高考数学解题方法与技巧讲解---解决导数应用问题
高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用
高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用高考压轴题：导数题型及解题方法一、切线问题题型1：求曲线y=f(x)在x=x处的切线方程。
方法：f'(x)为在x=x处的切线的斜率。
题型2：过点(a,b)的直线与曲线y=f(x)的相切问题。
方法：设曲线y=f(x)的切点(x,f(x))，由(x-a)f'(x)=f(x)-b求出x，进而解决相关问题。
注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条。
例题：已知函数f(x)=x-3x。
1）求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程；（答案：9x-y-16=0）2）若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。
提示：设曲线y=f(x)上的切点(x,f(x))，建立x,f(x)的等式关系。
将问题转化为关于x,m的方程有三个不同实数根问题。
答案：m的范围是(-3,-2)）练1：已知曲线y=x-3x。
1）求过点(1,-3)与曲线y=x-3x相切的直线方程。
（答案：3x+y=0或15x-4y-27=0）2）证明：过点(-2,5)与曲线y=x-3x相切的直线有三条。
题型3：求两个曲线y=f(x)、y=g(x)的公切线。
方法：设曲线y=f(x)、y=g(x)的切点分别为(x1,f(x1))、(x2,g(x2))，建立x1,x2的等式关系，(x2-x1)f'(x1)=g(x2)-f(x1)，(x2-x1)f'(x2)=g(x2)-f(x1)；求出x1,x2，进而求出切线方程。
解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。
例题：求曲线y=x与曲线y=2elnx的公切线方程。
（答案：2ex-y-e=0）练1：求曲线y=x与曲线y=-(x-1)的公切线方程。
（答案：2x-y-1=0或y=0）2.设函数f(x)=p(x-2)-2lnx，g(x)=x，直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于(1,0)，求实数p的值。
高考数学如何解决复杂的导数与微分应用题
高考数学如何解决复杂的导数与微分应用题高考数学中，导数与微分应用题是一类非常常见且考察深度较高的题型。
在解决复杂的导数与微分应用题时，我们需要掌握一定的基本概念和方法，并进行逻辑清晰的推导与运算。
本文将介绍如何有效地解决这类题目，帮助同学们在高考中取得好成绩。
一、复习基本的导数与微分知识在解决复杂的导数与微分应用题之前，我们首先要对基本的导数与微分知识进行复习。
导数的定义、基本求导法则以及微分的概念是解决这类题目的基础。
复习导数与微分知识应当包括但不局限于以下几个方面：1. 导数的定义：导数代表函数在某一点处的变化率，可以用极限的概念进行定义。
2. 基本求导法则：包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数与对数函数的导数、三角函数与反三角函数的导数等。
3. 链式法则与反函数求导法则：用于解决复合函数与反函数的导数求解问题。
4. 高阶导数与隐函数求导：涉及到导数的高阶运算和隐函数求导的方法。
5. 微分的概念与应用：微分的概念、微分近似、微分中值定理等。
二、分析问题，确定解题思路解决复杂的导数与微分应用题时，关键是要对问题进行仔细的分析，并确定相应的解题思路。
一般而言，解决这类题目通常包括以下几个步骤：1. 了解问题：仔细阅读题目，理解问题所涉及的数学背景和相关概念，确定题目要求。
2. 找到关键要素：识别出问题中的关键信息与变量，明确问题涉及的函数与关系。
3. 建立数学模型：根据问题描述，建立相应的数学模型，确定所需求解的函数或方程。
4. 推导与运算：根据数学模型和相关的导数与微分知识，进行推导与运算，解决问题。
5. 回答问题：根据题目要求，得到最终的解答，并进行必要的讨论和分析。
三、解题实例分析以下通过一个具体的实例，来演示如何解决复杂的导数与微分应用题。
【实例】某物体的位移函数为S(t)，求物体的速度函数和加速度函数。
【解析】根据题目要求，我们需要求解物体的速度函数和加速度函数，即对位移函数S(t)进行求导。
高考数学中的函数与导数的应用技巧
高考数学中的函数与导数的应用技巧高考数学中函数与导数的应用技巧在高考数学中，函数与导数是两个非常重要的知识点。
它们在各个科目中都扮演着不可或缺的角色，同时也是考试中必考的内容。
在学习这两个知识点时，我们需要掌握它们的应用技巧。
下面将简要介绍高考中函数与导数的应用技巧。
一、函数的应用技巧在高考中，函数是一个非常重要的知识点。
其应用范围涉及到各个分支学科。
掌握好函数的应用技巧，可以帮助我们更好地解决问题。
1.函数的连续性在高考数学中，函数的连续性是一个非常重要的概念。
如果一个函数在某个点上连续，那么它在该点的极限就等于该点的函数值。
利用这个概念，我们就可以使用代数法和图像法来判断函数的连续性，从而更好地解决问题。
2.函数的单调性函数的单调性是指函数的增减性质。
在高考中，我们需要通过函数的单调性来进行最值的求解。
如果一个函数在某个区间上单调递增，那么该区间的最小值就是函数在该区间左端点处的函数值。
反之，如果一个函数在某个区间上单调递减，那么该区间的最大值就是函数在该区间右端点处的函数值。
因此，掌握函数的单调性可以帮助我们更好地解决最值问题。
3.函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的对称性质。
在高考中，我们需要通过函数的奇偶性来判断函数的对称中心以及进行函数的分解。
如果一个函数为奇函数，则该函数在原点处对称。
如果一个函数为偶函数，则该函数在坐标轴上的所有点对称。
因此，掌握函数的奇偶性可以帮助我们更好地进行函数的图像分析以及函数的求解。
二、导数的应用技巧在高考数学中，导数是一个非常重要的知识点。
其应用范围涉及到各个分支学科。
掌握好导数的应用技巧，可以帮助我们更好地解决问题。
1.导数的定义在高考数学中，导数的定义是一个非常重要的概念。
通过导数的定义，我们可以求解函数在某个点的切线斜率。
在实际应用中，我们可以利用导数的定义来判断函数的单调性、最值、曲线的凸凹性等问题。
2.导数的求解在高考数学中，导数的求解是一个非常重要的环节。
高中数学导数的应用解题技巧
高中数学导数的应用解题技巧导数是高中数学中的重要概念，它不仅在微积分中起到关键作用，还有广泛的应用领域。
在解题过程中，合理运用导数的应用解题技巧，能够提高解题效率，帮助我们更好地理解问题，并得到准确的答案。
本文将通过具体的例子，介绍一些常见的导数应用解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一知识点。
一、最值问题最值问题是导数应用中的常见题型，它要求我们通过导数的性质，求出函数在某个区间内的最大值或最小值。
以一个简单的例子来说明：例题1：求函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$在区间[-1,2]上的最大值和最小值。
解析：首先，我们需要求出函数的导数。
对函数$f(x)$求导得到$f'(x)=3x^2-6x+2$。
接下来，我们需要找到导数$f'(x)$的零点，即解方程$3x^2-6x+2=0$。
解这个二次方程可以得到两个根$x_1=1-\sqrt{3}$和$x_2=1+\sqrt{3}$。
我们将区间[-1,2]分成三个部分：[-1,1-√3]、[1-√3,1+√3]和[1+√3,2]。
然后，我们在这三个区间内分别求出$f(x)$的导数值，并找出最大值和最小值。
在区间[-1,1-√3]，导数$f'(x)$的值为正，说明函数$f(x)$在这个区间内单调递增。
因此，最小值出现在$x=1-√3$时，即$f(1-√3)$为最小值。
在区间[1-√3,1+√3]，导数$f'(x)$的值为负，说明函数$f(x)$在这个区间内单调递减。
因此，最大值出现在$x=1+√3$时，即$f(1+√3)$为最大值。
在区间[1+√3,2]，导数$f'(x)$的值为正，说明函数$f(x)$在这个区间内单调递增。
因此，最大值出现在$x=2$时，即$f(2)$为最大值。
综上所述，函数$f(x)$在区间[-1,2]上的最大值为$f(2)$，最小值为$f(1-√3)$。
通过这个例题，我们可以看出，最值问题的关键在于求出函数的导数，并通过导数的符号来判断函数在不同区间内的单调性。
如何快速解决高考数学中的导数问题
如何快速解决高考数学中的导数问题作为高中数学的一个难点，导数问题是很多考生头疼不已的题目。
但是，掌握了一些解题技巧与方法，我们可以轻松应对导数问题，提高解题的效率。
在这篇文章中，我们将分享一些如何快速解决高考数学中的导数问题的技巧与方法。
一、掌握基本概念在解决导数问题之前，我们首先要掌握基本概念。
在高中数学中，导数是一个数学分支，是描述函数怎样随自变量的变化而变化的一种工具。
在学习导数时，我们需要掌握导数的定义、性质、公式与几何意义等基本概念。
在解决导数问题时，我们需要掌握导数的求解步骤，例如利用导数的基本公式求导、利用链式法则、反函数求导、隐函数求导等方法求导等等。
二、做好基础练习在掌握了基本概念之后，我们要进行基础练习。
在做基础练习的时候，可以从简单到复杂、从易到难的顺序逐步练习。
在做基础练习时，我们需要注意题目的解题方法与技巧，例如如何根据导数的基本公式求导、如何利用链式法则求导等等。
此外，在做练习的过程中，我们还要注意细节，尤其是符号的使用、计算的准确性等。
三、掌握常见题型在做基础练习的过程中，我们可以逐步掌握常见题型。
在高考数学中，导数问题的题型非常多，例如求函数在某点的导数值、求函数在某点的切线方程、求函数的最值等等。
在掌握常见题型的过程中，我们需要注意题目的特点与难点，例如如何根据题目条件求解问题等等。
四、多练习真题多练习真题是巩固知识的重要方法。
在做高考数学真题时，我们可以有针对性地练习导数问题。
在做真题的过程中，我们需要注意不同年份、不同省份的高考数学试卷的出题特点，例如不同年份、不同省份对导数问题的出题难度、范围等等。
在做真题时，我们还可以掌握解题的技巧与方法，例如如何运用公式、如何化简计算等等。
五、学会总结经验学会总结经验也是提高解题效率的重要方法。
在做练习与真题的过程中，我们可以总结解题方法、经验与技巧，并归纳整理成笔记。
在总结经验时，我们要注重理解与应用，将概念、公式、方法等整理出来，形成系统化的知识框架，以便复习时更加方便、快捷。
高考数学导数解题技巧
高考数学导数解题技巧
在高考数学中，导数是一个常见的解题工具。
以下是一些解题技巧：
1. 使用定义法求导数：如果需要求一个函数在某个点的导数，可以使用定义法，即计算函数在该点附近的斜率。
具体步骤是计算函数在点x处的斜率极限，即Lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h。
2. 使用基本导数公式：熟记一些基本导数公式可以帮助简化计算过程。
例如，常数函数的导数为0，幂函数的导数等于幂次乘以原函数的导数，指数函数的导数等于常数乘以指数。
3. 使用导数的性质：导数具有一些重要的性质，如线性性质和乘积规则。
线性性质表示导数是线性运算，即对于两个函数
f(x)和g(x)，以及常数a和b，有导数[a*f(x) + b*g(x)]' = a*f'(x) + b*g'(x)。
乘积规则表示两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以第一个函数。
4. 使用链式法则：当一个函数由两个复合函数相乘或相除构成时，可以使用链式法则简化导数的计算。
链式法则可以表示为如果y = f(g(x))，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。
5. 注意求导的顺序：当需要求一个复合函数的导数时，要注意求导的顺序。
通常，外函数的导数应该先求出来，再将其嵌入到内函数中求导。
以上是一些常见的高考数学导数解题技巧。
通过熟练掌握这些技巧，可以在考试中更快、更准确地解题。
如何解决高考数学中的函数求导问题
如何解决高考数学中的函数求导问题高考数学中的函数求导问题是一道常见而重要的考题。
解决这类问题，需要掌握一些基本方法和技巧。
本文将针对这个问题进行探讨，并提供一些解题思路和实践建议。
一、概念理解与基本原理要解决高考数学中的函数求导问题，首先需要对函数求导的概念进行理解。
函数求导即求函数的导数，表示函数在某一点的变化率。
导数的计算方法通常有以下几种：利用导数的定义、使用基本导数公式、链式法则和常用函数的导数法则等。
在解题过程中，我们需要掌握导数的基本性质和规则。
例如，常数函数的导数为0；多项式函数的导数可以通过对各项分别求导再相加的方式得到；指数函数、对数函数和三角函数等特殊函数的导数公式需要熟练掌握。
对于复合函数，可以运用链式法则求导。
掌握这些基本原理对于解决高考数学中的函数求导问题非常重要。
二、常见类型的函数求导问题在高考数学中，函数求导的问题多种多样。
下面列举并详细讨论几种常见的类型，以便更好地理解和解决这些问题。
1. 多项式函数的求导多项式函数是函数求导中最基本的类型之一。
多项式函数的导数可以通过对各项分别求导再相加的方式得到。
例如，对于函数f(x) = 3x^2+ 2x - 1，可以分别对3x^2、2x和-1求导，再将它们相加得到f'(x)的表达式。
在求导过程中，需要注意常数项的导数为0。
2. 指数函数和对数函数的求导指数函数和对数函数在高考数学中经常出现。
对于指数函数f(x) =a^x，其中a为常数，它的导数为f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln为自然对数。
对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为常数且a>0，a≠1，它的导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
3. 三角函数的求导三角函数在函数求导中也是常见的类型之一。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
这些函数的导数公式需要熟练掌握。
例如，正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)；余弦函数f(x)= cos(x)的导数为f'(x) = -sin(x)；正切函数f(x) = tan(x)的导数为f'(x) = sec^2(x)。
高等数学高考应试技巧导数应用的巧妙技巧
高等数学高考应试技巧导数应用的巧妙技巧在高考数学中，导数作为一个重要的工具，常常在解题中发挥着关键作用。
掌握导数应用的巧妙技巧，不仅能够提高解题的效率，还能增强我们在考试中的自信心。
接下来，让我们一起深入探讨导数在高考中的那些实用技巧。
一、利用导数求函数的单调性函数的单调性是导数应用中最为基础也是最为重要的一个方面。
对于给定的函数$f(x)＄，我们先对其求导，得到$f'（x)＄。
若$f'（x) ＞ 0$，则函数在相应区间上单调递增；若$f'（x) ＜ 0$，则函数在相应区间上单调递减。
例如，对于函数$f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2$，对其求导得到$f'（x) ＝3x^2 6x$。
令$f'（x) ＝ 0$，解得$x ＝ 0$或$x ＝ 2$。
当$x ＜ 0$时，＄f'（x) ＞ 0$，函数单调递增；当$0 ＜ x ＜ 2$时，＄f'（x) ＜ 0$，函数单调递减；当$x ＞ 2$时，＄f'（x) ＞ 0$，函数单调递增。
通过这种方法，我们可以清晰地确定函数的单调性区间，为后续的解题提供重要依据。
二、利用导数求函数的极值在求函数的极值时，导数同样发挥着重要作用。
首先求出导数$f'（x)＄，然后令$f'（x) ＝ 0$，求出可能的极值点。
接着，通过判断导数在极值点两侧的符号来确定是极大值还是极小值。
如果在极值点左侧导数为正，右侧为负，那么该点为极大值点；反之，如果左侧导数为负，右侧为正，那么该点为极小值点。
以函数$f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2$为例，已经求出其极值点为$x ＝0$和$x ＝ 2$。
在$x ＝ 0$左侧，＄f'（x) ＞ 0$，右侧$f'（x) ＜ 0$，所以$x ＝ 0$为极大值点，极大值为$f(0) ＝ 2$。
在$x ＝ 2$左侧，＄f'（x) ＜ 0$，右侧$f'（x) ＞ 0$，所以$x ＝ 2$为极小值点，极小值为$f(2) ＝－2$。
高中数学导数应用解题技巧
高中数学导数应用解题技巧在高中数学学习中，导数应用是一个重要的考点。
掌握导数应用解题技巧，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还能够提高解题的效率和准确性。
本文将介绍一些常见的导数应用题型，并详细解析解题思路和方法，帮助高中学生和他们的父母更好地应对这些题目。
一、函数极值问题函数极值问题是导数应用中的一大重点。
我们可以通过求函数的导数，找到函数的极值点。
以下是一个例子：例题：求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5的极值点。
解析：首先，我们需要求出函数f(x)的导数f'(x)。
对于多项式函数，求导的方法是按照幂次递减，对每一项分别求导。
所以，f'(x) = 6x^2 - 6x - 12。
接下来，我们令f'(x) = 0，解方程可以得到x的值。
解方程6x^2 - 6x - 12 = 0，我们可以化简得到x^2 - x - 2 = 0，然后因式分解得到(x - 2)(x + 1) = 0，解得x = 2或x = -1。
最后，我们将求得的x值代入函数f(x)中，计算出对应的y值。
即f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 5 = 3，f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = 22。
所以，函数f(x)的极值点为(2, 3)和(-1, 22)。
通过这个例子，我们可以看出，求函数的极值点需要先求导，然后解方程，最后代入函数计算。
这是一个常见的解题思路，掌握了这个思路，我们就能够迅速解决类似的问题。
二、函数图像问题函数图像问题也是导数应用中的一个重要部分。
通过求导，我们可以得到函数的增减性和凹凸性，从而画出函数的图像。
以下是一个例子：例题：画出函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的图像。
解析：首先，我们求出函数f(x)的导数f'(x)。
对于这个多项式函数，求导的方法和上面的例题一样。
高考数学如何解决复杂的导数和微分问题
高考数学如何解决复杂的导数和微分问题高考数学中，导数和微分问题是一个常见的考点，也是让许多考生头疼的难题。
在解决复杂的导数和微分问题时，我们可以运用以下几种方法和技巧。
一、基本函数的导数公式在解决复杂的导数问题时，我们首先要掌握基本函数的导数公式。
基本函数包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
比如，幂函数y=x^n的导数公式为dy/dx=n*x^(n-1)；指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的导数公式为dy/dx=a^x*lna；对数函数y=log_a(x)的导数公式为dy/dx=1/(x*lna)；三角函数sinx的导数公式为dy/dx=cosx，cosx的导数公式为dy/dx=-sinx。
掌握了基本函数的导数公式，我们可以通过将复杂函数拆解成基本函数的组合来求解导数。
二、运用导数的四则运算法则在解决复杂的导数问题时，我们可以运用导数的四则运算法则，即和、差、积、商的导数法则。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)都是可导的，则它们的和（差）的导数为(f±g)'=f'(x)±g'(x)，积的导数为(f·g)'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)，商的导数为(f/g)'=(f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x))/[g(x)]^2。
通过运用导数的四则运算法则，我们可以将复杂的函数化简为较简单的形式，更容易求解其导数。
三、隐函数求导和相关变化率在解决复杂的导数问题时，有些情况下函数并不能直接表示为y=f(x)的形式，而是通过一个方程来间接表示。
这时，我们需要运用隐函数求导的方法来求解导数。
隐函数求导的基本步骤是利用导数的定义，对方程两边求导，然后解出所求的导数。
通过隐函数求导，我们可以解决一些由方程确定的函数的导数问题。
此外，在解决复杂的导数问题时，还可以运用相关变化率的概念。
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当 x∈(0,1)时，f′(x)>0，f (x)单调递增；
当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f (x)单调递减．
所以 x＝1 为函数 f (x)的极大值点，且是唯一极值点，
1 所以 0<a<1<a＋2，
1 故2<a<1，即实数
3 / 13
所以当 x∈(0,1)时，h′(x)>0；当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.
故 h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 1
从而 h(x)在(0，＋∞)上的最大值为 h(1)＝－e. 因为 g(x)min＝g1e＝h(1)＝h(x)max， 所以当 x>0 时，g(x)>h(x)，即 f (x)>1.
2 (2)证明：当 x≥1 时，f (x)＋g(x)≥x.
ln x (1)解 因为 f (x)＝1－ x ，x>0，
ln x－1 所以 f′(x)＝ x2 ，f′(1)＝－1.
ae 1
ae 1
因为 g(x)＝ ex ＋x－bx，所以 g′(x)＝－ ex －x2－b.
因为曲线 y＝f (x)与曲线 y＝g(x)的一个公共点是 A(1,1)，且在点 A 处的切线互相垂直，
高考数学解题方法与技巧讲解 ---解决导数应用问题
证明不等式
命题点 1 构造函数法
ln x
ae 1
例 1 (2020·赣州模拟)已知函数 f (x)＝1－ x ，g(x)＝ ex ＋x－bx，若曲线 y＝f (x)与曲
线 y＝g(x)的一个公共点是 A(1,1)，且在点 A 处的切线互相垂直．
(1)求 a，b 的值；
(3)若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形分拆，构造两个函数，从
而找到可以传递的中间量，达到证明的目的．
跟训练 1 (1)设函数 f (x)＝ln x－x＋1.
①讨论 f (x)的单调性； x－1
②证明：当 x∈(1，＋∞)时，1< ln x <x. ①解 由题设知，f (x)的定义域为(0，＋∞)，
不等式恒成立或有解问题
1＋ln x 例 3 已知函数 f (x)＝ x . (1)若函数 f (x)在区间a，a＋12上存在极值，求正实数 a 的取值范围；
k (2)如果当 x≥1 时，不等式 f (x)≥x＋1恒成立，求实数 k 的取值范围．
解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)， 1－1－ln x ln x
故当 x∈(1，＋∞)时，ln x<x－1，ln x<x－1， x－1
即 1< ln x <x. (2)已知函数 f (x)＝exln x＋2xex－1，证明：f (x)>1. 证明 函数 f (x)的定义域为(0，＋∞)． f (x)>1 等价于 xln x>xe－x－2e. 设函数 g(x)＝xln x，则 g′(x)＝1＋ln x， 所以当 x∈0，1e时，g′(x)<0；当 x∈1e，＋∞时，g′(x)>0. 故 g(x)在0，1e上单调递减，在1e，＋∞上单调递增，从而 g(x)在(0，＋∞)上的最小 值为 g1e＝－1e. 设函数 h(x)＝xe－x－2e，则 h′(x)＝e－x(1－x)，
e
e
②若 a>0，则当 0<x<a时，f′(x)>0，当 x>a时，f′(x)<0，
故 f (x)在0，ae上单调递增，在ae，＋∞上单调递减．
(2)证明 因为 x>0， ex
所以只需证 f (x)≤ x －2e，
当 a＝e 时，由(1)知，f (x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
即
f
ex (x)≤ x －2e，即
xf
(x)－ex＋2ex≤0.
思维升华 (1)利用导数证明不等式的基本思路是依据函数的单调性，求得函数的最值，
2 / 13
然后由 f (x)≤f (x)max 或 f (x)≥f (x)min 证得不等式．
(2)证明 f (x)>g(x)，可以构造函数 h(x)＝f (x)－g(x)，然后利用 h(x)的最值证明不等式．
所以 f (x)max＝f (1)＝－e，
ex
(x－1)ex
记 g(x)＝ x －2e(x>0)，则 g′(x)＝ x2 ，
所以当 0<x<1 时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当 x>1 时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以 g(x)min＝g(1)＝－e，
综上，当 x>0 时，f (x)≤g(x)，
a
的取值范围为12，1.
(x＋1)(1＋ln x)
(2)当 x≥1 时，k≤
x
恒成立，
(x＋1)(1＋ln x)
令 g(x)＝
所以 g(1)＝1，且 f′(1)·g′(1)＝－1，
所以 g(1)＝a＋1－b＝1，g′(1)＝－a－1－b＝1，
解得 a＝－1，b＝－1.
e1 (2)证明 由(1)知，g(x)＝－ex＋x＋x，
2 ln x e 1 则 f (x)＋g(x)≥x⇔1－ x －ex－x＋x≥0.
ln x e 1 令 h(x)＝1－ x －ex－x＋x(x≥1)，
1 f′(x)＝x－1，令 f′(x)＝0，解得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)>0，f (x)单调递增；当 x>1 时，f′(x)<0，f (x)单调递减．
②证明 由①知，f (x)在 x＝1 处取得极大值也为最大值，最大值为 f (1)＝0.
所以当 x≠1 时，ln x<x－1. 11
－1＋ln x e 1
ln x e
则 h(1)＝0，h′(x)＝ x2 ＋ex＋x2＋1＝ x2 ＋ex＋1.
ln x e 因为 x≥1，所以 h′(x)＝ x2 ＋ex＋1>0，
所以 h(x)在[1，＋∞)上单调递增，
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所以当 x≥1 时，h(x)≥h(1)＝0，
ln x e 1 即 1－ x －ex－x＋x≥0，
2 所以当 x≥1 时，f (x)＋g(x)≥x.
命题点 2 分拆函数法
例 2 (2019·福州期末)已知函数 f (x)＝eln x－ax(a∈R)．
(1)讨论 f (x)的单调性；
(2)当 a＝e 时，证明：xf (x)－ex＋2ex≤0.
e (1)解 f′(x)＝x－a(x>0)．
①若 a≤0，则 f′(x)>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；