初中数学教程中心对称_3

23.2中心对称

第4课时

教学内容

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y），关于原点的对称点为P′（-x，-y）及其运用．

教学目标

理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）的运用．

复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．

重难点、关键

1．重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）•关于原点的对称点P′（-x，-y）及其运用．

2．难点与关键：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．

教具、学具准备

小黑板、三角尺

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下面三题．

1．已知点A和直线L，如图，请画出点A关于L对称的点A′．

2．如图，△ABC 是正三角形，以点A 为中心，把△ADC 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．

3．如图△ABO ，绕点O 旋转180°，画出旋转后的图形．

老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．（略） 二、探索新知

（学生活动）如图，在直角坐标系中，已知A （-3，1）、B （-4，0）、C （0，3）、•D （2，2）、E （3，-3）、F （-2，-2），作出A 、B 、C 、D 、E 、F 点关于原点O 的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：

这些坐标与已知点的坐标有什么关系？

老师点评：画法：（1）连结AO 并延长AO （2）在射线AO 上截取OA ′=OA

（3）过A 作AD ′⊥x 轴于D ′点，过A ′作A ′D ″⊥x 轴于点D ″． ∵△AD ′O 与△A ′D ″O 全等 ∴AD ′=A ′D ″，OA=OA ′ ∴A ′（3，-1）

同理可得B 、C 、D 、E 、F 这些点关于原点的中心对称点的坐标． （学生活动）分组讨论（每四人一组）：讨论的内容：关于原点作中心对称时，•①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐

l

A

-3

-33

O

B

A C

-2-2

1

-1

y

x

3

-4D

42

21

-1

标之间符号又有什么特点？

提问几个同学口述上面的问题．

老师点评：（1）从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．（2）坐标符号相反，即设P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）．

例1．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB•关于原点对称的图形．

分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可．

解：点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y），

因此，线段AB的两个端点A（0，-1），B（3，0）关于原点的对称点分别为A′（1，0），B（-3，0）．

连结A′B′．

则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′．

（学生活动）例2．已知△ABC，A（1，2），B（-1，3），C（-2，4）利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．

老师点评分析：先在直角坐标系中画出A、B、C三点并连结组成△ABC，要作出△ABC 关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点，•依次连结，便可得到所求作的△A′B′C′．

三、巩固练习

教材练习．

四、应用拓展

例3．如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1．

（1）在图中画出直线A1B1．

（2）求出线段A1B1中点的反比例函数解析式．

（3）是否存在另一条与直线AB平行的直线y=kx+b（我们发现互相平行的两条直线斜率k值相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请说明理由．

分析：（1）只需画出A 、B 两点绕点O 顺时针旋转90°得到的点A 1、B 1，连结A 1B 1． （2）先求出A 1B 1中点的坐标，设反比例函数解析式为y=

代入求k ． （3）要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加予说明．这一条直线是存在的，因此A 1B 1与双曲线是相切的，只要我们通过A 1B 1的线段作A 1、B 1关于原点的对称点A 2、B 2，连结A 2B 2的直线就是我们所求的直线． 解：（1）分别作出A 、B 两点绕点O 顺时针旋转90°得到的点A 1（1，0），B 1（2，0），连结A 1B 1，那么直线A 1B 1就是所求的． （2）∵A 1B 1的中点坐标是（1，

） 设所求的反比例函数为y=

则

=，k= ∴所求的反比例函数解析式为y=

（3）存在．

∵设A 1B 1：y=k′x+b′过点A 1（0，1），B 1（2，0）

∴ ∴

∴y=-

x+1 把线段A 1B 1作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线． 根据点P （x ，y ）关于原点的对称点P ′（-x ，-y ）得： A 1（0，1），B 1（2，0）关于原点的对称点分别为A 2（0，-1），B 2（-2，0） ∵A 2B 2：y=kx+b

k

x

12

k x

121k 12

12x

1`02b k b =⎧

⎨=+⎩`1

1`2

b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩1

2