第5章定积分及其应用

第5章 定积分及其应用§5.1 定积分的概念习 题 5－11.填空题：（1）函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分是积分和的极限，即()baf x dx ⎰＝（ ）.（2）定积分的值只与（ ）及（ ）有关，而与（ ）的记法无关. （3）区间[,]a b 的长度的定积分的表示是（ ）. （4）被积函数()f x 在区间[,]a b 上连续是定积分()baf x dx ⎰存在的（ ）.（5）定积分的几何意义（ ）. 2.利用定积分的定义计算下列积分： （1）2baxdx ⎰； （2）1x e dx ⎰.3.利用定积分的定义计算由抛物线21y x =+，直线x a =、x b =（b a >）及x 轴所围成的图形的面积.4.利用定积分的几何意义，证明下列等式： （1）1310x -=⎰； （2）sin 0xdx ππ-=⎰；（3）4π=⎰； （4）11arctan 0xdx -=⎰；（5）11124x dx xdx -=⎰⎰ ； （6）2202cos 2cos xdx xdx πππ-=⎰⎰.5.利用定积分的几何意义求a⎰(0)b >的值.6. 将下列极限表示成定积分： （1）()201lim3nii i i x λξξ→=-∆∑，λ是[]7,5-上的分割；（2）01limni i x λ→=，λ是[]0,1上的分割.7.将下列和式的极限表示成定积分：（1）111lim 12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； （2）112lim p p p p n n n +→∞+++（0p >）；（3）)221limn n n →∞+； （4）n .8.有一河，宽为200米，从一岸到正对岸每隔20米测量一次水深，测得数据如下（图5-1-8）.试用梯形公式求此河横截面积的近似值.图5-1-8§5.2 定积分的性质习 题 5－21. 证明定积分的性质： （1）()()bb aakf x dx k f x dx =⎰⎰ （k 为常数）； （2）1b baadx dx b a ⋅==-⎰⎰. 2. 估计下列积分值：（1）421(2)x dx +⎰； （2）3244(1sin )x dx ππ+⎰； （3）arctan x xdx ；（4）21x edx ⎰； （5）2211x dx x +⎰； （6）20sin x dx x π⎰. 3. 设()f x 及()g x 在[],a b 上连续，证明： (1) 若在[],a b 上，()0f x ≥，且()0baf x dx =⎰，则在[],a b 上，()0f x ≡；（2）若在[],a b 上，()0f x ≥，且()f x 不恒等于零，则()0baf x dx >⎰；（3）若在[],a b 上，()()f x g x ≤，且()()bbaaf x dxg x dx =⎰⎰，则在[],a b 上，()()f x g x ≡．4. 根据定积分性质及第3题的结论，比较下列每组积分的大小：（1）320sin xdx π⎰，220sin xdx π⎰； （2）221x dx ⎰，231x dx ⎰；（3）21ln xdx ⎰，221(ln )x dx ⎰； （4）10x e dx ⎰，21x e dx ⎰；（5）1xe dx ⎰，()101x dx +⎰； （6）20xdx π⎰，20sin xdx π⎰；（7）20sin xdx π⎰，02sin xdx π-⎰； （8）2cos xdx π-⎰，20cos xdx π⎰；（9）10xdx ⎰，()01ln 1x dx +⎰ （10）()01ln 1x dx +⎰，011xdx x+⎰；. 5. 利用积分中值定理求下列极限： （1）sin limn pnn x dx x+→∞⎰； （2）120lim 1nn x dx x →∞+⎰； （3）10lim 1n xx n x e dx e →∞+⎰.6. 设()f x 在[],a b 上连续，()0baf x dx =⎰．证明：()f x 在[],a b 上在[],a b 内至少存在一个零点．7. 设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且1233()(0)f x dx f =⎰．证明：在()0,1内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=．8. 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且存在(),c a b ∈，使得()()()caf x dx f b c a =-⎰．证明：在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=．§5.3 微积分基本公式习 题 5-31. 设0()cos xx t tdt ϕ=⎰，求(0)ϕ'，4πϕ⎛⎫' ⎪⎝⎭. 2．求下列函数的一阶导数： （1）0()sin xtx e dt ϕ=⎰； （2）223()t xx e dt ϕ-=⎰；（3）2()x x ϕ=⎰； （4）2x y =；（5）32x xy =⎰； （6）()cos 2sin ()cos xxx t dt ϕπ=⎰；（7）22x txy t e dt -=⎰； （8）2()xe xy f t dt =⎰．3. 求下列函数的二阶导数：（1）()330sin xy t x tdt =-⎰； （2）258sin ()xy t f x dt dy t ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰．4. 利用洛必达法则，求下列极限：（1）20cos limxx t dt x→⎰； （2）201lim arctan xx tdt x+→⎰；（3）202limsin 2x t x x e dt x x→-⎰； （4）()2202002sin limln 1x x xt dtt t dt→⎡⎤+⎣⎦⎰⎰；（5）121ln 1lim (1)xx tdtt x →-⎰＋； （6）232lim(sin )x x x t dtt t t dt→-⎰⎰；（7）22201lim ()x t x x t t edt x -→+∞+⎰； （8）()222020lim xt xx t e dt te dt→⎰⎰．5. 设函数()y y x =由方程00cos 0y xte dt tdt +=⎰⎰所确定，求dydx． 6. 设函数()y y x =由方程20cos y x x y tdt -+=⎰所确定，求dy dx．7. 设0sin t x udu =⎰，0cos t y udu =⎰，求dydx.8．设20()(1)xt f x t t e dt -=-⎰，问x 为何值时，()f x 有极值？9. 求函数0()(4)xF x t t dt =-⎰在[1,5]-上的最大值与最小值.10. 计算下列各定积分： （1）24211()x dx x+⎰； （2）()13213x x dx --⎰； （3）332(21)x dx --⎰； （4）1(21)xe dx +⎰； （5）12111dx x -+⎰； （6）240tan xdx π⎰；（7）10⎰； （8）21201x dx x +⎰； （9）20cos 2x dx π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰； （10）41dx ⎰； （11）420213311x x dx x -+++⎰； （12）211e dx x ---+⎰； （13）20sin x dx π⎰； （14）设21,01()1,10x x f x x x ⎧+ ≤≤=⎨+ -≤<⎩，求11()f x dx -⎰． 11. 设()f x 连续，若()f x 满足1()()x f xt dt f x xe =+⎰，求()f x ．12. 设13201()()1f x x f x dx x =++⎰，求()f x 与10()f x dx ⎰． 13. 设0ln(1)()(0)xt f x dt x t+=>⎰，求1()f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 14. 设1sin ,0()20,0x x f x x x ππ⎧ ≤≤⎪=⎨⎪ <>⎩或，求0()()x x f t dt ϕ=⎰在(,)-∞+∞内的表达式．§5.4 定积分的换元积分法与分部积分法习 题 5－41. 用换元积分法求下列定积分： （1）122(115)dxx --+⎰； （2）101xx e dx e +⎰； （3）220sin cos x xdx π⎰； （4）022122dx x x -⎰＋＋； （5）1⎰； （6）2120t te dx -⎰； （7）1221xe dx x ⎰； （8）35201x dx x +⎰； （9）2502353x x dx x +-+⎰；(10)6e e⎰； （11）21e ⎰； (12)320sin cos d πθθθ⎰；(13)1(14)；(15)ax ⎰；(16)3⎰(17)⎰；（18）0；(19) 0⎰； (20)； (21)3122(1)xdx -+⎰；(22)1；(23)41⎰；(24)1⎰－；(25)⎰； (26)2⎰； (27)-⎰； (28)()223min 2,x dx -⎰（29）2sin sin cos xdx x xπ+⎰；（30）0π⎰. 2. 用分部积分法求下列定积分： （1）ln 2x xe dx ⎰； （2）1ln e x xdx ⎰；（3）41⎰； （4）1arctan x xdx ⎰； （5）220sin x xdx π⎰； （6）324sin xdx xππ⎰； （7）220cos x xdx π⎰； （8）1530ln x xdx ⎰ ；（9）230x e dx ；(10)22(1)x - ； (11)220cos x e xdx π⎰； (12)1sin(ln )ex dx ⎰ ；(13)22ln (1)e exdx x -⎰； (14)12(1)ln (1)e x x dx -++⎰；(15)221log x xdx ⎰；(16)20sin x x dx π⎰； (17)1ln eex dx ⎰ ； (18)()242sec 1tan x xdx x π+⎰；(19)161⎰； (20)122(1)m xdx -⎰(m 为自然数).3. 利用积分区间的对称性以及函数的奇偶性，计算下列定积分：（1）22sin cos 2x xdx ππ-⎰；（2）22ππ-⎰；（3）6sin x xdx ππ-⎰；（4）1⎰； （5）x dx ； （6）221cos xdx x ππ-+⎰；（7）522cos xdx ππ-⎰； （8）325425sin 21x xdx x x -+⎰＋； （9）)sin x x dx ππ-⎰＋.（10）244cos 1x xdx e ππ--+⎰.4.已知()f x 是连续函数，证明 （1）1()()[()]baf x dx b a f a b a x dx =-+-⎰⎰；（2）200()[()(2)]aaf x dx f x f a x dx =+-⎰⎰；（3）()2321()2aa x f x dx xf x dx =⎰⎰（0a >）．5. 设()f x 是连续函数，证明 (1) 当()f x 是偶函数时，则0()()xx f t dt ϕ=⎰为奇函数；（2）当()f x 是奇函数时，则0()()xx f t dt ϕ=⎰为偶函数．6. 证明：220()2()aaax dx x dx ϕϕ-=⎰⎰，其中()x ϕ为连续函数.7. 证明：110(1)(1)m n n m x x dx x x dx ϕϕ-=-⎰⎰.8. 证明：20sin 2sin nn xdx xdx ππ=⎰⎰.9. 证明：112211111xx dx dx x x =++⎰⎰（0x >）. 10. 设31sin ()x t f x dt t =⎰，求120()x f x dx ⎰.若1sin ()n x t f x dt t=⎰，求110()n x f x dx -⎰.11. 若()f x ''在[0,]π连续，(0)2f =，()1f π=，证明：[()()]sin 3f x f x xdx π''+=⎰.12. 当0x >时，()f x 可导，且满足方程11()1()xf x f t dt x=+⎰， 求()f x .§5.5 广义积分习 题 5－51 计算下列瑕积分.(1)41dx x +∞⎰； (2)0e +∞⎰； （3）2122dx x x +∞-∞++⎰； （4）211(1)dx x x +∞+⎰； (5)1+∞⎰； (6) 0sin px e xdx ω+∞-⎰(0,0p ω>>)；(7)21arctan xdx x+∞⎰；(8) 1⎰(9)1e⎰（10）10⎰；（11）21⎰；（12）()22011dx x -⎰.2. 求当k 为何值时，瑕积分()21ln kdx x x +∞⎰收敛？当k 为何值时，该瑕积分发散？又当k 为何值时，该瑕积分取得最小值？3. 计算瑕积分0n x n I x e dx +∞-=⎰（n 为自然数）.4. 求c 为何值时，使2lim xc tx x c te dt x c -∞→+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰. 5.求2+∞⎰.6. 计算下列式子：（1）(7)2(4)(3)ΓΓΓ； （2）3(3)()29()2ΓΓΓ； （3）40x x e dx +∞-⎰； （4）2220x x e dx +∞-⎰. 7. 用Γ函数表示下列积分，并指出积分的收敛范围.（1）nxe dx +∞-⎰（0n >）； （2）101ln pdx x ⎛⎫⎪⎝⎭⎰； （3）22x dx +∞--∞⎰；(4)mn x x edx +∞-⎰； (5)10⎰； (6)311dx x +∞+⎰. §5.6 定积分的几何应用习题5-6１. 求由下列各组曲线所围成平面图形的面积：（１）1xy =，y x =，2x =; （2）x y e =，xy e -=，1x =; （3）2y x =，2x y +=; （4）3y x =，1y =，2y =，0x =;（5）0y =，1y =，ln y x =，0x =; (6)22x y =，228x y +=;(7) ln y x =,y 轴,ln y a =,ln y b =( 0b a >>)；(8) 23y x =+，2y x =. 2. 直线x k =平分由2y x =，0y =，1x =所围之面积，求k 之值． 3. 求抛物线243y x x =-+-及在点(0,3)-和(3,0)处切线所围成图形的面积. 4. 求抛物线22y px =及其在点,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭处的法线所围成的图形的面积. 5. 求曲线33cos ,sin x a t y a t ==，).0(>a 所围成图形的面积. 6. 求曲线2cos r a θ=).0(>a 所围成图形的面积.7. 求曲线2(2cos r a θ=＋）).0(>a 所围成图形的面积. 8. 求对数螺线r ae θ=（0a >，πθπ-≤≤）及射线θπ=所围成图形的面积.9. 计算阿基米德螺线r a θ= (0a >)上相应于θ从0到2π的一段弧与极轴所围成的图形(如图5-6-22)的面积.图5-6-22 图5-6-2310.求由下列各曲线所围成图形的公共部分的面积. (1) 3cos r θ=及1cos r θ=+；(2) r θ=及2cos 2r θ=.11. 圆1r =被心形线1cos r θ=+分割成两部分，求这两部分的面积. 12.设sin y x =，02x π≤≤.问：为t 何值，图5-6-23中阴影部分的面积1s 与2s 之和最小？最大？13.求由下列已知曲线围成的平面图形绕指定的轴旋转而成的旋转体的体积.（1）2xy a =，0y =，x a =，2x a =（0a >），绕x 轴. （2）22(2)1x y +-=，绕x 轴.（3）ln y x =，0y =，x e =，绕x 轴和y 轴. （4）224x y +=，24(1)x y =--，0y >，绕x 轴. （5）5xy =，6x y +=，绕x 轴.（6）cos y x =，0x =，x π=，x 轴，绕y 轴.14. 求摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（02t π≤≤，0a >）的一拱与0y =所围成的图形绕直线2y a =旋转而成的旋转体的体积.15. 由心形线4(1cos )ρθ=+和直线0θ=及2πθ=所围成图形绕极轴旋转而成的旋转体的体积.16. 一个棱锥体的底面是长为2a 的正方形，高为h ，求此棱锥体的体积 (如图5-6-24).图5-6-24 图5-6-2517.设直线y ax b =+(0a >，0b >)与直线0x =，1x =及0y =所围成的梯形面积等于A ，试求a 、b ，使这个梯形绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小.18.在由椭圆域2214y x +≤绕y 轴旋转而成的椭球体上，以y 轴为中心轴打一个圆孔，使剩下的部分的体积恰好等于椭球体体积的一半，求圆孔的直径.19.设有一锥体，其高为h ，上、下底都为椭圆，椭圆的轴长分别为2a 、2b 与2A 、2B ，求这锥体的体积.20.作半径为r 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h 为何值时，其体积V 最小？求出此最小值(如图5-6-25).21.把星形线232323x y a +=所围成的图形绕x 轴旋转(图5-6-26)，计算所得旋转体的体积.图5-6-26 图5-6-27 22.用积分的方法证明图5-6-27所示球缺的体积为2()3H V H R π=-. 23.求圆盘222x y a +≤绕x b =-(0b a >>)旋转而成的旋转体的体积.24.证明：由平面图形x a =，x b =，0a b ≤<，0()y f x ≤≤绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为2()baV xf x dx π=⎰.25.利用24题的结论，计算sin y x =(0x π≤≤)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积.习题5－71. 已知边际成本'2()25309C q q q =+-，固定成本为55，试求总成本()C q ，平均成本与变动成本.2. 已知边际收入为'()30.2R q q =-，q 为销售量，求总收入函数()R q ，并确定最高 收入的大小.3. 某产品生产q 个单位是总收入R 的变化率为'()200100qR q =-，求： （1）生产50个单位时的总收入；（2）在生产100个单位的基础上，再生产100个单位时总收入的增量.4. 已知某商品每周生产q 个单位时，总成本变化率为'()0.412C q q =-（元/单位），固 定成本500，求总成本()C q . 如果这种商品的销售单价是20元，求总利润()L q ，并问每周生产多少单位时才能获得最大利润？图5-7-56. 设某城市人口总数为F ，已知F 关于时间t （年）的变化率为dF dt =，假设在计算的初始时间(0)t =，城市人口数为100（万），试求t 年中该城市人口总数.7. 若边际消费倾向在收入为Y 时为1232Y -，且当收入为零时总消费支出070c =.（1）求消费函数()c Y ；（2）求收入由100增加到196时消费支出的增加数.8. 设储蓄边际倾向（即储蓄额S 的变化率）是收入y 的函数 '()0.3S y =， 求收入从100元增加到900元时储蓄的增加额.9. 如果需求曲线为2()500.025D q q =-，并已知需求量为20个单位，试求消费者剩余CS .10. 假设某国某年洛伦兹曲线近似地由3y x =（01x ≤≤）表示，试求该国的基尼系数.11. 某投资项目的成本为100万元，在10年中每年可收益25万元，投资率为5%，试 求这10年中该项投资的纯收入的贴现值.12. 一位居民准备购买一栋别墅，现价为300万元，如果以分期付款的方式，要求每年 付款21万元，且20年付清，而银行贷款的年利率为4%，按连续复利计息，请你帮这位购5. 某新产品的销售率由下式给出()10090x f x e -=-，式中x 是产品上市的天数，前四天的销售总数是曲线()y f x =与x 轴在之间的面积（如图5-7-5），求前四天总的销售量.房者作一决定：是采用一次付款合算还是分期付款合算？总习题五1．求下列极限：(1) limnn k →∞=. (2) 21lim inni n i nen ne→∞=+∑；（3）11lim n n i n →∞= （4）112lim p p p p n n n +→∞+++（0p >）； （5）lim n →∞2．利用积分中值定理求下列极限： （1）sin lim0n pnn xdx x +→∞=⎰； （2）222lim n x n n x dx e+→∞⎰．3．求下列极限：（1）101lim (1sin 2)xtx t dt x →+⎰； （2）lim ()x a x a x f t dt x a →-⎰（其中()f x 连续）；（3）()2arctan lim xx t dt→＋ (4) ()2210limxt t x e dt→+∞⎰．4．（已知[]02()1()1xf t dt f x -=-⎰，求(0)f '．5． 已知()2021,0()0,x t e dtx f x x x ⎧-⎪≠=⎨⎪=0⎩⎰，求(0)f '． 6．设()f t 在0t ≤≤+∞上连续，若220()(1)x f t dt x x =+⎰，求(2)f ．7． 求函数0()(3)xF x t t dt =-⎰在[1,5]-上的最大值与最小值．8. 证明：111ln(1)11ln 23n n n+=++++<+． 9. 设()f x 、()g x 在区间[,]a b 上均连续，证明：（1）()222()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⋅⎰⎰⎰（柯西－施瓦茨不等式）；（2）[]()()()111222222()()()()bbba aaf xg x dxf x dxg x dx +≤+⎰⎰⎰（闵可夫斯基不等式）.10. 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，且()0f x >，证明：11ln ()ln ()b b a a f x dx f x dx b a b a ⎡⎤≥⎢⎥--⎣⎦⎰⎰. 11. 设()f x 在[0,]a （0a >）上有连续导数，且(0)0f =，证明：2()2aMa f x dx ≤⎰，其中0max ()x aM f x ≤≤'=.12. 设()f x 在[0,1]上连续且单调减少，试证：对任何(0,1)a ∈，有1()()af x dx a f x dx ≥⎰⎰.13. 设()x ϕ在[,]a b 上连续，()()()xaf x x b t dt ϕ=-⎰，证明：必存在(,)a b ξ∈，使得()f ξ'=0.14.设()f x 在区间[,]a b 上连续，()g x 在区间[,]a b 上连续且不变号.证明至少存在一点[,]a b ξ∈，使下式成立()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰（积分第一中值定理）.15. 计算下列定积分：（1）3(1sin )x dx π-⎰； （2）e ；（3）⎰； （4）0ax ⎰ (0a >)；（5）20sin 1cos x xdx xπ++⎰； （6）40ln(1tan )x dx π+⎰；（7）a⎰(0a >)； （8）；（9）121(21)x x dx -++⎰； （10）sin )x x dx ππ-⎰（11）42213||||1x x dx x -⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭⎰； （12）设2,01()2,12x x f x x x ⎧ ≤≤=⎨-<<⎩，求20()f x dx ⎰.16.利用函数的奇偶性计算定积分121(x dx -+⎰. 17. 利用函数的周期性计算定积分2(sin 2)(tan 1)a ax x dx π++⎰.18. 设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，并满足条件()sin xu f x u e du x -=⎰，求()f x .19. 计算下列各题： （1）设(5)2f =，5()3f x dx =⎰，求5()xf x dx '⎰．（2）已知2()tan f x x =，求40()()f x f x dx π'''⎰.20. 证明()[()()]aaaf x dx f x f x dx -=+-⎰⎰，并求下列定积分：（1）441sin dx x ππ-+⎰； （2）244sin 1x x dx e ππ--+⎰； （3）244cos 1nxx dx e ππ--+⎰（n 为正整数）. 21. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 关于2a bx +=对称的点处取相同的值.证明： 2()2()a b baaf x dx f x dx +=⎰⎰.22. 证明：112211111xx dt dt t t =++⎰⎰（0x >）. 23. 判断下列瑕积分的敛散性：(1)1+∞⎰；(2)2+∞⎰；(3)2cos ln xdx x+∞⎰；(4) 0+∞⎰；(5)3(1)(2)dxx x x +∞--⎰；(6)1+∞⎰；(7)120ln 1xdx x -⎰； (8)1ln 11eex dx x --⎰.24. 已知sin 2x dx x π+∞=⎰，求220sin x dx x+∞⎰. 25. 求介于直线0x =，2x π=之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的平面图形的面积.26. 求椭圆22113x y +=和22113x y +=的公共部分的面积. 27. 求曲线x y e =及该曲线的过原点的切线和x 轴的负半轴所围成的平面图形的面积. 28. 设曲线21:1L y x =-(01)x ≤≤、及x 轴和y 轴所围成的区域被曲线21:L y ax =分为面积相等两部分，其中a 是大于零的常数，试确定a 的值.29. 求由柱体222x y a +≤与222x z a +≤(0a >)的公共部分所围成图形的体积.30.将曲线r =绕x 轴旋转而成的旋转体的体积. 31. 将抛物线2y x ax =-在横坐标0与c （0c a >>）之间的弧段绕x 轴旋转，问c 为 何值时，所得旋转体体积V 等于弦OP （P 为抛物线与x c =的交点）绕x 轴旋转所得锥体体积.32. 设抛物线2y ax bx c =++通过点(0,0)，且当[0,1]x ∈时，0y ≥.试确定a b c 、、 的值，使得该抛物线与直线1x =，0y =所围成图形的面积为13，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小.33.一位居民准备购买一栋别墅价值为300万元，若首付为50万元，以后分期付款，每年付款数目相同，10年付清，而银行贷款的年利率为6%，按连续复利计息，每年应付款多少？（0.60.5448e-≈）34. 某公司投资2000万建成一条生产线，投产后，在t 时刻的追加成本和追加收益分别为23()52g t t =+ （百万/年）23()17t t ϕ=- （百万/年）试确定该生产线在何时停产可获得最大利润？最大利润是多少？.35.生产某种产品的固定成本为50万元，边际成本与边际收益分别为216100=-+（万元/单位产品）MC Q Q=-（万元/单位产品）MR Q894试确定工厂应将产量定为多少个单位时，才能获得最大利润？并求最大利润.。