蔡高厅高等数学课程完全目录讲解

第1课
前言
一元、多元函数微分学和积分学、矢量代数、空间解析几何、无穷级数和微分方程
第一章 函数
第一节 函数的概念
一、区间、邻域

第2课
第一节 函数的概念
二 函数的概念
三 函数的几个简单性质
1 函数的有界性 第3课 三、函数的几个简单性质
1、函数的有界性
2、函数的单调性
3、函数的奇偶性
4、函数的周期性 四、复合函数、反函数
1、复合函数

第4课 复合函数例题
2、反函数 §2.初等函数
一、基本初等函数
二、初等函数 第5课
三、双曲函数
第二章、极限 13： 50
§1.数列的极限
一、数列极限的定义

第6课
（接上节 ）数列极限的定义、例题
二、收敛数列的两个性质
1、定理一（唯一性）

第7课
例题
2、定理二（有界性）
§2、函数的极限

一、自变量 x 趋于一个定值 x0 的 f(x) 的极限(只是谈及)
第8课
(接一讲：自变量 x 趋于一个定值 x0 的 f(x) 的极限) 分析，定义，几何意义，例
题

第9课 左极限和右极限的定义，极限存在的条件
二、自变量 x 趋于无穷大的函数 f(x) 的极限
三、无穷小量和无穷大量
1、无穷小量
2、无穷大量

第 10 课 第二章 极限 第二节 函数的极限
三、无穷小量与无穷大量 注意 2 点 例题
2、无穷大

3、无穷小与无穷大的关系
四、海涅定理 例题

第 11 课
第三节 函数极限的性质和极限的运算 (本章重点)
一、极限值与函数值的关系
1、极限值的唯一性
2、极限值与函数值的同号性
3、有界性

第 12 课
二、极限与无穷小的关系 f(x)=A+a(x)
三、无穷小的性质
1. 有限个无穷小的代数和仍是无穷小
2. 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小 推论：常数与无穷小的乘积仍是无穷小
有限个无穷小的乘积仍是无穷小
3. 无穷小与有界函数的商仍是无穷小

第 13 课
四、极限的四则运算
1、 limf(x)+limg(x)=A+B
2、 lim[f(x)g(x)]=AB
3、 lim[f(x)\g(x)]=A\B
4、 f(x)>(x),A>B

第 14 课
例题
第四节 极限存在准则，两个重要极限
一、准则 1 夹挤准则
例1 第 15 课
例 2 重要极限之一
二、准则 2 单调有界准则 25： 30
例 1 重要极限之二

第 16 课
例题
第五节 无穷小量的比较 39： 00

第 17 课
第五节 无穷小量的比较
例题
等价无穷小代换定理 注意：加减不可替换，乘除可替换 第六节 连续函数 34： 00
一、函数连续性的定义

第 18 课
一、函数连续性的定义 左连续，右连续
二、函数的间断点 24： 30

第 19 课
三、初等函数的连续性 1、连续函数的和、积、商的连续性 2、反函数与复合函数的连续性
1) 反函数的连续性：单调且连续
2) 复合函数的极限

第 20 课
2、反函数与复合函数的连续性
3) 复合函数的连续性
3、初等函数的连续性 13:30 初等函数在定义域内连续。

第 21 课
四、连续函数在闭区间上的性质 1、最大、最小值定理 06:06
2、有界性定理
3、零值点定理
4、介值定理
fenderdj 写道：

问下 零值定理为什么要求是闭区间
要f(a),f(b)存在且异号，方便描述。若是开区间，就要说明 f(x)在a的右极限和b的左极限存

16:00
在且异号。
第 22 课
第 3 章、导数与微分 第一节 导数概念
一、两个实例
二、导数定义 第 23 课
三、 导数的几何意义 11:48
(求曲线上某点的切线方程和法线方程)
四、 函数的可导性与连续性关系 32:49

第 24 课
证明可导与连续性关系的逆命题不成立
五、几个基本初等函数的导数公式 14:45 1、常数
2、幂函数
3、正弦、余弦函数
4、对数函数

第 25 课
第二节 函数的微分法
一、 函数的和、差、积、商的求导法则 (只讲到和、差、积)

第 26 课
续上
(函数商的求导法则)
推导出tanx,cotx,secx,cscx的导数公式
二、 反函数的导数 23:30
推导出反三角函数的导数公式 arcsinx,arccosx,
arctanx,arccotx,

第 27 课
求指数函数的导数
三、复合函数的导数 5:33 复合函数的求导法则 第 28 课
例题
四、高阶导数 (7') 多做练习 第 29 课 第三节、隐函数、参量函数的导数
一、隐函数的导数 隐函数的求导，包括幂指函数的求导

第 30 课 取对数微分法 例 2
二、参量函数的导数 05:10
三、 *极坐标系下曲线的切线的斜率 (38')

第 31 课
例 1：求心形线 ... 某一点处切线的斜率
四、相关变化率 (5'50) 两个例子 第四节、函数的微分 (24')
一、 微 分的概念 第 32 课
二、可微与可导的关系(互为充要条件) 微分的几何意义
三、微分公式
1、基本初等函数的微分公式
2、函数的和、差、积、商的微分公式
四、复合函数的微分公式 微分形式不变性 第 33 课
第四章、微分中值定理 导数的应用 第一节、微分中值定理
一、 Rolle 定理 (罗尔定理 ) 6
二、Lagrange定理(拉格朗日定理) 分析 第 34 课

Lagra nge定理的证明
利用它做证明题。

第 35 课
三、 Cauchy定理(柯西定理
)

四、 Taylor 定理 (泰勒定理 )(23'30") 其证明 (未证完 )

第 36 课
Taylor 定理继续证明
f(x)的n阶Maclaurin公式—麦克劳林公式 Pea no型余项

第 37 课 第二节、罗必塔法则
一、 0/0 型不定式 法则 I
推论 I

第 38 课
二、 8/8 型(7')
法则 II( 不证，超出范围 ) 推论 II
三、 其它类型未定式 (24'30")
0.8型、8-8型、0人0型,1A8型,8A0型
解决方法：化为 0/0 或 8/8 型

第 39 课 第三节、函数的增减性与极值
1 、函数单调增、减的必要条件 2、函数单调增、减的充分条件

第 40 课
例 2、 3
二、函数的极值、及求法 (21')
1 、极值的必要条件

第 41 课 2、极值存在的充分条件 第一充分条件 第二充分条件 (37')
第 42 课
例3

第四节、函数的最大、小值 (11') 例(未完)
第 43 课 例(续) 利用函数的最值可以证明不等式 例3 第五节、函数的凹凸性、拐点 函数的凹凸性
的定义 函数的凹凸性的判别

第 44 课 判定拐点的方法 第六节、函数图形的描绘 (42')
第 45 课
一、曲线的渐近线
二、函数图形的描绘 (34')

第 46 课 例子：作图 (续 ) 第七节、曲率 (14'30")
一、弧的微分 光滑曲线 有向光滑曲线弧长的度量
一、弧微分

第 47 课
二、曲率及其计算公式 (3') 直线的曲率为 0 圆的曲率为 1/R

第 48 课
例1
例2
第五章、不定积分 (21') 第一节、不定积分概念 25
一、原函数与不定积分

第 49 课
二、不定积分的几何意义 (9')
三、不定积分性质
四、不定积分的基本公式－基本积分表
第 59 课

第 50 课 几个例子 第二节、换元积分法 (20')
一、第一换元法

第 51 课 第一换元积分法的几个例子
第 52 课
二、第二换元法 (0')

第 53 课 第二换元法的例子( 5') 第三节、分部积分法 (42')
第 54 课 分部积分法的证明 分部积分法的几个例子
第 55 课 第四节、几类函数的积分法
一、有理函数的积分

第 56 课 部分分式 (和 )的积分
第 57 课
二、三角函数有理式的积分 举例
三、两种无理函数的积分 第一类

第 58 课 第二类 第六章、定积分 (16') 第一节、定积分概念
一、实例
1、曲边梯形的面积 分割 作积 求和 取极限
第 66 课

估计是
二、定积分的定义
上册 59 讲 asf 音频： http://ishare.iask.sina.com.cn/f/5886928.html

第 60 课
三、定积分的几何意义
例 1、利用定积分的几何意义来求定积分值
例 2、应用定积分的定义来求定积分值 第二节、定积分性质、定积分中值定理
一、定积分性质 (24')
1、

2、
3、

第 61 课 定积分性质
4
5
6

二、定积分中值定理( 38')
1、定积分第一中值定理

第 62 课
1、定积分第一中值定理

2、定积分第二中值定理 第三节、定积分与原函数的关系 (35')
一、变上限的定积分

第 63 课
(继)

< 定理 >

二、牛顿－莱布尼兹公式 (Newton-Leibniz)
< 定理 2>

第 64 课 举例 第四节、定积分计算法 (32') 一、定积分的换元积分法
第 65 课
证明 (定积分的换元积分法 )
举例