DOC定积分在几何学上的应用
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分的重要概念之一，它在许多实际问题的求解中起着重要作用。
本文将介绍一些定积分的应用，并探讨它们在不同领域中的具体应用情况。
1. 几何学中的应用在几何学中，我们经常需要计算曲线与坐标轴之间的面积。
通过使用定积分，可以轻松解决这个问题。
以求解曲线 y = f(x) 与 x 轴之间的面积为例，我们可以将其划分为无穷多个宽度非常小的矩形，然后将这些矩形的面积相加，最终得到曲线与 x 轴之间的面积。
这个过程可以通过定积分来表示，即∫[a,b] f(x) dx，其中 a 和 b 分别是曲线的起始点和终止点。
2. 物理学中的应用在物理学中，定积分广泛应用于求解各种与物理量有关的问题。
例如，在动力学中，我们可以通过计算物体的位移和速度的定积分来求解物体的加速度。
同样地，在力学中，定积分可以用于计算物体所受的力的功。
这些应用都需要将物理量表示成关于时间的函数，并使用定积分来求解相关问题。
3. 经济学中的应用经济学也是定积分的应用领域之一。
在经济学中，我们经常需要计算一段时间内的总收益或总成本。
通过将这段时间划分为无数个非常小的时间段，然后计算每个时间段内的收益或成本，最后再将这些值相加，我们可以用定积分来表示这段时间内的总收益或总成本。
这种方法在经济学中有着广泛的应用，例如计算企业的总利润等。
4. 概率统计学中的应用在概率统计学中，定积分可以用于求解概率密度函数下的某个区间的概率。
在概率密度函数中，曲线下的面积表示了该事件发生的概率。
通过将概率密度函数在某个区间上的定积分，我们可以得到该区间内事件发生的概率。
这种方法在概率论和数理统计中具有重要的应用，例如计算正态分布下的概率，或者计算随机变量的期望值等。
综上所述，定积分在几何学、物理学、经济学和概率统计学等各个领域都有着重要的应用。
无论是计算面积、求解物理量、计算总收益还是计算概率，定积分都提供了一种有效的数学工具。
通过理解和掌握定积分的应用，我们可以更好地解决实际问题，并深入研究各个领域中的相关理论。
定积分在几何和物理中的应用
定积分在几何和物理中的应用定积分是高等数学中非常重要的一个概念，它可以用于计算曲线、曲面的面积或体积，还可以应用到物理学、工程学中。
在本文中，我们将着重探讨定积分在几何和物理中的应用。
一、计算面积我们首先来看一个简单的例子，如果我们想要计算一个曲线所围成的面积，我们需要怎么做呢？假设曲线为y=f(x)，我们可以将这条曲线分成若干个无限小的小矩形，每个小矩形的宽度为Δx，高度为函数值f(x)，则该小矩形的面积为f(x)Δx。
我们将所有小矩形的面积相加，得到所求的曲线面积S：S=∫a^b f(x) dx其中a和b分别是曲线的起点和终点。
这里的∫符号代表积分符号，具体的计算方法不在本文中详细说明。
二、计算体积在物理学中，我们经常需要计算物体的体积，定积分也可以帮助我们实现这一目的。
比如我们需要计算一个旋转曲线所围成的立体体积，我们可以依然使用之前的方法将其分解成无限小的小圆柱体积，每个小圆柱的体积可以表示为：V=π[f(x)]^2dx我们将所有小圆柱的体积相加，得到所求的立体体积V：V=∫a^b π[f(x)]^2dx三、计算重心和质心在物理学中，重心和质心是非常重要的概念。
对于一个平面图形或者一个立体体形，它的重心和质心分别表示为：重心：(∫xdS)/(∫dS)质心：(∫xdm)/(∫dm)这里的dS和dm分别表示面元和质量元，x则表示距离中心的距离。
我们可以通过对图形进行分割并使用定积分来计算重心和质心。
四、积分在物理学中的应用定积分在物理学中的应用非常广泛，比如我们可以使用它来计算弹性势能、动能、功、功率等物理量。
举一个简单的例子，假设质量为m的物体从高度为h处自由落下，当它下落到高度为y 时，它的速度为v，我们可以使用动能和势能的转化关系求出v，设重力加速度为g，则它下落过程中失去的重力势能为mgh-mgy，同时增加的动能为(1/2)mv^2，因此：mgh-mgy=(1/2)mv^2v=sqrt(2g(h-y))我们可以使用定积分来求解物体在过程中的运动状态，以及计算其他物理量的值。
定积分的几何应用例题
定积分的几何应用例题定积分，又称定积分法，是一种求取特定函数积分的方法，它是集概率论、统计学和运筹学于一体，是微分几何学中的重要内容。
它在微分几何中一般用来求取曲面积、表面积、空间积分、距离长度等。
下面将介绍几个典型的定积分的几何应用例题，以便读者更好的理解定积分的几何应用。
例题一：求抛物线y=x2的截面积，其中抛物线两端上的y值分别为a和b。
答：这里的抛物线的截面积S=∫a b x2dx。
因此，将原积分变形可得S=(1/3)∫a b (x3+a3-b3)dx，于是，将积分变量替换，此时，S=(1/3)[(b3-a3)/2]。
例题二：求圆柱体的体积，其中圆柱体的底面半径为a，高度为h。
答：首先，将圆柱体拆成无穷多个小圆柱体，那么，圆柱体的体积V=∫0 hπa2dh。
将原积分变形可得V=πa2∫0 hdh=(πa2h2)/2，可见，圆柱体的体积大小取决于高度h和底面半径a的平方乘积。
例题三：求圆锥的表面积，其中圆锥的底面半径为a，高度为h，底面圆心角为2α。
答：此时，圆锥的表面积S=∫0 hΠa2sindαdh，将原积分变形可得S=Πa2∫0 hsindαdh=(2Πahcosα)/2，可以得出，圆锥的表面积大小取决于高度h、底面半径a以及底面圆心角2α因此，定积分在几何学中具有重要意义，可以求出各类几何体的表面积、体积等，解决实际问题。
上面提供了典型的定积分的几何应用例题，可以让读者对定积分的几何应用有一个深入的理解。
定积分的计算方法广泛，不仅可以采用数值积分法，还可以采用把积分分解为若干小段然后求和的方法。
同时，它还可以利用积分变量的变换，把定积分变为求解较为容易的积分，可以较好地解决实际问题。
总之，定积分是一门极其重要的数学科学，在几何学和实际问题中都有重要的应用，使用正确的计算方法，可以较好地解决实际问题。
定积分在几何学上的应用
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
y y f (x)
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲 边梯形面积为 A , 则
o
a
x
x
dbx
x
dA f (x) dx
b
A a f (x) dx
y y f1(x) y f2 (x)
右图所示图形面积为
b
A a f1(x) f2 (x) dx
A 40 y d x
利用椭圆的参数方程
x y
a cos t b sin t
(0 t 2 )
y b
o xxdxa x
应用定积分换元法得
4
ab
12
2
ab
4ab 2 sin 2 t dt 0
当 a = b 时得圆面积公式
一、平面图形的面积
2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
2
(1
1 y 2 ) 2d y 1 (2 y)2 d y 0
内容小结
1. 平面图形的面积 直角坐标方程
边界方程 极坐标方程
2. 已知平行截面面面积函数的立体体积
旋转体的体积 绕x轴: 绕y轴:
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( ) 2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
x
一、平面图形的面积
例 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
解:
A 2 1 (a )2 d
02
a2 2
13
3
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要内容之一，经常被应用于实际问题的解决中。
本文将从三个方面来论述定积分的应用。
一、定积分在几何中的应用首先，定积分可以用于求曲线下面的面积。
以 y=f(x) 为例，若f(x)>0，则曲线 y=f(x) 与 x 轴的两点 a、b 组成的图形的面积为S=∫baf(x)dx这时，可以将曲线 y=f(x) 分成许多小块，每块宽度为Δx，高度为 f(xi)，从而可以得到其面积为ΔS=f(xi)Δx因此，当Δx 趋于 0 时，所有小块的面积之和就等于图形的面积，即∑ΔS→S因此，用定积分就可以求出图形的面积。
其次，定积分还可以用于求旋转体的体积。
以曲线 y=f(x) 在 x 轴上旋转360°为例，其体积为V=π∫baf(x)^2dx这里，π为圆周率。
最后，定积分还可以用于求某些奇特图形的长、面积等等。
二、定积分在物理中的应用物理中也有许多问题可以通过定积分来解决。
比如，运动问题中的速度、加速度，可以通过位移的变化来求得。
若某运动物体的速度为 v(t)，则其位移 s(t) 为s(t)=∫v(t)dt同样，若某运动物体的加速度为 a(t)，速度为 v(t)，则其位移为s(t)=∫v(t)dt=∫a(t)dt最后，定积分还可以用于求密度、质量等物理量。
三、定积分在工程中的应用定积分在工程中的应用也非常广泛。
比如，在流体力学中，对于一条管道中的液体，可以通过惯性和重力等因素，求出其中液体的流量和压力。
而这些流量和压力可以通过定积分计算得出。
在电学中，电量、电荷、电流和电势等都可以通过定积分来求解。
在结构设计中，定积分也常常被用来计算约束力、杠杆比例等。
总之，定积分在几何、物理和工程等领域中都有着广泛应用。
熟练地掌握定积分的方法和应用，对于科学研究和实际问题的解决都有着非常积极的帮助。
定积分的应用
图1-1图1-2定积分的应用微积分学是微分学和积分学的统称，它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。
在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽的功绩。
恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分，是数学的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具。
凡是复杂图形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道﹑气象的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分。
正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展，解决了许多的困难。
以下将讲述一下定积分在数学﹑经济﹑工程﹑医学﹑物理方面的中的一些应用。
1 定积分的概念的提出1.1问题的提出曲边梯形的面积（如图1）所谓曲边梯形，是指由直线a x =、b x =（b a <），x 轴及连续曲线)(x f y =（0)(≥x f ）所围成的图形。
其中x 轴上区间],[b a 称为底边，曲线)(x f y =称为曲边。
不妨假定0)(≥x f ，下面来求曲边梯形的面积。
由于cx f ≠)(（],[b a x ∈）无法用矩形面积公式来计算，但根据连续性，任两点],[,21b a x x ∈ ，12x x -很小时，)(1x f ，)(2x f 间的图形变化不大，即点1x 、点2x 处高度差别不大。
于是可用如下方法求曲边梯形的面积。
（1） 分割 用直线1x x =，2x x =，1-=n x x （b x x x a n <<<<<-121 ）将整个曲边梯形任意分割成n 个小曲边梯形，区间上分点为：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210这里取0x a =，n x b =。
区间],[b a 被分割成n 个小区间],[1i i x x -，用i x ∆表示小区间],[1i i x x -的长度，i S ∆表示第i 块曲边梯形的面积，),,2,1(n i =，整个曲边梯形的面积S 等于n 个小曲边梯形的面积之和，即∑=∆=ni i S S 1（2）近似代替: 对每个小曲边梯形，它的高仍是变化的，但区间长度i x ∆很小时，每个小曲边梯形各点处的高度变化不大，所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，就是，在第i 个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ，用以],[1i i x x -为底，)(i f ξ为高的小矩形面积i i x f ∆)(ξ，近似代替这个小曲边梯形的面积（图1-1）， 即i i i x f S ∆≈∆)(ξ.（3）求和 整个曲边梯形面积的近似值为 n 个小矩形面积之和，即n S S S S ∆++∆+∆= 21=∆++∆+∆≈n n x f x f x f )()()(2211ξξξ ini ix f ∆∑=)(1ξ上式由于分割不同，i ξ选取不同是不一样的，即近似值与分割及i ξ选取有关（图1－2）。
定积分的几何应用
定积分的几何应用定积分是微积分中的重要概念，它有着广泛的应用。
其中之一就是在几何学中的应用。
本文将探讨定积分在几何学中的具体应用，并解释其背后的原理和意义。
一、平面图形的面积通过定积分，我们可以计算出复杂平面图形的面积。
假设有一个曲线方程y=f(x)，该曲线与x轴所围成的图形为A。
我们可以将A分解成无限个极小的矩形条，然后通过求和的方式来逼近A的面积。
具体而言，我们可以将横轴x划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后，在每个小区间中，选择一个x值作为代表点，记作xi。
根据代表点xi和函数f(x)的值，我们可以计算出相应小矩形的高度为f(xi)。
由于每个小矩形的宽度Δx非常小，因此在计算总面积时，可以通过求和的方式逼近。
即可以得到如下的定积分表达式：A = ∫[a,b] f(x) dx其中[a,b]表示x的取值范围。
通过对上述定积分进行求解，即可得到图形A的面积。
二、曲线的弧长除了计算平面图形的面积外，定积分还可以用来计算曲线的弧长。
假设有一个曲线L，其方程为y=f(x)。
我们希望计算出曲线L的弧长。
与计算面积类似，我们同样可以将曲线L分解为无限个极小的线段，然后通过求和的方式来逼近曲线L的弧长。
具体而言，我们可以将横轴x划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后，在每个小区间中，选择一个x值作为代表点，记作xi。
根据代表点xi和函数f(x)的值，我们可以计算出相应线段的长度为Δs。
同样地，由于每个小线段的长度Δs非常小，因此在计算总弧长时，可以通过求和的方式逼近。
即可以得到如下的定积分表达式：L = ∫[a,b] √(1 + [f'(x)]^2) dx其中[a,b]表示x的取值范围，f'(x)表示函数f(x)的导数。
通过对上述定积分进行求解，即可得到曲线L的弧长。
三、体积与质量除了平面图形的面积和曲线的弧长外，定积分还可以用来计算体积和质量。
当我们需要计算一个曲线绕某个轴旋转一周所形成的立体的体积时，定积分就派上用场了。
定积分在几何学上的应用
解 解 直角三角形斜边的直线方程为 y
r V ( x)2 dx 0 h
h
r x. h
r 2 1
1 h [ x3 ]0 hr 2 . 3 h2 3
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旋转体的体积： b [ f (x)]2 dx . V a 例7 计算由椭圆
2 x2 y 2 1 所成的图形绕x轴旋转而成的 2 a b
V [ f ( x)]2 dx .
a b
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旋转体的体积： b [ f (x)]2 dx . V a 例6 连接坐标原点O及点P(h, r)的直线、直线xh及x轴围 成一个直角三角形. 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高 为h的圆锥体. 计算这圆锥体的体积.
ds a 2 (1 cos )2 a 2 sin 2 d 2a sin
2
d .
于是所求弧长为
s
2 0
2a sin
2
d
2
2a[2 cos ]0 8a. 2
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曲线yf(x)(axb)的弧长： s
a
b
1 y2 dx .
S 4 ydx .
0 a
2
y2
因为椭圆的参数方程为 xacost, ybsint, 所以
S 4 ydx 4b sin td ((acostt) S 4 ydx 4 b sin td a cos )
00
22
aa
00
4ab sin 2 tdt 2ab 2 (1 cos2t)dt
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第五章第五节定积分在几何学上的应用教学目的：掌握用元素法计算平面图形的面积、计算体积、计算平面曲线的弧长、计算平面曲线的弧长。
教学重点：直角坐标系下平面图形的面积计算，体积的计算，平面曲线弧长的计算、平面曲线弧长的计算。
教学难点：面积元素的选取、体积元素的选取、弧长元素的选取教学内容：一、定积分的元素法1(1)(2)(3)2、写出计算U的定积分表达式步骤(1)(2))元素(3)这个方法叫做元素法dU f x dx a x b=≤≤()()因此，也称此法为微元法。
二、平面图形面积的计算1．直角坐标的情形由曲线y f x f x=≥()(())0及直线x a=与x b= ( a b< ) 与x轴所围成的曲边梯形面积A。
A f x dxab=⎰()其中：f x dx()为面积元素。
由曲线y f x=()与y g x=()及直线x a=，x b=( a b< )且f x g x()()≥所围成的图形面积A。
⎰⎰⎰-=-=bababadxxgxfdxxgdxxfA])()([)()(其中：[()()]f xg x dx-为面积元素。
例1 计算抛物线y x22=与直线y x=-4所围成的图形面积。
解：1、先画所围的图形简图解方程 yx y x 224==-⎧⎨⎩, 得交点：(,)22- 和 (,)84。
2、选择积分变量并定区间 选取x 为积分变量，则08≤≤x3、给出面积元素 在02≤≤x 上，dA x x dx xdx=--=[()]2222在28≤≤x 上，dA x x dx x x dx=--=+-[()]()24424、列定积分表达式2822833222222[42]42221433218A xdx x x dxxx xx =++-⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰另解：若选取y 为积分变量，则 -≤≤24ydA y y dy =+-[()]4122A y y dyy y y=+-⎰=+-=--()412246182422324显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。
例2 求椭圆x ay b22221+=所围成的面积 (,)a b >>00。
4倍。
取x 为积分变量，则 0≤≤x a ， y b x a=-122dA ydx b x adx ==-122故A ydx b x a dx a a=⎰=-⎰4410220( * )作变量替换 x a t =cos ()02≤≤t π则y b x ab t =-=122sin ， dx a tdt =-sinA b t a t dt =-⎰42(sin )(sin )π( * * )ab ab dt t ab πππ=⋅-⋅==⎰2!!2!)!12(4sin 422 2极坐标情形 设平面图形是由曲线 r=ϕθ()及射线θα=，θβ=所围成的曲边扇形。
取极角θ为积分变量，则 αθβ≤≤,在平面图形中任意截取一典型的面积元素∆A ，它是极角变化区间为[,]θθθ+d 的窄曲边扇形。
∆A 的面积可近似地用半径为r =ϕθ()， 中心角为d θ的窄圆边扇形的面积来代替，即∆A d ≈122[()]ϕθθ从而得到了曲边梯形的面积元素 dA d =122[()]ϕθθ从而A d =⎰122ϕθθαβ()例3 计算心脏线ra a =+>(cos )()10θ所围成的图形面积。
解： 由于心脏线关于极轴对称，A a d a d a d a tdta a t =+⎰=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎰=⎰⎰=-⋅==212122428841423222022022402240222(cos )cos coscos ()!!!!θθθθθθπππππθπ令二、体积1．旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴。
计算由曲线y f x =()直线x a =，x b =及x 轴所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周而生成的立体的体积。
取x 为积分变量，则xa b ∈[,]，对于区间[,]a b 上的任一区间[,]x x dx +，它所对应的窄曲边梯形x 薄片似的立体的体积近似等于以f x ()为底半径，dx 为高的圆柱体体积。
即：体积元素为[]dV f x dx=π()2所求的旋转体的体积为[]V f x dxab=⎰π()2例4 求由曲线yrhx=⋅及直线x=0，x h h=>()0和x轴所围成的三角形绕x轴旋转而生成的立体的体积。
解：取x为积分变量，则x h∈[,]hrdxxhrdxxhrVhh222223πππ=⋅=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰2．平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法 )由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算。
取定轴为x轴，且设该立体在过点x a=，x b=且垂直于x轴的两个平面之内，以A x()表示过点x且垂直于x轴的截面面积。
取x 为积分变量，它的变化区间为[,]a b 。
立体中相应于[,]a b 上任一小区间[,]x x dx +的一薄片的体积近似于底面积为A x ()，高为dx 的扁圆柱体的体积。
即：体积元素为 dVA x dx =()于是，该立体的体积为 VA x dx ab=⎰()例5 计算椭圆x ay b22221+= 所围成的图形绕x 轴旋转而成的立体体积。
解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆y b aa x =-22及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所生成的立体。
在x 处()-≤≤a x a ，用垂直于x 轴的平面去截立体所得截面积为A x b aa x ()()=⋅-π222 V A x dx b a a x dx ab aaa a=⎰=⎰-=--()()ππ2222243例6 计算摆线的一拱x a t t y a t t =-=-⎧⎨⎩≤≤(sin )(cos )()102π 以及y =0所围成的平面图形绕y 轴旋转而生成的立体的体积。
解：Vx y dy x y dya a =⋅⎰-⋅⎰ππ2202122()()⎰⎰--⋅-=πππππ022222sin )sin (sin )sin (tdt a t t a tdt a t t a=--⎰ππa t t tdt 2202(sin )sin=633πa请自行计算定积分(sin )sin t t tdt -⎰22π三、平面曲线的弧长 1．直角坐标情形设函数f x ()在区间[,]a b 上具有一阶连续的导数，计算曲线y f x =()的长度s 。
取x 为积分变量，则xa b ∈[,],[,]a b 上任取一小区间[,]x x dx +，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度∆s 可以用它的弧微分ds 来近似。
于是，弧长元素为[]dx x f ds 2)(1'+=弧长为例82．参数方程的情形若曲线由参数方程给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成的形式，从而有例9解： 圆的参数方程为3．极坐标情形若曲线由极坐标方程给出，要导出它的弧长计算公式，只需要将极坐标方程化成参数方程，再利用参数方程下的弧长计算公式即可。
曲线的参数方程为θθθθθθθd r r d r r d r r dy dx ds 22222222)()cos sin ()()sin cos ()()('+=+'+-'=+=例10=+42222422a d [cos sin cos ]θθθθ=22a d cosθθ ad d a d a d a s 8]cos cos [4cos 42cos2220020=-+===⎰⎰⎰⎰πππππϕϕϕϕϕϕθθ小结：求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形的面积、旋转体体积 平行截面已知的立体的体积平面曲线弧长的概念，弧微分的概念求弧长的公式 直角坐标系下 参数方程 极坐标系下作业：P154 1，2，4，6，8，10，12，13。