医药数理统计方法9-2一元线性回归
一元线性回归分析
0
0 1150
0
0
0 1620
4620 4450 7070 6780 7500 6850 10430
1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7
770 890 1010 1130 1250 1370 1490
2400 1370 1450 1550 1650 1750 1890
0 9660 1/6
朱晋
24
该样本的散点图（scatter diagram)：
1700 1500 1300 Y 1100
900 700 500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
X
样本散点图近似于一条直线，画一条直线以尽可能好地拟
合该散点图，由于样本取自总体，可以该线近似地代表总体回 归线。该线称为样本回归线（sample regression lines），其函 数形式记为：
Yˆi f ( X i ) ˆ0 ˆ1 X i
（2.1.4）
称为样本回归函数（sample regression function）SRF。
2020/5/22
朱晋
25
注意：这里 Yˆi 就为 E(Y | X i ) 的估计量； ˆi 为 i 的估计量，i (0,1)
将（2.1.4）看成（2.1.1）的近似替代。
700 840 930 1070 1150 1360 1370 740 900 950 1100 1200 1400 1400
800 940 1030 1160 1300 1440 1520 850 980 1080 1180 1350 1450 1570
880
0 1130 1250 1400
一元线性回归PPT演示课件
196.2
15.8
16.0
102.2
12.0
10.0
本年固定资产投资额 (亿元) 51.9 90.9 73.7 14.5 63.2 2.2 20.2 43.8 55.9 64.3 42.7 76.7 22.8 117.1 146.7 29.9 42.1 25.3 13.4 64.3 163.9 44.5 67.9 39.7 97.1
6. r 愈大，表示相关关系愈密切.
例 11.7
根据例11.6的样本数据，计算不良贷款、贷款余额、应收 贷款、贷款项目、固定资产投资额之间的相关系数.
解：用Excel计算的相关系数矩阵如下.
三、相关系数的显著性检验
(一) r 的抽样分布
当样本数据来自正态总体，且 0 时，则
t r n 2 ~ t(n 2) 1 r2
时，yˆ ˆ0 .
二、参数的最小二乘估计
假定样本数据 (xi , yi ) , i 1,2,, n ，满足一元线性回归模 型, 根据(11.6)式则样本回归方程为
yˆi ˆ0 ˆ1xi , i 1,2,, n
(11.7)
最小二乘法是使因变量的观察值 yi 与估计值 yˆi 之间的离差平
i1 i1
n
n
n
n
n xi2 ( xi )2 n yi2 ( yi )2
i 1
i 1
i 1
i 1
( 11.1 ) ( 10.2 )
相关系数的取值范围及意义
1. r 的取值范围为[－1，1].
2. r 1 ，称完全相关，既存在线性函数关系.
r ＝1，称完全正相关. r ＝－1，称完全负相关. 3. r ＝0，称零相关，既不存在线性相关关系. 4. r ＜0，称负相关. 5. r ＞0，称正相关.
一元线性回归分析法
一元线性回归分析法一元线性回归分析法是根据过去若干时期的产量和成本资料，利用最小二乘法“偏差平方和最小”的原理确定回归直线方程，从而推算出a(截距)和b(斜率)，再通过y ＝a+bx 这个数学模型来预测计划产量下的产品总成本及单位成本的方法。
方程y ＝a+bx 中，参数a 与b 的计算如下：y b x a y bx n-==-∑∑ 222n xy x yxy x y b n x (x)x x x --==--∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 上式中，x 与y 分别是i x 与i y 的算术平均值，即x =n x ∑ y =ny ∑ 为了保证预测模型的可靠性，必须对所建立的模型进行统计检验，以检查自变量与因变量之间线性关系的强弱程度。
检验是通过计算方程的相关系数r 进行的。
计算公式为：xy-x y当r 的绝对值越接近于1时，表明自变量与因变量之间的线性关系越强，所建立的预测模型越可靠；当r ＝l 时，说明自变量与因变量成正相关，二者之间存在正比例关系；当r ＝—1时，说明白变量与因变量成负相关，二者之间存在反比例关系。
反之，如果r 的绝对值越接近于0，情况刚好相反。
[例]以表1中的数据为例来具体说明一元线性回归分析法的运用。
表1：根据表1计算出有关数据，如表2所示：表2：将表2中的有关数据代入公式计算可得：1256750x ==（件） 22561350y ==（元） 17509500613507501705006b 2=-⨯⨯-⨯=（元/件） 100675011350a =⨯-=（元/件） 所建立的预测模型为：y ＝100+X相关系数为：9.01163810500])1350(3059006[])750(955006[1350750-1705006r 22==-⨯⨯-⨯⨯⨯= 计算表明，相关系数r 接近于l ，说明产量与成本有较显著的线性关系，所建立的回归预测方程较为可靠。
如果计划期预计产量为200件，则预计产品总成本为：y ＝100+1×200＝300(元)。
概率论与数理统计14-一元线性回归分析
4.0
3.5 22 9.0 8.0
4.5
4.2 23 9.5 8.1
4.6
3.5 24 10 8.1
解 从本例的散点图看出(见图9-1),
强度Y与拉伸倍数x之间大致呈现线性
相关关系, 因此一元线性回归模型是适用Y
与 x的 .
图9-1 例9.2.1数据散点图
现用公式(9.2.4)求 a, b , 这里n=24,
线性回归方程, 其图像就是回归直线, b为回
归系数, a称为回归常数, 也称为回归系数.
现讨论如何根据观测值 ( xi , yi )
(i=1,2,…,n)估计模型(9.2.2) 中回归函数
f(X) =a+bx的回归系数.
采用最小二乘法, 记平方和
Q(a, b) ( yi a bxi )2 .
x
i 1 24 24 i
127.5, 829.61,
y
i 1 24
24
i
113.1, 650.93,
x
i 1
2 i
y
i 1
2 i
x y
i 1 i
24
i
731.6,
1 (127.5) 2 152.266, 24 1 S xy 731.6 127.5 113.1 130.756, 24 1 S yy 650.93 (113.1) 2 117.946, 24 1 x 127.5 5.313, 24 1 y 113.1 4.713. 24 S xx 829.61
1.9
1.4 13 5.0 5.5
2.0
1.3 14 5.2 5.0
2.1
【全版】一元线性回归模型的统计检验推荐PPT
在例的收入-消费支出例中，
E SS y ˆi2
(Y ˆi Y )2
回归平方和（Explained
Sum of Squares）
R Se S i2(Y i Y ˆi)2 残差平方和（Residual
Sum of Squares ）
TSS=ESS+RSS
Y的观测值围绕其均值的总离差(total variation) 可分解为两部分：一部分来自回归线(ESS)，另一部 分则来自随机势力(RSS)。
假设H0正确
H0下构造一事件（一小概率事件）
于是得到:(1- )的置信度下, i的置信区间是
计量经计学中，主要是针对变量的参数真值是否为零来进行显著性检验的。
如果Yi=Ŷi 即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合最好。
可认为，“离差”全部来自回归线，而与“残差”无关。
对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均值离 差的平方和,可以证明：
已知由一组样本观测值（Xi,Yi），i=1,2…,n得到 如下样本回归直线
Yˆi ˆ0ˆ1Xi
y i Y i Y ( Y i Y ˆ i) ( Y ˆ i Y ) e i y ˆ i
主要包括拟合优度检验、变量的显著性检验及参数的区间估计。
2、可决系数R2统计量
假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。
在给定样本中，TSS不变， 如果实际观测点离样本回归线越近，则ESS在
TSS中占的比重越大，因此 拟合优度：回归平方和ESS/Y的总离差TSS
2、可决系数R2统计量
ESS RSS 拟合优度：回归平方和ESS/Y的总离差TSS 2 记 R 1 判断结果合理与否，是基于“小概率事件不易发生”这一原理的
1、总离差平方和的分解
一元线性回归模型PPT课件
b1、b2
Yi B1 B2 Xi ui
ei
第18页/共67页
3.3 参数的最小二乘估计
• 参数估计：普通最小二乘法（OLS）
• 普通最小二乘法就是要选择参数 ，使得残差平方和（residual sum of squares, RSS） 最小。
•即
b1、b2
ei2
Q ei2
Yi Yˆi 2
Xi 也称 自变量（independent variable）
称为 参数（parameter）
B , B 1 称2为 随机扰动项（random error term）
ui
第13页/共67页
3.2 随机扰动项的来源
• 上式如何解释？
• 可以认为，在给定家庭收入水平 上，第i个学生的数学分数可以表达为两部分之和：
第14页/共67页
3.2 随机扰动项的来源
•
第15页/共67页
3.2 随机扰动项的来源
• 性质1：扰动项代表了未纳入模型变量的影响。例如个人健康状况、居住区域等等。 • 性质2：反映了人类行为的内在随机性。即使模型中包括了决定数学分数的所有变量，其内在随机性也
不可避免，这是做任何努力都无法解释的。 • 性质3：还代表了度量误差，例如收入的数据可能不等于真实值。 • 性质4：“奥卡姆剃刀原则”——即描述应该尽可能简单，只要不遗漏重要的信息，此时可以把影响Y
第8页/共67页
3.1 回归的涵义
• 样本回归函数（sample regression function, SRF） • 可用样本回归函数（SRF）表示样本回归线：
其中， 总体条件均值
的估计量；
Yˆi b1 b2 Xi
Yˆ E Y X • 并非所有样本数据都准确地i落在样本回归线上，因此建立随机i 样本回归函数：
掌握一元线性回归分析-PPT模板
)(y x)2
y
)
a y bx
5
根据表计算
代入回归方程 yc a bx
6
序 号
产品产 生产费 量x 用y（万
（千吨） 元）
1 1.2
62
2 2.0
86
3 3.1
80
4 3.8
110
5 5.0
115
6 6.1
132
7 7.2
135
8 8.0
160
合 计
36.4
880
x2
1.44 4
9.61 14.44
207.54
xy 74.4 172 248 418 575 805.2 972 1 280
4 544.6
yc 66.79 77.11 91.3 100.33 115.81 130 144.19 154.51
880
(y yc)2 22.944 1 79.032 1 127.69 93.508 9 0.656 1
统计学基础
一、理解回归分析的概念
当给出自变量某一数值时，不能根据相 关系数来估计或预测因变量可能发生的数值。 回归分析就是对具有相关关系的变量之间数 量变化的一般关系进行测定，确定一个相关 的数学表达式，以便于进行估计或预测的统 计方法。
相关关系是一种数量关系不严格的相互依存关系。
2
二、掌握一元线性回归分析方法
1
一元线性回归分析的特点
在两个变量之间进行回归分析时，必须根据研究目的，具体确定
（1） 哪个是自变量，哪个是因变量。
在两个现象互为根据的情况下，可以有两个回归方程——y倚x回归方程和x倚y回
（2） 归方程。这和用以说明两个变量之间关系密切程度的相关关系只能计算一个是不相同的。
一元线性回归
⼀元线性回归1、概念⼀元线性回归是最简单的⼀种模型，但应⽤⼴泛，⽐如简单地预测商品价格、成本评估等，都可以⽤⼀元线性模型，本节主要讲解scikit-learn⼀元线性回归的使⽤以及作图说明。
y=f(x)叫做⼀元函数，回归的意思就是根据已知数据复原某些值，线性回归(regression)就是⽤线性的模型做回归复原。
那么⼀元线性回归就是：已知⼀批(x,y)值来复原另外未知的值。
⽐如：告诉你(1,1),(2,2),(3,3)，那么问你(4,?)是多少，很容易复原出来(4,4)，这就是⼀元线性回归问题的求解。
当然实际给你的数据可能不是严格线性，但依然让我们⽤⼀元线性回归来计算，那么就是找到⼀个最能代表已知数据的⼀元线性函数来做复原和求解。
2、scikit-learn的⼀元线性回归1import numpy as np2from sklearn.linear_model import LinearRegression3 x = [[1],[2],[3],[4],[5],[6]]4 y = [[1],[2.1],[2.9],[4.2],[5.1],[5.8]]5print x6print(y)7 model = LinearRegression()8 model.fit(x, y) #训练模型9 predicted = model.predict([13])[0]#预测输出10print predictedView Code结果：1 [[1], [2], [3], [4], [5], [6]]2 [[1], [2.1], [2.9], [4.2], [5.1], [5.8]]3 [ 12.82666667]这⾥⾯的model是⼀个estimator，它通过fit()⽅法来算出模型参数，并通过predict()⽅法来预测，LinearRegression的fit()⽅法就是学习这个⼀元线性回归模型：y = a + bx原数据的图像：1import matplotlib.pyplot as plt2from matplotlib.font_manager import FontProperties3 font = FontProperties()4 plt.figure()5 plt.title('this is title')6 plt.xlabel('x label')7 plt.ylabel('y label')8 plt.axis([0, 25, 0, 25])9 plt.grid(True)10 x = [[1],[2],[3],[4],[5],[6]]11 y = [[1],[2.1],[2.9],[4.2],[5.1],[5.8]]12 plt.plot(x, y, 'k.')13 plt.show()View Code结果：合在⼀起：1import numpy as np2from sklearn.linear_model import LinearRegression3import matplotlib.pyplot as plt4from matplotlib.font_manager import FontProperties56 x = [[1],[2],[3],[4],[5],[6]]7 y = [[1],[2.1],[2.9],[4.2],[5.1],[5.8]]8 model = LinearRegression()9 model.fit(x, y)10 x2 = [[0], [2.5], [5.3], [9.1]]11 y2 = model.predict(x2)1213 plt.figure()14 plt.title('linear sample')15 plt.xlabel('x')16 plt.ylabel('y')17 plt.axis([0, 10, 0, 10])18 plt.grid(True)19 plt.plot(x, y, 'k.')20 plt.plot(x2, y2, 'g-')21 plt.show()View Code其他相关⽤法⽅差计算:⽅差⽤来衡量样本的分散程度，⽅差公式是⽤numpy库已有的⽅法：1 np.var([1, 2, 3, 4, 5, 6], ddof=1)1 3.5得出⽅差是3.5。
《一元线回归》课件
总结
本课程的收获和反思
总结本课程学习过程中的收获和个人反思。
后续学习与建议
提供后续学习一元线性回归模型的建议和推 荐资源。
参考文献
相关论文籍。
等式约束最小二乘法
探讨等式约束最小二乘法 在解决线性回归问题中的 优化效果。
经典案例分析
典型案例介绍
介绍一些经典的使用一元 线性回归模型解决的案例。
项目案例分析
详细分析一个实际项目中 运用一元线性回归模型解 决的问题和效果。
成果总结与展望
总结一元线性回归模型在 实际应用中的成果和展望 未来的发展方向。
本课程的目标和内容
明确本课程的学习目标，以及将覆盖的内容。
线性回归基础
线性回归的定义和公式
详细解释线性回归模型的定义和数学公式。
最小二乘法求解线性回归
介绍使用最小二乘法计算线性回归模型的参数。
回归系数和截距的意义和计算方法
解释回归系数和截距在线性回归中的意义和计算方法。
模型评估
模型拟合优度的评价 指标
讲解数据预处理的重要性以及常用的数据清 洗方法。
加载数据集
介绍如何加载数据集，为一元线性回归模型 训练做准备。
训练模型并预测结果
演示如何使用加载的数据集训练一元线性回 归模型，并进行预测。
优化算法
梯度下降算法
介绍梯度下降算法在优化 线性回归模型中的应用。
正规方程法
解释使用正规方程法求解 线性回归模型的计算过程。
《一元线回归》PPT课件
一元线性回归PPT课件大纲，旨在介绍一元线性回归的基本概念、模型评估、 优化算法，以及经典案例分析。从理论到实践，帮助大家掌握这一重要数据 分析方法。
课程简介
一元线性回归模型.ppt
yˆ aˆ bˆx
(2)
称此方程为y关于x的回归方程 .
y=a+bx+ε, ε ～N(0， )2 (1)
现对模型(1)中的变量x , y进行了n次独 立观察, 得样本
(x1,y1),…,(xn,yn) (3) 据(1)式, 此样本的构造可由方程
yi a bxi i , i=1,2, …,n (4) 来描述. 这里 i 是第i次观察时随机误
事实上, 还有许多其它因素对y产生影 响,如当年的平均气温、当年的降雨量等等, 都是影响y取什么值的随机因素.
如果我们只研究x和y的关系, 可以假定有 如下结构式:
y =a+bx+ε
其中a和b是未知常数, 称回归系数, ε表示 其它随机因素对灌溉面积的影响.
实际中常假定ε服从正态分布N(0,σ2), 即
E( ) 0 D( ) 2
, 0
2未
知
通常称
y=a+bx+ε, ε ～N(0， )2 (1)
为一元线性回归模型.
由(1)式, 我们不难算得y的数学期望:
E(y)=a+bx
该式表示当x已知时，可以精确地算出E(y).
由于ε是不可控制的随机因素，通常就用E(y) 作为y的估计, 记作 . 这yˆ 样我们得到
年序
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最大积雪深度x(米) 5.1 3.5 7.1 6.2 8.8 7.8 4.5 5.6 8.0 6.4
灌溉面积y(公顷) 1907 1287 2693 2373 3260 3000 1947 2273 3113 2493
为了研究这些数据中所蕴含的规律性,
这种大量存在的变量间既互相联系但又不 是完全确定的关系，称为相关关系.
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数理统计
一、回归的含义 二、一元线性回归模型 三、最小二乘估计 四、回归方程的假设检验 五、预测与控制
09-02-02
数理统计
09-02-03
回归分析(regression analysis) 就是寻找出具有相关关系变量
之间的函数关系，并进行统计推断。
数理统计
09-02-04
一元回归分析(single regression) 只有一个自变量的回归分析称
为一元回归分析，多于一个自变量
的回归分析称为多重回归分析 (multiple regression)。当变量间具有 线性关系时，相应的回归分析称为 线性回归分析(linear regression)。
数理统计
数理统计
y
O
09-02-11
y=a+bx
x
数理统计
09-02-12
由最小二乘法(least square method) 得残差平方和为：
n
n
Q (yi yˆ)2 [yi (abxi)]2
i1
i1
数理统计
QbQa22ini1n1((yyi iaabbxix)i x)i00
正规方程组
09-02-13
数理统计
09-02-24
独立性——对被检验的各对观察数 据而言，Y 从概率意义上应理解为是独 立取得的。
数理统计
09-02-23
（3）相关分析与回归分析的关系与区别： 相关分析一般是研究随机变量与随机变
量之间的相关关系的，而回归分析研究随机 变量与非随机变量之间的相关关系。两者所 使用的概念、理论和方法有所不同，得到的 结果含义也不相同，但结果的形式却几乎完 全一致。因此，从应用与计算角度看，两者 没有必要加以严格区别。由于回归分析在数 学处理上更为简便，因而不论自变量如何， 都可以当作非随机的普通变量看待，用回归 分析方法研究变量间的相关关系。
预测(forecast) 是指给定自变量 x 的某个观测
值 x0，对因变量 y 的相应取值 y0 作 点估计。
控制(control) 是预测的反问题，即指定因变
量 y 的相应取值为 y0，求出自变量 x 的一个点估计 x0。
数理统计
09-02-19
例 今有12名妇女的年龄 x（单位： 岁）和收缩压 y（单位：kPa）如下 表所示。试求 y 对 x 的回归方程，并 求50岁妇女的平均收缩压及收缩压 为19.25kPa时妇女的年龄。
数理统计
09-02-21
注
（1）在回归分析中，由 x 推算 y 和 由 y 推算 x 的回归方程是不同的，不 能混淆。
数理统计
09-02-22
（2）回归分析与其它参数分析一样，对 参数性检验对象要求必须满足以下三个 基本条件：
正态性——即被检验的对象或因变 量必须是正态分布的随机变量；
方差齐性——被检验的各个总体的 方差，应该是相等的；
乘估计，简称 LS估计。
数理统计
回归方程的显著性检验
09-02-15
（1）Fisher 发现，对于正态总体， 在假设 H0:b=0 成立的条件下
t r n2 ~t(n2) 1r2
（2）直接查相关系数的临界值表；
（3）F检验。
数理统计
09-02-16
例 今有12名妇女的年龄 x（单位： 岁）和收缩压 y（单位：kPa）数据 如下表所示。试求 y 对 x 的回归方程， 并检验回归方程效果的显著性。
数理统计
09-02-07
将 n 对观察值 (xi,yi) (i=1,2,,n) 在直角坐标系下标出，得到 n 个点 的散点图。如果变量 Y 和 x 之间近 似有线性关系时，就可以用线性函 数 abx 来估计 Y 的数学期望，这就 是一元线性回归问题。
数理统计
y
O
09-02-08
y=a+bx
x
数理统计
数理统计
09-02-06
回归方程(regression equation) 对于 x 的任一取值，Y 的取值是
随机的，但它的总体均数 E(Y) 是唯 一的。即
Y=E(Y) 其中 是随机变量，E()=0，称 E(Y)
为 Y 关于 x 的回归函数(regression function)。称方程 Yˆ E(Y)为回归方 程。n源自nna b xi yi
i1
i1
n
n
n
a
i1
xi
b
i1
xi2
i1
xi
yi
数理统计
n
bˆ
(xi
i1 n
x)(yi y) (xi x)2
lxy lxx
i1
aˆ ybˆx
09-02-14
bˆ 称 为 样 本 回 归 系 数 (sample regression coefficient)，用这种方法 求出的估计 aˆ , bˆ ，称为 a,b 的最小二
数理统计
09-02-17
年龄 x 59 42 72 36 63 47 收缩压 y 19.60 16.67 21.28 15.73 19.86 17.07 年龄 x 55 49 38 42 68 60 收缩压 y 19.93 19.93 15.33 18.67 20.19 20.59
数理统计
09-02-18
09-02-05
预报变量(explanatory variable) 对于一个随机变量 Y 与一个可
控变量 x 间具有相关关系，变量 x 称为自变量(independent variable)，
或称预报变量。预报变量的变化能 引起另一变量 Y 的变化，变量 Y 称 为因变量(dependent variable)，或称 响应变量(response variable)。
数理统计
09-02-20
年龄 x 59 42 72 36 63 47 收缩压 y 19.60 16.67 21.28 15.73 19.86 17.07 年龄 x 55 49 38 42 68 60 收缩压 y 19.93 19.93 15.33 18.67 20.19 20.59
y=10.9940+0.1473x (r=0.8770)
09-02-09
线性回归方程(linear regression
equation)
yˆ abx
称为是线性回归方程。
数理统计
09-02-10
将 n 对观察值 (xi,yi) (i=1,2,,n) 在直角坐标系下标出，得到 n 个点 的散点图。如果变量 Y 和 x 之间近 似有线性关系时，试求 Y 对 x 的线 性回归方程。