泸溪一中公开课《正弦函数、余弦函数图像》
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正弦函数与余弦函数的图像ppt课件
x0
cosx 1
2
3
2
2
0 -1 0 1
y
1o2源自3 2-1五点法的规律是： 横轴五点排均匀，上下顶点圆滑行； 上凸下凹形相似， 游走酷似波浪行.
2 x
典型例题
例1．画出下列函数的简图
（1）y=1+sinx, x∈[0,2π] （2）y=－cosx , x∈[0,2π]
解:（(12）) 列表
x
scionsxx
3
4
5 6 x
正弦函数的图象
正弦曲 线
y=cosx与
y=sin(x+ ),
2
xR图象相同形 只状 是完位全置一不样同
余弦函数的图象
y
余弦曲
1
线
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
9
思考？
在精确度要求不太高时，如何快捷地作
出正弦函数的图象呢？
在作出正弦函数的图象时，应抓住哪些
关键点？
10
y
五点作图法
制作人：陈永妹
1
实 一 一对应
唯一确定
角
正 弦
数
值
任意给定的一个实数x,有唯一确定的值sinx与 之对应。由这个法则所确定的函数 y=sinx叫 做正弦函数，y=cosx叫做余弦函数，二者定 义域为R。
遇到一个新的函数，我们很容易想到的就是画函数图象，那怎么画 2
正弦函数、余弦函数的图象呢？
3
正弦简、谐运余动弦实函验数和的图图象象
4
思考:
想一想?
• 通过上述实验我们对正弦函数和余弦函 数图象有了直观印象.但如何画出精确图 象呢?
正弦函数余弦函数的图象精品PPT课件
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]； (2)y=-cosx，x∈[0，2π] .
x0 sinx 0 1+sinx 1
3 22
1 0 -1 0
21 0 1
y 2 1
O -1
y=1+sinx
3
π
2
2
2π x
x0 cosx 1 0 -cosx -1 0
3 22
-1 0 1 1 0 -1
y
y=-cosx
思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π] 是否为周期函数？周期函数的定义域有 什么特点？
思考4：函数y=3sin(2x＋4)的最小正 周期是多少？
思考5：一般地，函数y A sin( x ) (A 0, 0) 的最小正周期是多少?
思考6：如果函数y=f(x)的周期是T，那 么函数y=f(ωx＋φ)的周期是多少？
1.函数的周期性是函数的一个基本性质， 判断一个函数是否为周期函数，一般以 定义为依据，即存在非零常数T，使f(x ＋T)=f(x)恒成立.
由诱导公式可知，y=cosx与
y sin( 2 x) 是同一个函数，如何作函
数y
பைடு நூலகம்
sin( 2
x )在[0，2π]内的图象？
y
1
y=sinx
2
O -1
2
π
2π x
思考4：函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象如何？其中起关键
作用的点有哪几个？
y 1
O
π
2π x
-1
2
2
例1 用“五点法”画出下列函数的 简图：
对于函数f(x)，如果存在一个非 零常数T，使得当x取定义域内的每一 个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫 做这个函数的周期.
x0 sinx 0 1+sinx 1
3 22
1 0 -1 0
21 0 1
y 2 1
O -1
y=1+sinx
3
π
2
2
2π x
x0 cosx 1 0 -cosx -1 0
3 22
-1 0 1 1 0 -1
y
y=-cosx
思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π] 是否为周期函数？周期函数的定义域有 什么特点？
思考4：函数y=3sin(2x＋4)的最小正 周期是多少？
思考5：一般地，函数y A sin( x ) (A 0, 0) 的最小正周期是多少?
思考6：如果函数y=f(x)的周期是T，那 么函数y=f(ωx＋φ)的周期是多少？
1.函数的周期性是函数的一个基本性质， 判断一个函数是否为周期函数，一般以 定义为依据，即存在非零常数T，使f(x ＋T)=f(x)恒成立.
由诱导公式可知，y=cosx与
y sin( 2 x) 是同一个函数，如何作函
数y
பைடு நூலகம்
sin( 2
x )在[0，2π]内的图象？
y
1
y=sinx
2
O -1
2
π
2π x
思考4：函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象如何？其中起关键
作用的点有哪几个？
y 1
O
π
2π x
-1
2
2
例1 用“五点法”画出下列函数的 简图：
对于函数f(x)，如果存在一个非 零常数T，使得当x取定义域内的每一 个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫 做这个函数的周期.
正弦余弦函数的图象PPT教学课件
-
观察正弦余弦函数图象，y 分析其函数的最大最小值
正 弦函数 y=sin x的图象 1-
-
-
-
-
-
6
4
2
o
2
-
4
6
x
-1-
当且仅当x＝ ＋2k时，y取得最大值1
2
当且仅当y x＝－ ＋2k时，y取得最小值－1
余 弦函数 y=cos x的图 象
2
-
1-
-
6
4
-
-
2
o
2
-
-
4
6
-
x
-1-
当且仅当x＝2k时，y取得最大值1
-
-
-
-
-
6
4
2
o
2
-
4
6
在每个闭区间[ 2k，-1- 2k ]上是增函数 -1
2
2
x
1
在每个闭区间[
2
2k，3
2y
2k
]上是减函数 1
-1
余 弦函数 y=cos x的图 象
-
1-
-
6
4
-
-
2
o
2
-
-
4
6
-
x
-1-
在每个闭区间[ 2k，2k ]上是增函数 -1 1 在每个闭区间[2k， 2k ]上是减函数 1 -1
接
许多工业都要以生物为原料。
使
用 科研价值：仿生学、动植物品种的改良
价
都需要野生生物。
值
美学价值：色彩纷呈的花木及神态各异
的动物都能给人以美的享受。
人们模拟苍蝇的平衡棒研制出运载火箭 的振动陀螺仪
正弦余弦函数的性质省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
(1)
sin(
18
)
–
sin(
10
)
解2
又
y=sinx
在[
2
,
2
]上是增函数
sin( ) < sin( ) 即：sin( ) – sin( )>0
10
18
18
10
(2) cos( 23 ) -
5
cos( 17 )
4
解： cos( 23 )=cos
5
23 5
=cos
3 5
cos( 17 )=cos 17
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x -
…
2
…
0… 2
…
cosx -1
0
1
0
-1
y=cosx (xR)
增区间为 [ +2k, 2k],kZ 其值从-1增至1 减区间为 [2k, 2k， + ], kZ 其值从 1减至-1
正弦、余弦函数旳奇偶性、单调性
例1 不经过求值，指出下列各式不小于0还是不不小于0：
4
4
=cos
4
0 3
45
cos 3 <cos
5
4
又 y=cosx 在 [0, ]上是减函数
3
即： cos 5
– cos
4
<0
从而
cos( 23 ) -
5
cos( 17 ) <0
4
正弦、余弦函数旳奇偶性、单调性
例2 求下列函数旳单调区间：
正弦函数、余弦函数的图象ppt课件
2.描点(在坐标系中描出五个关键点)
3.连线(用光滑的曲线从左到右顺次连接五个点)
说明：已经获得了正弦函数曲线的图像了，在精确
度要求不太高时，我们常常用“五点法”画函数的
简图.
余弦函数：如何由正弦函数图像得到余弦函数图像？
y
1
-4
-3
-2
o
-
3
2
4
5
-1
正弦曲线
正弦函数的图象
y=cosx=sin(x+ 2 ),
公式一说明，自变量每增加(减少)，正弦函数值、余弦函
数值将重复出现.
正弦函数
＝ ， ∈
＝ ， ∈ ,
缩小范围、以小见大，利用特性画出全部的图像
新知讲解
问题1 绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点.对于正弦函数，在[,]
上任取一个值0 ，如何借助单位圆确定正弦函数值0 ，并画出点
正弦函数:＝ ，∈；(把点P的纵坐标叫做α的正弦函数)
余弦函数:＝ ，∈；(把点P的横坐标x叫做α的余弦函数)
正切函数:＝ ，≠/＋(∈)．
（把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做α的正切函数）
新课导入
回顾2 类比指数、对数函数的知识，我们是怎么研究它们的？
(0 , 0 ).
点T.gsp
新知讲解
问题3 我们学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数＝ ，
∈[,]的图象？你能想到什么方法？
若把轴上从0到2π这一段分成12等份，使 的值分别为： ， ， ， ⋅⋅⋅ ，2
6
3
2
正弦函数
引入新知 ： 如何得到函数 y=sinx x∈R在[2π，4π]的图像
3.连线(用光滑的曲线从左到右顺次连接五个点)
说明：已经获得了正弦函数曲线的图像了，在精确
度要求不太高时，我们常常用“五点法”画函数的
简图.
余弦函数：如何由正弦函数图像得到余弦函数图像？
y
1
-4
-3
-2
o
-
3
2
4
5
-1
正弦曲线
正弦函数的图象
y=cosx=sin(x+ 2 ),
公式一说明，自变量每增加(减少)，正弦函数值、余弦函
数值将重复出现.
正弦函数
＝ ， ∈
＝ ， ∈ ,
缩小范围、以小见大，利用特性画出全部的图像
新知讲解
问题1 绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点.对于正弦函数，在[,]
上任取一个值0 ，如何借助单位圆确定正弦函数值0 ，并画出点
正弦函数:＝ ，∈；(把点P的纵坐标叫做α的正弦函数)
余弦函数:＝ ，∈；(把点P的横坐标x叫做α的余弦函数)
正切函数:＝ ，≠/＋(∈)．
（把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做α的正切函数）
新课导入
回顾2 类比指数、对数函数的知识，我们是怎么研究它们的？
(0 , 0 ).
点T.gsp
新知讲解
问题3 我们学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数＝ ，
∈[,]的图象？你能想到什么方法？
若把轴上从0到2π这一段分成12等份，使 的值分别为： ， ， ， ⋅⋅⋅ ，2
6
3
2
正弦函数
引入新知 ： 如何得到函数 y=sinx x∈R在[2π，4π]的图像
正弦函数、余弦函数的图像 课件
解 (1)y＝sin|x|＝－ sinsxi，nx， 0<－x≤2π2≤π.x≤0， (2)y＝|sinx|＝s－insxi，nx，－2－π≤ π<xx≤<0－，π或，π或<x0≤≤2xπ≤. π，
所以y＝sin|x|及y＝|sinx|的图像如下图所示．
规律技巧 1.首先将函数解析式化简，化去绝对值，然 后根据图像的性质画图.要注意特殊点，如最高点及坐标轴 的交点关系.,2.也可以根据图像变换作图，如y＝sin|x|的图像 关于y轴对称.只要作出y＝sinx，x∈[0，2π]的图像，利用对 称性，可以作出y＝sin|x|， x∈[－2π，2π]的图像.)
正弦函数、余弦函数的图像
1.正弦曲线的画法 (1)几何法 利用单位圆中的正弦线画y＝sinx图像的方法称为几何 法．其核心首先是等分圆周及等分区间[0,2π]和正弦线的平 移；其次是利用终边相同的角的正弦值相等，推知y＝sinx在 区间[2kπ，(2k＋2)π](k∈Z，k≠0)上的图像与y＝sinx在区间 [0,2π]上的图像形状完全一样，从而通过左右平移(每次2π个 单位长度)得函数y＝sinx(x∈R)的图像． 正弦函数的图像叫做正弦曲线．
描点作图，如下图所示．
(2)列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
cosx
1
0
－1
0
1
1＋cosx 21012描点作图，如下图所示．
规律技巧 “五点”即为正弦、余弦曲线的最高点、最 低点，与x轴的三个交点，“五点法”是作图的基本方法， 应掌握．
类型二 与正弦函数、余弦函数相关函数的图像 例2 画出下列函数的图像． (1)y＝sin|x|，x∈[－2π，2π]； (2)y＝|sinx|，x∈[－2π，2π]． 分析 将函数式中的绝对值符号去掉，进行等价变形， 然后作图．
正弦函数余弦函数的图像(公开课) 完整版课件PPT
( 2 ,1)
( ,0)
( ,0)
( ,0)
3 2
( 2 ,0)
( 2 ,0)
2
x
( 2 ,0)
(
2
,1)
( 2 ,1)
( 2 ,1)
(2 ,1)
( 2 ,1)
(
((,0((,()0,0)),0,,(003)2))(32,((-33122,(1)3(2,,)3-1(213,)21)(,(3-3)2,211),),--11)()
3 2,
1)
图象的最高点(0,1) (2 ,1)
y cos x, x 0,2
图象与x轴的交点(
2
,0)
(
3 2
,0)
图象的最低点( ,1)
8
例1：（1）画出y=1+sinx , x∈[0，2 ]的简图
x0 sinx 0
2
π
3π 2
2π
1
0 -1 0
1sinx 1
2
1
01
2 y . y 1 sinx,x [0,2π]
-
(-o12 ,0)
( 2 ,0)
2
( ,-1)
3
线
4
5 6 x
7
像作二次函数图象那样为了快速用描点法 作出正弦曲线与余弦曲线。下面我们通过观察 函数图象寻找图象上起关键作用的点：
y sin x, x 0,2
图象的最高点(
2
,1)
图象与x轴的交点(0,0) ( ,0) (2 ,0)
图象的最低点(
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) 2 ,0)
x
0
2
( ,0)
( ,0)
( ,0)
3 2
( 2 ,0)
( 2 ,0)
2
x
( 2 ,0)
(
2
,1)
( 2 ,1)
( 2 ,1)
(2 ,1)
( 2 ,1)
(
((,0((,()0,0)),0,,(003)2))(32,((-33122,(1)3(2,,)3-1(213,)21)(,(3-3)2,211),),--11)()
3 2,
1)
图象的最高点(0,1) (2 ,1)
y cos x, x 0,2
图象与x轴的交点(
2
,0)
(
3 2
,0)
图象的最低点( ,1)
8
例1：（1）画出y=1+sinx , x∈[0，2 ]的简图
x0 sinx 0
2
π
3π 2
2π
1
0 -1 0
1sinx 1
2
1
01
2 y . y 1 sinx,x [0,2π]
-
(-o12 ,0)
( 2 ,0)
2
( ,-1)
3
线
4
5 6 x
7
像作二次函数图象那样为了快速用描点法 作出正弦曲线与余弦曲线。下面我们通过观察 函数图象寻找图象上起关键作用的点：
y sin x, x 0,2
图象的最高点(
2
,1)
图象与x轴的交点(0,0) ( ,0) (2 ,0)
图象的最低点(
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) 2 ,0)
x
0
2
正弦函数和余弦函数的图像与性质省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
y=sin 3x x∈[0,2π]
例2.求下列函数旳最大值与最小值，及取到最值
时旳自变量 x (1) y 2 cos
旳值.
x (2)
y
(sin
x
3)2
2
2
解:(1) 当 x 2k , k Z 时，ymax 2
当 x 2k , k Z 时，ymin 2
(2)视为 y (u 3)2 2,u sin x
3π
…2 -1
在闭区间
π2
π2 ，2kπ2π,
π 2
2kπ,
k
Z
上, 是增函数；
在闭区间
π2π22，k3π2π, 32π
2ykπ, k
Z
上，是减函数.
1
-3 5π -2 3π
2
2
-
π o 2
-1
x
π 2
3π 2
2
5π 2
3
7π 2
4
余弦函数旳单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
2
-1
2
2
利用五个关-4键点作简图旳措施称为“五点法”
4
课 堂 练习
2.试画出余弦函数在区间 [0, 2 ]上旳图像.
y
2
1
3
2 2 2
O
5
x 10
1
-2
五个关键点：(0,1),
(
, 0), ( ,
1), (3
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线旳“凹凸”变化.
五点作图法
列表：列出对图象形状起关键作用旳五点坐标． 描点：定出五个关键点． 连线：用光滑旳曲线顺次连结五个点．
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-
x
探究新知
6.用“五点法” 作正弦函数的简图
1 O
y
2
3 2
2
x
-1
探究新知
6.用“五点法” 作正弦函数的简图
1 O
y
2
3 2
2
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-1
探究新知
6.用“五点法” 作正弦函数的简图
0
2
x
3 2
2
1
O -1
y
2
3 2
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探究新知
6.用“五点法” 作正弦函数的简图
0
2
x
sin x
1
O -1
3 2
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0
1
0
3 2
-1
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0
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探究新知
6.用“五点法” 作正弦函数的简图
0
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. O
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.
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.
.
.
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探究新知
6.用“五点法” 作正弦函数的简图
0 0
2
x
sin x
1
3 2
2
1
典例讲解
(1)画出 y =1+sin x , x∈[0，2π ]的简图 3 2 x 0 2 2
0 1
sin x 1 sin x
2 y . 1 o -1
.
1 2
0 1
-1 0
0 1
.
y 1 sin x, x [0 , 2π]
3 2
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.
.
y sin x, x [0 , 2 ]
y
1
4.如何由正弦函数
4
3
2
O
-1
2
3 2
x
2
3
4
探究新知
(x∈R) 的图象 探究：你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为 基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象吗?
5 .作余弦函数 y = cosx
探究余弦函数图像
y cos x sin x 2
正弦函数、余弦函数的图像
湖南省泸溪县第一中学 授课人：田应坤
情景导学
沙摆实验
在数学中，我们如何利用所学过的数学 知识来作出正弦函数和余弦函数图象呢？
探究新知
正弦函数 y＝sin x，x∈R
探究正弦函数图像
描点法 几何法 1.画函数图象的常用方法： 描点法
有哪些步骤？
列表、描点、连线
探究新知
2用描点法画正弦函数图象
探究新知
精度要求不高时，如何作正弦函数的图像呢？
6 1 2 3
3 2
x 0 y 0
2
2 3
3 2
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
3 2
11 6
2
1
1- y
1 2
0
-
1 2
3 2
-1
2
-
1 2
0
Ｏ
－1
2
3 2
-
思考：在作出正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？
2
2 3
3 2
x 0 y 0
6 1 2
3
3 2
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
3 2
11 6
2
1
1-
1 2
0
-
1 2
23 －1
1 2
0
(2) 描点 (3) 连线
y
2
3 2
-
Ｏ
－1
2
-
-
x
探究新知
当x 取值时，y的值大都是近视值
1－1
, sin 3 3
(1) 列表 y＝sin x，x∈[0, 2π]
为什么研究 y＝sin x，[0,2π]
终边相同的角同名三角函数值相等
sin (x+2k) = sin x, kZ sin (x+2k) = sin x, kZ
三角函数值具有“周而复始”的变化规律
探究新知
(1) 列表
2用描点法画正弦函数图象
y＝sin x，x∈[0, 2π]
“五点作图法”
图象的最高点 (0,1) ( 2 ,1)
3 2
余弦函数 y = cos x , x∈[0, 2π]的图象上的关键点
y = cos x , x∈[0, 2π]
图象的最低点 ( , -1)
图象与x轴的交点 ( , -1) ( 2
, -1)
典例讲解
例1、画出下列函数的简图 （1）y =1+sin x , x∈[0，2π ] （2）y = - cos x , x∈[0, 2π]
注：余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线向左平移
π/2个单位长度而得到。余弦函数的图象叫做余弦曲线。
探究新知
正弦、余弦曲线
1 y
y = sin x, x∈R
-2
-
o -1
2
3
4
x
探究新知
正弦、余弦曲线
1 y
y = sin x, x∈R x
-2
-
o
2
3
4
-1 y = cos x, x∈R究新知
3.用几何方法作正弦函数 y = sinx, x∈[0, 2π]图象
（1）把单位圆平分成12等分 （2）分别作出各角的正弦线并平移 （3）用光滑的曲线把各个点连接起来
正弦函数的图象叫做正弦曲线
探究新知
y=sinx, x∈[0, 2π]的图象 得到 y=sinx, x∈R的图像 根据：终边相同的角的同一三角函数值相等 即： sin (x+2k) = sin x, kZ y = sin x x[0,2] y = sin x xR 沿着x轴向左和向右连续地平行移动,每次移动的距离为2π
3 2
-
讨论描点法的弊端
Ｏ
2
2
思考：如何作出比较准确的正弦函数图像？ 关键：是要把“列表”中的点的纵坐标精确 的标出来，注意纵坐标其实就是正弦值。
-
-
-
x
探究新知
在平面直角坐标系中，如何利用
正弦线画出点 , sin ？
3
回顾三角函数线知识
3 3
P
M
1
●
●
, sin 3 3
2
x
典例讲解
x
cos x -cos x
(2)画出y = - cos x , x∈[0, 2π]的简图 3 2 2 0 2
1
-1
0
0
-1
1
0
0
1
-1
y
1
y cos x , x [0 ,2π ]
o
-1 y cos x , x [0 , 2π ]
0
-1
3 2
0
2
y
. O
-1
.
2
.
.
.
x
探究新知
6.用“五点法” 作正弦函数的简图
“五点作图法”
图象的最高点
(
正弦函数 y = sin x , x∈[0, 2π]的图象上的关键点
2
, 1)
y sin x, x 0,2
图象与x轴的交点 (0, 0)( , 0)( 2 , 0) 图象的最低点
( 3 , 1) 2
类似于正弦函数图象的五个关键点，你能找出余弦函数的五个关键点吗？
探究新知
7.用“五点法” 作余弦函数的简图
0
1
2
x
cos x
-1
3 2
2
1
0
0
y
1
y cos x , x [0 , 2π ]
o
-1
2
3 2
2
x
探究新知
7.用“五点法” 作余弦函数的简图