高三数学上学期练习卷《简单几何体》
高三上学期数学立体几何空间几何体基础知识测试卷
上学期高三数学立体几何空间几何体基础知识测试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列几何体中是四棱锥的是( )A. B. C. D.2.已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A. 2B. 2√2C. 4D. 4√23.如图所示的组合体是由哪个平面图形旋转形成的( )A. B. C. D.4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC=AB=2，则原平面图形的面积为( )A. 3√2B. 3√2C. 12√2D. 6√225.已知三个球的表面积之比是1：2：3，则这三个球的体积之比为( )A. 1：√2：√3B. 1：2√2：3√3C. 1：4：9D. 1：8：276.棱长都是1的三棱锥的表面积为( )A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√37. 木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且▵ADE,▵BCF均为正三角形，EF//CD,EF=4，则该木楔子的体积为( )A. 8√23B. 4√2 C. 4√23D. 2√28.正方体ABCD−A1B1C1D1中，P,Q,R分别是A1D1,C1D1,AA1的中点.那么过P,Q,R三点的截面图形是( )A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法中不正确的是( )A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线10.已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB=BC=CA=2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的13，则下列结论正确的是( )A. 球O的半径为32B. 球O的表面积为6πC. 球O的内接正方体的棱长为√6D. 球O的外切正方体的棱长为√611.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是线段A1D1靠近点D1的三等分点，点F，G分别为C1D1，B1C1的中点．下列说法中正确的是A. A，C，E，F四点共面B. AD1⊥B1DC. BG//平面ACD1D. 三棱锥D−ACD1与三棱锥B−ACD1体积相等12. 已知圆锥的底面半径为1，高为√3，S为顶点，A，B为底面圆周上两个动点，则( )A. 圆锥的体积为√33πB. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为π2C. 圆锥截面SAB的面积的最大值为√3D. 从点A出发绕圆锥侧面一周回到点A的无弹性细绳的最短长度为3√3三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若AA1=AC=2，AB⊥BC，则此球的体积为__________．14.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=3cm，BC=4cm，CA=5cm，AA1=6cm，则四棱锥A1−B1BCC1的体积为cm315.空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若AC=BD=a，且AC与BD所成的角为60∘，则四边形EFGH的面积为_____．16.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为____．四、解答题（本大题共6小题，共70分。
高三第一轮复习训练题数学15直线平面简单几何体1
高三第一轮复习训练题数学（十五）（直线、平面、简单几何体1）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知二面角l αβ--的大小为060，,m n 为异面直线，且,m n αβ⊥⊥，则,m n 所成的角为 A ．030 B ．060 C ．090 D ．01202．在空间四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果GH 、EF 交于一点P ，则A ．P 一定在直线BD 上B ．P 一定在直线AC 上C ．P 在直线AC 或BD 上 D ．P 既不在直线BD 上，也不在AC 上3．如图S 为正三角形所在平面ABC 外一点，且SA ＝SB ＝SC ＝AB ，E 、F 分别为SC 、AB 中点，则异面直线EF 与SA 所成角为A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º4．.已知直线m 、n 与平面α、β,给出下列三个命题： ①若m ∥α，n ∥α,则m ∥n ;②若m ∥α,n ⊥α,则n ⊥m ;③若m ⊥α,m ∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是A ．0B ．1C ．.2D ．35．若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是A ．//a β且αβ⊥B ．a β⊂且αβ⊥C ．a b ⊥且//b αD ．a β⊥且//αβ6．在北纬45°圈上有A 、B 两地，A 地在东经120°，B 地在西经150°，设地球半径为R ，则A 、B 两地的球面距离为A ．R π35B ．R π21C ．R π42 D ．R π317．对于直线m 、n 和平面a ，下面命题 中的真命题是 A ．如果,a m ⊂n ∥a ，n m 、共面，那么m ∥n B ．如果,a m ⊂n 与a 相交，那么n m 、是面直线 C ．如果n m a n a m 、,,⊄⊂是异面直线，那么n ∥aD ．如果m ∥a ,n ∥a ,n m 、共面，那么m ∥n8．P A 、PB 、PC 是从点P 引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60º，则直线PC 与平面APB 所成角的余弦值是A ．12B ．6 C ．3 D ．3 9．设直线m n 、和平面αβ、，则下列命题中正确．．的是 A ．若//m n m n αβ⊂⊂，，，则//αβ B ．若//m n m n αβ⊂⊥，，，则αβ⊥ C ．若m m n n αβ⊥⊥⊂，，，则//αβ D ．若//m n m n αβ⊥⊥，，，则αβ⊥ 10．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是 A ．若AB=AC ，DB=DC ，则AD=BC B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线C ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面 D ．若AB=AC ，DB=DC ，则AD ⊥BC 11．对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是 A ．若,,m m n α⊥⊥则n α∥ B ．若m αα∥,n ∥,则m ∥nC ．若,m n αα⊂∥,则m ∥nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n12．如图所示，b 、c 在平面α内，a ∩c=B ，b ∩c=A ，且a ⊥b ，a ⊥c ，b ⊥c ，若C ∈a ，D ∈b ，E 在线段AB 上（C ，D ，E 均异于A ，B ），则△CDE 是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形A. 1B. 2C. 3D. 4 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。
高考数学 简单几何体模块跟踪训练5
高考数学 简单几何体模块跟踪训练5一、选择题(8×5＝40分)1．α、β是两个平行平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，a 与b 之间的距离为d 1，α与β之间的距离为d 2，则( )A ．d 1＝d 2B ．d 1≥d 2C ．d 2<d 2D ．d 1>d 2答案：B解析：由条件知，a 与b 的位置关系是平行或异面．若a ∥b ，则d 1≥d 2；若a 、b 异面，则d 1＝d 2. 2．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，PA ⊥平面ABC ，PA ＝8，则P 到BC 的距离为( )A.5B ．2 5C ．35D ．4 5答案：D解析：取BC 中点E ，连结AE 、PE ，由AE ⊥BC 知PE ⊥BC ，即PE 为点P 到BC 的距离．则∵PA ＝8，AE ＝4，∴PE ＝4 5.3．(2009·成都市高中毕业班第一次诊断性检测题)如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AA 1＝AB ＝AD ＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，∠BAD ＝90°，则直线A 1D 1到平面ABCD 的距离为( )A ．1 B.22C.33D.63答案：B解析：作A 1O ⊥平面ABCD 于点O ，连结AO .由∠A 1AD ＝∠A 1AB 得点O 位于∠BAD 的平分线上，且cos∠A 1AD ＝cos∠A 1AO ·cos∠DAO ，因此cos∠A 1AO ＝cos∠A 1AD cos∠DAO ＝22，sin∠A 1AO ＝22，由题意知直线A 1D 1到平面ABCD 的距离等于点A 1到平面ABCD 的距离，即1×22＝22，选B. 4．(2009·黄冈市高三年级月考试题)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为2，E 、F 分别是AB 、A 1C 1的中点，则EF 的长是( )A ．2 B. 3C.5D.7答案：C解析：过F 作FM ⊥AC 于M ，连接ME ，则△EFM 为直角三角形．∴|EF |＝|FM |2＋|ME |2＝ 5.5．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为1，E 是A 1B 1上的点，则点E 到平面ABC 1D 1的距离是( )A.32B.22C.12D.33答案：B解析：如示意图．取AD 1、BC 1的中点分别为M 、N ，连结A 1M 、B 1N 、MN .则A 1M 綊B 1N ＝12AD 1＝22. ∴A 1B 1∥MN ，A 1B 1∥平面ABC 1D 1. ∵A 1B 1⊥平面B 1BCC 1，∴A 1B 1∥B 1N .∴MN ⊥B 1N .又B 1N ⊥BC 1，∴B 1N ⊥平面ABC 1D 1.∴点E 到平面ABC 1D 1的距离为A 1M ＝22. 6．A 是正方形BCDE 所在平面外一点，AE ⊥平面BCDE ，且AE ＝CD ＝a ，G 、H 分别是BE 、ED 的中点，则GH 到平面ABD 的距离是( )A.32aB.33aC.34aD.36a 答案：D解析：如图G 到平面ABD 的距离是E 到平面ABD 距离的一半，可先求后者．易知AB ＝AD ＝BD ＝2BE ＝2a ，∴S △ABD ＝34AB 2＝34×(2a )2 ＝32a 2，S △BED ＝12a 2， 设E 到平面ABD 的距离为h .由V E －ABD ＝V A －BED 得：13S △ABD ·h ＝13S △BED ·AE ， ∴13×32a 2h ＝13×12a 2×a ，∴h ＝33a . ∴GH 到平面ABD 的距离h ′＝12h ＝36a . 7．空间四边形ABCD 的各边与两条对角线的长都是1，点P 在边AB 上移动，点Q 在CD 上移动，则点P 和Q 的最短距离为( )A.12B.22C.34D.32答案：B解析：易证，当P 、Q 分别为AB 、CD 的中点时，PQ 间距离最短，解Rt △ADQ 及Rt△APQ ，得PQ ＝22. 8．已知三棱锥S －ABC 中，SA ，SB ，SC 两两互相垂直，底面ABC 上一点P 到三个面SAB ，SAC ，SBC 的距离分别为2，1，6，则PS 的长度为( )A ．9 B. 5 C.7 D ．3答案：D解析：P 到三个面的距离可以构成一个长方体的三边，则PS 是对角线，PS ＝2＋1＋6＝3.二、填空题(4×5＝20分)9．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝2，AD ＝A 1A ＝1，则直线B 1C 与A 1D 的距离为________；直线AC 与B 1D 1的距离为________；点A 到直线B 1C 的距离为________；点B 到平面AB 1C 的距离为________；直线B 1C 1到CD 1的距离为________．答案：2 1 32223255 解析：如图：①易知B 1C ∥A 1D 而CD ⊥A 1D ，CD ⊥B 1C ，∴CD 的长为直线B 1C 与A 1D 的距离等于2；②易知AC 与B 1D 1距离为BB 1＝1；③连AC 、AB 1、B 1C 作AE ⊥B 1C 于E 由题意易知AC ＝AB 1＝5，B 1C ＝ 2∴AE ＝5－12＝322； ④连结AB 1，B 1C ，AC 1由所给题条件易得：VB —AB 1C ＝13， 由③得：S △AB 1C ＝22×2×32＝32， ∴由等体积法得所求距离为23； ⑤作C 1F ⊥CD 1，∵四边形ABCD 为长方形，∴B 1C 1⊥面C 1D ，∴B 1C 1⊥C 1F ，∴C 1F 即为所求C 1F ＝1×25＝25 5. 10．(2009·昆明质检)三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AP ＝2，D 为AB 中点，E 为BC 中点，则点D 到直线PE 的距离等于________．答案：306解析：如图，由题意知ED ⊥AB ，由三垂线定理知，ED ⊥PD ，又ED ＝1，PD ＝5，PE ＝6，则点D 到直线PE 的距离等于ED ·PD PE ＝306，故填306.11．如右图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ACD ⊥平面ABC ，则折起后B 、D 两点的距离为________；直线BD 和平面ABC 所成角的大小是________.答案：1 45°解析：在Rt△BOD 中，OB ＝OD ＝22，则BD ＝1. ∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成角的大小，∠DBO ＝45°.12．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的．如下图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧．正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1,2和4.P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7；以上结论正确的为________．(写出所有正确结论的编号．．) 答案：①③④⑤解析：如图若P 位于C ，∵平面ABCD 为正方形，∴BD 与AC 的中点为同一点O .∵B 、D 到平面α的距离分别为2、1，∴O 到平面α的距离为32. ∴C 到平面α的距离为3. 若P 位于B 1，∵B 1B 綊A 1A ，∴B 1到平面α的距离等于A 1到平面α的距离加B 到平面α的距离为6.同理，若P 位于C 1，则C 1到平面α的距离为7.若P 位于D 1，则D 1到平面α的距离为5.三、解答题(4×10＝40分)13．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点．(1)求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1；(2)求点D 1到平面B 1EF 的距离d .分析：(1)可先证EF ⊥平面BDD 1B 1.(2)用几何法或等积法求距离时，可由B 1D 1∥BD ，将点进行转移：D 1点到平面B 1EF 的距离是B 点到它的距离的4倍，先求B 点到平面B 1EF 的距离即可．解答：(1)证明： ⎭⎪⎬⎪⎫EF ⊥BD EF ⊥B 1B ⇒EF ⊥平面BDD 1B 1⇒平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. (2)解：解法一：连结EF 交BD 于G 点．∵B 1D 1＝4BG ，且B 1D 1∥BG ，∴D 1点到平面B 1EF 的距离是B 点到它的距离的4倍．利用等积法可求．由题意可知，EF ＝12AC ＝2，B 1G ＝17. S △B 1EF ＝12EF ·B 1G ＝12×2×17＝17， S △BEF ＝12BE ·BF ＝12×2×2＝1. ∵VB －B 1EF ＝VB 1－BEF ，设B 到面B 1EF 的距离为h 1，则13×17×h 1＝13×1×4， ∴h 1＝41717. ∴点D 1到平面B 1EF 的距离为h ＝4h 1＝161717. 解法二：如图，在正方形BDD 1B 1的边BD 上取一点G ，使BG ＝14BD ， 连结B 1G ，过点D 1作D 1H ⊥B 1G 于H ，则D 1H 即为所求距离．可求得D 1H ＝161717(直接法)． 14．如图直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱CC 1＝2，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，M 是棱BC 的中点，N 是CC 1中点．求：(1)二面角B 1－AN －M 的大小；(2)C 1到平面AMN 的距离．解析：(1)∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，M 是棱BC 的中点，∴AM ⊥BC ，BC ＝2，AM ＝1.∴AM ⊥平面BCC 1B 1.∴平面AMN ⊥平面BCC 1B 1.作B 1H ⊥MN 于H ，HR ⊥AN 于R ，连结B 1R ，[∴B 1H ⊥平面AMN .又由三垂线定理知，B 1R ⊥AN .∴∠B 1RH 是二面角B 1－AN －M 的平面角． 由已知得AN ＝3，MN ＝2，B 1M ＝5＝B 1N ，则B 1H ＝322， 又Rt△AMN ∽Rt△HRN ，RH AM ＝HN AN ，∴RH ＝66. ∴B 1R ＝143，∴cos∠B 1RH ＝RH B 1R ＝714. ∴二面角B 1－AN －M 的大小为arccos714. (2)∵N 是CC 1中点，∴C 1到平面AMN 的距离等于C 到平面AMN 的距离．设C 到平面AMN 的距离为h ，由V C －AMN ＝V N －AMC得13×12·MN ·h ＝13×12AM ·MC . ∴h ＝22. 15．(2009·北京海淀一模)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，且AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，PA ＝AD ＝DC ＝2，AB ＝4.(1)求证：BC ⊥PC ；(2)求PB 与平面PAC 所成的角的正弦值；(3)求点A 到平面PBC 的距离．解析：(1)证明：如图，在直角梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AD ＝DC ＝2，∴∠ADC ＝90°，且AC ＝2 2.取AB 的中点E ，连结CE ，由题意可知，四边形ABCD 为正方形，∴AE ＝CE ＝2.又∵BE ＝12AB ＝2.∴CE ＝12AB ， ∴△ABC 为等腰直角三角形，∴AC ⊥BC .又∵PA ⊥平面ABCD ，且AC 为PC 在平面ABCD 内的射影，BC ⊂平面ABCD ，由三垂线定理得，BC ⊥PC .(2)由(1)可知，BC ⊥PC ，BC ⊥AC ，PC ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面PAC .PC 是PB 在平面PAC 内的射影，∴∠CPB 是PB 与平面PAC 所成的角．又CB ＝22，PB 2＝PA 2＋AB 2＝20，PB ＝25，∴sin∠CPB ＝BC PB ＝105，即PB 与平面PAC 所成角的正弦值为105.[ (3)由(2)可知，BC ⊥平面PAC ，BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC .过A 点在平面PAC 内作AF ⊥PC 于F ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF 的长即为点A 到平面PBC 的距离．在直角三角形PAC 中， PA ＝2，AC ＝22，PC ＝23，∴AF ＝263. 即点A 到平面PBC 的距离为263. 16．(2009·吉林长春一模)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠PDA ＝45°，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．(1)求证：AF ∥平面PCE ；(2)求二面角E －PD －C 的大小；(3)求点A 到平面PCE 的距离．解析：(1)证明：如图取PC 的中点G ，连结FG 、EG ，∴FG 为△PCD 的中位线，[∴FG ＝12CD 且FG ∥CD . 又∵底面四边形ABCD 是正方形，E 为棱AB 的中点，∴AE ＝12CD 且AE ∥CD ， ∴AE ＝FG 且AE ∥FG .∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF ∥EG .又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，∴AF ∥平面PCE .(2)解：∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AD ，PA ⊥CD .又AD ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD .又∵AF ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AF .又PA ＝2，∠PDA ＝45°，∴PA ＝AD ＝2.∵F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD .又∵CD ∩PD ＝D ，∴AF ⊥平面PCD .∵AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PCD .又GF ⊥PD ，连结EF ，则∠GFE 是二面角E －PD －C 的平面角．在Rt△EGF 中，EG ＝AF ＝2，GF ＝1， ∴tan∠GFE ＝GEGF＝ 2.∴二面角E －PD －C 的大小为arctan 2.(3)设A 到平面PCE 的距离为h ，由V A －PCE ＝V P －ACE ，即13×12PC ·EG ·h ＝13PA ·12AE ·CB ，得h ＝63， ∴点A 到平面PCE 的距离为63.。
高三数学过关检测14(简单几何体)
高三数学过关检测14（简单几何体）简单几何体一、考试讲明要求：内容要求 AB C 1 棱柱、棱锥、球的概念 √ 2 棱柱、正棱锥、球的性质√ 3球的表面积, 柱、锥、球的体积公式．√二、应知应会知识1．设M =｛正四棱柱｝，N =｛直四棱柱｝，P =｛长方体｝，Q =｛直平行六面体｝，那么四个集合的关系为〔 B 〕A ．M P N QB ．M P Q NC ．PMNQD ．PMQN2．设命题甲：〝直四棱柱1111D C B A ABCD -中，平面1ACB 与对角面D D BB 11垂直〞；命题乙：〝直四棱柱1111D C B A ABCD -是正方体〞，那么，甲是乙的 〔 C 〕A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件3．条件M ：四棱锥P －ABCD 的四个侧面差不多上全等的等腰三角形，条件N ：棱锥P －ABCD 是正四棱锥。
那么M是N的〔 D 〕A ．充要条件B ．既不充分又不必要条件C ．充分而不必要条件D ．必要而不充分条件4．假如四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为〝等腰四棱锥〞，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题．．．是 〔 B 〕 A ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上5．在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 边的中点，那么OM 与平面ABC 所成的角的大小是 〔 用反三角函数表示〕． 2．6．假设一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,那么cos α=______637．过三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有 条．68．如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的 中点，那么直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为 ．45。
2019届高三上期末数学分类汇编(23)简单的几何体结构、表面积和体积、球
（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）15.已知圆台的上、下底面都是球的截面，若圆台的高为，上、下底面的半径分别为，，则球的表面积为__________．【答案】【解析】【分析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。
【详解】设球半径为R，球心O到上表面距离为x，则球心到下表面距离为6-x,结合勾股定理，建立等式，解得，所以半径因而表面积【点睛】本道题考查了球表面积计算方法，难度中等。
（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）主视图左视图俯视图A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合三视图，还原直观图，计算体积，即可。
【详解】结合三视图，还原直观图，得到是一个四棱柱去掉了一个角，如图该几何体体积，故选C.【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，难度较大。
（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）8.已知正六棱锥的底面边长为，体积为，则其外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本道题先计算底面面积，进而得到该六棱锥的高，构造直角三角形ONC，结合勾股定理，建立关于球半径方程，计算，得到表面积，即可。
【详解】底面为正六边形，度数为，故每个角为，所以，，所以底面面积所以体积，解得结合题意可知，设球半径为R，则，对于三角形OCN，结合勾股定理，得到，所以面积为,故选A。
【点睛】本道题考查了球表面积计算方法，难度中等。
（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）5.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用三视图，还原出原几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【详解】根据几何体的三视图：该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体．所以：v，．故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于基础题型．（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）10.已知四面体，，则该四面体外接球的半径为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取直角三角形的斜边中点，点即的外心，球心在其正上方，作出球心后，利用余弦定理以及诱导公式列方程组，解方程求得外接球半径.【详解】设为的中点，由于三角形为直角三角形，故其外心为点，则球心在点的正上方，设球心为，作出图像如下图所示.其中，.由余弦定理得，.设外接球的半径为.在三角形中，由勾股定理得①.在三角形中，由余弦定理得②.在三角形中，由余弦定理可知，由于，则，所以，所以③.联立①②③可得.故选B.【点睛】本小题主要考查空间几何体的外接球半径的求法，考查利用余弦定理和勾股定理解三角形，属于中档题.（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）15.三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=,则三棱锥S-ABC的外接球的表面积是________【答案】【解析】由题意可得，所以取AB中点O,则O是三棱锥S-ABC的外接球的球心，半径为1.所以S=填。
高三数学立体几何练习题及答案
高三数学立体几何练习题及答案第一题：已知一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，求该长方体的体积和表面积。
解答：长方体的体积可以通过公式V = lwh 计算，其中l、w、h分别为长、宽、高。
根据题目给出的数据，代入公式可得 V = 3cm × 4cm × 5cm = 60cm³。
因此，该长方体的体积为60立方厘米。
长方体的表面积可以通过公式 S = 2lw + 2lh + 2wh 计算。
根据题目给出的数据，代入公式可得 S = 2 × 3cm × 4cm + 2 × 3cm ×5cm + 2 × 4cm × 5cm = 94cm²。
因此，该长方体的表面积为94平方厘米。
答案：体积：60立方厘米表面积：94平方厘米第二题：一个正方体的棱长为a，求该正方体所有顶点到一个固定点之间的最短距离之和。
解答：正方体的每个顶点到固定点的最短距离为正方体的对角线长。
对于正方体而言，其对角线的长度可以通过勾股定理求解。
设每个边长为a，则对角线长d满足 d² = a² + a² + a² = 3a²。
因此，每个顶点到固定点的最短距离之和为 8 × 3a² = 24a²。
答案：每个顶点到固定点的最短距离之和为24a²。
第三题：一个球体的直径为10cm，求该球体的体积和表面积（结果保留π）。
解答：球体的体积可以通过公式V = 4/3πr³ 计算，其中r为球体的半径。
根据题目给出的数据，直径d为10cm，因此半径r = d/2 = 5cm。
代入公式可得V = 4/3 × π × (5cm)³ ≈ 523.6cm³。
因此，该球体的体积约为523.6立方厘米。
球体的表面积可以通过公式S = 4πr² 计算，其中r为球体的半径。
高三第一轮复习训练题数学(16)(直线平面简单几何体2)
高三第一轮复习训练题数学（16）（直线平面简单几何体2）数学〔十六〕〔直线、平面、简单几何体2〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分不是AB 、AD 、B 1C 1的中点。
那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是 A ．三角形 B ．四边形 C ．五边形 D ．六边形2．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 、C 、B 1、D 1为顶点的正四面体的全面积为体的棱长为AB ．2C ．4D ．3．关于任意的直线a 与平面α，在平面α内必有直线b ，使直线b 与aA ．平行B ．相交C ．垂直D ．互为异面直线4．表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，那么此球的体积为A ． 13πBC ．23π D 5．直线m ⊥平面α，直线n ⊂平面β，那么以下命题正确的选项是 A ．假设n m ⊥，则βα// B ．假设n m //，则βα⊥C ．假设βα//，则n m ⊥D ．假设βαα////，则n6．设四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上，且P A 、PB 、PC 两两垂直，P A ＝3，PB ＝4，PC ＝5， 那么那个球的表面积是A ．πB ．C ．25πD ．50π7．△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝120º，平面ABC 外一点P 满足P A ＝PB ＝PC ＝2， 那么三棱锥P －ABC 的体积是〔 〕A B C D 8．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查以下命题，其中正确的命题是A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,, 9各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，那么那个球的表面积是A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π10．设a ，b ，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，那么以下命题中，逆命题不成立的是A ．当c ⊥α时，假设c ⊥β，那么α∥B ．当α⊂b 时，假设b ⊥β，那么βα⊥ βC ． 当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，假设b ⊥c ，那么a ⊥bD ．当α⊂b ，且α⊄c 时，假设c ∥α，那么b ∥cABCa D11．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，那么所得截面的面积与球的表面积的比为A ．316B ．916C ．38D ．93212．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a ，那么该四面体的体积的最大值A ．383a B ．382a C ． 381a D ．3121a二、填空题：本大题共4小题；每题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。
高三数学高考一轮专练——简单几何体
高考一轮专练——简单几何体一、选择题: (每题5分, 共60分)1. 用一个平面去截正方体，所得的截面不可能．．．是 ( ) （A ）六边形 （B ）菱形 （C ）梯形 （D ）直角三角形 2. 已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V 与面数F 满足的关系式是 ( )（A ）2F+V=4 （B ）2F －V=4 （C ）2F+V=2 （D ）2F －V=2 3. 直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B －APQC 的体积为 ( ) （A ）2V （B ）3V （C ）4V （D ）5V4. 已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB=AC=3，BC =2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是 ( ) （A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）32π 5. 斜棱柱底面和侧面中矩形的个数最多可有 ( ) （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）6个6. 已知球面的三个大圆所在平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积之比是 ( ) （A ）2∶π （B ）1∶2π （C ）1∶π （D ）4∶3π7. 如图，在斜三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC =900，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在 ( )（A ）直线AB 上（B ）直线BC 上（C ）直线AC 上（D ）△ABC 内部ABCA 1B 1C 1A B C DA 1B 1C 1D 1P Q（第7题图） (第8题图)8. 在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是对角线A 1C 上的点，且PQ =2a ，则三棱锥P －BDQ 的体积为 ( ) （A ）3363a （B ）3183a （C ）3243a （D ）无法确定 9. 已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为3cm ，2cm 和3cm ，则此球的体积为 ( )（A ）33312cm π （B ）33316cm π （C ）3316cm π （D ）3332cm π10. 如图，在一根长11cm ，外圆周长6cm 的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为( )（A ）61cm （B ）157cm （C ）1021cm （D ）1037cm 11. 已知四棱锥P －ABCD 的底面为平行四边形，设x =2PA 2+2PC 2－AC 2，y =2PB 2+2PD 2－BD 2，则x ，y 之间的关系为 ( )（A ）x ＞y （B ）x ＝y （C ）x ＜y （D ）不能确定 12. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面A 1B ⊥BC ，且A 1C 与底面成600角，AB=BC =2，则该棱柱体积的最小值为 ( ) （A ）34 （B ）33 （C ）4 （D ）3ACA 1B 1C 1二、填空题: (每题4分, 共16分)13. 球面上有3个点, 其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61, 经过这3点的小圆的周长为4π, 那么这个球的半径为_____________14. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，E 为CD 上的动点，四边形ABCD 为 时，体积V P －AEB 恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）．AB CDEPA DEM（第14题图） （第15题图）15. 如图，在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，2AB =3DC ，M 为AE 的中点，设E －ABCD 的体积为V ，则三棱锥M －EBC 的体积为 ．16.如图，在透明材料制成的长方体容器ABCD —A 1B 1C 1D 1 内灌注一些水，固定容器底面一边BC 于桌面上，再将 容器倾斜度的不同，有下列命题：（1）水的部分始终呈棱柱形；（2）水面四边形EFGH 的面积不会改变；（3棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；（4）当容器倾斜如图 所示时，BE ·BF 是定值，其中所有正确命题的序号是 。
高中数学必修二 8 3 简单几何体的表面积与体积(精练)(含答案)
8.3 简单几何体的表面积与体积（精练）【题组一 多面体表面积】1．（2020·全国高一课时练习）长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此长方体的侧面积为( )A ．12B ．24C ．28D ．32 【答案】C【解析】设长方体底面矩形的长与宽分别为,a b ，则12ab =.210=，解得4,3a b ==或3,4a b ==.故长方体的侧面积为()243228⨯+⨯=.故选：C.2．（2021·江苏南通市）一个正四棱锥的底面边长为2A ．8B ．12C ．16D ．20 【答案】B， 所以该四棱锥的全面积为212+422=122⋅⋅⋅. 故选B3．（2020·全国高一课时练习）若正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，棱台的高为6a ，则此正三棱台的侧面积为（ ）A ．2aB ．212aC ．292aD ．232a 【答案】C 【解析】如图，1,O O 分别为上、下底面的中心，1,D D 分别是AC ，11A C 的中点，过1D 作1D E OD ⊥于点E .在直角梯形11ODD O 中，12323OD a a =⨯⨯=，111326O D a a =⨯⨯=，116DE OD O D a ∴=-=.在1Rt DED 中，16D E a =，则1D D =a ==. 2193(2)22S a a a a ∴=⨯+=侧.故选：C4．（2020·河北沧州市一中高一月考）正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积（ ）A ．32B ．48C ．64D ．323【答案】A【解析】如图:正四棱锥的高PO ，斜高PE ，底面边心距OE 组成直角△POE ．∵OE =2cm ，∠OPE =30°，∴斜高h ′=PE =4sin 30o OE =，∴S 正棱锥侧=114443222ch =⨯⨯⨯=' 故选：A5．（2020·全国高一课时练习）已知正四棱锥的底面边长是2，则该正四棱锥的表面积为（ ）A B ．12 C ．8 D ．【答案】B【解析】如图所示，在正四棱锥S ABCD -中，取BC 中点E ，连接SE ，则SBE △为直角三角形，所以2SE ==， 所以表面积1422422122SBC ABCD S S S =+⨯=⨯+⨯⨯⨯=正方形△.故选：B.6．（2021·内蒙古包头市·高三期末（文））已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（ ）A ．)41B 1C ．)41D ．)81 【答案】D【解析】正四棱锥如图，设四棱锥的高OE h =，由底面边长为4，可知2OF =，斜高EF故2142h =⨯2=2h +故侧面积为(214448812h ⨯⨯==+=+， 故选：D. 7．（2020·山西吕梁市）已知,AB CD 是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体ABCD 的表面积为（ ）A ．2+B ．2+C ．2+D ．2+【答案】A 【解析】由所给正方体的展开图得到直观图，如图：则此三棱锥的表面积为：△△△△+++=BCD ABC ADC ABD S S S S1111222222222⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+故选：A8．（2020·黑龙江哈师大青冈实验中学）长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a ，表面积为108，则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6 【答案】D【解析】长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a ，则长方体的表面积为342+2423108a a ⨯⨯⨯+⨯=，解得a =6，故选：D9．（2020·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2cm ，那么该棱柱的表面积为（ ）A ．2(2+B ．2(4+C ．2(8+D ．2(16+ 【答案】C【解析】∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2cm ， ∴球的直径为正四棱柱的体对角线∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为= ∴该棱柱的表面积为2×22+4×2×＋(2cm )，故选：C【题组二 多面体台体积】1．（2021·扶风县法门高中）正方体的全面积为18cm 2，则它的体积是_________ 3cm【答案】【解析】设该正方体的棱长为a cm ，由题意可得，2618a =，解得a =所以该正方体的体积为3V a ==3cm .故答案为：2．（2021·湖南长沙市）如图，在长方体1AC 中，棱锥1A ABCD -的体积与长方体的体积之比为（ ）A ．2∶3B ．1∶3C ．1∶4D ．3∶4【答案】B 【解析】设长方体过同一顶点的棱长分别为,,a b c则长方体的体积为1V abc =，四棱锥1A ABCD -的体轵为213V abc =， 所以棱锥1A ABCD -的体积与长方体1AC 的体积的比值为13. 故选：B.3．（2020·浙江高一期末）由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21 米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）A ．38092mB ．34046mC ．324276mD ．312138m【答案】A 【解析】如图正四棱锥P ABCD -中，34AB BC ==，21PO =，所以正四棱锥P ABCD -的体积为311343421809233ABCD S PO m ⨯⨯=⨯⨯⨯=， 故选：A4．（2020·辽宁沈阳市·沈阳二中高一期末）《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长5a =丈，上底边长4b =丈．高5h =丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）A ．75B ．3053C ．3203D ．4003 【答案】B【解析】(()2211+=33V S S h a b h '=+⋅ ()2211305545615333=⨯=⨯⨯=. 故选:B 5．（2021·浙江高一期末）出华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧楼长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）A ．38092mB ．34046mC ．32427mD ．312138m【答案】A【解析】如图正四棱锥P ABCD -中，PO ⊥底面ABCD ，21PO =，34AB =，底面正方形的面积为234341156S m =⨯=，则正四棱锥P ABCD -的体积为311115621809233S PO m ⨯⨯=⨯⨯=， 故选：A6．（2020·济南市·山东师范大学附中高一月考）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，截去三棱锥1A ABD -，求（1）截去的三棱锥1A ABD -的表面积；（2）剩余的几何体1111A B C D DBC -的体积.【答案】（1）6+；（2）203【解析】（1）由正方体的特点可知三棱锥1A ABD -中，1A BD 是边长为1A AD 、1A AB 、ABD △都是直角边为2的等腰直角三角形，所以截去的三棱锥1A ABD -的表面积(111231322642A BD A AD A AB ABD S S S S S =+++=⨯+⨯⨯⨯=+（2）正方体的体积为328=，三棱锥1A ABD -的体积为111142223323ABD SAA ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 所以剩余的几何体1111A B C D DBC -的体积为420833-=. 【题组三 旋转体的表面积】1．（2021·浙江丽水市）经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（ ）A ．B ．4πC ．D ．2π 【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则l =，由题可知)2122⨯=，∴2r l ==，侧面积为rl π=，故选：C.2．（2020·全国高一课时练习）某圆台的上、下底半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则该圆台的表面积为（ ）A ．81πB ．100πC ．168πD ．169π 【答案】C【解析】该圆台的轴截面如图所示.设圆台的上底面半径为r ，则下底面半径4r r '=，高4h r =则它的母线长510l r ====∴2r，8r '=. ∴()(82)10100S r r l πππ'=+=+⨯=侧，22100464168S S r r ππππππ'=++=++=表侧.故选：C3．（2020·全国高一课时练习）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，且该圆台的母线长为9，则截去的圆锥的母线长为（ ）A ．94B ．3C ．12D ．36【答案】B【解析】根据题意，设圆台的上、下底面的半径分别为r 、R ，设圆锥的母线长为L ，截得小圆锥的母线长为l ，∵圆台的上、下底面互相平行 ∴14l r L R ==，可得L=4l ∵圆台的母线长9，可得L ﹣l =9 ∴3L 4=9，解得L=12， ∴截去的圆锥的母线长为12-9=3故选B4．（2020·全国高一课时练习）圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面圆的半径为( )A ．3B ．5C ．6D ．7 【答案】D【解析】设圆台较小底面圆的半径为r ，由已知有另一底面圆的半径为3r ，而圆台的侧面积公式为(3)4384,7r r l r r πππ+=⨯⨯==，选D.5．（2020·江苏淮安市·淮阴中学高一期末）圆柱底面半径为1，母线长为2，则圆柱侧面积为（ ）A ．4πB ．3πC ．5πD ．2π 【答案】A【解析】圆柱底面半径为1，母线长为2，圆柱侧面积为224S rl =π=π⨯1⨯2=π ,故选：A6．（2021·广西河池市·高一期末）已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为8π，则圆柱的高为________．【答案】4【解析】设圆柱的高为h ，有28h ππ=，得4h =．故答案为：4.7．（2021·河南焦作市·高一期末）已知圆锥的底面半径为2，高为4，在圆锥内部有一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为______.【答案】4π【解析】如图是圆锥与圆柱的轴截面，设内接圆柱的高为a ，圆柱的底面半径为r ()02r <<，则由224r a-=，可得42a r =-，所以圆柱的侧面积()22242484(1)4S r r r r r πππππ=⋅-=-+=--+，所以1r =时，该圆柱的侧面职取最大值4π. 故答案为：4π．8．（2020·北京高一期末）将底面直径为8，高为最大值为______.【答案】【解析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥； 设圆柱的高为h ，底面半径为r ，4r =，解得2h r =；所以()2224S rh r r r ππ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭圆柱侧；当2r时，S 圆柱侧取得最大值为故答案为：. 【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.9．（2021·陕西西安市·西安中学高一期末）若圆锥的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为___________. 【答案】4:1【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， 由题意得：22l r ππ=,即4l r ，所以其侧面积是214S rl r ππ==，底面积是22S r π=，所以该圆锥的侧面积与底面积之比为4:1 故答案为：4:1【题组四 旋转体的体积】1．（2020·山东菏泽市·高一期末）若圆锥的底面半径为3cm ，侧面积为215cm π，则该圆锥的体积为（ ） A ．4π3cm B ．9π3cmC ．12π3cmD ．36π3cm【答案】C【解析】设圆锥母线长为l ，则侧面积为123152S l r l πππ=⋅==，故5l =.故圆锥的高4h =，圆锥体积为21123V r h ππ==3cm .故选：C.2．（2021·黑龙江双鸭山市·双鸭山一中）现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【答案】128π【解析】设铁皮扇形的半径和弧长分别为R 、l ，圆锥形容器的高和底面半径分别为h 、r ， 则由题意得R=10，由1802Rl π=，得16l π=， 由2lr π=得8r =.由222R r h =+可得6h =.∴()231164612833V r h cm πππ==⋅⋅=∴该容器的容积为3128cm π.故答案为128π.3．（2020·湖南长沙市·高一期末）圆锥的母线与底面所成的角为60︒，侧面积为8π，则其体积为________.【答案】3【解析】如图所示，圆锥的母线与其底面所成角的大小为60︒，60SAO ∴∠=︒，由题意设圆锥的底面半径为r ，则母线长为2l r =，高为h =圆锥的侧面积为8π，2228S rl r r r ππππ∴==⋅⋅==侧面积，解得2r ，h =∴圆锥的体积为2211233V r h ππ=⋅⋅=⨯⨯=圆锥．故答案为：3．4．（2020·江苏南京市·高一期末）把一个棱长为2的正方体木块，切出一个最大体积的圆柱，则该圆柱的体积为（ ） A ．23πB ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】正方体棱长为2，所以正方体底面正方形的内切圆半径为1，面积为21ππ⨯=，以此内切圆为底、高为2的圆柱是可切出的最大圆柱.且该圆柱的体积为22ππ⨯=. 故选：C5．（2020·山东日照市·高一期末）《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄驾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书，其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何”?其意思为场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的稻谷约有多少斛（保留两位小数）（ ） A ．61.73 B ．61.71C ．61.70D ．61.69【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ， 则230r π=，所以=5r ， 故221135410033V r h π==⨯⨯⨯=（立方尺）， 因此10061.731.62V =≈（斛）. 故选：A.6．（2020·江苏无锡市·高一期末）某养路处有一圆锥形仓库用于储藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12米，高4米，为存放更多的食盐，养路处拟重建仓库，将其高度增加4米，底面直径不变，则新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为（ ） A ．24π米3 B ．48π米3C ．96π米3D ．192π米3【答案】B【解析】原仓库圆锥的底面半径为6米，高为4米，则容积为21614483V ππ=⨯⨯⨯=立方米； 仓库的高增加4米，底面直径不变,则仓库的容积为22618963V ππ=⨯⨯⨯=立方米. 所以新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为2148V V π-=立方米. 故选：B. 【题组五 球】1．（2021·天津滨海新区）在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为外接球的体积为（ ）A ． BC ．D ．【答案】B【解析】设正方体的棱长为a ，则111111B D AC AB AD B C D C ======，由于三棱锥11A B CD -的表面积为所以)121442AB CS S==⨯=a ==，所以正方体的外接球的体积为34632π⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭故选：B ．2．（2020·广东高二期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，22AB BC ==，若此长方体的八个顶点都在体积为92π的球面上，则此长方体的表面积为（ ） A ．16 B ．18C ．20D ．22【答案】A【解析】根据长方体的结构特征可得，长方体外接球直径等于长方体体对角线的长， 因为长方体外接球的体积为92π，设外接球半径为R ， 则33924R ππ=，解得32R =，因此2R =22AB BC ==，所以3=12BB =，因此长方体的表面积为：1122248416S AB BC AB BB BC BB =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=. 故选：A.3．（2020的内切球，则此棱柱的体积是（ ）.A ．3B ．354cmC ．327cmD ．3【答案】B的内切球，则正三棱柱的高为，，设底面正三角形的边长为a cm,13⨯=6a =cm ，∴正三棱柱的底面面积为16622⨯⨯⨯=2，故此正三棱柱的体积V ＝54=cm 3． 故选：B ．4．（2021·全国高一）如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a ，那么球的体积为（ ）A ．343a π B ．3aC 3aD ．316a π【答案】D【解析】因为球内切于正方体，所以球的半径等于正方体棱长的12， 所以球的半径为2a ，所以球的体积为334326a a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：D.5．（2021·湖南邵阳市·高一期末）一个球的体积为36π，则这个球的表面积为（ ） A ．12π B ．36πC ．108πD ．4π【答案】B【解析】设球的半径为R ,球的体积为3436=3R ππ,解得3R =,则球的表面积244936R πππ=⨯=， 故选：B6．（2020·浙江高一期末）已知正方体外接球的体积是323π，那么该正方体的内切球的表面积为_____________． 【答案】163π【解析】设正方体棱长为a ，则3432323ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，解得a =∴内切球半径为23a r ==，表面积为21643S ππ=⨯=⎝⎭． 故答案为：163π．【题组六 组合体的体积表面积】1．（2020·全国高一课时练习）如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．【答案】20 323-【解析】由图形观察可知，几何体的面共有2(242)20⨯⨯+=个， 该几何体的直观图如图所示，该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积. 两个四棱柱的体积和为222432V =⨯⨯⨯=. 交叉部分的体积为四棱锥S ABCD -的体积的2倍.在等腰ABS 中，SB SB =边上的高为2，则SA =由该几何体前后，左右上下均对称，知四边形ABCD 的菱形. 设AC 的中点为H ，连接,BH SH 易证SH 即为四棱锥S ABCD -的高，在Rt ABH 中， 2.BH ==又AC SB ==所以 1222ABCDS=⨯⨯=因为BH SH =，所以112233ABCDS ABCD V S -=⨯=⨯=四棱柱所以求体积为3223233-⨯=-故答案为：20；323-2．（2020·新疆巴音郭楞蒙古自治州·高一期末）如图，直三棱柱，高为6，底边三角形的边长分别为3、4、5，以上下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积.【答案】366π-【解析】因为222345+=，所以底面是直角三角形， 所以上、下底面内切圆半径34512r +-==， 所以剩余部分几何体的体积21346163662V ππ=⨯⨯⨯⨯=-⨯-， 所以剩余部分几何体的体积为366π-.3．（2021·江西九江市）在底面半径为2，高为面积之比为1：4，求圆柱的表面积.【答案】1)π【解析】由圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1:4，知：底面半径比为1:2，即圆柱底面半径1r =，若设圆柱的高为h 12=，即h = ∴由圆柱的表面积等于侧面积加上两底面的面积，即：2221)S rh r πππ=+=.。
高中数学 4简单几何体、组合体课后习题(带答案)
课后习题1.圆柱的侧面展开图是长为12cm ，宽为8cm 的矩形，则这个圆柱的体积为 （ ）A.288πcm 3B.192πcm 3C.288πcm 3或192πcm 3D.192π cm32.把直径分别为6cm ，8cm ，10cm 的三个铜球先熔成一个大球，再将其削成一个最大的正方体，则这一正方体的体积为 .3.轴截面是正方形的圆柱有一内接正四棱柱，已知圆柱的轴截面对角线长为22cm ，则四棱柱的体积为（ ）A.4cm 3B.8 cm 3C.2πcm 3D.4πcm34.棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）A.33aB.34aC.36aD.312a5.已知一个直棱柱底面是菱形，面积为S ，两对角面的面积分别为m ，n ，求直棱柱的体积.6.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱18AA =.若侧面11AA B B 水平放置时，液面恰好过AC 、BC 、11A C 、11B C 的中点，当底面ABC 水平放置时，液面高为多少？7.（全国1理16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为__________。
8.一个容器形如倒置的等边圆锥，如图所示，当所盛水深是容器高的一半时，将容器倒转，那么水深是容器高的（ ）A.1+1-19.在全面积为2a π的圆锥中，当底面半径为何值时圆锥体积最大，最大体积是多少？10.半径为r 的球放置于倒置的等边圆锥容器内，再将水注入容器内到水与球面相切为止，取出球后水面的高度是 .11.直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，已知点P ，Q 分别为1AA ，1CC 上的点，而且满足1AP C Q =，则四棱锥B APQC -的体积是（ ）A.12VB.13VC.14VD.23V 12.一个正三棱锥的底面边长为a ，且三条侧棱两两垂直，求棱锥的体积.13.四面体ABCD 中，5AB CD ==，BC AD ==，BD AC ==.14.正三棱锥S ABC -的侧面是边长为a 的正三角形，D 、E 分别是SA 、BC 的中点，求SDE ∆绕直线SE 旋转一周所得到的旋转体的体积.15.若棱锥的顶点为P ，P 在底面上的射影为O ，PO a =，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO 于点M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM b =，则a 、b 的关系是（ ）A.1)b a =-B. 1)b a =+C. 12b a = D. 12b a =16.三棱台111ABC A B C -中，11:1:2AB A B =，则三棱锥1A ABC -，11B A B C -，111C A B C -的体积之比（ ）A.1：1：1B. 1：1：2C. 1：2：4D. 1：4：417.如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆和圆心，那么这个几何体的体积为（ ）3233π D.3π 18.圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是（ ）233π B.3π736π733π19.降水量是值水平地面上单位面积所降雨水的深度，用上口直径为38cm ，底面直径为24cm ，深度为35cm 的圆台形容器（轴截面如图）来测量降水量，如果在一次降水中，此桶盛得的雨水正好是桶深的17，则本次降雨的降水量是多少？20.三棱台111ABC A B C -中，11:1:2A B AB =，D 是1C C 的中点，求截面1A BD 把棱台分成上、下两部分的体积比.21.有一块扇形铁皮OAB ，60AOB ∠=︒，72OA cm =，要剪下来一个圆环ABCD ，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作为圆台形容器的下底面（大底面）.试求： （1）AD 应去多长？（2）容器的容积.22.已知高与直径之比为2：1的圆柱内接于球，且圆柱的体积为500π，则球的体积为（ ）A.5003π B.25003π25003 D. 125003π23.（06北京卷）已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC BC ⊥，且AB R =那么,A B 两点的球面距离为__________，球心到平面ABC 的距离为_________. 24.已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且6AC BC ==，4AB =，求球面面积与球的体积.25.在棱长为1的正方体内，有两球相外切，并且又分别与正方体相内切. （1）求两球半径之和；（2）球的半径是多少是，两球体积之和最小.答案简单几何体的相关计算1.【答案】C【解析】分两种情况：①12为底面周长，则2366288212,,()8()r r V cm πππππ=∴==⨯=②8为底面周长，则234419228,,()12(r r V cm πππππ=∴==⨯=）2.【答案】【解析】大球的体积3333444434563333V ππππ=⨯+⨯+⨯=⨯，则大球半径为6，因此当正方体内接于球时，其体积最大，由球半径为6，则正方体的棱长a应满足2R =，则a =33cm ).V ==正方体（3.【答案】D【解析】由已知，圆柱的高为2，底面半径为1；正四棱柱的高为2，地卖弄对角线为2，，3V 24cm ∴=四棱柱 4.【答案】C【解析】此八面体可以分成上、下两个全等的正四棱柱，下底边长为，高为2a ，所以23112)326a V a=⨯⨯⨯= 5.【答案与解析】设直棱柱的底面对角线长为x 和y ，高为h，则有：12xy sxh m h yh n⎧=⎪⎪=∴=⎨⎪=⎪⎩；V sh s ==柱6.【答案与解析】解：设原三棱柱111ABC A B C -的底面积为S ，高为h21,()4CDE ABCS CE DE AB SAC ∴==， 14CDESS ∴=.∴当侧面11AA BB 水平放置时，无水的空间即111CDE C D E -为一小三棱柱. 此时水的体积为1344V Sh S h Sh =-⋅=水.当底面ABC 水平放置时。