统计推断的内容包括
统计描述与统计推断
统计描述与统计推断统计的主要工作就是对统计数据进行统计描述和统计推断。
统计描述是统计分析的最基本内容，是指应用统计指标、统计表、统计图等方法，对资料的数量特征及其分布规律进行测定和描述；而统计推断是指通过抽样等方式进行样本估计总体特征的过程，包括参数估计和假设检验两项内容。
(一)统计描述1.计量资料的统计描述计量资料的统计描述主要通过编制频数分布表、计算集中趋势指标和离散趁势指标以及统计图表来进行。
(1)集中趋势。
指频数表中频数分布表现为频数向某一位置集中的趋势。
集中趋势的描述指标：1)算术平均数。
直接法：x为观察值，n为个数加权法又称频数表法，适用于频数表资料，当观察例数较多时用。
f为各组段的频数。
2）几何平均数（geometric mean）。
几何平均数用符号G表示。
用于反映一组经对数转换后呈对称分布的变量值在数学上的平均水平。
直接法：加权法又称频数表法，当观察例数n较大时，可先编制频数分布表，用此法算几何平均数：3)百分位数（percentile ）与中位数（median ）。
百分位数是一种位置坐标，用符号x P 表示常用的百分位数有 2.5P 、5P 、50P 、75P 、95P 、97.5P 等，其中25P 、50P 、75P 又称为四分位数。
百分位数常用于描述一组观察值在某百分位置上的水平，多个百分位结合使用，可更全面地描述资料的分布特征。
中位数是一个特定的百分位数即50P ，用符号M 表示。
把一组观察值按从小到大（或从大到小）的次序排列，位置居于最中央的那个数据就是中位数。
中位数也是反映频数分布集中位置的统计指标，但它只由所处中间位置的部分变量值计算所得，不能反映所有数值的变化，故中位数缺乏敏感性。
中位数理论上可以用于任何分布类型的资料，但实践中常用于偏态分布资料和分布两端无确定值的资料。
其计算方法有直接法和频数表法两种。
直接法：当观察例数n 不大时，此法常用，先将观察值按大小次序排列，选用下列公式求M 。
描述统计与推断统计的区别
描述统计与推断统计的区别描述统计和推断统计是统计学中两个重要的概念。
它们分别指的是通过观察和总结数据来进行数据分析，并通过数据中的样本进行推断和假设验证的方法。
下面将详细介绍描述统计和推断统计的区别。
描述统计是统计学中最基本的方法之一，它主要是通过对数据进行收集、整理、分类和总结，来描述和概括数据的基本特征和情况。
描述统计主要包括以下几个方面：1. 集中趋势度量：通过计算数据的均值、中位数和众数等指标，来反映数据的集中趋势。
均值是数据的算术平均数，中位数是将数据按大小排序后中间的那个数，众数是数据中出现次数最多的数。
2. 离散程度度量：通过计算数据的范围、方差和标准差等指标，来反映数据的离散程度。
范围是数据的最大值与最小值的差异，方差是各数据与均值的差的平方的平均数，标准差是方差的平方根。
3. 分布形态描述：通过绘制直方图、频率多边形和累积频率曲线等图表，来反映数据的分布情况。
直方图将数据按照一定的区间划分，统计每个区间内的频数或频率，以展示数据的分布规律。
4. 相关性分析：通过计算数据的相关系数，来反映两个变量之间的相关程度。
相关系数可以衡量两个变量之间的线性关系强度和方向，常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数等。
而推断统计是在描述统计的基础上，利用采集到的样本数据对总体进行推断，进一步分析总体的特征和性质。
推断统计主要包括以下几个方面：1. 参数估计：通过样本数据来估计总体参数的取值范围。
参数是总体的某个特性的度量，如总体均值、总体比例等。
参数估计根据样本数据计算样本均值、样本比例等作为总体参数的估计值，同时给出置信区间。
2. 假设检验：通过比较样本数据与总体假设进行检验，来推断总体是否存在某种特征或差异。
假设检验通常包括设置原假设和备择假设、计算检验统计量、确定显著性水平以及给出结论等步骤。
3. 方差分析：通过比较不同样本的均值差异，来推断总体均值是否存在显著差异。
方差分析通常用于比较两个或多个样本均值是否具有统计学上的显著性差异。
电大 社会统计学 第七章 统计推断
（二）置信水平和置信空间
置信区间是在区间估计中，由样本统计量所构造的 总体参数的估计区间，它有估计量加减抽样误差构 成，我们将区间的最小值称为置信下限，区间的最 大值称为置信上限。 置信水平就是将构造置信区间的步骤重复很多次， 置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例。
求置信区间的步骤
（四）区间估计
（三）样本均值抽样分布的特征
• 假设从容量N的总体中抽取容量为n的样本，其中总体的均值 为μ，方差为σ2，样本均值的数学期望为E（ X ），方差为σ2x
三、样本比例的抽样分布
• 用π表示总体比例，用P表示样本比例。
第三节 参数估计
• 参数估计是统计推断的一个重要部分，它是用样本统计量推 断总体参数的过程。 • 参数估计可分为点估计和区间估计两种类型。 • 一、点估计 • 点估计就是直接用估计量作为总体参数θ的估计值。用样本均 值直接作为总体均值μ的估计值，用样本比例P直接作为总体 比例π的估计值，用样本方差直接作为总体方差的估计值 等。例如，随机样本的均值为6分，我们用6分直接作为总体 的估计值，认为这次考试总体平均分为6分，这就是点估计。
• 假设检验的基本思想可以用小概率原理解释。 • 小概率原理，就是在一次试验中小概率事件是几乎 不可能发生的。也就是说，如果我们对总体的某个 假设是真实的，那么极端值（不支持假设的事件） 是几乎不可能发生的。如果发生了，我们就有理由 怀疑这一假设的真实性，拒绝这一假设。
第四节 假设检验
• 二、虚无假设和替换假设
• （3）有效性。是指当总体参数的无偏估计不止一个统计量时， 标准差小的估计量更有效，标准差大的有效性就相对差。也 就是说，估计量与总体参数的离散程度也要较小。 • （4）充分性。是指一个容量为的样本统计量，是否充分反映 了全部个数据所反映总体的信息，这就是充分性。
统计推断的内容概要
弯曲点
标
准
误 差
Sx = 平均的标准误差
Sx = 样本的标准偏差
n = 样本大小
0
10
20
30
标准误差在样本大小为5,6时趋于稳定,样本大小为30时趋于平行.一般样本大 小应为5以上,为了得到更精确的平均推断值，样本大小应为30以上.
3. 区间推断
区间推断与点推断相比是引用误差概念的统计推断法,推断出总体特征 值
n=2时的理论分布
举例（连续型数据）
洗衣机传动装置的总高度将影响制动性能。项目Y是总高度，目标值
=5.394，加工这种部件时所使用的固定架共有8个。
您想了解什么？
使用第三个固定架生产出的部件的平均 高度与目标值是否一致？
分析步骤：
1. 将数据绘制成图
2. 使用置信区间来确定所观测到的差异是
否真实。
但是点推断值中没有误差的概念。
即，无法知道样本中求出的推断值是否接近总体的真值。
■ 区间推断: 推断总体可能包括的期望区间
例）置信区间，置信水平
区间推断是完善点推断的短处，在点推断值上包括误差概念
。
是否还记得基础统计学中讲到总体和样本的
知识？
Stat > Basic Statistics > Display Descriptive Statistics
样本
信息分析
措施及行动
对事件的 结论
因此我们要注意的是：观察样本并非为得到样本的信息，其目的在于通过样本分析， 得到总体的信息，并对总体下恰当结论，采取相应措施。
点推断与区间推断
当我们不知道的总体的特征值，我们可以利用样本推断总体的方法有两 种.
统计学中的几种统计推断方法
结课论文报告课程名称统计学前沿专题年级 2011级专业统计111学生姓名赵应国学号**********指导老师戴老师理学院统计学中的几种统计推断方法数理统计的基本问题是根据样本所提供的信息，对总体的分布以及分布的数字特征作出统计推断。
统计推断的主要内容分为两大类：一是参数估计问题，另一类是假设检验问题。
本篇文章主要讨论总体参数的点估计、区间估计和假设检验。
一、点估计１、矩估计首先讲“矩”的概念，定义：设X 是随机变量，k 是一正整数，若k EX 存在，则称为随机k EX 变量X 的k 阶原点矩，记为k a ；若存在，则称它为X 的k 阶中心矩，记为k b 。
显然，数学期望E X 就是１阶原点矩，方差DX 就是２阶中心矩。
简单的说就是用样本矩去估计相应的总体矩，用样本矩的连续函数去估计相应的总体矩的连续函数。
矩估计法的理论基础是大数定理。
因为大数定理告诉我们样本矩依概率收敛于总体的相应矩，样本矩的连续函数依概率收敛于相应总体矩的连续函数。
我们通常样本的均值去X 估计总体的均值EX ：即总体为X 时，我们从中取出n 个样本12,,n X X X ，我们认为总体的均值就是11ni i X X n ==∑，（当然这只是对总体均值的一种估计，当然会有误差）当存在的时2EX 候，我们通常用211ni i X n =∑作为总体X 的2EX 的估计 一般地，我们用作为11n k i i X n =∑总体X 的的k EX 估计，用作为总体11()n k i i X X n =-∑的()k E X EX -的估计。
例：设总体X 在[,]a b 上服从均匀分布，参数,a b 未知，12,,n X X X 是一个样本，求的矩估计,a b 量。
解：由矩估计法知道：2a b EX +=由于22()DX EX EX =-，因此2222()()()124b a a b EX DX EX -+=+=+ 用矩估计法，也即用作为11n i i X X n ==∑EX 的估计，用作为的估211n i i X n =∑2EX 计， 为了计算方便，我们记111n i i A X n ==∑，记2211n i i A X n ==∑， 即有12a b A +=，2222()()124b a a b EX A -+=+= 解得，1221212()a b A b a A A +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩ 再联立解关于的方程组,a b 得的矩估计,a b 量分别为 22121133()()n i i a A A A X X X n ==--=--∑ 22121133()()n i i b A A A X X X n ==+-=+-∑ 2、极大似然估计⑴ 对于连续型总体X ，设它的密度函数为12(;,,)m f x θθθ ，其中是需要12,,m θθθ 估计的未知参数。
统计推断包括参数估计和假设检验(精)
有lim P{ m p } 1
n n
这个定理说明了：当观察次数n很大时，用 某随机现象在大量观察中发生的实际频率来 代替该现象发生的真实概率差别是很小的。
定理6.3：设X
1
,
X
2
.
.
..
.
..X.
是独立同分布变量，
n
且每个随机变量服从正态分布N (, 2 ).
若有：E[(1 )2]<E[(2 )2]
1 比2 好
1为无偏估计量，3的方差最小， ˆ3的抽样分布
但MSE(ˆ2 )最小
（Var(ˆ3 )最小）
ˆ2的抽样分布
（有偏的估计量）
ˆ1的抽样分布
(无偏估计量)
E（ˆ1）E（ˆ2）
Bias(ˆ3 )
估计量
E（ˆ3）
n i 1
E( X i )
1 n
nE( X )
E( X )
E(S 2 )
E( 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 )
1 [E n 1
n i 1
(Xi
X
)2]
D(X )
如果统计量为Sn2
1 n
n i1
(Xi
X
)2 , 则E(Sn2 )
D( X
)
此时，E(Sn2
我们把被观察对象的全体称作总体，把从总 体中按照随机原则抽出的个体组成的小群体 称为样本，而样本中所包含的个体数称为样 本容量。
1.总体和样本
设X是一个随机变量，X1，X2 ,......,Xn是一组相互独立与X 具有相同分布的随机变量，称X为总体.X1，X2 ,......,Xn为 来自总体的简单随机样本，简称样本，n为样本容量， 称样本观察值为样本值。
医学统计学计量资料的统计推断
医学统计学计量资料的统计推断主要内容：标准误t 分布总体均数的估计假设检验均数的 t检验、u 检验、方差分析几个重要概念的回顾：计量资料：总体：样本：统计量：参数：统计推断：参数估计、假设检验第一节均数的抽样误差与总体均数的估计欲了解某地2000年正常成年男性血清总胆固醇的平均水平，随机抽取该地200名正常成年男性作为样本。
由于存在个体差异，抽得的样本均数不太可能恰好等于总体均数。
一、均数的抽样误差与标准误一、均数的抽样误差与标准误抽样误差：由于抽样引起的样本统计量与总体参数之间的差异X数理统计推理和中心极限定理表明：1、从正态总体N（??，??2）中，随机抽取例数为n的样本，样本均数??X 也服从正态分布；即使从偏态总体抽样，当n足够大时??X也近似正态分布。
2、从均数为??，标准差为??的正态或偏态总体中抽取例数为n的样本，样本均数??X的总体均数也为??，标准差为X标准误含义：样本均数的标准差计算：（标准误的估计值）注意： X 、S??X均为样本均数的标准误标准误意义：反映抽样误差的大小。
标准误越小，抽样误差越小，用样本均数估计总体均数的可靠性越大。
标准误用途：衡量抽样误差大小估计总体均数可信区间用于假设检验二 t 分布对正态变量样本均数??X做正态变换（u变换）：X 常未知而用S??X估计,则为t变换：二、 t 分布t值的分布即为t分布t 分布的曲线：与??有关t分布与标准正态分布的比较1、二者都是单峰分布，以0为中心左右对称2、t分布的峰部较矮而尾部翘得较高说明远侧的t值个数相对较多即尾部面积（概率P值）较大。
当ν逐渐增大时，t分布逐渐逼近标准正态分布，当ν→??时，t分布完全成为标准正态分布t 界值表（附表9-1 ）t??/2，??：表示自由度为??，双侧概率P为??时t的界值t分布曲线下面积的规律：中间95%的t值：- t0.05/2，?? ?? t0.05/2，??中间99%的t值：- t0.01/2，?? ?? t0.01/2，??单尾概率：一侧尾部面积双尾概率：双侧尾部面积(1) 自由度（ν）一定时，p与t成反比;(2) 概率（p）一定时，ν与t成反比;三总体均数的估计统计推断：用样本信息推论总体特征。
中级经济师中级经济基础预习资料-统计学概述、基础知识和统计调查
中级经济师中级经济基础预习资料专题7统计学概述统计学基础知识一、统计学统计学是一门关于数据的学科，概括来讲，统计学是关于收集、整理、分析数据和从数据中得出结论的科学。
统计学有两个分支：描述统计和推断统计。
1.描述统计：描述统计是研究数据收集、整理和描述的统计学方法。
统计描述的内容包括：(1)如何取得所需要的数据；(2)如何用图表或数学方法对数据进行整理和展示；(3)如何描述数据的一般特征；2.推断统计：推断统计是研究如何利用样本数据推断总体特征的统计学方法。
推断统计的内容包括：(1)参数估计利用样本信息推断总体特征；(2)假设检验：利用样本信息判断对总体假设是否成立。
【提示】某公司要评测顾客满意度，从中随机抽取一部分顾客，调查他们对该公司的质量感知、满意状况和忠诚度等信息，再对公司顾客总体满意度情况进行估计；验证满意度高的客户更倾向于成为忠诚客。
☆快速检测☆【真题·多选】下列统计处理中，属于描述统计的有()。
(2019年真题)A.利用折线图展示生产者价格指数的变化B.利用圆形图展示居民消费支出构成C.利用图形展示居民消费价格指数的基本走势D.在某个城市随机抽取一部分居民住户对该城市居民收入进行估计E.根据1%人口抽样数据推算我国总人口【答案】ABC【解析】描述统计是研究数据收集、整理和描述的统计学方法，其内容包括如何取得所需要的数据，如何用图表或数学方法对数据进行整理和展示，如何描述数据的一般性特征。
选项ABC属于描述统计，选项DE属于推断统计。
【真题·单选】下列统计处理中，属于推断统计的是()。
(2021年真题)A.利用统计表展示2020年我国主要工业产品产量B.利用抽样调查数据估计粮食产量C.利用直方图显示分组数据频数分布特征D.利用圆形图显示居民生活支出构成【答案】B【解析】推断统计是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计学方法，其内容包括参数估计和假设检验两大类。
故选B。
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统计推断的内容包括参数估计和假设检验。
统计推断是通过样本推断总体的统计方法。
总体是通过总体分布的数量特征即参数(如期望和方差) 来反映的。
因此，统计推断包括：对总体的未知参数进行估计;对关于参数的假设进行检查; 对总体进行预测预报等。
科学的统计推断所使用的样本，通常通过随机抽样方法得到。
统计推断的理论和方法论基础，是概率论和数理统计学。
一、基本介绍
统计推断(statistical inference)，是指根据带随机性的观测数据（样本）以及问题的条件和假定（模型），而对未知事物作出的，以概率形式表述的推断。
它是数理统计学的主要任务，其理论和方法构成数理统计学的主要内容。
统计推断是从总体中抽取部分样本，通过对抽取部分所得到的带有随机性的数据进行合理的分析，进而对总体作出科学的判断，它是伴随着一定概率的推测。
统计推断的基本问题可以分为两大类：一类是参数估计问题；另一类是假设检验问题。
在质量活动和管理实践中，人们关心的是特定产品的质量水平，如产品质量特性的平均值、不合格品率等。
这些都需要从总体中抽取样本，通过对样本观察值分析来估计和推断，即根据样本来推断总体分布的未知参数，称为参数估计。
参数估计有两种基本形式：点估计和区间估计。
统计推断的一个基本特点是：其所依据的条件中包含有
带随机性的观测数据。
以随机现象为研究对象的概率论，是统计推断的理论基础。
二、表述形式
在数理统计学中，统计推断问题常表述为如下形式：所研究的问题有一个确定的总体，其总体分布未知或部分未知，通过从该总体中抽取的样本（观测数据）作出与未知分布有关的某种结论。
例如，某一群人的身高构成一个总体，通常认为身高是服从正态分布的，但不知道这个总体的均值，随机抽部分人，测得身高的值，用这些数据来估计这群人的平均身高，这就是一种统计推断形式，即参数估计。
若感兴趣的问题是“平均身高是否超过 1.7（米）”，就需要通过样本检验此命题是否成立，这也是一种推断形式，即假设检验。
由于统计推断是由部分（样本）推断整体（总体），因此根据样本对总体所作的推断，不可能是完全精确和可靠的，其结论要以概率的形式表达。
统计推断的目的，是利用问题的基本假定及包含在观测数据中的信息，作出尽量精确和可靠的结论。
三、提高可靠性
个体是总体的一部分，局部的特性能反映全局的特点，但是，由于总体的不均匀性和样本的随机性，又使得样本不能精确地反映总体。
因此，抽取部分个体经分析得出有关总体的结论存在着差错和不可靠。
从理论上讲有两种途径可以
消除和减少这种差错。
尽量均匀
总体是我们要研究的未知事物，我们往往不可能改变他的均匀性，当能够使其达到理想的均匀时，已经完全掌握了它，没有研究的必要了。
确保抽样代表性
采取适当的抽样方法确保抽样的“代表性”，可有效地控制和提高统计推断的可靠性和正确性。
随机抽样的方法很多，常用的有：
（1）简单随机抽样：
简单随机抽样，是指抽样过程应独立进行并且总体中每个个体被抽到的机会均等。
随机抽样不是随便抽取，随便抽取容易受到个人好恶的影响。
为实现随机化，可采取抽签、掷随机数骰子或查随机数值表等办法。
如从100件产品中随机抽取l0件组成样本，可以把这100件产品从l开始编号直到100号，然后用抓阄的办法任意抽出l0个编号，由这l0个编号代表的产品组成样本。
此种抽样方法的优点是抽样误差小，缺点是手续繁杂。
在实践中真正做到每个个体被抽到的机会相等是不容易的。
（2）周期系统抽样：
周期系统抽样，又叫等距抽样或机械抽样，即将总体按顺序编号，用抽签或查随机数值表的方法确定首件，进而按
等距原则依次抽取样本。
如从120个零件中取五个做样本，先按生产顺序给产品编号，用简单随机抽样法确定首件，然后按每隔24(由120÷5=24得)个号码抽取一个，共抽取五个组成样本。
这种方法特别适用于流水线上取样，操作简便，实施起来不易出现差错。
但抽样起点一经确定，整个样本就完全固定。
对总体质量特性含有某种周期性变化，而当抽样间隔恰好与质量特性变化周期吻合时，就可能得到一个偏差很大的样本。
（3）分层抽样法：
分层抽样法，即从一个可以分成不同子总体的总体中，按规定比例从不同层中随机抽取个体的方法。
当不同设备、不同环境生产同一种产品时，由于条件差别产品质量可能有较大差异，为了使所抽取的样本具有代表性，可以将不同条件下生产的产品组成组，使同一组内产品质量均匀，然后在各组内按比例随机抽取样品合成一个样本。
这种抽样方法得到的样本代表性比较好，抽样误差较小，缺点是抽样手续较繁，常用于产品质量检验。
（4）整群抽样法：
这种方法是先将总体按一定方式分成多个群，然后随机地抽取若干群并由这些群中的所有个体组成样本。
如按照生产过程将1000个零件分别装入20个箱中，每箱50个，然后随机抽取一箱，此箱中50个零件组成样本。
这种抽样方
法实施方便，但样本来自个别群体而不能均匀分布在总体中，因而代表性差，抽样误差较大。
四、统计假设测验
先假设真实差异不存在，表面差异全为试验误差。
然后计算这一假设出现的概率，根据小概率事件实际不可能性原理，判断假设是否正确。
这是对样本所属总体所做假设是否正确的统计证明，称为统计假设测验。
统计假设测验的基本步骤为：
（1）对样本所属总体提出假设(包括和)；
（2）确定显著水平；
（3）在正确的前提下，依统计数的抽样分布，计算实际差异由误差造成的概率；
（4）将算得的概率与相比较，根据小概率事件实际不可能性原理作出是接受还是否定的推断。