高考数学基础知识训练(10)
备考高考数学基础知识训练（10）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题（每题5分，共70分）1．幂函数的图象经过点，则满足＝27的x 的值是__________.2．若复数i i i z 其中,2)1(=+是虚数单位，则复数z=__________.3．若i x x x )23()1(22+++-是纯虚数，则实数x 的值是__________.4．在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则⋅的值为__________.5．已知向量()()()2,1,3,0a b λλ==>，若()2a b b -⊥，则λ=__________.6．已知53)4cos(,430=+<<παπα，则=αtan __________.7．若复数z 满足|z| - z = i2110-，则z =__________.8．已知向量b a ,满足||3,||5,||7a b a b ==-=，则b a ,的夹角为__________.9．函数[]2sin(2)(0,)6y x x ππ=-∈为增函数的区间是__________.()y f x =1(2,)8--()f x10．在△ABC 中，BC=1，3π=∠B ，当△ABC 的面积等于3时，=C tan __________.11．若2()21f x x ax =++在[1,2]上是单调函数，则a 的取值范围是__________.12．在△ABC 中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=4，则−→OA ⋅（−→OB ＋−→OC ）的最小值是__________.13．已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围为__________.14．已知20a b =≠，且关于x 的函数f(x)=321132x a x a bx ++⋅在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为__________.二、解答题（共90分，写出详细的解题步骤） 15. （14分）设非零向量12e e 与不共线（1）如果121212,2833,AB e e BC e e CD e e =+=+=-，求证：A 、B 、D 三点共线. （2）若12123e e e e ==2，，与的夹角为60，是否存在实数m ，使得()()1212me e e e +与- 垂直？并说明理由()x x mx x f 2ln 2-+=m16．（14分）已知点，若，求当点在第二象限时，的取值范围．17.（15分）已知函数R . (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最小值和最大值.18.（15分）在中，已知∠，．设∠，周长为． (1) 求函数的解析式和定义域； (2) 求的最大值．19.（16分）已知向量),2sin ,2(cos ),23sin,23(cos x x x x -==且]2,0[π∈x ，求： (1) •及||+;(23)(54)(108)A B C ，，，，，()AP AB AC λλ=+∈R P λ()2cos (sin cos )1,f x x x x x =-+∈()f x ()f x 3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABC △A π=3BC =B x =y ()y f x =y(2) 若||2)(x f +-•=λ的最小值是23-，求λ的值．20．（16分）已知函数12||)(2-+-=a x ax x f （a 为实常数）．（1）若1=a ，作函数)(x f 的图像；（2）设)(x f 在区间]2,1[上的最小值为)(a g ，求)(a g 的表达式； （3）设xx f x h )()(=，若函数)(x h 在区间]2,1[上是增函数，求实数a 的取值范围．参考答案一、填空题：1、；2、i +1；3、1；4、-20；5、3；6、71； 7、3+4i ； 8、23π； 9、]65,3[ππ；10、- 11、2a ≤-或1a ≥-； 12、-813、 14、],3(ππ二、解答题：15. （1）证明略 （2）m=616．解：设点的坐标为，则，． ，．1312m ≥P ()x y ，(23)AP x y =--，(5243)(10283)AB AC λλ+=--+--，，(31)(85)(3815)λλλ=+=++，，，AP AB AC λ=+∵(23)(3815)x y λλ--=++，，∴即解得即当时，点在第二象限内．17．（1）. 因此，函数的最小正周期为. (2) 因为在区间上为增函数， 在区间上为减函数，又 故函数在区间最小值为.18、解：（1）的内角和，由 得．应用正弦定理，知，．因为，所以，238315x y λλ-=+⎧⎨-=+⎩，．580450λλ+<⎧⎨+>⎩，．4558λ-<<-P ()2cos (sin cos )1f x x x x =-+sin 2cos2x x =-24x π⎛⎫=-⎪⎝⎭()f x π()24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦33,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3330,1,884244f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x 3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1-ABC △A B C ++=π00A B C π=>>3，，20B π<<3sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===32sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭y AB BC AC =++224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭（2）因为， 所以，当，即时，取得最大值．19、解：（1）x xx x x b a 2cos 2sin 23sin 2cos23cos =⋅-⋅=⋅， ||b a +22)2sin 23(sin )2cos 23(cosxx x x -++=x x 2cos 22cos 22=+=， 因为]2,0[π∈x ，所以0cos >x ，所以x b a cos 2||=+．（2）x x x f cos 42cos )(λ-=，即2221)(cos 2)(λλ---=x x f.1cos 0],2,0[≤≤∴∈x x π①当0<λ时，当且仅当0cos =x 时，)(x f 取得最小值－1，这与已知矛盾； ②当10≤≤λ时，当且仅当λ=x cos 时，)(x f 取得最小值221λ--，由已知得23212-=--λ，解得21=λ； ③当1>λ时，当且仅当1cos =x ，)(x f 取得最小值λ41-，由已知得3142λ-=-， 解得85=λ，这与1>λ相矛盾．综上所述，21=λ为所求．20、解：（1）当1=a 时，1||)(2+-=x x x f⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<++=0,10,122x x x x x x ．作图（如右所示）……（4分） （2）当]2,1[∈x 时，12)(2-+-=a x ax x f ． 若0=a ，则1)(--=x x f 在区间]2,1[上是减函数，3)2()(-==f a g ．……（5分）14sin cos sin 232y x x x ⎛⎫3=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭543sin 23x x ππππ⎛⎫⎛⎫=++<+< ⎪ ⎪6666⎝⎭⎝⎭x ππ+=62x π=3y 63105-2 32 1 yxO -1 -3 1若0≠a ，则141221)(2--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a x a x f ，)(x f 图像的对称轴是直线a x 21=． 当0<a 时，)(x f 在区间]2,1[上是减函数，36)2()(-==a f a g ．……（6分）当1210<<a ，即21>a 时，)(x f 在区间]2,1[上是增函数，23)1()(-==a f a g ．……（7分）当2211≤≤a ，即2141≤≤a 时，141221)(--=⎪⎭⎫⎝⎛=a a a f a g ，……（8分） 当221>a ，即410<<a 时，)(x f 在区间]2,1[上是减函数， 36)2()(-==a f a g ．……（9分）综上可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=2123214114124136)(a ，a a ，a a a ，a a g 当当当 ．……（10分）（3）当]2,1[∈x 时，112)(--+=xa ax x h ，在区间]2,1[上任取1x ，2x ，且21x x <，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-211211221212)(112112)()(x x a a x x x a ax x a ax x h x h 212112)12()(x x a x ax x x --⋅-=．……（12分）因为)(x h 在区间]2,1[上是增函数，所以0)()(12>-x h x h ，因为012>-x x ，021>x x ，所以0)12(21>--a x ax ，即1221->a x ax ， 当0=a 时，上面的不等式变为10->，即0=a 时结论成立．……（13分）当0>a 时，a a x x 1221->，由4121<<x x 得，112≤-a a ，解得10≤<a ，…（14分） 当0<a 时，a a x x 1221-<，由4121<<x x 得，412≥-a a ，解得021<≤-a ，（15分） 所以，实数a 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21．……（16分）。
文科高考数学基础训练答案10,11,12
文科高考数学基础训练（10）解答1． 解析：本题考查空间几何体的三视图，考查了同学们的识图能力。
画三视图时，从外向内看，看到AB 、A A '、B B '、C C '为虚线，C 为AB 的中点，则为D 选项． 2．(1,)2π或3(1,)2π- 解析：本题考查三角函数知识与极坐标方程式下的交点问题，考查了对极坐标方程的理解能力。
(co s sin )1co s sin sin co s (sin 0,co s 0)(sin co s )1ρθθθθθθθθρθθ+=⎧⇒+=->>⎨-=⎩cos 0θ⇒=．得2πθ=或32π．∴当2πθ=时，111c o s s in s in ρθθθ===+； 当32πθ=时，111c o s s in s in ρθθθ===-+．3． （1）证明 ：∵点E 为A C 的中点，且,AB BC A C =为直径 ∴E B A C ⊥ F C B ED ⊥ 平面，且BE B E D ∈平面∴F C B E ⊥∵FC ∩AC=C ∴BE ⊥平面FBD ∵FD ∈平面FBD ∴EB ⊥FD（2）解：∵F C B E D ⊥平面，且B D B E D ⊂平面 ∴F C B D ⊥ 又∵B C D C =∴F D F B ==∴3111223323F E B D F E D a V S E B a a -=== ∵,E B B D F F B B D F ⊥⊂平面且平面文科高考数学基础训练（11）解答1．解析：本题是一种信息题，考查了同学们对有关信息的处理能力。
抓住定义即可，要注意运算顺序，由表易知：c c a =⊕，a c d =⊗，故选A ． 2．解析第一（）步： 第二（）步： 第三（）步： 第四（）步：，第五（）步：，输出文科高考数学基础训练（12）解答1．解析：集合A 表示由圆221x y+=上所有点组成的集合，集合B 表示直线1x y +=上所有点的集合，∵直线过园内点（12,12），∴直线与圆有两个交点，故选C .2．解析：∵(1,2),(1,0),(3,4)a b c === ，∴a b λ+=（1λ+，2），∵()//a b c λ+ ， ∴32(1)40λ⨯-+⨯=，解得λ= 12，故选B3．解析：∵4,2342=-=a a a ,∴2224q q -=，解得q =2或－1（舍），故q =2.4、解：(1)1)6sin(2)0(-=-=πf(2) ∵10(3)2sin 213f παα+==，∴5s in 13α=，又∵[0,]2πα∈，∴12c o s 13α=，∵6(32)2s in ()2c o s 25f πβπββ+=+==，∴3c o s 5β=，又∵[0,]2πβ∈，∴4s in 5β=，∴16c o s ()c o s c o s s in s in 65αβαβαβ+=-=.1=i 11011=+=+=i x s s 2=i 5.25.1111=+=+=i x s s 3=i 45.15.211=+=+=i x s s 4=i 62411=+=+=i x s s 23641=⨯=s 5=i 45>=i 23=s。
高考数学基本知识百题训练(1)及答案
充分非必要条件. 充分且必要条件.
b 0 , a 0 是 函数
充分非必要条件. 充分且必要条件.
f(x) ax 2 bx c 为偶函数的
(B) 必要非充分条件. (D) 既不充分也不必要条件.
若 sin
2 , 且 cos 0 2
(0 2) 则角 的值为
9 关于 x 的方程 x 2 (1 m) x 2 0 的两个根的等差中项为 10 关于 x 的方程 x 2 2 x m 0 两根差的平方是 16. 则 m 11 已知 2 12 若 2 13
x 1
92 4 0
x
x
x= x= 成立 （B）若 a 0 则 a 2 a （D）若 a 2 a 则 a 0 必成立
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深圳市碧波中学李红权
高考数学基本知识百题训练(1)及答案.doc(一)
23
是偶函数且在区间(0 ,+∝)上是单调增函数的是
( A)y x
24
(B) y log
2
1 x
-x (C) y 1 x 2 1 (D) y 2 2
是偶函数,且在区间(-∝,0 )上是单调减函数的是
57
物线. 58 a,b 全不是零. 是 a b 0 的 充分非必要条件. 充分且必要条件. (B) 必要非充分条件. (D) 既不充分也不必要条件.
2 2
(A) (C) 59 (A) (C) 60 (A) (C) 61 62 63 64 65
是 3
sin
3 的 2
(B) 必要非充分条件. (D) 既不充分也不必要条件.
是偶函数且在 (0, ) 内为增函数的是 (B)
【高考数学】最新新人教版2019届高考数学一轮复习：第二篇函数导数及其应用第10节导数的概念及计算训练理
第10节导数的概念及计算【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念与运算1,2,3,13导数的几何意义4,5, 7,8,9,11导数运算及几何意义综合6,10,12,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·黑龙江省伊春市期中)函数y=的导数为( D )(A) (B)(C)- (D)解析:因为y=,所以y′==.故选D.2.函数y=ln(2x2+1)的导数是( B )(A) (B)(C)(D)解析:因为y=ln(2x2+1),所以y′=·(2x2+1)′=.故选B.3.(2017·山西怀仁县期中)已知f(x)=x2+3xf′(1),则f′(2)等于( A )(A)1 (B)2 (C)4 (D)8解析:f′(x)=2x+3f′(1),令x=1,得f′(1)=2+3f′(1),f′(1)=-1,所以f′(x)=2x-3.所以f′(2)=1.故选A.4.(2017·湖南怀化一模)如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)等于( A )(A)2 (B)1(C) (D)0解析:根据图象知,点P为切点,f(5)=-5+8=3,f′(5)为函数y=f(x)的图象在点P处的切线的斜率,所以f′(5)=-1,所以f(5)+f′(5)=2.故选A.5.函数f(x)=e x ln x在x=1处的切线方程是( C )(A)y=2e(x-1) (B)y=ex-1(C)y=e(x-1) (D)y=x-e解析:函数f(x)=e x ln x的导数为f′(x)=e x ln x+e x·,所以切线的斜率k=f′(1)=e,令f(x)=e x ln x中x=1,得f(1)=0,所以切点坐标为(1,0),所以切线方程为y-0=e(x-1),即y=e(x-1).故选C.6.(2017·湖南邵阳二模)已知a>0,曲线f(x)=2ax2-在点(1,f(1))处的切线的斜率为k,则当k取最小值时a的值为( A )(A) (B) (C)1 (D)2解析:f(x)=2ax2-的导数为f′(x)=4ax+,可得在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=4a+,由a>0,可得4a+≥2=4,当且仅当4a=,即a=时,k取最小值.故选A.7.导学号 38486054(2017·河南许昌二模)已知函数y=x+1+ln x在点A(1,2)处的切线l,若l与二次函数y=ax+(a+2)x+1的图象也相切,则实数a的取值为( D )(A)12 (B)8 (C)0 (D)4解析:y=x+1+ln x的导数为y′=1+,曲线y=x+1+ln x在x=1处的切线斜率为k=2,则曲线y=x+1+ln x在x=1处的切线方程为y-2=2x-2,即y=2x.由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,y=ax2+(a+2)x+1可联立y=2x,得ax2+ax+1=0,又a≠0,两线相切有一切点,所以有Δ=a2-4a=0,解得a=4.故选D.8.(2017·天津卷)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l 在y轴上的截距为.解析:因为f′(x)=a-,所以f′(1)=a-1.又因为f(1)=a,所以切线l的斜率为a-1,且过点(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1).令x=0,得y=1,故l在y轴上的截距为1.答案:19.(2017·云南一模)已知函数f(x)=axln x+b(a,b∈R),若f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,则a+b= .解析:f(x)=axln x+b的导数为f′(x)=a(1+ln x),由f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,易知f(1)=2,即b=2,f′(1)=2,即a=2,则a+b=4.答案:4能力提升(时间:15分钟)10.导学号 38486055已知函数f(x)在R上可导,且f(x)=x2+2xf′(2),则函数f(x)的解析式为( B )(A)f(x)=x2+8x (B)f(x)=x2-8x(C)f(x)=x2+2x (D)f(x)=x2-2x解析:因为f(x)=x2+2xf′(2),所以f′(x)=2x+2f′(2),所以f′(2)=2×2+2f′(2),解得f′(2)=-4,所以f(x)=x2-8x,故选B.11.(2017·广州一模)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为( D )(A)(0,0) (B)(1,-1)(C)(-1,1) (D)(1,-1)或(-1,1)解析:因为f(x)=x3+ax2,所以f′(x)=3x2+2ax,因为函数在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,所以3+2ax0=-1,因为x0++a=0,解得x0=±1.当x0=1时,f(x0)=-1,当x0=-1时,f(x0)=1.故选D.。
高考数学备考基础知识训练(1)新人教版
备考高考数学基础知识训练（1）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题（每题5分，共70分） 1．函数3-=x y 的定义域为___ ．2．已知全集U R =，集合{1,0,1}M =-，{}2|0N x x x =+=，则=⋂)(N C M U __ ．3．若1()21x f x a =+-是奇函数，则a =___ ．4. 已知122,x x -+=且1x >,则1x x --的值为 ．5．幂函数ax y =，当a 取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图像是一族美丽的曲线（如右图）．设点 A（1，0），B （0，1），连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数αx y =，βx y =的图像三等分，即有NA MN BM ==．那么βα⋅=___ ．6．直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b =___ ．7．已知命题：“[1,2]x ∃∈，使022≥++a x x ”为真命题，则a 的取值范围是___ ．8. 函数4(4)(),(3)(4)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩则[(1)]f f -= .9．在用二分法．．．求方程3210x x --=的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为___ ．10．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(,>>+=b a by ax Z 的最大值为12，则b a 231+的最小值为___ ．11．集合}2log |{21>=x x A ，),(+∞=a B ，若A B A ≠⋂时a 的取值范围是(,)c +∞，则c =___ ．12．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 重心，则AGGD=2 ” .若把该结论推广到空间，则有结论：“在正四面体ABCD 中，若BCD ∆ 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM=___ ．13．若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e -=，则有(),()f x g x 的解析式分别为 .14．若1||x a x -+≥12对一切x ＞0恒成立，则a 的取值范围是___ ．二、解答题（共90分，写出详细的解题步骤）15．设非空集合A={x|－3≤x ≤a}，B={y|y=3x+10,x ∈A}，C={z|z=5－x,x ∈A}，且B ∩C=C ，求a 的取值范围．16. 已知函数1()22x x f x =-． （1）若()2f x =，求x 的值；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论． NMy BAx17. 讨论函数2()(0)1axf x a x=≠-在区间(1,1)-上的单调性.18. 即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通；根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次；每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指火车运送的人数) .19．已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若()10f -=，试判断函数()f x 零点个数；（2）若对任意12,,x x R ∈且12x x <，()()12f x f x ≠，试证明存在()012,x x x ∈，使()()()01212f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦成立．20. 已知f (x )是定义域为（0，＋∞）的函数，当x ∈（0，1）时f (x )＜0．现针对任意．．正实数x 、y ，给出下列四个等式：① f (x y)=f (x ) f (y) ；② f (x y)=f (x )＋f (y) ；③ f (x ＋y)=f (x )＋f (y) ； ④ f (x ＋y )=f (x ) f (y) ． 请选择其中的一个．．等式作为条件，使得f (x )在（0，＋∞）上为增函数；并证明你的结论． 解：你所选择的等式代号是 ．证明：参考答案：1．}3|{≥x x 2．}1{ 3．124. 解：由122x x -+=平方得2228x x -++=,则221224,()4x x x x ---+=∴-=,又11, 2.x x x ->∴-=答案：2．5．1 6．12ln - 7．8-≥a8. 解：[(1)][(2)][(5)](1)(4)0.f f f f f f f f -===== 答案：0 .9．)2,23(10．122511．0 12．313．解：由已知()()xf xg x e -=，用x -代换x 得：()(),xf xg x e ----=即()()xf xg x e -+=-，解得：2)(,2)(xx x x e e x g e e x f +-=-=-. 答案：2)(,2)(xx x x e e x g e e x f +-=-=-. 14．a ≤215．解：B={y|1≤y ≤3a+10}，C={y|5－a ≤y ≤8}；由已知B ∩C=C ，得C ⊆B ， ∴518310a a -≥⎧⎨≤+⎩ ，解得243a -≤≤；又非空集合A={x|－3≤x ≤a}，故a ≥－3；∴243a -≤≤，即a 的取值范围为243a -≤≤．16. 解：（1）∵1()22x x f x =-，由条件知1222xx -=，即222210x x -⨯-=， 解得212x=±；∵20x>，2log (12)x =+∴．（2）()f x 为奇函数，证明如下：函数()f x 的定义域为实数集R ，对于定义域内的任一x ，都有 111()22(2)()222x x xx x x f x f x ---=-=-=--=-， ∴函数()f x 为奇函数．17.解：设121212221211,()()11ax ax x x f x f x x x -<<<-=---则=12122212()(1)(1)(1)a x x x x x x -+--， 1212,(1,1),,x x x x ∈-<且221212120,10,(1)(1)0,x x x x x x ∴-<+>-->于是当120,()();a f x f x ><时当120,()();a f x f x <>时 故当0a >时，函数在（－1，1）上是增函数； 当0a <时，函数在（－1，1）上为减函数．18.解：设这列火车每天来回次数为t 次，每次拖挂车厢n 节；则由已知可设b kn t +=． 由已知得⎩⎨⎧+=+=b k b k 710416，解得⎩⎨⎧=-=242b k ；242+-=∴n t ．设每次拖挂n 节车厢每天营运人数为y 人；则)2640220(221102n n tn y +-=⨯⨯=； ∴当64402640==n 时，总人数最多，为15840人． 答：每次应拖挂6节车厢，才能使每天的营运人数最多，为15840人．19．解：（1）()10,0,f a b c -=∴-+= b a c =+；2224()4()b ac a c ac a c ∆=-=+-=-，∴当a c =时，0∆=，函数()f x 有一个零点； 当a c ≠时，0∆>，函数()f x 有两个零点．（2）令()()()()1212g x f x f x f x =-+⎡⎤⎣⎦，则 ()()()()()()121112122f x f x g x f x f x f x -=-+=⎡⎤⎣⎦， ()()()()()()212212122f x f xg x f x f x f x -=-+=⎡⎤⎣⎦， ()()()()()()()212121210,4g x g x f x f x f x f x ∴⋅=--<≠⎡⎤⎣⎦；()0g x ∴=在()12,x x 内必有一个实根，即存在()012,x x x ∈，使0()0g x =即()()()01212f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦成立．20.解：选择的等式代号是 ② ．证明：在f (x y)=f (x )＋f (y )中，令x =y =1，得f (1)= f (1)＋ f (1)，故f (1)=0． 又f (1)=f(x · 1x ）=f (x )＋f ( 1x )=0，∴f ( 1x)=－f (x )．………（※）设0＜x 1＜x 2，则0＜x 1x 2＜1,∵x ∈（0，1）时f (x )＜0，∴f ( x 1x 2)＜0；又∵f ( x 1x 2)=f (x 1)＋f ( 1x 2)，由（※）知f ( 1x 2)=－f (x 2)，∴f ( x 1x 2)=f (x 1)－f (x 2)＜0；∴f (x 1)＜f(x 2) ，∴f (x )在（0，＋∞）上为增函数．。
高考数学复习考点知识讲解课件10 指数与指数函数
围是( C )
A．(2，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(0,2)
D．(0,1)
[解析] 在同一坐标系内分别作出函数 y＝x－1 1和 y＝2x－a 的图象，则由图知，当 a ∈(0,2)时符合要求．故选 C．
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(新教材) 高三总复习•数学
考点三 指数函数的性质及应用——多维探究
角度 1：比较指数式的大小
由(x
1 2
＋x－12
)3＝33，得
3
x2
＋3x
1 2
＋3x－12
＋x－32
3
＝27.∴x2
＋x－32
3
＝18，∴x2
＋x－32
－3＝
15. ∴x32x2＋＋xx－－232－－23＝13.
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(新教材) 高三总复习•数学
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(1)指数幂的运算首先将根式、分式统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注 意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
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(新教材) 高三总复习•数学
诊断自测 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4 (1)
a2＋2ab＋b2＝
a＋b.( ×
)
(2)(－2)13＝6 －22.( × ) (3)若函数 f(x)是指数函数，且 f(1)>1，则 f(x)是增函数．( √ ) (4)若 a>1，则当 f(x)有最大值时，g(x)＝af(x)也有最大值．( √ )
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(新教材) 高三总复习•数学
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(3)y＝|ax－1|的图象是由 y＝ax 先向下平移 1 个单位，再将 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折 过来得到的．
【步步高】高考数学大一轮复习 10
＝_____________m__！__________________，由于 0！ 乘明确；有序排
பைடு நூலகம்
＝ 1 ，所以 Cn0＝ 1 . (4)组合数的性质：①Cmn ＝ ②Cmn＋1＝ Cmn ＋ Cmn －1 .
Cnn－m ；
列，无序组合； 分类相加，分步 相乘．”
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4 5
数学 R A（理）
§10.2 排列与组合
第十章 计数原理
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
1．排列
1．排列与组合最根
(1)排列的定义：从 n 个 不同 元素中取出 本 的 区 别 在 于
m (m≤n)个元素，按照一定的 顺序 排成一 “ 有 序 ” 和
列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的一个排列． (2)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有不同排列 的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排 列数，用 Amn 表示．
有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放球”是同一件事，所以
共有 144 种放法．
题型分类·深度剖析
题型三
排列与组合的综合应用问题
【例 3】 4 个不同的球，4 个不同
思维启迪 解析 探究提高
(3的)确盒定子2，个把空球盒全有部C放42种入方盒法内．． 4 (个1)球恰放有进1 个2 个盒不盒放子球可，分共成有(3几,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分 组种(有2)放恰C法有34C？111A个22种盒方内法有；2第个二球类，有共序均匀分组有CA24C22 22·A22种方法．故共 有有C几24(C种34放C11法A22？＋CA24C22 22·A22)＝84(种)．
高考数学基础知识专题提升训练101---对数函数及其性质的应用
高考数学基础知识专题提升训练对数函数及其性质的应用[微体验]1．下列不等关系中，正确的是( ) A ．1.3－0.1>1.3－0.2 B ．0.7－0.3<0.70.2 C ．2－0.5>⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5 D ．0.21.8>0.20.8A [因为y ＝1.3x 是增函数，－0.1>－0.2, 所以1.3－0.1>1.3－0.2.] 2．函数y ＝log 12(2x ＋1)的值域为________.解析 ∵2x ＋1>1，函数y ＝log 12 x 是(0，＋∞)上的减函数，∴log 12 (2x ＋1)<log 12 1＝0，即所求函数的值域为(－∞，0)．答案 (－∞，0)3．若函数f (x )＝log 2(ax ＋1)在[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 解析 由题意得⎩⎨⎧a >0，a ×0＋1>0，解得a >0.答案 (0，＋∞)4．函数f (x )＝log 2(1＋2x )的单调增区间是________．解析 易知函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，又因为函数y ＝log 2x 和y ＝1＋2x 都是增函数，所以f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞5．已知函数f (x )＝lg(x －1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域； (2)证明f (x )是增函数． (1)解由x －1>0，得x >1.所以函数f (x )的定义域是(1，＋∞)，值域为R . (2)证明 设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg(x 1－1)－lg(x 2－1)＝lg x 1－1x 2－1. 因为1<x 1<x 2，所以0<x 1－1<x 2－1.所以0<x 1－1x 2－1<1.所以lg x 1－1x 2－1<0，从而f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在(1，＋∞)上是增函数．[对应学生用书P 67]探究一 利用单调性比较大小比较下列各组数的大小．(1)log1245与log1267；(2)log123与log153；(3)log a2与log a3.解(1)y＝log12x在(0，＋∞)上单调递减，又因为45＜67，所以log1245＞log1267.(2)因为在x∈(1，＋∞)上，y＝log15x的图象在y＝log12x图象的上方，所以log12 3＜log153.(3)当a＞1时，y＝log a x为增函数，所以log a2＜log a3；当0＜a＜1时，y＝log a x为减函数，所以log a2＞log a3.[方法总结]对数值比较大小的常用方法(1)如果同底，可直接利用单调性求解．(2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间量．(3)如果不同底但同真数，可利用图象的高低与底数的大小关系来解决，或利用换底公式化为同底再进行比较．(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．(5)如果底数为字母，那么要分类讨论，进行分类讨论时，要做到不重不漏．[跟踪训练1]比较下列各组数的大小：(1)log a2.7，log a2.8；(2)log34，log65；(3)log0.37，log97.解(1)当a＞1时，由函数y＝log a x的单调性可知log a2.7＜log a2.8；当0＜a＜1时，同理可得log a2.7＞log a2.8.(2)log34＞log33＝1，log65＜log66＝1，∴log34＞log65.(3)log 0.37＜log 0.31＝0，log 97＞log 91＝0， ∴log 0.37＜log 97.探究二 利用单调性解简单的对数不等式问题(1)已知log a 12＞1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.7(2x )＜log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． 解(1)由log a 12＞1得log a 12＞log a a .①当a ＞1时，有a ＜12，此时无解；②当0＜a ＜1时，有12＜a ，从而12＜a ＜1.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由log 0.72x ＜log 0.7(x －1)得⎩⎨⎧2x ＞0，x －1＞0，2x ＞x －1，解得x ＞1.∴x 的取值范围是(1，＋∞)． [方法总结]常见的对数不等式有三种类型(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解．(3)形如log a x ＞log b x 的不等式，可利用图象求解． [跟踪训练2]解不等式：log a (x －4)＞log a (x －2)．解当a ＞1时，由⎩⎨⎧ x －4＞x －2，x －4＞0，x －2＞0，无解．当0＜a ＜1时，由⎩⎨⎧x －4＜x －2，x －4＞0，x －2＞0，得x ＞4.∴综上可知，当a ＞1时，不等式的解集为∅； 当0＜a ＜1时，不等式的解集为(4，＋∞)． 探究三 对数函数性质的综合应用(1)下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝3|x | C ．y ＝lo g 3xD ．y ＝log 23x(2)已知f (x )＝log a (a －a x )(a >1)． ①求f (x )的定义域和值域； ②判断并证明f (x )的单调性．(1)D [y ＝x －1在定义域内不是单调函数；y ＝3|x |为偶函数；y ＝log 3x 既不是奇函数也不是偶函数，故A ，B ，C 均不正确．又∵log 23－x ＝log 2(3x )－1＝－log 23x ，log 23x 的定义域为R ，∴函数y ＝log 23x 为奇函数．令3x ＝t ，则y ＝log 2t .∵y ＝log 2t 与y ＝3x 在R 上都是增函数， ∴y ＝log 23x 在R 上为增函数．](2)解①由a >1，a －a x >0，即a >a x ，得x <1.故f(x)的定义域为(－∞，1)．由0<a－a x<a，可知log a(a－a x)<log a a＝1.故函数f(x)的值域为(－∞，1)．②f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下：任取1>x1>x2，又∵a>1，∴ax1>ax2，∴a－ax1<a－ax2，∴log a(a－ax1)<log a(a－ax2)，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(－∞，1)上为减函数．[方法总结]解决对数函数综合问题的方法对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算．解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．[跟踪训练3]已知函数f(x)＝log a(1＋x)，g(x)＝log a(1－x)，其中(a＞0，且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由．解∵f(x)＝log a(1＋x)的定义域为{x|x＞－1}，g(x)＝log(1－x)的定义域为{x|x＜1}，a∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x＞－1}∩{x|x＜1}＝{x|－1＜x＜1}．∵h(x)＝f(x)－g(x)＝log a(1＋x)－log a(1－x)，∴h(－x)＝log a(1－x)－log a(1＋x)＝－[log a(1＋x)－log a(1－x)]＝－h(x)，∴h(x)为奇函数．[对应学生用书P68]1．比较两个对数式大小的方法有以下几种(1)单调性法； (2)中间量法：比较不同底数对数的大小，常借助中间值0进行比较．利用口诀：“同大异小”，判断对数的符号．对于对数log a x，a和x均与1比较大小，当a和x都同大于(小于)1时，loga x大于0，否则logax小于0.(3)分类讨论：比较同底数(不是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．2．两类对数不等式的解法(1)形如log a f(x)＜log a g(x)的不等式．①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x)．(2)形如log a f(x)＜b的不等式可变形为log a f(x)＜b＝log a a b.①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞a b；②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜a b.若a>1，则y＝log a f(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0<a<1，则y＝log a f(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相反．另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域．3．形如y＝log a f(x)的函数的单调性首先要确保f(x)>0，当a>1时，y＝log a f(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致．当0<a <1时，y ＝log a f (x )的单调性在f (x )>0的前提下与y ＝ f (x )的单调性相反． 4．(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)．(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f (x )±f (－x )＝0来判断，运算相对简单．课时作业(二十七) 对数函数及其性质的应用[见课时作业(二十七)P 169]1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)B [ ∵lg(2x －4)≤1，∴0＜2x －4≤10，解得2＜x ≤7.] 2．函数f (x )＝|log 12 x |的单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎦⎥⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)D [f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．]3．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜c ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜aD [由题知，a ＝log 45＞1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，c ＝log 30.4＜0，故c ＜b ＜a .]4．若log a 35<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，35B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，35∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)B [当a >1时，log a 35<0，满足题意，当0<a <1时，log a 35<1⇔log a 35<log a a ⇔0<a <35.]5．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜aC [ ∵f (x )为偶函数，∴2|x －m |－1＝2|－x －m |－1.∴|x －m |＝|－x －m |. ∴－x －m ＝m －x .∴m ＝0.∴f (x )＝2|x |－1. ∴f (x )的图象关于y 轴对称且在[0，＋∞)上是增函数．又∵0＞log 0.53＞log 0.54＝－2，log 25＞log 24＝2,2m ＝0，∴c ＜a ＜b .]6．已知log 0.72m ＜log 0.7(m －1)，则m 的取值范围是________． 解析 ∵log 0.72m ＜log 0.7(m －1)， ∴2m ＞m －1＞0. 解得m ＞1. 答案 (1，＋∞)7．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析 ∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上递增，∴log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，∴a 12 ＝2，a ＝4.答案 48．解不等式2log a (x －4)＞log a (x －2)．解原不等式等价于⎩⎨⎧log a (x －4)2＞log a (x －2)，x －2＞0，x －4＞0.①当a ＞1时，又等价于⎩⎨⎧(x －4)2＞x －2，x －2＞0，x －4＞0，解得x ＞6.②当0＜a ＜1时，又等价于⎩⎨⎧(x －4)2＜x －2，x －2＞0，x －4＞0，解得4＜x ＜6.综上所述，当a ＞1时，原不等式的解集为(6，＋∞)； 当0＜a ＜1时，原不等式的解集为(4,6)．9．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取得最大值时的x 的值．解 由f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]， 得f (x 2)＝2＋log 3x 2，x 2∈[1,9]，得函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1,3]，y ＝(2＋log 3x )2＋2＋l og 3x 2，即y ＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.令log3x＝t，则0≤t≤1，则y＝(t＋3)2－3，当t＝log3x＝1，即x＝3时，y max＝13.1．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>cD[a＝log36＝log32＋1，b＝log52＋1，c＝log72＋1，在同一坐标系内分别画出y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象，当x＝2时，由图易知log32>log52>log72，∴a>b>c.]2．已知f(x)＝log3x的值域是[－1,1]，那么它的反函数的值域为________．解析∵－1≤log3x≤1，∴log313≤log3x≤log33，∴13≤x≤3.∴f(x)＝log3x的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13， 3，∴f(x)＝log3x的反函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13， 3.答案⎣⎢⎡⎦⎥⎤13， 33．已知函数f(x)＝lg(3x－3)．(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)设函数h(x)＝f(x)－lg(3x＋3)，若不等式h(x)>t无解，求实数t的取值范围．解(1)由3x－3>0，得x>1，所以f(x)的定义域为(1，＋∞)．因为(3x－3)∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的值域为R.(2)因为h (x )＝lg(3x －3)－lg(3x＋3)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －33x ＋3＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－63x ＋3的定义域为(1，＋∞)，且h (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以函数h (x )的值域为(－∞，0)．若不等式h (x )>t 无解，则t 的取值范围为t ≥0.4．(拓广探索)已知函数f (x )＝ln(ax 2＋2x ＋1)，g (x )＝log 12(x 2－4x －5)．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围；(3)求函数g (x )的递减区间．解 (1)若f (x )的定义域为R ，则y ＝ax 2＋2x ＋1的图象恒在x 轴的上方，所以⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝4－4a ＜0，所以a >1.(2)若f (x )的值域为R ，则y ＝ax 2＋2x ＋1的图象一定要与x 轴有交点，所以a ＝0或⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝4－4a ≥0，所以0≤a ≤1.(3)函数g (x )的定义域为{x ︱x <－1或x >5}，由复合函数单调性的“同增异减”法则，可知函数g (x )的单调递减区间为(5，＋∞)．。
2021届数学基础第二章第10讲函数的图象含解析
2021届高考数学一轮基础反馈训练：第二章第10讲 函数的图象含解析基础知识反馈卡·2。
10时间:20分钟 分数:60分一、选择题(每小题5分，共30分）1．函数y ＝x ＋sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是( )A B CD2．函数y ＝321x x 的图象大致是( ) A B CD3．函数f （x ）＝x 2－2|x |的图象大致是( ）A B CD4．函数f (x )＝x sin x 的图象大致是( ）A B CD5．已知函数f (x ）的图象如图J2。
10-1,则f (x ）的解析式可能是（）图J2-10。
1A．f（x）＝错误!－x3B．f（x）＝错误!＋x3C．f（x）＝错误!－x3D．f(x)＝错误!＋x36．函数y＝ln｜x－1|的图象大致是（)二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数y＝f（x）的图象与函数y＝log3x（x>0)的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝________.8．（2015年安徽)在平面直角坐标系xOy中,若直线y＝2a与函数y＝|x－a｜－1的图象只有一个交点，则a的值为________．9．设奇函数f（x）的定义域为［－5，5]．若当x∈［0，5]时,f(x)的图象如图J2.10。
2，则不等式f（x)＜0的解集是____________．图J2.10。
2三、解答题（共15分）10．直线y＝1与曲线y＝x2－｜x｜＋a有四个交点，求实数a 的取值范围．基础知识反馈卡·2。
101．C2。
A3．B解析:∵函数f（x)＝x2－2｜x|，∴f(3）＝9－8＝1〉0，故排除C，D;∵f（0）＝－1，f错误!＝错误!－212＝0.25－错误!〈－1，故排除A。
故选B.4．A解析：∵f（－x）＝－x sin(－x）＝x sin x＝f（x），∴函数f（x）为偶函数，∴其图象关于y轴对称,故排除B，C；∵f（π)＝πsin π＝0，排除D.故选A。
高考真题数学基础题及答案
高考真题数学基础题及答案
数学是高考过程中必不可少的学科，基础题是高考数学中的重要一环。
下面将为大家解析几道高考数学基础题并给出解答。
1. 某班男女生比例为2:3，男生15人。
这个班有多少学生？
解答：由题意可知，男生人数是女生人数的2/3，所以女生人数为
15*3/2=22.5人，但学生人数必为整数，所以男生人数为15人，女生人数为22人，总学生人数为15+22=37人。
2. 已知直角三角形斜边长为10cm，一个锐角的角度为30度，求另
一个锐角的角度。
解答：设另一个锐角的角度为x度，根据三角形内角和定理可知，30°+x°+90°=180°，解方程得x=60°。
3. 一辆汽车开出30km，回头发现忘带东西了，于是立即调头回去，速度比去时快了10km/h，这样就提前1小时到目的地。
求这辆车的速度。
解答：设汽车去时的速度为x km/h，则返回时速度为x+10 km/h。
根据题意，设去时用时t小时，则返回时用时t-1小时，可得方程
30/x=30/(x+10)+1，解方程可得汽车的速度为50 km/h。
通过以上几道数学基础题的解答，希望能帮助大家更好地理解和掌
握高考数学基础知识点。
望考生们认真练习，提高解题能力，取得理
想的成绩。
祝各位考生考试顺利！。
五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编10-等差数列(含解析)
五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编10-等差数列（含解析）一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.92．（2022·北京·统考高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2021·北京·统考高考真题）已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且13a ≥，若12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．124．（2021·北京·统考高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，对应的宽为12345,,,,b b b b b (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知1288a =，596=a ，1192b =，则3b =A ．64B ．96C ．128D ．1605．（2020·全国·统考高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块6．（2020·浙江·统考高考真题）已知等差数列{an }的前n 项和Sn ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，bn+1=S2n+2–S 2n ，n N *∈，下列等式不可能．．．成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6B ．2b 4=b 2+b 6C ．2428a a a = D ．2428b b b =7．（2019·全国·高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ．310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-8．（2018·全国·高考真题）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12-B ．10-C ．10D ．12二、填空题9．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______．10．（2020·全国·统考高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________．11．（2020·海南·高考真题）将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{an }，则{an }的前n 项和为________．12．（2019·全国·统考高考真题）记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 13．（2019·全国·高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.三、解答题14．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列． (1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a +++<． 15．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+． (1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．16．（2022·全国·统考高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．17．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ．(1)若423260S a a -+=，求n S ；(2)若对于每个n *∈N ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 的取值范围．18．（2022·天津·统考高考真题）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=．(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()1111n n n n n n n S a b S b S b +++++=-；(3)求211(1)nkk k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑．19．（2021·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=． （1）证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求{}n a 的通项公式．20．（2021·全国·统考高考真题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值．21．（2021·全国·统考高考真题）设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 22．（2021·全国·统考高考真题）已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{}n a 是等差数列：②数列是等差数列；③213a a =． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．23．（2021·全国·统考高考真题）已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数 （1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求{}n a 的前20项和.24．（2021·全国·高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列是等差数列，证明：{}na 是等差数列.25．（2021·天津·统考高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=． （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列； （ii）证明)*nk n N =∈ 26．（2020·天津·统考高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．27．（2020·山东·统考高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决.28．（2018·全国·高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．29．（2019·全国·高考真题）已知数列{an }和{bn }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{an +bn }是等比数列，{an –bn }是等差数列； （2）求{an }和{bn }的通项公式.30．（2019·全国·高考真题）记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，已知S 9=－a 5． （1）若a 3=4，求{an }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得Sn ≥an 的n 的取值范围．31．（2019·全国·高考真题）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.参考答案：1．D【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===， 依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D 2．C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=， 由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >， 所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”； 若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >， 假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->， 当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C. 3．C【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得n 可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到n 的最大值．【详解】若要使n 尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小， 不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n 项和为，则，，所以11n ≤. 对于，，取数列各项为(1,2,10)n =⋯，1125a =,则1211100a a a ++⋅⋅⋅+=， 所以n 的最大值为11． 故选：C ． 4．C【分析】设等差数列{}n a 公差为d ，求得48d =-，得到3192a =，结合党旗长与宽之比都相等和1192b =，列出方程，即可求解.【详解】由题意，五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，设公差为d ， 因为1288a =，596=a ，可得519628848513a a d --===--， 可得3288(31)(48)192a =+-⨯-=， 又由长与宽之比都相等，且1192b =，可得3113a ab b =，所以3131192192=128288a b b a ⋅⨯==. 故选：C. 5．C【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S .【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块， 所以322729n n n n S S S S -=-+， 即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =，解得9n =， 所以32727(9927)34022n S S +⨯===.故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 6．D【分析】根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．【详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+， ∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-， 当1a d =时，2428a a a =，C 正确； 对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确． 故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题． 7．A【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断． 8．B【详解】分析：首先设出等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的求和公式，得到公差d 所满足的等量关系式，从而求得结果3d =-，之后应用等差数列的通项公式求得51421210a a d =+=-=-，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为d ， 根据题中的条件可得32433(32)224222d d d ⨯⨯⨯+⋅=⨯++⨯+⋅， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d 和的关系，从而求得结果. 9．2【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解.【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++， 即()112+226a d a d =++，解得2d =. 故答案为：2. 10．25【分析】因为{}n a 是等差数列，根据已知条件262a a +=，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 【详解】{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-= 可得1152a d a d +++= 即：()2252d d -++-+= 整理可得：66d = 解得：1d =根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈ 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+= ∴1025S =.故答案为：25.【点睛】本题主要考查了求等差数列的前n 项和，解题关键是掌握等差数列的前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 11．232n n -【分析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-， 故答案为：232n n -.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目. 12．4.【分析】根据已知求出1a 和d 的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 【详解】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案． 13．100【分析】根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.【详解】317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩ 101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键． 14．(1)()12n n n a +=(2)见解析【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133n n S n n a +=+-=，得到()23nn n a S +=，利用和与项的关系得到当2n ≥时，()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,进而得：111n n a n a n -+=-，利用累乘法求得()12n n n a +=，检验对于1n =也成立，得到{}n a 的通项公式()12n n n a +=； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到121111211n a a a n ⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭，进而证得. 【详解】（1）∵11a =，∴111S a ==,∴111S a =, 又∵n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列，∴()121133n n S n n a +=+-=,∴()23n n n a S +=, ∴当2n ≥时，()1113n n n a S --+=，∴()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,整理得：()()111n n n a n a --=+, 即111n n a n a n -+=-, ∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⋯⨯⨯ ()1341112212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--， 显然对于1n =也成立， ∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=； （2）()12112,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴12111na a a +++1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦15．(1)证明见解析； (2)78-．【分析】（1）依题意可得222n n S n na n +=+，根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差即可得到11n n a a --=，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出1a ，即可得到{}n a 的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得． 【详解】（1）因为221nn S n a n+=+，即222n n S n na n +=+①， 当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----， 即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈， 所以{}n a 是以1为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭， 所以，当12n =或13n =时，()min 78n S =-． [方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-， 所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<=.则当12n =或13n =时，()min 78n S =-．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出n S 的最小值，适用于可以求出n S 的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．16．(1)证明见解析； (2)9．【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组即可证出； （2）根据题意化简可得22k m -=，即可解出．【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，所以，()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-⎧⎨+-=-+⎩，即可解得，112db a ==，所以原命题得证． （2）由（1）知，112d b a ==，所以()1111121k k m b a a b a m d a -=+⇔⨯=+-+，即122k m -=，亦即[]221,500k m -=∈，解得210k ≤≤，所以满足等式的解2,3,4,,10k =，故集合{}1|,1500k m k b a a m =+≤≤中的元素个数为10219-+=．17．(1)235(N )2n n nS n *-=∈(2)12d <≤【分析】（1）利用等差数列通项公式及前n 项和公式化简条件，求出d ，再求n S ； (2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求d 的范围. 【详解】（1）因为42312601S a a a -+==-，， 所以()()46211260d d d -+--+-++=， 所以230d d -=，又1d >， 所以3d =， 所以34n a n =-， 所以()213522n na a n n n S +-==，（2）因为n n a c +，14n n a c ++，215n n a c ++成等比数列， 所以()()()212415n n n n n n a c a c a c +++=++，()()()2141115n n n nd c nd d c nd d c -+=-+-+-+++，22(1488)0n n c d nd c d +-++=，由已知方程22(1488)0n n c d nd c d +-++=的判别式大于等于0，所以()22148840d nd d ∆=-+-≥，所以()()168812880d nd d nd -+-+≥对于任意的n *∈N 恒成立，所以()()212320n d n d ----≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦对于任意的n *∈N 恒成立，当1n =时，()()()()21232120n d n d d d ----=++≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 当2n =时，由()()2214320d d d d ----≥，可得2≤d 当3n ≥时，()()21232(3)(25)0n d n d n n ---->--≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 又1d > 所以12d <≤18．(1)121,2n n n a n b -=-= (2)证明见解析 (3)1(62)489n n +-+【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解； （2）由等比数列的性质及通项与前n 项和的关系结合分析法即可得证；（3）先求得212221212122(1)(1)k k k k k k k k a a b a a b ---+⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦，进而由并项求和可得114nk n k T k +==⋅∑，再结合错位相减法可得解.【详解】（1）设{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，则11(1),n n n a n d b q -=+-=，由22331a b a b -=-=可得2112121d q d q d q +-=⎧⇒==⎨+-=⎩（0d q ==舍去）， 所以121,2n n n a n b -=-=；（2）证明：因为120,n n b b +=≠所以要证1111()n n n n n n n S a b S b S b +++++=-， 即证111()2n n n n n n n S a b S b S b ++++=⋅-，即证1112n n n n S a S S ++++=-， 即证11n n n a S S ++=-，而11n n n a S S ++=-显然成立，所以1111()n n n n n n n S a b S b S b +++++=⋅-⋅；（3）因为212221212122(1)(1)k kk k k k k k a a b a a b ---+⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦2221(4143)2[41(41)]224k k k k k k k k --=-+-⨯++--⨯=⋅，所以211(1)n k k k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑2122212121221[((1))((1))]nk kk k k k k k k a a b a a b ---+==--+--∑124nk k k ==⋅∑，设124nk n k T k ==⋅∑所以2324446424nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，则2341244446424n n n T +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=，作差得()2341124(14)3244444242414n nn n n T n n ++⨯--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⨯-()126483n n +--=， 所以1(62)489n n n T +-+=，所以211(1)nkk k k k a a b +=⎡⎤--=⎣⎦∑1(62)489n n +-+. 19．（1）证明见解析；（2）()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【分析】（1）由已知212n n S b +=得221n nn b S b =-,且0n b ≠，取1n =,得132b =,由题意得1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,消积得到项的递推关系111221n n n nb b b b +++=-,进而证明数列{}n b 是等差数列;（2）由（1）可得n b 的表达式,由此得到n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【详解】（1）[方法一]： 由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠, 取1n =,由11S b =得132b =, 由于n b 为数列{}n S 的前n 项积， 所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---, 所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---， 所以111221n n n nb bb b +++=-,由于10n b +≠ 所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n ∈N 所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知1231-⋅=⋅⋅⋅⋅n n n b S S S S S ①于是11231(2)--=⋅⋅⋅⋅≥n n b S S S S n ． ②由①②得1nn n b S b -=． ③又212n nS b +=， ④ 由③④得112n n b b --=． 令1n =，由11S b =，得132b =．所以数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法三]：由212n n S b+=，得22=-nn nS b S ，且0n S ≠，0n b ≠，1n S ≠． 又因为111--=⋅⋅=⋅n n n n n b S S S S b ，所以1122-==-n n n n b b S S ，所以()1111(2)2222212---=-==≥---n n n n n n n S S b b n S S S ．在212n n S b +=中，当1n =时，1132==b S ． 故数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法由已知212n nS b+=，得221n n n b S b =-，132b =，22b =，352=b ，猜想数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列，且112n b n =+． 下面用数学归纳法证明． 当1n =时显然成立．假设当n k =时成立，即121,21+=+=+k k k b k S k ．那么当1n k =+时，11112++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭k k k b b S k 331(1)1222k k k k ++⋅==+++． 综上，猜想对任意的n ∈N 都成立．即数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列， ()3111222n n b n ∴=+-⨯=+, 22211n n n b n S b n+==-+,当n =1时，1132a S ==, 当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立, ∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【整体点评】（1）方法一从212n n S b +=得221n n n b S b =-，然后利用n b 的定义，得到数列{}n b 的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论； 方法二先从n b 的定义，替换相除得到1nn n b S b -=，再结合212n n S b +=得到112n n b b --=，从而证得结论，为最优解；方法三由212n n S b +=，得22=-n n n S b S ，由n b 的定义得1122-==-n n n n b b S S ，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列112n b n =+，然后利用数学归纳法证得结论． （2）由（1）的结论得到112n b n =+，求得n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得{}n a 的通项公式；20．(1)26n a n =-；(2)7.【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-+++=-，从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =， 数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->， 解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用. 21．（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n n n n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ⑧ 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ⑨由⑧-⑨得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--， 211213333n n n n nT --=++++，① 231112133333n n n n nT +-=++++，②①-②得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---， 所以31(1)4323n n nnT =--⋅，所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅， 所以2nn S T <. [方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭nnn n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二．[方法四]：导函数法 设()231()1-=++++=-n nx x f x x x x x x，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nxx ．又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁. （2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 22．证明过程见解析【分析】选①②作条件证明③,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选①③作条件证明②选②③作条件证明①an b +，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.【详解】选①②作条件证明③： [方法一]：待定系数法+n a 与n S 关系式(0)an b a +>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n a a n =-，21a a =，故22133a a a ==.[方法二] ：待定系数法设等差数列{}n a 的公差为d，等差数列的公差为1d ，1(1)n d -，将1(1)2n n n S na d -=+1(1)n d -，化简得())2222211111222d d n a n d n d n d ⎛⎫+-=+-+⎪⎝⎭对于n +∀∈N 恒成立．则有21211112,240,d d a d d d ⎧=⎪⎪-=-⎨=，解得112d d a =．所以213a a =．选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列， 所以公差2112d a a a =-=， 所以()21112n n n S na d n a -=+==，)1n +所以是等差数列. 选②③作条件证明①： [方法一]：定义法(0)an b a +>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-； 当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a为等差数列； 当43a b =-4=3an b an a =+-03a=-<不合题意，舍去.综上可知{}n a 为等差数列. [方法二]【最优解】：求解通项公式因为213a a ===也为等差数列，所以公差1d()11n d -=21n S n a =，当2n ≥时，()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，满足上式，故{}n a 的通项公式为()121n a n a =-，所以()1123n a n a -=-，112n n a a a --=，符合题意.【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n的一次函数，直接设出(0)an b a =+>，平方后得到n S 的关系式，利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到{}n a 的通项公式，进而得到213a a =，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出{}n a 与{}n S 的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系1d 12d a =，进而得到213a a =；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出n S进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n的一次函数，直接设出(0)an b a =+>，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数1d的通项公式，利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出{}n a 的通项公式，进而证明出结论.23．（1）122,5,31n b b b n ===-；（2）300.【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列{}n b 的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前n 项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然2n 为偶数，则21222212,1n n n n a a a a +++=+=+， 所以2223n n a a +=+，即13n n b b +=+，且121+12b a a ===， 所以{}n b 是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是122,5,31n b b b n ===-． [方法二]：奇偶分类讨论由题意知1231,2,4a a a ===，所以122432,15b a b a a ====+=． 由11n n a a +-=（n 为奇数）及12n n a a +-=（n 为偶数）可知， 数列从第一项起，若n 为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若n 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以*23()n n a a n N +-=∈，则()11331n b b n n =+-⨯=-．[方法三]：累加法由题意知数列{}n a 满足*113(1)1,()22nn n a a a n +-==++∈N ． 所以11213(1)11222b a a -==++=+=， 322433223(1)3(1)11212352222b a a a a a --==++=+=+++=++=+=，则222121222111()()()121221+n n n n n n b a a a a a a a a a ---==-+-+-+=+++++++12(1)131n n n =+-+=-⨯．所以122,5b b ==，数列{}n b 的通项公式31n b n =-． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 20123201351924620++++++++()()S a a a a a a a a a a a a =+=+++1231012310(1111)b b b b b b b b =-+-+-++-+++++110()102103002b b +⨯=⨯-=． [方法二]：分组求和由题意知数列{}n a 满足12212121,1,2n n n n a a a a a -+==+=+， 所以2122123n n n a a a +-=+=+．所以数列{}n a 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由2221213n n n a a a ++=+=+知数列{}n a 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列{}n a 的前20项和为： 201351924260()()S a a a a a a a a =+++++++++1091091013102330022⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【整体点评】(1)方法一：由题意讨论{}n b 的性质为最一般的思路和最优的解法； 方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质； 方法三：写出数列{}n a 的通项公式，然后累加求数列{}n b 的通项公式，是一种更加灵活的思路.(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前n 项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前n 项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择. 24．证明见解析.【分析】的公差d ，进一步写出的通项，从而求出{}n a 的通项公式，最终得证.【详解】∵数列是等差数列，设公差为d(n -=()n *∈N∴12n S a n =，()n *∈N∴当2n ≥时，()221111112n n n a S S a n a n a n a -=-=--=- 当1n =时，11121=a a a ⨯-，满足112n a a n a =-， ∴{}n a 的通项公式为112n a a n a =-，()n *∈N ∴()()111111221=2n n a a a n a a n a a --=----⎡⎤⎣⎦ ∴{}n a 是等差数列.【点睛】在利用1n n n a S S -=-求通项公式时一定要讨论1n =的特殊情况.25．（I ）21,n a n n N *=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =⋅-，结合等比数列的定义即可得证； （ii ）放缩得21222422n n n n na n c a c +<-⋅，进而可得112n n k k k k-==，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =， 所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去）， 所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n nn n b c b =++=，所以22224211442444n n n n n nn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--， 所以数列{}22nn c c -是等比数列； （ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-，所以112nn k k k-==， 设10121112322222nn k n k k n T --===+++⋅⋅⋅+∑， 则123112322222n nn T =+++⋅⋅⋅+， 两式相减得21111111122121222222212nn n n nn n n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--，所以1242n n n T -+=-，所以1112422nn k n k k n --==+⎫=-<⎪⎭【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为nk =错位相减法即可得证. 26．（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n n n n +--+⨯.【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211n k k c -=∑和21nk k c =∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由11a =，()5435a a a =-，可得d =1. 从而{}n a 的通项公式为n a n =. 由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=， 故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++， 从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n n n n a b n c a a n n n n-+-+--===-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和223111211352321444444nnk kn n k k k n n c -==---==+++++∑∑① 由①得22314111352321444444n k n n k n n c +=--=+++++∑ ② 由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑， 由于11211121221121156544144334444123414nn n n n n n n ++⎛⎫-⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-， 从而得：21565994nk nk n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题. 27．140里.【分析】由条件确定，该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，根据等差数列的通项公式，和前n 项和公式，列式求解.【详解】解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同， 所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列， 设该数列为{}n a ，第1天走的路程数为首项1a ，公差为d ， 则91260S =，147390a a a ++=. 因为1(1)2n n n S na d -=+，1(1)n a a n d =+-， 所以11119(91)91260236390a d a a d a d ⨯-⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，解得110010a d =⎧⎨=⎩，则514100410140a a d =+=+⨯=， 所以该男子第5天走140里.28．（1）29n a n =-；（2）2=8n S n n -，最小值为–16．【分析】（1）方法一：根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；（2）方法二：根据等差数列前n 项和公式得n S ，根据二次函数的性质即可求出. 【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法 设等差数列{}n a 的公差为d ，由315S =-得，()3237152d ⨯⨯-+=-，解得：=2d ，所以29n a n =-．[方法二]：函数+待定系数法设等差数列{}n a 通项公式为=+n a kn b ，易得+=7k b -，由315S =-，即2315a =-，即25k b +=-，解得：=2,=9k b -，所以29n a n =-．（2）[方法1]：邻项变号法 由1(1)=+2n n n d S na -可得2=8n S n n -．当0n a <，即29<0n -，解得14n ≤≤，所以n S 的最小值为41=4+6=16S a d -， 所以n S 的最小值为16-． [方法2]：函数法 由题意知2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即2=8n S n n -()2416n =--， 所以n S 的最小值为24=44?8=16S --，所以n S 的最小值为16-．【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n 项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n 项和的性质，用待定系数法解方程组求解；（2）方法一：利用等差数列前n 项和公式求n S ，再利用邻项变号法求最值； 方法二：利用等差数列前n 项和公式求n S ，再根据二次函数性质求最值． 29．（1）见解析；（2）1122nna n，1122nnb n．【分析】(1)可通过题意中的1434n n n a a b +-=+以及1434n n n b b a +-=-对两式进行相加和相减即可推导出数列{}n n a b +是等比数列以及数列{}n n a b -是等差数列；。