2021-2022学年福建省福州八中九年级(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)

2021-2022学年福建省福州八中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列图形依次是圆、正方形、平行四边形、正三角形，其中不是中心对称图形的是()A. B.C. D.2.如图，将三角尺ABC(∠ABC=60°,∠C=90°)绕点B按顺时针方向转动一个角度到△A′BC′的位置，若点A、B、C′在同一条直线上，那么旋转的角度可以是()A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°3.函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，关于x的一元二次方程ax2+bx+c−4=0的根的情况是()A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D. 有两个异号的实数根4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，连结OA、OB，且点C、O在弦AB的同侧，若∠ABO=50°，则∠ACB的度数为()A. 50°B. 45°C. 30°D. 40°5.用配方法解方程x2−4x+1=0时，原方程可以变形为()A. (x+2)2=3B. (x−2)2=4C. (x−2)2=3D. (x−2)2=156.已知二次函数y=−x2+(m−1)x+1，当x>1时，y随x的增大而减小，而m的取值范围是()A. m=−1B. m=3C. m≥−1D. m≤37.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2.已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是()A. 1米B. (4−√7)米C. 2米D. (4+√7)米8.如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标(1,0)，将△OAB绕点A顺时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B′的坐标为()A. (12,√3 2)B. (1,12)C. (32,√3 2)D. (√32,1 2 )9.如图是一个长20cm，宽15cm的矩形图案，其中有两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条所占面积是图案面积的14，设彩条的宽度为xcm，则下列方程正确的是()A. 20x+15x−x2=14×15×20B. (20−x)(15−x)=14×15×20C. 20x+15x=14×15×20D. 20x+15x+x2=14×15×2010.二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象过A(−2,y1)，B(6,y1)，C(0,y2)，D(3,y3)，E(5,y4)五个点，下列说法一定正确的是()A. 若y1y2>0，则y3y4>0B. 若y1y4>0，则y2y3>0C. 若y2y4<0，则y1y3<0D. 若y3y4<0，则y1y2<0二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.点A(a,3)与点B(−4,b)关于原点对称，则a+b=______．12.已知x=1是一元二次方程x2+ax−2=0的一个根，则此方程的另一根为______．13.如图，A，B，C三点在⊙O上，若∠ACB=130°，则∠AOB=______°.14.函数y=x2+6x−9的最小值为______．15.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(−2,4)，B(1,1)，则方程ax2=bx+c的解是______．16.已知：如图，在正方形ABCD内取一点P，连结PA、PB、PD，将△PDA绕点A顺时针旋转90°得△EBA，连EP.若PA=2，PB=2√5，PD=2√3.下列结论：①EB⊥EP；②点B到直线AE的距离为√6；③S△APD+S△APB=1+√6；④S=16+4√6.其中正确结论的序号是______．正方形ABCD三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）17.解方程：x2−4x−1=0．18.如图，△ABC的顶点及点O都在正方形网格格点上．(1)画出△ABC关于点O中心对称的图形△A1B1C1；(2)画出△ABC绕点O顺时针旋转90°的图形△A2B2C2．19.已知关于x的一元二次方程2x2+(2k+1)x+k=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．20.如图，AB是⊙O的直径，C是BD⏜的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．(1)求证：CF=BF；(2)若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．21.如图，抛物线y=x2+2x−3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．(1)求AB的长度和点D的坐标；(2)请你写出一种平移方法，使抛物线经过平移后与坐标轴只有两个交点．(不需证明)22.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度α，得到△ADE，点B，C的对应点分别是D，E．(1)如图1，当点E恰好在AB上时，求∠BDE的度数；(2)如图2，点F是边AB的中点，当α=90°时，请证明E，F，C三点共线．23.如图，有长为21m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形养鸡场，设养鸡场的宽AB为x m，面积为ym2．(1)y与x的函数关系为______，其中x的取值范围为______，函数图象的对称轴为______；(2)当养鸡场的面积为18m2时，求养鸡场的宽；(3)求养鸡场面积的最大值．24.问题情境：如图1，已知点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，且BE=BF，点M为AF的中点，连接CE、BM．(1)线段CE与BM之间的数量关系是______，位置关系是______．猜想证明：(2)如图2，将线段BE和BF绕点B逆时针旋转，旋转角均为α(0°<α<90°)，点M为线段AF的中点，连接BM，请你判断(1)中的两个结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，说明理由．探索发现：(3)将图1中的线段BE和BF绕点逆时针旋转，旋转角为α=90°，点M为线段AF的中点，得到如图3所示的图形，请你判断线段CE与BM之间的数量关系是否发生变化，请说明理由．25.已知抛物线y=x2+bx+c．(1)当抛物线对称轴为y轴，且经过点(−2,1)时，求抛物线解析式；(2)已知直线y=x−2与该抛物线交于A，B两点．①当线段AB被x轴平分时，求b的值；②若抛物线y=x2+bx+c与x轴相交，且当x<−1时，y随x的增大而减小，△AOB的面积为2，求c的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：根据中心对称图形的概念可确定A、B、C三项属于中心对称图形，D项为轴对称图形，不是中心对称图形．故选D．根据中心对称图形的概念进行逐项分析，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，运用排除法即可确定答案．本题主要考查中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，关键在于熟练运用中心对称图形的概念进行逐项分析．2.【答案】D【解析】解：∵将三角尺ABC(∠ABC=60°,∠C=90°)绕点B按顺时针方向转动一个角度到△A′BC′的位置，∴旋转角=∠ABA′=∠CBC′，∵点A、B、C′在同一条直线上，∴∠ABC+∠CBC′=180°，∴∠CBC′=120°，故选：D．由旋转的性质可得旋转角=∠ABA′=∠CBC′，由平角的性质可求解．本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．3.【答案】A【解析】解：由函数图象可知，函数y=ax2+bx+c的最大值是4，即4=ax2+bx+c对应的x的值只有一个，即一元二次方程ax2+bx+c−4=0有两个相等的实数根，故选：A．根据函数图象可知函数y=ax2+bx+c的最大值是4，从而可以得到关于x的一元二次方程ax2+bx+c−4=0的根的情况，本题得以解决．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4.【答案】D【解析】解：∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABO=50°，∴∠AOB=180°−50°−50°=80°．∴∠ACB=1∠AOB=40°．2故选D．利用等边对等角求得∠BAO的度数，然后根据三角形内角和定理求得∠AOB的度数，最后根据圆周角定理即可求解．本题考查了等腰三角形的性质定理以及圆周角定理，正确理解定理，求得∠AOB的度数是关键．5.【答案】C【解析】解：方程x2−4x+1=0，移项得：x2−4x=−1，配方得：x2−4x+4=3，即(x−2)2=3．故选C．方程常数项移到右边，两边加上4配方得到结果即可．此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，由函数的增减性得到关于m的不等式是解题的关键．先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，可求得答案．【解答】解：∵y=−x2+(m−1)x+1，∴对称轴为x=−m−12×(−1)=m−12，∵a=−1<0，∴抛物线开口向下，∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，∵当x>1时，y随x的增大而减小，∴m−12≤1，解得m≤3，故选：D．7.【答案】B【解析】解：连接OC交AB于点E．由题意OC⊥AB，∴AE=BE=12AB=3(米)，在Rt△AEO中，OE=√OA2−AE2=√42−33=√7(米)，∴CE=OC−OE=(4−√7)(米)，故选：B．连接OC交AB于点E.利用垂径定理以及勾股定理求出OE，可得结论．本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8.【答案】C【解析】解：如图，作BH⊥OA于H．∵A(1,0)，△AOB，△ABB′都是等边三角形，∴OA=OB=AB=BB′=1，∠OAB=∠ABB′=60°，∴BB′//OA ，∵BH ⊥OA ，∴OH =AH =12，BH =√3OH =√32， ∴B′(32,√32)， 故选：C ．如图，作BH ⊥OA 于H.证明BB′//OA ，求出BH 即可解决问题．本题考查旋转变换，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．9.【答案】A【解析】解：设彩条的宽度为x cm ，根据题意列方程得，20x +15x −x 2=14×15×20， 故选：A ．设彩条的宽度为xcm ，表示出两条彩条的面积，根据彩条所占面积是图案面积的14，列出方程即可．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，长方形面积的计算方法，解答时注意题目中蕴含的数量关系．10.【答案】C【解析】解：∵二次函数y =ax 2+bx +c(a <0)的图象过A(−2,y 1)，B(6,y 1)， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x =−2+62=2，∵A(−2,y 1)，B(6,y 1)，C(0,y 2)，D(3,y 3)，E(5,y 4)与直线x =2的距离从大到小依次为A 、E 、C 、D ，∴y 3>y 2>y 4>y 1，若y 1y 2>0，则y 3y 4>0或y 3y 4<0，选项A 不符合题意，若y 1y 4>0，则y 2y 3>0或y 2y 3<0，选项B 不符合题意，若y 2y 4<0，则y 1y 3<0，选项C 符合题意，若y 3y 4<0，则y 1y 2<0或y 1y 2>0，选项D 不符合题意，故选：C．根据点到对称轴的距离判断y3>y2>y4>y1，再结合题目一一判断即可．本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，得到y3>y2>y4>y1是解题的关键．11.【答案】1【解析】解：根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，∴a+(−4)=0，3+b=0，即：a=4且b=−3，∴a+b=1．根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则a+(−4)= 0且3+b=0，从而得出a，b，推理得出结论．本题主要考查了平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，该题比较简单．12.【答案】−2【解析】解：设方程另一个根为x2，根据题意得1⋅x2=−2，解得x2=−2．故答案为：−2．设方程另一个根为x2，根据根与系数的关系得1⋅x2=−2，然后解方程即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．13.【答案】100【解析】解：如图，在优弧AB上取一点D，连接AD，BD．∵∠ACB +∠ADB =180°，∠ACB =130°，∠AOB =2∠ADB ，∴∠ADB =180°−130°=50°，∴∠AOB =2∠ADB =100°，故答案为：100．在优弧AB 上取一点D ，连接AD ，BD.利用圆内接四边形的性质求出∠ADB ，再利用圆周角定理即可解决问题．本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．14.【答案】−18【解析】解：y =x 2+6x −9=(x +3)2−18，抛物线开口向上，函数y 有最小值，最小值为−18．故答案为：−18．将函数变形为顶点式，再判断即可．本题考查了二次函数的三种形式的转化，二次函数的性质以及最值，是基础题，熟练掌握配方法是以及二次函数的性质是解题的关键．15.【答案】x 1=−2，x 2=1【解析】解：∵抛物线y =ax 2与直线y =bx +c 的两个交点坐标分别为A(−2,4)，B(1,1)， ∴方程组{y =ax 2y =bx +c的解为{x 1=−2y 1=4，{x 2=1y 2=1， 即关于x 的方程ax 2−bx −c =0的解为x 1=−2，x 2=1．所以方程ax 2=bx +c 的解是x 1=−2，x 2=1故答案为x 1=−2，x 2=1．根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组{y =ax 2y =bx +c的解为{x 1=−2y 1=4，{x 2=1y 2=1，于是易得关于x 的方程ax 2−bx −c =0的解． 本题考查抛物线与x 轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．16.【答案】①②④【解析】解：①∵将△PDA绕点A顺时针旋转90°得△EBA，∴∠EAP=90°，AE=AP，∠APD=∠AEB，∴△AEP是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠BEP=∠AEB−∠AED=∠APD−∠AED=135°−45°=90°，∴EB⊥EP；故①正确；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，∵AE=AP=2，∠EAP=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，又∵EB⊥ED，BF⊥AF，∴∠FEB=∠FBE=45°，又∵BE=PD=2√3∴BF=2√3√2=√6，即点B到直线AE的距离为√6；故②正确；④如图，连接BD，在Rt△AEP中，∵AE=AP=2，∴EP=2√2，Rt△ABM中，AB=√AF2+BF2=√(2+√6)2+(√6)2=√16+4√6，∴S正方形ABCD=AB2=16+4√6，故④正确；③S△ABP+S△ADP=S△ABD−S△BDP=12S正方形ABCD−12×DP×BE=12(16+4√6)−12×2√3×2√3=2+2√6．故③不正确．所以本题正确的结论有：①②④；故答案为：①②④．①根据旋转的性质可得：△AEP是等腰直角三角形，则∠AED=45°，所以∠BEP= 135°−45°=90°，可作判断；②作垂线段BF，根据等腰直角△BEF的性质可得BF的长；③连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可；④根据勾股定理可得AB2，从而得正方形的面积．本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识，综合性较强，难度适中，熟记性质并仔细分析图形，理清图中三角形与角的关系是解题的关键．17.【答案】解：∵x2−4x−1=0，∴x2−4x=1，∴x2−4x+4=1+4，∴(x−2)2=5，∴x=2±√5，∴x1=2+√5，x2=2−√5．【解析】配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．(2)如图，△A2B2C2即为所求．【解析】(1)分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．(2)分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．本题考查作图−旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19.【答案】解：(1)由题意，得△=(2k+1)2−8k=(2k−1)2∵(2k−1)2≥0，∴方程总有两个实数根．(2)由求根公式，得x1=−12，x2=−k．∵方程有一个根是正数，∴−k>0．∴k<0【解析】(1)根据根的判别式即可求出答案．(2)根据因式分解法求出方程的两根，然后列出不等式即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．20.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A=90°−∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠ECB=90°−∠ABC，∴∠ECB=∠A．又∵C是BD⏜的中点，∴CD⏜=CB⏜，∴∠DBC=∠A，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF；(2)解：∵BC⏜=CD⏜，∴BC=CD=6，∵∠ACB=90°，∴AB=√BC2+AC2=√62+82=10，∴⊙O的半径为5，∵S△ABC=12AB⋅CE=12BC⋅AC，∴CE=BC⋅ACAB =6×810=245．【解析】(1)要证明CF=BF，可以证明∠ECB=∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，又知CE⊥AB，则∠CEB=90°，则∠ECB=∠A，又∠DBC=∠A，则∠ECB=∠DBC；(2)在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据三角形相似可以求得CE的长．本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．21.【答案】解：(1)由y=x2+2x−3=(x−1)(x+3)得到：A(−3,0)，B(1,0)，则AB= |−3−1|=4．由y=x2+2x−3=(x+1)2−4得到：D(−1,−4)．(2)若要抛物线与坐标轴只有两个交点，抛物线与x轴相切即可．将抛物线向上平移4个单位即可，此时抛物线的解析式为y=(x+1)2．【解析】(1)将已知抛物线解析式转化为两点式和顶点式，分别求得点A、B、D的坐标；(2)若要与坐标轴只有两个交点，只需抛物线与x轴相切即可，最简单的办法直接往上平移4个单位．本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象以及抛物线与x轴的交点，解题的关键是：(1)利用配方法将二次函数解析式变为顶点式；(2)若与对称轴只有两个交点，只能相交．22.【答案】解：(1)∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度α，∴AD=AB，∠BAD=45°，∴∠ABD=∠ADB=180°−45°2=67.5°，∴∠BDE=67.5°−45°=22.5°；(2)证明：∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度α，∴∠CAE=90°，BC=DE，∵AC=BC，∴AC=DE，∵∠AED=90°，∴∠AED =∠CAE ，∴DE//AC ，∴四边形ACED 是平行四边形，∴AD//CE ，∴∠ACE +∠CAD =180°，∵∠CAD =135°，∴∠ACE =45°，∵∠CAF =45°，∴CE ⊥AB ，∵AC =BC ，F 是AB 的中点，∴CF ⊥AB ，∴E ，F ，C 三点共线．【解析】(1)由旋转的性质得出AD =AB ，∠BAD =45°，由等腰三角形的性质得出∠ABD 和∠ADB 的度数，则可得出答案；(2)由旋转的性质得出∠CAE =90°，BC =DE ，证明四边形ACED 是平行四边形，由平行四边形的性质得出AD//CE ，证出CE ⊥AB ，CF ⊥AB ，则可得出结论．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定与性质．23.【答案】y =−3(x −72)2+1474 113≤x <7 x =72【解析】解：(1)由题意得：BC +3AB =21，即BC +3x =21，∴BC =21−3x ，∵0<BC ≤10，即0<21−3x ≤10，解得：113≤x <7，∵y =AB ⋅BC =x(21−3x)=−3x 2+21x =−3(x −72)2+1474， ∴对称轴为直线x =72，故答案为：y =−3(x −72)2+1474，113≤x <7，x =72； (2)当y =18时，即−3x 2+21x =18，解得：x 1=1，x 2=6， ∵113≤x <7，∴x =6，∴当养鸡场的面积为18m 2时，养鸡场的宽为6m ；(3)由(1)知，y =−3(x −72)2+1474， ∵−3<0，∴当x >72时，y 随x 的增大而减小，∵113≤x <7，∴当x =113时，y 取得最大值为1103， ∴养鸡场最大面积是1103m 2．(1)先根据题意求出自变量x 的取值范围，再根据矩形面积公式写出函数解析式，再化为顶点式求出对称轴；(2)由(1)当y =18时，解一元二次方程，在自变量的取值范围内确定x 的值；(3)由(1)解析式根据函数的性质和自变量的取值确定函数的最大值．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．计算最大值问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．24.【答案】(1)CE =2BM ；垂直(2)(1)的两个结论仍然成立，理由为：证明：如图2，延长AB 到N ，使NB =AB ，连结FN ，∵M 为AF 中点，B 为AN 中点，∴MB 为△ANF 的中位线，∴FN =2BM ，∵∠CBA=∠CBN=∠EBF=90°，∴∠ABC+∠ABE=∠CBN+∠CBF，即∠CBE=∠NBF，在△CBE和△FBN中，{BC=BN∠CBF=∠NBF BE=BF，∴△CBE≌△FBN(SAS)，∴FN=CE，∴CE=2BM，∵MB为△ANF的中位线，∴BM//FN，∴∠MBA=∠N，又∵△CBE≌△NBF，∴∠BCE=∠N，∵∠MBA+∠CBM=90°，∴∠ECB+∠ABM=90°，即CE⊥BM．(3)线段CE与BM之间的数量关系没有发生变化．理由如下：如图3，设AB=BC=a，BE=BF=b，则CE=a+b，∵点M为AF的中点，∴MF=12(a−b)，∴BC=b+12(a−b)=12(a+b)，∴CE=2BM．【解析】解：(1)线段CE与BM之间的数量关系是CE=2BM，位置关系是CE⊥BM；第21页，共23页证明：如图1，在△ABF与△CBE中，{AB=BC∠ABC=∠CBE BF=BE，∴△ABF≌△CBE，∴CE=AF，∠BAF=∠BCE，∵点M为AF中点，∴BM=AM=12AF=12CE，∴∠BAM=∠ABM，∴∠BCE=∠ABM，∵∠BCE+∠BEC=∠BEC+∠BCM=90°，∴BM⊥CE；故答案为：CE=2BM，垂直；(2)见答案；(3)见答案．【分析】(1)根据全等三角形的性质得到CE=AF，∠BAF=∠BCE，根据直角三角形的性质得到BM=AM=12AF=12CE，得到∠BAM=∠ABM，根据垂直的定义即可到结论；(2)如图2，延长AB到N，使NB=AB，连结FN，推出MB为△ANF的中位线，根据三角形中位线的性质得到FN=2BM，根据全等三角形的性质得到FN=CE，得到CE=2BM，根据平行线的性质得到∠MBA=∠N，即可到结论；(3)线段CE与BM之间的数量关系没有发生变化．根据线段间的数量关系进行推理即可．此题考查了几何变换综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，是一道多知识点探究性试题．25.【答案】解：(1)当抛物线对称轴为y轴时，b=0，则抛物线的表达式为y=x2+c，将点(−2,1)代入上式得：1=4+c，解得c=−3，故抛物线的表达式为y=x2−3；(2)联立y=x2+bx+c和y=x−2并整理得：x2+(b−1)x+c+2=0，则x A⋅x B=c+2，x A+x B=−(b−1)，①令y=x−2=0，解得x=2，故直线y=x−2与x轴的交点为(2,0)，当线段AB被x轴平分时，则点(2,0)为AB的中点，故12[−(b−1)]=2，解得b=−3；第22页，共23页②当x<−1时，y随x的增大而减小，则函数的对称轴在x=−1的右侧，即−b2a =−b2≥−1，解得b≤2，∵抛物线y=x2+bx+c与x轴相交在，则△=b2−4ac=b2−4c≥0，即4c≤b2≤4，解得c≤1，设直线AB与y轴交于点D，则点D(0,−2)，则△AOB的面积=S△BDO−S△AOD=12×DO×(x B−x A)=12×2×(x B−x A)=2，解得x B−x A=2，设点A的坐标为(m,m−2)，则点B(m+2,m)，∵x A⋅x B=c+2=m(m+2)，即c=m(m+2)−2=(m+1)2−3≥−3，故−3≤c≤1．【解析】(1)当抛物线对称轴为y轴时，b=0，则抛物线的表达式为y=x2+c，将点(−2,1)代入上式得：1=4+c，即可求解；(2)①令y=x−2=0，解得x=2，故直线y=x−2与x轴的交点为(2,0)，当线段AB被x轴平分时，则点(2,0)为AB的中点，由此构建方程求解即可；②当x<−1时，y随x的增大而减小，则函数的对称轴在x=−1的右侧，即−b2a =−b2≥−1，解得b≤2，而抛物线y=x2+bx+c与x轴相交在，则△=b2−4ac=b2−4c≥0，即4c≤b2≤4，解得c≤1；△AOB的面积=S△BDO−S△AOD=12×DO×(x B−x A)=12×2×(x B−x A)=2，x A⋅x B=c+2=m(m+2)，即c=m(m+2)−2=(m+1)2−3≥−3，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、根的判别式、根与系数的关系、面积的计算等，综合性强，难度较大．第23页，共23页。