中考复习试题9-三角函数
九年级中考数学专题练习锐角三角函数的增减性(含解析)
九年级中考数学专题练习锐角三角函数的增减性（含解析）中考数学专题练习-锐角三角函数的增减性（含解析）一、单选题1.已知sinα＜0.5，那么锐角α的取值范围是（）A. 60°＜α＜90°B. 30°＜α＜90°C. 0°＜α＜60°D. 0°＜α＜30°2.如图，是半径为1的半圆弧，△AOC为等边三角形，D是上的一动点，则△COD的面积S 的最大值是（）A. s=B. s=（）A. ＜cosα＜B. ＜cosα＜ C.＜cosα＜D. ＜cosα＜6.梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A. sinA的值越大，梯子越陡B. co sA的值越大，梯子越陡C. tanA的值越小，梯子越陡D. 陡缓程度与∠A的函数值无关7.若0＜α＜30°，则sinα，cosα，tanα的大小关系是（）A. sinα＜cosα＜tanα B. sinα＜tanα＜cosα C. tanα＜sinα＜cosα D. tanα＜cosα＜sinα8.已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β，若甲坡比乙坡更陡些，则下列结论正确的是（）A. tanα＜t anβB. sinα＜sinβC. cosα＜cosβD. cosα＞cosβ9.α是锐角，且cosα=，则（）A. 0°＜α＜30°B. 30°＜α＜45°C. 45°＜α＜60°D. 60°＜α＜90°10.如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A. sinA的值越小，梯子越陡B. co sA的值越小，梯子越陡C. tanA的值越小，梯子越陡D. 陡缓程度与∠A的函数值无关11.在Rt△ABC中，∠C=90°，下列结论：（1）sinA＜1；（2）若A＞60°，则cosA＞；（3）若A＞45°，则sinA＞cosA．其中正确的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个12.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A. cos43°＞cos16°＞sin30°B.cos16°＞sin30°＞cos43°C. cos16°＞cos43°＞sin30°D.cos43°＞sin30°＞cos16°13.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值（）A. 都扩大2倍B. 都扩大4倍C. 没有变化D. 都缩小一半14.如图，△ABC是锐角三角形，sinC= ，则sinA的取值范围是（）A.0B.C.D.15.α是锐角，且sinα＞，则α（）A. 小于30°B. 大于30°C. 小于60°D. 大于60°二、填空题16.比较大小：sin44°________cos44°（填＞、＜或=）．17.若∠A是锐角，cosA＞，则∠A的取值范围是________ .18.若α是锐角，且sinα=1﹣3m，则m的取值范围是________ ；将cos21°，cos37°，sin41°，cos46°的值，按由小到大的顺序排列是________ .19.若∠A是锐角，cosA>，则∠A应满足________ .三、解答题20.用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．21.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB 是方程x2+px+q=0的两个根．（1）求实数p、q应满足的条件（2）若p、q满足（1）的条件，方程x2+px+q=0的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦？22.设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断a n+b n与c n的关系，并证明你的结论．四、综合题23.如图①②,锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定,变化而变化.试探索随着锐角度数的增大,它的正弦值和余弦值变化的规律.（1）根据你探索到的规律,试比较18°,34°,50°,62°,88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.（2）比较大小(在横线上填写“<”“>”或“=”):若α=45°,则sin α________cos α;若α<45°,则sin α________cos α;若α>45°,则sin α________cos α.（3）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系,试比较下列正弦值和余弦值的大小:sin 10°,cos 30°,sin 50°,cos 70°.24.如图（1）如图中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．答案解析部分一、单选题1.已知sinα＜0.5，那么锐角α的取值范围是（）A. 60°＜α＜90°B. 30°＜α＜90°C. 0°＜α＜60°D. 0°＜α＜30°【答案】D【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：由sinα=0.5，得α=30°，由锐角函数的正弦值随锐角的增大而增大，得0°＜α＜30°，故选：D．【分析】根据锐角函数的正弦值随锐角的增大而增大，可得答案．2.如图，是半径为1的半圆弧，△AOC为等边三角形，D是上的一动点，则△COD的面积S 的最大值是（）A. s=B. s=C. s=D. s=【答案】D【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：S=CO•ODsin∠COD，△COD∵CO=OD=1，=sin∠COD，∴S△COD∵△AOC为等边三角形，∴∠COB=120°，∴0°＜∠COD＜120°，∴当∠COD=90°时，sin∠COD最大，最大值是1，∴△COD的面积S的最大值是．故选D．=【分析】根据三角形的面积公式S△COD CO•ODsin∠COD，因为ab都是圆的半径1，所以sin∠COD的值越大，面积越大进行解答．3.若sinA=，则A的取值范围是（）A. 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜45° C. 45°＜∠A＜60° D. 60°＜∠A＜90°【答案】B【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：∵sin30°=，sin45°=．又<<，正弦值随着角的增大而增大，∴30°＜∠A＜45．故选B．【分析】首先明确sin30°=，sin45°=；再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析．4.如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（）A. 扩大为原来的两倍B. 缩小为原来的C. 不变D. 不能确定【答案】C【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.故答案为：C.【分析】根据相似三角形的性质可知三角形的边长扩大，角度不会发生改变，即锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.5.已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是（）A. ＜cosα＜B. ＜cosα＜ C.＜cosα＜D. ＜cosα＜【答案】C【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：∵cos30°=，cos60°=，余弦函数是减函数，∴＜cosα＜．故选C．【分析】根据特殊角的三角函数值及余弦函数随角增大而减小解答．6.梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A. sinA的值越大，梯子越陡B. co sA的值越大，梯子越陡C. tanA的值越小，梯子越陡D. 陡缓程度与∠A的函数值无关【答案】A【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：根据锐角三角函数值的变化规律，知sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡．故选A．【分析】锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值和余切值都是随着角的增大而减小．7.若0＜α＜30°，则sinα，cosα，tanα的大小关系是（）A. sinα＜cosα＜tanα B. sinα＜tanα＜cosα C. tanα＜sinα＜cosα D. tanα＜cosα＜sinα【答案】B【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：∵0＜α＜30°，∴0＜sinα＜， 0＜tanα＜，＜cosα＜1，∴sinα＜cosα，tanα＜cosα，又∵＜cosα＜1，∴tanα=，∴sinα＜tanα＜cosα．故选：B．【分析】首先根据0＜α＜30°，可得0＜sinα＜， 0＜tanα＜，＜cosα＜1，据此判断出sinα＜cosα，tanα＜cosα；然后判断出sinα＜tanα，即可判断出sinα，cosα，tanα的大小关系．8.已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β，若甲坡比乙坡更陡些，则下列结论正确的是（）A. tanα＜tanβB. sinα＜sinβC. cosα＜cosβD. cosα＞cosβ【答案】C【考点】锐角三角函数的增减性【解析】解：根据题意，得α＞β．根据锐角三角函数的变化规律，只有C正确．故选C．【分析】若甲坡比乙坡更陡些，则α＞β；再根据锐角三角函数的变化规律解答：正弦和正切都是随着角的增大而增大，余弦和余切都是随着角的增大而减小．9.α是锐角，且cosα=，则（）A. 0°＜α＜30°B. 30°＜α＜45°C. 45°＜α＜60°D. 60°＜α＜90°【答案】B【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：∵在锐角三角函数中，余切值都是随着角的增大而减小，又知cos30°=，cos45°=，故30°＜α＜45°，故选B．【分析】在锐角三角函数中，余切值都是随着角的增大而减小．cos30°=，cos45°=，故知α的范围．10.如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A. sinA的值越小，梯子越陡B. co sA的值越小，梯子越陡C. tanA的值越小，梯子越陡D. 陡缓程度与∠A的函数值无关【答案】B【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓；cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡；tanA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，所以B正确．故答案为：B．【分析】根据锐角三角函数的增减性可判断正误。
中考数学总复习《锐角三角函数》专题训练(附带答案)
中考数学总复习《锐角三角函数》专题训练(附带答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________命题点1直角三角形的边角关系及简单应用1(2022广西北部湾经济区)如图,某博物馆大厅电梯的截面图中,AB的长为12米,AB与AC的夹角为α,则高BC是() A.12sin α米B.12cos α米C.12sinα米 D.12cosα米(第1题) (第2题)2(2022福建)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44 cm,则高AD约为(参考数据:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan27°≈0.51)()A.9.90 cmB.11.22 cmC.19.58 cmD. 22.44 cm3(2022随州)如图,已知点B,D,C在同一直线的水平地面上,在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α,在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β,若CD=a,则建筑物AB的高度为()A.atanα-tanβB.atanβ-tanαC.atanαtanβtanα-tanβD.atanαtanβtanβ-tanα(第3题) (第4题)4(2022乐山)如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=√5,点D 是AC 上一点,连接BD.若tan A=12,tan ∠ABD=13,则CD 的长为 ( )A.2√5B.3C.√5D.25(2022益阳)如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,若sin A=45,则cos B= .(第5题) (第6题)6(2022常州)如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠ABC=90°,DB 平分∠ADC.若AD=1,CD=3,则sin ∠ABD= .7(2022广州)如图,AB 是☉O 的直径,点C 在☉O 上,且AC=8,BC=6.(1)尺规作图:过点O 作AC 的垂线,交AC ⏜于点D ,连接CD (保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)所作的图形中,求点O 到AC 的距离及sin ∠ACD 的值.命题点2解直角三角形的实际应用 角度1背靠背型8(2022安徽)如图,为了测量河对岸A ,B 两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C ,测得A ,B 均在C 的北偏东37°方向上,沿正东方向行走90米至观测点D ,测得A 在D 的正北方向上,B 在D 的北偏西53°方向上.求A ,B 两点间的距离.参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75.9(2022抚顺)如图,B港口在A港口的南偏西25°方向上,距离A港口100海里处.一艘货轮航行到C处,发现A港口在货轮的北偏西25°方向,B港口在货轮的北偏西70°方向.求此时货轮与A港口的距离(结果取整数.参考数据:sin 50°≈0.766,cos 50°≈0.643,tan 50°≈1.192,√2≈1.414)角度2母子型10(2022天津)如图,某座山AB的顶部有一座通讯塔BC,且点A,B,C在同一条直线上.从地面P处测得塔顶C的仰角为42°,测得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔BC的高度为32 m,求这座山AB的高度(结果取整数).(参考数据:tan 35°≈0.70,tan 42°≈0.90)11(2022连云港)我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔,是苏北地区现存最高和最古老的宝塔.小明与小亮要测量阿育王塔的高度,如图所示,小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角∠CAE=45°,再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE=53°,AB=10 m;小亮在点G处竖立标杆FG,小亮所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上,FG=1.5 m,GD=2 m.(1)求阿育王塔的高度CE;(2)求小亮与阿育王塔之间的距离ED.(注:结果精确到0.01 m.参考数据:sin 53°≈0.799,cos 53°≈0.602,tan 53°≈1.327)角度3拥抱型12(2021自贡)如图,在一次数学课外实践活动中,小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°,从综合楼底部A处测得办公楼顶部C 处的仰角恰好是30°,综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度.(结果精确到0.1米.参考数据:tan 37°≈0.75,tan 53°≈1.33,√3≈1.73)角度4实物型13(2022吉林)动感单车是一种新型的运动器械.图(1)是一辆动感单车的实物图,图(2)是其侧面示意图.△BCD为主车架,AB为调节管,点A,B,C在同一直线上.已知BC长为70 cm,∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34 cm时,求点A到CD的距离AE的长度(结果精确到1 cm).(参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan58°≈1.60)图(1)图(2)14(2022成都)2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”,某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动.如图,当张角∠AOB=150°时,顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10 cm,此时用眼舒适度不太理想.小组成员调整张角大小继续探究,最后联系黄金比知识,发现当张角∠A'OB=108°时(点A'是点A的对应点),用眼舒适度较为理想,求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长.(结果精确到1 cm.参考数据:sin 72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan 72°≈3.08)角度5其他类型15(2022山西)随着科技的发展,无人机已广泛应用于生产和生活,如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB,CD两座楼之间的距离,他们借助无人机设计了如下测量方案:如图,无人机在AB,CD两楼之间上方的点O处,点O距地面AC的高度为60 m,此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°,楼CD上点E处的俯角为30°,沿水平方向由点O飞行24 m到达点F,测得点E处俯角为60°,其中点A,B,C,D,E,F,O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB 与CD 之间的距离AC 的长(结果精确到1 m.参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,√3≈1.73).分类训练15 锐角三角函数1.A2.B 【解析】 ∵AB=AC ,AD ⊥BC ,∴BD=CD=12BC=22 cm .在Rt △ABD 中,tan ∠ABD=ADBD ,∴AD=BD ·tan ∠ABD=22×tan 27°≈22×0.51=11.22(cm). 3.D 【解析】 设AB=x.在Rt △ABD 中,tan β=AB BD =x BD ,∴BD=xtanβ,∴BC=CD+BD=a+xtanβ.在Rt △ABC 中,tan α=ABBC =xa+xtanβ,∴x=atanαtanβtanβ-tan α.4.C 【解析】 如图,过点D 作DE ⊥AB 于点E.∵tan A=DE AE =12,tan ∠ABD=DE BE =13,∴AE=2DE ,BE=3DE ,∴2DE+3DE=5DE=AB.在Rt △ABC 中,tan A=12,BC=√5,∴BC AC =√5AC =12,∴AC=2√5,∴AB=√AC 2+BC 2=5,∴DE=1,∴AE=2,∴AD=√AE 2+DE 2=√22+12=√5,∴CD=AC-AD=√5,故选C .5.456.√66 【解析】 如图,过点D 作DE ⊥BC ,垂足为E ,则四边形ABED 是矩形,∴BE=AD=1,DE=AB ,∠ADB=∠CBD.∵DB 平分∠ADC ,∴∠ADB=∠CDB ,∴∠CBD=∠CDB ,∴CB=CD=3,∴CE=BC-BE=3-1=2,∴DE=√CD 2-CE 2=√32-22=√5,∴BD=√DE 2+BE 2=√(√5)2+12=√6,∴sin ∠ABD=AD BD =√6=√66.7.【答案】 (1)作图如图所示.(2)设(1)中AC 的垂线交AC 于点F ,则OF ⊥AC∴AF=CF=12AC=4. 又点O 是AB 的中点∴OF 是△ABC 的中位线∴OF=12BC=3,即点O 到AC 的距离为3. ∵AB 是☉O 的直径 ∴∠ACB=90°∴AB=√AC 2+BC 2=√82+62=10 ∴OD=5∴DF=OD-OF=5-3=2∴在Rt △CDF 中,CD=√DF 2+CF 2=√22+42=2√5 ∴sin ∠ACD=DFCD =2√5=√55.8.【答案】如图,由题意知,∠ECA=37°,CD=90,∠ADC=90°,∠ADB=53°,AD∥EC∴∠BCD=53°,∠BDC=∠ADC-∠ADB=37°,∠A=37°∴∠BCD+∠BDC=90°∴∠CBD=90°,即AC⊥BD.在Rt△CBD中,BD=CD cos∠BDC=90cos 37°≈90×0.80=72.在Rt△ABD中,AB=BDtanA =72tan37°≈720.75=96.答:A,B两点间的距离为96 m.9.【答案】如图,过点B作BH⊥AC于点H,根据题意,得∠BAC=25°+25°=50°,∠BCA=70°-25°=45°.在Rt△ABH中,AB=100,∠BAH=50°,sin∠BAH=BHAB ,cos∠BAH=AHAB∴BH=AB·sin∠BAC≈100×0.766=76.6,AH=AB·cos∠BAC≈100×0.643=64.3.在Rt△BHC中,∠BCH=45°∴CH=BH=76.6∴AC=AH+CH=64.3+76.6≈141.答:货轮距离A港口约141海里.10.【答案】根据题意,得BC=32,∠APC=42°,∠APB=35°.在Rt△PAC中,tan∠APC=ACPA∴PA=ACtan∠APC.在Rt△PAB中,tan∠APB=ABPA∴PA=ABtan∠APB.∵AC=AB+BC∴AB+BCtan∠APC =AB tan∠APB∴AB=BC·tan∠APBtan∠APC-tan∠APB =32×tan35°tan42°−tan35°≈32×0.700.90−0.70=112(m).答:这座山AB的高度约为112 m.11.【答案】(1)在Rt△CAE中,∵∠CAE=45°∴CE=AE.∵AB=10∴BE=AE-10=CE-10.在Rt△CEB中,由tan 53°=CEBE =CE CE-10得tan 53°(CE-10)=CE,∴CE≈40.58.答:阿育王塔的高度约为40.58 m.(2)由题意知Rt△FGD∽Rt△CED∴FGCE =GDED,即 1.540.58=2ED,∴ED≈54.11.答:小亮与阿育王塔之间的距离约为54.11 m.归纳总结解直角三角形实际应用的一般步骤①审题:根据题意画出图形,建立数学模型.②构造直角三角形:将已知条件转化到示意图中,把实际问题转化为解直角三角形问题.③列关系式:选择合适的边角关系式,使运算简便、准确.④检验:得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,同时还要注意结果有无对精确度的要求.12.【答案】在Rt△BAD中,tan∠BDA=ABAD,∠BDA=53°∴AD=ABtan53°≈18.05(米).在Rt△CAD中,tan∠CAD=CDAD,∠CAD=30°第 11 页 共 11页 ∴CD=AD ·tan ∠CAD=√33AD ≈10.4(米).故办公楼的高度约为10.4米.13.【答案】 在Rt △ACE 中,∠AEC=90°,∠C=58°,AC=AB+BC=34+70=104 ∴AE=AC sin C=104×sin 58°≈104×0.85≈88.答:点A 到CD 的距离AE 的长度约为88 cm .14.【答案】 在Rt △ACO 中,∠AOC=180°-∠AOB=30°,AC=10 cm∴OA=2AC=20 cm .在Rt △A'DO 中,∠A'OD=180°-∠A'OB=72°,OA'=OA=20 cm∴A'D=A'O sin ∠A'OD ≈20×0.95=19(cm).答:顶部边缘A'处离桌面的高度A'D 的长约为19 cm .15.【答案】 分别延长AB ,CD 与直线OF 交于点G ,点H ,如图则∠AGO=∠EHO=90°.又∵∠GAC=90°,∴四边形ACHG 是矩形∴GH=AC.由题意,得AG=60,OF=24,∠AOG=70°,∠EOF=30°,∠EFH=60°.在Rt △AGO 中,∠AGO=90°,tan ∠AOG=AG OG ∴OG=AG tan∠AOG =60tan70°≈602.75≈21.8.∵∠EFH 是△EOF 的外角∴∠FEO=∠EFH-∠EOF=60°-30°=30°∴∠EOF=∠FEO ,∴EF=OF=24.在Rt △EHF 中,∠EHF=90°,cos ∠EFH=FH EF ∴FH=EF ·cos ∠EFH=24×cos 60°=12∴AC=GH=GO+OF+FH=21.8+24+12≈58(m).答:楼AB 与CD 之间的距离AC 的长约为58 m.。
中考总复习解三角形三角函数专项练习(含解析)
第121讲解三角形微课锐角三角函数题一：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，cos A=1213，则tan A等于( )A.513B.1312C.125D.512题二：△ABC中，∠A和∠B均为锐角，AC=6，BC=33，且sin A=3，则cos B的值为______. 题三：计算：cos245º＋tan30º·sin60º=______．题四：计算：sin30°+cos30°•tan60°．题五：如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则( )A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°题六：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tan B的值是( )教育选轻轻·家长更放心页1教育选轻轻·家长更放心 页 2A ．45B ．35C ．34D ． 43第122讲 解三角形微课 解直角三角形题一：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =6，cos B =23，则BC 的长为 ( ) A ．4 B ．25C ．181313D ．121313题二：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =2BC ，则sin B 的值为( )A ．12B ．22C ．32D ．1题三：把两块含有30°的相同的直角尺按如图所示摆放，连接AE ，若AC =6cm ，则△ADE 的面积是______.教育选轻轻·家长更放心页 3题四：把两块含有30°的相同的直角尺按如图所示摆放，连接CE 交AB 于D ．若BC =6cm ，则①AB =____cm ；②△BCD 的面积S =______.题五：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90º，CD ⊥AB ，BC ＝1．(1)如果∠BCD ＝30º，求AC ；(2)如果tan ∠BCD ＝ 1 3，求CD ．教育选轻轻·家长更放心页 4题六：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC = 4，AC= 5，CD ⊥AB ，则sin ∠ACD 的值是______，tan ∠BCD 的值是______.教育选轻轻·家长更放心 页 5第123讲 解三角形微课 锐角三角函数的应用题一：如图，在塔AB 前的平地上选择一点C ，测出塔顶的仰角为30º，从C 点向塔底B 走100m 到达D 点，测出塔顶的仰角为45º，则塔AB 的高为( )A ．503mB ．1003mC ．1003+1m D ．10031-m题二：在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD ．如图，已知小明距假山的水平距离BD 为12m ，他的眼睛距地面的高度为1.6m ，李明的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为( )A ．(43+1.6)mB ．(123+1.6)mC ．(42+1.6)mD ．43m教育选轻轻·家长更放心 页6题三：某时刻海上点P 处有一客轮，测得灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行32小时到达B 处，那么tan ∠ABP =( ) A. 21 B.2 C. 55 D. 552 题四：如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A 处测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东65︒方向，然后，他从凉亭A 处沿湖岸向正东方向走了100米到B 处，测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东45︒方向(点A 、B 、C 在同一水平面上)．请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C 处与湖岸上的凉亭A 处之间的距离(结果精确到1米)．(参考数据：sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.9063，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445)教育选轻轻·家长更放心 页 7 第121讲解三角形微课 锐角三角函数题一：D详解：∵cos A =1213AC AB =，AC =12， ∴AB =13，BC =22AB AC -=5，∴tan A =512BC AC =． 故选D ．题二：5. 详解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ．在Rt △ACD 中，AC =6，sin A =33， ∴CD =AC ×sin A =6×33=23． 在Rt △BCD 中，BC =33， ∴BD =22=15BC CD -．∴cos B =BD BC =53．题三：1教育选轻轻·家长更放心 页 8详解：cos 245º＋tan30º·sin60º=223311122+⨯=+=(). 题四：2.详解：原式=131332222+⨯=+=. 题五：C.详解：由已知，根据锐角三角形函数定义对各选项作出判断：A 、由于在Rt △ABO 中∠AOB 是直角，所以B 到AO 的距离是指BO 的长. ∵AB ∥OC ，∴∠BAO =∠AOC =36°.在Rt △BOA 中，∵∠AOB =90°，AB =1，∴BO =AB sin36°=sin36°.故本选项错误.B 、由A 可知，选项错误.C 、如图，过A 作AD ⊥OC 于D ，则AD 的长是点A 到OC 的距离.在Rt △BOA 中，∵∠BAO =36°，∠AOB =90°，∴∠ABO =54°.∴AO =AB •sin54°= sin54°.在Rt △ADO 中， AD =AO •sin36°=AB •sin54°•sin36°=sin54°•sin36°.故本选项正确.D 、由C 可知，选项错误.故选C.题六：C.教育选轻轻·家长更放心页 9 详解：∵CD 是斜边AB 上的中线，CD =5，∴AB =2CD =10. 根据勾股定理，22221068BC AB AC -=-=. ∴63tan 84AC B BC ===.故选C. 第122讲 解三角形微课 解直角三角形题一：A.详解：∵cos B =23，∴23BC AB =. 又AB =6，∴2643BC=⨯=.故选A. 题二：C.详解：∵Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =2BC ，∴sin A =122BC BC AB BC ==.∴∠A =30°.∴∠B =60°.∴sin B =o 3sin 602=.故选C. 题三：183cm 2.详解：∵AC =6cm ，∠ABC =30°，∴AB =12，∴BC 22126=63-=BE ，在△ADE 中，BE 是△ADE 的高，∴S △ADE =12×AD ×BE ， ∵BD =6，AB =12，∴AD =6，∴S △ADE =12×AD ×BE =12×6×3=183cm 2.教育选轻轻·家长更放心页 10 题四：12; 63cm 2．详解：(1)∵△ABC 为直角三角形，∠BAC =30°，BC =6cm ，∴AB =sin BC BAC∠=12cm ． (2)如图：过点D 作平行于AC 的直线交BC 于M ，交AE 于N ．∵BC ∥AE ，∴△BCD ∽△AED ，△BDM ∽△ADN ．∴BC AE =BD AD =DM DN =12， 又DM +DN =AC ，又AC 3DM 3∴△BCD 的面积S =12×BC ×DM =12×6×33cm 2． 题五：3310. 详解：(1)∵CD ⊥AB ，∴∠BDC =90°.∵∠DCB =30°，∴∠B =60°.在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，∴tan60°=AC BC. ∵BC =1，∴31AC =，则AC =3(2)在Rt △BDC 中，tan ∠BCD =13BD CD =. 设BD = k ，则CD =3k ，教育选轻轻·家长更放心页 11 又BC =1，由勾股定理得：k 2＋(3k )2=1，解得：k 10或k = 10(舍去). ∴CD =3k 310. 题六：54141;45详解：∵△ABC 中，∠ACB =90°，BC = 4，AC = 5，CD ⊥AB ，∴AB 2222=54=41AC BC ++在Rt △ABC 与Rt △ACD 中，∠A +∠B =90°，∠A +∠ACD =90°，∠ADC =∠ACB =90°． ∴∠B =∠ACD ．Rt △ABC ∽Rt △ACD ，∠BCD =∠A ．故sin ∠ACD =sin ∠B =AC AB =54141， tan ∠BCD = tan ∠A =BC AC =45． 第123讲 解三角形微课 锐角三角函数的应用题一：D详解：根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，由BC 3AB 和BC =AB +100求解即可求出答案在Rt △ABD 中，∵∠ADB =45°，∴BD =AB .在Rt △ABC 中，∵∠ACB =30°，∴BC 3AB .∵CD =100，∴BC =AB +100.∴AB 3AB ，解得AB 31-.故选D . 题二：A .教育选轻轻·家长更放心 页 12详解：如图，作AK ⊥CD 于点K ，∵BD =12米，李明的眼睛高AB =1.6米，∠AOE =60°，∴DB =AK =12米，AB =KD =1.6米，∠ACK =60°.∵tan AK ACK CK ∠=，∴o 121243tan tan 603AK CK ACK ====∠. ∴CD =CK +DK =43+1.6=(43+1.6)(米).故选A .题三：A .详解：∵灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向，且相距20海里，∴PA =20.∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行23小时到达B 处， ∴∠APB =90° ，BP =60×23=40. ∴tan ∠ABP =201402AP BP ==.故选A .教育选轻轻·家长更放心页 13 题四：207米.详解：如图，作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D ，则∠BCD =45°，∠ACD =65°.在Rt △ACD 和Rt △BCD 中， 设AC =x ，则AD =x sin65°，BD =CD =x cos65°.∴100+x cos65°=x sin65°.∴o o100207sin 65cos65x =≈-(米). ∴湖心岛上的迎宾槐C 处与凉亭A 处之间距离约为207米.。
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 特殊角的三角函数值【命题规律】1.考查内容：主要考查 30°，45°，60°角的正弦，余弦，正切值的识记、正余弦的转换及由三角函数值求出角度. 2.考查形式：①三类特殊角的三角函数值识记；②与非负性结合，通过三角函数值求角度；③正弦余弦、正切余切之间的相互转化，判断关系式是否成立；④在实数运算中涉及三类特殊角的三角函数值运算(具体试题见实数的运算部分)．【命题预测】特殊角的三角函数值作为识记内容在实数运算中考查的可能性比较大，而单独考查也会出现．1. sin 60°的值等于( ) A . 12B .22 C . 32D . 3 1. C2. 下列式子错误．．的是( ) A . cos 40°＝sin 50° B . tan 15°·tan 75°＝1 C . sin 225°＋cos 225°＝1 D . sin 60°＝2sin 30°2. D 【解析】逐项分析如下：选项 逐项分析正误 A cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50° √ B tan15°·tan75°＝1tan75°×tan75°＝1√ C sin 2A ＋cos 2A ＝1√ D∵sin60°＝32，2sin30°＝2×12＝1，∴sin60°≠2sin30° ×3. 已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________．3. 75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sin α－12|＝0，（tan β－1）2＝0，则sin α ＝12，tan β ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°. 命题点2 直角三角形的边角关系【命题规律】1.考查内容：在直角三角形中，三边与两个锐角之间关系的互化.2.考查形式：已知一边及某锐角的三角函数值，求其他量，或结合直角坐标系求锐角三角函数值．【命题预测】直角三角形的边角关系是解直角三角形实际应用问题的基础，值得关注．4. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( ) A . 34B . 43C . 35D . 454. D 【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( )A . 6 cmB . 7 cmC . 8 cmD . 9 cm5. C 【解析】∵sin A ＝BC AB ＝45，∴设BC ＝4a ，则AB ＝5a ，AC ＝（5a ）2－（4a ）2＝3a ，∴3a ＝6，即a ＝2，故BC ＝4a ＝8 cm.6. 已知：如图，在锐角△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AD ⊥BC 于D. 在Rt △ABD 中，sin ∠B ＝ADc ，则AD ＝c sin ∠B ；在Rt △ACD 中，sin ∠C ＝________，则AD ＝________． 所以c sin ∠B ＝b sin ∠C ，即bsin B ＝csin C ， 进一步即得正弦定理：asin A ＝b sin B ＝c sin C.(此定理适合任意锐角三角形) 参照利用正弦定理解答下题：在△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝2，求AB 的长．6. 解：∵sin C ＝AD AC ＝ADb ，∴AD ＝b sin C ，由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin C ，∵∠B ＝75°， ∠C ＝45°， ∴∠A ＝60°， ∴2sin 60°＝ABsin 45°，∴AB ＝2×22÷32＝263.命题点3 锐角三角函数的实际应用【命题规律】1.考查内容：主要考查利用几何建模思想，将实际问题抽象为几何中的直角三角形的有关问题，并根据直角三角形的边角关系解决实际问题.2.考查形式：①仰角、俯角问题；②方位角问题；③坡度、坡角问题；④测量问题等．【命题预测】锐角三角函数的实际应用是将实际问题转化为几何问题并加以解决的数学建模题型，是全国命题的趋势．7. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )A .11－sin α B . 11＋sin α C . 11－cos α D . 11＋cos α7. A 【解析】在Rt △PCB ′中，sin α＝PCPB ′，∴PC ＝PB ′·sin α，又∵B ′D ＝AC ＝1，则PB ′·sin α＋1＝P A ，而PB ′＝P A ，∴P A ＝11－sin α.8. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为________cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)．8. 14.1 【解析】如解图 ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∵BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，∴∠CBE ＝20°，在Rt △CBE 中，BE ＝BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940＝14.1(cm)．第8题图 第9题图 第10题图9. 如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)9. 11 【解析】∵∠A ＝30°，∴PM ＝12PA ＝9海里．∵∠B ＝55°， sin B ＝PM PB ，∴0.8＝9PB ，∴PB ≈11海里．10. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为__________m ．(结果保留根号)10. 103＋1 【解析】如解图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE ＝CD ＝10 m ，在Rt △AEB 中，BE ＝AE·tan 60°＝10×3＝10 3 m ，∴BC ＝BE ＋EC ＝BE ＋AD ＝(103＋1)m . 11. 如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°(点B 、C 、E 在同一水平直线上)，已知AB ＝80 m ，DE ＝10 m ，求障碍物B 、C 两点间的距离．(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)11. 解：如解图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，则四边形FBED 为矩形，∴FD ＝BE ，BF ＝DE ＝10，FD ∥BE ，由题意得：∠FDC ＝30°，∠ADF ＝45°，∵FD ∥BE ， ∴∠DCE ＝∠FDC ＝30°， 在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，DE ＝10，∠DCE ＝30°， ∵tan ∠DCE ＝DE CE ，∴CE ＝10tan 30°＝103，在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠ADF ＝∠FAD ＝45°， ∴FD ＝AF ，又∵AB ＝80，BF ＝10，∴FD ＝AF ＝AB －BF ＝80－10＝70，∴BC ＝BE －CE ＝FD －CE ＝70－103≈52.7(m )． 答：障碍物B 、C 两点间的距离约为52.7 m ．12.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α；(2)天桥底部的正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．12. 解：(1)∵新坡面AC 的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33， ∴α＝30°.答：新坡面的坡角α的度数为30°.(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除． 理由如下：如解图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ， ∵坡面BC 的坡度为1∶1， ∴BD ＝CD ＝6米，∵新坡面AC 的坡度为1∶3， ∴CD ∶AD ＝1∶3， ∴AD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM 不需拆除． 答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除．13.如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B ，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为 60 m ，随后无人机从A 处继续水平飞行30 3 m 到达A′处． (1)求A ，B 之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值．13. 解：(1)如解图，过点D 作DE ⊥AA′于点E ，由题意得，AA ′∥BC ，∴∠B ＝∠FAB ＝30°， 又∵AC ＝60 m ，在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ，即12＝60AB，∴AB ＝120 m .答：A ，B 之间的距离为120 m ．(2)如解图，连接A′D ，作A′E ⊥BC 交BC 延长线于E ， ∵AA ′∥BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠A ′AC ＝90°，∴四边形AA′EC 为矩形， ∴A ′E ＝AC ＝60 m ， 又∵∠ADC ＝∠FAD ＝60°， 在Rt △ADC 中，tan ∠ADC ＝AC CD ，即5＝60CD，∴CD ＝20 3 m ，∴DE ＝DC ＋CE ＝AA′＋DC ＝303＋203＝50 3 m ， ∴tan ∠AA ′D ＝tan ∠A ′DE ＝A′E DE ＝60503＝235，答：从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值为235.中考冲刺集训一、选择题1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A . 斜坡AB 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10°C . AC ＝1.2tan 10° 米D . AB ＝ 1.2cos 10°米第1题图 第2题图 第3题图2.如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( )A . (sin α，sin α)B . (cos α，cos α)C . (cos α，sin α)D . (sin α，cos α)3.一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( )A . 4sin θ 米2B . 4cos θ 米2C . (4＋4tan θ) 米2 D . (4＋4tan θ) 米24.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( )A . 12B . 1C . 3D . 2第4题图 第5题图 第6题图5.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A . 30.6B . 32.1C . 37.9D . 39.46. 如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( )A . 60°B . 45°C . 15°D . 90°二、填空题7. 如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是________．第7题图 第8题图 第9题图8. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73) 9. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：3≈1.73)三、解答题10. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号．．．．．．)(2)求旗杆CD的高度．11. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．12. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan α tan β利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－1×33＝2＋ 3 根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题： (1)计算sin 15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C 处，在D 点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC 为 3 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．答案与解析：1. B第2题解图2. C 【解析】如解图，过点P 作PC ⊥OB 于点C ，则在Rt △OPC 中，OC ＝OP ·cos ∠POB ＝1×cos α＝cos α，PC ＝OP ·sin ∠POB ＝1×sin α＝sin α，即点P 的坐标为(cos α，sin α)．3. D 【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC ＝θ，CA ＝4米，∴BC ＝CA ·tan θ＝4tan θ.地毯长为(4＋4tan θ)米，宽为1米，其面积为(4＋4tan θ)×1＝(4＋4tan θ)米2.4. D 【解析】如解图，将AB 平移到PE 位置，连接QE, 则PQ ＝210，PE ＝22，QE ＝42，∵△PEQ 中，PE 2＋QE 2＝PQ 2，则∠PEQ ＝90°，∴tan ∠QMB ＝tan ∠P ＝QEPE＝2.第4题解图第5题解图5. D 【解析】如解图，设AB 与DC 的延长线交于点G ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，过点B 作BH ⊥ED 于点H ，则可得四边形GDEF 为矩形．在Rt △BCG 中，∵BC ＝12，i BC ＝BG CG ＝33，∴∠BCG ＝30°，∴BG ＝6，CG ＝63，∴BF ＝FG －BG ＝DE －BG ＝15－6＝9，∵∠AEF ＝α＝45°，∴AF ＝EF ＝DG ＝CG ＋CD ＝63＋20，∴AB ＝BF ＋AF ＝9＋20＋63≈39.4(米)．6. C 【解析】∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ′＝45°，∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.第7题解图7. 92【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限，∴OB ＝3，AB ＝t ，在11 Rt △ABO 中，tan α＝AB OB ＝t 3＝32，解得t ＝92. 8. 2.9 【解析】在Rt △AMD 中，DM ＝tan ∠DAM ×AM ＝tan 45°×4＝4米，在Rt △BMC 中，CM ＝tan ∠MBC ×BM ＝tan 30°×12＝4 3 米，故CD ＝CM －DM ＝43－4≈2.9米．9. 208 【解析】在Rt △ABD 中，BD ＝AD·tan ∠BAD ＝90×tan 30°＝303，在Rt △ACD 中，CD ＝AD·tan ∠CAD ＝90×tan 60°＝903，BC ＝BD ＋CD ＝303＋903＝1203≈208(米)．10. 解：(1)∵在教学楼B 点处观测旗杆底端D 处的俯角是30°，∴∠ADB ＝30°，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∠ADB ＝30°，AB ＝4(米)，∴AD ＝AB tan ∠ADB ＝4tan 30°＝43(米)． 答：教学楼与旗杆的水平距离是4 3 米．(也可先求∠ABD ＝60°，利用tan 60°去计算得到结论)(2)∵在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝60°，AD ＝4 3 米，∴CD ＝AD·tan 60°＝43×3＝12(米)．答：旗杆CD 的高度是12米．11. 解：∵tan ∠OBC ＝tan 30°＝OC BC ＝33， ∴OC ＝33BC ， ∵sin ∠OAC ＝sin 75°＝OC OA≈0.97， ∴33BC 40≈0.97， ∴BC ≈67.1(cm )．12. 解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝22×32－22×12 ＝6－24. (2)在Rt △BDE 中，∠BDE ＝75°，DE ＝CA ＝7，tan ∠BDE ＝BE DE ，即tan 75°＝BE 7＝2＋3， ∴ BE ＝14＋73，又∵AE ＝DC ＝3，∴AB ＝BE ＋AE ＝14＋73＋3＝14＋83(米)，答：纪念碑的高度是(14＋83)米．。
2021年九年级中考复习人教版数学三角函数练习题
三角函数学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 18 小题，每题 3 分，共计54分，）1. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，己知AC=a，∠A=α，∠B=β，则BD的长是( )A.a⋅sinαtanβB.a⋅cosαtanβC.a⋅sinα⋅tanβD.a⋅cosα⋅tanβ2. 如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan C 的值为()A.3 5B.45C.34D.433. 如图，市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡比为3:4，则坡面AC的长度为()m．A.10B.8C.6D.6√34. 在4×4的正方形的网格中画出了如图所示的格点△ABC，则tan∠ABC的值为（）A.3√1313B.2√1313C.32D.235. 如图，OA是北偏东30∘方向的一条射线，将射线OA绕点O逆时针旋转80∘得到射线OB，则OB的方位角是（）A.北偏西30∘B.北偏西50∘C.东偏北30∘D.东偏北50∘6. 直角△ABC中，∠C=90∘，tan∠BAC=13，则sin∠ABC的值是（）A.√1010B.23C.34D.3√10107. 若a=sin36∘，b=sin28∘，c=cos28∘，则a、b、c的大小关系是（）A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂足为D.如果AD=8，BD=4，那么tan A的值是( )A.1 2B.√22C.√33D.√29. 聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔，初建年代在北宋早起，是本市现存最古老的建筑．如图，测绘师在离铁塔10米处的点C测得塔顶A的仰角为α，他又在离铁塔25米处的点D测得塔顶A的仰角为β，若tanαtanβ=1，点D，C，B在同一条直线上，那么测绘师测得铁塔的高度约为（参考数据：√10≈3.162）（）A.15.81米B.16.81米C.30.62米D.31.62米10. 如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M，对于下列结论：①△BAE∼△CAD；②MP⋅MD=MA⋅MC；③2CB2=CP⋅ME．其屮正确的是（）A.①②③B.①C.①②D.②③11. 在△ABC中，AC≠BC，∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂足为D，则下列比值中不等于 sin A的是( )A.CDAC B.BDCBC.CBABD.CDCB12. 在△ABC中，sin A=cos(90∘−C)=√22，则△ABC的形状是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定13. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，下列式子不一定成立的是（）A.tan A=cot BB.sin2A+cos2A=1C.sin2A+sin2B=1D.tan A⋅cot B=114. 如图，在平面直角坐标系中，边长为√3的菱形AOBC按如图所示方式放置，∠AOB=60∘，现进行如下操作：将菱形AOBC绕点O逆时针旋转30∘得到菱形OA1C1B1，又将菱形OA1C1B1绕点O逆时针旋转30∘得到菱形OA2C2B2，如此重复操作，得到菱形OA3C3B3，菱形OA4C4B4，⋯⋯，则点C2020的坐标为( )A.(0,−3)B.(−3√32,32) C.(−3,0) D.(−32,3√32)15. 如图，小惠家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，测得一水塔（图中点A 处），在她家北偏东60∘方向600米处，那么他所在位置到公路的距离AB为（）米．A.300√2B.300√3C.300D.200√316. 如图，在△ABC中，∠B=2∠C, AD⊥BC于点D，设AD=m, BD=n，则DC=( )A.m+√m2+n2B.2n+√m2+n2C.n+√m2+n2D.n+2√m2+n217. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，已知tan A=√52，那么cos A的值是（）A.√52B.√53C.2√53D.2318. 如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．若△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值是( )A.1 3B.12C.√55D.2√55二、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分，）19. 计算：2sin30∘−2cos60∘+tan45∘+cot44∘cot46∘．20. 在一次数学活动课上，数学老师在同一平面内将一副直角三角板如图位置摆放，点C在FD的延长线上，AB // CF，∠F=∠ACB=90∘，∠E=45∘，∠A=60∘，AC=10，试求CD的长．21. 如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC．小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45∘，在D处观察旗杆顶端C的俯角为30∘，楼高BD为20米．求旗杆AC的高度．（结果保留根式）22. 已知三角函数值，求锐角（精确到1″）．（1）已知sinα=0.5018，求锐角α；（2）已知tanθ=5，求锐角θ．23. 某小区欲建两栋新楼房，它们的高AB=CD=20米，两楼间距设计为30米．现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况，冬日正午太阳光与水平线的夹角为30∘时，（1）求甲楼的影子在乙楼上有多高？（2）若乙楼1楼住户的窗台距地面1米，为不影响乙楼的采光，两楼间距应至少为多少米？（精确到0.1米．√3≈1.73，√2≈1.41）参考答案与试题解析一、选择题（本题共计 18 小题，每题 3 分，共计54分）1.【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】在直角△ACD中首先利用正弦定义求得CD的长，然后在直角△BCD中利用正切函数定义求得BD的长．【解答】解：∵ 在直角三角形ACD中，sin A=CDAC ，即sinα=CDa，∵ CD=a sinα．∵ 直角三角形BCD中，tan B=CDBD ，即CDBD=tanβ，∵ BD=CDtanβ=a sinαtanβ．故选A．2.【答案】D【考点】锐角三角函数的定义--利用网格【解析】过A点做AD⊥BC于D，根据网格的特征可知D是格点，在Rt△ACD中根据三角函数进行分析运算即可．【解答】解：作AD⊥BC于点D，如图，根据网格可知：点D是格点，在Rt△ACD中，tan C=ADCD =43．故选D．3.【答案】A【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】利用已知的坡度等于AB与BC的比和AB的长，求得BC的长，然后利用勾股定理求得AC 的长即可；【解答】解：∵ 天桥的坡比=AB:BC=3:4，AB=6∵ BC=8，在直角三角形ABC中，AC=√AB2+BC2=10m故选A．4.【答案】D【考点】锐角三角函数的定义【解析】首先过点A向CB引垂线，与CB交于D，表示出BD、AD的长，根据tan A=∠A的对边：∠A的邻边可算出答案．【解答】解：过点A向CB引垂线，与CB交于D，在△ABD是直角三角形，∵ BD=3，AD=2，∵ tan∠ABC=ADDB =23，故选：D．5.【答案】B【考点】方位角【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意可得∠AOB=80∘，求出∠1的度数即可确定OB的方位角。
北师大版中考三角函数专题复习
二楼 一楼 4mA 4m4mB28°C中考三角函数专题复习资料1、如图，某超市（大型商场）在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板（一楼的楼顶墙壁）与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.85米，他乘电梯会有碰头危险吗？（sin28o ≈0.47，tan28o ≈0.53）2、如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处．求此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离（结果保留根号）．3、如图，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50米到达点D ，用 高为1.5米的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高．(精确到0．1米)（已知sin10°≈0.17, cos10°≈0.98, tan10°≈0.18, sin15°≈0.26, cos15°≈0.97, tan15°≈0.27．)4、如图，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB 上，测量湖中两个小岛C D ，间的距离．从山顶A 处测得湖中小岛C 的俯角为60，测得湖中小岛D 的俯角为45．已知小山AB 的高为180米，求小岛C D ，间的距离．（计算过程和结果均不取近似值）5、如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH BC ∥，坡角74ABC ∠= ，坝顶到坝脚的距离6m AB =．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55，由此，点A 需向右平移至点D ，请你计算AD 的长（精确到0.1m ）．6、某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A 、B 相距 3 米，探测线与地面的夹角分别是30°和 60°（如图），试确定生命所在点 C 的深度．（结果精确到0.1米，1.73≈≈）7、地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援．如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在A 处时，车载GPS （全球卫星定位系统）显示村庄C 在北偏西25方向，汽车以35km/h 的速度前行2h 到达B 处，GPS 显示村庄C在NABCDH55北偏西52方向．（1）求B 处到村庄C 的距离； （2）求村庄C 到该公路的距离．（结果精确到0.1km ）（参考数据：sin 260.4384≈ ，cos 260.8988≈ ，sin520.7880≈ ，cos520.6157 ≈ ）8、在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB 表示窗户，且2AB =米，BCD 表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD 的最小夹角α为18.6，最大夹角β为64.5 ．请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD 的长是多少米？（结果保留两个有效数字）（参考数据：sin18.60.32= ，tan18.60.34= ，sin 64.50.90= ，tan 64.5 2.1=）9、我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC ，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端D 的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后， 又在点B 处测得条幅顶端D 的仰角为45°，已知测点A 、B 和C 离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D 点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1米， 参考数据1.732≈≈．）10.如图1是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运.根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图2中∠ACB =20°）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离AB =1.5m,木板超出车厢部分AD =0.5m,请求出木板CD 的长度（参考数据：sin20°≈0.3420,cos 20°≈0.9397,精确到0.1m ）.11 如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A 处测得灯塔C 在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B 处，在B 处测得灯塔C 在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C 的正东方向的D 处时，求此时轮船与 灯塔C 的距离．（结果保留根号）A B C D 图1 图212如图所示，A 、B 两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区. 为什么？（参考数据：732.13≈，414.12≈）13如图，小芸在自家楼房的窗户A 处，测量楼前的一棵树CD 的高. 现测得树顶C 处的俯角为45°，树底D 处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD 为20米.请你帮助小芸计算树的高度（精确到0.1米）．15九（1）班的数学课外小组，对公园人工湖中的湖心亭A 处到笔直的南岸的距离进行测量．他们采取了以下方案：如图7，站在湖心亭的A 处测得南岸的一尊石雕C 在其东南方向，再向正北方向前进10米到达B 处，又测得石雕C 在其南偏东30°方向．你认为此方案能够测得该公园的湖心亭A 处到南岸的距离吗？若可以，请计算此距离是多少米（结果保留到小数点后一位）？16在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先从A 处安置测倾器，测得塔顶C 的仰角21CFE ∠=°，然后往塔的方向前进50米到达B 处，此时测得仰角37CGE ∠=°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度． （参考数据：3sin 375°≈，3tan 374°≈，9sin 2125°≈，3tan 218°≈） ABD C 图7C17．如图，山脚下有一颗树AB ，小强从点B 沿山坡向上走50米到达点D ，用高为1.5米的测解仪CD 测得树顶的仰角为10° ，已知山坡的坡角为45°，求AB 的高（精确到0.1米，已知sin10 °=0.17 ; cos10°=0.98 ; tan10°=0.18 ;sin15°=0.26; cos15 °=0.97; tan15°=0.2718.某科技馆坐落在山坡M 处，从山脚A 到科技馆的路线如图。
2023年九年级中考数学一轮复习：锐角三角函数(含答案)
2023年中考数学一轮复习：锐角三角函数（含答案）一、单选题1．如图，在ABC 中， 45B ∠=︒ ， 30C ∠=︒ ，分别以 A 、 B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 D 、 E ．作直线 DE ，交 BC 于点 M ；同理作直线 FG 交 BC 于点 N ，若 6AB = ，则 MN 的长为（ ）A ．1B 3C ．3D ．232．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点，则sin∠OMN 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2 D 33．如图，在 Rt ABC 中， 9053C AB BC ∠=︒==，， ，则 sin B 的值为（ ）A ．45B ．34C ．35D ．43二、填空题4．cos60︒ = .5．两块等腰直角三角形纸片 AOB 和 COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，210AB = ， 4CD = .保持纸片 AOB 不动，将纸片 COD 绕点O 逆时针旋转 α()090α<<︒ .当BD 与 CD 在同一直线上（如图2）时， α 的正切值等于 .6．在 ABC ∆ 中， 903016ACB A AB ︒︒∠=∠==，， ，点 P 是斜边 AB 上一点，过点 P 作PQ AB ⊥ ，垂足为 P ，交边 AC （或边 CB ）于点 Q ，设 AP x = ，当 APQ ∆ 的面积为 3时， x 的值为 .三、综合题7．如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝4，将∠ABC 绕点A 逆时针旋转60°，使点B 落在点E 处，点C 落在点D 处．P 、Q 分别为线段AC 、AD 上的两个动点，且AQ ＝2PC ，连接PQ 交线段AE 于点M ．（1）AQ ＝ ，∠APQ 为等边三角形；（2）是否存在点Q ，使得∠AQM 、∠APQ 和∠APM 这三个三角形中一定有两个三角形相似？若存在请求出AQ 的长；若不存在请说明理由； （3）AQ ＝ ，B 、P 、Q 三点共线．8．（1）计算：3tan30°-(cos60°)-1+8 cos45°+()1tan 60-︒（2）先化简，再求代数式 221(1)122x x x --÷++ 的值，其中x=4cos30°-tan45° 9．如图，AB 是∠O 的直径，点P 在∠O 上，且PA ＝PB ，点M 是∠O 外一点，MB 与∠O 相切于点B ，连接OM ，过点A 作AC OM 交∠O 于点C ，连接BC 交OM 于点D ．（1）求证：MC是∠O的切线；（2）若152OB=，12BC＝，连接PC，求PC的长．10．如图，在∠ABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF.（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长.11．如图，∠ABC内接于∠O，AB是∠O的直径，∠O的切线AP与OC的延长线相交于点P，∠P＝∠BCO.（1）求证：AC＝PC；（2）若AB＝6 3，求AP的长.12．（12744 sin603233-︒-（2）先化简，再求值：342111xxx x-⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭，其中22x=.13．如图，以AB为直径作O，过点A作O的切线AC，连接BC，交O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．（1）求证： 2AEB C ∠=∠ ； （2）若 5AB = ， 3cos 5B =，求 DE 的长． 14．（1）计算： 2cos 45sin 30tan 45︒︒︒+⋅ . （2）求二次函数 21212y x x =++ 图象的顶点坐标. 15． 如图，直线y =-x +b 与反比例函数 3y x=-的图象相交于点A （a ，3），且与x 轴相交于点B ．（1） 求a 、b 的值；（2） 若点P 在x 轴上，且∠AOP 的面积是∠AOB 的面积的12，求点P 的坐标． 16．如图， PA 、 PB 为O 的切线，A 、B 为切点，点C 为半圆弧的中点，连 AC 交 PO于E 点.（1）求证： PB PE = ； （2）若 3tan 5CPO ∠=，求 sin PAC ∠ 的值. 17．（120313213(202248)64---⨯--（）．（2）先化简，再求值：2243()22ab a ba b a b b a a b---⨯÷+-+，代入你喜欢的a ，b 值求结果． 18．矩形AOBC 中，OB ＝4，OA ＝3，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F 是BC 边上一个动点（不与B ，C 重合），过点F 的反比例函数 ky x= （k ＞0）的图象与边AC 交于点E.（1）当点F 为边BC 的中点时，求点E 的坐标； （2）连接EF ，求∠EFC 的正切值.19．如图1，已知矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，O 是对角线AC 的中点，点E 从A 点沿AB 向点B运动，运动过程中连接OE ，过O 作OF∠OE 交BC 于F ，连接EF ，（1）当点E 与点A 重合时，如图2，求 tan OEF ∠ 的值；（2）运动过程中， tan OEF ∠ 的值是否与(1)中所求的值保持不变，并说明理由； （3）当EF 平分∠OEB 时，求AE 的长.20．如图1，已知二次函数()20y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于点()10A -，、()20B ，，与y 轴交于点C ，且2tan OAC ∠=.（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C 作CD x 轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连接PB 、PC ，若PBCBCDSS=，求点P 的坐标；（3）如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连接OP 交BC 于点Q.设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示PQ OQ 的值，并求PQOQ的最大值. 21．如图1，四边形 ABCD 内接于O ， BD 为直径， AD 上存在点E ，满足AE CD = ，连结 BE 并延长交 CD 的延长线于点F ， BE 与 AD 交于点G.（1）若 DBC α∠= ，请用含 α 的代数式表列 AGB ∠ . （2）如图2，连结 ,CE CE BG = .求证； EF DG = . （3）如图3，在（2）的条件下，连结 CG ， 2AG = . ①若 3tan 2ADB ∠=，求 FGD 的周长. ②求 CG 的最小值.22．如图，直线364y x =+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，点C 为线段AB 上一动点（不与A 、B 重合），以C 为顶点作OCD OAB ∠=∠，射线CD 交线段OB 于点D ，将射线OC 绕点O 顺时针旋转90︒交射线CD 于点E ，连接BE .（1）证明：CD ODDB DE=；（用图1） （2）当BDE 为直角三角形时，求DE 的长度；（用图2） （3）点A 关于射线OC 的对称点为F ，求BF 的最小值.（用图3）23．如图，在二次函数 2221y x mx m =-+++ （m 是常数，且 0m > ）的图象与x 轴交于A ，B两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D.其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F.连接AC ，BD.（1）求A ，B ，C 三点的坐标（用数字或含m 的式子表示），并求 OBC ∠ 的度数； （2）若 ACO CBD ∠=∠ ，求m 的值；（3）若在第四象限内二次函数 2221y x mx m =-+++ （m 是常数，且 0m > ）的图象上，始终存在一点P ，使得 75ACP ∠=︒ ，请结合函数的图象，直接写出m 的取值范围.24．如图，已知 AB 是O 的直径，点 E 是O 上异于 A ， B 的点，点 F 是 EB 的中点，连接 AE ， AF ， BF ，过点 F 作 FC AE ⊥ 交 AE 的延长线于点 C ，交 AB 的延长线于点 D ， ADC ∠ 的平分线 DG 交 AF 于点 G ，交 FB 于点 H ．（1）求证： CD 是 O 的切线；（2）求 sin FHG ∠ 的值； （3）若 GH 42=， HB 2= ，求 O 的直径．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 ()240y ax bx a =++≠ 的图象经过 ()3,0A - ，()4,0B 两点，且与 y 轴交于点 C .点 D 为 x 轴负半轴上一点，且 BC BD = ，点 P ，Q 分别在线段 AB 和 CA 上.（1）求这个二次函数的表达式.（2）若线段 PQ 被 CD 垂直平分，求 AP 的长. （3）在第一象限的这个二次函数的图象上取一点 G ，使得 GCBGCASS= ，再在这个二次函数的图象上取一点 E （不与点 A ， B ， C 重合），使得 45GBE ∠=︒ ，求点 E 的坐标.参考答案1．【答案】A【解析】【解答】如解图，连接AM、AN，由作法可知，DE、FG分别为线段AB、AC的垂直平分线，∴AM=BM，AN=CN．∵∠B=45°，∠C=30°，∴∠BAM=45°，∠CAN=30°．∴∠AMB=∠AMC=90°．∴∠MAN=90°−∠C−∠CAN=30°．∵AB= 6，∴AM= 3，∴MN=AM·tan30°=1，故答案为：A．【分析】利用线段垂直平分线的性质得到AM=BM，AN=CN，∠BAM=45°，∠CAN=30°．求得∠MAN=90°−∠C−∠CAN=30°，利用特殊角的三角函数值即可求解。
-三角函数中考题汇编含答案
锐角三角函数与特殊角4、（2013）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4．其中正确的是①②④（写出所有正确结论的序号）．考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．分析：①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：=，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；②由=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=；④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE的面积，继而求得S△DEF=4．解答：解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴=，DG=CG，∴∠ADF=∠AED，∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；故①正确；②∵=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG =CG ﹣CF =2； 故②正确； ③∵AF =3，FG =2， ∴AG ==，∴在Rt △AGD 中，tan ∠ADG ==，∴tan ∠E =；故③错误； ④∵DF =DG +FG =6，AD ==，∴S △ADF =DF •AG =×6×=3，∵△ADF ∽△AED ， ∴=（）2，∴=， ∴S △AED =7，∴S △DEF =S △AED ﹣S △ADF =4；故④正确．故答案为：①②④．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5、(2013年)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的接三角形，AB ＝AC ，点P 是⋂AB 的中点，连接PA ，PB ，PC ．（1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3=； （2）如图②，若2524sin =∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．OP第22题图①CBA第22题图②OPCBA解析：（1）证明：∵弧BC ＝弧BC ，∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°．又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形∴∠ACB ＝60°，∵点P 是弧AB 的中点，∴∠ACP ＝30°，又∠APC ＝∠ABC ＝60°，∴AC ＝3AP ．（2）解：连接AO 并延长交PC 于F ，过点E 作EG ⊥AC 于G ，连接OC ． ∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC ，BF ＝CF ．∵点P 是弧AB 中点，∴∠ACP ＝∠PCB ，∴EG ＝EF ． ∵∠BPC ＝∠FOC ，∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC=2524． 设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a ， ∴OF ＝7a ，AF ＝32a ．在Rt △AFC 中，AC 2＝AF 2+FC 2，∴AC ＝40a ．在Rt △AGE 和Rt △AFC 中，sin ∠FAC ＝ACFCAE EG =， ∴aa EG a EG 402432=-，∴EG ＝12a ． ∴tan ∠PAB ＝tan ∠PCB=212412==a a CF EF ．一．选择题1．（2013，9，3分）△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A ．∠B 、∠C 的对边，如果a 2+b 2=c 2，那么下列结论正确的是（ ）A ．csinA =aB ．bcosB =cC ．atanA =bD ．ctanB =b 考点：勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义．分析：由于a 2+b 2=c 2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形，且∠C =90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项． 解答：解：∵a 2+b 2=c 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠C =90°．A ．sinA =，则csinA =a ．故本选项正确；B ．cosB =，则cosBc =a ．故本选项错误；C ．tanA =，则=b ．故本选项错误；GE FAPO第22（2）题图D ．tanB =，则atanB =b ．故本选项错误．故选A ．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 2．（2013，8，3分）式子的值是（ ） A ． B ． 0 C ． D ． 2考点： 特殊角的三角函数值． 分析： 将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案． 解答：解：原式=2×﹣1﹣（﹣1）=﹣1﹣+1=0． 故选B ． 点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的容．3 .[2013，9，3分]在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A - 12 +(cos B - 12 )2=0，则∠C 的度数是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°知识考点：特殊角的三角函数值，绝对值，非负数的性质.审题要津：根据两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0可分别求出∠A 、∠B 的角度数，从而求出∠C 的度数.满分解答：解：由题意知⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A - 12 =0，cos B - 12 =0，解得sin A =12，cos B =12.所以∠A =45°，∠B=45°.故∠C=180°-∠A -∠B=180°-45°-45°=90°.故选C.名师点评：本题是常见的计算型试题，考查考生的综合运算能力，熟练掌握特殊角的三角函数值，绝对值，非负数的性质是解题的关键.4．（2013•东营，5，3分）将等腰直角三角形AOB 按如图所示放置，然后绕点O 逆时针旋转90︒至A OB ''∆的位置，点B 的横坐标为2，则点A '的坐标为（ ）A ．(1，1)B ．2,2C ．(－1，1)D ．(2,2-答案：C解析：在Rt AOB ∆中，2OB =，45AOB ∠=︒，OAAOB OB∠=，所以2cos 22OA OB AOB =∠==，所以2OA '=，过A '作A C y '⊥轴于点C ，在Rt A OC '∆，45A OC '∠=︒，2OA '=，sin A CA OC A O''∠='，2sin 21A C A O A OC '''=∠==，又因为⊙O 1A C '==，且点A '在第二象限，所以点A '的坐标为（－1，1）． 5. （20133分）在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =4，sinA =，则斜边上的高等于（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B ．【解析】根据题意画出图形，如图所示， 在Rt △ABC 中，AB =4，sinA =， ∴BC =ABsinA =2.4， 根据勾股定理得：AC ==3.2，∵S △ABC =AC •BC =AB •CD ， ∴CD ==【方法指导】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键6. （2013•3分）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB ）为1.6m ，则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m ，≈1.73）．A ． 3.5mB ． 3.6mC ． 4.3mD ． 5.1m【答案】D ．【解析】设CD=x ，在Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°，则AD=x，在Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°，则ED=x，由题意得，AD﹣ED=x﹣x=4，解得：x=2，则这棵树的高度=2+1.6≈5.1m．【方法指导】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．7.（2013，6，3分）如图，已知第一象限的点A在反比例函数2yx=上，第二象限的点B在反比例函数kyx=上，且OA⊥OB，3cosA=3，则k的值为【】A．－3 B．－6 C．－4 D．23-8．（2013市，6，4分）计算6tan45°－2cos60°的结果是（）A．3B．4 C．53D．5 【答案】D．【解析】6tan 45°－2cos 60°＝6×1－2×12＝5． 【方法指导】本题考查特殊锐角三角函数值．熟练记忆特殊锐角三角函数值，并掌握实数运算法则是准确求解的前提． 10．（2013，9，4分）如图，在△ABC 中，∠A =45°，∠B =30°，CD ⊥AB ，垂足为D ，CD =1，则AB 的长为（ ）A ．2B ．32C ．133+ D ．13+ 【答案】D【解析】在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，∠A =45°，∴∠ACD =∠A =45°，∴AD = CD =1． 在Rt △BCD 中，∠BDC =90°，∠B =30°，∴BD =330tan 1tan =︒=B CD ，∴AB =AD +BD =31+，故选D ．【方法指导】本题考查了对锐角三角函数的识记，以及用三角函数的知识解直角三角形．求一般三角形边的长度，可以通过求作高，转化为直角三角形解答；在含有特殊角的直角三角形中，已知两个元素（至少有一条边），可以用三角函数的定义、勾股定理、直角三角形两角互余的关系，求出所有未知的边或角；锐角三角函数，表示的是直角三角形中边、角之间的关系，三者之间可以相互转化：c a A =sin ，则a ＝c ·sinA ，c ＝A a sin ；cb A =cos ，则b ＝c ·cosA ，c ＝A b cos ；b a A =tan ，则a ＝btanA ；Aab tan =．11．(2013，11，3分)如图，在半径为1的⊙O 中，∠AOB ＝45°，则sin C 的值为( ) A 222-22+2【答案】B【解析】如图2，过点B 作BD ⊥AC 于D ，∵OB ＝1，∠AOB ＝45°，∴BD ＝OD 2AD ＝12Rt △ABD 中，AB 22AD BD +2222(1)()22-+22-．ADBC（第9题图）A B C O45°(第11题) A B C O45° 图2D∴sin C＝ABAC＝222-．故选B．【方法指导】∵∠AOB＝2∠C，∴∠C＝22.5°．此题说明sin22.5°＝222-．不难得出cos22.5°＝222+，tan22.5°＝2222-+＝2－1．二．填空题2．（2013，15，3分）如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为12m（结果不作近似计算）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：首先过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形BCD E是矩形，然后分别在Rt△ABC与Rt△ADE 中，利用正切函数的知识，求得AB与AE的长，继而可求得答案．解答：解：过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE是矩形，根据题意得：∠ACB=β=60°，∠ADE=α=30°，BC=18m，∴DE=BC=18m，CD=BE，在Rt△ABC中，AB=BC•tan∠ACB=18×tan60°=18（m），在Rt△ADE中，AE=DE•tan∠ADE=18×tan30°=6（m），∴DE=BE=AB﹣AE=18﹣6=12（m）．故答案为：12．点评：本题考查俯角的知识．此题难度不大，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2013·，13，2分）△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝，则BC的长．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．分析：首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长．解答：解：∵cosA＝，∴AC＝AB•cosA＝8×＝6，∴BC＝＝＝2．故答案是：2．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4. 20134分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②cosB=；③tanA=；④tanB=，其中正确的结论是（只需填上正确结论的序号【答案】．②③④【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∴sinA==，故①错误；∴∠A=30°，∴∠B=60°，∴cosB=cos60°=，故②正确；∵∠A=30°，∴tanA=tan30°=，故③正确；∵∠B=60°，∴tanB=tan60°=，故④正确．【方法指导】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．5（2013江，22，6分）在△ABC 中，已知∠C=90°，sinA+sinB =，则sinA ﹣sinB= ± ．考点：互余两角三角函数的关系． 分析：根据互余两角的三角函数关系，将sinA+sinB 平方，把sin 2A+cos 2A=1，sinB=cosA 代入求出2sinAcosA 的值，代入即可求解．解答： 解：（sinA+sinB ）2=（）2，∵sinB=cosA ，∴sin 2A+cos 2A+2sinAcosA=，∴2sinAcosA=﹣1=，则（sinA ﹣sinB ）2=sin 2A+cos 2A ﹣2sinAcosA=1﹣=，∴sinA ﹣sinB=±． 故答案为：±． 点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，属于基础题，掌握互余两角三角函数的关系是解答本题的关键．6. （2013，14，5分）如图，在⊙O 中，过直径AB 延长线上的点C 作⊙O 的一条切线，切点为D ，若AC=7，AB=4，则sinC 的值为 ．【答案】：52． 【解析】连结OD ，∵AB=4，则OA=OB=OC=2，OC=5，由于CD 为⊙O 的切线，则∠ODC=90°，∴sinC=25OD OC 。
2021年中考九年级数学《三角函数》专项训练试题及答案分析
九年级数学下册《三角函数》专项训练试题时间：90分 满分：100分学校： 班级： 姓名：一、选择题(每题3分，共30分)1．已知cos A ＝32，则锐角A 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．50°D ．60°2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，t a n B ＝32，BC ＝23，则AC 等于( )A ．3B ．4C ．4 3D ．6 3．在锐角三角形ABC 中，若⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －322＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪22－c os B ＝0，则∠C 等于( ) A ．60° B ．45° C ．75° D ．105°4．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则t a n ∠ABC 的值为( )A.35B.34C.105 D ．15．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝5，AC ＝6，则t a n B 的值为( )A.45B.35C.34D.436．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上．有四名同学分别测量出以下4组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B两点之间距离的有()A．1组B．2组C．3组D．4组7．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB ＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为()A.34 B.43 C.35 D.458．如图所示，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球的高度CD为100 m，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点之间的距离是()A．200 m B．200 3 m C．220 3 m D．100(3＋1)m9．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则()A．S1＝12S2B．S1＝72S2C．S1＝85S2D．S1＝S210．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是()A.3＋318 B.3＋118 C.3＋36 D.3＋16二、填空题(每题3分，共24分)11．计算：cos245°＋tan 30°·sin 60°＝________。
2023年中考九年级数学高频考点专题训练--锐角三角函数
2023年中考九年级数学高频考点专题训练--锐角三角函数一、综合题1．如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，∠ABC的平分线交∠O于E，D为BE延长线上一点，且∠DAE＝∠FAE.（1）求证：AD为∠O切线；（2）若sin∠BAC＝35，求tan∠AFO的值.2．如图，一个正方体木箱沿斜面下滑，正方体木箱的边长BE为2m，斜面AB的坡角为∠BAC，且tan∠BAC= 3 4．（1）当木箱滑到如图所示的位置时，AB=3m，求此时点B离开地面AC的距离；（2）当点E离开地面AC的距离是3.1m时，求AB的长．3．如图，在∠ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．（1）当AE＝8时，求EF的长；（2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y．①求y与x的函数关系式；②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与∠ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．4．如图，以∠ABC的一边AB为直径的半圆O与边AC，BC的交点分别为点E，点D，且D是BE⌢的中点．（1）若∠A＝80°，求∠DBE的度数．（2）求证：AB＝AC．（3）若∠O 的半径为5cm，BC＝12cm，求线段BE的长．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如果点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且∠DAM和∠BCE相似，求点M坐标．6．如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC∠OF于点C，MC=4．在射线CF上取一点A，连结AM并延长交射线OE于点B，作BD∠OF于点D．（1）当AC的长度为多少时，∠AMC和∠BOD相似；（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断∠AOB的形状，并说明理由；（3）连结BC．当S∠AMC=S∠BOC时，求AC的长．7．如图1，在∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点(不与A 重合)，连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM，射线AE于点F，D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，(1)中的结论是否发生变化?如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；，其他条件不（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD= √6+√22变，求线段AM的长．8．（1）【基础巩固】如图1，在∠ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∠BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG= EG．（2）【尝试应用】如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG∠DE，CD=6，AE=3，求DEBC的值．（3）【拓展提高】如图3，在∠ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∠BD交AD于点G，EF∠EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．9．在锐角∠ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将∠ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到∠DBE．（1）当旋转成如图①，点E在线段CA的延长线上时，则∠CED的度数是度；（2）当旋转成如图②，连接AD、CE，若∠ABD的面积为4，求∠CBE的面积；（3）点M为线段AB的中点，点P是线段AC上一动点，在∠ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点P′，连接MP′，如图③，直接写出线段MP′长度的最大值和最小值．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别从点B，D同时出发沿AB延长线和射线DA以相同的速度运动，连结EF，交射线DB于点G.连结CG.（1）当BE＝2时，求BD，EG的长.（2）当点F在线段AD上时，记∠DCG为∠1，∠AFE为∠2，那么tan∠1tan∠2的值是否会变化？若不变，求出该比值；若变化，请说明理由.（3）在整个运动过程中，当∠DCG为等腰三角形时，求BE长.11．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，则∠C ＝．（2）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3．求对角线AC的长．（3）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣√3），点D在y轴上，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A、D，且当﹣2≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+c取最大值为3，求二次项系数a的值．12．如图，已知BC为∠O的直径，点D为CE⌢的中点，过点D作DG∠CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．（1）求证：AD是∠O的切线；（2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．13．已知：如图，AB为∠O的直径，C是BA延长线上一点，CP切∠O于P，弦PD∠AB于E，过点B作BQ∠CP于Q，交∠O于H，（1）如图1，求证：PQ＝PE；（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB＝30°，连接AG交PD于F，连接BF，若tan∠BFE＝3√3，求∠C的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，PD＝6 √3，连接QC交BC于点M，求QM的长．14．定义：一边上的中线与另一边的夹角为30°的三角形称作美妙三角形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中考复习九----锐角三角函数
学号 姓名
一、填空题（每空1分，共20分）
1、cot30°= ，cos60°= ，tan45°=
2、Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ∶BC ＝1∶ 3 ，则cosA= ，cotA ＝
3、设a 为锐角，若sina ＝32 ，则a ＝ ，若tana ＝33
，则a ＝ 4、已知a 为锐角，若cosa ＝12
，则sina ＝ ，tan(90°－a)＝ 5、已知sina=1213
, a 为锐角，则cosa ＝ ，tana ＝ ，cota ＝ 6、 点()sin60,cos60M -︒︒关于x 轴对称的点的坐标是
7、Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3a ＝ 3 b ，则∠A ＝ ，sinA ＝
8、Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ∶a ＝1∶ 2 ，则cosB= ,cotA ＝
9、已知锐角a 的终边经过点P （x ，2），点P 到坐标原点的距离r ＝13 ,则sina= ，cosa ＝
10、已知正三角形ABC ，一边上的中线长为32，则此三角形的边长为
二、选择题（每题3分，共30分）
1、Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，AC ＝2，则sinA ＝（ ）
（A ） 13 （B ）23 （C ）23 2 （D ）23
2、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35
，则tanA ·cosA 的值是（ ） （A ） 35 （B ）45 （C ）925 （D ）1625
3、已知∠A ＋∠B ＝90°，则下列各式中正确的是（ ）
（A ）sinA ＝sinB (B)cosA ＝cosB (C)tanA ＝cogB (D)tanA ＝tanB
4、若0°<a<45°，则下列各式中正确的是（ ）
（A ）sina>cosa (B)cosa>sina (C)cota<1 (D)tana>cota 5、若2cosa － 3 ＝0，则锐角a ＝（ ）
A 、30°（
B ）15° （
C ）45°（
D ）60°
7、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A 的各三角函数值（ ）
A 、都扩大两倍（
B ）都缩小两倍（
C ）没有变化（
D ）不能确定
8、0°<a<45°，下列不等式中正确的是（ ）
(A)cosa<sina<cota （B ）cosa<cota<sina （C ）sina<cosa<cota （D ）cota<sina<cosa
9、下列计算错误的是（ ）
A ．sin 60sin 30sin 30︒-︒=︒
B ．22
sin 45cos 451︒+︒= C ．sin 60cos 60cos 60︒︒=
︒ D ．cos30cos30sin 30︒︒=︒
10、如图1，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A
落在1A 处，已知OA =1AB =，则点1A 的坐标是（
） Ａ．322⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭， Ｂ．32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，
Ｃ．32⎛ ⎝⎭，
Ｄ．12⎛ ⎝⎭
，
三、解答题（共50分，2-6题每题6分）
1．计算：（每题5分）
（1）22sin30cos60tan 60tan30cos 45+-⋅+︒ ．
（2）22sin 45cos30tan 45+-
（3）1
2 sin60°＋2
2 cos45°＋sin30°·cos30°
图1
（4）3 tan30°－1－2 tan60°＋tan 2
60° ＋cos30°·cos45°
2、△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是高，BD ＝9，tanB ＝43
，求AD 、AC 、BC
3、已知△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°，BD 为AC 边上中线，求sin ∠ABD 和tan ∠ABD 的值。
4、如图，∠ABD ＝∠BCD ＝90°，AB ＝8，sinA ＝35
，CD ＝2 3 ，求∠CBD 的四个三角函数值。
5、已知：在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8. 求：△ABC 的面积(结果可保留根号).
6、一段路基的横断面是直角梯形，如左下图所示，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如右下图所示的技术要求。
试求出改造后坡面的坡度是多少？。