图l－l－l或图l－l－2等图形的面积表示．
（1）请写出图l－1－3所表示的代数恒等式：
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：
（a+b）（a+3b）＝a2＋4ab十3b2．
（3）请仿照上述方法另写一下个含有a、b的代数恒
等式，并画出与之对应的几何图形．
三：【课后训练】
一、选择题
1．(2014·自贡)(x4)2等于( )
A．x6B．x8C．x16D．2x4
2．(2014·邵阳)下列计算正确的是( )
A．2x－x＝x B．a3·a2＝a6
C．(a－b)2＝a2－b2 D．(a＋b)(a－b)＝a2＋b2
3．(2014·扬州)若□×3xy＝3x2y，则□内应填的单项式是( )
A．xy B．3xy C．x D．3x
4．(2014·湖州)计算2x(3x2＋1)的结果是( )
A．5x3＋2x B．6x3＋1
C．6x3＋2x D．6x2＋2x
5．(2014·威海)将下列多项式分解因式，结果中不含因式x－1的是( )
A．x2－1 B．x(x－2)＋(2－x)
C．x2－2x＋1 D．x2＋2x＋1
6．(2014·台湾)若A 为一数，且A ＝25×76×114
，则下列选项中所表示的数，何者是A 的因子？( )
A ．24×5
B ．77×113
C ．24×74×114
D ．26×76×116
二、填空题 7．(2014·呼和浩特)某商品先按批发价a 元提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，则它最后的单价是__ __元．
8．(2014·广东)计算：2x 3÷x ＝__
__．
9．(2014·汕尾)已知a ＋b ＝4，a －b ＝3，则a 2－b 2
＝_ _．
10．(2014·邵阳)将多项式m 2
n －2mn ＋n 因式分解的结果是__ _． 11．(2014·宁波)一个大正方形和四个全等的小正方形按图①②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是_ __．(用含a ，b 的代数式表示)
三、解答题
12．化简：(a ＋2b )(a －2b )－1
2b (a －8b )．
13．(2014·宁波)化简：
(a ＋b)2
＋(a －b)(a ＋b)－2ab.
14．(2014·广东)先化简，再求值：
(a ＋b)2
＋(a －b)(2a ＋b)－3a 2
，其中a ＝－2－3，b ＝3－2.
15．当2x 2＋3x ＋1＝0时，求(x －2)2
＋x (x ＋5)＋2x －8的值．
16．给出三个整式a 2，b 2
和2ab .
(1)当a ＝3，b ＝4时，求a 2＋b 2
＋2ab 的值．
(2)在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．
17．(2013·扬州)如果10b ＝n ，那么b 为n 的劳格数，记为b ＝d(n)，由定义可知：10b
＝n 与b ＝d(n)所表示的是b ，n 两个量之间的同一关系．
(1)根据劳格数的定义，填空：d(10)＝__ __，d (10－2
)＝__ __； (2)劳格数有如下运算性质：
若m ，n 为正数，则d (mn )＝d (m )＋d (n )，d (m n
)＝d (m )－d (n )．
根据运算性质，填空：d （a 3）
d （a ）＝__ __(a 为正数)，若d (2)＝0.3010，则d (4)＝__ __，
d (5)＝__ __，d (0.08)＝_ __；
(3)下表中与数x 对应的劳格数d (x )有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说
明理由并改正．
18. 部分如图所示，则这串珠子被盒子遮住的部分有_____颗．
19. 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：
⑴ 第4个图案中有白色地面砖 块； ⑵ 第n 个图案中有白色地面砖 块． 20. 下面是一个有规律排列的数表：
上面数表中第9行，第7列的数是_________．
21. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： ⑴在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式； ⑵通过猜想写出与第n 个点阵相对应的等式.
2019-2020年中考数学培优复习直角、等腰三角形专题训练
…… …… ①1=12
； ②1+3=22； ③1+2+5=32； ④ ； ⑤ ；
一、知识要点
1、直角三角形的性质；勾股定理和勾股定理的逆定理及其应用。
2、等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线、角平分线的性质定理和逆定理.
二、例题分析
1、如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，
CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q.
(1)证明∠BQM＝60°.
(2)若将点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM
＝60°？说明理由．
2、(2014·十堰)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，
DE⊥BC，垂足为点E，连结AC交DE于点F，点G为AF
的中点，∠ACD＝2∠ACB.若DG＝3，EC＝1，求DE的长．
三、当堂检测
1．(2014·黔西南州)已知等腰三角形ABC中，腰AB＝8，底BC＝5，则这个
三角形的周长为( )
A．21 B．20 C．19 D．18
2．(2014·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC
的长为半径画弧，交AC于点D，连结BD，则∠ABD＝( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．(2014·张家界)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，DE是斜边AC
的垂直平分线，分别交AB，AC于D，E两点．若BD＝2，则AC的长是( ) A．4 B．4 3 C．8 D．8 3
4．(2014·无锡)已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
5．(2014·泉州)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，
AB＝10 cm，则CD的长为( )
A．5 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
6．(2014·泰安)如图①是一个直角三角形纸片，∠A ＝30°，BC ＝4 cm ，将其折叠，使点C 落在斜边上的点C′处，折痕为BD ，如图②，再将②沿DE 折叠，使点A 落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE 的长为( )
A.8
3
cm B ．2 3 cm C ．2 2 cm D ．3 cm 7．(2014·张家界)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°，DE 是斜边AC 的垂直平分线，分别交AB ，AC 于D ，E 两点．若BD ＝2，则AC 的长是( )
A ．4
B ．4 3
C ．8
D ．8 3 二、填空题
1．(2014·丽水)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，若
AB ＝6，CD ＝4，则△ABC 的周长是__ __．
2．如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ，若BF ＝2，则PE 的长为__ _．
,第2题图) ,第3题图)
3．(2014·宁夏)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝2，BC ＝5，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，且AE∥CD，则四边形ABCD 的面积为__ __．
4．(2013·台湾)如图，长方形ABCD 中，M 为CD 中点，今以B ，M 为圆心，分别以BC 长、MC 长为半径画弧，两弧相交于P 点．若∠PBC＝70°，则∠MPC 的度数为_ __．
5．(2014·呼和浩特)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为__ __．
6．(2014·黄石)如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是__ __．
,第6题图)
7．(2014·无锡)如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点．若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长等于__ __．
,第7题图) ,第8题图)
8．(2014·潍坊)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是__ __尺．
9．(2014·新疆)如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，DE 垂直平分AC ，垂足为O ，AD ∥BC ，且AB ＝3，BC ＝4，则AD 的长为__ __．
,第9题图) ,第10题图)
10．(2014·宜宾)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝_ _．
三、解答题
1．(2014·衡阳)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F.
求证：△BED≌△CFD.
2．(2014·北京)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是BC ，AC 上的点，
∠BAD 与∠CDE 满足什么条件时AD ＝AE ？写出你的推理过程．
3．(2012·黄石)如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F.
探究：线段OE 与OF 的数量关系并说明理由．
4．(2014·乐山)如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D.求CD 的长．
5．(2014·上海)如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE⊥CD，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E ，AH ＝2CH.
(1)求sin B 的值；
(2)如果CD ＝5，求BE 的值．
6．(2014·温州)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a 2
＋b 2
＝c 2
. 证明：连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF ＝EC ＝b －a. ∵S 四边形ADCB ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12b 2＋1
2ab.
又∵S 四边形ADCB ＝S △ADB ＋S △DCB ＝12c 2＋1
2a(b －a)
∴12b 2＋12ab ＝12c 2＋1
2
a(b －a) ∴a 2
＋b 2
＝c 2
.
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a 2＋b 2＝c 2
.
浙教版初中数学中考培优题(含答案)
1、在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积是1.28 ㎡,已知床单的长是2 m ，宽是1.2 m ，求花边的宽度. 解：设花边的宽度是x m. ()()28.122.122=--x x 028.06.12=+-x x ()36.08.02 =-x 2.01=x ，4.12=x （舍去） 答：花边的宽度是0.2 m. 2、某商场将进货价为30元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。 ⑴ 为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ ⑵ 台灯的售价应定为多少时销售利润最大？ 解：⑴ 设台灯的售价为x 元，(x ≥40)根据题意得 [(600－10×(x －40))](x －30)＝10000 解得：x 1＝80 x 2＝50 当x ＝80时 进台灯数为600－10×(x －40)＝200 当x ＝50时 600－10×(x －40)＝500 ⑵ 设台灯的售价定为x 元时，销售利润最大，利润为y y ＝［600－10（x －40）］·（x －30） 答：⑴ 台灯的售价为80元，进台灯数为200个，台灯的售价为50元时，进台灯数为500个。 ⑵ 3、学校有若干个房间分配给九年级（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人。若每间住4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满），那么该班男生人数是多少？ 解：设有x 间，每间住4人，4x 人，15人无处住 所以有4x +15人 每间住6人，则恰有一间不空也不满 所以x -1间住6(x -1)=6x -6人 还有4x +15-6x +6＝-2x ＋21人 不空也不满 所以0＜-2x +21＜6 -6＜2x -21＜0 15＜2x ＜21 7.5＜x ＜10.5 所以x =8, x =9, x =10 不到50人 一共4x +15＜50 所以x =8 所以应该是4×8+15=47人
中考数学 专题 四边形培优试题
四边形 1、如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，过C作AE的垂线交AE的延长线于点F，连结DE，过点D作DF的垂线交AF于点G。 （1）求证：AG=CF。 （2）连结BG，若BG⊥AE，取BC的中点H，试判断线段BD与线段EH的数量关系和位置关系，并给出证明。 2、（1）如图1，已知正方形ABCD，E是边CD上一点，延长CB到点F，使BF=DE，作∠EAF 的平分线交边BC于点G，求证：BG+DE=E G。 （2）如图2，已知△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，若BD=2，CD=1，求△ABC的面积。
3、如图1，摆放矩形AB CD与矩形ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上，连结AF，若M为AF的中点，连结DM、ME，猜想DM与ME的关系，并证明你的结论。 拓展与延伸： （1）若将图1中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM 和ME的关系为。 （2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立。
4、在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同速度在直线DC、CB上移动。 （1）如图1，当点E在线段CD上，点F在线段BC上时，连结AE和DF交于点P，请写出AE与DF的关系，并说明理由。 （2）如图2，点E、F分别移动到边DC、CB的延长线上时，连结AE和DF，（1）中的结论还成立吗？真接写出结论，无需证明。 （3）如图3，当点E、F分别在CD、BC的延长线上移动时，连结AE与D F，（1）的结论还成立吗？请说明理由。 （4）如图4，当点E、F分别在边DC、CB上移动时，连结AE和DF交于点P，由于点E、F 的移动，使得点P也随之移动，请画出点P的运动路径的草图，若AD=2，试求出线段CP的最小值。
中考数学培优专题复习相似练习题及答案
中考数学培优专题复习相似练习题及答案 一、相似 1．如图，在Rt△ABC中，，角平分线交BC于O，以OB为半径作⊙O. （1）判定直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由; （2）连接AO交⊙O于点E，其延长线交⊙O于点D，，求的值; （3）在（2）的条件下，设的半径为3，求AC的长. 【答案】（1）解：AC是⊙O的切线 理由：， ， 作于， 是的角平分线， ， AC是⊙O的切线 （2）解：连接， 是⊙O的直径， ,即 . . 又 (同角) ， ∽ ,
（3）解：设 在和中，由三角函数定义有： 得： 解之得： 即的长为 【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等证得点O到AC的距离为半径长，即可证得AC与圆O相切；（2）先连接BE构造一个可以利用正切值的直角三角形，再证得∠1=∠D，从而证得两个三角形ABE与ABD相似，即可求得两个线段长的比值；（3）也可以应用三角形相似的判定与性质解题，其中AB的长度是利用勾股定理与（2）中AE与AB的比值求得的. 2．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题： （1）求证：△BEF∽△DCB； （2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值； （3）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由． 【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ AD∥BC， 在中， ∵别是的中点， ∴EF∥AD， ∴ EF∥BC，
中考数学总复习 培优专题精选经典题
专项训练一 一元二次方程 一、选择题 1．(2016·新疆中考)一元二次方程x 2－6x －5＝0配方后可变形为( ) A ．(x －3)2＝14 B ．(x －3)2＝4 C ．(x ＋3)2＝14 ．(x ＋3)2＝4 2．(2016·攀枝花中考)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋3 2ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为( ) A ．－1或4 B ．－1或－4 C ．1或－4 D ．1或4 3．(2016·凉山州中考)已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2＝6－2x 的两根，则x 1－x 1x 2＋x 2的值是( ) A ．－43 B.83 C ．－83 D.43 4．(2016·随州中考)随州市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次， 2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x ，则下列方程中正确的是( ) A ．20(1＋2x )＝28.8 B ．28.8(1＋x )2＝20 C ．20(1＋x )2＝28.8 D ．20＋20(1＋x )＋20(1＋x )2＝28.8 5．(2016·潍坊中考)关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 6．已知三角形两边的长是3和4，第三边长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，则该三角形的周长是( ) A ．14 B ．12 C ．12或14 D ．以上都不对 7．(2016·深圳中考)给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y ′＝nx n － 1.例如：若函数y ＝x 4，则有y ′＝4x 3.已知函数y ＝x 3，则方程y ′＝12的解是( ) A ．x 1＝4，x 2＝－4 B ．x 1＝2，x 2＝－2 C ．x 1＝x 2＝0 D ．x 1＝23，x 2＝－2 3 8．★关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2n ＝0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2＋2ny ＋2m ＝0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；②(m －1)2＋(n －1)2≥2；③－1≤2m －2n ≤1，其中正确结论的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题 9．(2016·菏泽中考)已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝________． 10．方程(2x ＋1)(x －1)＝8(9－x )－1的根为____________． 11．(2016·聊城中考)如果关于x 的一元二次方程kx 2－3x －1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是______________． 12．(2016·黄石中考)关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是________． 13．关于x 的反比例函数y ＝ a ＋4 x 的图象如图所示，A 、P 为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△P AB 中，PB ∥y 轴，AB ∥x 轴，PB 与AB 相交于点B .若△P AB 的面积大于12，则关于x 的方程(a －1)x 2－x ＋1 4 ＝0的根的情况是______________． 14．一个容器盛满纯药液40L ，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这
2020年中考数学培优 专题讲义 第17讲 二次函数与面积
第17讲 二次函数与面积 解这类问题一般用到以下与面积相关的知识：图形割补、等积转换、等比转化. 【例题讲解】 例题1 如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ABC S △＝1 2 ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答问题： 如图2，顶点为C （1,4）的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交x 轴于点A （3,0），交y 轴于点B ． （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △； ②是否存在抛物线上一点P ，使PAB S △＝CAB S △？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． C B 1把A （3,0）代入解析式求得a ＝－1， 所以1y ＝－（x －1）2＋4＝－x 2＋2x ＋3， 设直线AB 的解析式为：2y ＝kx ＋b 由1y ＝－x 2＋2x ＋3求得B 点的坐标为（0,3） 把A （3,0），B （0,3）代入2y ＝kx ＋b 中 解得：k ＝－1，b ＝3 所以2y ＝－x ＋3； （2）①因为C 点坐标为（1,4） 所以当x ＝1时，1y ＝4，2y ＝2 所以CD ＝4－2＝2 CAB S △＝ 1 2 ×3×2＝3（平方单位）；
②假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ，则h ＝1y －2y ＝（－x 2＋2x ＋3）－（－x ＋3）＝－x 2＋3x 由PAB S △＝CAB S △ 得： 1 2 ×3×（－x 2＋3x ）＝3 化简得：x 2－3x ＋2＝0， 解得：1x ＝1，2x ＝2， 将1x ＝1代入1y ＝－x 2＋2x ＋3中， 解得P 点坐标为（1，4）． 将2x ＝2代入1y ＝－x 2＋2x ＋3中， 解得P 点坐标为（2，3）． ∵点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点， 综上所述，P 点的坐标为（1，4），（2，3）． 模型讲解 竖切 面积公式均为1 = 2 S dh C B h C B h C B 横切 面积公式均为1 = 2 S dh D 【总结】 这种“铅垂高×水平宽的一半”的求解方法可过三角形的任意一点，并且“横竖”均可.而在选择时，如何选用，取决于点D 的坐标哪种更易求得. 例题2 已知一次函数y ＝（k ＋3）x ＋（k －1）的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，P （－1，－4）.
中考数学总复习培优专题精选经典题
初三数学中考总复习培优资料一 一、选择题（本大题共有12小题，每小题2分，共24分.） 1．-2的绝对值是 A ．-2 B ．- 12 C ．2 D ．12 2．下列运算正确的是 A ．x 2+ x 3= x 5 B ．x 4·x 2= x 6 C ．x 6÷x 2 = x 3 D ．( x 2)3 = x 8 3．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是 4．已知a -b =1，则代数式2a -2b -3的值是 A ．-1 B ．1 C ．-5 D ．5 5．若⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4和6，圆心距O 1O 2=8，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 6．对于反比例函数y =1 x ，下列说法正确的是 A ．图象经过点（1，-1） B ．图象位于第二、四象限 C ．图象是中心对称图形 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 7．某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：℃）：28，29，31，29，32．对这组数据，下列说法正确的是 A ．平均数为30 B ．众数为29 C ．中位数为31 D ．极差为5 8．小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 折线表示小亮的行程s (km)与所花时间t (min)之间的函数关系. 下列说法错误．．的是 A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100m/min D ．公交车的速度是350m/min 9．一元二次方程x x 22 =的根是（ ） A ．2=x B ．0=x C ．2,021==x x D ．2,021-==x x 10．如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的概率是（ ） A ．1 B ． 21 C ．31 D ．4 1 A B C D （第8题图）
中考数学二轮 旋转 专项培优易错试卷及答案
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标； （2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H． ①求证△ADB≌△AOB； ②求点H的坐标． （3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（17 5 ，3）；（3） 30334 - ≤S≤30334 + ． 【解析】 【分析】 （1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题； （2）①根据HL证明即可； ②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题； （3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题； 【详解】 （1）如图①中， ∵A（5，0），B（0，3），
∴OA=5，OB=3， ∵四边形AOBC是矩形， ∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°， ∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到， ∴AD=AO=5， 在Rt△ADC中，CD=22 AD AC -=4， ∴BD=BC-CD=1， ∴D（1，3）． （2）①如图②中， 由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°， ∵点D在线段BE上， ∴∠ADB=90°， 由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°， ∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）． ②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC， ∴∠CBA=∠OAB， ∴∠BAD=∠CBA， ∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m， 在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2， ∴m2=32+（5-m）2， ∴m=17 5 ， ∴BH=17 5 ， ∴H（17 5 ，3）． （3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=1 2 ?DE?DK= 1 2 ×3× （34 ） 30334 -
2020年中考数学 专题培优 圆 解答题(含答案)
2020年中考数学专题培优圆解答题 1.如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C， E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F． (1)求证：DF是⊙O的切线； (2)若OB=BF，EF=4，求AD的长． 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结 DE并延长交BC的延长线于点F． （1）求证：∠BDF=∠F； （2）如果CF=1，sinA=0.6，求⊙O的半径．
3.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两 点． （1）求证：MD=MC； 4，求MC的长． （2）若⊙O的半径为5，AC=5 4.如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取的中点D，连接AD交BC于点 E，过点E作EH⊥AB于H． （1）求证：△HBE∽△ABC； （2）若CF=4，BF=5，求AC和EH的长．
5.如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且 ∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD 相交于点G，且∠GAF=∠GCE （1）求证：直线CG为⊙O的切线； （2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB=CH. ①△CBH∽△OBC；②求OH＋HC的最大值. 6.如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是弧AB上的动点，且不与点A、C、B重合， 直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM． （1）若半圆的半径为10． ①当∠AOM=60°时，求DM的长； ②当AM=12时，求DM的长． （2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
中考数学专题--正方形经典题型(培优提高)
正方形的性质及判定 知识归纳 1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质 正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ①边的性质：对边平行，四条边都相等． ②角的性质：四个角都是直角． ③对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角． ④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图） 3．正方形的判定 判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形． 4．重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。 难点：正方形知识的灵活应用 例题讲解 一、正方形的性质 例1：如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且20 AE AF AF ⊥= ，，则BE的长为 F E D C B A 变式1：如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若1 AG=，2 BF=，90 GEF ∠=?，则GF的长为． 正 方 形 菱形 矩形 平行四边形
变式2：将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 例2：如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =． E D C B A 变式1：如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证： AP EF =. F E P D C B A 例3：如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ?为等边三角形，那么DCP ∠= P D C B A 变式1：如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=?， 则CME CNF ∠+∠= ． N M F E D C B A
2019中考数学培优试题
2019级初三数学中考培优试题 一．解答题： 1．如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合 （1）直接写出点A、B的坐标：A（_________，_________）、B（_________，_________）； （2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是_________； （3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由； （4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值． 2．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒． （1）当点B与点D重合时，求t的值； （2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？ （3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．
3．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是_________三角形； （2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限 且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为 A，连接AC交直线l于B． （1）求抛物线的表达式； （2）直线y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于 点E，且DE：BE=4：1．求直线y=x+m的表达式； （3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
中考数学二轮 旋转 专项培优 易错 难题附详细答案
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（?<
（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴DCE 1506090∠=?-?=?。 又∵∠DEC=45°，∴△DCE 为等腰直角三角形。 ∴DC=CE=BC 。 ∵∠BCE=150°，∴(180150) EBC 152 ?-?∠= =?。 而1 EBC 30152 α∠=?-=?。∴30α=?。 （1）∵AB=AC ，∠BAC=α，∴180ABC 2 α ?-∠= 。 ∵将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ，∴DBC 60∠=?。 ∴180ABD ABC DBC 603022 αα ?-∠=∠-∠= -?=?-。 （2）由SSS 证明△ABD ≌△ACD ，由AAS 证明△ABD ≌△EBC ，即可根据有一个角等于60?的等腰三角 形是等边三角形的判定得出结论。 （3）通过证明△DCE 为等腰直角三角形得出(180150) EBC 152 ?-?∠==?，由（1） 1 EBC 302α∠=?-，从 而1 30152 α?-=?，解之即可。 2．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于A ，B 两点，顶点为D （0，4），AB =42，设点F （m ，0）是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C ′． （1）求抛物线C 的函数表达式； （2）若抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围． （3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C ′上的对应点P ′，设M 是C 上的动点，N 是C ′上的动点，试探究四边形PMP ′N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）2 142 y x =- +；（2）2＜m ＜23）m =6或m 173．
中考数学培优讲义
专题复习之中档题3 考点分析： 一、一元二次方程： 三大陷阱：①a ≠0；②验△；③方程类型的分类讨论； 例：如果关于x 的一元二次方程2kx 10+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．k ＜ 12 B ．k ＜12且k≠0 C ．﹣12≤k ＜12 D ．﹣12≤k ＜1 2 且k≠0 根与系数关系： 例、已知关于x 的方程2()10x a b x ab -++-=，1x 、2x 是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①12x x ≠；②12x x ab <；③222212x x a b +<+．其中正确结论个数是（ ） A 、0 B 、 1 C 、2 D 、 3 练习：1、若关于x 的一元二次方程0522 =-+x ax 的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和l ），则a 的取值范围是（ ）A 、a ＜3 B 、a ＞3 C 、a ＜-3 D 、a ＞-3 2、方程0120082006)2007(2 =-?-x x 的较大根为α，方程020******* =-+x x 的 较小根为β，则=-βα_______ 。 3、一元二次方程0422 =--x x 的两根为a 、b ，则=++-12 b a a ________ 4、对于一元二次方程02 =++c bx ax （a ≠0）,下列说法： ①若a+c=0，方程02 =++c bx ax 必有实根；②若ac b 42 +＜0，则方程02=++c bx ax 一定有实数根；③若a-b+c=0,则方程02=++c bx ax 一定有两个不等实数根；④若方程 02=++c bx ax 有两个实数根，则方程02=++a bx cx 一定有两个实数根。其中正确的 是（ ） A 、①② B 、①③ C 、②③ D 、①③④ 5、已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0，)，若x 1、x 2是原方程的两根， 且|x 1－x 2|＝，则m=____. 6、有七张正面分别标有数字－3，－2，－1，0，l ，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于x 的一元二次方程()()2x 2a 1x a a 30--+-=有两个不相等的实数根，且以x 为自变量的二次函数 () 22y x a 1x a 2=-+-+的图象不经过点（1，0）的概率是 。
2018中考数学圆(大题培优)
（2018?福建A卷）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E． （1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；（2）过点B作BC⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB=，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小． （12.00分）（2018?福建B卷）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB． （1）求证：BG∥CD； （2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
25．（10.00分）（2018?河北）如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为 圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB=，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP． （1）若优弧上一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值； （2）求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系； （3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值． 23．（10.00分）（2018?恩施州）如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O 点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点． （1）求证：DE为⊙O切线； （2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP=，求AD； （3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．
2018中考数学专题复习 相似中的模型培优(pdf,无答案)
相似模型（培优二） 1、如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则AO DO 等于（ ） A. B. 13 C. 23 D. 12 2、如图所示，在△ABC 中，BC=6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ=CE 时，EP+BP= ____ ． 3、如图，以M （﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x 轴交A 、B 两点，P 是⊙M A 、 B 的一动点，直线PA 、PB 分别交y 轴于 C 、 D ，以CD 为直径的⊙N 与x 轴交于 E 、 F ，则EF ） 为邻边作平行四边形OCED ，下面给出三种作法的条件：①取OC=OA ，OD=OB ；②取OC=OA ，OD=OB ；③取OC=OA ，OD=OB ．能使点E 落在阴影区域内的作法有（ ）
记△CEF 的面积为S 1，△OEF 的面积为S 2，则12 S S = ．（用含m 的代数式表示） 6、在△ABC 中，∠CAB=90°，AD ⊥BC 于点D ，点E 为AB 的中点，EC 与AD 交于点G ，点F 在BC 上． （1）如图1，AC ：AB=1：2，EF ⊥CB ，求证：EF=CD （2）如图2，AC ：AB=1：，EF ⊥CE ，求EF ：EG 7、如图，点A 的坐标为（1，1），点C 是线段OA 上的一个动点（不运动至O ，A 两点），过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，以CD 为边在右侧作正方形CDEF 轴的正半轴于点B ，连接OF ，若 以B ，E ，F 为顶点的三角形与△OFE 相似，B
中考数学专题培优：平行四边形综合运用培优(含答案)
2020中考数学 平行四边形综合运用培优（含答案） 一、单选题（共有9道小题） 1.如图，已知在△ABC 中，∠BAC ＞90°，点D 为BC 的中点，点E 在AC 上，将△ CDE 沿DE 折叠，使得点C 恰好落在BA 的延长线上的点F 处，连结AD ，则下列结论不一定正确的是( ) A ．AE ＝EF B ．AB ＝2DE C ．△ADF 和△ADE 的面积相等 D ．△AD E 和△FDE 的面积相等 2.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6和8，则这个菱形的周长是 ( ) A ．20 B ．24 C ．40 D ．48 3.矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm ，较短边的长为（ ）cm ． A.12 B.10 C.7.5 D.5 4.下列命题的逆命题不正确的是（ ） A ．平行四边形的对角线互相平分 B ．两直线平行，内错角相等 C ．等腰三角形的两个底角相等 D ．对顶角相等 5.如图，下列哪个条件能使□ABCD 成为菱形的（ ） ①AC ⊥BD ②AB ∥CD ③AB=BC ④AB=CD A. ①③ B.②③ C.③④ D.①②③ 6.如果三角形的两边长分别是方程2 8150x x -+=的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ） B F C A D E O A B C D A B C D
A ．5.5 B ．5 C ．4.5 D ．4 7.在数学课上，某学习小组采取了一下方法判断一个四边形是不是矩形，正确的是（ ） A ．测量对角线是否互相平分 B ．测量两组对边是否分别相等 C ．测量一组对角线是否互相垂直 D ．测量其中三个角是否都为直角 8.如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点(不含边界)，设1＝ PAD θ∠，2＝ PBA θ∠， 3＝ PCB θ∠，4＝ PDC θ∠，若∠APB ＝80°，∠CPD ＝50°，则( ) A ．1423()()30＋ － ＋ ＝ θθθθ? B ．2413()()40＋ － ＋ ＝ θθθθ? C ．1234()()70＋ － ＋ ＝ θθθθ? D ．1234()()180＋ ＋ ＋ ＝ θθθθ? 9.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当A C ⊥B D 时，它是菱形 C ．当∠ABC=90°时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形 二、填空题（共有7道小题） 10.折叠矩形纸片ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点A 落在 DC 边上的点F 处，折痕为DE ，点E 在AB 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C 落在线段AE 上的点H 处，折痕为DG ，点G 在BC 边上，若AB ＝ AD ＋2，EH ＝1，则AD 11.如图，E 是矩形ABCD 中BC 边上的点，将△ABE 沿AE 折叠到△AEF ，F 在矩形 ABCD 内部，延长AF 交DC 于G 点，若∠AEB=550, 则∠DAF= O D B A
中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)及答案解析
中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)及答案解析 一、圆的综合 1．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，AD 平分∠BAC ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ． （1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若AE ＝8，⊙O 的半径为5，求DE 的长． 【答案】（1）直线DE 与⊙O 相切（2）4 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，∵AD 平分∠BAC ，∴EAD OAD ∠∠＝，∵OA OD ＝，∴ODA OAD ∠∠＝，∴ODA EAD ∠∠＝，∴EA ∥OD ，∵DE ⊥EA ，∴DE ⊥OD ，又∵点D 在⊙O 上，∴直线DE 与⊙O 相切 （2） 如图1，作DF ⊥AB ，垂足为F ，∴DFA DEA 90∠∠?＝＝， ∵EAD FAD ∠∠＝，AD AD ＝，∴△EAD ≌△FAD ，∴AF AE 8＝＝，DF DE ＝，∵OA OD 5＝＝，∴OF 3＝，在Rt △DOF 中，22DF 4OD OF -＝＝，∴AF AE 8＝＝ 考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系 点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长． 2．如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB=CD ． (1)如图(1),求证:AD ∥BC ； (2)如图(2),点F 是AC 的中点,弦DG ∥AB,交BC 于点E,交AC 于点M,求证:AE=2DF ； (3)在(2)的条件下,若DG 平分∠3∠3,求⊙O 的半径。
中考数学压轴题专题培优
元调综合专练4 2、已知一元二次方程013)13(2 = -++-x x 的两根为21,x x ，则2 22 1x x +=_______. 4、如图,ABC ?中,∠60=BAC 0,∠45=ABC 0,22=AB ,D 是线段BC 上的一个动点,以AD 为直径画⊙O 分别交AC AB ,于F E ,,连接EF ,则线段EF 长度的最小值为___________ 8、（1）观察发现 如图（1）：若点A 、B 在直线m 同侧，在直线m 上找一点P ，使AP+BP 的值最小，做法如下： 作点B 关于直线m 的对称点B ′，连接AB ′，与直线m 的交点就是所求的点P ， 线段AB ′的长度即为AP+BP 的最小值． 如图（2）：在等边三角形ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP+PE 的值最小，做法如下： 作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点P ，故BP+PE 的最小值为 ． （2）实践运用如图（3）：已知⊙O 的直径CD 为2，∠AOC 的度数为60°，点B 是弧AC 的中点，在直径CD 上找一点P ，使BP+AP 的值最小，则BP+AP 的最小值为 （3）拓展延伸：如图（4）：点P 是四边形ABCD 内一点，分别在边AB 、BC 上作出点M 、点N ，使PM+PN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法． （图3）A B D O C （图4）A B D P 第4题图
图3 A B C D P 0 A C B P 图2 C A P B 图1 30o 3km 4km A B C 图4 11、(1)阅读证明 ①如图1，在ABC ?所在平面上存在一点P ，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P 为ABC ?的费马点，此时PC PB PA ++的值为ABC ?的费马距离． ②如图2，已知点P 为等边ABC ?外接圆的BC ⌒上任意一点．求证：PA PC PB =+. (2)知识迁移 根据(1)的结论，我们有如下探寻ABC ? (其中C B A ∠∠∠,,均小于?120)的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图3，在ABC ?的外部以BC 为边长作等边BCD ?及其外接圆； 第二步：在BC ⌒ 上取一点0P ，连接D P C P B P A P 0000,,,.易知 A P C P B P A P C P B P A P 0000000)(=++=++＋ ； 第三步：根据(1)①中定义，在图3中找出ABC ?的费马点P ，线段 的长度即为 ABC ?的费马距离. (3)知识应用 已知三村庄C B A ,,构成了如图4所示的ABC ? (其中C B A ∠∠∠,,均小于?120)，现选取一点P 打水井，使水井P 到三村庄C B A ,,所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．
备战中考数学培优专题复习圆与相似练习题附答案
备战中考数学培优专题复习圆与相似练习题附答案 一、相似 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1． （1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）； （2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式； （3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标． 【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1， 而抛物线与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0） ∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0） 设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）， 即y=ax2﹣2ax﹣3a， 当x=0时，y=﹣3a， ∴C（0，﹣3a） （2）解：∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a）， ∴AB=4，OC=3a， ∴S△ACB= AB?OC=6， ∴6a=6，解得a=1， ∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3 （3）解：设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，如图， ∵点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称， ∴QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3， ∴OF=2m+1，HF=1，
当∠CGF=90°时， ∵∠QGH+∠FGH=90°，∠QGH+∠GQH=90°， ∴∠GQH=∠HGF， ∴Rt△QGH∽Rt△GFH， ∴ = ，即，解得m=9， ∴Q的坐标为（9，0）； 当∠CFG=90°时， ∵∠GFH+∠CFO=90°，∠GFH+∠FGH=90°， ∴∠CFO=∠FGH， ∴Rt△GFH∽Rt△FCO， ∴ = ，即 = ，解得m=4， ∴Q的坐标为（4，0）； ∠GCF=90°不存在， 综上所述，点Q的坐标为（4，0）或（9，0）． 【解析】【分析】（1）根据抛物线是轴对称图形和已知条件可求得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，再用交点式可求得抛物线的解析式，然后根据抛物线与y轴交于点C可得x=0，把x=0代入解析式即可求得点C的坐标； （2）由（1）的结论可求得AB=4，OC=3a，根据三角形ABC的面积=AB?OC=6可求得a的值，则解析式可求解； （3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，根据中心对称的性质可得QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3。分两种情况讨论：①当∠CGF=90°时，由同角的余角相等可得∠GQH=∠HGF，于是根据有两个角相等的两个三角形相似可得 Rt△QGH∽Rt△GFH，则可得比例式，代入可求得m的值，则点Q的坐标可求解； ②当∠CFG=90°时，同理可得另一个Q坐标。 2．综合题 （1）【探索发现】 如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为多少．