刚体力学作业解答
5.1、一长为l 的棒AB ，靠在半径为r 的半圆形柱面上，如图所示。
今A 点以恒定速度0v 沿水平线运动。
试求：(i)B 点的速度B v ；(ii)画出棒的瞬时转动中心的位置。
解：如图，建立动直角系A xyz -，取A 点为原点。
B A AB v v r ω=+⨯，关键是求ω 法1(基点法)：取A 点为基点，sin C A AC A CO A A v v r v v v v ωθ=+⨯=+=+ 即sin AC A r v ωθ⨯=，AC r ω⊥，化成标量为ω在直角三角形OCA ∆中，AC r rctg θ=所以200sin sin sin cos A AC v v v r rctg r θθθωθθ===即20sin cos v k r θωθ=取A 点为基点，那么B 点的速度为：2002300sin [(cos )sin ]cos sin sin (1)cos B A AB v v v r v i k l i l j r v l l v i jr rθωθθθθθθ=+⨯=+⨯-+=-- 法2(瞬心法)：如图，因棒上C 点靠在半圆上，所以C 点的速度沿切线方向，故延长OC ，使其和垂直于A 点速度线交于P 点，那么P 点为瞬心。
在直角三角形OCA ∆中，sin OA r r θ=在直角三角形OPA ∆中，2cos sin AP OA r r r ctg θθθ==02cos ()sin A PA PA PA r v r k r j r i i v i θωωωωθ=⨯=⨯-===，即20sin cos v r θωθ= 取A 点为基点，那么B 点的速度为：2002300sin [(cos )sin ]cos sin sin (1)cos B A AB v v v r v i k l i l j r v l l v i jr rθωθθθθθθ=+⨯=+⨯-+=-- 5.2、一轮的半径为r ，竖直放置于水平面上作无滑动地滚动，轮心以恒定速度0v 前进。
求轮缘上任一点(该点处的轮辐与水平线成θ角)的速度和加速度。
解：任取轮缘上一点M ，设其速度为M v ，加速度为M aθC Av COv如图，取轮心O 为原点，建立动系O xyz -，其中轮心的速度方向为x 轴正向，O xy -平面位于轮上。
那么轮子的角速度为k k ωωθ=-=取O 点为基点，那么M O OM v v r ω=+⨯因轮无滑动地滚动，所以C 点为瞬心。
0O CO v r v ω=⨯=即0CO k r j v i ω-⨯=，化简有00CO v vr rω==，那么有：0000(cos sin )(cos sin )(1sin )cos M O OM v v r v i k r i j v v i k r i j rv i v j ωωθθθθθθ=+⨯=-⨯+=-⨯+=+-00000020[(1sin )cos ]cos sin (cos sin )(cos sin )(cos sin )M M d da v v i v j v i v j dt dtv i j v i j v i j rθθθθθθθθθωθθθθ==+-=+=+=-+=-+ 5.3、半径为r 的圆柱夹在两块相互平行的平板A 和B 之间，两板分别以速度1v 和2v 匀速反向运动，如图示。
若圆柱和两板间无相对滑动，求： (i)圆柱瞬心的位置(ii)位于圆柱上与板的接触点M 的加速度。
解：(i)如图，圆柱瞬心的位置为C 点，不妨设12v v > 在图示的直角坐标系中，k ωω=-，11v v i =，22v v i =-，CM CM r r j =， (2)CN CN CM r r j r r j =-=-因为1M CM v v r ω==⨯，2N CN v v r ω==⨯所以有1CM v r ω=，2(2)CN CM v r r r ωω==-，联立解得：1122CM rv r v v =+或者取N 点为基点，那么：11222(2)M N NM v v v i v r v i k rj r v i ωωω===+⨯=--⨯=-1v 2v AB求得122v v r ω+=，因1CM v r ω=，故1122CM rv r v v =+于是求得瞬心的位置位于距离M 点1122CM rv r v v =+的直径上。
(ii)瞬心到圆柱轴心O 的距离为1212CO CM v v r r r r v v -=-=+ 圆柱轴心O 的速度为1212121222O CO CO v v v v v vv r r i ri i r v v ωω+--=⨯===+M 点相对O 点的速度为：1212122MO M O v v v vv v v v i i i -+=-=-= M 点相对O 点做圆周运动，故2212()4MO M v v v a j r r+==- 5.4、高为h 、顶角为2α的圆锥，在一平面上无滑动地滚动。
已知圆锥轴线以恒定角速度Ω绕过顶点的铅直轴转动。
求：(i)圆锥的角速度(ii)锥体底面上最高点的速度 (iii)圆锥的角加速度解：取圆锥的顶点为原点，建立动系O xyz - 取圆锥和平面交线为y 轴， 圆锥的对称面OAB 位于O yz -平面因圆锥轴线以恒定角速度Ω绕过顶点的铅直轴 转动，若设圆锥绕自身轴线的角速度为'ω 那么圆锥绕顶点的角速度为'ωω=+Ω又OB 母线与平面接触，为圆锥的瞬时转动轴，故ω平行于OB(i)在角速度合成的矢量三角形中，圆锥的角速率ctg ωα=Ω，即ctg j ωα=-Ω (ii)在动系O xyz -中，锥体底面上最高点A 的位矢可以表示为：cos2sin 2OA OA OA r r j r k αα=+由图中的几何关系可知：cos OA hr α= 所以(cos 2sin 2)cos OA hr j k ααα=+αΩ'ωωOcos A OA α(iii)因圆锥的角速度为ctg j ωα=-Ω，所以圆锥的角加速度为：2()d d djctg j ctg ctg j ctg i dt dt dtωααααα==-Ω=-Ω=-ΩΩ⨯=Ω 5.5、在一半径为R 的球体上置一半径为r 的较小的球，它们的连心线'OO 与竖直轴间保持α角，如图示。
若'OO 绕竖直轴以恒定的角速度ω转动，小球在大球上无滑动地滚动。
分别求出小球最高点A 和最低点B 的速度。
解：建立如图所示的动直角坐标系O xyz -使'OO r 位于O yz -平面内。
则有：k ωω=，''cos 'sin j k ωωαωα=+ '()sin ()cos OO r r R j r R k αα=-+++ 'O A r rk =，'O B r rk =-在大球和小球的角速度矢量直角三角形中，有'ω=所以2'sin cos sin j k ωωααωα=+''[()sin ()cos ][()sin ]()sin O OO v r k r R j r R k k r R j r R iωωααωαωα=⨯=⨯-+++=⨯-+=+2'''()sin (sin cos sin )sin [(1cos )]A O O A v v r r R i j k rk r R iωωαωααωαωαα=+⨯=+++⨯=++2'''()sin (sin cos sin )()sin [(1cos )]B O O B v v r r R i j k rk r R ωωαωααωαωαα=+⨯=+++⨯-=-+5.6、一边长为d 、质量为m 的匀质立方体，分别求出该立方体对过顶点的棱边、面对角线和体对角线的转动惯量P J 、f J 和b J解：如图，要求图示棱边的转动惯量P J ，先求立文体过质心O 且平行于棱的z 轴的转动惯量z J在图示的直角坐标系O xyz -中，,,x y z 轴皆为惯量主轴ωR'ω故52/2/2/22222/2/2/2()()66d d d z d d d d md J x y dm x y dxdydz ρρ---=+=+==⎰⎰⎰⎰由平行轴定理：22222623P z md md md J J m =+=+= 要求图示面对角线的转动惯量f J ，先求立文体过质心O 点，且平行于面对角线的轴的转动惯量z J，此轴与坐标轴的方向余弦分别为，坐标轴为惯量主轴，所以有： 222006000000600006x O y z md J md J J J md ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭由平行轴定理有：2222222006500()6264120006f md md d md md md J m md ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+=+= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭体对角线与坐标轴的方向余弦分别为，坐标轴为惯量主轴，那么体对角线的转动惯量为：2222006066006b md md md J md ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 5.7、一匀质等边三角形的薄板，边长为l 、质量为m 。
试在图示坐标系下，求出薄板对质心C 的惯量矩阵C J ，并由此导出对顶点O 的惯量矩阵O JO ξηζ-的坐标轴分别相互平行，ξη和xy 都在薄板平面内。
解：由图中坐标系C xyz -的取法可知，,y zx 轴是是三角板的对称面的法线，故,,x y z 都是惯量主轴。
三角板的密度为：σ=先求三角板对x 轴的转动惯量。
因三角板关于y 轴对称，所以三角板对x 轴的转动惯量x J是y 轴一侧直角板的2倍，如图，取距离C 点为x ，厚为dx 的线性微元，由图中几何关系知，线性微元的高为()3()232l l h x tgx π=-=-，22(2)mdm dS hdx l x dx lσσ===- 线性微元对过质心且垂直于线性微元的轴的转动惯量为21()12dm h ，由平行轴定理知线性微元对x轴的转动惯量：222211()()(()()122312x h l dJ dm h dm dm h =+=+ 222223222()()(2)()212212444()36x l l m l l dJ dm x x l x x x dxl m m m ml x x x dxl l =-+=--+=-+-+2/2322044422()3624l x x m m m ml ml J dJ x x x dx l l ==-+-+=⎰⎰再求三角板对y 轴的转动惯量如图，取距离C 点为y ，厚为dy的线性微元，由图中几何关系知，线性微元的长为2)63l a y tg π==，228()33l mdm ady dy y dy lσ=== 线性微元对过质心且垂直于线性微元的轴的转动惯量为21()12dm a 故线性微元对y 轴的转动惯量：2222321128()()121233244]399y l m dJ dm a y dy lm y y y dy l==-=--2322/24439924l y y l m ml J dJ y y y dy l -==-+-+=⎰⎰最后求z 轴的转动惯量：如图，对于线元过中心且平行于z 轴的转动惯量为21()12dm a由平行轴定理知线元对z 轴的转动惯量为：221()()12z dJ dm a dm y =+22222232/22218)1224243242412l z z l ml ml m J dJ a dm y dm y dm y y dyl ml ml ml-==+=+=+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰所以三角板对板对质心C 的惯量矩阵222200241000001024240020012C ml ml ml J ml ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭由平行轴定理易知：222224128x ml ml mlJ J m ξ=+=+=22227()224424y l ml ml mlJ J m η=+=+=2222512312z ml ml ml J J m ζ=+=+=因三角板中0ζ=，所以0000O J J J J J J ξξηξηηζ⎛⎫-⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭因三角板的两腰在坐标系O ξηζ-中方程为：η=和η=+即ξ=和l ξ=202002()423l J d d l d m d d l ξηξξηηηηηηηη==-=-=所以23070240010O ml J ⎛⎫-⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭5.8、质量为m ，长为l的夹角θ保持恒定。
刚体力学
(二)刚体力学1．质量分布均匀的两个滑轮A 和B ，用细绳相缠绕，其中A 轮质量为M 1，半径为R 1，悬挂在天花板上，B 轮质量为M 2，半径为R 2，B 轮从静止状态沿铅直方向下落，试求B 轮质心的速度与下落距离的关系。
（忽略轮轴间摩擦及细绳质量）2．如图所示，一人质量为m 1，站在一起重机笼内，笼的质量为m 2，半径为R 的滑轮质量为M ，滑轮与绳之间无滑动，滑轮与轴承之间的摩擦不计，绳的质量也不计，人用力拉绳，使人与笼一起以加速度a 上升，两绳皆可视为铅直。
（1） 画出m 1、m 2 及滑轮受力图。
（2） 列出求解T 1、T 2所需的方程。
3．如图所示，定滑轮视为质量均匀分布的圆盘，质量为m ，半径为R ，物体A 的质量为2m ，物体B 的质量为m ，物体C 的质量为2m ，系统用轻绳连接 ，绳和滑轮间没有滑动，轴处无摩擦，求绳中张力T 1 、T 2 、 T 3的大小。
4．匀质圆盘A 质量为m ，半径为R o ，匀质圆盘B ，质量为4m ，半径为2R o ，B 盘静止于光滑水平面上，A 盘以ωo 绕盘中心在水平面内转动，后将A 盘轻轻的放到B 盘上，A 、B 间的摩擦系数为μo ， 求：（1） A 、B 盘最终以多大的角速度转动？（2） 从A 放到B 上开始经多长时间A 、B 以共同的角速度转动？5．一定滑轮，质量为m 1，半径为r ，挂于天花板上，如图所示，滑轮上跨过一不能伸长的均匀柔软的细链，链长为L ，质量为2 2题图4题图m 2，链的两端各悬一碗，碗中盛粘土半满， 碗和土的总质量为m 3，原来链长两边相等时，静止不动，现在质量m 4很小的小球，在右碗的正上方高h 处，由静止落入碗中，于是滑轮和链开始运动，假设滑轮与链间无滑动，轮轴是光滑的，试求当右碗下降s 距离时，其速度是多少？6．一根均匀细钢棒重w ，它的两端用两个垂直的支撑使它保持水在，t=0时。
把其中一根支撑拿走，求另一根支撑物此刻所受的力。
理论力学作业解答2013
学号 姓名11－５ 力F 沿正六面体的对顶线AB 作用，F =100N ，求F 在ON 上的投影。
解：2220.330N 0.410.30.40.4x F F =-=-++ 2220.440N 0.410.30.40.4y F F ==++ 2220.440N 0.410.30.40.4z F F ==++ ON 方向单位矢量0.40.20.20.2ON j k =+ 400.4400.2N+N 83.8N 0.410.20.410.2ON F F ON =⋅==1－８ 试求附图所示的力Ｆ对Ａ点的矩，已知 1r ＝０.２ｍ，2r ＝０.５ｍ，F =300N 。
解：力F 作用点B o o121(sin 60,cos 60)r r r -o cos 60x F F =，o sin60y F F =o o 121()sin60(cos60)15kN m A y x M F r F r r F =⋅--⋅=-⋅1－９ 试求附图所示绳子张力F T 对A 点及对B 点的矩。
已知F T ＝10kN ，l ＝２m ，R ＝0.5ｍ，α＝30°。
解：()100.55kN m A T T M F F R =⋅=⨯=⋅o o ()(sin 60)10(2sin 600.5) 5103=-12.3kN mB T T M F F l R =-⋅-=-⨯-=-⋅1－11 钢缆AB 的张力 F T =10kN 。
写出该张力F T 对x 、y 、z 轴的矩及该力对O 点的矩（大小和方向）。
解：（1）kN 36.2231104111222=⋅=++⋅=T Tx F FkN 36.2231104111222-=⋅-=++⋅-=T Ty F FkN 43.9234104114222-=⋅-=++⋅-=T Tz F F（2）对轴的矩（位置矢量k j r OA42+==）m kN 43.9234042)(⋅-=-=⋅-⋅=Ty Tz T x F F F MB2m kN 43.923404)(⋅==⋅=Tx T y F F M ，20()2 4.72kN m 32z T Tx M F F =-⋅=-=-⋅ （3）对点的矩()9.439.43 4.72(kN m)O T T x y z M F r F i j k M i M j M k =⨯=-+-=++⋅1－１３ 工人启闭闸门时，为了省力，常常用一根杆子插入手轮中，并在杆的一端C 施力，以转动手轮。
理论力学8 刚体的基本运动
2
§8 - 1
一 刚体平动的定义
刚体的平行移动(平动) 刚体的平行移动(平动)
刚体在运动中,其上任意两点的连线始终保持方向不变， 即其方向始终与原来的方向平行——平行移动（平动）。
门窗的移动
3
二. 刚体平动的特点 AB在运动中方向和大小始终不变，它的轨迹: 在运动中方向和大小始终不变，它的轨迹 在运动中方向和大小始终不变 两点的运动方程式: 由A,B 两点的运动方程式:
rA = rA( t), rB = rB (t) r B = r A + r AB
可以是直线 可以是曲线
可以是曲线
d rB d drA d rAB ∴v B = = ( rA + rAB ) = = v A (Q = 0) dt dt dt dt
d 2 rB d 2 d 2 rA 同理 :a B = 2 = 2 ( rA + rAB ) = 2 = a A dt dt dt
刚体定轴转动，任一点速度和加速度（切向 法向 全加速度） 的大小都与该点到转轴的距离成正比 正比 同一瞬时，刚体内所有点的加速度与半径有相同的偏角 相同的偏角
10
结论: 结论 ① v方向与ω 相同时为正 , ⊥R ,与 R 成正比。 方向与 与 成正比。 都一致,且 ②各点的全加速度方向与各点转动半径夹角α 都一致 且 小于90 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为: 小于 o , 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为
r r r v =ω ×r
转动刚体内任一点的切向加速度等于刚体的角加速度与 矢径的矢积表示，而法向加速度等于刚体的角加速度与该点 的速度矢的矢积。即
r r r r r r aτ = ε × r ; an = ω × v
第三章 刚体力学4
I1 地球： ≈ 300 Ω ≈ 2π / 天 ⇒ T ≈ 300天 I 3 − I1 实际观测值： 实际观测值：T ≈ 425 ~ 440天
差别原因：1、地球是非刚体; 2、地球引力不过地心; 3、太阳、月球引力不可忽略.
ɺ ɺ 常量（进动） + ω 2 = ϕ 2 sin 2 θ = ω 02 ⇒ ϕ = 常量（进动） ω y
2 x
ɺ ω z = ϕ cos θ + ψɺ ⇒ ψɺ =
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常量（自转） 常量（自转）
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第三章 刚体力学
再由(1）、(2）式： 再由(1）、(2） (1）、(2
ω x = ctg ( nt + ε ) tan ψ = ωy π ⇒ψ = − ( nt + ε )
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第三章 刚体力学
结论： 结论： 1.
J 2T 2T ωJ = ω ⋅ = 常量）， （常量）， OO′ = δ = J J Jω ω ω J ω = J ⋅ ω = Iωω = 2 ⇒ ρ = = ρ 2T Jω ⋅ω
为常矢量, 本体极迹和空间极迹缩为一点,刚体动平衡 刚体动平衡. ω 为常矢量 本体极迹和空间极迹缩为一点 刚体动平衡
t 的改变
进动. 进动.（z 轴绕 ζ
轴转） 轴转）
3. θ 为章动，在 θ 1 ( x = x1 )与 θ 2 ( x = x2 )之间来回摆动. 之间来回摆动. 为章动，
ω
很大时， 很小. 赝规则进动. 很大时，ɺ 很小.称 赝规则进动. θ
4. 地球: 进动周期: 25800年.章动周期: 19年. 地球: 进动周期: 25800年 章动周期: 19年
理论力学(8.6)--刚体的平面运动-思考题
第八章 刚体的平面运动8－1 如图所示，平面图形上两点A ，B 的速度方向可能是这样的吗？为什么?8－2 如图所示已知 ，方向如图； 垂直于。
于是可确定速度瞬心C 的位置，求得：CD ACv v A D = D O CD AC v D O v A D 222==ω这样做对吗？为什么？8－3 如图所示的角速度为 ，板 ABC 和图中铰接。
问图中和 AC 上各点的速度分布规律对不对?8－4 平面图形在其平面内运动，某瞬时其上有两点的加速度矢相同。
试判断下述说法是否正确：（1）其上各点速度在该瞬时一定都相等。
（2）其上各点加速度在该瞬时一定都相等。
8－5 如图所示瞬时，已知 和平行，且＝，问与 、与 是否相等?车轮的角加速度是否等于 ？速度瞬心C的加速度大小和方向如何确定?8－7试证：当 ω=0时，平面图形上两点的加速度在此两点连线上的投影相等。
8－8 如图所示各平面图形均作平面运动，问图示各种运动状态是否可能？图a中，和平行，且=-。
图b中，和都与A，B连线垂直，且和反向。
图c中，沿A，B连线，与A，B连线垂直。
图d中，和都沿A，B连线，且> 。
图e中，和都沿A，B 连线，且< 。
图f中，沿A，B连线。
图g中，和都与AC连线垂直，且> 。
图h中， AB 垂直于AC，沿A，B连线，在AB连线上的投影与相等。
图i中，与平行且相等，即=。
图j中，和都与 AB 垂直，且，在A，B连线上的投影相等。
图k中，，在AB连线上的投影相等。
图l中，矢量与在AB线上的投影相等，在AB线上。
8－9 如图所示平面机构中，各部分尺寸及图示瞬时的位置已知。
凡图上标出的角速度或速度皆为已知，且皆为常量。
欲求出各图中点C的速度和加速度，你将采用什么方法？说出解题步骤及所用公式。
8－10 杆AB作平面运动，图示瞬时A，B两点速度，的大小、方向均为已知，C，D两点分别是， 的矢端，如图所示。
试问（l）AB杆上各点速度矢的端点是否都在直线 CD上?（2）对AB杆上任意一点E，设其速度矢端为H，那么点H在什么位置?（3）设杆AB为无限长，它与CD的延长线交于点P。
刚体力学讨论课答案
2 ML mv md 0, d L 2 t t 3
11
【5】泥块以初速度斜射在可绕光滑轴转动的 静止圆盘的顶端P点，后与圆盘黏合。 y
v0
θ
已知：R，M=2m， =60
m（泥块）
P
M
R
O 光滑轴 （水平）
求：当 P 转到与 x 轴重合时， 圆盘的角速度和盘对轴O 的 x 作用力。
3 g (sin0 sin ) l
6
【3】长度为 l、质量为 m 的直杆，竖直在光 滑地面上，并由此位置开始倾倒。求杆与竖直 方向成 θ 角时，地面对杆的作用力。
7
解
mg f maC （1）
（2）
l 1 2 f sin ml 2 12
f
C
l mg
l l P mg mg cos 2 2 y 1 1 1 2 2 2 mvC ml （3） 2 2 12
16
正确解法：隔离，分别用角动量定理。 o
R1 f r t J11 J10 J2 R2 2 O2 fr 对轮2： fr R1 1 R2 fr t J2 2 0 J1 O1
对轮1：
稳定条件：
1 R1 2 R 2
联立可得稳定后的角速度
J1 R J 1 R1 R2 1 0 , 2 0 2 2 2 2 J 1 R2 J 2 R1 J1 R2 J 2 R1 17
N x ( m M )a n
运动学条件： at R 3 , an 2 R 3 盘对轴O的作用力为
2 v0 5 mg, N x m( Ny g) 16R 2
14
【6】轮1无驱动力，初始角速度为0，轮2初静 止，放平后，恰与轮1接触。设各轴承光滑，两 轮相对质心轴转动惯量已知；不计杆质量。求： 稳定后各自的角速度。
刚体和相对论力学课堂测验题参考解答(2010-01)
mg T ma 0, TR M r J 0.
得
M r TR mgR
（2）同理，由牛顿第二定律及转动定律，有
Mg T Ma, T R M r J .
a 其中， T R mgR J . R
得
3( M m) Mg a . 2
2.一长为l，质量为M的杆可绕支点o自由转动。一质 量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒 偏转角为θ=30°。问子弹的初速度为多少?
3、一根米尺静止在K'系中，与O'x’轴成30°夹角。如 果在K系中测得该米尺与Ox轴夹角为45°，试求：（1） K'系相对于K系的速率u为多少？；（2）在K系中该米 尺的长度为多少？ 解：（1）由于米尺只在x方向上有长度收缩，所以有
l x l x 1 u 2 / c 2 l cos 30 1 u 2 / c 2 l y l l sin 30 y
t t ux / c 2 1 u2 / c 2 ux / c 2 1 u2 / c 2 5.77 10 8 s
7.已知惯性系K'系相对K系以速率u=0.6c沿x、 x'轴 正方向运动，若从K'系中原点O '沿x、 x'轴正方向发 出一光脉冲，在K'系中测得光速 vx c ，则则在K系 c 中测得光速 v x .
解： 角动量守恒：
o
30°
1 2 2 mva Ml ma 3
机械能守恒：
l a v
11 2 l 2 2 Ml ma mga1 cos 30 Mg 1 cos 30 23 2
刚体力学习题课
角动量定理 的微分形式
M = dL dt
角动量定理
t2
t1
Mdt
=
Jw2
Jw1
角动量守恒定律 M=0时，Jw=恒量
刚体力学两个主要公式
• 转动定律
Mz
=
J
dw
dt
=
J
• 角动量守恒定律
Lz = Jw = 恒量
• 机械能守恒定律：
• 当除重力矩以外旳其他合外力矩不作功或 作功为零时，则刚体机械能守恒。
T2 = T2'
对质点： mg T1 = ma1
对刚体： T2 mg = ma2
T12r T2r = J
a1 = 2r a2 = r
联立以上几式解得： 2g
19r
【例】基础训练（18）如图5-17所示、质量分别为m和2m、 半径分别为r和2r旳两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，能够绕
经过盘心且垂直盘面旳水平光滑固定轴转动，对转轴旳转动
，
惯量为9mr2/2，大小圆盘边沿都绕有绳子，绳子下端都挂一 质量为m旳重物，求盘旳角加速度旳大小．
【例】基础训练（18）如图5-17所示、质量分别为m和2m、 半径分别为r和2r旳两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，能够绕
经过盘心且垂直盘面旳水平光滑固定轴转动，对转轴旳转动
，
惯量为9mr2/2，大小圆盘边沿都绕有绳子，绳子下端都挂一 质量为m旳重物，求盘旳角加速度旳大小．
为)，圆盘可绕经过其中心O旳竖直固定光滑轴转动．开始时，
圆盘静止，一质量为m旳子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入 圆盘边沿并嵌在盘边上。求：(1) 子弹击中圆盘后竖直轴旳转动惯量为 ，忽视子弹重力造成旳摩擦阻力矩)
v0
刚体动力学运动学问题专题讲解
Ml s lS mM
lS
ml S mM
例2质心运动定律来讨论以下问题
一长为l、密度均匀的柔软链条,其单位长度 的质量为λ.将其卷成一堆放在地面.若手提 链条的一端,以匀速v 将其上提.当一端被提 离地面高度为 y 时,求手的提力.
y y yC o
F
c
解:建立图示坐标系
i 竖直方向作用于链条的合外力为
例3
设有一质量为2m的弹丸,从地面斜抛出去,它飞行在
最高点处爆炸成质量相等的两个碎片,其中一个竖直自由下落,另 一个水平抛出,它们同时落地.问第二个碎片落地点在何处?
解:选弹丸为一系统,爆炸前、 后质心运动轨迹不变.建立 图示坐标系.
2m O
m
m1 m2 m x1 0
xC为弹丸碎片落地时质心 离原点的距离. xC
xC
C
xC
m x
x2
m1 x1 m2 x2 m1 m2
x2 2 xC
7
/12
2. 质心运动定理 dri mi miv i drc d t • 质心的速度 vc dt m m
P mvc —— 质点系的总动量
Pi m
•
质心的加速度和动力学规律
v R
4m gh 2m M R
例题3 一质量为m、半径为R的均质圆柱，在水 平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力 的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所 示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。 解：设静摩擦力 f 的方向如 图所示，则由质心运动方程
l ac
F
圆柱对质心的转动定律：
二、质心
1. 质心
质心运动定理
大学物理学第二章刚体力学基础自学练习题
⼤学物理学第⼆章刚体⼒学基础⾃学练习题第⼆章刚体⼒学基础⾃学练习题⼀、选择题4-1．有两个⼒作⽤在有固定转轴的刚体上：（1）这两个⼒都平⾏于轴作⽤时，它们对轴的合⼒矩⼀定是零；（2）这两个⼒都垂直于轴作⽤时，它们对轴的合⼒矩可能是零；（3）当这两个⼒的合⼒为零时，它们对轴的合⼒矩也⼀定是零；（4）当这两个⼒对轴的合⼒矩为零时，它们的合⼒也⼀定是零；对上述说法，下述判断正确的是：（）（A ）只有（1）是正确的；（B ）（1）、（2）正确，（3）、（4）错误；（C ）（1）、（2）、（3）都正确，（4）错误；（D ）（1）、（2）、（3）、（4）都正确。
【提⽰：（1）如门的重⼒不能使门转动，平⾏于轴的⼒不能提供⼒矩；（2）垂直于轴的⼒提供⼒矩，当两个⼒提供的⼒矩⼤⼩相等，⽅向相反时，合⼒矩就为零】4-2．关于⼒矩有以下⼏种说法：（1）对某个定轴转动刚体⽽⾔，内⼒矩不会改变刚体的⾓加速度；（2）⼀对作⽤⼒和反作⽤⼒对同⼀轴的⼒矩之和必为零；（3）质量相等，形状和⼤⼩不同的两个刚体，在相同⼒矩的作⽤下，它们的运动状态⼀定相同。
对上述说法，下述判断正确的是：（）（A ）只有（2）是正确的；（B ）（1）、（2）是正确的；（C ）（2）、（3）是正确的；（D ）（1）、（2）、（3）都是正确的。
【提⽰：（1）刚体中相邻质元间的⼀对内⼒属于作⽤⼒和反作⽤⼒，作⽤点相同，则对同⼀轴的⼒矩和为零，因⽽不影响刚体的⾓加速度和⾓动量；（2）见上提⽰；（3）刚体的转动惯量与刚体的质量和⼤⼩形状有关，因⽽在相同⼒矩的作⽤下，它们的运动状态可能不同】3．⼀个⼒(35)F i j N =+v v v 作⽤于某点上，其作⽤点的⽮径为m j i r )34(-=，则该⼒对坐标原点的⼒矩为（）（A ）3kN m -?v ；（B ）29kN m ?v ；（C ）29kN m -?v ；（D ）3kN m ?v。
【提⽰：(43)(35)4302092935i j kM r F i j i j k k k =?=-?+=-=+=v v v v v v v v v v v v v 】4-3．均匀细棒OA 可绕通过其⼀端O ⽽与棒垂直的⽔平固定光滑轴转动，如图所⽰。