[精品]2019学年高中数学第三章章末小结知识整合与阶段检测教学案北师大版选修
高中数学 第三章复习教学案 北师大版必修1
年级高一 授课时间 学习重点 学习难点 学科数学 课题 撰写人 指数函数与对数函数的性质 灵活运用函数性质解决有关问题 第三章复习
学 习 目 标
理解指数与对数，指数函数与对数函数的联系；能更加熟练解决与指数函数、对数 函数有关问题
教 一
学
过
程
自 主 学 习
1. 回顾本章知识网络：
2. 指数与对数互化
） D. y
1 x
2、函数 y＝log 2 x＋3（x≥1）的值域是（ A. 2, B.（3，＋∞）
C. 3,
3、若 M {y | y 2x }, P {y | y A. { y | y 1} B. { y | y 1}
x 1} ，则 M∩P（
C. { y | y 0}
二 例 1 已知函数 f ( x) log a 并证明
师 生 互动
x5 （ a 0, a 1) ，判断 f ( x ) 在 x (, 5) 上的单调性， x5
2 ( x R) ， 2 1 （1） 试证明：对于任意 a, f ( x) 在 R 为增函数； （2）试确定 a 的值，使 f ( x ) 为奇函数。
B、 ( 2 ,1) (1, 2 ) D、 ( 2,1) (1,2)
8、函数 f ( x) | log 1 x | 的单调递增区间是
2
1 A、 (0, ] 2
B、 (0,1]
C、 （0，+∞）来自D、 [1,)四 课 后 反 思
五 课 后 巩 固 练 习 1 、图中曲线分别表示 y l o g a x ， y l o gb x ， y l o g c x ， y l o g d x 的图象， y
第一部分 第三章 章末小结 知识整合与阶段检测
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三、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)在平面直角坐标系中，直线Ax＋By＋C＝0将平面内的 所有点分成三类：一类在直线Ax＋By＋C＝0上，另两 类 分居直线Ax＋By＋C＝0的两侧，其中一侧半平面的点 的 坐标满足Ax＋By＋C>0，另一侧的半平面的点的坐标满 返回
(2)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直 线Ax＋By＋C＝0某一侧的平面区域且不含边界，直线作 图时边界直线画成虚线，当我们在坐标系中画不等式 Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界 直线，此时边界直线画成实线； (3)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的 交集，因而是各个不等式所表示平面区域的公共部分． 返回[说明]来自利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则： (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最 小值是 2 p(简记：积定和最小)； (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最 p2 大值是 4 (简记：和定积最大)．
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章末 第 三 章 不 等 式 小结 核心要点归纳
知 识整 合与 阶段 阶段质量检测
检测
返回
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一、不等关系与不等式
1．作差比较法比较两实数大小的依据 a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0. 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a>b⇔b<a；
(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；
⇒ab>cd;
(7)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥1)； (8)可开方性：a>b>0⇒ a> b(n∈N*，n≥2)． n n
高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案第三章 章末小结 知识整合与阶段检测
[对应学生用书]一、导数与函数的单调性．若′()>，则()是增加的；若′()<，则()是减少的；若′()＝恒成立，则()为常数函数；若′()的符号不确定，则()不是单调函数．．若函数＝()在区间(，)上是增加的，则′()≥；若函数＝()在区间(，)上是减少的，则′()≤.．利用导数求函数单调区间的步骤：()求导数′()；()解不等式′()>或′()<；()写出单调增区间或减区间．特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．二、导数与函数的极值和最值．极值当函数()在处连续可导时，如果附近的左侧′()>，右侧′()<，那么()是极大值；若左侧′()<，右侧′()>，那么()是极小值．．利用导数求函数极值的一般步骤()确定函数()的定义域；()解方程′()＝的根；()检验′()＝的根的两侧′()的符号．若左正右负，则()在此根处取得极大值；若左负右正，则()在此根处取得极小值；否则，此根不是()的极值点．．最值对于函数＝()，给定区间[，]，若对任意∈[，]，存在∈[，]，使得()≥()(()≤())，则()为函数在区间[，]上的最大(小)值．．利用导数求函数最值的一般步骤()求()在(，)内的极值；()将()的各极值与()，()比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．．函数最值与极值的区别与联系()函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．()闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．()函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值．见开试卷)))(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．曲线＝－在点处的切线的倾斜角为( )．°．－°．－°°解析：∵′＝－，∴处的切线斜率为－，倾斜角为°.答案：．下列求导运算正确的是( )．( )′＝．( )′＝.()′＝．()′＝解析：( )′＝－，()′＝，()′＝＋.答案：．已知函数＝()，其导函数＝′()的图像如图所示，则＝()( )．在(－∞，)上为减少的．在＝处取极小值．在(，＋∞)上为减少的．在＝处取极大值解析：在(－∞，)上，′()>，故()在(－∞，)上为增函数，错；在＝处，导数由正变负，()由增变减，故在＝处取极大值，错；在(，＋∞)上，′()<，()为减函数，对；在＝处取极小值，错．答案：．设函数()的导函数为′()，且()＝＋′()，则′()＝( )．－．．－。
数学： 第三章小结与复习 教案 (北师大1)
第三章小结与复习一。
教学目标：1.知识与技能：（1)理解指数与对数,指数函数与对数函数的联系；（2)能更加熟练地解决与指数函数,对数函数有关的问题.2.过程与方法：通过提问,分析点评，让学生更能熟悉指数函数,对数函数的性质。
3。
情感、态度、价值观：（1）提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构;（2）培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力。
二。
重点、难点重点:指数函数与对数函数的性质.难点：灵活运用函数性质解决有关问题。
三、学法与教法1、学法：讲授法、讨论法。
2、教法:探析归纳,讲练结合。
四、教学过程（一）、回顾本章的知识结构(二)、知识整合与例题探析1、指数与对数：指数式与对数式的互化真数＝ b底数指数←→对数值提问：在对数式中,a ，N,b 的取值范围是什么?例1:已知54log27＝a ,54b ＝3,用108,log 81a b 表示的值 解法1:由54b ＝3得54log 3＝b ∴108log 81＝5454log 81log 108＝54545454log 27log 3log 212log 272a b a b a+++==+-- 解法2:由54log275427a ==得 设108log 81,10881x x ==则 所以21(5427)327x -⨯=⨯ 即：2(5454)5454a x b a -⨯=⨯ 所以25454,2x ax a b x ax a b -+=-=+即因此得:2a b x a +=-法1是通过指数化成对数，再由对数的运算性质和换底公式计算结果.法2是通过对数化成指数,再由指数的运算性质计算出结果,但法2运算的技巧性较大。
2．指数函数与对数函数问题1：函数log x xa y a y ==与中,a与x 分别必须满足什么条件.问题2：在同一直角坐标系中画出函数log x xay a =与的图象，并说明两者之间的关系.问题3：根据图象说出指数函数与对数函数的性质。
北师大版数学必修三第3章概率章末归纳总结课件
每批邮箱数
60 130 265 306 1 233 2 130 4 700 6 897
名称里有数字的邮箱数 36 78 165 187 728 1 300 2 820 4 131
频率
(1)填写上表中的频率(精确到0.01)； (2)中国人的邮箱名称里使用数字的概率是多少？
[解析] (1)由频率公式可算出，表格中应填的频率从左到右依次为：0.60、 0.60、0.62、0.61、0.59、0.61、0.60、0.60.
2
『规律总结』 一般地，若一个随机事件需要用两个连续变量[如本例中的 (x，y)]来描述，用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，利用坐标平 面能顺利地建立与面积有关的几何概型．
〔跟踪练习 3〕 如图，M 是半径为 R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能 1
地任取一点 N，连接 MN，则弦 MN 的长度超过 2R 的概率是__2____.
将长为l的木棒随机折成3段，求3段长度能构成三角形的概率． [思路分析] 构成三角形要用三边长的度量，设出两边，再表示第三边． [解析] 如图所示，设A＝“3段长度能构成三角形”，x，y分别表示其中两 段的长度，则第3段的长度为l－x－y.
北师大版高中数学必修3《三章 概率 本章小结》优质课教案_4
第三章概率本章小结一、教学内容分析本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》北师版必修3第三章《概率》的小结课,本节教学内容为梳理本章知识内容,强化知识间的内在联系,提高综合运用知识解决问题的能力。
掌握古典概型、几何概型的特点及概率运算；掌握互斥事件、对立事件的概念,会利用公式计算有关的问题的概率。
根据本节课的内容特点以及学生的实际情况,在小结课之前让学生自己总结本章知识网络结构,在课堂上学生分组讨论并展示,加之老师对知识网络结构的归纳、总结和评价,使学生对本章内容有一个全面的认识。
通过各类题组训练,让学生自己体会知识的横向、纵向联系,对相关概念的认识更加精准和深刻,同时也把它们作为本节课的教学重点。
本节课的学习在发展学生运算能力的同时还需要培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学目标1.在具体情景中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别和联系,培养良好的思维品质。
2.通过实例,了解两个互斥事件的概率加法公式,提高分析实际问题的能力,增强数学应用意识。
3.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率,初步体会几何概型的意义,从而深入体会数形结合的思想方法。
4.营造和谐的课堂氛围,通过独立思考,合作交流使学生获得学习数学的成功体验,培养良好的学习习惯及严谨的思维方式。
三、学习重难点教学重点:使学生对本章内容有一个全面的认识.通过各类题组训练,让学生自己体会知识的横向、纵向联系,对相关概念的认识更加精准和深刻。
教学难点:对概率本质的深入理解,古典概型和几何概型的概念及其计算的实际应用.学生根据教师提供的情境,采用观察、分析、抽象、概括等方式探索知识,归纳知识。
四、教学过程一）、基础知识归纳1、古典概型计算公式P(A)=特征：2、几何概型计算公式P(A)=特征：3、互斥事件（1）定义：互斥事件：对立事件：（2）区别和联系：（3）和事件A+B【设计意图】学生及时查漏补缺,让学生再经历知识由零乱到系统的过程,构建起完整的单元知识网络,为单元复习课的深入开展奠定坚实的基础,同时可以使学生逐步形成自主归纳的意识,增强归纳知识的能力。
2019-2020年高中数学 第三章 概率教案 北师大版必修3
2019-2020年高中数学 第三章 概率教案 北师大版必修3教学分析本节是对第三章知识和方法的归纳与总结，从总体上把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化，本章共有三部分内容，是相互独立的，随机事件的概率是基础，在此基础上学习了古典概型和几何概型，要注意它们的区别和联系，了解人类认识随机现象的过程是逐步深入的，了解概率这门学科在实际中有着广泛的应用．三维目标通过总结和归纳本章的知识，使学生进一步了解随机事件，了解概率的意义，掌握各种概率的计算公式，能够用所学知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，让概率更好地为人类服务．重点难点概率的意义及求法，频率与概率的关系，概率的主要性质，古典概型的特征及概率公式的应用，几何概型意义的理解及会求简单的几何概型问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.同样一张书桌有的整洁、有的凌乱，同样一支球队，在不同的教练带领下战斗力会有很大的不同，例如达拉斯小牛队在“小将军”约翰逊的带领下攻防俱佳所向披靡，为什么呢？因为书桌需要不断整理，球队需要系统的训练、清晰的战术、完整的攻防体系．我们学习也是一样需要不断归纳整理、系统总结、升华提高，现在我们就概率这一章进行归纳复习，引出课题．思路2.为了系统掌握本章的知识，我们复习本章内容，教师直接点出课题．推进新课新知探究提出问题1．随机事件的概率包括几部分？2．古典概型包括几部分？3．几何概型包括几部分？4．本章涉及的主要数学思想是什么？5．画出本章的知识结构图．讨论结果：1．随机事件的概率随机事件是本章的主要研究对象，基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件．(1)概率的概念在大量重复进行的同一试验中，事件A 发生的频率m n总是接近于某一常数，且在它的附近摆动，这个常数就是事件A 的概率P (A )，概率是从数量上反映一个事件．求某一随机事件的概率的基本方法是：进行大量重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率．(2)概率的意义与性质①概率是描述随机事件发生的可能性大小的度量，事件A 的概率越大，其发生的可能性就越大；概率越小，事件A 发生的可能性就越小．②由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在[0,1]之间，从而任何事件的概率在[0,1]之间，即0≤P (A )≤1.概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(3)频率与概率的关系与区别频率是概率的近似值．随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身也是随机的，两次同样的试验，会得到不同的结果；而概率是一个确定的数，与每次试验无关．2．古典概型(1)古典概型的概念①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(有限性)②每个基本事件出现的可能性相等．(等可能性)我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型(classical models of probability)，简称古典概型．(2)古典概型的概率计算公式为P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数. 在使用古典概型的概率公式时，应该注意：①要判断该概率模型是不是古典概型；②要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．学习古典概型要通过实例理解古典概型的特点：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性．要学会把一些实际问题化为古典概型，不要把重点放在“如何计数”上．3．几何概型(1)对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability)，简称几何概型．(2)几何概型的基本特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等．(3)几何概型的概率公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积. 几何概型研究的是随机事件的结果有无限多个，且事件的发生只与区域的长度(面积或体积)成比例的概率问题．(4)随机数是在一定范围内随机产生的数，可以利用计算器或计算机产生随机数来做模拟试验，估计概率，学习时应尽可能利用计算器、计算机来处理数据，进行模拟活动，从而更好地体会概率的意义．4．本章涉及的主要思想是化归与转化思想(1)古典概型要求我们从不同的背景材料中抽象出两个问题：一是所有基本事件的个数即总结果数n ，二是事件A 所包含的结果数m ，最后化归为公式P (A )＝m n.(2)几何概型中，要首先求出试验的全部结果所构成的区域长度和构成事件的区域长度，最后化归为几何概型的概率公式求解．5．如图1.图1 应用示例思路1例1 每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6)．(1)连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；(2)连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率．活动：本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决实际问题的能力．解：(1)设A 表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则P (A )＝6×56×6＝56. 抛掷2次，向上的数不同的概率为56. (2)设B 表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”．∵向上的数之和为6的结果有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)5种，∴P (B )＝56×6＝536.抛掷2次，向上的数之和为6的概率为536. 例2 甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球．(1)求取出的两个球是不同颜色的概率；(2)请设计一种随机模拟的方法，来近似计算(1)中取出的两个球是不同颜色的概率(写出模拟的步骤)．活动：学生思考交流，教师引导，各种颜色的球被取到的可能性相同，属于古典概型，可以利用古典概型的知识解决．解：(1)设A 为“取出的两球是相同颜色”，B 为“取出的两球是不同颜色”，则事件A的概率为P (A )＝3×2＋3×29×6＝29.由于事件A 与事件B 是对立事件，所以事件B 的概率为P (B )＝1－P (A )＝1－29＝79. (2)随机模拟的步骤：第1步：利用抓阄法或计算机(计算器)产生1～3和2～4两组取整数值的随机数，每组各有N 个随机数．用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球．第2步：统计两组对应的N 对随机数中，每对中的两个数字不同的对数n .第3步：计算n N 的值，则n N就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值．思路2例1 已知单位正方形ABCD ，在正方形内(包括边界)任取一点M ，求：(1)△AMB 面积大于等于14的概率； (2)AM 的长度不小于1的概率．解：(1)如图2，取BC ，AD 的中点E ，F ，连接EF ，当M 在矩形CEFD 内运动时，△ABM的面积大于等于14，由几何概型知，P ＝S 矩形CDFE S 正方形＝12. (2)如图3，以AB 为半径作圆弧，M 在阴影部分时，AM 的长度大于等于1, 由几何概型知，P ＝S 阴影S 正方形ABCD ＝1－14×π×12＝1－π4.图2 图3例2 如图4，在墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm ，某人站在3 m 之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算(可重投)，问：图4(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？解：整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积为μΩ＝16×16＝256(cm2)．记“投中大圆内”为事件A，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B，“投中大圆之外”为事件C，则事件A所占区域面积为μA＝π×62＝36π(cm2)；事件B所占区域面积为μB＝π×42－π×22＝12π(cm2)；事件C所占区域面积为μC＝(256－36π) cm2.由几何概型的概率公式，得(1)P(A)＝μAμΩ＝9π64；(2)P(B)＝μBμΩ＝3π64；(3)P(C)＝μCμΩ＝1－9π64.点评：对于(3)的求解，也可以直接应用对立事件的性质P(A)＝1－P(A)求解．知能训练1．下列说法正确的是( )．A．任何事件的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定答案：C2．掷一枚骰子，则掷得奇数点的概率是( )．A.16B.12C.13D.14答案：B3．从一批产品中取出三件产品，设A为“三件产品全不是次品”，B为“三件产品全是次品”，C为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )．A．A与C互斥 B．B与C互斥C．任何两个均互斥 D．任何两个均不互斥答案：B4．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在[4.8 g,4.85 g]范围内的概率是( )．A．0.62 B．0.38 C．0.02 D．0.68答案：C5．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是( )．A.12B.14C.13D.18答案：B6．甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( )．A.13B.14C.12D．无法确定答案：C7．如图5所示，随机在图中撒一把豆子，则它落到阴影部分的概率是( )．图5A.12B.34C.38D.18答案：C8．任意投掷3枚硬币，(1)写出所有可能出现的试验结果；(2)写出恰有一枚硬币正面朝上的可能的结果；(3)求出现一正二反的概率．解：(1)可能的结果有(上，上，上)，(上，上，下)，(上，下，上)，(下，上，上)，(上，下，下)，(下，上，下)，(下，下，上)，(下，下，下)8种可能．(2)其中恰有一枚硬币正面朝上有(上，下，下)，(下，上，下)，(下，下，上)3种不同的结果．(3)概率为38. 9．有两组相同的牌，每组三张，它们的牌面数字分别是1,2,3，现从每组牌中各摸出一张牌，问：(1)两张牌的牌面数字和为几的概率最大？(2)两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少？(3)两张牌的牌面数字和是奇数的概率是多少？解：(1)和为4的概率最大；(2)两张牌的牌面数字和为4的概率为13；(3)两张牌的牌面数字和是奇数的概率是49. 拓展提升1．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(2)若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34. (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为＝3×2－12×223×2＝23. 2．如图6，在边长为25 cm 的正方形中挖去边长为23 cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？图6活动：学生读题，教师引导提示，因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．解：设A 为“粒子落在中间带形区域”，则依题意得正方形面积为25×25＝625(cm 2)，两个等腰直角三角形的面积的和为2×12×23×23＝529(cm 2)，带形区域的面积为625－529＝96(cm 2)，∴P (A )＝96625. 课堂小结同统计一样，概率也是一门实践性很强的数学分支，与日常生活联系紧密．现实生活中存在大量的随机事件，在一次试验中它的发生是随机的，可是借助大量的重复试验就会发现它的发生又具有某种规律，体现了“随机性中蕴涵规律性，偶然性中蕴涵着必然性”的唯物辩证法观点，概率的意义及求法，频率与概率的关系，概率的主要性质，古典概型的特征及概率公式的应用，几何概型意义的理解及会求简单的几何概型问题等都是要掌握的重点内容，内容涉及了今年的高考题，要切实注意，同时由于这部分内容与其他内容联系较少，要多加练习，达到熟练的目的．作业复习题三任选3题．设计感想这章内容与其他数学知识联系较少，其解题方法独特，对同学们的思维能力、分析及解决问题能力要求较高．钻研课本，理解概念，弄清公式的“来龙去脉”，尤其是公式中字母的内涵．在此基础上，适当地做一些练习，并及时归纳解题方法，不断反思及加深自己对数学知识(概念、公式等)的理解．备课资料备选习题1．从五件正品一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品、一件次品的概率是( )．A ．1 B.12 C.13 D.23答案：C2．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是( )．A.12B.13C.14D.25答案：A3．现有5个球分别记为A ，C ，J ，K ，S ，随机放进3个盒子，每个盒子只能放一个球，则K 或S 在盒中的概率是( )．A.110B.35C.310D.910答案：D4．对某种产品的5件不同正品和4件不同次品一一进行检测，直到区分出所有次品为止．若所有次品恰好经过五次检测被全部发现，则这样的检测方法有( )．A ．20种B ．96种C ．480种D ．600种答案：C5．若连掷两次骰子，分别得到的点数是m ，n ，将m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在区域|x －2|＋|y －2|≤2内的概率是( )．A.1136B.16C.14D.736答案：A6．要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是( )．A ．C 39C 25B ．C 310C 25 C ．A 310A 25D ．C 410C 25答案：A7．两个事件互斥是两个事件对立的________条件．( )．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要答案：B8．下列事件中，随机事件的个数是( )．①如果a ，b 是实数，那么b ＋a ＝a ＋b ②某地1月1日刮西北风 ③当x 是实数时，x 2≥0 ④一个电影院某天的上座率超过50%A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B9．从甲、乙、丙、丁4人中选3人当代表，则甲被选中的概率是( )．A.14B.12C.13D.34答案：D10．一箱内有10张标有0到9的卡片，从中任选一张，则取到卡片上的数字不小于6的概率是( )．A.13B.35C.25D.14答案：C11．盒中有10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球、2个红球，则从中任取2球，至少有1个白球的概率是( )．A.4445B.15C.145D.8990答案：A12．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是30%，两人下成和棋的概率为50%，则甲不输的概率是( )．A ．30%B ．20%C ．80%D ．以上都不对答案：C13．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S 4的概率是( )． A.12 B.34 C.14 D.13答案：B14．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y2＝25外的概率是( )．A.536B.712C.512D.13答案：B15．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是( )． A.12 B.13 C.14 D.15答案：D16．同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是( )．A ．至少有1枚正面和最多有1枚正面B ．最多1枚正面和恰有2枚正面C ．至多1枚正面和至少有2枚正面D ．至少有2枚正面和恰有1枚正面答案：C17．某人向图7的靶子上射箭，假设能中靶，且箭头落在任何位置都是等可能的，最容易射中阴影区的是( )．图7答案：B18．袋子中有红、黄、白3种颜色的球各1个，从中每次任取1个，有放回地抽取3次．求：(1)3个全是红球的概率；(2)3个颜色全相同的概率；(3)3个颜色不全相同的概率；(4)3个颜色全不相同的概率．解：(1)3个全是红球的概率为127；(2)3个颜色全相同的概率为327＝19； (3)“3个颜色不全相同”的概率为1－19＝89；(4)“3个颜色全不相同”的概率为29. 19．小张去南京出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，求：(1)他乘火车或乘飞机去的概率；(2)他不乘轮船去的概率；(3)如果他去的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具去？答案：(1)0.7；(2)0.8；(3)可能乘火车或轮船去，也可能乘汽车或飞机去．2019-2020年高中数学第三章概率测评A 新人教A版必修3一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.抽查10件产品,设事件A:至多有两件次品,则A的对立事件为( )A.至多两件次品B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品答案:C2.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察,求发现大肠杆菌的概率为( )A.0.005B.0.004C.0.001D.0.002解析:由于取水样的随机性,所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比,即=0.005.答案:A3.如图,一颗豆子随机扔到桌面上,假设豆子不落在线上,则它落在阴影区域的概率为( )A. B. C. D.解析:设一个小正方形面积为1,则桌面面积为9,阴影面积为3.则所求概率为.答案:4.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是( )A.0.42B.0.28C.0.3D.0.7解析:摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3.答案:C5.某部三册的小说,任意排放在书架的同一层上,则各册自左到右或自右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )A. B. C. D.解析:按照自左到右的顺序,基本事件有:(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),符合条件的有(1,2,3)和(3,2,1)两个事件,所以概率为.答案:B6.若从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于40的概率为( )A. B. C. D.解析:所有满足条件的两位数有12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共20个,其中大于40的有8个.所以所求概率为.答案:C7.在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为( )A. B.1- C. D.-1解析:要使函数有零点,则Δ=(2a)2-4(-b2+π2)≥0,a2+b2≥π2.又因为-π≤a≤π,-π≤b≤π,所以基本事件的范围是2π·2π=4π2,函数有零点所包含的基本事件的范围是4π2-π3.所以所求概率为=1-.答案:B8.某人射击4枪,命中3枪,3枪中恰有2枪连中的概率是( )A. B. C. D.解析:设射击的4枪依次为a,b,c,d,命中3枪的情况有abc,abd,acd,bcd,其中恰有2枪连中的是abd,acd,所以所求概率为.答案:D9.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A. B. C. D.解析:设被污损的数字是x,则x∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.甲的平均成绩为(88+89+90+91+92)=90,[83+83+87+(90+x)+99]=,设甲的平均成绩超过乙的平均成绩为事件A, 则此时有90>,解得x<8,则事件A包含x=0,1,2,3,4,5,6,7,共8个基本事件,则P(A)=.答案:C10.为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量,产品数量的分组区间为[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35],频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训,则这2位工人不在同一组的概率是( )A. B. C. D.解析:根据题中频率分布直方图可知产品件数在[10,15),[15,20)内的人数分别为5×0.02×20=2,5×0.04×20=4,设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A,B,设生产产品件数在[15,20)内的4人分别是C,D,E,F,则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),( E,F),共15种.2位工人不在同一组的结果有(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),共8种.则选取这2人不在同一组的概率为.答案:C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.在区间[0,6]上随机取一个数x,则x∈[0,2]的概率为.答案:12.为了测算如图的阴影部分的面积,作一个边长为6的正方形将其包含在内,并向正方形内随机投掷800个点.已知恰有200个点落在阴影部分,据此,可估计阴影部分的面积是.解析:设阴影部分的面积为S,向正方形内随机投掷1个点,落在阴影部分的概率的估计值是, 则,又正方形的面积是36,则S=×36=9.答案:913.随机地向半圆0<y<(a为正常数)内抛掷一点,点落在半圆内的任意区域的概率与区域的面积成正比,则原点与该点的连线与x轴夹角小于45°的概率为.解析:如图可知,设基本事件表示半圆的面积,事件A为图中阴影部分的面积,则所求概率等于阴影部分面积与半圆面积之比,即P(A)=.答案:14.把一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为m,第二次出现的点数记为n,方程组只有一组解的概率是.解析:由题意,当,即3m≠2n时方程组只有一解.基本事件总数为36,满足3m=2n的基本事件有(2,3),(4,6)共两个,故满足3m≠2n的基本事件数为34个.故所求概率为P=.答案:15.在区间[0,1]中随机地取出两个数,则两数之和小于的概率为.解析:设任取的两数分别为x,y,则要求x+y<的概率,即求直线y=-x与坐标轴围成的三角形的面积与边长为1的正方形面积的比,所以P=.答案:三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分6分)假设向三个相邻的敌方军火库投掷一颗炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.025,其余两个各为0.1,只要炸中一个,另两个也要发生爆炸,求军火库发生爆炸的概率.解:设A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件,则P(A)=0.025,P(B)=P(C)=0.1.又设D表示军火库爆炸这个事件,则有D=A∪B∪C,其中A、B、C是互斥事件,因为只投掷了一颗炸弹,不会同时炸中两个以上军火库,所以P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.17.(本小题满分6分)有两个不透明的箱子,每个箱子都装有4个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3,4.(1)甲从其中一个箱子中摸出一个球,乙从另一个箱子中摸出一个球,谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局),求甲获胜的概率;(2)摸球方法与(1)相同,若规定:两人摸到的球上所标数字相同甲获胜,所标数字不相同则乙获胜,这样规定公平吗?请说明理由.解:(1)用(x,y)(x表示甲摸到的数字,y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件,则基本事件空间为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2 ),(4,3),(4,4),共16个.设甲获胜的事件为A,则事件A包含的基本事件有:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),共有6个,则P(A)=.(2)不公平.理由:设甲获胜的事件为B,乙获胜的事件为C,事件B所包含的基本事件有:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),共有4个,则P(B)=,所以P(C)=1-P(B)=1-,P(B)≠P(C),所以这样规定不公平.18.(本小题满分6分)为预防H1N1病毒爆发,某生物技术公司研制出一种新流感疫苗,为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%,则认为测试没有通过),公司选定2000个流感样本分成三组,测试结果如下表:已知在全体样本中随机抽取1个,抽到B组疫苗有效的概率是0.33.(1)求x的值;(2)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果,问应在C组抽取多少个?(3)已知y≥465,z≥30,求不能通过测试的概率.解:(1)∵在全体样本中随机抽取1个,抽到B组疫苗有效的概率为0.33,即=0.33,∴x=660.(2)C组样本个数为y+z=2000-(673+77+660+90)=500,用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果,应在C组抽取个数为360×=90(个).(3)设测试不能通过事件为M,C组疫苗有效与无效的可能的情况记为(y,z),由(2)知y+z=500,且y,z∈N,基本事件有(465,35),(466,34),(467,33),(468,32),(469,31),(470,30),共6个.若测试不能通过,则77+90+z>2000×(1-90%),即z>33.事件M包含的基本事件有(465,35),(466,34),共2个,则P(M)=.故不能通过测试的概率为. 19.(本小题满分7分)已知一条直线型街道的A,B两盏路灯之间的距离为120米,由于光线较暗,想在中间再随意安装两盏路灯C,D,顺序为A,C,D,B,求A与C,B与D之间的距离都不小于40米的概率.解:设A与C,B与D之间的距离分别为x米、y米,则所有可能的结果为Ω={(x,y)|0<x+y<120,x>0,y>0}.设A与C,B与D之间的距离都不小于40米为事件A',则事件A'的可能结果为A'={(x,y)|x≥40,y≥40,0<x+y<120}.如图所示,全部结果构成区域Ω为直线与两坐标轴所围成的△OEF,而事件A'所构成区域是三条直线x+y=120,x=40,y=40所夹中间的阴影部分.于是根据几何概型公式,得到P(A')=.所以A与C,B与D之间的距离都不小于40米的概率为.。
高中数学 第3章 概率章末小结与测评教学案 北师大版必修3
第3章 概率1．频率与概率概率是一个常数，频率是一个变数，它随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于概率．2．古典概型(1)古典概型的特点是：有限性和等可能性．(2)对于古典概型概率的计算，关键要分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，再利用公式P (A )＝m n求出概率．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重、不漏．3．互斥事件与对立事件(1)互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．(2)应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定事件彼此是否互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和，求较复杂的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )(事件A 与A 互为对立事件)求解．4．几何概型(1)几何概型的特点是：无限性和等可能性．(2)对于几何概型试验的计算，关键是求得事件A 所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式求解．[典例1] (江西高考)如图，从A 1(1，0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0，1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O 共面的概率．[解] 从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，共4种； y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，共4种； z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共4种．所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 1＝220＝110.(2)选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共12种，因此，这3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1220＝35.[借题发挥] 要正确理解P (A )＝m n中的基本事件，准确求出m 、n 的个数，求基本事件个数的常用方法有：列举法、列表法和树状图法．[对点训练]1.(北京高考)如图，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)解：(1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10， 所以平均数为：x ＝8＋8＋9＋104＝354；方差为：s 2＝14×⎝⎛⎭⎪⎫8－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫10－3542＝1116.(2)记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，用C表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)．故所求概率为P(C)＝416＝14.[典例2] 黄种人群中各种血型的人所占比例如下：输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，则：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？[解] (1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的，由已知，得：P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B、O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′，根据互斥事件的加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输血给B型血的人”为事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.所以，任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.[借题发挥] 准确理解互斥事件与对立事件的定义是正确应用公式的前提，如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，注意应用加法公式的前提条件是事件A与事件B互斥；若事件A与事件B是对立事件，则P(A)＝1－P(B)．[对点训练]2．据统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率．解：法一：设事件A 表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B 表示“一个月内被投诉的次数为1”，又∵A 与B 是互斥事件，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9.法二：设事件A 为“一个月内被投诉不超过1次”，A －为“一个月内被投诉次数超过1次”，A 与A －为对立事件．∴P (A －)＝0.1，又∵P (A )＋P (A －)＝1，∴P (A )＝1－P (A －)＝0.9.[典例3] 在等腰Rt△ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率．[解] 在AB 上截取AC ′＝AC . 于是P (AM ＜AC )＝P (AM ＜AC ′)＝AC ′AB ＝AC AB ＝22. 所以AM 的长小于AC 的长的概率为22. [借题发挥] 若试验同时具有：①基本事件的无限性；②每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型．由于其结果的无限性，概率就不能应用P (A )＝mn求解，故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．[对点训练]3．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115；(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35.(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件：①如果a ，b 是实数，那么b ＋a ＝a ＋b ；②某地1月1日刮西北风；③当x 是实数时，x 2≥0；④一个电影院某天的上座率超过50%，其中是随机事件的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 由题意可知①③是必然事件，②④是随机事件． 2．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是( ) A ．频率就是概率B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数的增多，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定 解析：选C 由频率与概率关系知C 正确．3．从含有3个元素的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是( )A.310 B.112 C.4564 D.38解析：选D 所有子集共8个；其中含有2个元素的为{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }． 4．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85)(g)范围内的概率是( )A ．0.62B ．0.38C ．0.02D ．0.68解析：选C 其中质量小于4.85 g 包括质量小于4.8 g 和质量在[4.8,4.85)范围内两种情况，所以所求概率为0.32－0.3＝0.02.5．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是( )A.13B.14C.16D.112解析：选D 由题意知(m ，n )的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)．共36种情况．而满足点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种情况，故所求概率为336＝112.6．(北京高考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22 C.π6 D.4－π4解析：选D 画草图易知区域D 是边长为2的正方形，到原点的距离大于2的点在以原点为圆心，以2为半径的圆的外部，所以所求事件的概率为P ＝2×2－14·π·222×2＝4－π4.7．从集合A ＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的概率为( )A.29B.13C.49D.59解析：选A 直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限，即k ＜0，b ＞0，总的基本事件个数是3×3＝9；k ＜0，b ＞0包含的基本事件有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以直线不经过第三象限的概率是P＝29. 8．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8解析：选B 长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，因此取到的点到O 的距离小于1的概率为π2÷2＝π4，取到的点到O 的距离大于1的概率为1－π4.9．下列概率模型：①从区间[－10,10]内任取一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ③从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1且小于5的数的概率；④向一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离正方形的中心不超过1 cm 的概率． 其中是几何概型的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C ①是，因为区间[－10,10]内有无限多个数，对应数轴上无限多个点，且取到“1”这个数对应的点的概率为0；②是，因为区间[－10,10]和[－1,1]内都有无限多个数可取(无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的可能性相同(等可能性)；③不是，因为区间[－10,10]内的整数只有21个，不满足无限性；④是，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点(无限性)，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到(等可能性)．10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.19B.29C.718D.49解析：选D 首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a －b |≤1，由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而依题意得基本事件的总数有36种．因此他们“心有灵犀”的概率为P ＝1636＝49.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝________.解析：圆的半径是1，则正方形的边长是2，故正方形EFGH 的面积为(2)2＝2.又圆的面积为π，则由几何概型的概率公式，得P (A )＝2π.答案：2π12．在区间[0,4]上任取一实数a ，使方程x 2＋2x ＋a ＝0有实根的概率是________． 解析：当4－4a ≥0即a ≤1时方程有实根，故所求的概率为P ＝14.答案：1413．(福建高考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为________．解析：因为0≤a ≤1，由3a －1>0得13<a ≤1，由几何概率公式得，事件“3a －1>0”发生的概率为1－131＝23.答案：2314．某射击选手射击一次，击中10环、9环、8环的概率分别为0.3,0.4,0.1，则该射击选手射击一次，击中大于或等于9环的概率是________，击中小于8环的概率是________．解析：设“击中10环”“击中9环”“击中8环”分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝0.3，P (B )＝0.4，P (C )＝0.1，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.7，P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.8， ∴P ＝1－0.8＝0.2. 答案：0.7 0.2三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：(2)求该班成绩在[61,100]内的概率．解：记该班的测试成绩在[100～91)，[90～81)，[80～71)，[70～61)内依次为事件A ，B ，C ，D ，由题意知事件A ，B ，C ，D 是彼此互斥的．(1)该班成绩在[81,100]内的概率是P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.15＋0.25＝0.4.(2)该班成绩在[61,100]内的概率是P (A ＋B ＋C ＋D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.15＋0.25＋0.36＋0.17＝0.93.16．(12分)设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是4 3 cm ，现用直径等于2 cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．解：记A ＝{硬币落下后与格线没有公共点}，在每个最小等边三角形内再作小等边三角形使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则新作小等边三角形的边长为2 3.∴P (A )＝34323432＝14. 17．(12分)为迎接2017全运会，某班开展了一次“体育知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩(满分为100分，分数均为整数)进行统计，制成如下的频率分布表：(1)求a，b，c(2)若得分在[90,100]之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率．解：(1)a＝50×0.1＝5，b＝2550＝0.5，c＝50－5－15－25＝5，d＝1－0.1－0.3－0.5＝0.1.(2)把得分在[90,100]之间的五名学生分别记为男1，男2，女1，女2，女3.事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10个基本事件；事件“获得一等奖的全部为女生”包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3个基本事件．所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P＝310.18．(14分)有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中，随机抽取2个．①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率．解：(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个，设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P(A)＝610＝35.(2)①设一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共有15种．②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．所以P(B)＝615＝25.模块综合检测(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个年级共有12个班，每个班学生的学号都从1到50，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下，这里运用的是( )A ．分层抽样法B ．抽签法C ．随机数表法D ．系统抽样法 答案：D2．一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为( ) A ．5 B ．15 C ．2 D ．80解析：选A 由频数、频率的概念，设该组的频数为n ，则n ＝20×0.25＝5. 3.如图所示，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是( )A.12B.34C.38D.18解析：选C 此题是几何概型问题，P ＝阴影面积总面积＝38.4．已知x ，y 的取值如下表所示，如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为y ＝bx ＋2，则b 等于( )A ．－12 B.12 C ．－110 D.110解析：选B 由表格数据知x ＝3，y ＝5，又线性回归方程过(x ，y )，即过点(3,5)， ∴5＝3b ＋72.∴b ＝12.5．某县有30个乡，其中山区有6个，丘陵地区有12个，平原地区有12个，要从中抽取5个乡进行调查，则应在丘陵地区、平原地区和山区各抽取的乡的个数分别是( )A ．2,2,1B ．1,2,2C ．1,1,3D ．3,1,1解析：选A 由分层抽样的定义知，抽样比为530＝16，则丘陵地区，平原地区和山区抽取的个数分别为：2,2,1.6．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )A．0.95 B．0.7 C．0.35 D．0.05解析：选D “抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.7．阅读下列程序：输入xIf x<0 Theny＝2*x+3ElseIf x>0 Theny＝-2*x+5Elsey=0End IfEnd If输出y.如果输入x=-2，则输出结果为( )A．0 B．－1 C．－2 D．9解析：选B 输入x＝－2，则－2<0成立，则y＝2×(－2)＋3＝－1，则输出－1.8.为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10 000 位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000位居民中再用分层抽样抽出100位居民做进一步调查，则在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是( )A ．25B ．30C ．50D ．75解析：选A 抽出的100位居民中平均每天看电视的时间在[2.5,3)(小时)时间内的频率为0.5×0.5＝0.25，所以这10 000位居民中平均每天看电视的时间在[2.5,3)(小时)时间内的人数是10 000×0.25＝2 500，抽样比是10010 000＝1100，则在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是2 500×1100＝25.9.(天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序， 则输出n 的值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：选D 第1次，S ＝－1，不满足判断框内的条件；第2次，n ＝2，S ＝1，不满足判断框内的条件；第3次，n ＝3，S ＝－2，不满足判断框内的条件；第4次，n ＝4，S ＝2，满足判断框内的条件，结束循环，所以输出的n ＝4.10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P (A )＝39＝13.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 11．某5人上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x 2＋y 2的值为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋10＋11＋95＝10，15x －2＋y －2＋－2＋－2＋－2]＝2，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，x 2＋y 2－x ＋y ＋192＝0.所以x 2＋y 2＝208. 答案：20812．(安徽高考)如图所示，算法框图的输出结果是________．解析：第一次进入循环体有T ＝0＋0，第二次有T ＝0＋1，第三次有T ＝0＋1＋2，……第n 次有T ＝0＋1＋2＋…＋n －1，令T ＝n n －2>105，解得n >15(n <－14舍去)，故n ＝16，k ＝15.答案：1513．若执行如图所示的框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，x －＝2，则输出的数等于______．解析：算法的功能是求解三个数的方差，输出的是S ＝－2＋－2＋－23＝23. 答案：2314．(浙江高考)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为22的概率是________． 解析：设此正方形为ABCD ，中心为O ，则任取两个点的取法有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，AO ，BO ，CO ，DO ，共10种；取出的两点间的距离为22的取法有OA ，OB ，OC ，OD ，共4种，故所求概率为410＝25.答案：25三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)在2013辽宁全运会上两名射击运动员甲、乙在比赛中打出如下成绩： 甲：9.4,8.7,7.5,8.4,10.1,10.5,10.7,7.2,7.8,10.8； 乙：9.1,8.7,7.1,9.8,9.7,8.5,10.1,9.2,10.1,9.1；(1)用茎叶图表示甲、乙两个人的成绩；并根据茎叶图分析甲、乙两人成绩；(2)分别计算两个样本的平均数x 和标准差s ，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定．解：(1)如图所示，茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字.由图知，甲的中位数是9.05，乙的中位数是9.15，乙的成绩大致对称，可以看出乙发挥稳定性好，甲波动性大．(2)x 甲＝110×(9.4＋8.7＋7.5＋8.4＋10.1＋10.5＋10.7＋7.2＋7.8＋10.8)＝9.11，s 甲＝110－2＋－2＋…＋－2]＝1.3，x 乙＝110×(9.1＋8.7＋7.1＋9.8＋9.7＋8.5＋10.1＋9.2＋10.1＋9.1)＝9.14， s 乙＝110－2＋－2＋…＋－2]＝0.9，由s 甲＞s 乙，这说明了甲运动员的波动大于乙运动员的波动，所以我们估计乙运动员比较稳定．16．(12分)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋面积x 的数据：(1)(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格． 解：(1)数据对应的散点图如下图所示：(2)x ＝15＝109，(x i －x )2＝1 570，y ＝15＝23.2，(x i －x )(y i －y )＝308.设所求回归直线方程为y ＝bx ＋a ，则b ＝＝3081 570≈0.196 2， a ＝y －b x ≈23.2－109×0.1 962＝1.814 2.故回归直线方程为y ＝0.196 2x ＋1.814 2，回归直线在(1)中的散点图中． (3)据(2)知当x ＝150 m 2时，销售价格估计为：y ＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2≈31.2(万元)．17．(12分)下表为某班英语及数学的成绩分布，全班共有学生50人，成绩分为1～5五个档次，例如表中所示英语成绩为4分，数学成绩为2分的学生共5人，设x 、y 分别表示英语成绩和数学成绩.(1)x ＝4 (2)x ＝2的概率是多少？a ＋b 的值是多少？ 解：(1)P (x ＝4)＝1＋5＋7＋150＝725；P (x ＝4，y ＝3)＝750；P (x ≥3)＝P (x ＝3)＋P (x ＝4)＋P (x ＝5)＝710；(2)P (x ＝2)＝1－P (x ＝1)－P (x ≥3)＝1－550－710＝15，又P (x ＝2)＝1＋b ＋6＋0＋a 50＝15，所以a ＋b ＝3.18．(14分)一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：类轿车10辆． (1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解：(1)设该厂这个月共生产轿车n 辆， 由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000，则z ＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车， 由题意得4001 000＝a5，则a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个，事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个， 故P (E )＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x ＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有：9.4,8.6,9.2，8.7，9.3,9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.。
高中数学第三章《不等式》复习与小结(一)教案北师大版
高中数学第三章《不等式》复习与小结（一）教课设计北师大版一、教课目的：1．会用不等式（组）表示不等关系；2．熟习不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题” ，会用作差法比较大小；3．会解一元二次不等式，熟习一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4．会作二元一次不等式（组）表示的平面地区，会解简单的线性规划问题； 5．明确均值不等式及其建立条件，会灵巧应用均值不等式证明或求解最值。
二、教课要点：不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面地区，求线性目标函数在线性拘束条件下的最优解，基本不等式的应用。
教课难点：利用不等式加法法例及乘法法例解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。
三、教课方法：探析概括，讲练联合四、教课过程（Ⅰ）、本章知识构造（Ⅱ）、知识梳理（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1) 对称性：a b b a ；(2)传达性：a b, b c a c(3)加法法例： a b a c b c ；a b, c d a c b d(4)乘法法例： a b,c0ac bc ； a b,c0ac bca b0, c d0ac bd(5)倒数法则：a b, ab011(6)乘方法则：a ba b 0 a n b n (n N * 且 n 1)开方法例： a b0a b( n N * 且 n1)2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法3、应用不等式性质证明（二）一元二次不等式及其解法一元二次不等式 ax 2bx c 0或 ax2bx c 0 a0 的解集：设相应的一元二次方程ax2bx c 0 a0 的两根为 x1、 x2且 x1x2，b24ac ，则不等式的解的各样状况以下表：( 让学生独立达成课本第86 页的表格 )000y ax 2bx c y ax 2bx c y ax2bx c 二次函数y ax2bx c（a 0 ）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax 2bx c0x1, x2 (x1x2 )x1x2b无实根a0 的根2aax 2bx c0x x x1或 x x2x x b(a0)的解集2a Rax 2bx c0x x1x x2( a0)的解集（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面地区：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧全部点构成的平面地区. （虚线表示地区不包含界限直线）2、二元一次不等式表示哪个平面地区的判断方法：因为对在直线Ax+By+C=0同一侧的全部点(x, y )，把它的坐标（x, y )代入Ax+By+C，所获得实数的符号都同样，因此只要在此直线的某一侧取一特别点（x , y )，从 Ax +By +C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧0000的平面地区 . （特别地，当≠0 时，常把原点作为此特别点）C3、线性规划的相关观点：①线性拘束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量、y 的x拘束条件，这组拘束条件都是对于x、 y 的一次不等式，故又称线性拘束条件．②线性目标函数：对于 x、 y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所波及的变量x、 y 的分析式，叫线性目标函数．③ 线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性拘束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：知足线性拘束条件的解（x, y）叫可行解．由全部可行解构成的会合叫做可行域．使目标函数获得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性拘束条件下的最优解的步骤：（1）找寻线性拘束条件，线性目标函数；（ 2）由二元一次不等式表示的平面地区做出可行域；（ 3）在可行域内求目标函数的最优解（四）基本不等式ab a b 21 、假如 a,b是正数，那么a b ab (当且仅当 a b时取 " "号 ).2ab a b22、基本不等式几何意义是“ 半径不小于半弦”（Ⅲ）、典型例题1、用不等式表示不等关系（1）、某种杂志原以每本 2.5元的价钱销售，能够售出8 万本。
高中数学第三章统计案例章末小结知识整合与阶段检测北师大选修讲课文档
|r|值越大，相关性越高，|r|来自越接近 0，线性相关程度越低．
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二、独立性检验 独立性检验的一般步骤 (1)列出 2×2 列联表； (2)代入公式计算 χ2＝a＋can＋adb－bb＋cd2c＋d； (3)根据 χ2 的值的大小作出判断．
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高中数学第三章统计案例章末小结知识整合与阶段检测课件 北师大选修
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知识整合与阶段检测
一、回归分析 1．线性回归分析 对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…， (xn，yn)，其线性回归直线方程为
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y＝a＋bx，
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x ·y
i＝1
i＝1
其中 b＝
＝
，
n
xi－ x 2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
a＝ y －b x .
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2．相关系数
n
xi－ x yi－ y
i＝1
r＝
n
n
xi－ x 2· yi－ y 2
i＝1
i＝1
n
xiyi－n x ·y
i＝1
＝
，
n
x2i －n x 2·
i＝1
n
y2i －n y 2
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第三章 统计案例知识整合与阶段检测[对应学生用书P42]一、回归分析 1．线性回归分析对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其线性回归直线方程为y ＝a ＋bx ，其中b ＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2＝∑i ＝1nx i y i －n x·y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ＝y －b x .2．相关系数r＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2·∑i ＝1ny i －y2＝∑i ＝1nx i y i －n x·y∑i ＝1nx 2i －n x 2·∑i ＝1ny 2i －n y 2，|r |值越大，相关性越高，|r |值越接近0，线性相关程度越低． 二、独立性检验 独立性检验的一般步骤 (1)列出2×2列联表； (2)代入公式计算χ2＝n ad －bc 2a ＋ca ＋b b ＋dc ＋d；(3)根据χ2的值的大小作出判断．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测三 见8开试卷(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(全国新课标)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12D ．1解析：因为所有的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系，所以相关系数为1. 答案：D2．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程y ＝a ＋bx A ．(2,2) B ．(1.5,0) C ．(1,2)D ．(1.5,4)解析：线性回归方程y ＝a ＋bx 必过点(x －，y －)． 答案：D3．下列现象的相关程度最高的是( )A ．某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为0.87B ．流通费用率与商业利润之间的相关系数为－0.94C ．商品销售额与商业利润之间的相关系数为0.51D ．商品销售额与流通费用率之间的相关系数为－0.81 解析：|r |越接近1，相关程度越高． 答案：B4．已知某车间加工零件的个数x 与所花费时间y (h)之间的线性回归方程为y ＝0.01x ＋0.5，则加工600个零件大约需要( )A ．6.5 hB ．5.5 hC ．3.5 hD ．0.5 h解析：当x ＝600，y ＝600×0.01＋0.5＝6.5(h)． 答案：A5．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有( )A．b与r的符号相同 B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反 D．a与r的符号相反解析：因为b>0时，两变量正相关，此时，r>0；b<0时，两变量负相关，此时r<0.答案：A6．以下关于线性回归的判断，正确的个数是( )①若散点图中的所有点都在一条直线附近，则这条直线的方程为回归方程②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A，B，C点③已知线性回归方程为y＝－0.81＋0.50x，则x＝25时，y的估计值为11.69④线性回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势A．0 B．1C．2 D．3解析：由最小二乘法得到的方程才是线性回归方程，故①错，将x＝25代入y＝－0.81＋0.50x，得y＝11.69，故③正确，②④也正确．答案：D7．某考察团对全国10大城市的职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)进行统计调查，y与x 具有相关关系，回归方程为y＝0.66x＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )A．83% B．72%C．67% D．66%解析：当y＝7.675时，x＝7.675－1.5620.66≈9.262，7.6759.262×100%≈83%.故选A.答案：A8．两个相关变量满足如下关系：则两变量的回归方程为A．y＝0.56x＋997.4 B．y＝0.63x－231.2C．y＝0.56x＋501.4 D．y＝60.4x＋400.7解析：回归直线经过样本中心点(20,1 008.6)，经检验只有选项A符合题意．故选A. 答案：A9．若线性回归方程中的回归系数b＝0时，则相关系数为( )A ．r ＝1B ．r ＝－1C ．r ＝0D ．无法确定解析：当b ＝0时，∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x－2＝0，即∑i ＝1nx i y i －n x － y －＝0，∴r ＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x－2∑i ＝1ny 2i －n y －2＝0.答案：C10．某工厂为预测某种产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取了8组观察值．计算知∑i ＝18x i ＝52，∑i ＝18y i ＝228，∑i ＝18x 2i ＝478，∑i ＝18x i y i ＝1 849，则y 对x 的线性回归方程是( )A ．y ＝11.47＋2.62xB ．y ＝－11.47＋2.62xC ．y ＝2.62＋11.47xD ．y ＝11.47－2.62x解析：由已知条件得x －＝6.5，y －＝28.5.由b ＝∑i ＝18x i y i －n x － y－∑i ＝18x 2i －n x －2，a ＝y －－b x －，计算得b ≈2.62，a ≈11.47， 所以y ＝11.47＋2.62x . 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：根据表中数据，得到χ2＝23×27×20×30≈4.844.则有________的把握，则认为选修文科与性别有关系．解析：∵χ2＝4.844>3.841，∴至少有95%的把握认为是否选修文科与性别有关．答案：95%12．已知变量x，y具有线性相关关系，测得(x，y)的一组数据如下：(0,1)，(1,2)，(2,4)，(3,5)，其回归方程为y＝1.4x＋a，则a的值是________．解析：x＝0＋1＋2＋34＝1.5，y＝1＋2＋4＋54＝3，∴这组数据的样本中心点是(1.5,3)，把样本中心点代入回归直线方程y＝1.4x＋a，∴3＝1.4×1.5＋a，∴a＝0.9.答案：0.913．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y＝3e2x＋1的图像附近，则可通过转换得到的线性回归方程为________________．解析：由y＝3e2x＋1，得ln y＝ln(3e2x＋1)，即ln y＝ln 3＋2x＋1.令u＝ln y，v＝x，则线性回归方程为u＝1＋ln 3＋2v.答案：y＝1＋ln 3＋2x14．有甲、乙两个班级进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表．班级与成绩列联表由上表提供的数据可知，学生的成绩与班级之间________．(填“有关系”或“没有关系”)解析：由公式，得χ2＝－217×73×45×45≈0.653.因为0.653<2.706.所以我们没有理由说成绩与班级有关系．答案：没有关系三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)在国家未实施西部开发战略前，一新闻单位在应届大学毕业生中随机抽取1 000人问卷，只有80人志愿加入西部建设．而国家实施西部开发战略后，随机抽取1 200名应届大学毕业生问卷，有400人志愿加入国家西部建设．根据以上数据建立一个2×2的列联表．解：2×2的列联表如下：16．(本小题满分12分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，剩下的2组数据用于回归方程检验．(1)若选取12月1日和12月5日这两日的数据进行检验，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得到的线性回归方程是否可靠？若可靠，请预测温差为14℃时的发芽数．解：(1)由数据，求得x ＝12，y ＝27.故∑i ＝13x i y i ＝977，3x ·y ＝972，∑i ＝13x 2i ＝434,3x 2＝432，由公式，求得b ＝52，a ＝y －b x ＝－3.所以y 关于x 的线性回归方程为y ＝52x －3.(2)当x ＝10时，y ＝52×10－3＝22，|22－23|＜2；当x ＝8时，y ＝52×8－3＝17，|17－16|＜2.所以得到的线性回归方程是可靠的． 当x ＝14时，有y ＝52x －3＝35－3＝32，所以预测温差为14 ℃时的发芽数约为32颗．17．(本小题满分12分)某些行为在运动员的比赛之间往往被赋予很强的神秘色彩，如有种说法认为，在进入某乒乓球场比赛前先迈入左脚的球员就会赢得比赛的胜利．某记者为此追踪了某著名乒乓球运动员在该球场中的308场比赛，获得数据如下表：解：根据公式可得， χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝－2205×103×262×46≈1.502.因为1.502<2.706，所以我们认为先迈入左脚与否跟比赛的胜负是无关的．18．(本小题满分14分)在某次试验中，有两个试验数据x ，y ，统计的结果如下面的表格1.(1)在给出的坐标系中画出数据(x ，y )的散点图．(2)补全表格2，然后根据表格2的内容和公式b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ＝y －b x .①求出y 对x 的回归直线方程y ＝a ＋bx 中回归系数a ，b ；②估计当x 为10时y 的值是多少． 解：(1)数据(x ，y )的散点图如图所示：(2)表格如下：计算得x ＝3，y ＝3.6，b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝61－5×3×3.655－5×32＝0.7， a ＝y －b x ＝3.6－0.7×3＝1.5，所以y ＝a ＋bx ＝1.5＋0.7x ， 当x 为10时，y ＝8.5.。