初中数学因式分解常见方法及例题详解

初中因式分解的常用方法及例题详解

一、提公因式法.

如多项式),(c b a m cm bm am ++=++

其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用

)

)((,

)(2),

)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-μ

写出结果．

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bn bm an am +++

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++

=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！

=))((b a n m ++ 思考：此题还可以怎样分组？

此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2

2、1+--y x xy

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：ay ax y x ++-2

2

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=)()(22

ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+ 例4、分解因式：2

222c b ab a -+- 解：原式=2

2

2

)2(c b ab a -+- =2

2

)(c b a -- =))((c b a c b a +--- 注意这两个例题的区别！

练习：分解因式3、y y x x 392

2

--- 4、yz z y x 22

2

2

---

综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-2

2

（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 491262

2-++-

（5）922

34-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--

（7）222y yz xz xy x ++-- （8）12222

2++-+-ab b b a a

（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+

（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 33

33-++

四、十字相乘法.（必须掌握）

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2

q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例5、分解因式：652

++x x

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2

解：652

++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3

=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。 例6、分解因式：672

+-x x

解：原式=)6)(1()]6()1[(2

--+-+-+x x 1 -1 =)6)(1(--x x 1 -6 （-1）+（-6）= -7

练习5、分解因式(1)24142

++x x (2)36152

+-a a (3)542

-+x x

练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102

--x x

（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2

条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2

=))((2211c x a c x a ++ 例7、分解因式：101132+-x x 分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11

解：101132

+-x x =)53)(2(--x x

练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732

+-x x

（3）317102

+-x x （4）101162

++-y y

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：2

21288b ab a --

分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b

1 -16b 8b+(-16b)= -8b

解：2

21288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++ =)16)(8(b a b a -+

练习8、分解因式(1)2

2

23y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)2

26b ab a --

例9、 例10、232

2

+-xy y x

把xy 看作一个整体 1 -1 1 -2 (-1)+(-2)= -3 解：原式=)2)(1(--xy xy

练习9、分解因式：（1）2

2

4715y xy x -+ （2）862

2+-ax x a

综合练习10、（1）1783

6--x x （2）22151112y xy x --

（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2

+--+b a b a

（5）222265x y x y x -- （6）263442

2++-+-n m n mn m

（7）3424422---++y x y xy x （8）2

222)(10)(23)(5b a b a b a ---++

（9）10364422-++--y y x xy x （10）2

222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++

思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2

222 五、主元法.

例11、分解因式：291032

2

-++--y x y xy x 5 -2 解法一：以x 为主元 2 -1 解：原式=)2910()13(2

2

+----y y y x x (-5)+(-4)= -9 2 1 -(5y-2)

1 (2y-1) =)12)(25(-++-y x y x -(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1) 解法二：以y 为主元 1 -1 解：原式=()93(102

2

-++---x x x y y 1 2