高中数学必修5---等差数列
等差数列
1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 例1．根据数列前4项，写出它的通项公式：
（1）1，3，5，7……；
（2）2212-，2313-，2414
-，2515-；
（3）11*2-
，12*3，13*4-，14*5
。 解析：（1）n a =21n -； （2）n a = 2(1)1
1
n n +-+； （3）n a = (1)(1)n n n -+。
点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，
这对考生的归纳推理能力有较高的要求。
如（1）已知*2()156
n n
a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ ；
（2）数列}{n a 的通项为1
+=bn an
a n ，其中
b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系
为___；
（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围；
2、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。
例2．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ）
A.等比数列，但不是等差数列
B.等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，而且也是等比数列
D.既非等比数列又非等差数列
答案：B ； 解法一：a n =???≥-==???
?≥-=-)2( 12)
1( 1)
2( )1( 11n n n a n S S n S n n n
∴a n =2n －1（n ∈N ）
又a n +1－a n =2为常数，1
21
21-+=
+n n a a n n ≠常数
∴{a n }是等差数列，但不是等比数列.
解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n 的二次函数，则这个数列一定是等差数列。
点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式a n =S n －S n －1的推理能力.但不要忽略a 1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活。
练一练：设{}n a 是等差数列，求证：以b n =
n
a a a n
+++Λ21 *n N ∈为通项公式的数列
{}n b 为等差数列。
3、等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
4、等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=
，1(1)
2
n n n S na d -=+。 例3：等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值是一个确定的常数，则数列{a n }中也为常数的项是( )
A ．S 7
B ．S 8
C ．S 13
D ．S 15
解析：设a 2＋a 4＋a 15＝p (常数)，
∴3a 1＋18d ＝p ，解a 7＝1
3
p .
∴S 13＝
13×(a 1＋a 13)2＝13a 7＝13
3
p .
答案：C
例4．等差数列{a n }中，已知a 1＝1
3
，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为( )
A ．48
B ．49
C ．50
D ．51
解析：∵a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝4，则由a 1＝13得d ＝23，令a n ＝33＝13＋(n －1)×2
3
，可解得
n ＝50.故选C.
答案：C
如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = ；
（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ；
例5：设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________.
解析：S 9＝9a 5＝－9，
∴a 5＝－1，S 16＝8(a 5＋a 12)＝－72. 答案：－72
例6：已知数列{a n }为等差数列，若a 11
a 10
<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0
的n 的最大值为( )
A ．11
B ．19
C ．20
D ．21
解析：∵a 11
a 10
<－1，且S n 有最大值，
∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，
∴S 19＝19(a 1＋a 19)
2
＝19·a 10>0，
S 20＝
20(a 1＋a 20)
2
＝10(a 10＋a 11)<0. 所以使得S n >0的n 的最大值为19，故选B. 答案：B
如（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和15
2
n S =-，则1
a ＝＿，n ＝ ；
（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T .
5、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2
a b
A +=
。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、
n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出
其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，
3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）
6.等差数列的性质：
（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222
n n n d d
S na d n a n -=+
=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.
（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有
2m n p a a a +=.
（4）若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、
*{}(,)p nq a p q N +∈、
232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.
练一练：等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和
为 。
（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，
S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-?中（这里a 中即n a ）；:(1):奇偶S S k k =+。
练一练：项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数.
（6）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且
()n
n
A f n
B =，则21
21
(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. 练一练：设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若
3
41
3-+=
n n T S n n ，那么=n n b a ___________；
(7)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组
???
? ?????≥≤???≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
练一练：等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值；
例7．（1）设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．的是（ ） A.d ＜0 B.a 7＝0 C.S 9＞S 5
D.S 6与S 7均为S n 的最大值 （2）等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）
A.130
B.170
C.210
D.260 解析：（1）答案：C ；
由S 50， 又S 6=S 7，∴a 1+a 2+…+a 6=a 1+a 2+…+a 6+a 7，∴a 7=0，
由S 7>S 8，得a 8<0，而C 选项S 9>S 5，即a 6+a 7+a 8+a 9>0?2（a 7+a 8）>0， 由题设a 7=0，a 8<0，显然C 选项是错误的。 （2）答案：C
解法一：由题意得方程组???????=-+=-+100
2
)12(22302)1(11d m m ma d m m ma ， 视m 为已知数，解得2
12)2(10,40m m a m d +==
， ∴21040
2)13(3)2(1032)13(332
2113=-++=-+
=m
m m m m m d m ma ma S m 。 解法二：设前m 项的和为b 1，第m +1到2m 项之和为b 2，第2m +1到3m 项之和为b 3，
则b 1，b 2，b 3也成等差数列。
于是b 1=30，b 2=100－30=70，公差d =70－30=40。 ∴b 3=b 2+d =70+40=110
∴前3m 项之和S 3m =b 1+b 2+b 3=210.
解法三：取m =1，则a 1=S 1=30，a 2=S 2－S 1=70，从而d =a 2－a 1=40。
于是a 3=a 2+d =70+40=110.∴S 3=a 1+a 2+a 3=210。
等差数列课后练习
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。
1．若a ≠b,数列a,x 1,x 2 ,b 和数列a,y 1 ,y 2 ,b 都是等差数列，则 =--1
21
2y y x x
（ ）
A ．4
3
B ．
3
2
C ．1
D ．
3
4 2．在等差数列{}n a 中，公差d ＝1，174a a +＝8，则20642a a a a ++++Λ＝ （ ）
A ．40
B ．45
C ．50
D ．55
3．等差数列{}n a 的前三项为1,1,23x x x -++，则这个数列的通项公式为 （ ）
A ．21n a n =+
B ．21n a n =-
C ．23n a n =-
D ．25n a n =-
4．在等差数列||,0,0}{10111110a a a a a n >><且中，则在S n 中最大的负数为 （ ）
A ．S 17
B ．S 18
C ．S 19
D ．S 20
5．已知等差数列的首项为31,若此数列从第16项开始小于1，则此数列的公差d 的
取值范围是 （ ）
A ．(－∞,－2)
B ．[－715, －2]
C ．(－2, +∞)
D ．(—715
,－2)
6．在等差数列}{n a 中，若30,240,1849===-n n a S S ，则n 的值为 （ ）
A ．18
B17．
C ．16
D ．15
7．等差数列}{n a 中，110052515021,2700,200a a a a a a a 则=+++=+++ΛΛ等于（ ） A ．－20．5
B ．－21．5
C ．－1221
D ．－20
8．已知某数列前n 项之和3n 为，且前n 个偶数项的和为)34(2+n n ，则前n 个奇数项的和为
（ ）
A ．)1(32+-n n
B ．)34(2-n n
C ．23n -
D ．32
1
n
9．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146所有项的和为234，则它的第七项等于 （ ） A ．22 B ．21 C ．19 D ．18
10．等差数列{}n a 中，n a 2110m m
m a a a -+-+=≠0，若ｍ＞1且2110m m m a a a -+-+=，2138m S -=，则ｍ的值是 （ ）
A ． 10
B ． 19
C ．20
D ．38
二、填空题：请把答案填在题中横线上。
11．已知}{n a 是等差数列，且,13,77,57146541074==++++=++k a a a a a a a a 若K 则
k = .
12．在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列，则=++2
tan 2tan 32tan 2tan
C
A C A . 13．在等差数列}{n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -= . 14．n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，542,30n a a -==(n ≥5，*n N ∈)，n S =336，则
n 的值是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．己知}{n a 为等差数列，122,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和
原数列的数构成一个新的等差数列，求： （1）原数列的第12项是新数列的第几项？ （2）新数列的第29项是原数列的第几项？
16．数列{}n a 是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。 （1）求数列公差； （2）求前n 项和n s 的最大值； （3）当0>n s 时，求n 的最大值。
17．设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求： （1）}{n a 的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ； （2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.
18．已知数列{}n a ，首项a 1 =3且2a n+1=S n ·S n －1 (n ≥2). （1）求证：{
n
S 1
}是等差数列,并求公差；（2）求{a n }的通项公式； （3）数列{a n }中是否存在自然数k 0,使得当自然数k ≥k 0时使不等式a k >a k+1对任
意大于等于k 的自然数都成立,若存在求出最小的k 值,否则请说明理由.
答案：
选择题：ABCCB DABDA
填空题：11．8； 12．3； 13．24； 14．21.
解答题：
15．分析：应找到原数列的第n 项是新数列的第几项，即找出新、旧数列的对应关系。 解：设新数列为{},4,)1(,3,2,1512511d b b d n b b a b a b b n n +=-+=====有根据则
即3=2+4d ，∴1
4d =
，∴172(1)44
n n b n +=+-?= 1(43)7(1)114
n n a a n n -+=+-?=+=
Q 又，∴43n
n a
b -=
即原数列的第n 项为新数列的第4n －3项．
（1）当n=12时，4n －3=4×12－3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项； （2）由4n －3=29,得n=8，故新数列的第29项是原数列的第8项。
说明：一般地，在公差为d 的等差数列每相邻两项之间插入m 个数,构成一个新
的等差数列，则新数列的公差为.1
+m d 原数列的第n 项是新数列的第n+(n
－1)m=(m+1)n －m 项．
16．解： （1）231=a Θ， 06>a ，07 ∴ 115060 a d a d +>?? + 23 523-<<- d d Θ为整数， ∴ 4d =-. （2）)4(2 )1(23-?-+=n n n s n =23)1(2--n n n =－2n n 252+ =－2 625)4 25(22+-n ∴当6=n 时n s 最大=78 （3）02522>+-=n n s n 时，02 25< 17．分析：通过解方程组易求得首项和公差，再求a n 及S n ；解答②的关键在于判断项的变化趋势。 解：设等差数列首项为a 1，公差为d ，依题意得?? ?-=+-=+75 156626411d a d a 解得：a 1=－20,d=3。 ⑴2 )23320(2 )(,233)1(11-+-=+=-=-+=n n n a a S n d n a a n n n 2343 22 n n =- ； ⑵{}120,3,n a d a n =-=∴Q 的项随着的增大而增大 12023 00,3230,3(1)230,(),7,733 k k a a k k k k Z k +≤≥-≤+-≥∴ ≤≤∈=设且得且即第项之前均为负数 ∴ 123141278914||||||||()()a a a a a a a a a a ++++=-+++++++L L L 1472147S S =-=. 18．分析：证? ?????n S 1为等差数列，即证 d S S n n =--1 11（d 是常数）。 解：⑴由已知当2n ≥时 111111112()1112:2()(2).1(2) 211111 { },32 n n n n n n n n n n n n n n S S a S S S S S S n n S S S S d S S a -------=?-=?≥?=?-=-≥?===-得是以为首项公差的等差数列。⑵ 11111536(1)(1)(),(2)32653n n n n d n S n S S n -=+-=+--=∴=≥-Q 13(1) 118(2)182(35)(38)(2)(35)(38)n n n n n a S S n a n n n n n -?=?=?=≥=?--≥? --? 从而，因此 ⑶11258 0,(32)(35)(38)03,3333,3k k k k a a k k k k k k a a ++->---><<>=>令即，可得或。故只需取则对大于或等于的一切自然数总有成立这样的自然数存在最小值。 高一数学必修5第二章数列测试卷 2010-3-26 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，) 1．如图,这是一个正六边形的序列,则第(n)个图形的边数为（）. A. 5n-1 B. 6n C. 5n+1 D.4n+2 2．在等比数列{}n a中T n表示前n项的积，若T5 =1，则（） A．1 3 = a B．1 1 = a C．1 4 = a D．1 5 = a 3. 如果 128 ,,, a a a为各项都大于零的等差数列，公差0 d≠，则 ( ) A、 5 4 8 1 a a a a>B、 5 4 8 1 a a a a=C、 1845 a a a a +>+D、5 4 8 1 a a a a< 4．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于（） A. 22 B. 21 C. 19 D. 18 5．数列{a n}中, 1 a=1 ,对于所有的n≥2,n∈N*都有2 123n a a a a n ????=,则 35 a a +等于( ) A. 16 61 B. 9 25 C. 16 25 D. 15 31 6．设} {n a) (N n∈是等差数列，n S是其前n项的和，且6 5 S S<，8 7 6 S S S> =，则下列结论错误的是（） A．0 < d B．5 9 S S> C．0 7 = a D．6S与7S是n S的最大值 7．等差数列} { n a共有1 2+ n项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为（）. A. 28 B. 29 C. 30 D.31 8、在等比数列{}n a中,12 a=,前n项和为 n S,若数列{}1 n a+也是等比数列,则 n S等于 A.1 22 n+- B.3n C.2n D.31 n- 9、设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，若 S3 S6＝ 1 3，则 S6 S12＝( ) （A） 3 10（B） 1 3（C） 1 8（D） 1 9 高中数学必修5第三章不等式题组训练 [基础训练A 组] 一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．若02522>-+-x x ，则221442 -++-x x x 等于（ ） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- 2．函数y ＝log 2 1（x ＋ 1 1+x ＋1） （x > 1）的最大值是 （ ） A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 3．不等式x x --213≥1的解集是 ( ) A ．{x| 4 3≤x ≤2} B ．{x| 4 3≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤4 3} D ．{x|x ＜2} 4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ． b a 11< B ． b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 5．如果实数x,y 满足x 2 ＋y 2 =1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( ) A ．最小值21和最大值1 B ．最大值1和最小值 4 3 C ．最小值 4 3而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小, 则a 的取值范围是 ( ) A ．－3＜a ＜1 B ．－2＜a ＜0 C ．－1＜a ＜0 D ．0＜a ＜2 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式组?? ?->-≥3 2x x 的负整数解是____________________。 2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30， 则这个两位数为____________________。 3．不等式 0212 <-+x x 的解集是__________________。 4．当=x ___________时，函数)2(2 2x x y -=有最_______值，其值是_________。 5．若f(n)=)(21)(,1)(,12 2 N n n n n n n g n n ∈= -- =-+?,用不等号 连结起来为____________. 高中数学必修五第一章教案 1．1.1 正弦定理 1．1.2 余弦定理 1．角度问题 1．三角形中的几何计算 1．正弦定理和余弦定理-章末归纳提升 1．2应用举例距离和高度问题 1．1.1 正弦定理 高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日 【问题导思】 正弦定理 1．如图在Rt △ABC 中，C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，∠A 、∠B 与∠C 的正弦值有怎样的关系？ 【提示】 ∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c ， ∴ a sin A ＝b sin B ＝c . 又∵sin C ＝sin 90°＝1，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C . 2．对于锐角三角形中，问题1中的关系是否成立？ 【提示】 成立． 3．钝角三角形中呢？ 【提示】 成立． 1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即： a sin A ＝ b sin B ＝c sin C . 2．三角形中的元素与解三角形 (1)三角形的元素 把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素． (2)解三角形 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．(对应学生用书第3页)知识运用 已知两角及一边解三角形 例1在△ABC 中，A ＝60°，sin B ＝1 2 ，a ＝3，求三角形中其他边与角的大小． 【思路探究】 (1)由sin B ＝1 2能解出∠B 的大小吗？∠B 唯一吗？ (2)能用正弦定理求出边b 吗？ (3)怎样求其他边与角的大小？ 【自主解答】 ∵sin B ＝1 2， ∴B ＝30°或150°， 高中数学必修5 第二章数列测试题 一、选择题(每题5分,共50分) 1、{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A 、667 B 、668 C 、669 D 、670 2、在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A 、33 B 、72 C 、84 D 、189 3、如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( ) A 、a 1a 8＞a 4a 5 B 、a 1a 8＜a 4a 5 C 、a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D 、a 1a 8＝a 4a 5 4、已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则｜m －n ｜等于( ) A 、1 B 、43 C 、2 1 D 、83 5、等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A 、81 B 、120 C 、168 D 、192 6、若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( ) A 、4 005 B 、4 006 C 、4 007 D 、4 008 7、已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A 、－4 B 、－6 C 、－8 D 、－10 8、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝9 5，则59S S ＝( )． A 、1 B 、－1 C 、2 D 、2 1 9、已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a -的值是( )． A 、21 B 、－21 C 、－21或2 1 D 、41 10、在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A 、38 B 、20 C 、10 D 、9 二、填空题(每题6分,12题15分,16题10分,共49分) 11、设f (x )＝221 +x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0) ＋…＋f (5)＋f (6)的值为 . 第三章：不等式 1、0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -?<；②,a b b c a c >>?>；③a b a c b c >?+>+； ④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>；⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >； ⑧)0,1a b n n >>?>∈N >． 3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式． 4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： 判别式24b ac ? =- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ ()0a >的图象 一元二次方程2 0ax bx c ++= ()0a >的根 有两个相异实数根 1,22b x a -= ()12x x < 有两个相等实数根 122b x x a ==- 没有实数根 一元二次不等式的解集 20ax bx c ++> ()0a > {} 1 2 x x x x x <>或 2b x x a ??≠-???? R 20ax bx c ++< ()0a > {}1 2x x x x << ? ? 5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式． 6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组． 7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对(),x y 构成的集合． 8、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． 高中数学必修五第一章知识点总结 一．正弦定理（重点） １．正弦定理 （１）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ==sin sin sin a b c A B C =２Ｒ（其中Ｒ是该三角形外接圆的半径） （２）正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． ２．正弦定理的应用（重难点） （１）已知任意两角与一边：有三角形的内角和定理，先算出第三个角，再有正弦定理计算出另两边 （２）已知任意两边与其中一边的对角：先应用正弦定理计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边与角（注意：这种情况可能出现解的个数的判断问题，一解，两解，或无解） （３）面积公式 111s i n s i n s i n 222C S b c a b C a c ?A B =A ==B 二余弦定理（重点） １．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即 222 2cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 应用：已知三角形的两边及其夹角可以求出第三边 ２．推论 222 cos 2b c a bc +-A =， 222 cos 2a c b ac +-B =， 222 cos 2a b c C ab +-= 数列知识点总结 一、等差数列与等比数列 等差数列 等比数列 定义 1+n a -n a =d n n a a 1 +=q(q ≠0) 通项公式 n a =1a +（n-1）d n a =1a 1-n q (q ≠0) 递推公式 n a =1-n a +d, n a =m a +(n-m)d n a =1-n a q n a =m a m n q - 中项 A=2b a + 推广：A=2a k n k n a +-+（n,k ∈N + ;n>k>0） ab G =2。推广：G=k n k n a a +-±（n,k ∈N + ;n>k>0） 。任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中 项一定有两个 前n 项和 n S =2 n （1a +n a ） n S =n 1a + 2 ) 1(n -n d n S = q q a n --11() 1 n S =q q a a n --11 性质 （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为 a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） （6）d= n m a n m --a (m ≠n) (7)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列 （1）若m n p q +=+，则 m n p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍 为等比数列,公比为n q 二、求数列通项公式的方法 1、通项公式法：等差数列、等比数列 2、涉及前ｎ项和S n 求通项公式，利用a n 与S n 的基本关系式来求。即 例1、在数列｛n a ｝中，n S 表示其前ｎ项和，且2 n n S =,求通项n a . 例2、在数列｛n a ｝中，n S 表示其前ｎ项和，且n n a 32S -=,求通项n a 3、已知递推公式，求通项公式。 （1）叠加法：递推关系式形如()n f a a n 1n =-+型 ???≥-===-) 2() 1(111n s s n a s a n n n 高中数学必修5第三章测试题 一、 选择题 1．设a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( ) A .a ＞b ?a －c ＞b －c B.a ＞b ?ac ＞bc C.a ＞b ?a 2＞b 2 D. a ＞b ?ac 2＞bc 2 2．不等式02<-+y x 表示的平面区域在直线20x y +-=的（ ） A.右上方 B.左上方 C.右下方 D .左下方 3．不等式5x ＋4＞－x 2的解集是( ) A .{x |x ＞－1，或x ＜－4} B.{x |－4＜x ＜－1} C.{x |x ＞4，或x ＜1} D. {x |1＜x ＜4} 4．设集合{}20<≤=x x M ，集合{ } 0322 <--=x x x N ，则集合N M ?等于（ ）。 A.{}10≤≤x x B .{}20<≤x x C.{}10<≤x x D. {} 20≤≤x x 5．函数2 41x y -= 的定义域是( ) A .{x |－2＜x ＜2} B.{x |－2≤x ≤2} C.{x |x ＞2，或x ＜－2} D. {x |x ≥2，或x ≤－2} 6．二次不等式2 0ax bx c ++> 的解集是全体实数的条件是（ ）. A ．00a >???>? B ．00a >???? D ．00a --x x 的解集是（ ） A.{}32> 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 一、基础过关 1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 ( ) A ．异面 B ．平行 C ．相交 D ．以上都有可能 2．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则有 ( ) A ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′ B ．∠BA C ＋∠B ′A ′C ′＝180° C ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′或∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180° D ．∠BAC ＞∠B ′A ′C ′ 3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是 ( ) A ．空间四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 4．“a 、b 为异面直线”是指： ①a ∩b ＝?，且aD \∥b ；②a ?面α，b ?面β，且a ∩b ＝?；③a ?面α，b ?面β，且α∩β＝?；④a ?面α，b ?面α；⑤不存在面α，使a ?面α，b ?面α成立． 上述结论中，正确的是 ( ) A ．①④⑤ B ．①③④ C ．②④ D ．①⑤ 5．如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是________． 6．已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中： (1)BC ′与CD ′所成的角为________； (2)AD 与BC ′所成的角为________． 7．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12 AD ， BE 綊12 F A ， G 、 H 分别为F A 、FD 的中点． (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ 8．如图，正方体ABCD －EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心，求： (1)BE 与CG 所成的角； (2)FO 与BD 所成的角． 高中数学必修五第一章复习测试卷 一、选择题： 1.在△ABC 中，一定成立的等式是 ( ) =b sinB =b cosB =b sinA =b cosA 2. .在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 A ．b = 10，A = 45°， B = 70° B ．a = 60，c = 48，B = 100° （ ） C ．a = 7，b = 5，A = 80° D ．a = 14，b = 16，A = 45° 3. 在ABC ?中，已知角,3 34,22,45===b c B 则角A 的值是（ ） A ．15° B ．75° C ．105° D ．75°或15° 4．在ABC ?中，若2=a ，22=b ，26+=c ，则A ∠的度数是（ ） A ．?30 B ．?45 C ．?60 D ．?75 5. 若c C b B a A cos cos sin ==则△ABC 为 （ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．有一个内角为30°的直角三角形 D ．有一个内角为30°的等腰三角形 6. 在ABC ?中，已知,,8,45,60D BC AD BC c B 于⊥=== 则AD 长为（ ） A ．1)34-（ B ．1)34+（ C ．3)34+（ D ．)334-（ 7. 钝角ABC ?的三边长为连续自然数，则这三边长为（ ） A ．1、2、3、 B ．2、3、4 C ．3、4、5 D ．4、5、6 8．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶1 C ．1∶3∶2 D ．3∶1∶2 9. 在△ABC 中，090C ∠=，00450< B sin cos B A > C sin cos A B > D sin cos B B > 二、填空题： 1、已知在ABC △中，6,30a c A ===，ABC △的面积S . 2.设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________． 3.在平行四边形ABCD 中，已知310=AB ，?=∠60B ，30=AC ，则平行四边形ABCD 的面积 ． 4．在△ABC 中，已知2cos B sin C ＝sin A ，则 △ ABC 的形状 是 ． 三、解答题： 高一数学知识框架第一章集合与函数概念 第二章基本初等函数（I） 必修二立体几何 第一章空间几何体知识结构如下 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 直观图：斜二测画法 斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面 （3）画侧棱（4）成图 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 知识结构如下 第三章 直线与方程 从代数表示到几何直观（通过方程研究几何性质和度量） 直线的倾斜角概念：当直线l 与x 轴相交时, 取 x 轴作为基准 , x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角 .特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0° 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等， 也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的 大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理1作用：判断直线是否在平面内 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一 个平面。符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一 条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 强调：公理4实质上是说平行具有传递 性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 直线与平面有三种位置关系： 1）直线在平面内：有无数个公共点 2）直线与平面相交： 有且只有一个公共点 3）直线在平面平行： 没有公共点 平面平行：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 平面互相垂直：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 斜率公式： 点到线距离： 平行线距离： 数学5（必修）第二章：数列(A 卷) 一、选择题 1．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 2．等差数列9}{,7,3,}{51第则数列中n n a a a a ==项等于（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 3．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的第4项为（ ） A ．81 B ．243 C ．27 D ．192 4．12+与12-，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ． 2 1 5．已知一等差数列的前三项依次为34,22,++x x x ，那么21是此数列的第（ ）项 A ． 2 B ．4 C ．6 D ．8 6．在公比为整数的等比数列{}n a 中，若,12,64231=+=+a a a a 则该数列的第3项为（ ） A ． 56 B ．512 C ．524 D ．5 48 7. 如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么( ) A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9 8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，,10,141==s a ，则S 5为 ( ) A ．14 B ．15 C ．21 D ．28 9. 数列{}n a 的通项公式n n a n -+= 1，则该数列的前9项之和等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10. 设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a 1a 3 =24 ，则a 1a 2a 3a 4a 5等于( ) A.210 B.220 C.215 D.216 二、填空题 11．数列{n a }是等差数列，47a =，则7s =_________ 12．在等差数列{a n }中，a 2=-5，a 6=a 4+6,则a 1等于______________ 13．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则15a =___________. 14．在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232 =--x x 的两根，则47a a ?=___________. 描述：例题：高中数学必修5(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案 第三章 不等式 3.5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 一、学习任务 1. 能从实际情景中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域 表示二元一次不等式组． 2. 能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 二、知识清单 平面区域的表示 线性规划 非线性规划 三、知识讲解 1.平面区域的表示 二元一次不等式表示的平面区域 已知直线 ：，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面，开半平面 与 的并集叫做闭半平面．以不等式解 为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的 区域或不等式的图象． 对于直线 ： 同一侧的所有点 ，代数式 的符号相同，所 以只需在直线某一侧任取一点 代入 ，由 符号即可判断 出 （或）表示的是直线哪一侧的点集．直线 叫做这 两个区域的边界（boundary）． 二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组所表示区域的确定方法：①直线定界②由几个不等式组成的不等式组所表示的 平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分． l Ax +By +C =0l (x ,y )l Ax +By +C =0(x ,y )Ax +By +C (,)x 0y 0Ax +By +C A +B +C x 0y 0A +B +C >0x 0y 0<0Ax +By +C =0画出下列二元一次不等式表示的平面区域． （1） ；（2）． 解：（1）① 画出直线 ，因为这条直线上的点不满足 ，所以画 成虚线． ② 取原点 ，代入 ，所以原点在不等式 所表示的平 面区域内，不等式表示的区域如图． 3x +2y +6>0y ?3x 3x +2y +6=03x +2y +6>0(0,0)3x +2y +6=6>03x +2y +6>0 解三角形复习知识点 一、知识点总结 【正弦定理】 1．正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R = =2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（4） R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 【余弦定理】 1．余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 2.推论： 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-? = ?? ?+-= ?? . 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若2 2 2 a b c +=，则90C =o ； ②若2 2 2 a b c +>，则90C 高中数学必修2知识点总结 立体几何初步 特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积'21ch S =正棱锥侧面积')(21 21h c c S +=正棱台侧面积 rh S π2=圆柱侧()l r r S +=π2圆柱表rl S π=圆锥侧面积()l r r S +=π圆锥表 l R r S π)(+=圆台侧面积()2 2R Rl rl r S +++=π圆台表 柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱13 V Sh =锥''1()3 V S S S S h =++台2V Sh r h π==圆柱h r V 23 1π=圆锥 ''2211 ()()33V S S S S h r rR R h π=++=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343 R π ； S 球面=2 4R π 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义：平面是无限延展的 2 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内. （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据. 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，? ??<≥-==)0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a +=),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或 )]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数鄂州二中高一数学必修五第二章数列测试题
高中数学必修5第三章不等式练习题
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