四川省眉山市彭山区第一中学2019-2020学年高二10月份月考数学(文)试题(扫描版)
2020-2021学年四川省眉山市彭山区第一中学高二10月月考数学(理)试题
四川省眉山市彭山区第一中学2020-2021学年高二10月月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形面，这个几何体不可能是( ) A ．棱锥B ．圆锥C ．圆柱D ．正方体2下列说法正确的是( )A ．垂直于同一条直线的两条直线平行B ．垂直于同一条平面的两条直线平行C ．平行于同一个平面的两条直线平行D ．平行于同一个直线的两个平面平行 3.已知过点()()2,,,4M a N a -的直线的斜率为12-,则MN =( )A.10B.180C.63D.654.已知水平放置的ABC △按"斜二测画法"得到如图所示的直观图,其中3'1,B O C O A O ''''===,那么ABC △是一个( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形5.如图甲，将一个正三棱柱ABC －DEF 截去一个三棱锥A －BCD ，得到几何体BCDEF ，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是( )6.在如图所示的四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是( )7.设,m n 是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若,//m n αα⊂,则,m n 为异面直线; ②若//,//αγβγ,则//αβ; ③若,m m βγαβ⊥⊥⊥，,则αγ⊥; ④若,,//m n m n αβ⊥⊥,则αβ⊥. 则上述命题中真命题的序号为( ) A.①②B.③④C.②③D.②④8.直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( ) A ．－1＜k ＜15 B ．k ＞12或k ＜－1 C ．k ＞15或k ＜1 D ．k ＞1或k ＜129.在正三棱柱111ABC A B C -中,底面三角形的边长为1,则1BC 与侧面11ACC A 所成角的大小为( ) A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒10.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，圆O 1为AB C ∆的外接圆，若圆O 1的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A.32πB.36πC.48πD.64π11.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知ABC △的顶点(),(2,4)00,A B ，且AC BC =，则ABC △的欧拉线的方程为（ ） A.230x y ++=B.230x y -+=C. 230x y -+=D.230x y ++=12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．下列说法错误的是（ ） A.存在点E ，使得11//AC 平面1BED F ；B.对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ；C.存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；D.对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变． 二、填空题（每题5分，共20分）13.已知三点A （2，3）、B （-1,2)、C （5，m)共线，则m= ________.14已知直线l 经过点A ），（23.且它的倾斜角是直线x33y =的倾斜角的两倍，则直线l 的斜截式方程为 ．15.如图所示，扇形的中心角为90°，弦AB 将扇形分成两个部分,这两部分各以AO 为轴旋转一周，求这两部分旋转所得旋转体体积1V 和2V 之比为__________.16.如图，矩形ABCD 中，4,2AB BC ==，E 为边AB 的中点，沿DE 将ADE △折起，点A 折至1A 处（1A ∉平面ABCD ），若M 为线段1A C 的中点，则在ADE △折起过程中，下列说法正确．．的是 。
四川省眉山市彭山区第一中学2019_2020学年高一数学上学期10月月考试题(含解析)
四川省眉山市彭山区第一中学2019-2020学年高一数学上学期10月月考试题（含解析）一、选择题。
1.用列举法表示集合{}|5x N x ∈<正确的是（ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3,4,5C. {}0,1,2,3,4D. {}0,1,2,3,4,5【答案】C【解析】【分析】根据列举法的定义，即可选出答案。
【详解】{}|5x N x ∈<表示小于5的自然数构成的集合，则为{}0,1,2,3,4故选C【点睛】本题考查集合的列举法，属于基础题。
2.设全集 {}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =,集合{}{}1,2,4,6,2,3,5A B ==,则Venn 图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {}3,5B. {}1,4,6C. {}2D. {}2,3,5【答案】B【解析】【分析】 Venn 图中阴影部分表示的集合为()A C A B ⋂，先计算出{2}A B =I ，在根据补集的定义即可选出答案。
【详解】{2}A B =IVenn 图中阴影部分表示的集合为(){1,4,6}A C A B ⋂=故选B【点睛】本题考查集合的基本运算与Venn 图的识别，属于基础题。
3.函数()f x = ） A. [1,2)(2,)+∞UB. (1,)+∞C. [)1,2D. [1,)+∞ 【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的性质以及分母不是0，求出函数的定义域即可．【详解】由题意得：1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得：x ≥1且x ≠2， 故函数的定义域是[1，2）∪（2，+∞）， 故选：A ．【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．4.已知函数()2132f x x =++,且()3f 的值为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 5【答案】D【解析】【分析】 令21=3x +,解出x ，再代入函数，即可求出答案。
【详解】令21=31x x +⇒=，将1x =代入()2132f x x =++得()3=31+2=5f ⨯故选D【点睛】本题考查简单的复合函数，属于基础题。
四川省眉山市彭山区第一中学2019_2020学年高一数学10月月考试题
四川省眉山市彭山区第一中学2019-2020学年高一数学10月月考试题一、选择题（每题5分，共60分.）1.用列举法表示集合{}|5x N x ∈<正确的是（ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3,4,5C. {}0,1,2,3,4D. {}0,1,2,3,4,52.设全集 {}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =,集合{}{}1,2,4,6,2,3,5A B ==,则Venn 图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {}3,5B.{}1,4,6C. {}2D. {}2,3,53.函数()1x f x -=的定义域为（ ） A. [1,2)(2,)⋃+∞ B. ()1,+∞C. [)1,2D. [)1,+∞4.已知函数()2132f x x =++,且()3f 的值为（ ） A.0 B.1 C.2 D.55.*21,y x x N =+∈,且24x ≤≤,则函数的值域是（ ） A. (5,9)B. []5,9C. {}5,7,9D. {}5,6,7,8,9?6.已知集合M={x|x 1},N={x|x>}a ≤-,若M N φ≠I ,则有（ ） A. 1a <- B. 1a >- C. 1a ≤- D. 1a ≥-7.函数f (x )＝|x +1|的图像是（ ）8.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ） A. 1y x =+ B. y x x = C. 1y x=D. 3y x =- 9.已知二次函数2()=2f x x bx ++，若对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+成立，则下列关系式中成立的是（ ） A. (1)(2)(4)f f f <<B. ()(2)1(4)f f f <<C. ()(4)(1)2f f f <<D. ()(4)2(1)f f f <<10.已知偶函数()f x 在(),0-∞上单调递增,若()10f -=,则()0x f x ⋅<的解集是（ ） A. ()(),10,1-∞-⋃ B. ()(),11,-∞-⋃+∞ C. ()()1,00,1-⋃D. ()()1,01,-⋃+∞11.已知全集U ＝}101{<≤∈x Z x ，A ⊆U ，B ⊆U ，且(∁U A )∩B ＝{1,8}，A ∩B ＝{2}，(∁U A )∩(∁U B )＝{3,6,9}，那么集合A =（ ）A. {4,5,7}B.{2,4,5,7}C. {2,4,6,9}D. {2,3,4,8}12.已知f (x )＝5－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，设函数⎩⎨⎧<≥=)()(),()()(),()(x g x f x g x g x f x f x F ，则F (x )的最值情况是（ ）A ．最大值为3，最小值5－2 5B ．最大值为5＋25，无最小值C ．最小值5－25，无最大值D ．既无最大值，又无最小值二、填空题（每题5分，共20分）13.若集合{}32,x x n A n N =+=∈,{}2,4,6,8,10,12,14B =,则A B ⋂=__________。
2021-2022学年四川省眉山市彭山区第一中学高二上学期10月月考数学(理)试题(Word版)
眉山市彭山区第一中学2021-2022学年高二上学期10月月数学试题（理科）考试时间:120分钟;试卷满分:150分 2021.10.19第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n2．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（ ）A ．AC 与1BD 是两条相交直线B ．1//AA 平面11BB DC ．11//B C BD D ．A ，C ，1B ，1D 四点共面3．在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中，E 、F 分别为棱CC '、AB 的中点，则EF 与平面ABCD 所成角的正弦值是（ ）A ．12B ．66 C ．33D ．55 4．如图，A B C '''是斜二测画法画出的水平放置的ABC 的直观图，D '是B C ''的中点，且//A D y '''轴，//B C x '''轴，2A D ''=，2B C ''=，那么（ ）A ．AD 的长度大于AC 的长度B ．BC 的长度等于AD 的长度C ．ABC 的面积为1D ．A B C '''的面积为25．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC 与BD 的中点，若CD =2AB =4，EF ⊥BA ，则EF 与CD 所成的角为（ ）A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°6．在正三棱柱111ABC A B C -中，若12AB BB =，则1AB 与1BC 所成的角的大小是（ ） A ．60 B ．75 C ．90 D ．1057．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1B C 上一动点，则下列说法错误的是（ ）A ．直线1BD ⊥平面11AC DB ．异面直线1B C 与11A C 所成角为45︒ C ．三棱锥11P A DC -的体积为定值 D ．平面11AC D 与底面ABCD 的交线平行于11A C8．中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán ）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为421，侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取30θ=︒，则下列结论正确的是（ ）A ．正四棱锥的底面边长为48mB ．正四棱锥的高为4mC ．正四棱锥的体积为27683mD ．正四棱锥的侧面积为2963m9．如图所示，在三棱锥S ABC -中，SBC ，ABC 都是等边三角形，且2BC =，3SA =，则二面角S BC A --的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°10．已知某圆锥轴截面的顶角为120，过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为2，则该圆锥的底面半径为（ ）A 3B 43C ．23D ．4311．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为232AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于（ ） A ．5π B ．8π C ．16π D ．20π12．三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面ABC ，390SAB ABC ∠=∠=︒，2ASC S =△，则三棱锥S ABC -的外接球表面积的最小值为（ ）A ．12πB ．24πC ．16πD ．10π第II 卷(选择题,共90分)二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．在正方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，,E F 分别是,BC DC 中点，则异面直线1AD 与EF 所成角大小为__________.14．玉璧是我国传统的玉礼器之一，也是“六瑞”之一，象征着吉祥等寓意.穿孔称作“好”，边缘器体称作“肉”.《尔雅•释器》“肉倍好谓之璧，好倍肉谓之瑷，肉好“若一谓之环”.一般把体形扁平､周边圆形､中心有一上下垂直相透的圆孔的器物称为璧.如图所示，某玉璧通高2.5cm ，孔径8cm .外径18cm ，则该玉璧的体积为_____________15．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑A BCD -中，满足AB ⊥平面BCD ，且有,2,1BD CD AB BD CD ⊥===，则此时它外接球的体积为_______.16．已知正方形ABCD 中，2AB =，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，将ADM △沿AM 折起，使得1DN =，则折起后四棱锥D ABCM -的体积为________．三、解答题(本大题共6小题,70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分) 已知圆锥的正视图是边长为2的正三角形，O 是底面圆心．（1）求圆锥的侧面积；（2）经过圆锥的高AO 的中点O 作平行于圆锥底面的截面，求截得的两部分几何体的体积比．18．(12分) 四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． （1）证明：//PB 平面AEC ； （2）设2AB =，4=AD ，求B 到平面PAC 的距离．19．(12分) 已知在六面体PABCDE 中，PA ⊥平面ABCD ，ED ⊥平面ABCD ，且2PA ED =，底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒.（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）若2AB =，1DE =，且M 为PB 的中点，求三棱锥D PAM -的体积20．(12分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，45BAD ∠=︒，且1AD BD PD ===．（1）求证：PA PC ⊥； （2）求二面角A PB C --的余弦值．21．(12分) 如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，66PO DO =．（1）证明：PA ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC E --的余弦值．22．(12分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=︒，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=︒，2AB AC PA ===，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上．（1）求证：EF ⊥平面PAC ； （2）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PM PD的值．试题答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D B B D D C B C C A D C 二、填空题13、 60° 14、 3162.5cm π15、 9π2 16、 23 三、解答题17．解:（1）由题意得圆锥底面半径r ＝1，母线长l ＝2．∴S 侧＝πrl ＝2π． （2）设圆锥的高为h ，则h ＝，r ＝1，∴小圆锥的高h′＝，小圆锥的底面半径r′＝， ∴．13324V S h π''==小圆锥． ∴V 圆台＝V 圆锥﹣V 小圆锥＝113373Sh 3332424S h πππ''-=-=．∴．18．解:（1）连接AC BD O =，因为底面ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点， 又因为E 为PD 的中点，所以//OE PB ，且OE ⊂平面AEC ，PB ⊂/平面AEC ， 所以//PB 平面AEC ；（2）过点B 作BM AC ⊥，如图所示，因为PA ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ，所以PA BM ⊥，又BM AC ⊥，PA AC A =，所以BM ⊥平面PAC ，所以B 到平面PAC 的距离即为线段BM 的长度，又因为2AB =，4AD BC ==，所以2225AC AB BC +=， 所以4525AB AD BM AC ⋅==B 到平面PAC 4519．解:（1）连接BD 交AC 于O ，连接PD ，如图所示：因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥ 因为AC PA A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC ，因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD .（2）取AB 的中点F ，连接CF ，如图所示：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAM ，所以平面PAM ⊥平面ABCD . 因为底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒，所以ABC 为等边三角形，所以CF AB ⊥. 又因为平面PAM ⋂平面ABCD AB =，所以CF ⊥平面PAM .因为//DC AB ，DC ⊄平面PAM ，⊂AB 平面PAM ，所以//CD 平面PAM ， 即：D 到平面PAM 的距离，即为C 到平面PAM 的距离.因为2AB =，1DE =，2PA ED =，所以2221=3CF -2PA =，1122122PAM S =⨯⨯⨯=△，所以1131333D PAM C PAM PAM V V S CF --==⨯=⨯=△20．解:方法一：（1）由AD BD =得，45ABD BAD ∠=∠=︒，所以90ADB ∠=︒， 又PD ⊥平面ABCD ，所以DA ，DB ，DP 两两垂直，分别以DA ，DB ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间坐标系， 所以()1,0,0A ，()1,1,0C -，()0,0,1P ，()1,1,0B ，所以()1,0,1PA =-，()1,1,1PC =--，因为1010PA PC ⋅=-++=，所以PA PC ⊥． （2）由（1）得()0,1,1PB =-，设()111,,m x y z =为平面PAB 的一个法向量，所以00m PA m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111100x z y z -=⎧⎨-=⎩，可取()1,1,1m =， 同理，设()222,,n x y z =为平面PBC 的一个法向量，所以00n PC n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2222200x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩， 可取()0,1,1n =，所以116cos ,32m n m n m n ⋅+===⋅⨯ 由图可知，二面角A PB C --的平面角是钝角，所以，二面角A PB C --的余弦值6 方法二：在平行四边形ABCD 中，易得222CD AB BD AD ==+ 由余弦定理得，2222cos1505AC AD CD AD CD =+-⋅︒=，因为PD ⊥平面ABCD ，所以有PD AD ⊥，PD DC ⊥，所以2222PA PD AD =+=，2223PC PD CD =+=，所以222AC PA PC =+，所以PA PC ⊥．（2）分别取PB ，PC 的中点M ，N ，连接MA ，MN ，MD ， 由（1）知，PA AB PB ==，所以MA PB ⊥，3622MA AB ==， 由2PB =，3PC =，1BC =，知BC PB ⊥，又M ，N 分别为PB ，PC 的中点，所以//MN BC ，即MN PB ⊥， 因为MA ，MN 分别为平面PAB 与平面PBC 内的直线，且它们的交点M 在直线PB 上，所以AMN ∠为二面角A PB C --的平面角， 因为//MN AD ，所以180AMN MAD ∠+∠=︒，由（1）知，AD ⊥平面PBD ，即90ADM ∠=︒，所以16cos 362AD MAD MA ∠===， 由图可知，二面角A PB C --的平面角是钝角，所以，二面角A PB C --的余弦值63-． 21．解:（1）由题设，知DAE △为等边三角形，设1AE =， 则32DO =，1122CO BO AE ===，所以6264PO DO ==， 222266,,44PC PO OC PB PO OB =+==+= 又ABC 为等边三角形，则2sin 60BA OA =，所以32BA =， 22234PA PB AB +==，则90APB ∠=，所以PA PB ⊥， 同理PA PC ⊥，又PC PB P =，所以PA ⊥平面PBC ；（2）过O 作ON ∥BC 交AB 于点N ，因为PO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则121313(,0,0),((,2444E P B C ---， 132(,4PC =-，132()4PB =-，12(,0,2PE =-， 设平面PCB 的一个法向量为111(,,)n x y z =，由00n PC n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得111111320320x z x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令12x =，得111,0z y =-=， 所以(2,0,1)n =-，设平面PCE 的一个法向量为222(,,)m x y z =由00m PC m PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22222020x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令21x =，得22z y ==所以3(1,3m =故2cos ,||||3n m mn n m ⋅<>==⋅⨯，设二面角B PC E --的大小为θ，则cos θ=22．解:（1）在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=︒， 所以AB AC ⊥．由E ，F 分别为BC ，AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥． 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且交线为AB ，而90BAP ∠=︒，所以PA ⊥底面ABCD ． 又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥．又因为PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC ． （2）因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以AP ，AB ，AC 两两垂直， 以AB ，AC ，AP 分别为x 、y 、z ，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()002P ,,，()2,2,0D -，()1,1,0E ， 所以()2,0,2PB =-，()2,2,2PD =--，()2,2,0BC =-，设[]()0,1PMPD λλ=∈，则()2,2,2PM λλλ=--，所以()2,2,22M λλλ--，()12,12,22ME λλλ=+--，平面ABCD 的法向量()0,0,1m =． 设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，由0n BC ⋅=，0n PB ⋅=，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩令1x =，得()1,1,1n =． 因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等， 所以cos ,cos ,ME m ME n =，即m n MEm MEM n E ME ⋅⋅=⋅⋅，所以22λ-=，解得λ=，或λ（舍）．综上所得：=PM PD。
四川省眉山市彭山区第一中学2020学年高二数学上学期期中(11月)试题文(扫描版)(最新整理)
四川省眉山市彭山区第一中学2019—2020学年高二数学上学期期中（11
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四川省眉山市彭山区第一中学2019_2020学年高一数学10月月考试题
四川省眉山市彭山区第一中学2019-2020学年高一数学10月月考试题一、选择题（每题5分，共60分.）1.用列举法表示集合{}|5x N x ∈<正确的是（ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3,4,5C. {}0,1,2,3,4D. {}0,1,2,3,4,52.设全集 {}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =,集合{}{}1,2,4,6,2,3,5A B ==,则Venn 图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {}3,5B.{}1,4,6C. {}2D. {}2,3,53.函数()1x f x -=） A. [1,2)(2,)⋃+∞ B. ()1,+∞C. [)1,2D. [)1,+∞4.已知函数()2132f x x =++,且()3f 的值为（ ） A.0 B.1 C.2 D.55.*21,y x x N =+∈,且24x ≤≤,则函数的值域是（ ） A. (5,9)B. []5,9C. {}5,7,9D. {}5,6,7,8,9?6.已知集合M={x|x 1},N={x|x>}a ≤-,若M N φ≠I ,则有（ ） A. 1a <- B. 1a >- C. 1a ≤- D. 1a ≥-7.函数f (x )＝|x +1|的图像是（ ）8.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ） A. 1y x =+ B. y x x = C. 1y x=D. 3y x =- 9.已知二次函数2()=2f x x bx ++，若对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+成立，则下列关系式中成立的是（ ） A. (1)(2)(4)f f f <<B. ()(2)1(4)f f f <<C. ()(4)(1)2f f f <<D. ()(4)2(1)f f f <<10.已知偶函数()f x 在(),0-∞上单调递增,若()10f -=,则()0x f x ⋅<的解集是（ ） A. ()(),10,1-∞-⋃ B. ()(),11,-∞-⋃+∞ C. ()()1,00,1-⋃D. ()()1,01,-⋃+∞11.已知全集U ＝}101{<≤∈x Z x ，A ⊆U ，B ⊆U ，且(∁U A )∩B ＝{1,8}，A ∩B ＝{2}，(∁U A )∩(∁U B )＝{3,6,9}，那么集合A =（ ）A. {4,5,7}B.{2,4,5,7}C. {2,4,6,9}D. {2,3,4,8}12.已知f (x )＝5－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，设函数⎩⎨⎧<≥=)()(),()()(),()(x g x f x g x g x f x f x F ，则F (x )的最值情况是（ ）A ．最大值为3，最小值5－2 5B ．最大值为5＋25，无最小值C ．最小值5－25，无最大值D ．既无最大值，又无最小值二、填空题（每题5分，共20分）13.若集合{}32,x x n A n N =+=∈,{}2,4,6,8,10,12,14B =,则A B ⋂=__________。
四川省眉山市彭山区第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
四川省眉山市彭山区第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．若事件A 与B 互为互斥事件，21(),()34P A P B ==，则()P A B =U （ ）A ．16B ．712 C ．34D ．11122．已知4a =r ，空间向量e r 为单位向量，23,a e π=r r ，则空间向量a r在向量e r 方向上的投影向量的模长为（ ） A ．2B ．2-C ．12-D ．123．已知()3,2,5a =-r ，()1,5,1b =-r，下列计算结果正确的是（ ）A ．(4,3,6)a b -=-rr B ．a b ⊥r rC ．b =rD ．()310,1,16a b -=-r r4．已知点()()()(),1,,2,4,,1,0A m m B m m C m D +-，且直线AB 与直线CD 垂直，则m 的值为（ ） A ．−7或0B ．0或7C ．0D ．75．如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台1111ABCD A B C D -，若112AB A B =，点M 在1BD 上，且13BM D M =，则CM =u u u u r（ ）A ．1335488AA AB AD +-u u u r u u ur u u u rB ．1335448AA AB AD +-u u u r u u ur u u u rC ．1335448AA AB AD --u u u r u u ur u u u r D ．1335488AA AB AD -+u u u r u u ur u u u r 6．若过点3,1),(0,0)a -（的直线1l 与过点()1,3),1,1a --（的直线2l 平行，则a 的值为（ ）A ．3B ．-2C ．-2或3D ．2或-37．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．已知在堑堵111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1112,3,,2AB AC AA BE EA CF FA =====u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AE BF ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．128．如图，在几何体111ABC A B C -中，四边形11A ACB 是矩形，111ACB A B C ≌△△，且平面//ACB平面111A B C ，1AA AB ⊥，11AB BC AA AC ====，则下列结论错误的是（ ）A ．11//AC BBB ．异面直线1BB 、1C C 所成的角为π3C ．几何体111ABC A B C -的体积为12D ．平面11A BB 与平面1AC C二、多选题9．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A ＝“两弹都击中飞机”，事件B ＝“两弹都没击中飞机”，事件C ＝“恰有一弹击中飞机”，事件D ＝“至少有一弹击中飞机”，下列关系正确的是（ ） A ．A D ⊆ B ．B D =∅I C ．A C D ⋃=D ．A C B D =U U10．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，若()2,1,4AB =--u u u r ，()4,2,0AD =u u u r，()1,2,1AP =--u u u r，则以下结论正确的是（ ）．A ．,AB AD 〈〉u u u r u u u r是锐角B ．AP u u u r是平面PBC 的一个法向量C ．//AP BD u u u r u u u rD ．⊥AP BC11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且2,,,PD CD AD M N G ===分别为,,PA PC PB 的中点，则（ ）A ．四面体N BCD -是鳖臑B ．CG 与MNC ．点G 到平面PACD ．点M 到直线AC三、填空题12．已知(),,2u a b a b =+-r是直线l 的一个方向向量，()2,3,1n =r 是平面α的一个法向量，若l ⊥α，则a ，b 的值分别为.13．已知点()()1,3,3,1A B ，若点(),M x y 在线段AB 上，则2yx -的取值范围为. 14．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是四、解答题15．某市疫情防控常态化，在进行核酸检测时需要一定量的志愿者．现有甲、乙、丙3名志愿者被随机地分到A ，B 两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． (1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．（1）求1D E 的长；（2）求异面直线AE 与1BC 所成的角的余弦值．17．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为棱11B C ，11C D 的中点.(1)求点E 到直线BF 的距离(2)求AE 与平面1BFB 所成角的正弦值；18．某校开展定点投篮项目测试，规则如下：共设定两个投篮点位，一个是三分线上的甲处，另一个是罚篮点位乙处，在甲处每投进一球得3分，在乙处每投进一球得2分．如果前两次得分之和超过3分即停止投篮并且通过测试，否则将进行第三次投篮，每人最多投篮3次，如果最终得分超过3分则通过测试，否则不通过．小明在甲处投篮命中率为14，在乙处投篮命中率为45，小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投．(1)求小明得3分的概率；(2)试比较小明选择都在乙处投篮与选择上述方式投篮哪个通过率更大．19．棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都等于4，60ABC ∠=︒，平面11AAC C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=︒.（1）证明：1DB AA ⊥；（2）求二面角1D AA B --的平面角的余弦值；（3）在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DAC ？若存在，求出点P 的位置.。
四川省眉山市彭山区第一中学高二数学10月月考试题文
四川省眉山市彭山区第一中学2020—2021学年高二数学10月月考试题 文一、选择题(每题5分,共60分）1.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是三角形面，这个几何体不可能是（ ）A ．棱锥B ．圆锥C ．圆柱D ．正方体2下列说法正确的是( ）A ．垂直于同一条直线的两条直线平行B ．垂直于同一条平面的两条直线平行C ．平行于同一个平面的两条直线平行D ．平行于同一个直线的两个平面平行3。
已知过点()()2,,,4M a N a -的直线的斜率为12-,则a =（ ） A.2 B.4 C.6 D .104。
已知水平放置的ABC △按”斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中3'1,B O C O A O ''''===,那么ABC △是一个（ ） A .等边三角形B 。
直角三角形 C.等腰三角形 D 。
钝角三角形5.如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是（ )6。
在如图所示的四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是（ ）7。
设,m n 是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面,给出下列四个命题：①若,//m n αα⊂,则,m n 为异面直线; ②若//,//αγβγ,则//αβ;③若,m m βγαβ⊥⊥⊥，，则αγ⊥； ④若,,//m n m n αβ⊥⊥,则αβ⊥。
则上述命题中真命题的序号为( )A.①②B.③④ C 。
②③ D.②④8。
已知(),(3,5)11,A B ,则线段AB 垂直平分线的方程为（ ）A 。
230x y ++=B .240x y -+= C. 210x y --= D 。
290x y +-=9。
有一根蜡烛点燃6min 后,蜡烛长为17。
4cm ；点燃21min 后,蜡烛长为8。
4cm.已知蜡烛长度l （cm)与燃烧时间t(min ）可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（ ）A.25min B 。
四川省眉山市彭山区第一中学2020学年高二理综10月月考试题(扫描版)(最新整理)
四川省眉山市彭山区第一中学2019-2020学年高二理综10月月考试题
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四川省眉山市彭山区第一中学2020-2021学年高二10月月考数学(文)试题
彭山一中高2022届高二（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共60分）1. 用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形面，这个几何体不可能是（ ）A. 棱锥B. 圆锥C. 圆柱D. 正方体C判断出圆柱的截面图形即可求解. 圆柱的截面的图形只有矩形或圆形，∴如果截面是三角形，那么这个几何体不可能是圆柱.故选：C本题考查了几何体的截面图形，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.2. 在空间，下列命题中正确的是（ ）A. 垂直于同一直线的两条直线平行B. 垂直于同一平面的两条直线平行C. 平行于同一直线的两个平面平行D. 平行于同一平面的两条直线平行B根据线面平行、线面垂直的性质，对4个命题分别进行判断，即可得出结论．对于A ，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，不正确；对于B ，垂直于同一平面的两条直线平行，正确；对于C ，平行于同一直线的两个平面平行或相交，不正确；对于D ，平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，不正确；．故选：B ．本题考查线面平行、线面垂直的性质，考查学生的空间想象能力，属于基础题．3. 已知过点()()2,,,4M a N a -的直线的斜率为12-，则a =（ ） A. 2B. 4C. 6D. 10 D 根据直线上两点坐标以及斜率有1212y y k x x -=-，即可求参数a . 由题意知：4122a a -=-+，解得10a =，故选：D 本题考查了直线的斜率，根据直线上两点以及直线的斜率求参数，属于简单题.4. 已知水平放置的ABC 按"斜二测画法"得到如图所示的直观图，其中1B O C O '''==，32A O ''=,那么ABC 是一个（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形A 根据斜二测画法还原ABC 在直角坐标系的图形，进而分析出ABC 的形状，可得结论． 解：根据斜二测画法还原ABC 在直角坐标系的图形，如图则''2BC B C ==，2''3AO A O ==，22312AC AB ==+= 所以ABC 是一个等边三角形故选：A. 本题考查根据斜二测画法还原在直角坐标系的平面图形并判断形状，考查了数形结合的思想，是基础题.5. 如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是( )A. B. C. D.由直观图可知，此几何体侧视图是从左边向右边看，图形是正方形，对角线应该是左上到右下方向的虚线，C 符合题意．故选C.6. 在如图所示的四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是（ ） A. B. C. D.A根据正方体的性质判断异面直线的夹角即可知正确选项.根据各选项图形知：A 中AB ⊥CD ；B 中AB 和CD 的夹角为60︒；C 中AB 和CD 的夹角为45︒；D 中AB 和CD 的夹角为2；故选：A本题考查了利用正方体的性质判断异面直线是否垂直，属于基础题.7. 设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若,//m n αα⊂，则,m n 为异面直线； ②若//,//αγβγ，则//αβ；③若,,m m βγαβ⊥⊥⊥，则αγ⊥； ④若,,//m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥.则上述命题中真命题的序号为（ ）A. ①②B. ③④C. ②③D. ②④C根据空间直线与平面的关系，结合面面平行、垂直的判定即可知正确命题.①若,//m n αα⊂时，若//m n 则,m n 不是异面直线；④若,,//m n m n αβ⊥⊥，则//αβ；而②③是正确的.故选：C.本题考查了空间直线与平面的关系，结合线线关系、面面关系的判定判断正误，属于基础题. 8. 已知(),(3,5)11,A B ，则线段AB 垂直平分线的方程为（ ）A. 230x y ++=B. 240x y -+=C. 210x y --=D. 290x y +-=根据垂直有121k k =-，平分有平分线过AB 的中点，即可写出垂直平分线方程.由题意知：直线AB 的斜率为51213k -==--，且AB 的中点为(2,3)， ∴线段AB 垂直平分线的斜率112k k '=-=，即垂直平分线为13(2)2y x -=-， 整理有：240x y -+=，故选：B本题考查了由直线垂直求直线方程，根据两线垂直斜率之积为1-，平分线过中点的应用，属于基础题.9. 有一根蜡烛点燃6min 后，蜡烛长为17.4cm ；点燃21min 后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度l (cm)与燃烧时间t (min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（ ）A. 25minB. 35minC. 40minD. 45min B根据已知条件可知直线方程的斜率k 及所过的点，进而得到直线方程，再求蜡烛从点燃到燃尽所耗时间即可.由题意知：蜡烛长度l (cm)与燃烧时间t (min)可以用直线方程，过(6,17.4),(21,8.4)两点，故其斜率8.417.432165k -==--， ∴直线方程为38.4(21)5l t -=--， ∴当蜡烛燃尽时，有2114t -=，即35t =，故选：B本题考查了利用直线方程解决实际问题，根据已知数据得到直线方程并求预测值，属于简单题. 10. 在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90A 由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ，求得1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，在1BC O ∆中，即可求解．由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,因为正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1， 所以1,BO ACBO AA ⊥⊥，因为1AC AA A =∩，所以BO ⊥平面11ACC A ，所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，因为222113131(),(2)()2222BO C O =-==+=， 所以11332tan 332BO BC O OC ∠===， 所以0130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．11. 已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32πA由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形， 由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OAOO O A OO r ∴⊥==+=+=，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 12. 如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）A. B. C.D.B试题分析：由题意知，MN ⊥平面BB 1D 1D ，则MN 在底面ABCD 上的射影是与对角线AC 平行的直线，故当动点P 在对角线BD 1上从点B 向D 1运动时，x 变大y 变大，直到P 为BD 1的中点时，y 最大为AC ．然后x 变小y 变小，直到y 变为0，因底面ABCD 为正方形，故变化速度是均匀的，且两边一样．故答案为B ．考点：函数的图像与图像项变化．点评：本题考查了函数图象的变化，根据几何体的特征和条件进行分析两个变量的变化情况，再用图象表示出来，考查了作图和读图能力．属于中档题．二、填空题（每题5分，共20分）13. 已知三点A （2，3）、B （-1，2)、C （5，m )共线，则m =________.4利用向量共线的坐标表示即可求解.由A （2，3）、B （-1，2)、C （5，m )，则()3,1AB =--，()3,3AC m =-，因为三点共线，可得()()33130m ----⨯=，解得4m =，故答案为：4本题考查了向量共线的坐标表示，需熟记公式，属于基础题.14. 已知直线l 经过点A ()3,2.且它的倾斜角是直线33y x =的倾斜角的两倍，则直线l 的斜截式方程为________________. 31y x =-由33y x =知此直线的斜率为33，设直线33y x =的倾斜角为θ，所以6πθ=，设直线l 的倾斜角为α，所以3πα=，斜率为tan tan 33πα==，代入点斜式即可得解. 由33y x =知此直线的斜率为33， 设直线33y x =的倾斜角为θ， 可得3tan θ=，所以6πθ=， 设直线l 的倾斜角为α， 则3πα=，斜率为tan tan 33πα==，根据点斜式可得：3(3)2y x =-+，整理可得：31y x =-.故答案为：31y x =-.本题考查了求直线方程，考查了直线方程的点斜式，同时考查了倾斜角和斜率之间的关系，属于基础题.15. 如图所示，扇形的中心角为90°，弦AB 将扇形分成两个部分，这两部分各以AO 为轴旋转一周，求这两部分旋转所得旋转体体积1V 和2V 之比为__________.11:设扇形的半径为R ，根据Rt AOB △绕AO 旋转一周形成圆锥，扇形绕AO 旋转一周形成半球面，分别求得1V ，2V 可得答案．设扇形的半径为R ，Rt AOB △绕AO 旋转一周形成圆锥体积3113V R π=，扇形绕AO 旋转一周形成半球面，其围成的半球的体积323V R π=， 33321211333V V V R R R πππ∴=-=-=， 12:1:1V V ∴=． 故答案为：1:1．本题考查了直角三角形的旋转体及圆弧的旋转体，考查锥体与球体的体积公式，关键是判断旋转体的形状和旋转体的旋转半径，属于基础题．16. 如图，矩形ABCD 中，4,2AB BC ==，E 为边AB 的中点，沿DE 将ADE 折起，点A 折至1A 处（1A ∉平面ABCD ），若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 折起过程中，下列说法正确．．的是_________.①始终有//MB 平面1A DE②存在某个位置，使得A 1E ⊥平面A 1DC③异面直线BM 与1A E 所成角的大小与点A 1的位置有关④点M 在某个球面上运动①④对于①，延长CB ，DE 交于H ，连接1A H ，运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得//BM 平面1A DE ，即可判断①正确；对于②，利用反证法证明不存在某个位置，使得A 1E ⊥平面A 1DC ，即可判断②错误； 对于③，证明1A EG ∠是异面直线BM 与1A E 所成的角或所成角的补角，且是一个定值，即可判断③错误；对于④，证明MB 是定值，即得点M 在某个球面上运动，即可判断④正确. 对于①，延长CB ，DE 交于H ，连接1A H ，由E 为AB 的中点，可得B 为CH 的中点，又M 为1A C 的中点，可得1//BM A H ，BM ⊂/平面1A DE ，1A H ⊂平面1A DE ，则//BM 平面1A DE ，故①正确；对于②，假设存在某个位置，使得A 1E ⊥平面A 1DC ，由题得1122,2,DE EC A E A D ====因为A 1E ⊥平面A 1D C ，所以11A E A C ⊥,所以21822AC =-=,在1DCA △中，11A D A C DC +=,显然不成立，所以②错误；对于③，24AB AD ==，过E 作//EG BM ，G ∈平面1A DC ，则1A EG ∠是异面直线BM 与1A E 所成的角或所成角的补角，且11A EG EA H ∠=∠，在1EA H 中，12EA =，22EH DE ==，2212222222cos13525A H =+⨯-⨯⨯⨯︒=， 则1EA H ∠为定值，即1A EG ∠为定值，故③错误；对于④，如图所示，1MFB EDA ∠=∠（定值），1112MF DA ==,22DE BF ==由余弦定理得22182122cos 9422MB MFB =+-⨯⨯∠=-,所以MB 是定值.所以点M 在某个球面上运动.所以④正确.故答案为：①④本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查空间角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题.（共70分，写出必要的解题步骤和文字说明） 17. 如图，在平行四边形OABC 中，点A （3，0），点C （1，3）.（1）求AB 所在直线的方程；（2）过点C 作CD ⊥AB 于点D ，求CD 所在直线的方程. （1）y =3x -9；（2）x +3y -10=0.（1）由AB OC k k =，利用点斜式即可求解.（2）根据直线垂直，斜率之间的位置关系可得CD k ，利用点斜式即可求解. （1）平行四边形OABC ，点A （3，0），点C （1，3），//AB OC ∴，AB 所在直线的斜率为30310AB OC k k -===-， ∴AB 所在直线方程()033y x -=-，即39y x =-.（2）在平行四边形OABC 中，//AB OC ，CD AB ⊥，CD OC ∴⊥，CD ∴所在直线的斜率为13CDk ， ∴CD 所在直线方程为()1313y x -=--， 即x +3y -10=0.本题考查了直线平行、直线垂直斜率之间的关系、点斜式求直线方程，考查了基本运算求解能力，属于基础题.18. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知2BAC π∠=，2AB =，23AC =，2PA =.求：（1）三棱锥P ABC -的体积；（2）异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． （1433；（2）34. （1）根据棱锥的体积公式，先求出ABC 的面积，再利用体积公式计算体积即可. （2）利用直线平行的性质，求出异面直线所成角的大小. （1）1223232ABCS=⨯⨯=， 三棱锥P ABC -的体积为114323233ABCV SPA =⨯⋅=⨯=， （2）如图，取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则||BC ED ，所以ADE ∠ (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成角．在ADE 中，2DE =，2AE =2AD =， 222222223cos 22224AD DE AE ADE AD DE +-+-∠===⨯⨯⨯⨯，故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.本题主要考查三棱锥的体积公式，以及异面直线所成角的大小，属于中档题. 19. 已知直线l 过点()1,4，且在x 、y 轴上的截距依次为a 和b ， （1）若a 与b 互为相反数，求直线的l 方程；（2）若0a >，0b >，当+a b 取得最小值时，求直线l 的方程. （1）4y x =或30x y -+=；（2）260x y +-=.（1）当0,0a b ==时，设:l y kx =，再代入()1,4即可得到答案，当0,0a b ≠≠，则可设:1x y l a b+=，再代入()1,4即可得到答案.（2）首先设直线l 的方程为:1x yl a b +=，根据题意得到141a b+=，从而得到()1445b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式即可得到答案.（1）若0,0a b ==，则可设:l y kx =， 因为直线l 过点()1,4，即4k =，所以:4l y x =若0,0a b ≠≠，则可设:1x yl a b+=，因为直线l 过点()1,4所以143130a ab b a b ⎧=-+=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩，此时，:30l x y -+=.综上，直线的l 方程为4y x =或30x y -+=；（2）设直线l 的方程为:1x yl a b +=，直线l 过点()1,4，所以141a b+=.因为0,0a b >>所以()14445259b ab a a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥⋅+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4b aa b=，即3a =，6b =时取等号. 此时直线l 的方程为136x y+=，即260x y +-=.本题主要考查直线的截距式方程，同时考查了基本不等式求最值，属于中档题.20. 如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上的点，4AB =，3BC =，30MDC ∠=.（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ； （2）求直线AM 与面ABCD 所成角的正切值. （1）证明过程见详解；（26（1）先证明BC ⊥DM 和DM ⊥CM ，再结合BC CM C ＝证明DM ⊥平面BMC ，最后结合DM ⊂平面AMD 证明平面AMD ⊥平面BMC .（2）先判断直线AM 与面ABCD 所成角为MAE ∠，再求AE =32最后求直线AM 与面ABCD 所成角正切值.（1）证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM . 因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM . 又BC CM C ＝，所以DM ⊥平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC .（2）过点M 作ME ⊥CD ，垂足为E ，连接AE ，则由平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD 知ME ⊥平面ABCD ，从而直线AM 与面ABCD 所成角为MAE ∠. 在Rt MDC 中，因为30MDC ∠=，4DC =，所以CM =2，ME =3. 在Rt MCE 中，221CE MC ME =-=，则3DE DC CE AB CE =-=-=, 在Rt ADE △中，222232AE AD DE BC DE =+=+=， 在Rt AEM △中，36tan 32ME MAE AE ∠=== 所以直线AM 与面ABCD 所成角的正切值为6.本题考查利用线面垂直证明面面垂直、利用定义法求线面所成角，是中档题.21. 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为17.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .（1）证明：GH ∥EF ；（2）若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积. （1）证明见解析；（2）18.（1）利用线面直线与平面平行的性质定理，分别证得GH ∥BC 和EF ∥BC ，即可证得GH ∥EF . （2）连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK ，分别证得PO ⊥AC 和PO ⊥BD ，进而得到GK 是梯形GEFH 的高，结合梯形的面积，即可求解.（1）因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC ， 又因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面ABCD ，且平面ABCD ∩平面GEFH ＝EF ，所以EF ∥BC ， 所以GH ∥EF .（2）如图所示，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK . 因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ， 同理可得PO ⊥BD ，又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD ，又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH ， 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD .从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高， 由AB ＝8，EB ＝2，得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1:4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点，再由PO ∥GK ，得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4， 由已知可得OB ＝2，PO 2268326PB OB -=-=，所以GK ＝3， 故四边形GEFH 的面积S ＝2GH EF +·GK ＝482+×3＝18.本题主要考查了线面平行的判定与性质定理，以及正棱锥的结构特征和截面面积的计算，其中解答中熟记线面平行的判定定理和性质定理，以及正棱锥的结构特征，结合梯形的面积公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.22. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，∠BAD ＝3，AB ＝1，CD ＝3，MPC 上一点，且MC ＝2PM .（1）证明：BM //平面P AD ；（2）若AD ＝2，PD ＝3，求点D 到平面PBC 的距离. （1）证明见解析；（2）355. （1）过点M 作ME //CD ，交PD 于点E ，连接AE ，先证明四边形ABME 为平行四边形，可得 BM //AE ，再根据线面平行的判定定理可得BM //平面P AD ；（2）设点D 到平面PBC 的距离为h ，则三V 三棱锥D －PBC ＝13·S △PBC ·h 5，求出三棱锥P －BDC 的体积为V 三棱锥P －BDC 33V 三棱锥D －PBC ＝V 三棱锥P －BDC 求解即可. （1）过点M 作ME //CD ，交PD 于点E ，连接AE .因为AB //CD ，故AB //EM .又因为MC ＝2PM ，CD ＝3，且△PEM ∽△PDC ，故13EM PM DC PC ==，解得EM ＝1. 由已知AB ＝1，得EM =AB ，故四边形ABME 为平行四边形，因此BM //AE ， 又AE ⊂平面P AD ，BM ⊄平面P AD ， 所以BM //平面P AD .（2）连接BD ，由已知AD ＝2，AB ＝1，∠BAD ＝3π， 可得DB 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB ·cos ∠BAD ＝3， 即DB ＝3.因为DB 2＋AB 2＝AD 2，故△ABD 为直角三角形，且∠ABD ＝2π. 因为AB ∥CD ，故∠BDC ＝∠ABD ＝2π. 因为DC ＝3，故BC 2223DC DB +=. 由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥DB ，PD ⊥DC ，故PB 2223PD DB +=PC 2232PD DC +=， 则BC ＝PB ，故△PBC 为等腰三角形，其面积为S △PBC ＝12·PC ·221122BC PC ⎛⎫-= ⎪⎝⎭×2× 9122-＝3152. 设点D 到平面PBC 的距离为h ，则三V 三棱锥D －PBC ＝13·S △PBC ·h ＝152h 而直角三角形BDC 的面积为S △BDC ＝12·DC ·DB ＝12×3×333三棱锥P－BDC的体积为V三棱锥P－BDC ＝13·S△BCD·PD＝13×2×3＝2.因为V三棱锥D－PBC ＝V三棱锥P－BDC，即2h＝2，故h＝5.所以点D到平面PBC.本题主要考查线面平行的判断定理，考查锥体的体积公式，同时考查了利用“等积变换”法求点到平面的距离，属于中档题.。