高二数学月考试题及答案-聊城第三中学2014-2015学年高二下学期第三次质量检测(理)

山东省聊城第三中学2014-2015学年高二下学期第三次质量检测（理）（试卷总分150分，共21题，考试时间120分钟）一：选择题：（每题5分共50分）1．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2． 已知随机变量ξ服从二项分布ξ～),(p n B ，且7E =)(ξ，6D =)(ξ，则p 等于（ ）A ．76 B ．71 C ．73 D ．743、用反证法证明命题，“若c b a ,,是三个连续的整数，那么c b a ,,中至少有一个偶数”时，下列假设正确的是（）A ．假设c b a ,,中至多有一个偶数B ．假设c b a ,,中至多有两个偶数C ．假设c b a ,,都是偶数D ．假设c b a ,,都不是偶数4．已知函数f （x ）的导函数()x f '的图像如左图所示，那么函数()x f 的图像最有可能的是5．π4π41cos 2d 3x x -⎰＝( )A ．13 B ．23 C．3D．3-6．已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则())(531420a a a a a a ++++的值等于（ ） .A ．16B ．32-C ．256D ．256-7．位于西部地区的A ，B 两地，据多年的资料记载：A ，B 两地一年中下雨天仅占6%和8%，而同时下雨的比例为2%，则A 地为雨天时，B 地也为雨天的概率为（ ）A ．13 B ．23C ．120.D ．180. 8．7. 某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ等于A ．74 B ．75 C ． 76D ．19．已知0ln 1)1(≤--+x x a 对于任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 恒成立，则a 的最大值为（ ）A 、0B 、1C 、2ln 21-D 、22ln 1+- 10．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa b c++，类比这个结论可知：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S —ABC 的体积为V ，则R 等于（ ）A ．1234V S S S S +++ B ．12342VS S S S +++C ．12343V S S S S +++ D ．12344VS S S S +++二：填空题：（每题5分共25分）11．=-⎰dx x 16240．12．若n 3x21x )(-的展开式中的第4项为常数项，则展开式的各项系数的和为________13. 某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．则3个景区都有部门选择的概率是 ．14．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0,0f x =>当时，有2()()0xf x f x x '-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集为 __________.15．①在回归直线方程10x 10y +=.中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y 增加10.个单位．②在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差。

③某市去年高考考生成绩服从正态分布),(250500N ，现有25 000名考生，则考生成绩在550～600分的人数约为3397．（参考数据：若2(,)X N μσ-，有()0.6826,P X μσμσ-<≤+=(22)0.9544,(33)0.9974.P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=）④相关指数2R =0.64表示解释变量对预报变量的贡献率为64﹪ 其中正确结论的编号为：__________________三:解答题16.（本小题满分12分）复数),,(0a R b a bi a z >∈+=，满足10z =，且复数z i 21)(-在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上. （Ⅰ）求复数z ； （Ⅱ）若)(R m i1im z ∈-++为纯虚数, 求实数m 的值.17.（本小题满分12分）为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00-22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：（I ）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20：00-22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？（II ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X ．求X 的数学期望和方差. 附：))()()(()(d b c a d c b a bc ad n K 22++++-=18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，32a 1-=，其前n 项和n S 满足2S 1S a nn n ++=)(2n ≥，计算1S ，2S ，3S ，4S ，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法加以证明．19. （本小题满分12分）某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为3元,并且每件商品需向总店交)(3a 1a ≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为)(9x 7x ≤≤元时,一年的销售量为2x 10)(-万件．（1）求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件商品的售价x 的函数关系式)(x L ；（2）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润)(x L 最大,并求出)(x L 的最大值．20．（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记Y X -=ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望)(ξE ．21.(本小题满分14分)已知函数)()(2ax e x f x += (e 为自然对数的底数，a R ∈为常数）．对于函数)(x g ，)(x h ，若存在常数b k ,，对于任意x R ∈，不等式)(x g ≤+≤b kx )(x h 都成立，则称直线b kx y +=是函数)(x g ，)(x h 的分界线． （Ⅰ）若1a -=，求)(x f 的极值； （Ⅱ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅲ）设2a =，试探究函数2x 4x x g 2++-=)(与函数)(x f 是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.理科数学答案一.DBDAA DACCC 二．11.π4 12.321 13.9414.),(),(202 --∞ 15.①③④ 16.解：2210a b += ① ……………………………2分又复数(12)i z -＝(2)(2)a b b a i ++-在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上， 则(2)(2)0a b b a ++-=即3a b = ② …………………………………4分 由①②联立的方程组得3,1a b ==或3,1a b =-=-…………………………5分 ∵0,a >∴3z i =+………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（1）得i z -=3……………………………………………………………8分()(1)312m i m i i z i i ++++=-+-=5322m m i +++……………………………………10分∵()1m iz m R i ++∈-为纯虚数,∴52m =-………………………………………………………………………………12分17.解：（I ）根据样本提供的2×2列联表得：60202060)50101010(8022⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ=889.8980≈>6.635；所以有99%的把握认为“在20：00-22：00时间段居民的休闲方式与性别有关。

（Ⅱ）由题意得：X ～)65,3(B ，且 k k kC k X P )65()61()(33-==，3,2,1,0=k().12561653,25653)(=⨯⨯==⨯=X D X E ； 18．解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)．则有：S 1＝a 1＝－23， S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45， S 4＝－1S 3＋2＝－56，由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明：①当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23，猜想成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 即n ＝k ＋1时猜想成立．由①②可知，对任意自然数n ，猜想结论均成立．19．解：（1）由题得该连锁分店一年的利润L （万元）与售价x 的解：函数关系式为2x 10a 3x x L ))(()(---=，[]97x ,∈， （2）))(()(/10x 16a 2x 3x L ---=， 令0x L =)(/，得316a 2x +=或x =10， ∵1≤a ≤3，∴6≤316a 2+≤322①当316a 2+≤7时，即1≤a ≤25时， 当x ∈时，L '（x ）≤0，L （x ）在x ∈上单调递减，故L （x ）m a x=L （7）=a 936-，②当316a 2+＞7时，即25＜a ≤3时，x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+316a 27,时，L '（x ）＞0；x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+9316a 2, 时，L '（x ）＜0， ∴L （x ）在x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+316a 27,上单调递增；在x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+9316a 2, 上单调递减， 故L (x )m a x =L (316a 2+)=3a 7274)(- 答：当1≤a ≤25，每件商品的售价为7元时，该连锁分店一年的利润L 最大，最大值为a 936-万元； 当25＜a ≤3每件商品的售价为316a 2+元时，该连锁分店一年的利润L 最大，最大值为3a 7274)(- 20解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23． 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝4412C 33iii -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)＝2224128C 3327⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4．由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝3434441211C +C 3339⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19． ξ的所有可能取值为0,2,4．由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781．所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝0×27＋2×81＋4×81＝14881． 21.（Ⅰ）若1a =-，则()()2xf x ex =-+， ()()'1x f x e x ∴=-+，……………1分由()'0f x =得1x = 又()'0f x >得1x <； ()'0f x <得1x >，()f x ∴在(),1-∞单调递增，在()1,+∞单调递减；()f x ∴在1x =处取得极大值()1f e =,无极小值．…………………………………… 3分（Ⅱ）()()'2xf x eax a =++，……………………………………………………… 4分①当0a >时，由'()0f x ≥得22,1;ax a x a≥--∴≥-- 由'()0f x ≤得22,1;ax a x a≤--∴≤-- 函数()f x 在区间21,a ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，在区间2,1a ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦上是减函数………6分 ②当0a =时，'()0f x >对x ∀∈R 恒成立，此时函数()f x 是区间R 上的增函数；………………………………………………7分 ③当0a <时，由'()0f x ≥得22,1;ax a x a≥--∴≤-- 由'()0f x ≤得22,1;ax a x a≤--∴≥-- 函数()f x 在区间2,1a ⎛⎤-∞--⎥⎝⎦上是增函数，在区间21,a ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数．……9分 （Ⅲ）若存在，则()24222xx x kx b ex -++≤+≤+恒成立，令0x =，则22b ≤≤，所以2b =，………………………………………………11分因此：2422x x kx -++≤+对x ∈R 恒成立，即()240x k x +-≥对x ∈R 恒成立，由0∆≤得到4k =， ………………………………………………………………………12分现在只要判断()2242xe x x +≥+是否恒成立，设()()()2242xx ex x φ=+-+，则()()'244x x e x φ=+-，①当0x >时，()1,244,'0,xe x x φ>+>> ②当0x <时，()01,244,'0,x e x x φ<<+<< ……………………………………………………13分所以()()00x φφ≥=，即()2242xex x +≥+恒成立，所以函数()242g x x x =-++与函数()f x 存在“分界线”，且方程为42y x =+………………14分。