高考一轮第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算ppt
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1．下列给出的命题正确的是
A．零向量是唯一没有方向的向量 B．平面内的单位向量有且仅有一个
(
)
C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向 相同的向量
D．相等的向量必是共线向量
答案： D
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2．如右图所示，向量a－b等于 A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
(
)
C．e1－3e2
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
2．(2012· 盘锦模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 M、N、P 三点共线，O 为坐标原点，且 ON ＝ a15 OM ＋a6 OP (直线 MP 不过点 O)，则 S20 等于 ( A．10 C．20 B．15 D．40 )
求两个
加法 向量和 的运算
(1)交换律：a＋b＝
三角形 法则
b＋a .
(2)结合律：(a＋b)＋c ＝ a＋(b＋c) .
平行四边形 法则
返回
向量
运算
定义 求a与b的相反
法则(或几何意义)
运算律
减法
向量－b的和的
运算叫做a与b 的差 三角形 法则
返回
向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
(1)|λa|＝ |λ||a| ；
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：“a＋2b＝0”⇒“a∥b”，但“a∥b” ¿ “a＋2b＝0”， 所以“a＋2b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．
答案： A 返回
5．(2012· 南通月考)设e1，e2是两个不共线向量，已知 AB ＝ 2e1－8e2， CB ＝e1＋3e2， CD ＝2e1－e2.
(1)求证：A、B、D三点共线； (2)若 BF ＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．
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解：(1)证明：由已知得 BD ＝ CD － CB ＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ∵ AB ＝2e1－8e2，∴ AB ＝2 BD ， 又∵ AB 与 BD 有公共点B，∴A、B、D三点共线．
A．k＝1且c与d同向
C．k＝－1且c与d同向 [自主解答]
B．k＝1且c与d反向
D．k＝－1且c与d反向
∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，
∴k＝λ＝－1. [答案] D 返回
[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！) 4．(2012· 东城模拟)对于非零向量a与b，“a＋2b＝0”是 “a∥b”的 ( )
答案：A 返回
3.(2012· 南通模拟)如图，在△ABC中， ∠BAC＝90° ，AB＝6，D在斜边BC 上，且CD＝2DB，则 AB · 的值 AD 为________．
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解析： AB · AD ＝ AB ·AB ＋ BD ) (
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解析：设 MN ＝t MP ， ∵ ON ＝ OM ＋ MN ＝ OM ＋t MP ＝ OM ＋t( OP － OM ) ＝(1－t) OM ＋tOP ，
∴a15＋a6＝1. 20a15＋a6 ∴S20＝ ＝10. 2
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[自主解答] 由于 BA ＝ DF ，故 BA ＋ CD ＋ EF ＝ CD ＋ DF ＋ EF ＝ CF .
[答案] D
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本例条件不变，求 AC ＋ AF . 解： AC ＋ AF ＝ AC ＋ CD ＝ AD .
(2)应用共线向量定理时注意待定系数法和方程思想的运用．
(3)利用向量共线证明平面几何中点共线或直线平行时注意 强调平面中这些元素的位置关系．
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[精析考题] [例1] 给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则 AB ＝ DC 是四边形ABCD为平 行四边形的充要条件；
或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的 中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知 向量用已知向量表示出来． (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中
的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段
在向量线性运算中同样适用．运用上述法则可简化运算．
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[精析考题]
[例3] (2012· 南昌模拟)已知向量a，b不共线，c＝ka＋ b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么 ( )
1 1 ＝ AB ·AB ＋ BC )＝ AB ·AB ＋ ( AC －A AB )] ( [ 3 3
2 1 AC ＝ AB ＋ AB · 3
＝36.
答案：36
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[冲关锦囊] (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形
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1．向量的有关概念 名称
定义
备注
向量
具有 大小 和方向 的量；向量的 大小叫做向量的长度(或模 )
如a， AB
零向 长度等于零 的向量；其方向不 量 单位 向量 确定 给定一个非零向量a，与a 同方
向 且 长度等于1
记作0
的向量，叫
a a0＝ |a|
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做向量a的单位向量，可记作a0.
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反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC且 AB 与 DC 方 向相同，因此 AB ＝ DC .
③不正确．两向量不能比较大小． ④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb， 但a与b不一定共线．
[答案] C
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个 数是3. 答案： D
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[冲关锦囊] 涉及平面向量有关概念的命题的真假判断，准确把握 概念是关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否
定也是行之有效的方法.
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[精析考题]
[例2] (2011· 四川高考)如图，正六边形ABCDEF中， ( ) BA ＋ CD ＋ EF ＝ A．0 B． BE C． AD D． CF
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线 的含义． 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 返回
怎 么 考 1.平面向量的线性运算是考查重点． 2.共线向量定理的理解和应用是重点，也是难点． 3.题型以选择题、填空题为主，常与解析几何相联系.
答案： CB
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5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－ (b－3a)共线，则λ＝________.
解析：由题意知 a＋λb＝k[－(b－3a)]， 1 k＝3， λ＝－k， ∴ ∴ 1＝3k， λ＝－1. 3
1 答案：－3
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共线向量定理应用时的注意点 (1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在， 也可能有无数个．
求实数λ (2)当λ>0时，λa的方向 与a的方向
λ(μa) ＝ (λμ)a
(λ＋μ)a＝
；
数乘
与向量a
相同 ；
相反 ；
的积的运 当λ<0时，λa的方向与a λa＋μa 算 的方向 λ(a＋b)＝
；
当λ＝0时，λa＝ . 0
λa＋λb
.
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3. 平行向量基本定理 如果 a＝λb ，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则 一定存在 唯一一个 实数λ，使 a＝λb .
第 四 章 平 面 向 量、 数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入
第一 节 平面 向量 的概 念及 其线 性运 算
抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练
提 能 力
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[备考方向要明了]
考 什 么 1.了解向量的实际背景． 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．
3.理解向量的几何表示．
名称
定义 如果向量的基线互相平行或 重合，则称这些向量共线或 平行 同向且等长 的有向线段表 示同一向量，或相等的向量 与向量a 方向相反 且等长 的向量，叫做a的相反向量
备注
共线(平
行)向量
向量a与b平行记作 a∥b
如 AB ＝a
相等向
量 相反向 量
记作－a
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二、向量的线性运算
向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
返回
(2)由(1)可知 BD ＝e1－4e2，且 BF ＝3e1－ke2， ∵B、D、F三点共线，∴ BF ＝λ BD .
即3e1－ke2＝λe1－4λe2.
λ＝3， 得 －k＝－4λ，
解得k＝12.
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[冲关锦囊] (1)向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ， 使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线 的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意
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[失误展板] 错解一：a、b共线，必然是有且只有一个实数λ，使b＝λa，故选A. 错解二：首尾相连，始终如一．在△ABC中， AB 、 BC 、 CA 围成 了一个封闭图形， 故 AB ＋ BC ＋ CA ＝0，故选B.
向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且
有公共点时，才能得出三点共线．
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平面向量的概念及其线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
[总结反思]利用共线向量定理解题的方法
（1）是判断两个向量共线的主要依据.若 ,则与共线,且当时,与同向;当时,与 反向.
（2）若与不共线且，则 .
（3）要证明，，三点共线，只需证明与共线，即证 .若已知，，三点共线，则必有与共线，从而存在实数 ，使得 .
（4）（ ， 为实数），若，，三点共线，则 .
1.【微点1】（多选题）[2024·唐山六校联考] 对于任意向量， ，下列说法中正确的有( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，当， 为非零向量且不共线时，不等式不成立，故A错误；对于B，易知，故B正确；对于C，若非零向量， 方向相反，则，故C错误；对于D，易知，故D正确.故选 .
相同
相反
平行
续表
2.向量的线性运算
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
_
①交换律： ；#b#②结合律：
减法
求两个向量差的运算
三角形法则
平行四边形法则
三角形法则
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
数乘
求实数 与向量 的积的运算
（1） .#b#（2）当时，与 的方向相同；当时，的方向与 的方向相反；当时，
3.已知（ , 为实数）,若,,三点共线,则 .
4.向量三角不等式①已知非零向量,,则（当与 反向共线时左边等号成立;当与 同向共线时右边等号成立）;②已知非零向量,,则（当与 同向共线时左边等号成立;当与 反向共线时右边等号成立）.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ _____.
[解析] ，为不共线的非零向量，， ，，则， .因为，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故A不正确；因为，所以与共线，所以，，三点共线，故B正确；因为 ，所以与不共线，所以，，三点不共线，故C不正确；因为 ，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故D不正确.故选B.
（1）是判断两个向量共线的主要依据.若 ,则与共线,且当时,与同向;当时,与 反向.
（2）若与不共线且，则 .
（3）要证明，，三点共线，只需证明与共线，即证 .若已知，，三点共线，则必有与共线，从而存在实数 ，使得 .
（4）（ ， 为实数），若，，三点共线，则 .
1.【微点1】（多选题）[2024·唐山六校联考] 对于任意向量， ，下列说法中正确的有( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，当， 为非零向量且不共线时，不等式不成立，故A错误；对于B，易知，故B正确；对于C，若非零向量， 方向相反，则，故C错误；对于D，易知，故D正确.故选 .
相同
相反
平行
续表
2.向量的线性运算
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
_
①交换律： ；#b#②结合律：
减法
求两个向量差的运算
三角形法则
平行四边形法则
三角形法则
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
数乘
求实数 与向量 的积的运算
（1） .#b#（2）当时，与 的方向相同；当时，的方向与 的方向相反；当时，
3.已知（ , 为实数）,若,,三点共线,则 .
4.向量三角不等式①已知非零向量,,则（当与 反向共线时左边等号成立;当与 同向共线时右边等号成立）;②已知非零向量,,则（当与 同向共线时左边等号成立;当与 反向共线时右边等号成立）.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ _____.
[解析] ，为不共线的非零向量，， ，，则， .因为，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故A不正确；因为，所以与共线，所以，，三点共线，故B正确；因为 ，所以与不共线，所以，，三点不共线，故C不正确；因为 ，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故D不正确.故选B.
向量的概念及线性运算+课件-2023届高三数学一轮复习
(4)实数与向量的积(数乘)．
①定义：实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa，λa 与 a 平行．规定： |λa|＝__|λ_||_a|___，当 λ ＞ 0 时，λa 的方向与 a 的方向 相同 ；当 λ ＜ 0 时，λa 的方向与 a 的方向 相反 ；当 λ＝0 时，λa＝0.
②运算律：λ(μa)＝_(λ_μ_)a__，(λ＋μ)a＝_λ_a＋__μ_a __，λ(a＋b)＝_λ_a_＋_λ_b___．
面内的任意一点，则O→A＋O→B＋O→C＋O→D等于( D )
→ A.OM
B．2O→M
C．3O→M
D．4O→M
【解析】 因为 M 是平行四边形 ABCD 对角线 AC，BD 的交点，所以O→A＋
O→C＝2O→M，O→B＋O→D＝2O→M.所以O→A＋O→B＋O→C＋O→D＝4O→M.
故选 D.
(3)在△ABC 中，延长 BC 至点 M 使得 BC＝2CM，连接 AM，点 N 为 AM 上
A.1A→B－1A→D 23
C．－1A→B＋1A→D 23
B.1A→B－1A→D 32
D．－1A→B＋1A→D 32
4.如图所示，设 O 是△ABC 内部一点，且O→A＋O→C＝－2O→B，则△ABC 与
△AOC 的面积之比为( )
A．4∶1
B．2∶1
C．3∶2
D．4∶3
5、如图所示，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点．过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若A→B＝mA→M，A→C＝nA→N，则 m＋n 的值为________
2、如图所示，在△ABC 中，A→N＝1A→C，P 是 BN 上的一点，若A→P＝mA→B＋ 2 A→C，
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：平面向量的概念及线性运算
当λ<0时，λa的方向与a的方向 相反 ； λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最 后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特 别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ； 结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最 后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特 别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ； 结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_
2014高考一轮复习课件4.1平面向量的基本概念及线性运算
•2．下列给出的命题正确的是( ) •A．零向量是唯一没有方向的向量 •B．平面内的单位向量有且仅有一个 •C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则 a与c是方向相同的向量 •D．相等的向量必是共线向量
•【解析】 零向量方向任意，而不是没有方 向，故A错；平面内单位向量有无数个，故B 错；若b＝0，b与a、c都平行，但a、c不一 定共线，故C错；相等的向量方向相同，必是 共线向量，故D正确． •【答案】 D
a b 【解析】 表示与a同向的单位向量， 表示与b同向 |a| |b| a b 的单位向量，只要a与b同向，就有 ＝ ，观察选择项易知 |a| |b| C满足题意．
•【答案】 C
给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； → → ②若AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形； ③若a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b； ④λ ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中假命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
→ → → → 1．(人教A版教材习题改编)化简OP －QP ＋MS ＋QM 的 结果为( ) → A.OM → B.SM → C.PS → D.OS
【解析】
→ → → → → → → OP －QP ＋MS ＋QM ＝(OP ＋PQ )＋(QM ＋
→ → → → MS)＝OQ＋QS＝OS.
•【答案】 D
•从近两年高考试题来看，平面向量的概念， 线性运算及向量共线是高考命题的重点，常 与平面向量基本定理、平面向量的数量积交 汇命题，多以客观题形式呈现．在求解过程 中，不要忽视零向量的特殊性．
易错辨析之八 忽视零向量的特殊性致误 (2013· 杭州模拟)下列命题正确的是( ) A．向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ ， 使b＝λa → → → B．在△ABC中，AB＋BC＋CA＝0 C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能 同时成立 D．向量a、b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：4.1平面向量的概念及线性运算
针对训练 1．给出下列命题： (1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． (2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． (3)λa＝0(λ 为实数)，则 λ 必为零． (4)λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线． 其中错误命题的个数为 ( A．1 C．3 B．2 D．4 )
→ → → ∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b) → ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB. → → ∴AB、BD共线，又∵它们有公共点 B， ∴A、B、D 三点共线．
(2)∵ka＋b 与 a＋kb 共线， ∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)， 即 ka＋b＝λa＋λkb. ∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a、b 是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0， ∴k2－1＝0.∴k＝± 1.
的概念理解不清，混淆它们之间的关系，导致错解．
2λ＋2μ＝2k， 由 －3λ＋3μ＝－9k.
得 λ＝－2μ.
故存在这样的实数 λ、μ，只要 λ＝－2μ，就能使 d 与 c 共线．
易错易混：概念理解不清致误 【典例】 (2014· 郑州模拟)已知向量 a，b 不共线，且 c＝λa＋b， d＝a＋(2λ－1)b，若 c 与 d 同向，则实数 λ 的值为________． 【规范解答】 由于 c 与 d 同向，所以 c＝kd(k＞0)，
1 → → → → → → BF＝AF－AB＝AD＋DF－AB＝b＋2a－a 1 ＝b－ a，连接 BD，因为 G 是△CBD 的重心， 2
1→ 1 → 2 1 → 所以CG＝3 CA＝－3AC＝－3(a＋b)． 2
• 【归纳提升】 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的 相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向 量将加减法相互转化． • (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的 位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简 结果．
平面向量的概念及线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
+ + = ,所以 = −,所以为的中点. 又因为为
的中点，所以△ =
△
=
,
△
△
则
△
= .
考点一 平面向量的有关概念
例1 （多选）下列命题中的真命题是(
)
A.若 = ，则 =
B.若,,,是不共线的四点，则“ = ”是“四边形为平行四边
√
形”的充要条件
C.若 = , = ��,则 =
√
D. = 的充要条件是 = 且//
解析：两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，A不正确;因为
= ,所以 = 且//,又,,,是不共线的四点，所以四
边形为平行四边形；反之，若四边形为平行四边形，则
2025届高考数学一轮复习讲义
平面向量、复数之
平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
方向
（1）向量：既有大小又有①______的量叫做向量，向量的大小叫做向量
模
的②____.
0
（2）零向量：长度为③___的向量，其方向是任意的.
1个单位长度
（3）单位向量：长度等于④_____________的向量.
定义
法则（或几何意义）
运算律
=⑩______，当
> 时,
=⑭_______;
相同
求实数
与的方向⑪______；
+ =⑮
数乘 与向量的 当 < 时,与 的方向⑫
+
_________;
相反
积的运算 ______；
+
【师说】2016届高考数学(理)一轮课件：4-1平面向量的概念及线性运算
答案：C
3．在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交点 O，E 是线段 OD → → → 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F.若AC＝a，BD＝b，则AF等 于( ) 1 1 A. a＋ b 4 2 1 1 C. a＋ b 2 4 2 1 B. a＋ b 3 3 1 2 D. a＋ b 3 3
1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有 向线段起点的位置没有关系． 同向且等长的有向线段都表示同一向 量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或 不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．
2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共 线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明 这两条直线不重合．
A．平行四边形 C．等腰梯形
→ 1→ → → 解析：由DC＝ AB知四边形 ABCD 是梯形，又|AD|＝|BC|，所 2 以四边形 ABCD 是等腰梯形，故选 C.
答案：C
一、向量的有关概念及表示方法 1．向量的有关概念 名称 定义 既有①______又有② 向量 ______的量；向量的大小叫 平面向量是自由 做向量的③____(或④ ______) 向量 备注
解析：如图所示，∵E 是 OD 的中点，
→ 1→ 1 ∴OE＝4BD＝4b. 又∵△ABE∽△FDE， AE BE 3 ∴ ＝ ＝ ， EF DE 1
→ → → 3→ ∴AE＝3EF，∴AE＝ AF. 4 → → → 1 1 在△AOE 中，AE＝AO＋OE＝ a＋ b. 2 4 → 4→ 2 1 ∴AF＝ AE＝ a＋ b. 3 3 3
a－b＝a＋(－b)
向量 运算
定义
3．在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交点 O，E 是线段 OD → → → 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F.若AC＝a，BD＝b，则AF等 于( ) 1 1 A. a＋ b 4 2 1 1 C. a＋ b 2 4 2 1 B. a＋ b 3 3 1 2 D. a＋ b 3 3
1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有 向线段起点的位置没有关系． 同向且等长的有向线段都表示同一向 量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或 不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．
2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共 线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明 这两条直线不重合．
A．平行四边形 C．等腰梯形
→ 1→ → → 解析：由DC＝ AB知四边形 ABCD 是梯形，又|AD|＝|BC|，所 2 以四边形 ABCD 是等腰梯形，故选 C.
答案：C
一、向量的有关概念及表示方法 1．向量的有关概念 名称 定义 既有①______又有② 向量 ______的量；向量的大小叫 平面向量是自由 做向量的③____(或④ ______) 向量 备注
解析：如图所示，∵E 是 OD 的中点，
→ 1→ 1 ∴OE＝4BD＝4b. 又∵△ABE∽△FDE， AE BE 3 ∴ ＝ ＝ ， EF DE 1
→ → → 3→ ∴AE＝3EF，∴AE＝ AF. 4 → → → 1 1 在△AOE 中，AE＝AO＋OE＝ a＋ b. 2 4 → 4→ 2 1 ∴AF＝ AE＝ a＋ b. 3 3 3
a－b＝a＋(－b)
向量 运算
定义
2025届高中数学一轮复习课件《平面向量基本定理及坐标表示》ppt
)
高考一轮总复习•数学
第10页
2．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
解析：因为 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以12a－32b＝12(1，1)－32(1，－1)＝12，12－32，－32 ＝(－1,2)．
∴54<k<32.即 k 的取值范围为54，32.
高考一轮总复习•数学
第23页
题型
平面向量的坐标运算
典例 2(1)已知 A(－2,5)，B(10，－3)，点 P 在直线 AB 上，且 P→A ＝－13P→B ，则点 P 的
由线性关系，转化到坐标运算．
坐标是( )
A．(－8,9)
B．(1,3)
C．(－1，－3) D．(8，－9)
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，若 e1，e2 不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底．若 e1，e2 互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1，e2 分别为与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，则称这个基底为单位正交基底．
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第22页
解析：如图，分别取 BD，AE 的中点 G，N，连接 GN 交 EF 于 H，
高等数学向量及其运算PPT(“向量”文档)共40张可修改文字
a相同, 当<0时与a相反.
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
11
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a;
(2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
9
的三角形是等腰三角形 .
思考: 五、向量的模、方向角、投影
“”
以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有
例3 已知两点A(x1 y1 z1)和B(x2 y2 z2)以及实数
1
(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
20
任给向量r, 存在点M及xi、yj、zk, 使
则 r =OM = xi + yj + zk .
• 上式称为向量r的坐标分解式. • xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
点M、向量r与三个有序x、y、z之
间有一一对应的关系
M r =OM = xi + yj + zk (x, y, z) .
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM -OA , MB =OB-OM ,
=OM -OA , MB =OB-OM ,
因此 OM -OA=(OB-OM ) ,
从而
OM
=
1
1+
(OA+
OB)
(x,
y,
z)
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
11
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a;
(2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
9
的三角形是等腰三角形 .
思考: 五、向量的模、方向角、投影
“”
以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有
例3 已知两点A(x1 y1 z1)和B(x2 y2 z2)以及实数
1
(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
20
任给向量r, 存在点M及xi、yj、zk, 使
则 r =OM = xi + yj + zk .
• 上式称为向量r的坐标分解式. • xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
点M、向量r与三个有序x、y、z之
间有一一对应的关系
M r =OM = xi + yj + zk (x, y, z) .
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM -OA , MB =OB-OM ,
=OM -OA , MB =OB-OM ,
因此 OM -OA=(OB-OM ) ,
从而
OM
=
1
1+
(OA+
OB)
(x,
y,
z)
推荐-高三数学一轮复习课件5.1 平面向量的概念与线性运算
章 平面向量
5.1 平面向量的概念与线性运算
考情概览
-3-
考纲要求
1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念和两个向量相 等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解 其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算,并理解其几何 意义,以及两个向量共线的含义. 6.了解向量的线性运算性质及其几何 意义.
反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,则������B ∥ ������������且|������B|=|������������|,
因此,������B = ������������. ③不正确.相等向量的起点和终点可以都不同. ④不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a=b. 综上所述,真命题的序号是②.
所以������������
=
1 2
(������������
+
������B).
知识梳理
-11-
知识梳 理
双击自 测
12345
5.设在四边形 ABCD 中,有12 ������������ = ������������,且|������������|=|������������|,则这个四边 形是 等腰梯形 .
3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若
存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.
解:由题设知,������������=d-c=2b-3a,������������=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E 三点在一
条直线上的充要条件是存在实数 k,使得������������=k������������,即
(× )
5.1 平面向量的概念与线性运算
考情概览
-3-
考纲要求
1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念和两个向量相 等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解 其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算,并理解其几何 意义,以及两个向量共线的含义. 6.了解向量的线性运算性质及其几何 意义.
反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,则������B ∥ ������������且|������B|=|������������|,
因此,������B = ������������. ③不正确.相等向量的起点和终点可以都不同. ④不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a=b. 综上所述,真命题的序号是②.
所以������������
=
1 2
(������������
+
������B).
知识梳理
-11-
知识梳 理
双击自 测
12345
5.设在四边形 ABCD 中,有12 ������������ = ������������,且|������������|=|������������|,则这个四边 形是 等腰梯形 .
3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若
存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.
解:由题设知,������������=d-c=2b-3a,������������=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E 三点在一
条直线上的充要条件是存在实数 k,使得������������=k������������,即
(× )