2019年北京汇文中学新高一新生入学分班考试数学试题-含详细解析

2019年北京汇文中学新高一新生入学分班考试

数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”.在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正

方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品--“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是()

A. B.

C. D.

2.如图，正比例函数y1=mx，一次函数y2=ax+b和反比例函数y3=k

的图象在同一直角坐标系中，

x

若y3>y1>y2，则自变量x的取值范围是()

A. x

B. ?0.51

C. 0

D. x

3.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2?2x?3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于

点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O′A′B′，且点O′，A′落在抛物线的对称轴上，点B′落在抛物线上，则直线A′B′的表达式为()

4.已知P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是抛物线y=ax2?2ax上的点，下列命题正确的是()

A. 若|x1?1|>|x2?1|，则y1>y2

B. 若|x1?1|>|x2?1|，则y1

C. 若|x1?1|=|x2?1|，则y1=y2

D. 若y1=y2，则x1=x2

5.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，下列结论：

①abc>0；②b2?4ac>0；③8a+c<0；④5a+b+2c>0，

正确的有()

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

6.如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD=

60°.若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为

()

A. 1

B. √2

C. √3

D. 2

7.将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁

匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度?(cm)与注水时间t(min)的函数图象大致为图中的()

A. B.

C. D.

8.如图，在平面直角坐标系中，函数y=4

x (x>0)与y=x?1的图象交于点P(a,b)，则代数式1

a

?1

b

的

值为() A. ?1

2

B. 1

2

C. ?1

4

D. 1

4

二、填空题（本大题共10小题，共20分）

9.对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b=√a+b

√a?b ，如：3⊕2=√3+2

√3?2

=

√5，那么12⊕4=______．

10.如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边

形的边数为______．

11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：

①ab>0；②a+b?1=0；③a>1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为1，

另一个根为?1

a

．

其中正确结论的序号是______．

12.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC=______度．

13.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆半径r=______．

14.如图，∠MON=30°，在OM上截取OA1=√3.过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆

心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于______．

15.矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A

落在点A′处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为______厘米．

16.设A，B，C，D是反比例函数y=k

图象上的任意四点，现有以下结论：

x

①四边形ABCD可以是平行四边形；

②四边形ABCD可以是菱形；

③四边形ABCD不可能是矩形；

④四边形ABCD不可能是正方形．

其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)

17.如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成

一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为______m.

18.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中

间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想

化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线

BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到

BA，BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小

值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共64分）

19.放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒

10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．

(1)求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；

(2)小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有

小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．

20.如图，在?ABCD中，∠D=60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并

延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB=EB．

(1)求证：EC是⊙O的切线；

?的长(结果保留π)．

(2)若AD=2√3，求AM

21. 今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研

制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．

(1)为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：

根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用______厘米，女性应采用______厘米；

(2)如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用(1)中的数据得出测温头点P 距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB ，AC 的连接点A 处，A 点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B ，C 在同一水平线上，BC =100厘米，点C 在点P 的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．

(

参考数据表)#DLQZ

22. 已知关于x ，y 的方程组{ax +2√3y =?10√3,x +y =4

与{x ?y =2,

x +by =15的解相同．

(1)求a ，b 的值；

(2)若一个三角形的一条边的长为2√6，另外两条边的长是关于x 的方程x 2+ax +b =0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．

23. 我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BC

AB =AB

AC ，那么称点B 为线段AC 的黄金分割

点．它们的比值为√

5?12

．

(1)在图①中，若AC =20cm ，则AB 的长为______cm ；

(2)如图②，用边长为20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF ，连接CE ，将CB 折叠到CE 上，点B 对应点H ，得折痕CG.试说明：G 是AB 的黄金分割点；

(3)如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点E(AE >DE)，连接BE ，作CF ⊥BE ，交AB 于点F ，延长EF 、CB 交于点P.他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．

24.已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．

(1)如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN=80°，求∠ACB的度数；

(2)如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请

说明理由；

(3)若PC交⊙O于点D，求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示)．

25.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边

形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：

类比探究

(1)如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△

ACE，Rt△BCF，若∠1=∠2=∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为______；

推广验证

(2)如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△

BCF，满足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；

拓展应用

(3)如图4，在五边形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105°，∠ABC=90°，AB=2√3，DE=2，点P

在AE上，∠ABP=30°，PE=√2，求五边形ABCDE的面积．

26.已知直线l1：y=?2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另

一点C，BC=4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若直线l2：y=mx+n(n≠10)，求证：当m=?2时，l2//l1；

(3)E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y=?2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与

△CEF面积之和的最小值．

(x>0)图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C.反比27.如图，点B是反比例函数y=8

x

(x>0)的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E.连接DE并延长交x 例函数y=k

x

轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．

(1)填空：k=______；

(2)求△BDF的面积；

(3)求证：四边形BDFG为平行四边形．

28.如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点(Q在P、H

之间).我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ?PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．

(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0,4).半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、

B、C、D．

①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点______(填“A”.“B”、“C”

或“D”)，⊙O关于直线m的“特征数”为______；

②若直线n的函数表达式为y=√3x+4.求⊙O关于直线n的“特征数”；

(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M(1,4)，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√2为半

径作⊙F.若⊙F与直线1相离，点N(?1,0)是⊙F关于直线1的“远点”.且⊙F关于直线l的“特征数”是4√5，求直线l的函数表达式．

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：最小的等腰直角三角形的面积=1

8×1

2

×42=1(cm2)，平行四边形面积为2cm2，中等的等

腰直角三角形的面积为2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，则

A、阴影部分的面积为2+2=4(cm2)，不符合题意；

B、阴影部分的面积为1+2=3(cm2)，不符合题意；

C、阴影部分的面积为4+2=6(cm2)，不符合题意；

D、阴影部分的面积为4+1=5(cm2)，符合题意．

故选：D．

先求出最小的等腰直角三角形的面积=1

8×1

2

×42=1cm2，可得平行四边形面积为2cm2，中等的等腰直

角三角形的面积为2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，再根据阴影部分的组成求出相应的面积即可求解．

本题考查图形的剪拼、七巧板，解题的关键是求出最小的等腰直角三角形的面积，学会利用分割法求阴影部分的面积．

2.【答案】D

【解析】解：由图象可知，当xy1>y2，

所以若y3>y1>y2，则自变量x的取值范围是x

故选：D．

根据图象，找出双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方的部分对应的自变量x的取值范围即可．

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．

3.【答案】B

【解析】解：如图，∵抛物线y =x 2?2x ?3与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，

令y =0，解得x =?1或3， 令x =0，求得y =?3， ∴A(3,0)，B(0,?3)，

∵抛物线y =x 2?2x ?3的对称轴为直线x =??2

2×1=1， ∴A′的横坐标为1， 设A′(1,n)，则B′(4,n +3)， ∵点B′落在抛物线上，

∴n +3=16?8?3，解得n =2， ∴A′(1,2)，B′(4,5)，

设直线A′B′的表达式为y =kx +b ， ∴{

k +b =2

4k +b =5

，

解得{k =1b =1

∴直线A′B′的表达式为y =x +1， 故选：B ．

求得A 、B 的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出A′(1,n)，则B′(4,n +3)，把B′(4,n +3)代入抛物线解析式求得n ，即可求得A′、B′的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A′B′的表达式．

本题考查了抛物线与x 轴的交点，坐标和图形变换?平移，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意表示出A′、B′的坐标是解题的关键．

4.【答案】C

【解析】解：∵抛物线y =ax 2?2ax =a(x ?1)2?a ， ∴该抛物线的对称轴是直线x =1，

当a >0时，若|x 1?1|>|x 2?1|，则y 1>y 2，故选项B 错误； 当a <0时，若|x 1?1|>|x 2?1|，则y 1

而可以解答本题．

本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5.【答案】B

【解析】解：由抛物线的开口向下可得：a<0，

根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b>0，

根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0，

∴abc<0，故①错误；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2?4ac>0，故②正确；

=1，可得b=?2a，

∵直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴，所以?b

2a

由图象可知，当x=?2时，y<0，即4a?2b+c<0，

∴4a?2×(?2a)+c<0，

即8a+c<0，故③正确；

由图象可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0；当x=?1时，y=a?b+c>0，

两式相加得，5a+b+2c>0，故④正确；

∴结论正确的是②③④3个，

故选：B．

根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．

6.【答案】D

【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB//CD，∠A=90°，

∴∠EFD=∠BEF=60°，

∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，

∴∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，

∴∠AEB′=180°?∠BEF?∠FEB′=60°，

∴B′E=2AE，

∴2(3?x)=x ， 解得x =2． 故选：D ．

由正方形的性质得出∠EFD =∠BEF =60°，由折叠的性质得出∠BEF =∠FEB′=60°，BE =B′E ，设BE =x ，则B′E =x ，AE =3?x ，由直角三角形的性质可得：2(3?x)=x ，解方程求出x 即可得出答案．

本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．

7.【答案】B

【解析】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A 、D 一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h 不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h 随t 的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h 不再变化． 故选：B ．

根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度?(cm)与注水时间t(min)的函数图象．

本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．

8.【答案】C

【解析】解：由题意得，

{y =4

x y =x ?1，解得，{x =1+√17

2y =√17?12

或{

x =1?√17

2y =

?1?√172

(舍去)， ∴点P(

1+√172

,√17?1

2)， 即：a =

1+√172，b =√

17?12

，

∴1

a ?1

b =1+1717?1

=?1

4， 故选：C ．

根据函数的关系式可求出交点坐标，进而确定a 、b 的值，代入计算即可．

9.【答案】√2

=√2．

【解析】解：12⊕4=√12+4

√12?4

故答案为：√2．

先依据定义列出算式，然后再进行计算即可．

本题主要考查的是算术平方根的性质，根据定义运算列出算式是解题的关键．

10.【答案】10

【解析】解：连接OA，OB，

∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，

∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，

∵∠ADB=18°，

∴∠AOB=2∠ADB=36°，

=10，

∴这个正多边形的边数=360°

36°

故答案为：10．

连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ADB=36°，于是得到结论．

本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．

11.【答案】②③④

【解析】解：①由二次函数的图象开口向上可得a>0，对称轴在y轴的右侧，b<0，∴ab<0，故①错误；

②由图象可知抛物线与x轴的交点为(1,0)，与y轴的交点为(0,?1)，

∴c=?1，

∴a+b?1=0，故②正确；

③∵a+b?1=0，

∴a?1=?b，

∵b<0，

∴a?1>0，

∴a>1，故③正确；

④∵抛物线与与y轴的交点为(0,?1)，

∴抛物线为y=ax2+bx?1，

∵抛物线与x轴的交点为(1,0)，

∴ax2+bx?1=0的一个根为1，根据根与系数的关系，另一个根为?1

，故④正确；

a

故答案为②③④．

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，然后根据图象判断其值．

12.【答案】30

=120°，

【解析】解：正六边形的每个内角的度数为：(6?2)?180°

6

所以∠ABC=120°?90°=30°，

故答案为：30．

由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．

本题考查了多边形内角和定理．解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数．

13.【答案】1

【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，

根据勾股定理，得AB=5，

如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，

连接OD、OE、OF，

∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，

可得矩形EOFC，

根据切线长定理，得

∴矩形EOFC是正方形，

∴CE=CF=r，

∴AF=AD=AC?FC=3?r，

BE=BD=BC?CE=4?r，

∵AD+BD=AB，

∴3?r+4?r=5，

解得r=1．

则△ABC的内切圆半径r=1．

故答案为：1．

在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理可得AB=5，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，可得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，可得矩形EOFC，再根据切线长定理可得CE=CF，所以矩形EOFC是正方形，可得CE=CF=r，所以AF=AD=3?r，BE=BD=4?r，进而可得△ABC的内切圆半径r的值．

本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．

14.【答案】219

【解析】解：∵B1O=B1A1，B1A1⊥OA2，

∴OA1=A1A2，

∵B2A2⊥OM，B1A1⊥OM，

∴B1A1//B2A2，

A2B2，

∴B1A1=1

2

∴A2B2=2A1B1，

同法可得A3B3=2A2B2=22?A1B1，…，

由此规律可得A20B20=219?A1B1，

=1，

∵A1B1=OA1?tan30°=√3×√3

3

∴A20B20=219，

故答案为219．

利用三角形中位线定理证明A2B2=2A1B1，A3B3=2A2B2=22?A1B1，寻找规律解决问题即可．

本题考查解直角三角形，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．

15.【答案】4√3

3

厘米或4√3厘米或8?4√3

【解析】解：

①当∠ABE=30°时，AE=AB×tan30°=4√3

3

；

②当∠AEB=30°时，AE=

AB

tan30°

=

√3

3

=4√3；

③∠ABE=15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，

设AE=x，则EA′=x，EF=x

sin60°=2√3x

3

，

∵AF=AE+EF=ABtan30°=4√3

3

，

∴x+2√3x

3=4√3

3

，

∴x=8?4√3，

∴AE=8?4√3．

故答案为：4√3

3

厘米或4√3厘米或8?4√3厘米．

根据翻折可得∠ABE=∠A′BE，分3种情况讨论：当∠ABE=30°时或当∠AEB=30°时或当∠ABA′=30°时求AE的长．

本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．

16.【答案】①④

【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．

由对称性可知，OA=OC，OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．

∵反比例函数的图象在一，三象限，

∴直线AC与直线BD不可能垂直，

∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，

故选项①④正确，

故答案为①④，

如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．

本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

17.【答案】1

3

【解析】解：由题意得，阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，

则扇形的弧长为：120π×1

，

180

而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：

2πr=120π×1

，

180

，

解得，r=1

3

．

故答案为：1

3

求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．

18.【答案】2√5?2

【解析】解：如图，连接BE ，BD ．

由题意BD =√22+42=2√5， ∵∠MBN =90°，MN =4，EM =NE ， ∴BE =1

2MN =2，

∴点E 的运动轨迹是以B 为圆心，2为半径的圆， ∴当点E 落在线段BD 上时，DE 的值最小， ∴DE 的最小值为2√5?2． 故答案为2√5?2．

如图，连接BE ，BD.求出BE ，BD ，根据DE ≥BD ?BE 求解即可．

本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

19.【答案】解：(1)设笔记本的单价为x 元，单独购买一支笔芯的价格为y 元，

依题意，得：{2x +3y =19

x +7y =26，

解得：{x =5

y =3

．

答：笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元． (2)小贤和小艺带的总钱数为19+2+26=47(元)．

两人合在一起购买所需费用为5×(2+1)+(3?0.5)×10=40(元)． ∵47?40=7(元)，3×2=6(元)，7>6，

∴他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．

【解析】(1)设笔记本的单价为x 元，单独购买一支笔芯的价格为y 元，根据“小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；