高中数学三角函数的图像性质以及五点描图法
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三角函数的图像与性质
1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y=sinx 和余弦函数y=cosx 的图象的作图方法：五点法。
先取横坐标分别为0，3,,
,22
2π
πππ的五点，再用光滑的曲线把这
五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
2、一般三角函数的图像与性质
练习：①求函数
)
6π
2sin(2+=x y 在区间[0，上的值域
②求下列函数的值域． y ＝sin2x －cosx+2；
y ＝2sinxcosx －(sinx ＋cosx)；
x x
y cos 3sin 1--=
③若αβαcos 2sin 2sin 22=+，求βα2
2sin sin +=y 的最大、最
小值 ④若
3sin
)(x
x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f +++
+＝___
⑤函数4()cos f x x =2sin cos x x -4
sin x -的最小正周期为____
⑥已知函数3
1f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则
5f ()-=______
3、关于形如sin()y A x ω?=+的函数： （1）几个物理量：A ―振幅；
1
f T =
―频率（周期的倒数）；
x ω?+―相位；?―初相；
（2）函数sin()y A x ω?=+表达式的确定：A 由最值确定；ω由
周期确定；?由特殊点确定。
练习：①已知函数
()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所
示，则712
f π??=
??? ————
②已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中
0,0,02
A πω?>><<
）的周期为
π
，且图象上一个最低点为2(,2)
3M π-.（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）
当
[0,
]
12
x π∈，求()f x 的最值.
（3）函数sin()y A x ω?=+图象的画法：
① 五点法：设X x ω?=+，令X ＝0，3,,
,22
2π
π
ππ
求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；
② 图象变换法：这是作函数简图常用方法。
（4）函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的变换：
练习：①要得到函数cos()24x y π=-图象，只需把函数
sin
2x
y =图象向__平移__个单位
②将函数sin 2y x =的图象向左平移4π
个单位, 再向上平移1个单
位,所得图象的函数解析式是( )
A. cos 2y x =
B.2
2cos y x =
C.
)
4
2sin(1π+
+=x y D.
2
2sin y x = ③若将函数)
0)(4
tan(>+
=ωπ
ωx y 的图像向右平移6π
个单位长度
后，与函数
)
6tan(π
ω+
=x y 的图像重合，则ω的最小值为 ____
（5）研究函数sin()y A x ω?=+性质的方法：类比于研究
sin y x =的性质，只需将sin()y A x ω?=+中的x ω?+看成sin y x =中的x ，但在求sin()y A x ω?=+的单调区间时，要特
别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。 练习：①函数
23y sin(x )
π
=-+
的递减区间是_____
②对于函数
()2sin 23f x x π?
?=+ ?
??给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线
12x π
=
成轴对称；③图象可由函数
2sin 2y x =的图像向左平移3π个单位得到；④图像向左平移12π
个
单位，即得到函数2cos 2y x =的图像。其中正确结论是_______
（6）绝对值或平方对三角函数周期性的影响：
一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。
练习：画图y=|sinx|; y=sin 2x; y=|sin(x+π/3)+0.5|
三角函数的图像和性质(第一课时)
【课题】5.6三角函数的图像和性质（第一课时） 【教学目标】 知识目标： (1) 理解正弦函数的图像和性质； (2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法； (3) 了解余弦函数的图像和性质． 能力目标： (1) 认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数； (2) 会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图； (3) 通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力． 情感目标 培养学生的审美能力，作图能力，激发学习数学的兴趣，探究其他作图的方法． 【教学重点】 （1）正弦函数的图像及性质； 0,2π上的简图． （2）用“五点法”作出函数y=sin x在[] 【教学难点】 周期性的理解． 【教学设计】 （1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数； （2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期； （3）利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像； （4）观察图像认识有界函数，认识正弦函数的性质； （5）观察类比得到余弦函数的性质． 【教学备品】 课件，实物投影仪，三角板，常规教具． 【课时安排】 1课时．(45分钟) 【教学过程】 一、揭示课题 5.6三角函数的图像和性质 二、创设情景兴趣导入 1、问题 观察钟表，如果当前的时间是2点，那么时针走过12个小时后，显示的时间是多少呢？
再经过12个小时后，显示的时间是多少呢？L L ． 2、解决 每间隔12小时，当前时间2点重复出现． 3、推广 类似这样的周期现象还有哪些？ 三动脑思考 探索新知 概念 对于函数()y f x =，如果存在一个不为零的常数T ，当x 取定义域D 内的每一个值时,都有x T D +∈,并且等式()()f x T f x +=成立，那么，函数()y f x =叫做周期函数，常数T 叫做这个函数的一个周期． 由于正弦函数的定义域是实数集R ，对α∈R ，恒有2π()k k α+∈∈R Z ，并且 sin(2π)=sin ()k k αα+∈Z ，因此正弦函数是周期函数，并且 2π，4π， 6π，L 及2π-，4π-，L 都是它的周期． 通常把周期中最小的正数叫做最小正周期，简称周期，仍用T 表示．今后我们所研究的函数周期，都是指最小正周期．因此，正弦函数的周期是2π． 四、构建问题 探寻解决 说明 由周期性的定义可知,在长度为2π的区间（如[]0,2π，[]2,0-π,[]2,4ππ）上，正弦函数的图像相同，可以通过平移[]0,2π上的图像得到．因此，重点研究正弦函数在一个周期内，即在[]0,2π上的图像． 1、问题 用“描点法”作函数x y sin =在[]0,2π上的图像． 2、解决 把区间[]0,2π分成12等份，并且分别求得函数x y sin =在各分点及区间端点的函数值，列表如下：（见教材） 以表中的y x ,值为坐标，描出点(,)x y ，用光滑曲线依次联结各点，得到[]sin 0,2y x =π在上的图像．（见教材） 3、推广 将函数sin y x =在[]0,2π上的图像向左或向右平移2π，4π，L ，就得到sin ,y x =∞+∞在（-）上的图像，这个图像叫做正弦曲线．（见教材） 五、动脑思考 探索新知 1、概念 正弦曲线夹在两条直线1y =-和1y =之间，即对任意的角x ，都有sin 1x …成立，函数的这种性质叫做有界性． 一般地，设函数)(x f y =在区间),(b a 上有定义，如果存在一个正数M ，对任意的
三角函数图像与性质知识点总结
三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z)
3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.
反三角函数及性质
y=arcs inx. 函数y=sinx , x€ [- n /2 , n /2]的反函数叫做反正弦函数，记作x=arcsiny. 习惯上用x表示自变量，用y表示函数，所以反正弦函数写成y=arcsinx.的形式 请注意正弦函数y=sinx，x € R因为在整个定义域上没有一一对应关系，所以不存在反函数。 反正弦函数只对这样一个函数y=sinx , x€ [- n /2 , n /2]成立，这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间，叫做正弦函数的主值区间。 理解函数y=arcsinx中，y表示的是一个弧度制的角，自变量x是一个正弦值。这点必须牢记 性质 根据反函数的性质，易得函数y=arcsinx的，定义域[-1 , 1],值域[-n /2 , n /2]，是单调递增函数 图像关于原点对称，是奇函数 所以有arcsin(-x)=-arcsinx ，注意x的取值范围:x € [-1 , 1] 导函数： arcsinx = (土匚(-1,1)) vl-x2，导函数不能取|x|=1 * / fim (arcsinx) =-oo lim {arcsinx) = +oo - . ,:T 1 反正弦恒等式 sin(arcsinx)=x , x € [-1 , 1] (arcsinx)'=1/ V (1-x A2) arcsin x=-arcs in(-x) arcs in ( sin x)=x , x 属于[0, n /2]
arccosx 反三角函数中的反余弦。意思为：余弦的反函数，函数为y=arccosx，函数图像如右下图。 就是已知余弦数值，反求角度，如cos(a) = b，贝U arccos(b) = a ; 它的值是以弧度表达的角度。定义域：【-1 , 1】。 由于是多值函数，往往取它的单值支，值域为【0, n ],记作y=arccosx，我们称它叫 做反三角函数中的反余弦函数的主值， arcta n x 反三角函数中的反正切。意思为：tan(a) = b;等价于arctan(b) = a fflil 定义域：{x lx € R},值域：y € (- n/2,冗/2) 计算性质： tan( arcta na)=a arcta n(-x)=-arcta nx arctan A + arctan B=arcta n(A+B)/(1-AB) arctan A - arctan B=arcta n(A-B)/(1+AB) 反三角函数在无穷小替换公式中的应用：当x T 0时，arctanx~x
三角、反三角函数图像与性质与三角公式
三角、反三角函数图像 ( 附：资料全部来自网络， 仅对排版做了改动， 以方便打印及翻阅， 其中可能出现错误，阅者请自行注意。 ） 1. 六个三角函数值在每个象限的符号： sin α· csc α cos α· sec α tan α· cot α 2. 三角函数的图像和性质： y=sinx y -5 - 2 1 2 -7 o -4 -3 -2 -3 - 2 -1 2 3 7 2 5 2 2 3 4 2 2 x y=cosx y -5 - 2 1 -32 - -4 -7 -2 -3 o 2 2 -1 y y=tanx 3 3 7 2 2 2 5 4 2 2 y y=cotx x - 3 - - 2 2 o 3 2 2 x - - 2 o 3 2 x 2 2 函数 y=sinx y=cosx y=tanx ｛ x ｜ x ∈ R 且 定义域 R R x ≠ k π+,k ∈ Z ｝ ［ -1,1］ 2 ［ -1，1］x=2k π+ 时 x=2k π时 y max =1 2 R y max =1 x=2k π +π时 值域 无最大值 y min =-1 无最小值 x=2k π-时 y min =-1 2 y=cotx ｛ x ｜ x ∈ R 且 x ≠ k π∈,kZ ｝ R 无最大值 无最小值 周期性 周期为 2π 周期为 2π 周期为 π 周期为 π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 1 / 5
在［ 2kπ-,2kπ+ ］在［ 2kπ-π，2kπ］ 在 (k π- ， 在 (k π，kπ+π)内上都是增函数；都是减函数 22 在［ 2kπ，2kπ+π］2 (k ∈ Z) 上都是增函数；在 单调性 2上都是减函数k π+ )内都是增 ［ 2kπ+,2k(k ∈ Z)2 π+ π］ 函数 (k ∈ Z) 23 上都是减函数(k ∈Z) 3.反三角函数的图像和性质： arcsinx arccosx arctanx 名称反正弦函数 y=sinx(x ∈ 〔- ,〕的反函 2 2 定义 数，叫做反正弦函 数，记作 x=arsiny arcsinx 表示属于 理解 ［ -, ］ 22 x 的 且正弦值等于 角 定义域［ -1， 1］ 值域［ -，］ 性 22 单调性 在〔 -1， 1〕上是增 质函数 奇偶性 arcsin(-x)=-arcsinx 周期性都不是周期函数反余弦函数 y=cosx(x ∈ 〔0, π〕)的反 函数，叫做反余 弦函数，记作 x=arccosy arccosx 表示属于 ［ 0，π］，且 余弦值等于 x 的 角 ［-1， 1］ ［0，π］ 在［ -1，1］上 是减函数 arccos(- x)= π- ar ccosx arccotx 反正切函数反余切函数 y=tanx(x ∈ (-, y=cotx(x ∈(0, π )) 的反函数，叫做 2 反余切函数，记 2 )的反函数，叫作 x=arccoty 做反正切函数，记作 x=arctany arctanx表示属于arccotx 表示属于 (-,)，且正切值 (0，π)且余切值等 于 x 的角 22 等于 x 的角 (-∞，+∞)(-∞， +∞) (-，)(0，π) 2 2 在(-∞， +∞)上是增在(-∞，+∞)上是 数减函数 arctan(-x)=-arctanx arccot(- x)= π- arc cotx 2/ 5
高中数学教案三角函数的图象与性质
高中数学教案三角函数的图象及性质 精编习题 三角函数的图象及性质 一、知识网络 二、高考考点 （一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域，值域或最值问题； 2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇 函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性；寻求型三角函数的周期以及 难度较高的含有绝对值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换； 2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草
图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式； 3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问题. （三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域及值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函 数 . 3、周期性 （1）基本公式
（ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点及（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究
高中数学教师备课必备系列(三角函数(一)专题9 三角函数图像与性质
专题九三角函数图像与性质．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 ．三角函数的单调区间： 的递增区间是，递减区间是 ； 的递增区间是，递减区间是， 的递增区间是， ．函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 ．由＝的图象变换出＝(ω＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进
行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换 (伸缩变换) 先将＝的图象向左(＞)或向右(＜＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞)，便得＝(ω＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将＝的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞)，再沿轴向左(＞)或向右(＜＝平移 个单位，便得＝(ω＋)的图象。 ．由＝(ω＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式（ω）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，）作为突破口， 要从图象的升降情况找准 ．．第一个零点的位置。 ．对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 ．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； ．求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 ．五点法作（ω）的简图： 五点取法是设ω，由取、、π、、π来求相应的值及对应的值，再描点作图。 四．典例解析
三角函数的图像与性质题型归纳总结
三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数
三角函数和反三角函数图像性质、知识点总结
三角函数 1. 特殊锐角（0°，30°，45°，60°，90°）的三角函数值 2. 角度制与弧度制 设扇形的弧长为l ，圆心角为a （rad ）,半径为R ，面积为S 角a 的弧度数公式 2π×(a /360°) 角度与弧度的换算 ①360°=2π r ad ②1°=π/180rad ③1 rad=180°/π=57° 18′≈57.3° 弧长公式 l a R = 扇形的面积公式 12 s lR = 3. 诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限） 所谓奇偶指是整数k 的奇偶性（k ·π/2+a ） 所谓符号看象限是看原函数的象限（将a 看做锐角，k ·π/2+a 之和所在象限） 注： ①：诱导公式应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了
4. 三角函数的图像和性质：（其中z k ∈） ①： 三角函数 x y sin = x y cos = x y tan = cot y x = 函 数 图 象 定义域 R R 2 x k π π≠+ x k π ≠ 值域 [-1,1] [-1,1] R R 周期 2π 2π π π 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 单 调 性 2,222k k ππππ? ?-+↑????2,222k k ππππ??-+↑???? []2,2k k πππ-↑ []2,2k k πππ+↓ ,22k k ππππ? ?-+↑???? [],k k πππ+↓ 对 称 性 :2 x k π π=+ 对称轴 对称中心:(,0)k π :x k π =对称轴 : 对称中心(+ ,0) 2k π π : 对称中心( ,0)2 k π 零值点 πk x = 2 π π+ =k x πk x = 2 π π+ =k x 最 值 点 2 π π+ =k x ,1max =y 2 π π- =k x ,1min -=y πk x 2=，1max =y ； 2y k ππ=+，1min -=y
(完整版)高中数学必修一三角函数图像性质总结(精华版)
x ?正弦、余弦、正切函数图象和性质 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 -5 3 7 ~2~ ” - 丁1 T V x 2*伽 -4 -7 -3 ' 、一 -2 -3 - -1 o '2 5 3 J. ‘ 4 2 2 2
y=ta nx J J J 1 Jr jr y y ； 1 1 / / / I ? r / / / y\ y=cotx 1 1 1 \ i 1 ! i I 1 3f-2 1 f J 1 J f f o 2 f I \ I i 1 I L o I I X2 1 三角函数的性质 1定义域与值域 2、奇偶性 (1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y= tanx ；偶函数：y= cosx. ⑺八黒 ' -型三角函数的奇偶性 （i）g（x 丄^ 丁（x€ R） (x)为偶函数- U 山呂in（曲+ 训+
P =」tan （处: + &） +匕尸二（处卄洞+& 的周期为91 . （2）认知 （i ） ?卜巳-，?| 型函数的周期 y = pisin (伽+ 剑| j = A cos(d&r+ 4?)| 的周期为 7T y = |j4tan(dft + 训,y=血 ot 〔伽 + 训 的周期为 ? = |了（曲+卩）+円往无0）的周期 》=|￡血（血工+朝胡』=|1（：0￡（处+?+上| y = |^tan(&r + ^) +円 j =凶诃(你+昉+刈 的周期为’； 7T 的周期为'? 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 数 的周期不变?注意这一点与（i ）的区别? （ii ） 若函数为-’二 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ） 探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明 ? （3）特殊情形研究 y 二门」 彳J 的解析式施加绝对值后，该函 JT (i) y = tanx — cotx 的最小正周期为 ； y = sin z|+|co5z| 7T 的最小正周期为二； 7T （iii ） y = sin 4X + cos 4x 的最小正周期为 二. 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 . 4、单调性 （1） 基本三角函数的单调区间（族） 依从三角函数图象识证“三部曲”： ① 选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期； ② 写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； ③ 获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族） 循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 . 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域 （2） 』— 丁 型三角函数的单调区间
三角和反三角函数图像性质总结
反三角函数的图像和性质 yx,arccos yx,arctanyx,arcsin ,1,1,1,1,,,,R 定义域 ,,,,，，,, ,,,,值域 [0，π] ,,,,2222，，,, 在上单调递增在上单调递减 ,1,1,1,1,,,,在R上单调递增单调性 无减区间无减区间无增区间 3奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数 32, 32,,21212,-1 图象 -22468-224682O11 -1,-1-,2-2 -22468-1 -1O2-2 -1 arcsin()arcsin,,,xxarccos()arccos,,,xx,arctan()arctan,,,xx 运算公x,,[1,1]x,,[1,1] xR,式1 运算公,,,, arccos(cos),[0,]xxx,,, arctan(tan),(,)xxx,,,arcsin(sin),[,]xxx,,,2222式2 运算公 sin(arcsin),[1,1]xxx,,,cos(arccos),[1,1]xxx,,,tan(arctan),xxxR,, 式3 , arctancotxarcx，,运算公,2 arcsinarccos,[1,1]xxx，,,,2式4 xR, 三角函数的图像和性质 4 yx,cosy,tanx yx,sin kZ,343 3222 1一个周11(((113,,2,,,期的图-22468,-22468(-4-2246823,,O,2,O2O--12-12-1-1-1 22像 -2-2 -2
-3,,,x|x,k，,k,Z ,定义域 R R ,,2,, [1,1],[1,1], 值域 R 奇偶性奇函数偶函数奇函数 , 2,2,周期 对 ,直线xk，kZ, ,，,称直线，无 xk,,kZ,2 轴对 称对 性称k,,(,0)k,，kZ, 点，kZ, 点(,0)k，(,0)点，kZ, ,22中 心 ,,,,,在上 [2,2]kk,，[2,22]kk,,,,，，,,,上在,上在(,)kk,，,,2222单调性 ,,3,在上，，[2,2]kk,,,，,[2,2]kk,,在上无减区间 22
(完整版)高一数学三角函数的图像和性质练习题
高一数学 三角函数的图像和性质练习题 1．若cosx=0，则角x 等于( ) A ．k π（k ∈Z ） B ． 2π+k π（k ∈Z ） C ．2π+2k π（k ∈Z ） D ．－2π+2k π（k ∈Z ） 2．使cosx=m m -+11有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0 B ．m ≤0 C ．－1＜m ＜1 D ．m ＜－1或m ＞1 3．函数y=3cos （ 52x －6π）的最小正周期是( ) A ．5 π2 B ．2π5 C ．2π D ．5π 4．函数y=2sin 2x+2cosx －3的最大值是( ) A ．－1 B ．21 C ．－21 D ．－5 5．下列函数中，同时满足①在（0， 2π）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( ) A ．y=tanx B ．y=cosx C ．y=tan 2x D ．y=|sinx| 6．函数y=sin(2x+π6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象做以下平移得到（ ） A.向右平移π6 B. 向左平移 π12 C. 向右平移 π12 D. 向左平移π6 7．函数y=sin(π4 -2x)的单调增区间是（ ） A. [kπ-3π8 , kπ+3π8 ] (k∈Z) B. [kπ+π8 , kπ+5π8 ] (k∈Z) C. [kπ-π8 , kπ+3π8 ] (k∈Z) D. [kπ+3π8 , kπ+7π8 ] (k∈Z) 8．函数 y=15 sin2x 图象的一条对称轴是（ ）
A.x= - π2 B. x= - π4 C. x = π8 D. x= - 5π4 9．函数 y=15 sin(3x-π3 ) 的定义域是__________，值域是________，最小正周期是________，振幅是________，频率是________，初相是_________． 10．函数y=sin2x 的图象向左平移 π6 ，所得的曲线对应的函数解析式是____ _____． 11．关于函数f(x)=4sin(2x+π3 )，(x∈R)，有下列命题： （1）y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-π6 ); （2）y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数； （3）y=f(x)的图象关于点(-π6 ,0)对称; （4）y=f(x)的图象关于直线x=-π6 对称;其中正确的命题序号是___________． 12． 已知函数y=3sin （21x －4 π）. （1）用“五点法”作函数的图象； （2）说出此图象是由y=sinx 的图象经过怎样的变化得到的； （3）求此函数的最小正周期； （4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间. 13. 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ）＋2的图象的一部分，求它的振幅、最小正周期和初 相。
五点法作图正弦函数
正弦函数图象 梁翠琼 一、教学目标： 1．知识与技能的掌握 (1)学会用列表、描点、连线的方法作出正弦函数的图象； (2)掌握五点法作正弦函数的简图； (3)掌握形如sin y k x b =+的函数图象简图的画法。 2．过程与方法的思考 (1)学会画图的一般步骤，培养动手能力； (2)会用“五点法”画正弦函数。 3．情感态度与价值观的培养 通过本节课的学习学会善于寻找,观察数学知识之间的内在联系.培养学生从特殊到一般与从一般到特殊的辩证思想方法。 二、重点和难点： 1．用列表、描点、连线的方法作出正弦函数的图象以及利用五点法画正弦函数的简图为本节课的教学重点； 2．用五点法画形如sin y k x b =+的函数图象简图。 三、学习过程 1. 情境导入 问题一：如何画一般函数的图象？ 学生思考回答作图步骤：(Ⅰ)列表； (Ⅱ)描点 (Ⅲ)连线。 问题二：那我们能否通过描点法画正弦函数在[0,2]π内的图像, 教师与学生一起尝试描点法画图. 描点法在取函数值时，取得点越多，画出的函数图象就会越准确。 2．学导结合 (1)描点法画图： 列表------- 描点---- 连线 6 π 3 π2 π 3 2π6 5ππ 67π34π23π35π6 11ππ 20 2 12 30 1 2 1-2 3 - 2 12 30 2 1-23 -1-x y [] π2,0,sin ∈=x x y
（2）如何作正弦函数y ＝Sinx, x ∈R 的图象呢？ 学生思考,老师点拨. 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以 sin ,[2,2(1)),,0y x x k k k Z k ππ=∈+∈≠的图像,与函数 sin ,[0,2)y x x π=∈一致.于是我们 只要将sin ,[0,2)y x x π=∈的图像像左向右平行移动(每次2π个单位长度)就可以得到正弦函数y ＝Sinx ，x ∈R 的图象 （3）探究深化 ①“五点法”作简图： 教师提出问题：观察y=Sinx ，x ∈[0，2π]的图象，在作图连线过程中起关键作用的是哪几个点？ 能否利用这些点作出正弦函数的简图？ 引导学生得到五个关键点。 学生回答：关键五点：（0，0）、（2 π ，1）、（π，0）、 （32π ，-1）、（2π，0）。 教师总结：事实上，只要指出这五个点，y=Sinx ，x ∈[0，2π]的图象形状就基本定位了。因此在精确度要求不高时，我们就常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图。 注：五个关键点中，重点应突出点的横坐标，纵坐标即相应函数值； 画简图时应掌握曲线的形状及弯曲的“方向”。
高中数学必修4 三角函数的图像与性质
三角函数的图像和性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)，)1,2 (π ，(π，0)，) 1,23( -π，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π ，(2π，1)． 2．三角函数的图象和性质
(1)周期性 函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π |ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周 期为π |ω|. (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式． 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； (2)形式复杂的函数应化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域； (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．
双基自测 1．函数)3cos(π +=x y ，x ∈R ( )． A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．既不是奇函数也不是偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数) 4 tan( x y -=π 的定义域为( )． A ． } ,4 |{Z k k x x ∈- ≠π π B ．},4 2|{Z k k x x ∈-≠π π C ．},4 |{Z k k x x ∈+ ≠π π D ．},4 2|{Z k k x x ∈+ ≠π π 3．)4sin(π -=x y 的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B ．)0,4 3(π- C ．)0,2 3( π D ．)0,2 (π 4．函数f (x )＝cos )6 2(π + x 的最小正周期为________． 考向一 三角函数的周期 【例1】?求下列函数的周期： (1)) 2 3 sin( x y π π - =；(2))6 3tan(π -=x y 考向二 三角函数的定义域与值域 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：
五点法画正弦交流电波形图
五点法画正弦交流电波 形图 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
“五点法”画正弦交流电波形图 叶和人（辽宁丹东市技师学院辽宁丹东118002） 摘要：已知解析式画波形图一般有两种，一是u-ωt波形图，二是u-t波形图。“五点法”画波形图的方法：一、由u=Umsinωt左右平移角得出波形图；二、由u=Umsinωt确定t值得出波形图。无论哪种方法，都要记住正弦曲线的基本形状，知道“五点”是哪五点，纵坐标总是0、Um、0、－Um、0不变。 关键词：正弦交流电“五点”坐标平移波形图 “五点法”画正弦曲线，学生在数学课中学习过，对其波形图形状已熟知。《电工基础》课教学中，要求学生掌握正弦交流电的三种表示法：解析式、波形图、相量图。教材中没有介绍具体画法，本文将介绍用“五点法”画正弦交流电波形图的方法。会画波形图将对学生在正弦交流电路的相关计算和今后正弦交流电路分析时有所帮助。 正弦交流电解析式的一般表达式为： i=Ims in(ωt+i) u=Umsin(ωt+u) e=Emsin(ωt+e) 在已知解析式的条件下，画波形图一般有两种，一是u-ωt波形图，二是u-t波形图，下面以正弦交流电压波形图为例讲解“五点法”画波形图的方法。 一、由u=Umsinωt左右平移角得出波形图 1、u-ωt波形图？ （1）u=Umsinωt的波形图（初相位0） ①波形图的五点坐标为：（0、0）、（、Um）、（π、0）、（、-Um）、(2π、0)。 ②由五点画出波形图为： ？ 上述五点坐标和波形图在数学课中已为学生所熟知。 （2）初相大于0，即u=Umsin(ωt+)的波形图 ①由u=Umsinωt波形图向左平移角，五点横坐标变为-、-、π-、-、2π-，即初相为0时横坐标均减去；纵坐标不变。 ②画出五点，描绘出波形图为: ？
三角函数的图像与性质
一、选择题 1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－5 4，－1] C ．[－5 4，1] D ．[－1，5 4 ] [答案] C [解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2 ＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－5 4 ≤y ≤1，选C. 2．(2011·山东理，6)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π 3]上单调递增， 在区间[π3，π 2 ]上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.2 3 [答案] C [解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2π ω， ∴2πω＝43π，∴ω＝32 .
故选C(亦利用y ＝sin x 的单调区间来求解) 3．(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C [解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π 2＝π， 且f (x )是奇函数． (理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π 2)上是递增的 B ．f (x )的图像关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2 [答案] B [解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关 于原点对称，B 正确；函数的递增区间为???? ??k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A. 4．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π 8对称，则a 的值为 ( )
三角函数正余弦函数的图像及性质复习汇总
课题三角函数的图像及性质 1.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( π2/±α , π的±正α弦、余弦、正切) 教学目标 2.利用单位圆中的三角函数线作出y sin x,x R的图象，明确图象的形状； 3.根据关系cosx sin(x ) ，作出y cosx,x R的图象； 2 4.用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题； 重点、难点 1、正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值 2、作余弦函数的图象。 教学内容 、正弦函数和余弦函数的图象： -1 正弦函数y sin x 和余弦函数y cos x图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，, ,3 ,2 22 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 二、正弦函数y sin x(x R) 、余弦函数y cosx(x R) 的性质： ( 1)定义域：都是R。 (2)值域： 1、都是1,1 ， 2、y sinx ，当x 2k k 2 3、y cosx ，当x 2k k Z 例： ( 1)若函数y a bsin(3 x Z 时，y 取最大值1 ；当x 时，y 取最大值1，当x 2k ) 的最大值为3，最小值为 62 3 2k 3 k Z 时，y 取最小值－1； 2 k Z 时，y 取最小值－ 1 。 1，则 a __， b ＿ 2 3 y -2 1 y=cosx -3 -5 -32 -4 -7 -2 -3 22
1 答： a 1 2,b 1或b 1)； ⑵ 函数 y=-2sinx+10 取最小值时，自变量 x 的集合是 3）周期性 ： （正（余）弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线，对称中心为图象与 x 轴的交 点）。 5）单调性 ： 别忘了 k Z ！ ⑴函数 y=sin2x 的单调减区间是（ ① y sin x 、 y cos x 的最小正周期都是 2 ； ② f ( x) A sin( x )和 f (x) Acos( 2 x ） 的最小正周期都是 T 2 sin 3x ，则 f （1） f （2） ⑵．下列函数中，最小正周期为 例： (1)若 f (x) f (3) L 的是（ A. y cos 4x B. y sin 2x C.y f (2003) ＝ 答： 0）； x sin 2 D.y x cos 4 （ 4）奇偶性与对称性 ： 1、正弦函数 y sin x （ x R ） 是奇函 数， 对称中心是 k ,0 k Z ，对称轴是直线 x k k Z ； 2 2、余弦函数 y cosx （x R ） 是偶函数， 对称中心是 k 2 ,0 k Z ，对称轴是直线 x k k Z 5 例：（1） 函数 y sin 5 2 2x 的奇偶性是 答：偶函数）； 2）已知函数 f （ x ） a x bsin 3 x 1( a,b 为常数)， 且 f (5 ) 7， 则 f ( 5) 答：－ 5）； y sin x 在 2k , 2k 2 k Z 上单调递增，在 2k , 2k 2 3 k Z 单调递减； 2 y cosx 在 2k ,2 k Z 上单调递减，在 2k ,2k k Z 上单调递增。 特别提醒 ，
反三角函数的概念和性质
反三角函数的概念和性质 ． 一．基础知识自测题： 1．函数y＝arcsin x的定义域是 [－1, 1] ，值域是. 2．函数y＝arccos x的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] . 3．函数y＝arctg x的定义域是R，值域是. 4．函数y＝arcctg x的定义域是R，值域是 (0, π) . 5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝. 6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝. 7．若cos x＝－, x∈(, π)，则x＝. 8．若sin x＝－, x∈(－, 0)，则x＝. 9．若3ctg x＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝. 二．基本要求： 1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；
2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝ arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围； 3．符号arcsin x可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，] 上的一个实数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； 4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； 5．注意恒等式sin(arcsin x)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sin x)＝x, x∈[－，], arccos(cos x)＝x, x∈[0, π]的运用的条件； 6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用； 7．注意恒等式arcsin x＋arccos x＝, arctg x＋arcctg x＝的应用。 例一．下列各式中成立的是（C）。 （A）arcctg(－1)＝－（B）arccos(－)＝－ （C）sin[arcsin(－)]＝－（D）arctg(tgπ)＝π 解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π], (D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。