函数图像切线问题
函数图像的切线问题 要点梳理归纳 1. 求曲线 y＝ f(x) 的切线方程的三种类型及其方法 (1) 已知切点 P(x 0， f(x 0)) ，求 y＝ f(x) 在点 P 处的切线方程： 切线方程为 y － f(x 0) ＝f ′(x 0)(x －x0).
(2) 已知切线的斜率为 k，求 y＝ f(x) 的切线方程： 设切点为 P(x 0， y0) ，通过方程 k＝f ′(x 0) 解得 x0，再由点斜式写出方程 .
(3) 已知切线上一点 ( 非切点 )A(s,t) ，求 y＝ f(x) 的切线方程： 设切点为 P(x 0，y0) ，利用导数将切线方程表示为 y－ f(x 0) ＝f ′(x 0)(x － x0) ，再将 A(s,t) 代入求出 x0. 2．两个函数图像的公切线 函数 y=f(x) 与函数 y=g(x) 存在公切线，
f′ x0 ＝ g′ x0 ， 若切点为同一点 P(x0，y0)，则有 f x0 ＝ g x0 .
若切点分别为 (x ,f(x )),(x ,g(x
f (x1 ) g(x2 )
1 2 1 2
x2 x1
题型分类解析 题型一 已知切线经过的点求切线方程 例 1. 求过点 P(2,2) 与已知曲线 S : y 3x x3 相切的切线方程 .
解：点 P 不在曲线 S上. 设切点的坐标 x , y 0，则 y0 3x0 x0 3 ，函数的导数为 y ' 3 3x2 ，
0
切线的斜率为 k y ' x x 3
3x 2 ， 切线方程为 y y0 (3 3x
0
2 )( x x0 ) ，
0 0
点 P(2,2) 在切线上， 2 y0 (3 3x0 2 )(2 x0 ) ，又 y0 3x0 x
0
3
，二者联立
可得 x0 1,或 x0 1 3, 相应的斜率为 k 0 或 k 9 6 3
1/12 切线方程为 y 2 或 y 9 6 3 (x 2) 2
.
例 2. 设 函 数 f x g x x2 ， 曲 线 y g x 在 点 1,g 1 处的切线方程为
y 2x 1，则曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程为 ________
解析：由切线过 1, g 1 可得： g 1 3 ，所以 f 1 g 1 12 4 ，另一方面，
g' 1 2 ，且 f ' x g ' x 2x ，所以 f ' 1 g' 1 2 4 ，从而切线方程为：
y 4 4 x 1 y 4x 例 3. 已知直线 y kx 1与曲线 y x3 ax b 切于点 (1,3) ，则 b 的值为 _________ 解析：代入 (1,3)可得： k 2 ， f ' x 3x2 a ，
所以有 f 1 a b 1 3 a 1 f ' 1 3 a 2
，解得 3 b
题型二 已知切线方程（或斜率），求切点坐标（或方程、参数） 例 4. 已知函数 f x ln x 2 x ，则：
（1）在曲线 f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线 4x y 2 0 平行 （2）在曲线 f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线 x y 3 0 垂直 解：设切点坐标为 x0 , y0 f ' x0 1 2 由切线与 4 x y 2 0 平行可得：
x0
f ' x0 1 2 4 x0 1 y0 f 1 ln 1 1
x0 2 2 2
切线方程为： y 1 ln 2 1 y 4 x ln 2 1
4 x
2
2/12 （2）设切点坐标 x0 , y0 f ' x0 1 2 ，直线 x y 3 0 的斜率为 1
x0
f ' x0 1 21 x0 1
而
x
0 0,
x0 3
x0
1
不在定义域中，舍去 3
不存在一点，使得该点处的切线与直线 x y 3 0
垂直
例 5. 函数 f x a ln x bx2 上一点 P 2, f 2 处的切线方程为 y 3x 2ln2 2
，
求 a, b 的值 思路：本题中求 a, b 的值，考虑寻找两个等量条件进行求解， P 在直线 y 3x 2ln2 2
上， y 3 2 2ln2 2 2ln2 4 ，即 f 2 =2ln2 4 ，得到 a,b 的一个等量关系，
在从切线斜率中得到 x 2 的导数值，进而得到 a,b 的另一个等量关系，从而求出 a, b 解： P 在 y 3x 2ln2 2 上， f 2 3 2 2ln2 2 2ln2 4
f 2 a ln2 4b 2ln2 4 又因为 P 处的切线斜率为 3 f ' x a 2bx x
a a ln 2 4b 2ln 2 4 a 2 f ' 2 4b 3 , a
4b 3 b 1 2 2
例 6. 设函数 f x x3 ax2 9x 1 a 0 ，若曲线 y f x 的斜率最小的切线与直
线 12x y 6 平行，求 a 的值
思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为 12 ，进而可得导函数的
3/12 最小值为 12，便可求出 a 的值
2 a 1 a 2 1 a2 1 a 2 解： f ' x 3x2 2ax 9 3 x2 9 3 x 1 a2 9
3 9 3 3 3
f ' x min f 1 a 1 a2 9
直线 12x y 6 的斜率为
12
，依题意可得：
3 3
1 a2 9 12 a 3 a 0 a 3
3 题型三 公切线问题
例 7. 若存在过点 (1,0) 的直线与曲线
y x3 和 y ax
2
15 x 9 都相切 , 则 a 等于 ( )
4
A. 1 或 25 B. 1 或 21 C. 7 或 25 D. 7 或 7 64 4 4 64 4
思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线 y ax2 15 x 9 含有参数，所以考虑
4
先 从 常 系 数 的 曲 线 y x3 入 手 求 出 切 线 方 程 ， 再 考 虑 在 利 用 切 线 与 曲 线
y ax2 15 x 9 求出 a 的值 . 设过 1,0 的直线与曲线 y x3 切于点 x0 , x03 , 切线方
4
程为 y x03 3x02 x x0 ，即 y 3x02 x 2 x03 ，因为 1,0 在切线上，所以解得： x
0 0
或 x0 3 ，即切点坐标为 0,0 或 3,27 .当切点 0 , 0 时 ， 由 y 0
与
2 2 8
y ax2 15 x 9 相切可得
4
2 25 ，同理，切点为 3 , 27
解得 a 15 4a 9 0 a 1
4 64 2 8
4/12 答案： A 小炼有话说：（ 1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁 . 所 以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系
（2）在利用切线与 y ax215 x 9 求 a 的过程中， 由于曲线 y ax215 x 9 为抛物 4 4
线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的 0 来求解，减少了运算量 . 通过例 7，例 8 可以体会到导数与解析几何之间的联系：一
方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若 曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）
例 8. 若曲线 C1：y x 2 与曲线 C2： y aex 存在公切线，则 a 的最值情况为（ ）
A．最大值为 8 B ．最大值为 4 C ．最小值为 8 D ．最小值为 4 e2 e2 e2 e2
解析：设公切线与曲线 C1 切于点 x1, x12 ，与曲线 C2 切于点 x2 ,aex2 ，由 y' 2 x 可得：
y' aex
aex2 x2 2x1 2 x1 x12 x1 2x
2 2
x2 2x
1 x ，所以有 x2 x1 ae 4x2 4
，
ae 2 x2 1 ，所以
x1 2x aex
2
1
即 a 4 x2 1 ，设 f x 4 x 1 ，则 f ' x 4 2 x . 可知 f x 在 1,2 单调递 ex2 ex ex
增，在 2, 单调递减，所以 amax f 2 4 e2
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高中物理的函数图像“切线斜率”应用解题
参考文献
[1]于胜寒函数图像的“切线斜率”的理解及在高中物理解题中的应用[J].中国新通信，2016，18，（23）：134。
C. O点中产生的电荷强度在x轴方向中的分量为最大的状态。
D. x中的负电荷在经过B到C之间的转移过程中，电场力会首先先做正功，之后再做负功，具有这样一个先后顺序。
解题分析：φ-x图像中处于某一个位置之上的斜线斜率表示的是静电场中的电场在x方向之上的分量值，所以正确答案是A,同时O点中所对应的切线斜率数值是0，由此得知C项按答案错误。同时根据题目中所述，顺沿电场方向上的势能处于逐渐减小的状态，所以B选项阐述不对。电场做工可以表示为W=qu，由此可以得出，正确答案是D。因此最终的答案是AD。
高中物理的函数图像“切线斜率”应用解题
摘要：在高中物理课程的学习过程中，具有多种解题思路与解题方式，其中的重要知识点是切线斜率方面，在物理习题的定量分析与定性分析中都有着重要的应用空间，本文分析了在高中物理习题的讲解过程中函数图像“切线斜率”方面的应用策略，以促进同学们掌握相关的物理解题技巧，最终有效促进高中物理解题能力的提升。
例题：在具体的空间表现中静电场的电路势能φ在x轴中的具体分布情况具体如下图1所示，由这一图能够看出x轴在B点与C点之上的电场强度作用在x位置之上的分量将其具体表示成Ebx与Ecx，那么在以下的四个阐述中正确的是（ ）。
图1.函数图像
A. Ebx上的电场强度势能比Ecx要强。
B. Ecx上的分量方向是X轴的正方向。
函数图像的“切线斜率”的理解及在高中物理解题中的应用-2019年教育文档
函数图像的“切线斜率”的理解及在高中物理解题中的应用切线斜率即为图形在垂直方向变化量与水平方向变化量上的比值，这和数学概念当中的斜率存在一定的差异性。
此斜率并非倾角正切值。
在这一方面往往理解起来较为困难，由于过程相同，出于不同时刻的物理量便是明确的，但是每个人所画出的图像却不尽相同，相应的斜率也便有所不同。
因此就加强对函数图像中“切线斜率”的理解将具有十分重要的作用与价值，可在进行物理习题的解答时能够更好的应用“切线斜率”这一解题方法，提高对解题技巧的有效掌握。
一、理解函数图像“切线斜率”的意义要想促使学生能够对于函数图像当中某一切线位置的斜率做出准确的理解，首先便要能够理解函数的增量改变、平均变化率、变化率，同时还能够由函数的增量改变到函数平均变化率，直至函数在某一具体位置的变化率动态改变过程予以准确的理解，这些将会促进学生加强对于物理概念及规律的理解，并促使学生能够更加有效的解决物理难题，这将对于提升学生的解题技巧，促进物理学习效率的提升将具有极其重要的作用与价值。
二、物理图像“切线斜率”的物理意义三、无理函数图像“切线斜率”的具体应用在物理函数图像当中运用“切线斜率”之时，应先明确物理量会因为哪一个量的改变而产生出相应的函数图像，进而基于相应的物理量改变再进一步发展到平均变化率之时最终到达某一点的变化率予以动态化的了解，同时根据已经掌握的相关物理学概念、规律等内容来就其中所蕴含的内涵意义做到准确的理解。
依据图像“切线斜率”所具备的物理学概念内涵和切线斜率的改变规律来尽快获得相应的函数变化规律。
例题1，在某一空间当中其静电场电力势能？于x轴当中的分布情况如下图1所示，其中x轴于BC两点电场的强度于x位置上的分量依次为EBx与ECx，在以下选项当中正确的选项是（）A EBx的电场强度势能>ECxB EBx的分量方向为x轴正方向C O?c位置所存在的电荷强度在x轴方向当中的分量最大D x当中的负电荷在由B转移到C之时，电场力先做正功，后做负功。
09：三次函数图像的切线
高考总复习09：三次函数图像的切线1.(1)求平行于直线910x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程.(2)求垂直于直线320x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程.2.(1)求函数3()2f x x =的图像在点(1,2)P 处的切线l 方程；(2)设函数3()2f x x =的图像为C ,求曲线C 与其在点(1,2)P 处的切线l 的所有交点坐标. 3.(1)求函数3()2f x x =的图像经过点(1,2)P 的切线方程.(2)求函数3()2f x x =的图像经过点(1,10)P 的切线方程.4.已知直线y x =是函数32()31f x x x ax =-+-图像的一条切线,求实数a 的值.5.已知0a >,且过点(,)P a b 可作函数3()f x x x =-图像的三条切线,证明:()a b f a -<<.6.设函数3211()32f x x ax bx c =-++(0)a >的图像C 在点(0,(0))P f 处的切线为1y =. (1)确定,b c 的值；(2)设曲线C 在1122(,()),(,())A x f x B x f x 处的切线都过(0,2)Q ,证明:若12x x ≠,则12'()'()f x f x ≠；(3)若过点(0,2)Q 可作曲线C 的三条不同切线,求a 的取值范围.7.已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，,(13]，内各有一个极值点． (1)求24a b -的最大值；(2)当248a b -=时,设曲线C :()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线l 穿过曲线C (穿过是指:动点在点A 附近沿曲线C 运动,当经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求()f x 的表达式．8.由坐标原点(0,0)O 向曲线x x x y +-=233引切线,切于不同于点O 的点111(, )P x y ,再由1P 引切线切于不同于1P 的点222(,)P x y ,如此继续下去……,得到点(,)n n n P x y ,求1n x +与n x 的关系,及n x 的表达式.。
高中数学导数的几何意义求切线方程专题-解析版
导数的几何意义求切线方程专题题型一：切点已知求切线方程【例1】.函数f(x)=xe x的图象在点(1,f(1))处的切线方程是________．【答案】y=2ex−e【解析】因为f(x)=xe x，所以f(1)=e，f′(x)=e x+xe x，所以f′(1)=2e，所以f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y−e=2e(x−1)，即y=2ex−e．变式1.已知函数f(x)=x+alnx．当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；【答案】2x−y−1=0【解析】当a=1时，f(x)=x+lnx，f′(x)=1+1x(x>0)．所以f(1)=1，f′(1)=2，所以切线方程为2x−y−1=0．【备注】考查导数的几何意义，先由导数得到斜率，再根据点斜式得到切线方程．变式2.已知函数f(x)=(x+1)lnx−a(x−1)．当a=4时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；【答案】y=−2x+2．【解析】当a=4时，f(1)=0，函数f(x)的导函数f′(x)=lnx+1−3,因此f′(1)=−2，从而所求的切线方程为y=−2(x−1)，也即y=−2x+2．【备注】本小题是常规的利用导函数求函数的切线方程问题．题型二：切点未知求切线方程【例2】.【2018年浙江宁波高二下学期周测】过原点作曲线y=e x的切线，则切线方程为________【答案】y=ex【解析】y′=e x设切点的坐标为(x0,e x0)，切线的斜率为k，则k=e x0，故切线方程为y−e x0=e x0(x−x0)又切线过原点，∴−e x0=e x0(−x0)，∴x0=1，y0=e，k=e．则切线方程为y=ex故答案为y=ex．变式.已知函数f(x)=x3−3x，过点P(2,−6)作曲线y=f(x)的切线，则切线方程是 ________【答案】3x+y=0或24x−y−54=0【解析】由f(x)=x3−3x，得f′(x)=3x2−3，设切点为(x0,x03−3x0)，则斜率k=3x02−3，∴切线方程为y−(x03−3x0)=(3x02−3)(x−x0)，即y=(3x02−3)x−2x03．∵切线过点P(2,−6)，则−6=2(3x02−3)−2x03，解得：x0=0或x0=3．∴所求切线方程是y=−3x或y=24x−54．故答案为：3x+y=0或24x−y−54=0．题型三：已知切线方程求参数【例3】.若抛物线y=x2与直线2x+y+m=0相切，则m= ________【答案】1【解析】设切点为P(x0,y0)．易知y′|x=x=2x0．由{2x0=−2,y0=x02,得{x0=−1,y0=1,所以P(−1,1)．又P(−1,1)在直线2x+y+m=0上，所以2×(−1)+1+m=0，解得m=1．变式1.【2016年辽宁大连单元测试】设函数f(x)=x2-ln(x+a)+b，g(x)=x3．若函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y=0，求实数a,b的值；【答案】a=1，b=0【解析】f′(x)=2x−1x+a依题意{f′(0)=−1a=−1 f(0)=−lna+b=0变式2.【2015年浙江舟山高二下学期月考】在同一坐标系中，直线l是函数f(x)=√1−x2在(0,1)处的切线，若直线l与g(x)=−x2+mx相切于x=1处，则m=________【答案】2【解析】函数y=f(x)=2即为上半圆x2+y2=1，(0,1)为与y轴的交点，即有在(0,1)处的切线为y=1，由题意可得直线l：y=1也是g(x)=−x2+mx的切线，所以g(x)在x=0处的导函数值为0,g′(0)=−2∗0+m=0且g(1)=1,所以m=2题型四:公切线求参数问题【例4】.若直线y=kx+t是曲线y=e x+2的切线，也是曲线y=e x+1的切线，则t=________ ．【答案】4−2ln2【解析】设y=kx+t与y=e x+2和y=e x+1的切点分别为(x1,kx1+t)、(x2,kx2+t)．由导数的几何意义可得k=e x1=e x2+1，得x1=x2+1．再由切点也在各自的曲线上，可得kx1+t=e x1+2，kx2+t=e x2+1．联立上述式子{k=e x1x1=x2+1 kx1+t=e x1+2 kx2+t=e x2+1解得k=2，x1=ln2，t=4−2ln2．故答案为4−2ln2．【备注】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题．先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可变式：函数f(x)=lnx+mxx+1与g(x)=x2+1有公切线y=ax(a>0)，则实数m的值为________ ．【答案】4【解析】设公切线y=ax与g(x)=x2+1的切点为(x0,x02+1)，g"(x)=2x，故切线斜率为2x0，则切线为y−(x02+1)=2x0(x−x0)，因为切线过原点(0,0)，所以−x 02−1=−2x 02，解答x 0=1或x 0=−1， 因为切线斜率a =2x 0>0，所以x 0=1，a =2， 设公切线y =2x 与f(x)=lnx +mxx+1相切与点(x 1,lnx 1+mx 1x 1+1)，f"(x)=1x +m (x+1)2，故斜率1x 1+m(x1+1)2=2①切线方程为y −(lnx 1+mx 1x1+1)=(1x 1+m(x 1+1)2)(x −x 1)，因为过(0,0)，所以−lnx 1−mx 1x1+1=−1−mx 1(x 1+1)2②联立①②解得x 1=1,m =4． 故答案为4．【备注】本题考查利用导数研究函数在某一点处的切线方程，根据条件设出切点，利用切线过原点且和两函数图象相切即可求出m 的值．针对训练1.曲线f(x)=x 3+11在点P(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．−9 B ．−3 C ．9 D ．15【答案】C【解析】因为y ′=3x 2，切点为(1,12)，所以切线的斜率为3，故切线方程为3x −y +9=0，令x =0，得y =9【备注】求在某点处切线2.【2018年浙江杭州下城区浙江省杭州高级中学高二下学期期中考试数学试卷】已知直线y =−2x −23与曲线2f(x)=13x 3−bx 相切，则b =________． 【答案】3【解析】f(x)=13x 3−bx ，f ′(x)=x 2−b =−2，{x 2−b =−213x 3−bx =−2x −23，x =1，b =3．3.已知函数f(x)=ax2+(2a−1)x−lnx，a∈R．若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线经过点(2，11)，求实数a的值；【答案】a=2【解析】由题意得f′(x)=2ax+(2a−1)−1 x=2ax2+(2a−1)x−1x=(2ax−1)(x+1)x∴f′(1)=2(2a−1)∵f(1)=3a−1∴曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=2(2a−1)(x−1)+3a−1代入点(2，11)，得a=2【备注】根据题意，对函数f(x)求导，由导数的几何意义分析可得曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程，代入点(2，11)，计算可得答案4.【2013年山西太原单元测试】设函数f(x)=x3−3ax+b,a≠0在点(2,f(2))处与直线y=8相切求实数a,b的值；【答案】a=4,b=24；【解析】f′(x)=3x2−3a，f′(2)=0,f(2)=8即12−3a=0,8−6a+b=8解得a=4,b= 245.函数f(x)=x2−2ax+lnx(a∈R)．函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x−2y+ 1=0垂直，求a的值；【答案】a=52【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x−2a+1x，f′(1)=3−2a，由题意f′(1)⋅12=(3−2a)⋅12=−1，解得a=52．6.已知函数f(x)=alnx−bx2图像上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=−3x+2ln2+2，求a,b 的值【答案】a=2,b=1【解析】f′(x)=ax−2bx{k=f′(2)=a2−4b=−3y0=f(2)=aln2−4b=−6+2ln2+2解得：a=2,b=1【备注】若想解得参数a,b需要注意两点：1、切点是个很特殊的点，既在曲线上，又在切线上。
导数中的公切线问题--2024年新高考数学一轮复习题型归纳与方法总结 解析版
导数中的公切线问题知识点梳理一、公切线问题一般思路两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.考法1：求公切线方程已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.具体做法为：设公切线在y =f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y =g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)=g ′(x 2)=f x 1 -g x 2x 1-x 2.考法2：由公切线求参数的值或范围问题由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．题型精讲精练1若直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =ln x +2 的切线，则k =______．【解析】设y =kx +b 与y =e x 和y =ln x +2 ，分别切于点x 1,e x 1，x 2,ln x 2+2 ，由导数的几何意义可得：k =e x 1=1x 2+2，即x 2+2=1ex 1，①则切线方程为y -e x 1=e x 1x -x 1 ，即y =e x 1x -e x 1x 1+e x 1，或y -ln x 2+2 =1x 2+2x -x 2 ，即y -ln x 2+2 =1x 2+2x -x 2 ，②将①代入②得y =e x 1x +2e x 1-1-x 1，又直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =ln x +2 的切线，则-e x 1x 1+e x 1=2e x 1-1-x 1，即e x 1-1 x 1+1 =0，则x 1=-1或x 1=0，即k =e 0=1或k =e -1=1e ，故答案为1或1e．2已知直线y =kx +b 与函数y =e x 的图像相切于点P x 1,y 1 ，与函数y =ln x 的图像相切于点Q x 2,y 2 ，若x 2>1，且x 2∈n ,n +1 ，n ∈Z ，则n =______．【解析】依题意，可得e x 1=k =1x 2y 1=e x 1=kx 1+by 2=ln x 2=kx 2+b，整理得x 2ln x 2-ln x 2-x 2-1=0令f x =x ln x -ln x -x -1x >1 ，则f x =ln x -1x在1,+∞ 单调递增且f 1 ⋅f 2 <0，∴存在唯一实数m ∈1,2 ，使f m =0f x min =f m <f 1 <0，f 2 =ln2-3<0，f 3 =2ln3-4<0，f 4 =3ln4-5<0，f 5 =4ln5-6>0，∴x 2∈4,5 ，故n =4．【题型训练】1.求公切线方程一、单选题1(2023·全国·高三专题练习)曲线y =1x与曲线y =-x 2的公切线方程为()A.y =-4x +4B.y =4x -4C.y =-2x +4D.y =2x -4【答案】A【分析】画出图象，从而确定正确选项.【详解】画出y =1x,y =-x 2以及四个选项中直线的图象如下图所示，由图可知A 选项符合.故选：A2(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f (x )，若曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线与曲线y =xf (x )在点(1,2)处点的切线重合，则f ′(2)=()A.-34B.-14C.-4D.14【答案】B【分析】由f(0)=0得d=0，然后求得f (x)，由f (0)=2-01-0求得c=2，设g(x)=xf(x)，由g(1)=2得f(1)=2及a+b=0，再由g (1)=2得3a+2b+2=0，解得a,b后可得f (2)．【详解】设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，∵f(0)=d=0,∴f(x)=ax3+bx2+cx,∴f′(x)=3ax2+2bx+c∴f′(0)=c=2-01-0=2，设g(x)=xf(x)，则g(1)=f(1)=a+b+2=2，即a+b=0⋯⋯①又∵g′(x)=f(x)+xf′(x),∴g′(1)=f(1)+f′(1)=2,∴f′(1)=0，即3a+2b+2=0⋯⋯②由①②可得a=-2,b=2,c=2，∴f′(2)=-14.故选：B.3(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x ln x，g x =ax2-x．若经过点A1,0存在一条直线l与曲线y=f x 和y=g x 都相切，则a=()A.-1B.1C.2D.3【答案】B【分析】先求得f(x)在A(1,0)处的切线方程，然后与g x =ax2-x联立，由Δ=0求解【详解】解析：∵f x =x ln x，∴f x =1+ln x，∴f 1 =1+ln1=1，∴k=1，∴曲线y=f x 在A1,0处的切线方程为y=x-1，由y=x-1y=ax2-x得ax2-2x+1=0，由Δ=4-4a=0，解得a=1．故选：B4(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x2-4x+4,g(x)=x-1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为A.三条B.二条C.一条D.0条【答案】A【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程8n3-8n2+1=0，构造函数f x =8x3-8x2+1,f x =8x3x-2，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数.【详解】设公切线与f x 和g x 分别相切于点m,f m,n,f n,f x =2x-4，g x =-x -2,gn =fm =g n -f m n -m ，解得m =-n -22+2，代入化简得8n 3-8n 2+1=0，构造函数f x =8x 3-8x 2+1,f x =8x 3x -2 ，原函数在-∞，0 ↗，0，23 ↘，23，+∞ ↗，极大值f 0 >0,极小值，f 23<0故函数和x 轴有交3个点，方程8n 3-8n 2+1=0有三解，故切线有3条.故选A .【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点个数问题，即转化为函数图像和x 轴的交点问题.5(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x 2-2m ，g x =3ln x -x ，若y =f x 与y =g x在公共点处的切线相同，则m =()A.-3B.1C.2D.5【答案】B【分析】设曲线y =f x 与y =g x 的公共点为x 0,y 0 ，根据题意可得出关于x 0、m 的方程组，进而可求得实数m 的值.【详解】设函数f x =x 2-2m ，g x =3ln x -x 的公共点设为x 0,y 0 ，则f x 0 =g x 0 f x 0 =g x 0 ，即x 20-2m =3ln x 0-x 02x 0=3x 0-1x 0>0，解得x 0=m =1，故选：B .【点睛】本题考查利用两函数的公切线求参数，要结合公共点以及导数值相等列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.6(2023·全国·高三专题练习)函数f (x )=ln x 在点P (x 0,f (x 0))处的切线与函数g (x )=e x 的图象也相切，则满足条件的切点的个数有A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【分析】先求直线l 为函数的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线方程，再设直线l 与曲线y =g (x )相切于点(x 1，e x 1)，进而可得ln x 0=x 0+1x 0-1，根据函数图象的交点即可得出结论．【详解】解：∵f (x )=ln x ，∴f ′(x )=1x ，∴x =x 0，f ′(x 0)=1x 0，∴切线l的方程为y-ln x0=1x0(x-x0)，即y=1x0x+ln x0-1，①设直线l与曲线y=g(x)相切于点(x1，e x1)，∵g (x)=e x，∴e x1=1x0，∴x1=-ln x0．∴直线l也为y-1x0=1x0(x+ln x0)即y=1x0x+ln x0x0+1x0，②由①②得ln x0=x0+1 x0-1，如图所示，在同一直角坐标系中画出y=ln x,y=x+1x-1的图象，即可得方程有两解，故切点有2个.故选：C二、填空题7(2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)与曲线y=e x和y=-x24都相切的直线方程为.【答案】y=x+1【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.【详解】设直线与曲线y=e x相切于点x1,e x1，因为y =e x，所以该直线的方程为y-e x1=e x1x-x 1，即y=e x1x+e x11-x1，设直线与曲线y=-x24相切于点x2,-x224，因为y =-x2，所以该直线的方程为y+x224=-x22x-x2，即y=-x22x+x224，所以e x1=-x22e x11-x1=x224，解得x1=0,x2=-2，所以该直线的方程为y=x+1，故答案为：y=x+1.8(2023·全国·高三专题练习)已知f x =e x-1(e为自然对数的底数)，g x =ln x+1，请写出f x 与g x 的一条公切线的方程．【答案】y=ex-1或y=x【分析】假设切点分别为m,e m-1，n,ln n+1，根据导数几何意义可求得公切线方程，由此可构造方程求得m，代入公切线方程即可得到结果.【详解】设公切线与f x 相切于点m,e m-1，与g x 相切于点n,ln n+1，∵f x =e x，g x =1x，∴公切线斜率k=e m=1n；∴公切线方程为：y-e m+1=e m x-m或y-ln n-1=1nx-n，整理可得：y=e m x-m-1e m-1或y=1nx+ln n，∴e m=1nm-1e m+1=-ln n，即m=-ln nm-1e m +1=-ln n，∴m-1e m+1-m=m-1e m-1=0，解得：m=1或m=0，∴公切线方程为：y=ex-1或y=x.故答案为：y=ex-1或y=x.9(2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试)已知直线l与曲线y=e x、y=2+ln x都相切，则直线l的方程为．【答案】y=x+1或y=ex【分析】分别求出两曲线的切线方程是y=e x1x+e x11-x1和y=1x2x+1+ln x2，解方程e x1=1x2，e x11-x1=1+ln x2，即得解.【详解】解：由y=e x得y =e x，设切点为x1,e x1，所以切线的斜率为e x1，则直线l的方程为：y=e x1x+e x11-x1；由y =2+ln x 得y =1x ，设切点为x 2,2+ln x 2 ，所以切线的斜率为1x 2，则直线l 的方程为：y =1x 2x +1+ln x 2．所以e x 1=1x 2，e x 11-x 1 =1+ln x 2，消去x 1得1x 2-11+ln x 2 =0，故x 2=1或x 2=1e，所以直线l 的方程为：y =x +1或y =ex ．故答案为：y =x +1或y =ex 10(2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习)已知直线y =kx +b 是曲线y =ln 1+x 与y =2+ln x 的公切线，则k +b =.【答案】3-ln2【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算k +b .【详解】设曲线y =ln 1+x 上切点A x 1,ln 1+x 1 ，y =11+x，切线斜率k =11+x 1，切线方程y -ln 1+x 1 =11+x 1x -x 1 ，即y =11+x 1x -x 11+x 1+ln 1+x 1同理，设曲线y =2+ln x 上切点B x 2,2+ln x 2 ，y =1x，切线斜率k =1x 2，切线方程y -2+ln x 2 =1x 2x -x 2 ，即y =1x 2x +1+ln x 2，所以11+x 1=1x 2-x11+x 1+ln (1+x 1)=1+ln x 2，解得x 1=-12x 2=12，所以k =2，b =1-ln2，k +b =3-ln2.故答案为：3-ln2.2.公切线中的参数问题一、单选题1(2023·陕西渭南·统考一模)已知直线y =ax +b (a ∈R ,b >0)是曲线f x =e x 与曲线g x =ln x +2的公切线，则a +b 等于()A.e +2B.3C.e +1D.2【答案】D【分析】由f x 求得切线方程，结合该切线也是g x 的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线y =ax +b ，从而求得正确答案.【详解】设t ,e t 是f x 图象上的一点，f x =e x ，所以f x 在点t ,e t 处的切线方程为y -e t =e t x -t ，y =e t x +1-t e t ①，令g x =1x=e t ，解得x =e -t ，g e -t=ln e -t+2=2-t ，所以2-t -e te -t-t=e t ，1-t =1-t e t ，所以t =0或t =1(此时①为y =ex ，b =0，不符合题意，舍去)，所以t =0，此时①可化为y -1=1×x -0 ,y =x +1，所以a +b =1+1=2.故选：D2(2023·陕西榆林·校考模拟预测)若直线l 与曲线y =e x 相切，切点为M x 1,y 1 ，与曲线y =x +32也相切，切点为N x 2,y 2 ，则2x 1-x 2的值为()A.-2B.-1C.0D.1【答案】B【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线方程即可得解.【详解】因为直线l 与曲线y =e x 相切，切点为M x 1,y 1 ，可知直线l 的方程为y =e x 1x -x 1 +e x 1=e x 1x +1-x 1 e x 1，又直线l 与曲线y =x +3 2也相切，切点为N x 2,y 2 ，可知直线l 的方程为y =2x 2+3 x -x 2 +x 2+3 2=2x 2+3 x -x 22+9，所以e x 1=2x 2+3 1-x 1 e x 1=-x 22+9，两式相除，可得21-x 1 =3-x 2，所以2x 1-x 2=-1.故选：B3(2023春·河南·高三校联考阶段练习)已知曲线y =x 在点x 0,x 0 0<x 0<14处的切线也与曲线y =e x 相切，则x 0所在的区间是()A.0,14e 4B.14e 4,14e 2C.14e 2,14eD.14e ,14【答案】C【分析】设切线l与曲线y=e x的切点为m,e m，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果.【详解】设该切线为l，对y=x求导得y =12x，所以l的方程为y-x0=12x0x-x0，即y=12x0x+x02．设l与曲线y=e x相切的切点为m,e m，则l的方程又可以写为y-e m=e m x-m，即y=e m x+1-me m．所以e m=12x0，x02=1-me m．消去m，可得x0=1+ln2x0，0<x0<1 4，令t=2x0∈0,1，则ln t-t24+1=0．设h t =ln t-t24+1，当0<t<1时，h t =1t-t2>0，所以h t 在0,1上单调递增，又h1e=-14e2<0，h1e=12-14e>0，所以t0=2x0∈1e,1e，所以x0∈14e2,14e．故选：C.4(2023·全国·高三专题练习)若函数f x =2a ln x+1与g x =x2+1的图像存在公共切线，则实数a的最大值为()A.eB.2eC.e22D.e2【答案】A【分析】分别设公切线与g x =x2+1和f(x)=2a ln x+1的切点x1,x21+1，x2,2a ln x2+1，根据导数的几何意义列式，再化简可得a=2x22-2x22ln x2，再求导分析h(x)=2x2-2x2⋅ln x(x >0)的最大值即可【详解】g x =2x，f x =2a x，设公切线与g x =x2+1的图像切于点x1,x21+1，与曲线f(x)=2a ln x+1切于点x2,2a ln x2+1，所以2x1=2ax2=2a ln x2+1-x21+1x2-x1=2a ln x2-x21x2-x1，故a=x1x2，所以2x1=2x1x2ln x2-x21x2-x1，所以x1=2x2-2x2⋅ln x2，因为a=x1x2，故a=2x22-2x22ln x2，设h(x)=2x2-2x2⋅ln x(x>0)，则h (x)=2x(1-2ln x)，令h (x)=0⇒x=e当h (x)>0时，x∈(0,e)，当h (x)<0时，x∈(e,+∞)，所以h x 在(0,e)上递增，在(e,+∞)上递减，所以h(x)max=h(e)=e，所以实数a的最大值为e，故选：A.5(2023·湖南郴州·统考模拟预测)定义：若直线l与函数y=f x ，y=g x 的图象都相切，则称直线l为函数y=f x 和y=g x 的公切线．若函数f x =a ln x a>0和g x =x2有且仅有一条公切线，则实数a的值为()A.eB.eC.2eD.2e【答案】C【分析】设直线与g x =x2的切点为x1,x21，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为y=2x1x-x21，y=ax2x+a ln x2-1.两条切线重合，即可得出a=4x22-4x22ln x2有唯一实根.构造h x =4x2-4x2ln x x>0，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案.【详解】设直线与g x =x2的切点为x1,x21，因为g x =2x，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为2x1，即该直线的方程为y-x21=2x1x-x1，即y=2x1x-x21.设直线与f x =a ln x的切点为(x2,a ln x2)，因为f x =ax，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为ax2，即该直线的方程为y-a ln x2=ax2x-x2，即y=ax2x+a ln x2-1.因为函数f x =a ln x a>0和g x =x2有且只有一条公切线，所以有2x1=ax2a ln x2-1=-x21 ，即a=4x22-4x22ln x2有唯一实根.令h x =4x2-4x2ln x x>0，则h x =8x-8x ln x-4x=4x1-2ln x.解h x =0，可得x= e.当4x1-2ln x>0时，0<x<e，所以h x 在0,e上单调递增；当4x1-2ln x<0时，x>e，所以h x 在e,+∞上单调递减.所以h x 在x=e处取得最大值h e=4e-4e×12=2e.当x→0时，h x →0，h e =4e2-4e2ln e=0，函数h x 图象如图所示，因为a>0，a=4x2-4x2ln x有唯一实根，所以只有a=2e.故选：C6(2023春·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习)已知函数f x =2+ln x，g x = a x，若总存在两条不同的直线与函数y=f x ，y=g x 图象均相切，则实数a的取值范围为()A.0,1B.0,2C.1,2D.1,e【答案】B【分析】设函数y=f x ，y=g x 的切点坐标分别为x1,2+ln x1，x2,a x2，根据导数几何意义可得a2=4ln x1+4x1，x1>0，即该方程有两个不同的实根，则设h x =4ln x+4x,x>0，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数a的取值范围.【详解】解：设函数f x =2+ln x上的切点坐标为x1,2+ln x1，且x1>0，函数g x =a x 上的切点坐标为x2,a x2，且x2≥0，又f x =1x,g x =a2x，则公切线的斜率k=1x1=a2x2，则a>0，所以x2=a24x21，则公切线方程为y-2+ln x1=1x1x-x1，即y=1x1x+ln x1+1，代入x 2,a x 2 得：a x 2=1x 1x 2+ln x 1+1，则a 22x 1=1x 1⋅a 24x 21+ln x 1+1，整理得a 2=4ln x 1+4x 1，若总存在两条不同的直线与函数y =f x ，y =g x 图象均相切，则方程a 2=4ln x 1+4x 1有两个不同的实根，设h x =4ln x +4x,x >0，则h x =4x⋅x -4ln x +4x2=-4ln xx，令h x =0得x =1，当x ∈0,1 时，h x >0，h x 单调递增，x ∈1,+∞ 时，h x <0，h x 单调递减，又h x =0可得x =1e，则x →0时，h x →-∞；x →+∞时，h x →0，则函数h x 的大致图象如下：所以a >00<a 2<4，解得0<a <2，故实数a 的取值范围为0,2 .故选：B .【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为x 1,2+ln x 1 ，且x 1>0，x 2,a x 2 ，且x 2≥0，可得k =1x 1=a 2x 2，即有x 2=a 24x 21，得公切线方程为y =1x 1x +ln x 1+1，代入切点x 2,a x 2 将双变量方程a x 2=1x 1x 2+ln x 1+1转化为单变量方程a 22x 1=1x 1⋅a 24x 21+ln x 1+1，根据含参方程进行“参变分离”得a 2=4ln x 1+4x 1，转化为一曲一直问题，即可得实数a 的取值范围.7(2023·全国·高三专题练习)若曲线y =ln x +1与曲线y =x 2+x +3a 有公切线，则实数a 的取值范围()A.2ln2-36,3-ln22B.1-4ln212,3-ln22C.2ln2-36,+∞ D.1-4ln212,+∞【答案】D【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a 关于切点x 的解析式，根据解析式的值域确定a 的范围.【详解】设x 1,y 1 是曲线y =ln x +1的切点，设x 2,y 2 是曲线y =x 2+x +3a 的切点，对于曲线y =ln x +1，其导数为y =1x ，对于曲线y =x 2+x +3a ，其导数为y =2x +1，所以切线方程分别为：y -ln x 1+1 =1x 1x -x 1 ，y -x 22+x 2+3a =2x 2+1 x -x 2 ，两切线重合，对照斜率和纵截距可得：1x 1=2x 2+1ln x 1=-x 22+3a，解得3a =ln x 1+x 22=ln 12x 2+1+x 22=-ln 2x 2+1+x 22x 2>-12 ，令h x =-ln 2x +1 +x 2x >-12，hx =-22x +1+2x =4x 2+2x -22x +1=2x +1 2x -1 2x +1=0，得：x =12，当x ∈-12,12时，h x <0，h x 是减函数，当x ∈12,+∞时，h x >0，h x 是增函数，∴h min x =h 12 =14-ln2且当x 趋于-12时，，h x 趋于+∞；当x 趋于+∞时，h x 趋于+∞；∴3a ≥14-ln2，∴a ≥1-4ln212；故选：D ．8(2023·河北·统考模拟预测)若曲线f (x )=3x 2-2与曲线g (x )=-2-m ln x (m ≠0)存在公切线，则实数m 的最小值为()A.-6eB.-3eC.2eD.6e【答案】A【分析】求出函数的导函数，设公切线与f x 切于点x 1,3x 21-2 ，与曲线g x 切于点x 2,-2-m ln x 2 ，x 2>0 ，即可得到m =-6x 1x 2，则x 1=0或x 1=2x 2-x 2ln x 2，从而得到m =12x 22ln x 2-12x 22，在令h x =12x 2ln x -12x 2，x >0 ，利用导数求出函数的最小值，即可得解；【详解】因为f (x )=3x 2-2，g (x )=-2-m ln x (m ≠0)，所以f (x )=6x ，g (x )=-mx，设公切线与f x 切于点x 1,3x 21-2 ，与曲线g x 切于点x 2,-2-m ln x 2 ，x 2>0 ，所以6x 1=-m x 2=-2-m ln x 2-3x 21-2 x 2-x 1=-m ln x 2-3x 21x 2-x 1，所以m =-6x 1x 2，所以6x 1=6x 1x 2ln x 2-3x 21x 2-x 1，所以x 1=0或x 1=2x 2-x 2ln x 2，因为m ≠0，所以x 1≠0，所以x 1=2x 2-x 2ln x 2，所以m =-62x 2-x 2ln x 2 x 2=12x 22ln x 2-12x 22，令h x =12x 2ln x -12x 2，x >0 ，则h x =12x 2ln x -1 ，所以当0<x <e 时h x <0，当x >e 时h x >0，所以h x 在0,e 上单调递减，在e ,+∞ 上单调递增，所以h x min =h e =-6e ，所以实数m 的最小值为-6e.故选：A【点睛】思路点睛：涉及公切线问题一般先设切点，在根据斜率相等得到方程，即可找到参数之间的关系，最后构造函数，利用导数求出函数的最值.二、多选题9(2023·湖北·统考模拟预测)若存在直线与曲线f x =x 3-x ,g x =x 2-a 2+a 都相切，则a 的值可以是()A.0B.-24C.log 27D.e π+πe【答案】ABC【分析】设该直线与f x 相切于点x 1,x 31-x 1 ，求出切线方程为y =3x 21-1 x -2x 31，设该直线与g x 相切于点x 2,x 22-a 2+a ，求出切线方程为y =2x 2x -x 22-a 2+a ，联立方程组，得到-a 2+a =94x 41-2x 31-32x 21+14，令h x =94x 4-2x 3-32x 2+14，讨论h x 的单调性，从而得到最值，则可得到-a 2+a ≥-1，解出a 的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内.【详解】设该直线与f x 相切于点x 1,x 31-x 1 ，因为f x =3x 2-1，所以f x 1 =3x 21-1，所以该切线方程为y -x 31-x 1 =3x 21-1 x -x 1 ，即y =3x 21-1 x -2x 31.设该直线与g x 相切于点x 2,x 22-a 2+a ，因为g x =2x ，所以g x 2 =2x 2，所以该切线方程为y -x 22-a 2+a =2x 2x -x 2 ，即y =2x 2x -x 22-a 2+a ，所以3x 21-1=2x 2-2x 31=-x 22-a 2+a ，所以-a 2+a =x 22-2x 31=3x 21-122-2x 31=94x 41-2x 31-32x 21+14，令h x =94x 4-2x 3-32x 2+14,∴h x =9x 3-6x 2-3x ，所以当x ∈-∞,-13 ∪0,1 时，hx <0；当x ∈-13,0 ∪1,+∞ 时，h x >0；∴h x 在-∞,-13和0,1 上单调递减；在-13,0 和1,+∞ 上单调递增；又h -13 =527,h 1 =-1，所以h x ∈-1,+∞ ，所以-a 2+a ≥-1，解得1-52≤a ≤1+52，所以a 的取值范围为1-52,1+52，所以A 正确；对于B ，-24-1-52=25-2+2 4>0，所以1-52<-24<0，所以B 正确；对于C ，因为0<log 27<log 222=32<1+52，所以C 正确；对于D ，因为e π+πe>2e π⋅πe=2>1+52，所以D 不正确.故选：ABC10(2023·全国·高三专题练习)函数f x =ln x +1，g x =e x -1，下列说法正确的是( )．(参考数据：e 2≈7.39，e 3≈20.09，ln2≈0.69，ln3≈1.10)A.存在实数m ，使得直线y =x +m 与y =f x 相切也与y =g x 相切B.存在实数k ，使得直线y =kx -1与y =f x 相切也与y =g x 相切C.函数g x -f x 在区间23,+∞ 上不单调D.函数g x -f x 在区间23,+∞上有极大值，无极小值【答案】AB【分析】对AB ，设直线与y =f x 、y =g x 分别切于点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，利用点在线上及斜率列方程组，解得切点即可判断；对CD ，令h x =g x -f x ，由二阶导数法研究函数单调性及极值.【详解】对AB ，设直线l 与y =f x 、y =g x 分别切于点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，f x =1x，gx =ex，则有y1=f x1=ln x1+1y2=g x2=e x2-1y1-y2x1-x2=1x1=e x2⇒ln x1+1-e x2-1x1-x2=e x2⇒-x2+1-e x2-11e x2-x2=e x2⇒e x2-1x2-1=0，解得x2=0或x2=1.当x2=0，则y2=0，x1=1，y1=1，公切线为y=x，此时存在实数m=0满足题意；当x2=1，则y2=e-1，x1=1e，y1=0，公切线为y=e x-1e=ex-1，此时存在实数k=1满足题意，AB对；对CD，令h x =g x -f x =e x-ln x-2，x∈0,+∞，则m x =h x =e x-1 x，由m x =e x+1x2>0得h x 在0,+∞单调递增，由h23=e23-32=e2-278e232+32e23+94>0得，x∈23,+∞时，h x >0，h x 单调递增，CD错.故选：AB.三、填空题11(2023·全国·高三专题练习)若曲线y=ax2与y=ln x有一条斜率为2的公切线，则a= .【答案】1ln2e【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.【详解】设公切线在曲线y=ax2与y=ln x上的切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，由y=ln x可得y =1x，所以1x2=2，解得x2=12，所以y2=ln x2=-ln2,则B12,-ln2 ，所以切线方程为y+ln2=2x-1 2，又由y=ax2，可得y =2ax，所以2ax1=2，即ax1=1，所以y1=ax21=x1，又因为切点A(x1,y1)，也即A(x1,x1)在切线y+ln2=2x-1 2上，所以x1+ln2=2x1-1 2，解得x1=ln2+1，所以a =1x 1=1ln2+1=1ln2e .故答案为:1ln2e.12(2023·河北唐山·统考三模)已知曲线y =ln x 与y =ax 2a >0 有公共切线，则实数a 的取值范围为.【答案】12e,+∞【分析】设公切线与曲线的切点为x 1,ln x 1 ，x 2,ax 22 ，利用导数的几何意义分别求y =ln x 和y =ax 2上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.【详解】设公切线与曲线y =ln x 和y =ax 2的切点分别为x 1,ln x 1 ，x 2,ax 22 ，其中x 1>0，对于y =ln x 有y =1x ，则y =ln x 上的切线方程为y -ln x 1=1x 1x -x 1 ，即y =xx 1+ln x 1-1 ，对于y =ax 2有y =2ax ，则y =ax 2上的切线方程为y -ax 22=2ax 2x -x 2 ，即y =2ax 2x -ax 22，所以1x 1=2ax 2ln x 1-1=-ax 22，有-14ax21=ln x 1-1，即14a=x 21-x 21ln x 1x 1>0 ，令g x =x 2-x 2ln x ，g x =x -2x ln x =x 1-2ln x ，令gx =0，得x =e 12，当x ∈0,e12时，g x >0，g x 单调递增，当x ∈e 12,+∞ 时，g x <0，g x 单调递减，所以g x max =g e12=12e ，故0<14a ≤12e ，即a ≥12e.∴正实数a 的取值范围是12e,+∞.故答案为：12e,+∞.13(2023·浙江金华·统考模拟预测)若存在直线l 既是曲线y =x 2的切线，也是曲线y =a ln x 的切线，则实数a 的最大值为.【答案】2e【分析】设切线与两曲线的切点分别为(n ,n 2)，(m ,a ln m )，根据导数的几何意义分别求出切线方程，可得a4m2=1-ln m，由题意可知a4=m2(1-ln m)有解，故令g(x)=x2(1-ln x),(x>0)，利用导数求得其最值，即可求得答案.【详解】由题意知两曲线y=x2与y=a ln x,(x>0)存在公切线，a=0时，两曲线y=x2与y=0,(x>0)，不合题意；则y=x2的导数y =2x，y=a ln x的导数为y =a x，设公切线与y=x2相切的切点为(n,n2)，与曲线y=a ln x相切的切点为(m,a ln m)，则切线方程为y-n2=2n(x-n)，即y=2nx-n2，切线方程也可写为y-a ln m=am(x-m)，即y=amx-a+a ln m，故2n=am-n2=-a+a ln m，即a24m2=a-a ln m，即a4m2=1-ln m，即a4=m2(1-ln m)有解，令g(x)=x2(1-ln x),(x>0)，则g (x)=2x(1-ln x)+x2-1 x=x(1-2ln x)，令g (x)=0可得x=e，当0<x<e时，g (x)>0，当x>e时，g (x)<0，故g(x)在(0,e)是增函数，在(e,+∞)是减函数，故g(x)的最大值为g(e)=e 2，故a4≤e2，所以a≤2e，即实数a的最大值为2e，故答案为：2e。
一元三次函数图像的中心切线及切线问题
其 心 。的 线。做 的 心 线其 程 Ｙ ＾） ／ 麦（ 麦 ＋ （麦． 中 ｚ 切 ￡ Ｃ 中 切 ， 是 一 （ 一 （ ）＋ ） 厂 ） 处 叫 方 ｚ 一 一
・ 收稿 日期 ：０ ７ ０ ｚ ２０ — ６一 ７
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高 等 数 学 研 究
抄 录 ２０ ０ ７年高 考全 国数 学卷 Ⅱ 第 ２ ２题 于下 ： 已知 函数 ／ ｚ （ ）一 － 一 ． Ｉ） 曲线 Ｙ一 ， ）在点 Ｍ（ ， （） 处 的切线 方 程 ； Ⅱ） “＞ ｚ 。 （ 求 （ ｔ厂 ￡） （ 设
０ 如 果 过 点 （ ，）可 作 曲 线 一 厂 ）的 三 条 切 线 ， 明 ： 口＜ ｂ＜ 厂 口 ． ． 口６ （ 证 一 （）
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设 Ｍ（ 厂 ） 是 三次 函数 Ｙ— ｆ ） ｚ， （ ） （ 图像 上任 一点 ， 关 于点 ｚ （ ， （ Ｍ 。一 ｆ － ） ）的对称 点 是
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３ ｔ 十 “ ｂ一 ０ 求 得 ｇ （）一 ６。 ６ ｔ ６（ 一 口 ． ａ。 ＋ ． ｔ 一 ａ ＝ ｔｔ ）
过 点 （ ，）可作 曲线 Ｙ一 （ 。厶 ）的三条 切线 铮 方 程 ｇ（）一 ０有三 个不 等实 根 ∞ 函数 ｇ ￡ ｔ （） 的两个 极值 异 号 ㈢ｇ（ ） （ ）＜ Ｏ （ ＋ ６ （ Ｏｇ 口 甘 “ ） “十ｂ 。 ＜ ０ 又 因 “＞ ０ 则 口＋ｂ —ｎ ） ． ， 一“ ＜ 口十ｂ 必 。 ， 有 ｎ＋ ｂ “ ＜ ０ “＋ｂ＞ ０ 进而 一 “＜ ｂ＜ 厂 “ ． 一 。 ， ， （） 这 是 一道 典 型的 承大 学之 上启 中学 之下 的 问题 ， 此启 发 ， 出下面 的 问题 并探 索解 决 ． 受 提 问题 ： 曲线 Ｃ是一 元三 次 函数 ，（ ）一 。 ｂ ＋ 十 ｄ ａ≠ Ｏ ＋ ｘ。 （ ）的图像 ， 曲线 Ｃ的过 已知 点 Ｐ（ 。ｙ ）的切线 有几 条 ？ ｘ ，。 能找 到决定 切 线 条数 的充要条 件 吗？
三次函数的切线
三次函数的切线简介在数学中，三次函数是指具有三次方的最高次项的函数。
三次函数的特点是曲线更加复杂，而且可以通过切线来研究曲线在某一点的斜率和变化趋势。
本文将探讨三次函数的切线的性质和求解方法。
三次函数的定义三次函数的一般形式为：f(x)=ax3+bx2+cx+d，其中a,b,c,d为常数，且a≠0。
三次函数的图像通常呈现出一条平滑的曲线，曲线上的点的坐标为(x,f(x))。
三次函数的切线性质三次函数的切线具有以下性质： 1. 切线与函数曲线相切于一点。
切线和曲线在该点处有相同的横坐标和纵坐标。
2. 切线的斜率等于曲线在该点处的斜率。
设曲线的函数为f(x)，则切线的斜率为f′(x)，其中f′表示f(x)的导数。
3. 切线方程的一般形式为y=kx+b，其中k为切线的斜率，b为切线与y轴的截距。
求解三次函数的切线的步骤步骤1：求导首先，我们需要求解三次函数的导数，以得到三次函数在某一点的斜率。
对于一般形式的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d，其导数f′(x)可以通过对每一项分别求导得到。
具体求导公式如下：•对于常数项d，其导数为0。
•对于x的一次幂项cx，其导数为c。
•对于x的二次幂项bx2，其导数为2bx。
•对于x的三次幂项ax3，其导数为3ax2。
将上述导数相加即可得到三次函数的导数。
在某一点x0处，三次函数的斜率等于其导数在该点处的值。
将x代入导数f′(x)中，即可求得斜率k。
步骤3：求解截距已知切线通过点(x0,f(x0))，且斜率为k，可以利用点斜式来求解切线的截距b。
点斜式的一般形式为y−y0=k(x−x0)，其中(x0,y0)为已知点，k为斜率。
将已知点(x0,f(x0))代入点斜式，整理得到切线方程y=kx+(f(x0)−kx0)，即可得到切线的方程。
步骤4：验证结果为了验证切线是否正确，可以将切线方程代入原函数，观察切线上的点是否满足原函数。
示例以三次函数f(x)=x3−2x2+3x+1为例，来演示如何求解切线。
高考中三次函数图像的切线问题
当－一 时Байду номын сангаас，： 以 点 有 条 同 麦 ， 所 过 Ｐ ２不 ≠ ， ≠
的切线． 其切线方程 为
Ｙ— Ｉ ３ ＋ ｂｌ ｃ （ Ｉ ， Ｙ ＝（ ２ｘ ＋ ） — ）
（ 若。一 且（ｇ一 ＞则 Ｐ ２ ，ｇ。（ ０ 过 ） ≠ ） ， ）
点恰 有 １条切线 ０
次 函数 图像 中ｉ 对称． 所以斜率为 ｋ的切线有 ２条．
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中学教研 （ 数学）
（ ）若 ＝ 一 ｂ １
，
２０ 年第８ ０６ 期
合 ， 以过 点 Ｐ 有 且 只 有 １ 切 线 ． 所 条
则 过点 Ｐ恰有一条切线 ；
０ 图像 上任一 点， ） 则过点 Ｐ 定有直线与 Ｙ ， 的 一 ＝ （） 图像相切． 若点 Ｐ为三次 函数 图像 的对称 中心 ， 过 则 点 Ｐ有且只有一条切线 ； 若点 Ｐ不 是 三次 函数 图像 的对称 中心 ， 则过点 Ｐ有 ２ 条不 同的切线．
证明 设 Ｐ（ ，。 ， 。Ｙ ） 过点 Ｐ 的切线可 以分 为两
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高考 与 中考
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高 考 中 三 次 函 数 图 像 的 切 线 问 题
●罗永高 程雪飞 （ 奉化 浙江 奉港中 ３５ ０ 学 １ ０） ５
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高 考与 中考
高考 与 中考 ・・ 高考 与 中考 ・ ・ 高考 与 中考 ・ ・ 考与 中考 ・ ・ 考 与中考 ・・ 考与 中考 ・ ・ 高 高 高 高考与 中考 ・・ 高考 与 中考
最新最全高考数学导数切线真题总结
最新最全高考数学导数切线真题总结（1）基础题1. （2021全国甲13）曲线212x y x -=+在点(1,3)--处的切线方程为________. 2. （2020全国一6）函数43()2f x x x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ）A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+3. （2019全国一13）曲线23()x x y x e e =+在点(0,0)处的切线方程为________.4. （2017新课标一14）曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为________. 5. （2012新课标13）曲线(3ln 1)y x x =+在点)1,1(处的切线方程为________.6. （2019全国二10）曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为（ ）A ．10x y π---=B ．2210x y π---=C ．2210x y π+-+=D ．10x y π+-+=7. （2014大纲7）曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率等于（A ）2e （B ）e （C ）2 （D ）18. （2018全国一6）设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =9. （2014新课标II8）设曲线在点处的切线方程为，则（A ） （B ） （C ）（D ） 10. （2015新课标一14）已知函数3()1f x ax x =++的图像在点(1,(1))f 处的切线过点()2,7，则a =________11. （2014江苏11）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +=________．12. （2007海南10）曲线x y e =在点()22,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） ln(1)y ax x =-+(0,0)2y x =a =0123A ．232eB ．22eC ．2eD ．212e 13. （2005重庆12）曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴，直线2x =所围成的三角形面积为________．14. （2014江西11）若曲线ln y x x =在点P 处的切线平行于直线210x y -+=，则点P的坐标是________．15. （2008辽宁6）设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是[0,]4π，则点P 横坐标的取值范围是（ ）A ．1[1,]2-- B ．[﹣1，0] C ．[0，1] D ．1[,1]216. （2009福建15）若曲线()2ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ．17. （2010江苏8）函数2y x =（x ＞0）的图象在点（k a ，2k a ）处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，k 为正整数，116a =，则135a a a ++= ．18. （2007湖北13）已知函数()y f x =的图像在点()()1,1M f 处的切线方程是12,2y x =+则()()11f f '+=________． 19. （2009江西5）设函数2()(),f x g x x =+曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21,y x =+则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为（ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12- 20. （2020全国甲15）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_____．21. （2008江苏8）设直线12y x b =+是曲线ln y x =()0x >的一条切线，则实数b 的值为 ．22. （2019全国三7）已知曲线ln x y ae x x ==+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==- 23. （2008天津20,1）已知函数()()0a f x x b x x=++≠，其中,a b R ∈若曲线()y f x =在点 ()()2,2P f 处的切线方程为31y x =+，求函数()f x 的解析式：________．24. （2010海南7）若曲线2y x ax b =++在点()0,b 处的切线方程是10,x y -+=则a =________b =________． 、（2）中档题1. （2010江西4）若()42f x ax bx c =++满足()12,f '=则()1f '-=（ ）A ．1-B ．2-C ．2D ．02. （2009江西5）设函数()()2,f x g x x =+ 曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21,y x =+则曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为（ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12- 3. （2009北京11）设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为1，则该曲线在()()1,1f --处的切线的斜率为 ．4. （2016新课标III15）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()()ln 3,f x x x =-+则曲线()y f x =在点()1,3-处的切线方程是 ．5. （2016新课标III 文16）已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，()1,x f x e x --=-则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是________．6. （2010山东10）观察()()()2432,4,cos sin ,x x x x x x '''===-由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()(),f x f x -=记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（ ）A ．()f xB ．()f x -C ．()g xD ．()g x -7. （2007福建11）已知对任意实数,x 有()()()(),,f x f x g x g x -=--=且0x >时，()()0,0,f x g x ''>>则0x <时，（ ） A ．()()0,0f x g x ''>> B ．()()0,0f x g x ''><C ．()()0,0f x g x ''<>D ．()()0,0f x g x ''<<8. （2007江西11）设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ）A ．15-B ．0C ．15D ．59. （2013北京18）已知函数()2sin cos f x x x x x =++．（I ）若曲线()y f x =在点()(),a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值；10. （2009安徽9）已知函数()f x 在R 上满足()()212131,f x f x x x +=--++则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是（ ）A ．20x y --=B ．0x y -=C ．320x y +-=D ．320x y --=11. （2011四川10）在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为124,2x x =-=的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）A ．(2,9)--B ．(0,5)-C ．(2,9)-D ．(1,6)12. （2010辽宁12）已知点P 在曲线4+1x y e =上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）A ．0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,24ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 13. （2005湖北11）在函数38y x x =-的图像上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 14. （2005北京12）过原点作曲线x y e =的切线，则切点坐标为________切线的斜率为___．15. （2019江苏11）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线ln y x =上，且该曲线在点A处的切线经过点(,1)e --（e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是________．16. （2021新高考7）若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则（ ）A ．b e a <B ．a e b <C ．0b a e <<D ．0ab e << 17. （2015新课标II16）已知曲线ln y x x =+在点(1,1)处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a =________．18. （2020全国三10）若直线l 与曲线y =2215x y +=都相切，则l 的方程为（ ） A ．21y x =+ B ．122y x =+ C ．112y x =+ D ．1122y x =+ 19. （2009江西12）若存在过点()1,0的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于（ ）A ．1- 或2564-B ．1-或214C ．74-或2564-D ．74-或7 20. （2016新课标II16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b =________．21. （2016四川10）设直线12,l l 分别是函数ln ,01,()ln ,1x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩图像上点12,P P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l 2,l 分别与y 轴相交于,A B ，则PAB ∆的面积的取值范围是（A ）()0,1 （B ）()0,2（C ）()0,+∞ （D ）()1,+∞ 22. （2011江苏12）在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()()0x f x e x =>的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．23. （2016山东10）若函数()y f x =的图像上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质，下列函数具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）x y e = （D ）3y x = 24. （2014安徽15）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x = ②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin =④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan =⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =．25. （2019江苏10）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值为 ． 26. （2012浙江17）定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线21:C y x a =+到直线:l y x =的距离等于曲线222:(4)2C x y ++=到直线:l y x =的距离，则实数a = ．27. （2012新课标12）设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln 2y x =上，则PQ 的最小值为（A ） 1-ln2-ln2) （C ） 1++ln2)。
函数的切线的概念
函数的切线的概念函数的切线是指在函数图像中某一点处，与函数图像相切且与x轴平行的直线。
切线是一种特殊的直线，它可以帮助我们理解函数在某一点的斜率和变化率。
要想理解函数的切线，首先我们需要明确什么是斜率。
在数学中，斜率可以理解为直线上某一点的变化率，即该点处直线在水平方向（即x 轴方向）上的增量与垂直方向（即y轴方向）上的增量之比。
直线的斜率可以用一个实数来表示，表示为m。
例如，直线的斜率为2，意味着当x的增量为1时，y的增量为2。
那么，对于函数而言，它实际上是一种关系，将输入的x值映射到输出的y值上。
函数在不同点处的斜率实际上是函数在该点处的变化率。
为了求得函数在某一点处的斜率，我们可以使用导数的概念。
导数可以理解为函数的瞬时斜率，表示函数在某一点的切线斜率。
在数学上，导数可以用函数f(x)关于x的变化率来定义，记作f'(x)或d y/d x。
导数可以告诉我们函数在某一点处的斜率，也就是切线的斜率。
如果我们想要求得函数在某一点(x0,f(x0))处的切线，我们可以按照以下步骤进行：1.首先计算函数在该点处的导数，即f'(x0)。
2.接下来，我们需要确定直线与x轴平行，所以直线的斜率应为0。
因此，我们可以得到该切线的斜率为0。
3.使用函数在该点处的导数和切线的斜率为0，我们可以得到该切线的方程为y-f(x0)= 0。
4.同时，我们可以根据该直线与函数图像相切这一要求，将该直线的横坐标设为x，纵坐标设为y，并代入函数的表达式f(x)。
5.将以上表达式整理，我们可以得到切线的方程为y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)。
由此可见，切线方程是一个关于x的线性函数。
需要注意的是，切线是函数在某一点的局部近似。
在该点附近的较小范围内，切线是函数图像的良好近似。
但是，随着离该点越远，切线逐渐与函数图像偏离，不再是良好的近似。
切线在数学中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，切线可以表示物体在某一点的瞬时速度。