第五节定积分在几何中的应用
定积分在几何和物理中的应用
定积分在几何和物理中的应用定积分是高等数学中非常重要的一个概念，它可以用于计算曲线、曲面的面积或体积，还可以应用到物理学、工程学中。
在本文中，我们将着重探讨定积分在几何和物理中的应用。
一、计算面积我们首先来看一个简单的例子，如果我们想要计算一个曲线所围成的面积，我们需要怎么做呢？假设曲线为y=f(x)，我们可以将这条曲线分成若干个无限小的小矩形，每个小矩形的宽度为Δx，高度为函数值f(x)，则该小矩形的面积为f(x)Δx。
我们将所有小矩形的面积相加，得到所求的曲线面积S：S=∫a^b f(x) dx其中a和b分别是曲线的起点和终点。
这里的∫符号代表积分符号，具体的计算方法不在本文中详细说明。
二、计算体积在物理学中，我们经常需要计算物体的体积，定积分也可以帮助我们实现这一目的。
比如我们需要计算一个旋转曲线所围成的立体体积，我们可以依然使用之前的方法将其分解成无限小的小圆柱体积，每个小圆柱的体积可以表示为：V=π[f(x)]^2dx我们将所有小圆柱的体积相加，得到所求的立体体积V：V=∫a^b π[f(x)]^2dx三、计算重心和质心在物理学中，重心和质心是非常重要的概念。
对于一个平面图形或者一个立体体形，它的重心和质心分别表示为：重心：(∫xdS)/(∫dS)质心：(∫xdm)/(∫dm)这里的dS和dm分别表示面元和质量元，x则表示距离中心的距离。
我们可以通过对图形进行分割并使用定积分来计算重心和质心。
四、积分在物理学中的应用定积分在物理学中的应用非常广泛，比如我们可以使用它来计算弹性势能、动能、功、功率等物理量。
举一个简单的例子，假设质量为m的物体从高度为h处自由落下，当它下落到高度为y 时，它的速度为v，我们可以使用动能和势能的转化关系求出v，设重力加速度为g，则它下落过程中失去的重力势能为mgh-mgy，同时增加的动能为(1/2)mv^2，因此：mgh-mgy=(1/2)mv^2v=sqrt(2g(h-y))我们可以使用定积分来求解物体在过程中的运动状态，以及计算其他物理量的值。
定积分在几何学上的应用
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
y y f (x)
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲 边梯形面积为 A , 则
o
a
x
x
dbx
x
dA f (x) dx
b
A a f (x) dx
y y f1(x) y f2 (x)
右图所示图形面积为
b
A a f1(x) f2 (x) dx
A 40 y d x
利用椭圆的参数方程
x y
a cos t b sin t
(0 t 2 )
y b
o xxdxa x
应用定积分换元法得
4
ab
12
2
ab
4ab 2 sin 2 t dt 0
当 a = b 时得圆面积公式
一、平面图形的面积
2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
2
(1
1 y 2 ) 2d y 1 (2 y)2 d y 0
内容小结
1. 平面图形的面积 直角坐标方程
边界方程 极坐标方程
2. 已知平行截面面面积函数的立体体积
旋转体的体积 绕x轴: 绕y轴:
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( ) 2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
x
一、平面图形的面积
例 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
解:
A 2 1 (a )2 d
02
a2 2
13
3
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要内容之一，经常被应用于实际问题的解决中。
本文将从三个方面来论述定积分的应用。
一、定积分在几何中的应用首先，定积分可以用于求曲线下面的面积。
以 y=f(x) 为例，若f(x)>0，则曲线 y=f(x) 与 x 轴的两点 a、b 组成的图形的面积为S=∫baf(x)dx这时，可以将曲线 y=f(x) 分成许多小块，每块宽度为Δx，高度为 f(xi)，从而可以得到其面积为ΔS=f(xi)Δx因此，当Δx 趋于 0 时，所有小块的面积之和就等于图形的面积，即∑ΔS→S因此，用定积分就可以求出图形的面积。
其次，定积分还可以用于求旋转体的体积。
以曲线 y=f(x) 在 x 轴上旋转360°为例，其体积为V=π∫baf(x)^2dx这里，π为圆周率。
最后，定积分还可以用于求某些奇特图形的长、面积等等。
二、定积分在物理中的应用物理中也有许多问题可以通过定积分来解决。
比如，运动问题中的速度、加速度，可以通过位移的变化来求得。
若某运动物体的速度为 v(t)，则其位移 s(t) 为s(t)=∫v(t)dt同样，若某运动物体的加速度为 a(t)，速度为 v(t)，则其位移为s(t)=∫v(t)dt=∫a(t)dt最后，定积分还可以用于求密度、质量等物理量。
三、定积分在工程中的应用定积分在工程中的应用也非常广泛。
比如，在流体力学中，对于一条管道中的液体，可以通过惯性和重力等因素，求出其中液体的流量和压力。
而这些流量和压力可以通过定积分计算得出。
在电学中，电量、电荷、电流和电势等都可以通过定积分来求解。
在结构设计中，定积分也常常被用来计算约束力、杠杆比例等。
总之，定积分在几何、物理和工程等领域中都有着广泛应用。
熟练地掌握定积分的方法和应用，对于科学研究和实际问题的解决都有着非常积极的帮助。
定积分在几何中的应用
2x
及x轴所围成图形的面积
思考：直线y＝x－4与曲线 y = 及 x轴所围成的图形是什么？ 1、各顶点的坐标是什么？
2x
y 4
C 2x y=
y ＝x －4
B (8,4)
2、如何将该图形的面积转化为 (0,0) O 曲边梯形的面积？ S＝S曲边梯形OABC－S三角形ABD. 3、该图形的面积用定积分怎样表示？
P58练习
练习、计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4所围
2
成的图形的面积.
解: 求两曲线的交点:
y2 2x (2, 2), (8, 4). y x 4
y 2x
S1 S1 2
y x4
8
y2 2 x
S2
S 2 S1 S 2 2
2 0 2 0
y2 x 2
思考题：在曲线y=x2 (x≥0)上某点A处作切线, 使之与曲线及x轴围成图形的面积为1/12. 求过点A的切线方程. y y=x2
则，切线的斜率 k＝2x0 设切点（x 0，x 0 ）
2
A x
y x0 2x0 ( x x0 )
2
即，y 2x0 ( x x0 ) x0
1 2 1 3 k 4 S kx x 4x dx ( kx x 2x 2 ) |0 0 2 3 ∴k=2，故直线 l的方程为 1 1； 1 2 y=2x 3 2 3 k k 4 k 4 2 k 4 k 4 36， 2 3 6
0 2
∴k=-10，故直线l的方程为y=-10x. 综上，直线l的方程为y=2x或y=-10x.
小结作业
P60习题1.7B组：1，2，3.
定积分在几何上的应用
定积分在几何上的应用
定积分就是求函数f(X）在区间[a,b]中图线下包围的面积。
即由y=0,x=a,x=b,y=f(X）所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2dx。
绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，
V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。
或者是V=2π∫[a，b]y*f(y)dy，也是绕x轴旋转体积。
绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx，其中y'^2是y对x的导数的平方。
若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。
它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。
几何学发展历史悠长，内容丰富。
它和代数、分析、数论等等关系极其密切。
定积分在几何计算中的应用
定积分在几何计算中的应用定积分是高等数学中的一个重要概念，它在几何计算中有着广泛的应用。
在几何学中，定积分可以用来计算曲线的长度、曲面的面积、体积等等。
下面我们就来看看定积分在几何计算中的应用。
定积分可以用来计算曲线的长度。
对于一条曲线，我们可以将其分成无数个小段，然后对每个小段的长度进行求和，最终得到整条曲线的长度。
这个过程可以用定积分来表示，即：L = ∫a^b √(1+(dy/dx)^2) dx其中，a和b分别表示曲线的起点和终点，dy/dx表示曲线在每个点的斜率。
这个式子的意义是，将曲线分成无数个小段，每个小段的长度为√(1+(dy/dx)^2) dx，然后对所有小段的长度进行求和，最终得到整条曲线的长度。
定积分可以用来计算曲面的面积。
对于一个曲面，我们可以将其分成无数个小面元，然后对每个小面元的面积进行求和，最终得到整个曲面的面积。
这个过程可以用定积分来表示，即：S = ∫∫D √(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2) dxdy其中，D表示曲面的投影区域，z表示曲面在每个点的高度，∂z/∂x和∂z/∂y分别表示曲面在每个点在x和y方向上的斜率。
这个式子的意义是，将曲面分成无数个小面元，每个小面元的面积为√(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2) dxdy，然后对所有小面元的面积进行求和，最终得到整个曲面的面积。
定积分可以用来计算体积。
对于一个立体图形，我们可以将其分成无数个小体元，然后对每个小体元的体积进行求和，最终得到整个立体图形的体积。
这个过程可以用定积分来表示，即：V = ∫∫∫E dxdydz其中，E表示立体图形的空间区域。
这个式子的意义是，将立体图形分成无数个小体元，每个小体元的体积为dxdydz，然后对所有小体元的体积进行求和，最终得到整个立体图形的体积。
定积分在几何计算中有着广泛的应用，可以用来计算曲线的长度、曲面的面积、体积等等。
这些应用不仅在数学中有着重要的意义，也在实际生活中有着广泛的应用，例如在建筑设计、工程计算等领域中都有着重要的作用。
55定积分在几何中的应用.
x g 2 ( y)
x g1 ( y)
c
0
x
图5-8
例５
求由曲线 y 2 x与直线
2
x y40 所
围成的封闭图形的面积（如图5-10）. 解 ∵曲线与直线的交点坐标是 (2,2), (8,4) 所求的面积
y 4
-
y 2 2x
y x4
S
1 2 2 ( y 4 2 y )dy
3
y
y x2
(1,1)
y x
o0
1
x
图5-8
2）在 [c, d ] 上 g1 ( y) g 2 ( y) （图5-9），由连续区 线 x g1 ( y) 、x g 2 ( y) 及两条直线 的封闭图形的面积
y
d
yc
、 y d 所围成
S
d
c
[ g1 ( y) g 2 ( y)]dy
5.5定积分在几何中的应用
一、定积分的微元法 二、平面图形的面积 三、体积 四、平面曲线的弧长
一、定积分的微元法
定积分的应用很广，仅介绍它在几何方面和物理 方面的一些应用。首先说明一种运用定积分解决实际 问题时常用的方法——将所求量表达成为定积分的分 析方法——微元法（或元素法）. 本章第一节，在将具体问题中所求的量 S（如曲边 梯形的面积，变速直线运动的路程）表达成定积分：
r r ( )
0
x
x
图5-11
２）求曲边扇形的面积：
假定 ，且 ( ) 在 [ , ] 上连续，
求曲边扇形的面积. 取极角 为积分变量，它的变化区间为 [ , ] ，
在 [ , ] 上任取一小区间 [ , d ] ，该区间上的
定积分的意义及其在几何中的应用
定积分的意义及其在几何中的应用定积分是微积分中的一种重要概念，它是反映了函数在一些区间上面积的大小。
定积分的含义非常丰富，不仅可以用于求函数的面积、周长、体积等几何问题，还广泛应用于物理学、经济学、生物学等领域的计算与分析中。
首先，定积分的最基本的含义是求函数在一些区间上的面积。
对于非负连续函数f(x)，可以将其图像以下方的函数图形为界，通过分割区间，构造出一系列较窄的矩形，然后求出这些矩形的面积之和，即可近似地得到曲线下面积的值。
随着分割区间的无穷细小，这个近似的面积将趋近一个确切的值，即定积分。
如果函数是负值或者非连续的情况，面积的计算则需要对函数图像进行分段处理，并分别计算每个部分的面积。
所以，定积分在几何中的应用可以明确地用于求曲线与坐标轴之间的面积。
其次，定积分也可以用于求曲线的弧长。
由于曲线的形状较为复杂，无法直接计算其弧长，但通过将曲线分成许多较小的线段，并每个线段用直线段来代替，再对这些直线段进行求和的方式，可以用定积分来近似计算曲线的长度。
当分割的线段无限细小时，这个近似的弧长将趋近于曲线的实际弧长。
这种方法虽然只能得到近似值，但对于一些无法获得解析解的复杂曲线来说，这种近似是非常有用的。
此外，在三维几何中，定积分可以应用于计算旋转体的体积。
对于一个曲线沿着坐标轴旋转形成的立体，可以将其分成许多非常薄的盘状元素，并计算每个盘状元素的体积，然后通过定积分将这些体积相加，即可得到整个旋转体的体积。
这个方法适用于各种形状的旋转体，能够有效地求解这些体积。
除了在几何中的应用，定积分在物理学、经济学、生物学等领域也有广泛的应用。
在物理学中，定积分可以用于计算各种形状物体的质心、重心等。
在经济学中，定积分常用于求解定量经济模型中的微积分方程，如求解需求曲线、利润函数等。
在生物学中，定积分可以用于计算生物体的体积、质量、功率等。
总之，定积分是微积分中一个重要的概念，不仅在几何中用于求解曲线的面积、弧长、旋转体的体积等问题，还在许多学科中都有广泛的应用。
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第五节 定积分在几何中的应用本节先介绍运用定积分解决实际问题的一种常用方法——微元法，然后讨论定积分在几何中的应用。
一、微元法本章第一节讨论计算曲边梯形面积的四个步骤中，关键是第二步，即确定()i i x f A ∆≈∆ξ在实用上，为简便起见，省略下标。
i 用A ∆表示任一小区间[]dx x x +,上的小曲边梯形的面积，这样∑∆=A A取[]dx x x +,的左端点x 为i ξ，以点x 处的函数值()x f 为高，dx 为底的矩形面积为A∆的近似值（如图5-14中阴影部分所示），即()dx x f A ≈∆上式右端()x f dx 称为面积微元， 记为()dx x f dA =，于是面积A 就是将这些微元在区间[]b a ,上的“无限累加”，即a 到b 的定积分()dxx f dA A b aba⎰⎰== 分通过上面的作法，我们可以把定积分——和式的极限理解成无限多个微分之和，即积分是微分的无限累加。
概括上述过程，对一般的定积分问题，所求量F 的积分表达式，可按以下步骤确定：（1） 确定积分变量x ，求出积分区间[]b a ,。
（2） 在[]b a ,上，任取一微小区间[]dx x x +,，求出部分量F ∆的近似值F ∆()dx x f dF =≈（称它为所求量F 的微元）。
（3） 将dF 在[]b a ,积分，即得到所求量()dxx f dF F b aba⎰⎰==，通常把这种方法叫做微元法（或元素法）下面用微元法讨论定积分在几何中的应用。
二、平面图形的面积1. 直角坐标情形根据定积分的几何意义，由区间[]b a ,连续曲线()()()()[]()b a x x g x f x g y x f y ,,∈≥==、及直线b x a x ==、所围成的平面图形的图 5-14面积A ，由定积分的性质，此式可写为()()[]dxx g x f A ba⎰-=利用微元法求解可得同样的结果。
其中d ()()[]dx x g x f A -=，就是面积元素例1计算由两条抛物线y x x y ==22和围成的图形面积。
解 （1）如图5-15所示，确定积分变量为x 由方程组{22x y xy ==解得两抛物线交点为（0，0）、（1，1），从面可知所求图形在直线x=0及x=1之间，即积分区间[]1,0（2）在区间[]1,0上，任取小区间[]dx x x +,对应的窄条面积近似于高为()2x x -，底为dx 的小矩形面积，从而得面积元素()dx x x dA 2-=(3) 所求图形面积为()103123132⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰x x dx x x A =31（平方单位） 例2、求曲抛物线x y =2与直线2-=x y 所围成的图形面积。
解：（1）如图5-16所示确定积分变量为y ，解方程组{x y x y =-=22解得交点（1,-1）及(4,2)从而知这图形在1-=y 与y=2之间，即积分区间[]21，- （2）在区间[]2,1-上，任取一小区间[]dy y y +,，对应的窄条面积近似于高为dy ，底为()22y y -+的矩形面积从而得到面积元素()[]dy y y dA 22-+=（3） 求图的面积为()2132212312212--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+=⎰y y y dy y y A =平方单位）(29如果取x 为积分变量，则积分区间须分成[][]4110，，，两部分，且每个区间对应的面积元素并不相同。
所以计算比较复杂，因此应恰当选择积分变量。
一般地，由区间[]d c ,上的连续曲线()()()()[]()d c y y y y x y x ,,∈≥==φϕφϕ、及直线5-15图 5-16d y c y ==、所围成平面图形面积为()()[]dyy y A dc⎰-=φϕ面积元素是()()[]dy y y dA φϕ-=一般说来，求平面图形面积的步骤为：（1） 作草图，确定积分变量和积分区间； （2） 求出面积微元。
（3） 计算定积分求出面积。
2、极坐标情形某些平面图形，用极坐标计算它们的面积方便。
用微元法计算：由极坐标方程()θρρ=比较示的曲线与射线βθαθ==、、所围成的所表曲边扇形面积（图5-17）。
以极角θ为积分变量，积分区间为[]βα，，在[]βα，上任取一小区间[]θθθd +,，与它相应的小曲边扇形面积近似于以θd 为圆心角。
()θρρ=为半径的圆扇形面积，从而得到面积元素()[]θθρd dA 221=于是所求面积为()[]θθρβαd A 221⎰=例3 计算心形线())0(cos 1>+=αθαρ所围成的平面图形的面积（图5-18）。
解 由于图形对称于极轴，只需算出极轴以上部分面积1A ，再2倍即得所求面积A 。
对于极轴以上部分图形，θ的变化区间为[]π,0。
相应于[]π,0上任一小区间[]θθθd +,的窄曲边扇形的面积近似于半径为()θαcos 1+、圆心角为θd 的圆扇形的面积。
从而得到面积元素()θθαd dA 22cos 121+=于是()θθαπd A 2201cos 121+=⎰=()θθθαπd ⎰++022cos cos 2121=θθθαπd ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++022cos 21cos 22321 =πθθθα022sin 41sin 22321⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ =243πα所求，所求面积为图 5-17图 5-1821232πα==A A三 、体积1、 旋转体的体积设一旋转体是由曲线()x f y =与直线b x a x ==、、及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成（图5-19）。
现用微元法求它的体积。
在区间[]b a ,上任取[]dx x x +,，对应于该小区间的小薄片体积近似于以()x f 为半径，以dx 为高的薄片圆柱体体积，从而得到体积元素为()[]dx x f dV 2π=从a 到b 积分，得旋转体体积为()dxx fV ba⎰=2π类似地，若旋转体是由连续曲线()y x ϕ=与直线d y c y ==、及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转而成，则其体积为()dyy V dc⎰=2ϕπ例 4 求椭圆12222=+b ya x 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积（图5-20）。
解 将椭圆方程化为()22222x a a b y -=体积元素为()()dxx a a b dx x f dV 22222-==ππ所求体积为()()⎰⎰-=-=-aaa dx x a a bdx x aa bV 0222222222ππ =20322234312ab x x a a baππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-当a=b=R 时，得球体积334R V π= 例5 试求由过点0（0，0）及点P(r,h)的直线,h y =及y 轴围成的直角三角形绕y 轴旋转而成圆锥体的体积（图5-21）。
解 过OP 的直线方程为图 5-19x r h y =即y h r x =因为绕y 轴旋转，所以取y 为积分变量，积分区间为[0，h]。
体积元素为dyy h r dV 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=π于是圆锥体的体积为hr y h r dy y h r V bh20322203131πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰2、 平行截面面积为已知的立体的体积从计算旋转体体积的过程中可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么，这个立体的体积也可以用定积分计算。
如图5-22所示，取上述定轴为x 轴，并设该立体在过点x=a 、x=b 且垂直于x 轴的两个平面之间，以A(x)表示过点x 且垂直于x 轴的截面面积。
A(x)为x 的已知的连续函数。
取x 为积分变量，它的变化区间为[]b a ,。
立体中相应于[]b a ,上任一小区间[]dx x x +,的薄片的体积，近似于底面积为A(x)、高为dx 的扁柱体的体积，即体积元素()dx x A dV = 于是所求立体的体积为()dxx A V ba ⎰=例6 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角α（图5-23）。
计算这个平面截圆柱所得立体的体积。
解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x 轴，以过底圆中心且垂直x 轴的直线为y 轴。
此时，底圆的方程为222R y x =+。
立体中过点x 且垂直于x 轴的截面是直 角三角形。
它的两条直角 边的长度分别为ay y tan 及，即图 5-20图 5-21 图 5-22图 5-23a x R x R tan 2222--及。
于是截面面积为()()ax R x A tan 2122-=因此所求立体体积为()adx x R V RR tan 2122-=⎰-=a R x x R a RR tan 323tan 21332=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--习题 5-51.求由下列已知曲线围成的图形的面积：（1）；x y x y 2,3==（2）;0,7ln ,3ln ,ln ====x y y x y（3）()0,2,22=-==y x y x y ; （4）();0.2,222>=+=x y x x y （5）x y x y -==2,2（6）.2,,1===y x y x y2. 求由下列各曲线或射线围成图形的面积：（1）()πθθααθρ2,0,0==>=(2)();0cos 2>=a θαρ(3)θρcos 3=和θρcos 1+=的内部(4)().02cos 22>=a a θρ 3. 求由下列曲线所围成的图形绕指定轴旋转而成的旋转体的体积：（1） x y x y ==22,,绕x 轴（2） ,0,,0,cos ====y x x x y π绕x 轴 （3） ,0,0,042===+-y x y x 绕y 轴（4） ,0,42=-=y x y 绕y 轴 （5）()16522=-+y x ,绕x 轴4.计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面是等边三角形的立体体积（图5-24）。
5. 计算以半径R 的圆为底，以平行于底且长度等于该圆直径的线段为顶，高为h 的正劈锥体（图5-25）的体积。
图5-24 图5-25。