最优化理论 第一章
或稳定性等要求； 边界约束——只是对设计变量的取值范围加以限制的约 对轴段长度的限定范围就属于边界约束。
束称作边界约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，
(a)二变量问题的约束线
图1-2 优化问题中的约束面（或约束线）
(b) 三变量问题的约束面
可行域 : 在优化问题中，满足所有约束条件的点所构成的 集合。 如图1-3上画出了满足两项约束条件g1（X）=x12＋x22—16 ≤ 0和g2 （X）＝2—x2≤0的二维设计问题的可行域D，它位于x2=2的上面和 圆 x12＋x22=16的圆弧ABC下面并包括线段AC和圆弧ABC在内。
2.约束条件
优化问题中有些是工程上所不能接受的，在优化中
对优化变量取值有一些限制条件，这些限制条件称作 约束条件，简称约束。 约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不 等式约束两种类型： (1)等式约束
h( x ) 0 g ( x) 0
(2)不等式约束
根据约束的性质可以把它们区分成： 性能约束——针对性能要求而提出的限制条件称作性能 约束。例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度
求优化变量向量
使目标函数
满足约束条件 ：
X [ x1 , x2 , , xn ] f ( X ) min
g j (X ) 0
T
( j 1, 2,
, m)
hk ( X ) 0
(k 1,2, , l )
n
min f ( X ) f ( x1，x2， ，xn ), X R s.t. g j ( X ) 0 j 1,2, , m hk ( X ) 0 k 1,2, , l
一个优化问题可以用一组基本参数的数值来表示， 在优化过程中进行选择并最终必须确定的各项独立 的基本参数，称作优化变量，又叫做决策变量。
优化变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向 量表示。优化变量的数目称为优化问题的维数，如n 个优化变量，则称为n维优化问题。
x1 x 2 [ x1 , x2 , x x n
第三阶段 工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展给 解决复杂工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发 了一些工程优化方法，能解决不少传统数学规划方法不能胜任 的工程优化问题。在处理多目标工程优化问题中，基于经验和 直觉的方法得到了更多的应用。优化过程和方法学研究，尤其 是建模策略研究引起重视，开辟了提高工程优化效率的新的途 径。
3.目标函数
为了对优化进行定量评价，必须构造包含优化变量的评价函 数，它是优化的目标，称为目标函数，以f(X)表示。
f ( X ) f ( x1，x2， ，xn )
在优化过程中，通过优化变量的不断向f(X)值改善的方向自 动调整，最后求得f(X)值最好或最满意的X值。在构造目标函 数时，目标函数的最优值可能是最大值，也可能是最小值。在 机械设计中，可作为参考目标函数的有： 体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运 动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷 最小等等。
5. 建模实例
建立优化问题的数学模型一般步骤： 1）根据问题要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对 优化对象进行分析。必要时，需要对传统问题中的公式进行改 进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。
2）对诸参数进行分析，以确定问题的原始参数、优化常数和 优化变量。
3）根据问题要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件， 有时要构造多目标函数。 4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量 纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。
近十几年来，最优化方法已陆续用到建筑结构、化 工、冶金、铁路、航天航空、造船、机床、汽车、自 动控制系统、电力系统以及电机、电器等工程设计领 域，并取得了显著效果。
第一阶段 人类智能优化：与人类史同步，直接凭借人类的 直觉或逻辑思维，如黄金分割法、穷举法和瞎子爬山法等。
第二阶段 数学规划方法优化：从三百多年前牛顿发明微积 分算起，电子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得 到迅速发展。
2.优化的发展概况 历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊 的欧几里得（Euclid，公元前300年左右），他指出： 在周长相同的一切矩形中，以正方形的面积为最大。 十七、十八世纪微积分的建立给出了求函数极值的一 些准则，对最优化的研究提供了某些理论基础。然而， 在以后的两个世纪中，最优化技术的进展缓慢，主要 考虑了有约束条件的最优化问题，发展了变分法。 直到上世纪40年代初，由于军事上的需要产生了运 筹学，并使优化技术首先应用于解决战争中的实际问 题，例如轰炸机最佳俯冲轨迹的设计等。
图1-3 约束条件规定的可行域D
一般情况下，可行域可表示为：
D u 1,2,l j 1,2,, m
•不可行域: D •可行点和不可行点 D内的点为可行点,否则为不可行 点（外点）。 •边界点与内点 约束边界上的可行点为边界点,其 余可行点为内点。 •起作用的约束与不起作用的约束 满足 gu ( 的约束为起作用约束 ,否则为不起作用 X *) 0 的约束.(等式约束一定是起作用约束)
1-1 绪论
1.优化的含义 优化是从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最 优的方案。
优化的原理与方法，在科学的、工程的和社会的实际 问题中的应用，便是优化问题。
（1）来源：优化一语来自英文Optimization， 其本意是寻优的过程；
（2）优化过程：是寻找约束空间下给定函数取 极大值（以max表示)或极小(以min表示)的过程。 优化方法也称数学规划，是用科学方法和手段进 行决策及确定最优解的数学。
最优化问题的目标函数通常为求目标函数的最小值。若 目标函数的最优点为可行域中的最大值时，则可看成是求
［-f（X）］的最小值，因为min［-f（X）］与max f（X）
是等价的。
对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完善
的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为复 杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使问 题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时间 ，有时也会改善优化结果。
数学模型
优化变量：
目标函数： 约束条件：
x A , xB
max P PA xA PB xB
aC x A bC xB C aE x A bE xB E aL xA bL xB L
1-3 最优化的数学模型
最优化的数学模型是描述实际优化问题目标函数、 变量关系、有关约束条件和意图的数学表达式，它反 映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行最优化 的基础。 1.优化变量
对于具有相等目标函数值的自变量构成的平面曲线或曲 面称为等值线或等值面。
图1-4
等值线
图1-4表示目标函数f（X）与两个优化变量x1，x2阶所构成的 关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的点所 构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一系列的 等值线，它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标函数的 等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。当目标函数值的变 化范围一定时，等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈平缓。 利用等值线的概念可用几何图象形象地表现出目标函数的变化 规律。
, xn ]
T
按照优化变量的取值特点，可分为连续变量（例如 轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规格 等）。
只有两个优化变量的二维优化问题可用图（ a ） 所示的平面直角坐标表示；有三个优化变量的三维 问题可用图（b）所表示的空间直角坐标表示。
图1-1 优化变量所组成的优化空间 （a）二维问题 （b）三维问题
目标函数等值（线）面
目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空 间中描述出来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情 况，常采用目标函数等值面的方法。 目标函数的等值面（线）数学表达式为：
f ( x) c
题中，f(x1,x2)=c 代表x1-x2平面上的一族曲线。
c为一系列常数，代表一族n维超曲面。如在二维优化问
2 2 如图函数 f ( x1, x2 ) 60 10x1 4x2 x1 x2 x1x2 的等值线图。
从等值线上，可以清楚地看到函数值的变化情况。其中 f=40的等值线就是使f(x1,x2)=40的各点[x1,x2]T所组成的连线 。
图1-5
等值线
4. 优化问题一般数学形式：
本课主要内容
最优化概述 最优化的数学基础 线性规划 整数规划 一维最优化方法 无约束多维非线性规划方法 约束问题的非线性规划方法 非线性规划中的一些其他方法
第一章 最优化的基本要素
1-1 绪论
1-2 优化问题的示例 1-3 优化问题的数学模型
1-4 优化问题的几何解释和基本解法
在优化问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标 函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问 题称为多目标函数的最优化问题。在一般的最优化问题 中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，建模的综 合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。 在实际工程问题中，常常会遇到在多目标函数的某 些目标之间存在矛盾的情况，这就要求建模者正确处 理各目标函数之间的关系。
优化问题的维数表征优化的自由度，优化变量愈多， 则问题的自由度愈大、可供选择的方案愈多，但难度 亦愈大、求解亦愈复杂。
小型优化问题：一般含有2—10个优化变量；
中型优化问题：10—50个优化变量；
大型优化问题：50个以上的优化变量。
如何选定优化变量？
任何一项产品，是众多变量标志结构尺寸的综合体。变量越 多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造 成优化规模过大。所以确定优化变量时应注意以下几点： （1）抓主要，舍次要。 对产品性能和结构影响大的参数可取为优化变量，影响小的 可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。 （2）根据要解决问题的特殊性来选择优化变量。 例如，圆柱螺旋拉压弹簧的优化变量有4个，即钢丝直径d ，弹簧中径D，工作圈数n和自由高度H。在建模中，将材料的 许用剪切应力 和剪切模量Ｇ等作为优化常量。在给定径向空间 内设计弹簧，则可把弹簧中径D作为优化常量。
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优化理论第一章
等式约束条件下的非线性最优必要条件（ 等式约束条件下的非线性最优必要条件（库恩 图克定理） －图克定理）
♦ 卡尔曼（Kalman):随机控制系统最优滤波器等。 卡尔曼（ alman):随机控制系统最优滤波器等。 ):随机控制系统最优滤波器等
最优化技术是研究和解决最优化问题 的一门学科，它研究和解决如何从一切 的一门学科，它研究和解决如何从一 可能的方案中寻找最优的方案。 可能的方案中寻找最优的方案。 也就是说，最优化技术是研究和解决 也就是说， 如下两大问题 两大问题: 如下两大问题: 1、如何将最优化问题表示为数学模型； 如何将最优化问题表示为数学模型； 2、如何根据数学模型尽快求出其最优解； 如何根据数学模型尽快求出其最优解；
综观实例，最优化问题的数学描述， 综观实例，最优化问题的数学描述，应包 括以下几方面的内容： 括以下几方面的内容：
（1）受控动态系统的数学模型，即受控系统动力学特 ）受控动态系统的数学模型， 性的系统状态方程， 性的系统状态方程，它反映了动态系统在运动过 程中所应遵循的物理或化学规律。 程中所应遵循的物理或化学规律。 （2）动态系统的初态和终态，即状态方程的边界条件。 ）动态系统的初态和终态，即状态方程的边界条件。 一个动态过程， 一个动态过程，归根到底是状态空间中从一个状 态转移到另一个状态。 态转移到另一个状态。 （3）目标函数（又称性能指标或性能泛函或目标泛函 ）目标函数（ ），它是一个衡量 控制作用” 它是一个衡量“ 等），它是一个衡量“控制作用”效果的性能指 标。 （4）容许控制的集合。 ）容许控制的集合。
最优控制理论的形成和发展过程
♦ 贝尔曼（R.E.Bellman）:“动态规划” 贝尔曼（R.E.Bellman） 动态规划” ♦ 庞特里亚金Л·С·Понтрягин:“最大 庞特里亚金Л Понтрягин:“
最优化方法讲稿第一章
第一章 基本概念和预备知识
本章给出与最优化问题相关的基本概念和必要的预备知识， 内容包括最优化问题的几何 解法、多元函数的中值定理和 Taylor 公式、函数取极值的必要条件和充分条件、凸函数和 凸优化问题、最优化算法概述．本章内容是重要的，它是学习以后各章的理论和算法基础． §1 最优化问题及其几何解法 在介绍最优化问题的一般概念之前，为表述的方便，本文将 n 元函数 f ( x1 , x 2 , L , x n ) 视作向量 x = ( x1 , x 2 , L , x n ) T 的实值函数，记为 f ( x ) ． 最优化问题的一般形式是
例 2.3 设 f 在 a ∈ R n 的某邻域 D 内可微， h ∈ R n ，且
ϕ (t ) = f ( a + th) ,
其中 t ∈ R 使得 a + th ∈ D ， （1）求 ϕ ′(t ) ； （2）当 f 在 D 内二阶可微时，求 ϕ ′′(t ) ． 解 （1）记 a = (a1 , a 2 ,L a n ) T ， h = ( h1 , h2 ,L , hn ) T ， a + th = y = ( y1 , y 2 ,L , y n ) T ， 则
是实对称矩阵， b ∈ R ,
n
Байду номын сангаасc ∈ R ，则称(GOP)是二次规划问题．
S = {x ∈ R n | g i ( x) ≥ 0, i = 1,2,L, m; h j ( x) = 0, j = 1,2,L, l},
则称 S 是(GOP)的可行域，称 x ∈ S 是(GOP)的一个可行解（点） ．此时，最优化问题(GOP) 也可以改写为
(GOP)
⎧min ⎪ ⎨ s.t. ⎪ ⎩
最优化理论与算法(第一章)
最优化理论与算法（数学专业研究生）第一章 引论§1.1引言一、历史与现状最优化理论最早可追溯到古老的极值问题，但成为一门独立的学科则是在20世纪四十年代末至五十年代初。
其奠基性工作包括FritzJohn 最优性条件（1948），Kuhn-Tucker 最优性条件（1951），和Karush 最优性条件(1939)。
近几十年来最优化理论与算法发展十分迅速，应用也越来越广泛。
现在已形成一个相当庞大的研究领域。
关于最优化理论与方法，狭义的主要指非线性规划的相关内容，而广义的则涵盖：线性规划、非线性规划、动态规划、整数规划、几何规划、多目标规划、随机规划甚至还包括变分、最优控制等动态优化内容。
本课程所涉及的内容属于前者。
二、最优化问题的一般形式 1、无约束最优化问题min ()nx Rf x ∈ （1.1） 2、约束最优化问题min ()()0, ..()0, i i f x c x i E s t c x i I=∈⎧⎨≥∈⎩ （1.2）这里E 和I 均为指标集。
§1.2数学基础一、范数 1.向量范数max i xx ∞=（l ∞范数） （1.3）11ni i x x ==∑（1l 范数） （1.4）12221()ni i x x ==∑（2l 范数） （1.5）11()np pi pi x x ==∑（p l 范数） （1.6）12()TAxx Ax =（A 正定） （椭球范数） （1.7）事实上1－范数、2－范数与∞-范数分别是 p －范数当 p ＝1、2和p →∞时情形。
2．矩阵范数定义1.1方阵A 的范数是指与A 相关联并记做A 的一个非负数，它具有下列性质： ①对于0A ≠都有0A >，而0A =时0A =； ②对于任意k R ∈，都有kA k A =； ③A B A B +≤+； ④AB A B ≤； 若还进一步满足： ⑤pp AxA x ≤则称之为与向量范数p 相协调（相容）的方阵范数。
最优化第一部分
3.由目标函数个数分：若模型中只有一个目标函数，则称为单 目标规划；若模型中有两个极其以上的目标函数，则称为多 目标规划.
最优化理论与方法 第一部分 绪论
二、最优化问题的基本概念
1. 最优化问题的向量表示 研究最优化问题，一般都采用向量表示，例如决策变量
x1 , x2 , , xn 可以看作是n维向量空间Rn中的一个向量x的n个
学科交叉的方法 , 具有综合性 . 最优化方法从一开始就是由
于不同学科专长、多方面专家经过共同协作集体努力而获得 成果. 现在 , 由于研究对象的复杂性和多因素性 , 决定了最优 化方法内容的跨学科性、交叉渗透性和综合性.
最优化理论与方法 第一部分 绪论
(3) 最优化方法研究和解决问题的方法具有显著的系统分析特 征 , 其各种方法的运用 , 几乎都需要建立数学模型和利用计算 机求解 . 可以说，没有计算机的发展就没有最优化方法的发展. (4) 最优化方法具有强烈的实践性和应用的广泛性 . 最优化方
工时/h
3 10 300
用电能量/kw— h
4 5 200
利润/元
60 120
解: 这是一个简单的生产计划问题, 可归结为在满足各项生产 条件的基础上, 合理安排两种产品每天的生产量, 以使利润最 大化的最优化设计问题.
最优化理论与方法 第一部分 绪论
设每天生产甲产品x1件, 乙产品x2 件, 每天获得的利润用函数 f (x1, x2)表示, 即:
或
x ( x1 , x2 , , xn )T
矩阵相等：设 x ( x1 , x2 , , xn )T , y ( y1 , y2 , , yn )T , 如果对一切 1 i n , 都有 x y , 则称向量x与y相等，记作 i i
最优化理论与方法 第一部分 绪论
二、最优化问题的基本概念
1. 最优化问题的向量表示 研究最优化问题，一般都采用向量表示，例如决策变量
x1 , x2 , , xn 可以看作是n维向量空间Rn中的一个向量x的n个
学科交叉的方法 , 具有综合性 . 最优化方法从一开始就是由
于不同学科专长、多方面专家经过共同协作集体努力而获得 成果. 现在 , 由于研究对象的复杂性和多因素性 , 决定了最优 化方法内容的跨学科性、交叉渗透性和综合性.
最优化理论与方法 第一部分 绪论
(3) 最优化方法研究和解决问题的方法具有显著的系统分析特 征 , 其各种方法的运用 , 几乎都需要建立数学模型和利用计算 机求解 . 可以说，没有计算机的发展就没有最优化方法的发展. (4) 最优化方法具有强烈的实践性和应用的广泛性 . 最优化方
工时/h
3 10 300
用电能量/kw— h
4 5 200
利润/元
60 120
解: 这是一个简单的生产计划问题, 可归结为在满足各项生产 条件的基础上, 合理安排两种产品每天的生产量, 以使利润最 大化的最优化设计问题.
最优化理论与方法 第一部分 绪论
设每天生产甲产品x1件, 乙产品x2 件, 每天获得的利润用函数 f (x1, x2)表示, 即:
或
x ( x1 , x2 , , xn )T
矩阵相等：设 x ( x1 , x2 , , xn )T , y ( y1 , y2 , , yn )T , 如果对一切 1 i n , 都有 x y , 则称向量x与y相等，记作 i i
最优化理论——精选推荐
最优化理论课程名称：最优化理论英文译名：Optimization Theory课程编码：070102X07适用专业：信息与计算科学课程类别：专业选修学时数：64 学分：4编写执笔人：余东明审定人：高仕龙编写日期：2005/04/15一、课程的性质、目的和任务最优化理论是现代应用数学的一个重要分支，是一门应用广泛、实用性强的学科。
它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。
通过最优化理论和方法的学习，使学生得到良好的数学训练，培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力。
二、课程教学内容及教学基本要求：第一章概述（2学时）1、教学内容：学科简述，线性规划与非线性规划问题。
2、教学目的及要求：了解学科发展历程。
理解优化理论包含的内容。
掌握线性规划与非线性规划的定义，形式和性质。
第2 章凸集与凸函数（4学时）1、教学内容：凸集，凸函数。
2、教学目的及要求：了解本学科的研究内容、重要进展及发展趋势。
理解凸集、凸函数等基本概念，凸集，凸函数的几何意义。
掌握凸集、凸函数等基本概念，定理和判定理。
第3 章线性规划的基本性质（4学时）1、教学内容：标准形式及图解法，基本性质。
2、教学目的及要求：了解线性规划解的方法与计算机实现方法。
理解与线性规划有关的定理，性质。
掌握线性规划的性质，涉及相关的定理，计算方法。
第4章单纯形方法（6学时）1、教学内容：单纯形方法，两阶段法与大M法，退化情形，修正单纯形法，变量有界的情形，分解算法。
2、教学目的及要求：了解解的有效性和时间性。
理解变量有界的情形，分解算法。
掌握线性规划的基本性质、单纯形法、修正单纯形法，对偶理论等线性规划的基本理论和方法。
第5章对偶原理及灵敏度分析（6学时）1、教学内容：线性规划中的对偶理论，对偶单纯形法，原始—对偶算法，灵敏度分析。
2、教学目的及要求：了解对偶理论和灵敏度分析的作用和意义。
理解有关算法收敛性的理论。
掌握线性规划中的对偶理论，对偶单纯形法算法和原始—对偶算法，并能借助算法进行一些计算。
最优化理论与方法概述
x 的二阶偏导
2 f X 2 f X x2x1 xnx1 2 f X 2 f X 2 x n x 2 x2 2 2 fX f X 2 x 2 x n x n
定义1：整体（全局）最优解：若x* D，对于一切 x D ， 恒有 f x* f x 则称 x *是最优化问题的整体最优解。
) 定义2：局部最优解：若 x* D，存在某邻域 N ( x* ，使得对于 * 一切 x N ( x* ) D ，恒有 f x f x 则称 x *是最优化问题 的局部最优解。其中 N ( x* ) { x | x x* , 0}
例：求目标函数 f ( x) x12 x22 x32 2 x1 x2 2 x2 x3 3x3 的梯度和Hesse矩阵。 f X f X 解：因为 2 x1 2 x2 2 x2 2 x1 2 x3 3 x
1
x2
f X 2 x3 2 x2 x3
f x f x0 f x0 ( x x0 )
T
1 ( x x0 )T 2 f x0 ( x x0 ) o(|| x x0 ||2 ) 2
4、极小点及其判定条件
对于一元连续可微函数 ( ) ，有如下最优性条件：
(i )
（一阶必要条件） 若 *为 ( ) 的局部极小点，则 ( * ) 0 ；
T 2
t f X 0 tp p
T
3、 多元函数的Taylor展开
多元函数Taylor展开式在最优化理论中十分重要。 许多方法及其收敛性的证明都是从它出发的。
1 定理：设 f : Rn R具有二阶连续偏导数。则：
最优化理论与方法第一章资料
数学模型：
minf (x) s.t.g(x)0,
xD.
目标函数 约束函数 有限点,决 集策变量
7
1.1 组合优化问题
组合优化问题的三参数表示：
(D,F, f ) D:决策变量定义域
Fx| xD,g(x)0,可行域 ,有限点集
f :目标函数 xF:可行解（点）
x :最优解，如x果 F, f (x)minf (x)| xF.
其中
(1.4) 总 路 长 (1.5) 只 从 城 市 i出 来 一 次 (1.6) 只 走 入 城 市 j一 次
, n , (1.7) 在 任 意 城 市 子 集 中 不 形 成 回 路
(1.8) 决 策 变 量
dij:城 市 i与 城 市 j之 间 的 距 离 , s :集 合 s中 元 素 的 个 数 ，
从算法中选取一种对于所研究的问 题来说是 基本操作 的原操作，以该 基本操作 在算法中重复执行的次数 作为算法运行时间的衡量准则。
1.3 计算复杂性的概念
算法计算量的度量之例——TSP枚举法
计算量的统计： 城市数n 第一城市为始终点，计算一条路径（ 1,i2, ,in,1） 长度的基本运算 为两两城市间距离的n个数求和,共有(n1)!条路径,
（3）更新被除数和除数：m←n，n←r，转(1)。
解二.
开始
输入m、n
r=m%n
r=0?
是
否
m←n，n←r
输出n
解三.
Euclid(int m, int n) { int r; while(n!=0)
{ r=m%n; m=n; n=r; }
printf(“%d”, m) }
1.3 计算复杂性的概念
1．有穷性 对于任意一组合法输入值，在 执行有穷步骤之后一定能结束，即： 算法中的每个步骤都能在有限时间内完成；
minf (x) s.t.g(x)0,
xD.
目标函数 约束函数 有限点,决 集策变量
7
1.1 组合优化问题
组合优化问题的三参数表示：
(D,F, f ) D:决策变量定义域
Fx| xD,g(x)0,可行域 ,有限点集
f :目标函数 xF:可行解（点）
x :最优解，如x果 F, f (x)minf (x)| xF.
其中
(1.4) 总 路 长 (1.5) 只 从 城 市 i出 来 一 次 (1.6) 只 走 入 城 市 j一 次
, n , (1.7) 在 任 意 城 市 子 集 中 不 形 成 回 路
(1.8) 决 策 变 量
dij:城 市 i与 城 市 j之 间 的 距 离 , s :集 合 s中 元 素 的 个 数 ，
从算法中选取一种对于所研究的问 题来说是 基本操作 的原操作，以该 基本操作 在算法中重复执行的次数 作为算法运行时间的衡量准则。
1.3 计算复杂性的概念
算法计算量的度量之例——TSP枚举法
计算量的统计： 城市数n 第一城市为始终点，计算一条路径（ 1,i2, ,in,1） 长度的基本运算 为两两城市间距离的n个数求和,共有(n1)!条路径,
（3）更新被除数和除数：m←n，n←r，转(1)。
解二.
开始
输入m、n
r=m%n
r=0?
是
否
m←n，n←r
输出n
解三.
Euclid(int m, int n) { int r; while(n!=0)
{ r=m%n; m=n; n=r; }
printf(“%d”, m) }
1.3 计算复杂性的概念
1．有穷性 对于任意一组合法输入值，在 执行有穷步骤之后一定能结束，即： 算法中的每个步骤都能在有限时间内完成；
最优化理论与方法第一章
约束条件的处理方法
转化法
将约束条件转化为无约束的形式，通过引入新的变量或等价变换，将约束问题转化为无 约束问题求解。
参数法
将约束条件作为参数引入目标函数中，构造新的目标函数，通过求解新的目标函数得到 最优解。
约束优化问题的求解方法
拉格朗日乘子法
通过引入拉格朗日乘子，将约束优化问题转 化为无约束优化问题，通过求解无约束优化 问题得到最优解。
最优化问题广泛应用于各个领域，如 经济、工程、科学计算等，是解决资 源分配、生产调度、投资决策等实际 问题的关键工具。
分类
线性与非线性
根据目标函数是否为线性函数，可以 分为线性最优化和非线性最优化问题 。线性最优化问题是指目标函数和约 束条件都是线性函数的问题，而非线 性最优化问题则是指目标函数或约束 条件中至少有一个是非线性函数的问 题。
最优化理论与方法在各个领域都有广 泛的应用，如经济、金融、工程、物 流等。随着科技的发展和大数据时代 的到来，最优化理论与方法在数据挖 掘、机器学习等领域也发挥着越来越 重要的作用。
掌握最优化理论与方法对于提高个人 和组织的竞争力具有重要意义，也是 当前社会对高素质人才的基本要求之 一。
章节概述
本章将介绍最优化理论与方法的基本概念、原理和应用，包括线性规划、非线性规划、动态规划、整 数规划等。
03
最优化方法概述
一阶方法：梯度法、最速下降法等
梯度法
基于目标函数的梯度信息，通过沿着负梯度的方向搜索，寻找函数的最小值。适用于目标函数连续且可微的情况。
最速下降法
利用目标函数的负梯度方向作为搜索方向，逐步逼近函数的最小值点。适用于凸函数或非凸函数，但需要满足一 定的收敛条件。
二阶方法：牛顿法、拟牛顿法等
最优化理论和方法-第一章 引言
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
注2. 数据拟合、参数估计、回归分析等许多问题中 均涉及此类优化问题.有专用的算法求解.(5.4节)
或者
(见习题7.19)
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
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变分法的例子
例3 图像处理的偏微分方程法 L.I. Rudin. Nonlinear total variation based noise removal algorithm, Physica D: Nonlinear Phenomena, 1992,60(1-4):259-268
优化研究之数学规划和科学计算角度
• 数学规划层面
➢ 重点研究“优化问题和算法的基本性质”. ➢ 核心问题：解的存在性及描述、算法的收敛性和收敛速
度等.
• 科学计算层面
➢ 受数学性质和(为了有效和实用目的)实现的强烈影响. ➢ 研究问题：数值稳定性、算法步骤的病态性、计算复杂
度等.
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
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优化研究之运筹和工程角度
• 运筹层面
➢ 主要关注优化问题的表述并研发求解策略，通常使 用已经研究好的算法或者成熟软件.
➢ 这个层次碰到的许多问题含有线性约束和离散变量.
• 工程层面
➢ 将优化策略应用到具有挑战性的(通常定义的很差 的)实际问题中.
➢ 这个层次的优化知识混杂了可应用方法的有效性和 可靠性，主要研究内容：解的分析，求解方法失败 的诊断及恢复.
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
最优化方法第1章第1节1
2021/5/17
最优化方法
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1.1 最优化问题简介
17、凸规划
如果最优化问题的目标函数是凸的，可行 域是凸集，则问题的任何最优解（不一定 唯一）必是全局最优解，这样的最优化问 题称为凸规划。
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最优化方法
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1.2 凸集和凸函数
• （一）凸集
1、凸集的定义
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最优化方法
8. 非线性最优化
模型（1.1.1）中的函数中有一个关于x是非线性的，就称为非线性最优 化问题。
9. 可行点（feasible point）
10.可行域（feasible region） 所有可行点的全体称为可行域。
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最优化方法
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1.1 最优化问题简介
11、有效约束（active constraint）和无效约束（inactive constraint）
2
举例
例2：某单位拟建一排四间的车库，平面位置 如图所示．由于资金及材料的限制，围墙和隔 墙的总长度不能超过40m，为使车库面积最大， 应如何选择长、宽尺寸？
x1
x2
图1.1
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最优化方法
3
举例
解： 设四间车库长为 x 1 ，宽为 x 2 .由题意可知面积为
f(x1， x2)x1x2
转 换 成 h (x ) 0 的 不 等 式 约 束 形 式 。
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最优化方法
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1.1 最优化问题简介
• 最优化问题的划分（根据不同的性质对最 优化有不同的划分）：
离 散 最 优 化 （ 组 合 最 优 化 ） 整 数 规 划 ， 资 源 配 置 等 最 优 化 连 续 最 优 化 光 滑 最 优 化 非 线 光 性 滑 规 非 最 划 线 优 （ 性 化 线 最 性 优 最 化 优 化 ）