(完整word版)大一下册高数习题册答案第9章
第九章习题答案高数下
作 业 9—1一.填空:1.已知D 是长方形域：,10;≤≤≤≤y b x a 且⎰⎰=Dd x yf 1)(σ，则⋅=b adx x f )(2 .解：⎰⎰=Dd x yf σ)(⎰⎰⋅=baydy dx x f 1)(21⎰⋅badx x f )( 故⎰⋅=badx x f )( 22.若D 是由1=+y x 和两个坐标轴围成的三角形域,且⎰⎰⎰⋅=Ddx x dxdy x f 1)()(ϕ,那么.=)(x ϕ)()1(x f x -解：⎰⎰=Ddxdy x f )(⎰⎰-⋅=xdy x f xdx 1010)(⎰⋅-10)()1(dx x f x ⎰⋅=1)(dx x ϕ二、单项选择题：1． 设1D 是正方形域，2D 是1D 的内切圆，3D 是1D 的外接圆，1D 的中心在（-1，1）处，记1I =⎰⎰---12222D xy x y dxdy e;2I =⎰⎰---22222D xy x y dxdy e;3I =⎰⎰---32222D xy x y dxdy e.则1I ，2I ，3I 大小顺序为（ B ）。
A ．1I ≤2I ≤3I B.2I ≤1I ≤3I C. 3I ≤2I ≤1I D. 3I ≤1I ≤2I解：因为三个被积函数一样，均为正值，213D D D ⊃⊃，故2I ≤1I ≤3I 2. 设D 是第二象限的一个有界闭区域,且10<<y ，记1I =⎰⎰Dd yx σ3;2I =⎰⎰Dd x y σ32;3I =⎰⎰Dd x y σ321.1I ,2I ,3I 的大小顺序是( )。
A ．1I ≤2I ≤3I B.2I ≤1I ≤3I C. 3I ≤1I ≤2I D. 3I ≤2I ≤1I 解：因10<<y ，故212y y y <<，而03<x ，从而323321x y yx x y <<，选（C ）。
三．利用二重积分定义证明： 1．σσ=⎰⎰Dd （其中σ为D 的面积）解：ini iiDf d σηξσλ∑⎰⎰=→∆=⋅10),(lim 1i ni σλ∑=→∆⋅=11limσσσλλ==∆=→=→∑01lim limini故 σσ=⎰⎰Dd （其中λ是各iσ∆的最大直径）2．k d y x kf D=⎰⎰σ),(⎰⎰Dd y x f σ),( （其中k 为常数）解：=⎰⎰Dd y x kf σ),( ini iif σηξλ∑=→∆1),(lim i ni i i f k σηξλ∑=→∆=1),(limi ni i i f k σηξλ∑=→∆=1),(lim ⎰⎰=Dd y x f k σ),( （k 为常数）四．利用二重积分的性质估计下列积分的值： 1．}10,10|),{(,)(⎰⎰≤≤≤≤=+=Dy x y x d y x xy I 其中Ｄσ解： 10,10≤≤≤≤y x∴2)(0≤+≤y x xy∴⎰⎰⎰⎰≤≤+≤DDd d y x xy 22)(0σσ2．}4|),{(,)49(22⎰⎰≤+=++=Dy x d y x I ２２ｙｘ其中Ｄσ 解： 中在D ,422ππσ=⋅=,()22222249499yx y x y x ++≤++≤++2549922≤++≤y x∴ σσσ25)49(922≤++≤⎰⎰⎰⎰DDd y x d即 ππ10036≤≤I五．根据二重积分的性质比较下列积分的大小： 1．⎰⎰⎰⎰++DDd y x d y x σσ32)()(与其中积分区域D 是由圆周2)1()2(22=-+-y x 所围成。
高等数学大一教材答案
高等数学大一教材答案1. 第一章：函数与极限1.1 函数的概念及性质1.2 极限的概念1.3 极限的运算法则2. 第二章：导数与微分2.1 导数的定义2.2 导数的几何意义2.3 微分的概念及运算法则3. 第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理3.2 最值问题3.3 凹凸性与拐点4. 第四章：不定积分4.1 不定积分的概念4.2 基本积分表与积分法4.3 特殊曲线的面积5. 第五章：定积分5.1 定积分的定义5.2 区间上的连续函数的积分5.3 定积分的性质与计算方法6. 第六章：定积分的应用6.1 近似计算积分6.2 弧长与曲线面积的计算6.3 牛顿—莱布尼茨公式7. 第七章：多元函数的极限与连续7.1 二元函数的连续与偏导数7.2 多元函数的极限与连续7.3 多重积分8. 第八章：多元函数的微分法与隐函数的求导法8.1 多元函数的全微分8.2 隐函数的求导法8.3 多元函数的泰勒公式9. 第九章：向量代数与空间解析几何9.1 向量的概念与运算9.2 空间中的曲线与曲面9.3 平面与直线的方程10. 第十章：多元函数的导数与微分10.1 偏导数的概念10.2 高阶偏导数和混合偏导数10.3 多元函数的隐函数及其导数11. 第十一章：多元函数的极值与条件极值11.1 多元函数的极值11.2 多元函数的条件极值11.3 二重积分的计算12. 第十二章：曲线积分与曲面积分12.1 曲线积分12.2 曲面积分与高斯积分定理12.3 斯托克斯定理文章结束。
高等数学下复旦大学出版社王中兴第九章课后答案
习题9.1 1、略2、（1D ≥≡，故DDσ>σ⎰⎰⎰⎰（2）()2x y +和()3x y +在D 上连续且()()23x y x y +≤+，()()23x y x y +≡+，故()()23DDx y d x y d +σ<+σ⎰⎰⎰⎰。
（3）()0ln ln 2x y ≤+≤，()()2ln ln x y x y +≡+，()()()2ln ln x y x y +≥+，()ln x y +和()()2ln x y +，()ln x y +和()()2ln x y +在D上连续，故()()()2ln ln DDx y d x y d +σ>+σ⎰⎰⎰⎰（4）2,1,2,3ii D I d i =σ=⎰⎰，故213I I I <<3、(),f x y 在D 上连续，故(),f x y 在D 上有最大值M 和最小值m 。
(),DDDmd f x y d Md σ≤σ≤σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰，(),DmS f x y d MS ≤σ≤⎰⎰。
（1）若0S =，则对任意的(),D ξη∈，()(),,Df x y d f S σ=ξη⎰⎰。
（2）若0S ≠，则()1,Dm f x y d M S ≤σ≤⎰⎰，由介值定理可知存在(),D ξη∈，()()1,,Df f x y d S ξη=σ⎰⎰，从而有()(),,Df x y d f S σ=ξη⎰⎰4、由中值定理可知存在(),t t f D ξη∈，()()2,,ttDf x y dxdy f t=ξηπ⎰⎰，从而由(),f x y 连续可得()()0=lim ,0,0t t t f f +→ξη=原式 5、由轮换对称性可知22cos cos DDy d x d σ=σ⎰⎰⎰⎰，21444x πππ≤+≤+，2sin4x π⎤⎛⎫+∈ ⎪⎥⎝⎭⎦，()222sin cos sin 4D Dx x d x d π⎛⎫+σ=+σ ⎪⎝⎭⎰⎰，因此，()()22221sin cos sin cos DDx y d x x d ≤+σ=+σ≤⎰⎰⎰⎰习题9.21、（1）()()()()2222220020=3232223x x dx x y dy xy y dx x x dx --+=+=+-=⎰⎰⎰⎰原式 （2）11220011=13412x dx dy y ππ=⨯=+⎰⎰原式（3）)21122200514201=2133322140xdx x y dy x y y x x x dx ⎛+=+⎝⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰原式（4）()2222221112320000111221100011=3611112666yy y y y y y e dy x dx y e dy y de y ee dy e e e --------==-⎛⎫⎛⎫=--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰原式（5）=0原式（6）()2222240001=212r r d e r dr e e πθ=π=π-⎰⎰原式（7）()()()()11222200=ln 1ln 112ln 2144d r rdr r d r πππθ+=++=-⎰⎰⎰原式 （8）22242224401113=2264r d rdr d rdr πππθθθ=θθ==π⎰⎰⎰⎰原式 2、（1）()11=,xdx f x y dy ⎰⎰原式（2）()21=,x xdx f x y dy ⎰⎰原式（3）()120=,y y dyf x y dx -⎰⎰原式 （4）()()11111ln =,,e x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰原式3、（1）()20=cos ,sin R d f r r rdr πθθθ⎰⎰原式（2）()2sin 20=cos ,sin R d f r r rdr πθθθθ⎰⎰原式（3）()1210cos sin =cos ,sin d f r r rdr πθ+θθθθ⎰⎰原式（4）()sec 40sec tan =cos ,sin d f r r rdr πθθθθθθ⎰⎰原式4、（1）)asec 4400=sec ln1rd dr a d a rππθθ=θθ=⎰⎰⎰原式（2）a3420=8d r dr a ππθ=⎰⎰原式 5、()1112=04413xDx dxdy xdx dy x x dx -+==-=⎰⎰⎰⎰⎰原式 6、()623D V x y d =--σ⎰⎰，[][]0,10,1D =⨯11111111200621316235656257622xdx dy ydy dx xdx ydyxdx x =--=--=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰7、()221DV xy d =++σ⎰⎰，[][]0,40,4D =⨯4444220442204423001116441685608161633x dx dy y dy dx x dx y dy x dx x =++=++=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰8、2cos 42cos 3330165330=cos sin cos sin 41211394cos sin sin cos 14328416r d r dr d d d θππθππθθθ=θθθ⎛⎫⎛⎫=θθθ-θθθ=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰原式9、()()123222cos 332231=18cos 38161sin sin 183189d r dr d d ππππθππθ=-θθππ=--θθ=-+⎰⎰⎰⎰原式10、()()()()()1222220132301422233xxDM x y d dx xy dyx x x x dx -=+σ=+⎛⎫=-+--= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰11、01r ≤≤，123316r r r r ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭202Dd πσ=θ=π⎰⎰⎰121114400021226r r dr r dr ⎛⎫π-≤π≤π ⎪⎝⎭⎰⎰⎰10971122225551025ππ⎛⎫=π-≤π≤ ⎪⎝⎭⎰ 9761255165ππ> 因此，6121655D ππ≤σ≤12、（1）令u xy y v x =⎧⎪⎨=⎪⎩，则11221122x u v y u v -⎧=⎪⎨⎪=⎩，()(),1,2x y u v v α=α 原式43221128ln 323u du dv v ==⎰⎰（2）令u x y v y x =+⎧⎨=-⎩，则()()1212x u v y u v ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，()(),1,2x y u v α=α()[][]()122211142240011,1,11,142122111214255945D u v dudv D du u u v v dv=+=-⨯-=++⎛⎫=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰原式（3）令cos sin x ar y br =θ⎧⎨=θ⎩，()(),,x y abr r α=αθ 原式122042abd r abrdr ππ=θ=⎰⎰ （4） 令u x y v y =+⎧⎨=⎩，则x u v y v=-⎧⎨=⎩，()(),1,x y u v α=α()111112u vv uuu e du e dv uedu e udu -===-=⎰⎰⎰⎰原式 （5）令u x y v x y =-⎧⎨=+⎩，则()()1212x u v y v u ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，()(),1,2x y u v α=α 1100011001cos cos 21sinsin1sin12v v v vu u dvdu dv du v vuv dv vdv v -=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（6）令u v ⎧=⎪⎨=⎪⎩22x uy v ⎧=⎨=⎩，()(),4,x y ur u v α=α ()()()1111230001320144232222315uuu du u v urdv u v v duu u u u du --⎛⎫=+=+⎪⎝⎭=-++=⎰⎰⎰⎰原式习题 9.31、（1）23561156120001=4111428364xyxyxyD D x xy dxdy z dz x y dxdy x dx y dx x dx ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（2）()()()131122001100=11111821621111115ln 22116216xyxy x yD x D xdzdxdy x y dx dxdy dx x y x y dx x y ----+++δ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭=--=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（3）()()2020020=sin 1sin 1sin 111sin 1222xyxyx D D ydxdy zdzxy x x dxdy dx ydy x xx dx π-ππ-=-=π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（4）()2222221112=129x y y zdzdxdy z dz +≤+=π+δ=π⎰⎰⎰⎰原式（5）()222011=243xD xdx dydz x x dx =-=⎰⎰⎰⎰原式2、（1）2222233210002116=2223r d r dr dz r r dr π⎛⎫θ=π-=π ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰原式（2）()22112407=212rd rdr r r r dr πθ=π--=π⎰⎰⎰原式3、（1）（2）22cos 240022cos 34045404=sin cos sin cos 8sin cos 76a a d d r r drd d r dra d a ππϕππϕπθϕϕϕ=θϕϕϕ=πϕϕϕ=π⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（3）21402140=sin sin 122545d d r drd d r drππππθϕϕ=θϕϕ=π=π⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式4、（1）113201320=cos sin cos sin 18xyD xydxdy dz d r d d r drππ=θθθθ=θθθ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式22402340442400=sin cos sin cos 112sin 248aaad d r r drd d r dra r πππππθϕϕϕ=θϕϕϕπ=πϕ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（2）2cos 320242052=sin 1sin cos 41cos 2510d dr drd d ππϕπππθϕϕ=θϕϕϕππ=ϕ=⎰⎰⎰⎰⎰原式（3）()()52222223002450=55121104108xyxyD D x y dxdy x y dxdyr d r drr r π+⎛=+- ⎝⎛⎫=θ- ⎪⎝⎭⎛⎫=π- ⎪⎝⎭=π⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（4）()()2222420024200552=32sin 32sin 3415b a b a x y z dv d d rdrd d r drb a Ωππππ++=θϕϕ=θϕϕπ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式5、（1）()2222424300244220430=22256433x y zx y dv zdvdz d dr zd dxdyz dz z dz z ΩΩπ+≤++=θ+δ=π+π=π=π⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（2）设1Ω是由1z z ==所围成的有界闭区域，则))12222222222110021102=22232536x y x y z x y x y z z dv z dvdzdz zdz dxdy zdzdxdyΩΩ+≤+≤+≤+≤-=--+ππ=--π+=-π⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（3）()1222=4357xy z dv Ω++⎰⎰⎰原式，1Ω为Ω位于第一卦限的部分。
中国人民大学出版社第四版高等数学一第9章课后习题详解
中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第9章课后习题详解第9章课后习题详解 重积分内容概要名称 主要内容二重积分定义 =⎰⎰Dd y x f σ),(∑=→∆ni ii i f 1),(lim σηξλ性质①=⎰⎰Dd y x kf σ),(⎰⎰Dd y x f k σ),(②[]=±⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(⎰⎰⎰⎰±DDd y x g d y x f σσ),(),(③=⎰⎰Dd y x f σ),(+⎰⎰1),(D d y x f σ⎰⎰2),(D d y x f σ21D D D +=④σσ=⎰⎰Dd ⑤⇒≤),(),(y x g y x f ⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f σσ),(),(⑥⎰⎰⎰⎰≤DDd y x f d y x f σσ),(),(⑦σσσM d y x f m D≤≤⎰⎰),( ⑧σηξσ),(),(f d y x f D=⎰⎰ D ∈),(ηξ计算法利用直角坐标计算把D 写成X 型区域⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x baDdyy x f dx d y x f ϕϕσ把D 写成Y 型区域⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x d cDdxy x f dy d y x f ψψσ利用极坐标计算⎰⎰⎰⎰=)()(21)sin ,cos (),(θθβαθθθσr r Drdrr r f d d y x f三重积分利用直角坐标计算投影法(针刺法、先一后二法)⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω==),(),(21),,(),,(y x z y x z D dz z y x f d dv z y x f σ截面法(切片法、先二后一法)⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω==zD dcd z y x f dz dv z y x f σ),,(),,(利用柱面坐标计算 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dzrdrd z r r f dv z y x f θθθ),sin ,cos (),,(利用球面坐标计算 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=θϕϕϕθϕθϕd drd rr r r f dv z y x f sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(2应用 求立体的体积、求曲面的面积、求质量、重心、转动惯量等课后习题全解习题9-1★1.设有一平面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布着面密度为),(y x μμ=的电荷，且),(y x μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q .解：将D 任意分割成n 个小区域{}iσ∆，在第i 个小区域上任取一点),(iiηξ，由于),(y x μ在D上连续和i σ∆很小，所以用),(i i ηξμ作为i σ∆上各点函数值的近似值，则i σ∆上的电荷i i i i Q σηξμ∆≈∆),(从而该板上的全部电荷⎰⎰∑=∆==→Dni i i i d y x Q σμσηξμλ),(),(lim 1其中λ是各i σ∆中的最大直径。
大一高数1-9的习题答案
大一高数1-9的习题答案大一高数1-9的习题答案大一高数是大学数学的基础课程之一，对于理工科学生来说是非常重要的一门课程。
在学习过程中，习题是帮助我们巩固知识、提高能力的重要工具。
下面我将为大家提供大一高数1-9章节的习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。
第一章：极限与连续1. 求以下极限：a) lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)答案：2b) lim(x→1) (x^2 - 1) / (x - 1)答案：2c) lim(x→0) sinx / x答案：12. 判断以下函数在给定点是否连续：a) f(x) = x^2 + 3x - 2, x = 2答案：连续b) f(x) = 1 / x, x = 0答案：不连续第二章：导数与微分1. 求以下函数的导数：a) f(x) = 3x^2 - 2x + 1答案：f'(x) = 6x - 2b) f(x) = sinx + cosx答案：f'(x) = cosx - sinxc) f(x) = e^x + ln(x)答案：f'(x) = e^x + 1 / x2. 求以下函数的微分：a) f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1答案：df(x) = (6x^2 - 10x + 3)dx b) f(x) = √x + ln(x)答案：df(x) = (1 / (2√x) + 1 / x)dx 第三章：定积分1. 求以下定积分：a) ∫(0 to 1) x^2 dx答案：1 / 3b) ∫(1 to 2) 2x dx答案：3c) ∫(0 to π) sinx dx答案：22. 求以下定积分：a) ∫(0 to 1) (x^3 + 2x^2 + x) dx 答案：7 / 12b) ∫(1 to 2) (2x^2 + 3x + 1) dx答案：19 / 3第四章：不定积分1. 求以下函数的不定积分：a) ∫(3x^2 - 2x + 1) dx答案：x^3 - x^2 + x + Cb) ∫(2sinx + cosx) dx答案：-2cosx + sinx + C2. 求以下函数的不定积分：a) ∫(2x^3 + 3x^2 + x) dx答案：(1 / 2)x^4 + x^3 + (1 / 2)x^2 + C b) ∫(e^x + 1 / x) dx答案：e^x + ln|x| + C第五章：级数1. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n^2)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n)答案：发散2. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / 2^n)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (n / 2^n)答案：收敛第六章：多元函数微分学1. 求以下函数的偏导数：a) f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2答案：∂f / ∂x = 2x + 2y, ∂f / ∂y = 2x + 2yb) f(x, y) = sinx + cosy答案：∂f / ∂x = cosx, ∂f / ∂y = -siny2. 求以下函数的全微分：a) f(x, y) = x^3 + 2xy^2答案：df = (3x^2 + 2y^2)dx + (4xy)dyb) f(x, y) = e^x + ln(y)答案：df = e^xdx + (1 / y)dy第七章：多元函数积分学1. 求以下二重积分：a) ∬(D) x^2 dA, D为单位圆盘答案：π / 3b) ∬(D) y dA, D为正方形区域，顶点为(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) 答案：12. 求以下二重积分：a) ∬(D) (x + y) dA, D为上半平面答案：无穷大b) ∬(D) (2x + 3y) dA, D为单位正方形答案：5 / 2第八章：无穷级数1. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n^3)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (1 / 2^n)答案：收敛2. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (n / 2^n)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (n^2 / 2^n)答案：收敛第九章：常微分方程1. 求以下常微分方程的通解：a) dy / dx = x^2答案：y = (1 / 3)x^3 + Cb) dy / dx = 2x + 1答案：y = x^2 + x + C2. 求以下常微分方程的特解：a) dy / dx = y^2, y(0) = 1答案：y = 1 / (1 - x)b) dy / dx = 2x, y(0) = 3答案：y = x^2 + 3以上是大一高数1-9章节的习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。
高等数学(经济类)课后习题及答案第九章多元函数微分
习题9-1（A ）1．求下列各函数的表达式： （1）设函数22),(y x y x f -=，求(,)f y x --，),(x x f -．解：(,)f y x --22)()(x y -+-=22x y -=，0)(),(22=--=-x x x x f ．（2）设函数)1(3-+=x f y z ，已知1=y 时，x z =，求)(x f 及z 的表达式．解：由1=y 时，x z =，有)1(13-+=x f x ，即，所以1)1()(3-+=x x f ；而1)1(3-+=-+=x y x f y z ．（3）设函数y y x y x f +-=1)1(),(2，求),(xy y x f +．解：2222))(()()(/1)/1()(),(y x y x y x yx y x y x x y x y y x x y y x f -=-+=+-+=+-+=+． （4）设函数xy y x y x f =+-),(，求),(y x f 的表达式． 解：（方法1）因为4)()(4)2(244),(222222y x y x y xy x y xy x xy y x y x f --+=+--++==+-，所以),(y x f 422x y -=．（方法2）令v y x u y x =+=-、，则22uv y v u x -=+=、，于是 422),()(22u v u v u v xy y x y x f v u f -=-+==+-=，，所以),(y x f 422x y -=．2．求下列各函数的定义域，并作定义域草图： （1）)ln(x y z -=； （2）221arcsin xy y z -+=；（3）221arcsin yx x x y z --+=； （4）41)16ln(2222-++--=y x y x z ．1]1)1[(1)1(333-+-=-=-x x x f解：（1）由0>-x y 且0≥x ，得定义域}0,),{(≥>=x x y y x D ．（2）由022>-x y 及1≤y ，有1≤<y x ，得定义域}1),{(≤<=y x y x D ．（3）由0100122>--≥≠≤y x x x xy、、、，有0122>≤<+x x y y x 、、，得定义域}0,,1),{(22≠≤<+=x x y y x y x D ．（4）由040162222≥-+>--y x y x 、，有16422<+≤y x ，或4222<+≤y x ，得定义域}42),{(22<+≤=y x y x D ．3．求下列极限：（1）(,)(1,1)2lim2x y x yx y →-+； （2）xxy a y x sin lim ),0(),(→；（3）22)0,0(),(1sinlim y x x y x +→； （4）2)1,0(),(2tan limxy xyy x →；（5）22(,)(1,1)sin()lim x y x y x y →--； （6）231lim )1,1(),(-+-→xy xy y x .解：（1）(,)(1,1)2121lim2213x y x y x y →--==-++．（2）(,)(0,)(,)(0,)sin limlim x y a x y a xy xya x x →→==．（3）因为221sinyx +有界，而0lim )0,0(),(=→x y x ，所以=+→22)0,0(),(1sinlim yx x y x 0．（4）2111211lim tan lim 212tan lim)1,0(),()1,0(),(2)1,0(),(=⨯⨯==→→→y xy xy xy xy y x y x y x ．（5）222222(,)(1,1)(,)(1,1)sin()()sin()limlim 21 2.x y x y x y x y x y x y x y →→-+-==⨯=-- （6）=++=-++-=-+-→→→)23(lim 1)23)(1(lim231lim)1,1(),()1,1(),()1,1(),(xy xy xy xy xy xy y x y x y x 4．4．证明下列极限不存在：（1）(,)(0,0)lim x y x yx y →-+； （2）242)0,0(),(lim y x y x y x +→．证明：（1）沿)1(-≠=k kx y 取极限，则k kkx x kx x y x y x x x kx y +-=+-=+-→→=11lim lim00，当k 取不同值时，该极限值不同，所以极限(,)(0,0)limx y x yx y →-+不存在．（2）沿0=y 取极限，00lim lim 024200==+→→=x x y y x yx ； 沿2x y =取极限，212lim lim 44024202==+→→=x x y x y x x x x y ． 由于2420242002lim lim y x y x y x y x x x y x y +≠+→=→=，所以极限242)0,0(),(lim y x yx y x +→不存在．习题9-1（B ）1．某厂家生产的一种产品在甲、乙两个市场销售，销售价格分别为y x 、（单位：元），两个市场的销售量21Q Q 、各自是销售价格的均匀递减函数，当售价为10元时，销售量分别为2400、850件，当售价为12元时，销售量分别为2000、700件．如果生产该产品的成本函数是(2012000+=C )21Q Q +，试用y x 、表示该厂生产此产品的利润L ． 解：根据已知，设y a b Q x a b Q 222111-=-=、，由10=x 时，24001=Q ；12=x 时，20001=Q ，有⎩⎨⎧=-=-，，2000122400101111a b a b 得、2001=a44001=b ，于是x Q 20044001-=．由10=y 时，8502=Q ；12=y 时，7002=Q ，有⎩⎨⎧=-=-，，70012850102222a b a b 得、752=a16002=b ，于是y Q 7516002-=．两个市场销售该产品的收入为22217516002004400y y x x yQ xQ R -+-=+=， 该产品的成本(2012000+=C y x Q Q 15003200040008800012000)21-+-+=+y x 15004000132000--=． 根据利润等于收入减去成本，得)15004000132000(751600200440022y x y y x x L ----+-= 132000752003100840022---+=y x y x ．2．求下列极限：（1）y y x xy )11(lim ),2(),(++∞→； （2）22)0,0(),(1e lim 22yx y x y x +-+→； （3）4422),(),(lim y x y x y x ++∞∞→； （4）(,)lim x y →解：（1）==+=++∞→+∞→211),2(),(),2(),(e ])11[(lim )11(lim x xy y x y y x xyxy e ． （2）法1： 令t y x =+22，则当)00()(，，→y x 时，+→0t ，所以 =-=+-+→+→t y x t t y x y x 1e lim 1e lim 022)0,0(),(221． 法2：因为)00()(，，→y x 时，1e 22-+y x 与22y x +是等价无穷小，所以1lim 1e lim 2222)0,0(),(22)0,0(),(22=++=+-→+→y x y x y x y x y x y x ． （3）因为224424424422110yx y x y y x x y x y x +≤+++=++≤， 而00lim ),(),(=∞∞→y x ， 0)11(lim 22),(),(=+∞∞→y x y x ，根据“夹逼准则”得0lim 4422),(),(=++∞∞→yx y x y x ． （4）令θρθρsin cos ==y x 、，则当)00()(，，→y x 时，0→ρ（其中θ在区间)20[π，内任意变化），所以==+<≤→→θθρπθρsin cos lim lim20022)0,0(),(yx xy y x 0．3．证明极限22222)0,0(),()(lim x y y x y x y x -+→不存在．证明：沿0=y 取极限，00lim )(lim 202222200==-+→→=x x y y x y x x x y ；沿x y =取极限，11lim )(lim 0222220==-+→→=x x x y x y y x y x ．因此，极限22222)0,0(),()(lim x y y x y x y x -+→不存在．4．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0002)(222222y x y x yx xy y x f ，，，，在点），（00处的连续性． 解：沿x y =取极限，由)00(11lim 2lim)(lim 0220，，f yx xyy x f x x x y x x y ≠==+=→→=→=，有 )00()(lim )0,0(),(，，f y x f y x ≠→，所以函数)(y x f ，在点），（00处不连续．习题9-2（A ）1. 求下列函数的偏导数：（1）2z xy =； （2）2cos sin()z xy x y =++；（3）z = （4）2ln(ln )z x y =+；（5）yz x=（0>x ）； （6）z = （7）22y x xyz +=； （8）arctanx yz x y+=-； （9）yx z u =； （10）zy x u )tan(22-=．解：（1）2z y x ∂=+∂2z xy y ∂=∂． （2）2sin cos cos()sin 2cos()zxy xy y x y y xy x y x∂=-⋅++=-++∂， 2sin cos cos()sin 2cos()zxy xy x x y x xy x y y∂=-⋅++=-++∂． （3）12z x x y ∂==∂+ 122z y x y ∂=⋅=∂+． （4）22122ln ln z x x x x y x y ∂=⋅=∂++，22111ln (ln )z y y x y y x y ∂=⋅=∂++． （5）x yxy xyx y xy x y xy x y xy y x z sin cos 21)(sin cos 2332+=-⋅-=∂∂， xyx y x yy x x x y xy x y xy x y z sin cos 211sin cos 2-=⋅-=∂∂． （6）)1(212)1(11xy xy yxy y xy x z --=--⋅--=∂∂，)1(212)1(11xy xy x xy x xy y z --=--⋅--=∂∂． （7）2/3223222222)(y x y y x y x x xy y x y xz+=++⋅-+=∂∂， 由变量y x 、的对称性，得2/3223)(y x x y z +==∂∂． （8）222211()1()()1()z x y x y yx y x x y x yx y∂⋅--⋅+-==+∂-++-， ()22221()1()1()1()x y x y z xx y y x y x y x y⋅---⋅+∂==+∂-++-． （9）z z yy z z x u y x y x ln 11ln =⋅=∂∂，z z y x y x z z y u y xy x ln )(ln 22-=-⋅=∂∂， yyx y xz yxz y x z u --==∂∂1．（10）zy x x z x y x x u )(sec 22)(sec 222222-=⋅-=∂∂， z y x y z y y x y u )(sec 2)2()(sec 222222--=-⋅-=∂∂，222)tan(z y x z u --=∂∂． 2. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1,2122x y x z 在点)3,1,1(M 处的切线与x 轴正向的夹角．解：z x ∂=∂，111112x x y y z x ====∂==∂， 用α表示曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1,2122x y x z 在点)3,1,1(M 处的切线与y 轴正向的夹角，则21tan =α，所以432621arctan '≈=α． 3. 设xy x y x z xsec)1(e 2-++=，求)0,1(x z 及)0,1(y z ．解：因为1e )0(-+=x x z x ，，所以=11d (1,0)(e 1)(e 1)d xx x x x z x x-=+-=+=e 1+，因为e )1(+=y y z ，，所以1)e (d d)0,1(0=+==y y y yz ．4. 求下列函数的高阶导数：（1）设13323+--=xy xy y x z ，求22223223,,,,z z z z zy x x y x y x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂.解：xz ∂∂ ,33322y y y x --= y z ∂∂ ;9223x xy y x --=22x z ∂∂ ,62xy = 33xz ∂∂ ,62y = 22y z ∂∂ ;1823xy x -= y x z ∂∂∂2 ,19622--=y y x xy z ∂∂∂2 .19622--=y y x （2）设xy x z ln =，求22x z ∂∂，22y z ∂∂和23yx z ∂∂∂； 解：1ln ln +=⋅+=∂∂xy xy y x xy x z ，yxxy x x y z =⋅=∂∂， x xy y x z 122==∂∂，222y x y z -=∂∂，y xy x y x z 12==∂∂∂，2231yy x z -=∂∂∂． 5. 验证：（1）设函数x yz u arctan =，证明0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ．证：因为2222)()/(1y x yzx y x y z x u +-=-⋅+=∂∂，22222)(y x xyz x u +=∂∂， 2221)/(1y x xzx x y z y u +=⋅+=∂∂，22222)(y x xyz y u +-=∂∂，x y z u arctan =∂∂，022=∂∂zu， 所以，00)()(222222222222=++-+=∂∂+∂∂+∂∂y x xyzy x xyz z u y u x u ． （2）设y x z =)1,0(≠>x x ，求证z yzx x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.证明：=∂∂xz ,1-y yx =∂∂y z ,ln x x yy z x x z y x ∂∂+∂∂ln 1 x x xyx y x yy ln ln 11+=-y y x x += .2z =原结论成立．习题9-2（B ）1．设一种商品的需求量Q 是其价格1p 及某相关商品价格2p 的函数，如果该函数存在偏导数，称Q p p Q E 111∂∂-=为需求对价格1p 的弹性、Qp p Q E 222∂∂-=为需求对价格2p 的交叉弹性．如果某种数码相机的销售量Q 与其价格1p 及彩色喷墨打印机的价格2p 有关，为 222110250120p p p Q --+=， 当501=p ，52=p 时，求需求对价格1p 的弹性、需求对价格2p 的交叉弹性． 解：由211250p p Q -=∂∂，22210p p Q--=∂∂， 有1111250Qp Q p p Q E =∂∂-=，Qp p Q p p Q E 222222210+=∂∂-=，当501=p ，52=p 时，50255050250120=--+=Q 需求对价格1p 的弹性：1.0250505015501121======Q p p p Qp E 、、，需求对价格2p 的交叉弹性：=+=====5052225502221210Q p p p Qp p E 、、2．2. 设22arcsiny x x z +=，求x z ∂∂，yz ∂∂.解： =∂∂xz '⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-xy x x y x x 2222211322222)(||y x y y y x +⋅+=.||22y x y += =∂∂yz'⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-yy x x y x x 2222211=y y x x 1sgn 22+-=. 3. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=，，，，，x y x y y x yx y x f 0)(证明在)00(，点处),(y x f 的两个偏导数都不存在．证：因为极限x xf x f x x ∆=∆-∆→∆→∆1lim )00()0(lim00，，不存在，极限yf y f y ∆-∆→∆)00()0(lim0，，xx ∆-=→∆1lim0不存在，所以在)00(，点处),(y x f 的两个偏导数都不存在． 4. 设y x yx z -+=arctan ，求22x z ∂∂，22y z ∂∂和y x z ∂∂∂2．解：2222)()()()(11y x yy x y x y x y x y x xz+-=-+---++=∂∂，22222)(2y x xy x z +=∂∂， 2222)()()()(11y x xy x y x y x yx y x yz +=-++--++=∂∂，22222)(2y x xy y z +-=∂∂， 22222222222(2)()()z x y y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++．5. 设函数222ln z y x u ++=，证明2222222221z y x z u y u x u ++=∂∂+∂∂+∂∂．证明：将函数改写为)ln(21222z y x u ++=，则 222z y x xx u ++=∂∂，2222222222222222)()(2z y x x z y z y x x x z y x x u ++-+=++⋅-++=∂∂， 由变量的对称性，有222222222)(z y x y z x y u ++-+=∂∂，222222222)(z y x z y x z u ++-+=∂∂，所以2222222222222222222)()()()(z y x z y x y z x x z y z u y u x u ++-++-++-+=∂∂+∂∂+∂∂ 22222222221)(zy x z y x z y x ++=++++=． 习题9-3（A ）1．求下列函数的全微分：（1）1sin()z x y=+； （2）22z x y =+； （3）xyz e =； （4）yxz tanln =； （5）22y x z u +=； （6）ln(32)u x y z =-+.解：（1）因为1cos()z x x y ∂=+∂，221111cos()()cos()z x x y y y y y ∂=+⋅-=-+∂，所以2211111d cos()d cos()d cos()(d d )z x x x y x x y y y y y y=+-+=+⋅-．（2）因为2z xyx ∂=+∂，2z x y ∂=+∂22(dz xydx x dy =++． （3）因为x yx yx z e 2-=∂∂，x yxy z e 1=∂∂，所以 )d d (e 1d e 1d e d 22x y y x xy x x x y z x yx yx y-=+-=．（4）因为2122cot sec cs c z x x x x y y y y y ∂=⋅=∂，22222cot sec ()csc z x x x x x y y y y y y ∂=⋅-=-∂， 所以)d d (2csc 2d 2csc 2d 2csc 2d 22y x x y y xyy y x y x x y x y z -⋅=-=（5）因为z xz x u y x ln 222+=∂∂，z yz y u y x ln 222+=∂∂，12222)(-++=∂∂y x z y x zu ，所以z z y x y z yz x z xz u y xy xy xd )(d ln 2d ln 2d 122222222-+++++⋅+⋅=]d )d d (ln 2[2222z zy x y y x x z zy x +++⋅=+．（6）因为132u x x y z ∂=∂-+，332u y x y z ∂-=∂-+，232u z x y z∂=∂-+，所以 d 3d 2d d 3d 2d d 32323232x y z x y zu x y z x y z x y z x y z--+=++=-+-+-+-+．2.求函数zxyu )(=在点)1,2,1(-处的全微分．解:).ln()( ,1)( ),()(121x y x y y u x x y z y u xy x y z x u z z z ⋅=∂∂⋅=∂∂-⋅=∂∂-- 在点)1,2,1(-处，分别有.2ln 21,41 ,21)1,2,1()1,2,1()1,2,1(=∂∂-=∂∂=∂∂---zuyu xu因此，我们有.2ln 21d 41 21dz y dx dz +-=3.求函数)41ln(22y x z -+=当1=x ，2=y 时的全微分．解 因为22418y x x x z -+=∂∂，22412y x yy z -+-=∂∂，821=∂∂==y x xz ，421-=∂∂==y x yz ，所以y x z d 4d 8d )2,1(-=，4.求函数xy e z =在点()2,1处当2.0,1.0=∆=∆y x 时的全微分．解 由于,2,,,212212e yz e xz xe y z ye x z y x y x xy xy =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂====所以，当2.0,1.0=∆=∆y x 时，函数xye z =在点（2，1）处的全微分为.5.02.021.0222e e e dz =⋅+⋅=习题9-3（B ）1. 计算()2.021.04的近似值．解： 设函数(,)yz f x y x ==．显然，要计算的值是函数在 1.04, 2.02x y ==时的函数值()1.04,2.02.f取1,2,0.04,0.02.x y x y ==∆=∆=因为 ,),(1-=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f y y =(1,2)1,f =(1,2)2,x f =(1,2)0,y f =所以 由公式得 2.02(1.04)120.0400.02 1.08≈+⨯+⨯=． 2．计算3397.102.1+的近似值． 解：考虑函数33y x z +=，取03.002.02100-=∆=∆==y x y x 、、、，而33223yx x z x +='，33223yx y z y +='，3)21(=，z 、2/1)21(='，x z 、2)21(='，y z ，则)(97.102.10033y y x x z ∆+∆+=+，y y x z x y x z y x z y x ∆'+∆'+≈)()()(000000，，，95.206.001.03)03.0(202.05.03=-+=-⨯+⨯+=．3. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,),(2222222y x y x y x y x y x f 在点)0,0(O 点处讨论偏导数的存在性、偏导数的连续性以及函数),(y x f 的可微性．解：因为00lim )00()0(lim==∆-∆→∆→∆x x xf x f ，，，00lim )00()0(lim==∆-∆→∆→∆x y yf y f ，，，所以在)0,0(O 点处函数)(y x f ，的两个偏导数都存在，且0)10(0)00(==，、，y x f f ．再讨论可微性，函数在)0,0(O 处的全增量用z ∆表示，则222)()()()00()00(y x yx z y f x f z y x ∆+∆∆⋅∆=∆=∆-∆-∆，，，记22)()(y x ∆+∆=ρ，则2/3222)0,0(),(0])()[()(lim )00()00(limy x yx yf x f z y x y x ∆+∆∆∆=∆-∆-∆→∆∆→ρρ，，不存在（沿0=∆x 取极限，其值为0；沿x y ∆=∆取极限，其值为22/1），所以函数)(y x f ，在)0,0(O 点处不可微．进而得偏导（函）数在)0,0(O 点处不连续（若偏导（函）数在)0,0(O 点处连续，根据可微的充分条件，则函数在点)0,0(O 可微，与函数不可微矛盾）．习题9-4（A ）1.求下列函数的全导数： （1）设函数 32,sin ,t v t u ez vu ===-，求dtdz ； （2）设函数t uv z sin +=，而t e u =，t v cos =，求全导数dtdz ； （3）设函数y x z cos 2=而)(x y y =是x 的可微函数，求xzd d ． 解：（1）dtdv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂==)6(cos 3)2(cos 22sin 2223t t e t e t e t t v u vu -=⋅-+---. （2）tzdt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=t t u ve t cos sin +-= t t e t e t t cos sin cos +-=.cos )sin (cos t t t e t+-= （3）=⋅-=∂∂+∂∂=xy y x y x x y y z x z x z d d sin cos 2d d d d 222cos sin ().x y x y y x '-⋅ 2.求下列函数的一阶偏导数：（1）设函数v uz e =，而y x u +=，y x v -=，求x z ∂∂和yz∂∂； （2）设函数122)(++=xy y x z ，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：（1）1e 1e 12⋅-⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂v uv uvu v x v v z x u u z x z =-=v uv u v e 2yx yx y x y -+--e )(22， 21e 1e (1)u uv vz z u z v u y u y v y vv ∂∂∂∂∂=+=⋅-⋅-∂∂∂∂∂2+e u v v u v ==22e ()x yx y x x y +--， （2）这是幂指函数求导，为方便求导，将它写作复合函数，为此令122+=+=xy v y x u 、，则vu z ==⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-y u u x vu xv v z x u u z x z v v ln 21)]ln()1(2[)(2222122y x y y x xy x y x xy ++++++，=⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-x u u y vu y v v z y u u z y z v v ln 21)]ln()1(2[)(2222122y x x yx xy y y x xy ++++++． 3. 求下列函数的一阶偏导数（其中函数f 具有一阶连续的偏导数或导数）：（1）(e )xyx z f y=，； （2）)(22y x xy f z -=，；（3）)(22y x xf z +=； （4）(,,)u f x xy xyz =． 解：（1）121e xy z f f y x y ∂''=⋅+⋅=∂121e xyf y f y''+， 122()e xy z x f f x y y ∂''=⋅-+⋅=∂122e xy xf x f y''-+． （2）212122f x f y x f y f xz '+'=⋅'+⋅'=∂∂，21212)2(f y f x y f x f y z'-'=-⋅'+⋅'=∂∂．（3）=+⋅'+=∂∂2222yx xf x f x z f y x x f '++222，12y z xf y ⨯∂'==∂f yx xy '+22．（4）1231231uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂， 123230uf f x f xz xf xzf y∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂， 123300uf f f xy xyf z∂''''=⋅+⋅+⋅=∂． 4. 设函数)(22y x f y z -=，其中)(u f 是可微函数，证明211y zy z y x z x =∂∂+∂∂． 证：因为)()(22)()(2222222222y x f y x f xy x y x f y x f y x z --'-=⋅--'-=∂∂， )()(2)(1)()2()()(222222222222222y x f y x f y y x f y x f y y x f y y x f y z --'+-=--⋅-'--=∂∂， 所以222222222222112()12().()()()z z yf x y yf x y x x y y f x y yf x y f x y ''∂∂--+=-++∂∂---2222)(yzy x f y y =-=． 5.设函数)(x y xyf z =，其中)(u f 是可微函数，证明z yz y x z x2=∂∂+∂∂． 证：因为)()()()()(22x yf x y x y yf xy x y f xy x y yf x z '-=-⋅'+=∂∂，)()(1)()(xyf y x y xf x x y f xy x y xf y z '+=⋅'+=∂∂，所以 z xy xyf x y f y x y xyf x y f y x y xyf y z y x z x2)(2)()()()(22=='++'-=∂∂+∂∂． 6.利用全微分形式的不变性求函数)cos(222z y x eu zy +++=+ 的全微分．解 令=+=w z y v ,222z y x ++，由一阶全微分形式的不变性，我们有dw w dv e dw wudv v u du v )sin (-+=∂∂+∂∂=， 注意到w v ,又都是z y x ,,的函数，并且,v vdv dy dz dy dz y z∂∂=+=+∂∂ 222.w w w dw dx dy dz xdx ydy zdz x y z∂∂∂=++=++∂∂∂ 将它们带入上式，得.)]sin(2[ )]sin(2[)sin(2 )(2)sin()( )sin (222222222222dz z y x z e dyz y x y edx z y x x zdz ydy xdx z y x dz dy e dww dv e du z y zy z y v ++-+++-+++-=++⋅++-+=-+=+++习题9-4（B ）1.求下列函数的二阶偏导数（其中函数f 具有二阶连续偏导数）： （1）),(y x xy f z +=； （2）)(22y x x f z +=，；解：（1）21f f y xz '+'=∂∂，21f f x y z'+'=∂∂，221211222211211222)()(f f y f y f f y f f y y xz ''+''+''=''+''+''+''=∂∂， 221211222211211222)()(f f x f x f f x f f x x yz''+''+''=''+''+''+''=∂∂， 221211122211211122)()()(f f y x f xy f f f x f f x y f xy zy x z ''+''++''+'=''+''+''+''+'=∂∂∂=∂∂∂． （2）212f x f xz '+'=∂∂，221220f y f y f y z'='+⋅'=∂∂，2221211222212121122442)2(22)2(f x f x f f f x f x f f x f xz''+''+''+'=''+''+'+''+''=∂∂， 2222222122242)20(22f y f f y f y f yz''+'=''+⋅''+'=∂∂， 221222212242)2(2f xy f y f x f y xy zy x z ''+''=''+''=∂∂∂=∂∂∂． 2. 设函数)(3x yxy f x z ，=，其中函数)(v u f ，有二阶连续偏导数，求yx z y z y z ∂∂∂∂∂∂∂222、、．解：2214213)1(f x f x f xf x x y z '+'='+'=∂∂， 24253111221*********11()()2z x xf f x xf f x f x f xf y x x∂''''''''''''''=+++=++∂， )(2)(422221221221141322f x yf y x f x f x y f y x f x x y z y x z ''-''+'+''-''+'=∂∂∂=∂∂∂ 2211421324f y f y x f x f x ''-''+'+'=． 3.设),(y x f z =有连续的一阶偏导数，且θθsin ,cos r y r x ==.求θ∂∂∂∂zr z ,，并证明 .)()()(1)(22222y z x z z r r z ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂θ解 由链式法则，得cos sin ,sin cos .z z x z y z z r x r y r x yz z x z y z z r r x y x yθθθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂于是有222)(1)(θ∂∂+∂∂z r r z 222)cos sin (1)sin (cos y zr x z r r y z x z ∂∂⋅+∂∂⋅-+∂∂⋅+∂∂⋅=θθθθ.)()(22yz x z ∂∂+∂∂=习题9-5（A ）1.若函数)(x y y =分别由下列方程确定，分别求xy d d ： （1）1cos y x y =+； （2）yx y e 2+=； （3）xyy x arctan ln22=+；解 （1）法1：设()1cos F x y y x y =--，，则cos 1sin x y F y F x y =-=+、， 所以d cos .d 1sin x y F y y x F x y=-=+ 法2：方程1cos y x y =+两边同时对x 求导，有d d cos sin d d y yy x y x x=-，解得d cos d 1sin y yx x y=+． （2）方程yx y e 2+=两边同时对x 求导，有xy x y yy d d e 1d d 2+=，解得yy x y e 21d d -=． （3）令()221(,)arctanln arctan ,2y yF x y x y x x==+- 则 ,),(22y x y x y x F x ++=,),(22yx xy y x F y +-= y x F F dx dy -= .xy yx -+-= 2. 设()y y x =由方程 1yy xe =+所确定的隐函数，求 202.x d ydx=解 令 (.)1; 1yyy dy e F x y xe y dx xe =+-=--， 当0x =时01y =+，此时x dy e dx==，所以222(1)()(1)yy y y y y dy dy e xe e e xe d ydx dx dx xe --+=--，222022(01)(0)2(01)x d y e e e e dx =--+=-=-. 3.设函数y x z =，而函数)(x y y =由方程yy x e +=确定，求全导数xz d d ． 解：方程yy x e +=两边同时对x 求导，有x y x y y d d e d d 1+=，得yx y e 11d d +=， =+=∂∂+∂∂=-x y x x yx x y y z x z x z yy d d ln d d d d 1y y y x x yx e1ln 1++-． 4. 若函数),(y x z z =分别由下列方程确定，求x z ∂∂及yz∂∂． （1）21z y xz -=； （2）xyz z y x 2222=-+； （3）22)sin(xyz xyz =； （4）yz z x ln =． 解：（1）法1：设1)(2--=xz y z z y x F ，，，则x yz F z F z F z y x -==-=22、、，所以xyz z F F y z x yz z F F x z z y z x --=-=∂∂-=-=∂∂222，． 法2：方程21z y xz -=两边对x 求导，有20z zyzz x x x∂∂--=∂∂，得x yz z x z -=∂∂2， 方程21z y xz -=两边对y 求导，有022=∂∂-+∂∂y z x z y z yz ，得xyz z y z --=∂∂22．（以下都按方法2作）（2）方程xyz z y x 2222=-+两边同时对x 求导，有xzxy yz x z zx ∂∂+=∂∂-2222，得 xyz yzx x z +-=∂∂， 方程xyz z y x 2222=-+两边同时对y 求导，有yzxy xz y z zy ∂∂+=∂∂-2222，得 xy z xz y y z +-=∂∂（或由变量y x 、的对称性，得xyz xzy y z +-=∂∂）．（3）方程22)sin(xyz xyz =两边对x 求导，有xz xyz yz x z xyz yz xyz ∂∂+=∂∂+⋅2)2()cos(222， 即0)2](1)[cos(22=∂∂+-x z xyzyz xyz ，而01)cos(2≠-xyz ，所以022=∂∂+xzxyz yz ，得x z xyz yz x z 222-=-=∂∂，由变量y x 、对称性有yzy z 2-=∂∂． （4）方程yzz x ln =改写为)ln (ln y z z x -=， 方程)ln (ln y z z x -=两边对x 求导，有x zz x x z z z y z x z ∂∂+=∂∂+∂∂=)1(1ln 1，得zx z x z +=∂∂，方程)ln (ln y z z x -=两边对y 求导，有)11(ln 0y y z z z y z y z -∂∂+∂∂=，得)(2z x y z y z +=∂∂． 5.设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂.解： 令,4),,(222z z y x z y x F -++=则 ,2x F x = ,42-=z F z,2zx F F x z z x -=-=∂∂222(2)(2)z z xz x x z ∂-+∂∂=∂- 2)2(2)2(z z xx z --⋅+-=.)2()2(322z x z -+-=6.若函数),(z y x x =，),(z x y y =，),(y x z z =都是由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数，其中),,(z y x F 有一阶连续非零的偏导数，证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xzz y y x ． 证：因为zx y z x y F F x zF F z y F F y x -=∂∂-=∂∂-=∂∂、、，所以1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x ． 7.若z 是,x y 的函数，并由 222()zx y z yf y ++=确定，求,z z x y∂∂∂∂.解：令 222(,,)()z F x y z x y z yf y =++-22()+()12()2()x y z F x z z zF y f f y y y z zF z yf z f y y y='=-''=-=-，，，因此，2212()()2x zF z x x z z x F z yf f zy y y∂=-=-=∂''-⋅-，2()()()2()().1()()2y zz z z z z zy f yf y f f F z y y y y y y z z y F z yf f zy y y ''----+∂=-=-=∂''-22-习题9-5（B ）1.设函数xyz u e =，而函数)(x y y =、)(x z z =分别由方程xyy e =及z xz e =确定，求全导数xud d ． 解：方程xyy e =两边同时对x 求导，有)d d ()d d (e d d xy x y y x y x y x y xy+=+=，得xy y x y -=1d d 2， 方程z xz e =两边同时对x 求导，有x z xz x z x z xz z d d d d e d d ==+，得xxz zx z -=d d ，所以 xxz z xy xy y xz yz x z z u x y y u x u x u xyz xyzxyz -+-+=∂∂+∂∂+∂∂=e 1e e d d d d d d 2 )11(e2-+-+=z yzxy z xy yz xyz．2．设函数32yz x u =，而),(y x z z =由方程xyz z y x 3222=++确定，求)1,1,1(xu ∂∂．解：方程xyz z y x 3222=++两边同时对x 求导，有)(322xzxy yz x z zx ∂∂+=∂∂+，用1=x 、11==z y 、代入，有 (1,1,1)(1,1,1)223(1)zz xx∂∂+=+∂∂，得1)1,1,1(-=∂∂xz ．于是x z yz x xyz x u ∂∂+=∂∂22232，所以13232)1,1,1()1,1,1(-=-=∂∂+=∂∂xzxu ．3．设),(xyz z y x f z ++=，求x z ∂∂，y x ∂∂，zy ∂∂. 解： 令,z y x u ++= ,xyz v = 则 ),,(v u f z = 把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得xz∂∂ )1(x z f u ∂∂+⋅= ),(x z xy yz f v ∂∂+⋅+整理得xz ∂∂ ,1v u vu xyf f yzf f --+=把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得)1(0+∂∂⋅=yx f u ),(y xyz xz f v ∂∂+⋅+整理得yx ∂∂ ,v u vuyzf f xzf f ++-= 把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得)1(1+∂∂⋅=z y f u ),(zyxz xy f v ∂∂+⋅+ 整理得zy ∂∂ .1v u vu xzf f xyf f +--=4.若函数),(y x z z =由方程133=-xyz z 确定，求yx z∂∂∂2．解：方程133=-xyz z 两边对x 求导，有0)(332=∂∂+-∂∂xz xy yz x z z，得xy z yz x z -=∂∂2，由变量y x 、的对称性，得xyz xzy z -=∂∂2．法１：等式0)(2=∂∂+-∂∂xzxy yz x z z两边同时对y 求导，有 0)(2222=∂∂∂+∂∂+∂∂+-∂∂∂+∂∂∂∂yx z xy x z x y z y z y x z z x z y z z， 即2222242222222)()2()(2)(xy z y x xyz z z xy z xyz z xy z yz x xy z xz y z y x z xy z ---=---+-+=∂∂∂- 所以=∂∂∂y x z 2322224)()2(xy z y x xyz z z ---． 法２：)(22xyz yz y y x z -∂∂=∂∂∂ 322224222)()2()()2())((xy z y x xyz z z xy z x yz z yz xy z y z y z ---=--∂∂--∂∂+=．5.设 (,)F u v 具有连续的偏导数，方程 [(),()]0F a x z b y z --=（其中,a b 是非零常数）确定z 是,x y 的隐函数，且0aFu bFv +≠，求z zx y∂∂+∂∂. 解：令 (),()u a x z v b y z =-=-因此,x u u z u v u vF aF aF zx F aF bF aF bF ∂=-=-=∂--+y v v z u v u vF bF bF zy F aF bF aF bF ∂=-=-=∂--+，1u v u v u vaF bF z z x y aF bF aF bF ∂∂+=+=∂∂++. 6. 求由下列方程组所确定函数的导数或偏导数： （1）⎩⎨⎧=++=++，，41222z y x z y x 求x y d d 和xzd d ． （2）⎩⎨⎧-=+=，，v u y v u x uu cos e sin e 求x v y u x u ∂∂∂∂∂∂、、及y v∂∂．解：（1）方程组⎩⎨⎧=++=++41222z y x z y x ，两边同时对x 求导，有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++，，0d d 2d d 220d d d d 1x z z x y y x x zx y 消去xz d d ，有0)d d 1(d d =+-+x y z x y y x ，得z y x z x y --=d d ，而z y yx x y x z --=--=d d 1d d ．（2）方程组⎩⎨⎧-=+=vu y v u x uu cos e sin e ，两边同时对x 求导， 有⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=)2(.sin cos e 0)1(cos sin e 1x vv u v x u x u x v v u v x u x u u u ，（1）sin v ⨯-（2）cos v ⨯，有xux u v v v u∂∂+∂∂-=)cos (sin e sin ， 得)cos (sin e 1sin v v vx u u -+=∂∂，再代入到（2）之中得)]cos (sin e 1[e cos v v u v x v uu -+-=∂∂． 方程组⎩⎨⎧-=+=v u y v u x u u cos e sin e ，两边同时对y 求导，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=.sin cos e 1cos sin e 0y vv u v y u y u y v v u v y u y u u u ， 与前面解法类似，得)cos (sin e 1cos v v vy u u -+-=∂∂，)]cos (sin e 1[e in v v u v s y v u u -++=∂∂．习题9-6（A ）1.求下列函数的极值：（1）222),(y x x y x f --=； （2）x y x y x y x f 936),(2233+++-=； （3）)2(e ),(2y y x y x f x++=； （4）2/322)(1),(y x y x f +-=．解：（1）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎩⎨⎧=-==-=，，，，02)(022)(y y x f x y x f y x 得唯一驻点)01(，．2)01(0)01(02)01(-====<-==，、，、，yy xy xx f C f B f A ，042>=-B AC ，根据二元函数极值的充分条件，点)01(，是函数的极大值点，极大值为1)0,1(=f ，该函数无极小值．（2）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++=，，，，063)(09123)(22y y y x f x x y x f y x 即⎩⎨⎧=-=++，，0)2(0)3)(1(y y x x 得函数的所有驻点是)23()03()21()01(4321，、，、，、，----P P P P ． 66)(0)(126)(+-====+==y y x f C y x f B x y x f A yy xy xx ，、，、，，对上述诸点列表判定：所以函数的极大值为4)2,3(=-f ，极小值为4)0,1(-=-f ．（3）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=，，，，0)22(e )(0)21(e )(2y y x f y y x y x f xyx x 得唯一驻点(01)-，．x yy x xy x xx y x f y y x f y y x y x f e 2)()22(e )()22(e )(2=+=+++=，、，、，， 01>=A 、0=B 、2=C ，022>=-B AC ，根据二元函数极值的充分条件，点)10(-，是函数的极小值点，极小值1)1,0(-=-f ，该函数无极大值．（4）定义域为全平面，函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=，，，，03)(03)(2222y x y y x f y x x y x f y x 得唯一驻点)00(，．由于在)00(，点处函数的二阶偏导数不存在，不能用定理8.2判定，为此根据极值的定义，当022≠+y x （即非)00(，点）时)00(1)(1),(2/322，f y x y x f =<+-=，所以点)00(，是该函数的极大值点，极大值为1)0,0(=f ，该函数无极小值． 2.求函数 5020(0,0)z xy x y x y=++>> 的极值． 解： 由 22500200z y xx z x yy ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩，解出 52.x y ⎧⎨=⎩＝，222232310040, 1, z z z x y x x y y∂∂∂===∂∂∂∂ 在点(5,2)处，233100404130, 0552AC B A -=⋅-=>=>所以函数在(5,2)处由极小值 (5.2)30z=.3.求曲面 21 (0)z xy z -=>上到原点距离最近的点．解：设 222F,,,(1)x y z x y z z xy λλ+++--2()=，则 2202022010Fx y x F y x y F z z z z xy λλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎨⎪∂=+=⎪∂⎪⎪--=⎩，解出 0011.x y z λ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩，，， 因为(0,0,1)是 2222d x y z =++在0z >时的唯一驻点，由题意可知在0z >的曲面上存在与原点距离最小的点，所以(0,0,1)即为所求的点． 4. 将正数12分成三个正数z y x ,,之和 使得z y x u 23=为最大. 解 令 )12(),,(23-+++=z y x z y x z y x F λ,则223323020012x y z F x y z F x yz F x y x y z λλλ'⎧=+=⎪'=+=⎪⎨'=+=⎪⎪++=⎩，，，，解得唯一驻点)2,4,6(， 故最大值为.691224623max =⋅⋅=u5. 用面积为12（m 2）铁板做一个长方体无盖水箱，问如何设计容积最大？解 设水箱的长、宽、高分别为z y x 、、，体积为V ，则目标函数为xyz V =（，0>x ，0>y 0>z ），附加条件是1222=++yz xz xy ． 设)1222()(-+++=yz xz xy xyz z y x L λ，，（000>>>z y x ，，），由(2)0(2)02()02212x yz L yz y z L xz x z L xy x y xy xz yz λλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪++=⎩，，，，得唯一可能极值点12===z y x 、， 根据实际意义，当长方体表面积一定是其体积有最大值，所以当长、宽都为2（m ），高为1（m ）时无盖长方体水箱容积最大(此时体积为4（m 3）)． 6.在斜边长为l 的直角三角形中，求周长最大的三角形及其周长．解：设两直角边长分别为y x 、，三角形周长为L ，则目标函数是l y x L ++=（00>>y x ，），附加条件为222l y x =+．设)()(222l y x l y x y x F -++++=λ，，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=，，，222021021l y x y F x F y x λλ在00>>y x ，时得唯一可能极值点2l y x ==，由实际意义，斜边长为一定的直角三角形中，周长有最大值，所以当两直角边长都为2l （即等腰直角三角形）时，其周长最大，且最大周长为l )21(+．7.有一宽为24cm 的长方形铁板，把它折起来做成一断面为等腰梯形的水槽．问怎么折才能使断面的面积最大．解 设折起来的边长为xcm ，倾角为α（图8-17），那么梯形的下底长为242x -，上底长为2422cos x x α-+，高为sin x α，所以断面的面积为1[(2422cos )242]sin 2=-++-⋅A x x x x αα，即2224sin 2sin cos sin (012,0)2A x x x x πααααα=-+<<<≤.为求其最大值，我们先来解方程组222224sin 4sin 2sin cos 0,24cos 2cos +(sin cos )0.x A x x A x x x ααααααααα=-+=⎧⎨=--=⎩ 由于sin 0,0x α≠≠，将上述方程组两边约分，得122cos 0,24cos 2cos cos 20.=-+=⎧⎨=-+=⎩x A x x A x x ααααα 解这个方程组，得,8().3x cm πα==根据题意，断面面积的最大值一定存在，又由A 的定义，0,12;0.x α≠≠因此最大值点只可能在区域的内部或开边界2πα=上取到．但当2πα=时，2242A x x =-的最大值为72．因此，该函数的最大值只能在区域的内点处取得，而它只有一个稳定点，因此可以断定(8,)=483723A π>是其最大值．即将铁板折起8cm ，并使其与水平线成3π角时所得断面面积最大．24242x-ax a。
高等数学课后习题答案--第九章
9. 设 x n ＞0，
10. 讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛)
182
⑴ ⑶ ⑸ ⑺ ⑼
x sin ; n n =1 ∞ n (−1) n −1 n −1 ; ∑ 3 n =1 n +1 ∞ (−1) ( x > 0 ); ∑ n =1 n + x
∑ (−1)
∞
n +1
⑵ ⑷ ⑹ ⑻ ⑽
180
(4) (6)
∑
∞
∞
n =1 ∞
∑
n =1
ln n ln n 1 ln n 1 n 1 , = = 3 . 收敛; < 2 2 n n n n n n n2 1 1 1 , < , 收敛; n ln (n + 2) ln(n + 2) 2
n
(5)
收敛;
(7) (8) (13) (14)
∑ (
n =1
n −1
)
n
发散
由于 lim (10
a −1
1 n
n →∞
= ln a , 而 n n − 1 > n a − 1 ;
(11)
发散;
∑
n =1
∞
∞
∑
n =1
( n + 1 − n − 1 ), ( n + 1 − (2n − n + 1 − n − 1) = (n −
2 2 2 2 2
(9) 收敛;
收敛;
5.利用级数收敛的必要条件，证明： nn (1) lim = 0， (2) n →∞ ( n !) 2
∞
n →∞
lim
( 2 n) ! = 0. 2 n ( n +1)
上海大学高等数学教程课后习题答案(第九章)
《高等数学教程》第九章 向量代数与空间解析几何习题参考答案9－1（A ）4．;342,324m n CD m n BC-=-=5．;}116,117,116{}116,117,116{---或6．－2 ;7．13, 7 j ;8．(1) 垂直于 x 轴，平行于 yoz 坐标面;(2) 与 y 轴共线，方向与 y 轴的正向相反，垂直于 zox 坐标面;(3) 平行于 z 轴，垂直于 xoy 坐标面。
9．模：2; 方向余弦：21,22,21--;10．434ππγ或=;11．31cos ,31cos ,31cos =-=-=γβα;12．m = 4 , n = 0 .9－1（B ）1． ;0,22,221,0,0或-3． }5,4,6{-B , }10,6,9{-C , }7,1,7{--=CA4．(1) 在一直线上, (2) 不在一直线上;6． 2 .9－2（A ）1．(1) 28 , (2) 52 ;3．15 , 593;4．}4,2,4{--=b ;5．m = 4 , n = 0 ;6．;}2,2,3{171}2,2,3{171-----或7．12 , 219;8．5 ;9．,1548)^,(sin =b a ,7753)^,(cos =b a(1) }2,0,1{-, (2) }2,10,16{-, (3) 0 , (4) }24,8,0{--;10．(1) 24, (2) 60 ;11．(1) －3, (2) 3, (3) 0 ;13．是14．20 , 619;9－2（B ）1．(1) 在一直线上, (2) 不在一直线上;2．(1) 至 (8) 全错;5．1328-;6．;,,,,,共线与c b d c d b d a c a b a ⊥⊥⊥⊥⊥7．;共线必须与b a8．3π;9．)68(51)68(51k j k j ---或;10．(1) 2-=λ, (2) 1002,99821=-=λλ;11．23-.9－3（A ）2．04573=-+-z y x ;3．0473=+--z y x ;4．012634=+-+z y x ;5．023=--z y x ;6．049263=-+-z y x ;7．010377=--+z y x ;8．029)3(,5)2(,043)1(=---==+z y y y x ;9．1 ;10．32,32,31;11．270)3(,1)2(,2)1(±===k k k ;12．(1) 18,32=-=l m , (2) 6=l ;9－3（B ）1．12=++z y x ;2．02=--z y x ;3．1522=-+z y x ;4．03326=-+±z y x ;5．)54,0,0(,)2,0,0(;6．032=-+-z y x ;7．312228±=++z y x ;9－4（A ）1．112243--=-+=-z y x ;2．0270112520255612523=+--=++-z y x z y x 及;3．311121-=-=--z y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=tz t y tx 31121 ;4．13422zy x =-=--;5．0592298=---z y x ;7．341111;8．4273;9．D = －6 ;9－4（B ）1．(1) 平行, (2) 垂直, (3) 直线在平面上（题目中平面方程应为 3=++z y x ）;2．0=ϕ;3．)32,32,35(-;5．⎩⎨⎧=-+-=--+0140117373117z y x z y x ;6．012=++y x ;7．2849161-==+z y x ;8．,1=λ ⎩⎨⎧=-=-+-0027z x z y x ;10．012720=-++z y x ;11．564922-=-=-z y x ;12．0163401022=-+=-++z x z y x 或;13．03=---z y x ;14．332;15．⎩⎨⎧=++-=-++0893012572z y x z y x ;16．不相交, 29311=d ;9－5（A ）1．9116)34()1()32(222=+++++z y x , 它表示以)34,1,32(---为球心, 2932为半径的球面。
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(C)全微分存在，则偏导数必连续
2、求下列函数的全微分：
(B)偏导数连续，则全微分必存在
(D)全微分存在，而偏导数不一定存在
1)z
y
dz ex
2)z
3)u
sin (xy2)
y_
xz解:
解：dz
y
du x
z
*
x
2 2cos(xy ) (y dx
「•1
xdy)
2xydy)
答案：极小值f(1,3)10 18l n3
3.函数f (x, y) 2x2ax xy22y在点(1,1)处取得极值，求常数a (-5)
4、求函数z
解：
x2y21在条件x y 30下的条件极值
F(x, y, ) x2y21 (x y 3)
Fx0“22、+11
(,)，极小值为-
Fy03 32
5、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/
\2x
y)
3yl n(x
z
2y-
y
y),
nz
2
y ,2xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求
2yf2
2xf2
2
—2x( fn ( 2y) f122x) x y
4(x2y2)f124xyf22
2
z
2
X
2
z
2
y
2f22y(f21(
2y) f222x)
5、
解:
6、
解:
7、设Z
其中
证明:
2
z
2
y
得:
2fi
4x f118xyf12
证明：令F(x,y,z) f (ax bz,ay bz)，贝y
Fx
f1a, Fy
f2a,Fz
bf1bf2, n ( f1a, f2a, bf1bf2)
n (b, b,a)
2
5、证明曲面x3
方和为a2
0，
2
y3
所以在(
2
z3
x°, y°, z°)处的切平面与定向量(b,b, a)平行。
2
a^ (a
0)上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平
4xbx02fxab3全微分1单选题1二元函数fxy在点xy处连续是它在该点处偏导数存在的a必要条件而非充分条件b充分条件而非必要条件c充分必要条件d既非充分又非必要条件2对于二元函数fxy下列有关偏导数与全微分关系中正确的是a偏导数不连续则全微分必不存在c全微分存在则偏导数必连续2求下列函数的全微分
f(xy,f)
4f2
x
y(fn
F(x, y,z),
du
dx
2z
4y f22,2
y
2fi
4yf8xyf12仁2
4x f22
/X、
g(—)，
y
1
g
y
其中
12
f具有二阶连续偏导数、
g具有二阶连续导数，求
2( f12x
x
22
-)
x
f(x,y),y
(x)，求字
dx
F1F2(x)
u
z(u,v)，且变换
v
F3(fx
x1
及法线方程——
2
3、
z2
.2).2(y .2)
3(z
4
2
z
1)
50
在(3,4，5)
处的切线及法平面方程
y 4
3
9在(1，
z5
0
-1，2)
3(y 1) 2(z
z 2
，法平面方程：4x 3y 0
处的切平面及法线方程
2) 0
y
3
4、设f(u,v)可微，证明由方程f(ax bz,ay bz) 0所确定的曲面在任一点处的切平面与 定向量平行
二者不相等，所以极限不存在
在整个xoy面上连续。
六、设z x y2f (x y)且当y=0时z x2，求f(x)及z的表达式.
解：f(x)
2=x
x，z
x22y22xy y
§2
偏导数
1、设z=xy
y
xex
，验证
zz
xyxy z
xy
yy
y
y
证明：丄
y e
x工ex
，—xex，x —
z匚
yxy xy xexxy z
f(1,1)=1,f
(1).
/
5隐函数的求导公式§
.dy
1、设yl n y x y，求dx
解：令F (x, y) ylny x y，Fx1,Fyln y,凹
dx
2、设z
z(x, y)由方程
2x
2
y
2z
yf U)确定，其中
y
“2
22、Z
2xy
z
2xz
(x
y z )—
—
x
y
3、设z
z(x, y)由方程
x
可微性
j
x2
解:(J)m(0,0)(X2y2)sin^
f(0,0)
所以f (x, y)在(0，o)点处连续。
fx(0,0) lim
(x,y) (0,0)
f( x, y) 0
.(x)2( y)2
4
f( x,0)f(0,0)
0, fy(0,0)
lim
(x,y)(0,0)
f(0, y) f(0,0)0
0，所以可微。
x
zx.3xyl n3 xzsin (yz) 1
2
y 3z xy s in( yz)
6微分法在几何中的应用§
1、求螺Βιβλιοθήκη 线x2cost, y2sint,z
3t在对应于t匸处的切线及法平面方程
解:
切线方程为
y、2
2、
法平面方程
2
x
求曲线
z2
解：切线方程为
,2(x
x2
2 2
求曲面2x 3y
解：切平面方程为2(x
令丄0,丄0,丄0，x2y2z25r2解得驻点xy
x y z
x
z具有二阶连续偏导数，求常数
(x))。
2y可把方程6
ay
a
的值
(10
4a
u v
2
z
z a-
v
2
z
v2
2
z
-2
x
3)
2z
~2
x
2T u
(a
2z
=0
化为
2z
2
z
-2
u
(a
u v
2
2)z
u v
2
u
~2
v
2
u
ar
v
5a)(6
u v
2u
a2)2
v
a=3
8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数,又，(x)
f x, f [x, f (x,x)]
F2XF3
6、
设z f (x, y)由方程z
x y ez x y0所确定，
求dz
(
dz
dx
dy)
z(x, y)由方程F (xy, y
z, xz)
F可微,
设
5、
z
y
0所确定,
7、设z=z(x,y)由方程3xyxcos(yz)
z 3xy.yin 3 cos(yz)
2，
x 3z xysin (yz)
z3y所确定，求-z,—
设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：
Fx(Xo, yo,zc)(x xg)+Fy(Xo, yo,zc)(y yo)+Fz(xo, yo,Zo)(z Zo)=O此平面过原点
§8多元函数的极值及求法
1求函数f (x, y) 3x23y22x 2y 2的极值。
答案：(
1 1
(1，1)极小值点
33
2•求函数f (x, y) x2y22lnx 18l ny的极值
y
.y _
dx xzln xdy2xzln xdz zz
3、设z ycos(x 2y),求dz
(0,4)
解:dz ysin(x 2y) dx (cos(x 2y)
2ysin(x 2y) )dy
dzKO^rdx 2dy
z
4
x
求
—
25
5
(x
1
)sin
/122
x y
的连续性、偏导数、
,
(x,y) (0,0)
ey
z所确定,
其中f可微，求
z
2
z
zz
z
z
z
x x(1
Z)，y 1
J
z
x y
x(1 z)3
2z
/
f<(1,1) b
(1) , (a+ab+ab+b3)
1
ln y
f可微，证明
4、
2
y
dz
dx
¥ 0)
解:
令F(x,y,z) F(xy, y
乙xz)，则—旦
F1y
zF3
z
Fy
F-ixF2
xFz
F2
XF3
y
Fz
x
7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t,总有F (tx,ty,tz) tkF (x, y,z)k为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点 证明:F(tx,ty,tz) tkF(x, y,z)两边对t求导，并令t=1
xFxyFyzFzkF(x, y, z)