曲线积分和曲面积分的计算

1 / 13 第21章 曲线积分和曲面积分的计算 教学目的： 教学重点和难点：

§1 第一类曲线积分的计算 设函数,,fxyz在光滑曲线l上有定义且连续，l的方程为0

xxtyytttTzzt





则0222,,,,'''Tltfxyzdsfxtytztxtytztdt。

特别地，如果曲线l为一条光滑的平面曲线，它的方程为yx，axb，那么有 2(,) , ()1'()blafxydsfxxxdx

。

例：设l是半圆周taytaxsin , cos, t0。求22()lxyds。 例：设l是曲线xy42上从点) 0 , 0 (O到点) 2 , 1 (A的一段，计算第一类曲线积分lyds。 例：计算积分2lxds，其中l是球面2222azyx被平面0zyx截得的圆周。 例：求lIxyds，此处l为连接三点0,0O，1,0A，1,1B的直线段。

§2 第一类曲面积分的计算 一 曲面的面积 （1）设有一曲面块S，它的方程为 ,zfxy。,fxy具有对x和y的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY平面上的投影xy为可求面积的。则该曲面块的面积为 221xyxySffdxdy

。

（2）若曲面的方程为 ,,,xxuvyyuvzzuv, 令222uuuExyz，uvuvuvFxxyyzz，222vvvGxyz

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则该曲面块的面积为 2SEGFdudv。 例：求球面2222xyza含在柱面220xyaxa内部的面积。 例：求球面2222xyza含在柱面220xyaxa内部的面积。 二 化第一类曲面积分为二重积分 （1）设函数,,xyz为定义在曲面S上的连续函数。曲面S的方程为,zfxy。,fxy具有对x和y的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY平面上的投影xy为

可求面积的。则

22,,,,,1xyxySxyzdSxyfxyffdxdy





。

（2）设函数,,xyz为定义在曲面S上的连续函数。若曲面的方程为,,,xxuvyyuvzzuv 令 222uuuExyz，uvuvuvFxxyyzz，222vvvGxyz， 则 2,,,,,,,SxyzdSxuvyuvzuvEGFdudv。 例：计算SxyzdS，S是球面2222xyza，0z。

例：计算SzdS，其中S为螺旋面的一部分： cossin0,02xuvyuvuavzv。 注：第一类曲面积分通过一个二重积分来定义，这就是为什么在第一类曲面积分中用“二重积分符“的原因。

例：I=22SxydS，S是球面，球心在原点，半径为R。

§3 第二类曲线积分 一 变力做功和第二类曲线积分的定义 1.力场),( , ),(),(yxQyxPyxF沿平面曲线L从点A到点B所作的功。先用微元法，再用定义积分的方法讨论这一问题，得 ABWFds。 2. 第二型曲线积分的定义 定义1 设L是一条光滑或逐段光滑曲线，且设,,fxyz是定义在L上的有界函数，将L 沿确定方向从起点A开始用分点,,iiiiAxyz分成n个有向弧段1iiAA，直至终点B。且设1iiixxx。在每一弧段 1iiAA 上任取一点,,iiiiP，作和式： 11,,nniiiiiiiifPxfx。

其中1111,,Axyz为起点A，1111,,nnnnAxyz为终点B。设1maxiiiAA，这里1iiAA表示有向线段1iiAA的长度。若当0时，和有极限I，且它与L的分法无关，也与点iP的选择无关，则称I为,,fxyzdx沿曲线L按所述方向的第二类曲线积分，记作,,LIfxyzdx 或 ,,ABIfxyzdx。 注：如果向量,,,,,,,,,,fxyzPxyzQxyzRxyz，则向量沿曲线L按一定方向的第二类曲线积分为 ,,,,,,LIPxyzdxQxyzdyRxyzdz。 注：第二类曲线积分是与沿曲线的方向有关的。这是第二类曲线积分的一个很重要性质，也是它区别于第一类曲线积分的一个特征。 注：在平面情况下，若一人立在平面上沿闭路循一方向作环行时，如闭路所围成的区域靠近这人的部分总在他的左方，则这个方向就算作正向，否则就算作负向。这时只要方向不变，曲线积分的值是与起点的位置无关的。 二 第二类曲线积分的计算

设曲线AB自身不相交，其参数方程为： 0,,xxtyytzztttT。且设AB是光滑的。设当参数t从0t调地

增加到T时，曲线从点A按一定方向连续地变到点B。设函数,,Pxyz定义在曲线AB上，且设它在AB上连续。则00,,,,'TLtPxyzdxPxtytztxtdt。 （*） 注：（*）积分下限必须对应积分所沿曲线的起点，上限必须对应终点。 注：如果向量,,,,,,,,,,fxyzPxyzQxyzRxyz，则向量沿曲线L按一定方向的第二类曲线积分为 

0

0

,,,,,,,,',,',,'LTtPxyzdxQxyzdyRxyzdzPxtytztxtQxtytztytRxtytztztdt





例：计算积分()Lxydxyxdy, L的两个端点为A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 积分从点A到点B或闭合, 路径为 （1）直线段AB ； （2）抛物线1)1(22xy； （3）折线闭合路径A( 1, 1 )D( 2 , 1 )  B( 2 , 3 )  A( 1, 1 )。. 例：计算积分Lydxxdy, 这里L :

（1）沿抛物线22xy从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 )； （2）沿直线xy2从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 )； （3）沿折线封闭路径O(0,0) A(1,0 ) B(1,2 )  O(0,0). 例：计算第二型曲线积分I = 2()Lxydxxydyxdz, 其中L是螺旋线taxcos，

btztay , sin ，从0t到t的一段。

三 两类曲线积分的联系 第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义是不同的，由于都是沿曲线的积分，两者之间又有密切联系。两者之间的联系式为

,,,,,,,,cos,,,cos,,,cos,ABABPxyzdxQxyzdyRxyzdzPxyztxQxyztyRxyztzds





例：证明：对于曲线积分的估计式为 ,lPdxQdyLML式中为曲线段的长度

22,maxxylMPQ。利用这个不等式估计：222222RxyRydxxdyIxxyy,并证明

lim0RRI。

例：设平面区域D由一连续闭曲线L所围成，区域D面积设为S，推导用曲线积分计算面积S的公式为： 12L

Sxdyydx。

§4 第二类曲面积分 一 曲面的侧的概念 1．单侧曲面与双侧曲面 在实际生活中碰到的都是双侧曲面，至于单侧曲面也是存在的，牟彼乌斯带就是这类曲面的一个典型例子。 2．曲面的上侧和下侧，外侧和内侧 双侧曲面的定向: 曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向量为

)cos , cos , (cosn,

则上侧法线方向对应第三个分量0, 即选“+”号时，应有0cos，亦即法线方向与Z轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向. 封闭曲面分内侧和外侧. 二 第二类曲面积分的定义

先讨论由显式方程 ,zzxy表示的无重点的光滑曲面S,并设S在XY平面上的投影

为边界由逐段光滑曲线T所围成的区域xy。设选定了曲面的一侧，从而也确定了它的定向。 现在将有向曲面S以任何方法分割为n小块1,2,Siin。设iG为iS在XY平面上的投影，从而也得到区域xy的一个相应分割。如果取的是上侧，这时所有iG算作正的。如取下侧，这时所有iG算作负的。设有界函数,,fxyz定义在S上，在每一小块iS任取一点,,iiiiP，作和式