第七章解析几何与微分几何SECTION5.
《微分几何》知识点总结
《微分几何》知识点总结微分几何是数学中的一个分支，研究的是空间中曲线和曲面的性质和变化规律。
在微分几何中，我们使用微积分的方法研究曲线和曲面上的切线、法线、曲率等概念，以及它们的几何性质。
下面是微分几何的一些重要知识点总结。
1.曲线的参数表示曲线是一些点的集合，我们可以用参数表示曲线上的点。
常用的参数方程有笛卡尔参数方程和极坐标参数方程。
曲线的切向量是曲线上一点的导数。
2.曲线的切线和弧长曲线的切线是曲线在其中一点的切向量所确定的直线。
曲线的弧长是曲线上两点之间的距离。
我们可以通过弧长参数化来表示曲线。
3.曲线的速度和加速度曲线的速度是表示曲线上一点运动快慢和方向的向量，它的大小是曲线在这一点的切线向量的模，方向是切线的方向。
曲线的加速度是速度的导数。
4.曲线的曲率和挠率曲线的曲率描述了曲线弯曲的程度，它是曲线的切线向量随曲长的变化率。
曲线的挠率描述了曲线的曲率随曲长的变化率，它是曲线的法向量随曲长的变化率。
5.曲率圆和曲率半径曲线的曲率圆是一条与曲线在其中一点相切且切向量方向相同的圆，曲率半径是曲率圆的半径。
6.空间曲线的切线、法线、副法线三向量空间曲线的切线是曲线上一点的速度向量，法线是曲线上一点的加速度向量的单位向量，副法线是切线和法线的叉积向量的单位向量。
7.曲面的参数表示曲面是三维空间中的二维平面，我们可以用参数表示曲面上的点。
常用的参数方程有笛卡尔参数方程和极坐标参数方程。
8.曲面的切平面和法线曲面的切平面是曲面在其中一点的切向量所确定的平面，法线是切平面的法线向量。
9.曲面的曲率和高斯曲率曲面的曲率描述了曲面特定点附近的曲率变化，高斯曲率描述了曲面在其中一点附近的整体几何性质。
10.高斯曲率和平均曲率的关系高斯曲率和平均曲率是曲面上两个重要的曲率指标，它们之间存在一定的关系。
11.第一基本形式和第二基本形式第一基本形式是描述曲面上两个切向量的内积，第二基本形式是描述曲面上一个切向量和一个法向量的内积。
几何的五大模型课件
特性 平行线永不相交。
欧几里得几何的应用
01
02
03
建筑学
欧几里得几何在建筑设计 中广泛应用，如确定建筑 物的位置、方向和尺寸等。
工程学
在机械工程、航空航天和 交通运输等领域，欧几里 得几何用于指导实际物体 的设计和制造。
日常生活
在日常生活中，人们常常 利用欧几里得几何知识解 决实际问题，如测量距离、 计算角度等。
定义
连续性
等价关系
不变性
拓扑几何是研究图形在 连续变形下保持不变的 性质和不变量的几何分支。
拓扑变换是连续的，不 改变图形的基本性质。
同胚的图形被视为等价， 具有相同的拓扑性质。
某些拓扑性质在连续变 形下保持不变。
拓扑几何的应用
网络分析
拓扑几何用于分析网络结构，如 社交网络、互联网等。
数据可视化
通过拓扑结构表示复杂数据，帮 助理解数据内在关系。
欧几里得几何的局限性
现实世界的复杂性
欧几里得几何在描述现实世界的一些 现象时存在局限性，如弯曲的空间、 微观粒子的运动等。
非绝对性
无法解释某些自然现象
在解释一些自然现象，如地壳运动、 电磁波传播等方面，欧几里得几何显 得力不从心。
欧几里得几何基于一些假设和公理， 其绝对性和客观性存在争议。
CHAPTER
对初学者的挑战
解析几何需要较高的数学基础和思 维能力，对于初学者来说可能存在 学习难度。CHAPTER定来自与特性微分几何模型的定 义
微分几何模型是一种使用微积分和线 性代数工具来研究形状、曲线和曲面 几何特性的数学模型。
微分几何模型的特性
微分几何模型强调局部性质，通过研 究曲线和曲面的切线、法线、曲率等 局部几何量来描述物体的形状和运动 规律。
高教社2024高等数学第五版教学课件-7.1 空间解析几何
平面上点的坐标为(, , 0),平面上点的坐标为
(0, , ),平面上点的坐标为(, 0, ).
2.两点间距离公式
类似于平面上任意两点的距离,对于空间直角坐标系中任意
点1 (1 , 1 , 1 ),2 (2 , 2 , 2 )可以推出1 、2 的距离公式为：
→
→
→
→
→
→
( ) = ()
( + ) = +
( + ) →
= →
+→
其中、都是实数.
∘
→
→
→
设 是一个非零向量,常把与 同方向的单位向量记 ,
∘
→
则 =
→
→
,且±
→
→
均是与→
平行的单位向量（同向或反向
的两向量称为平行向量）.
→
= {1 , 1 , 1 }.
例2
→
→ → →
→
→
已知 = {2, −1,3}, = {1,2, −2},求 + , − ,
→
→
3 + 2 .
→
→
解 + = {2 + 1, −1 + 2,3 + (−2)} = {3,1,1},
→
→
− = {2 − 1, −1 − 2,3 − (−2)} = {1, −3,5},
定义2
设→
是一个非零向量,是一个非零实数,则→
与的
乘积仍是一个向量,记作 →
微分几何
第二章曲线的概念4学时
第三章空间曲线12学时
第四章曲面的概念4学时
第五章曲面的第一基本形式8学时
第六章曲面的第二基本形式12学时
第七章直纹面和可展曲面6学时
第八章曲面论的基本定理8学时
第九章曲面上的测地线10学时
第十章常高斯曲率的曲面4学时
如果总课时数少于70，可以只讲授第一至第八章。
第八节高斯曲率的几何意义
教学要求
领会：理解曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等的意义。
掌握：曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念及它们的相关运算。
第一章向量函数4学时第二章曲线的概念4学时第三章空间曲线12学时第四章曲面的概念4学时第五章曲面的第一基本形式8学时第六章曲面的第二基本形式12学时第七章直纹面和可展曲面6学时第八章曲面论的基本定理8学时第九章曲面上的测地线10学时第十章常高斯曲率的曲面4学时如果总课时数少于70可以只讲授第一至第八章
教学目的
引入正则参数曲面，曲面的切平面，切向量，法线，单位法向量等概念，为进一步学习曲面论作好铺垫。
主要内容
第一节简单曲面及其参数表示
第二节光滑曲面曲面的切平面和法线
第三节曲面上的曲线族和曲线网
教学要求
掌握：简单曲面的参数表示；简单曲面及其上面曲线族（网）的特征；曲面的法线、切面的求法。
第五章曲面的第一基本形式
第二节空间曲线的基本三棱形
第三节空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式
第四节空间曲线在一点邻近的结构
解析几何中的微分几何和曲率
解析几何中的微分几何和曲率近代数学发展的一个重要方向是微积分学，它解决了许多几何问题，同时也产生了许多新的几何问题。
其中微分几何和曲率是被广泛研究的两个重要课题。
一、微分几何微分几何研究的对象是曲面及其上的曲线、切向量、法向量等各种概念。
在微分几何中，微分形式是最为重要的基础工具。
微分形式是刻画曲面上各种微小变化的代数表达式，比如长度、曲率等，是微分几何中的核心概念。
在微分几何中，还有一个非常重要的概念是流形。
流形可以理解为是一个具有很强几何性质的空间。
流形的微分结构是指流形上定义的可微分函数和可微分向量场，从而得到了微分几何的数学框架。
二、曲率曲率是微分几何中的一个重要指标，它描述的是曲面的弯曲程度。
曲率在一定程度上反映了曲面的几何性质，是微分几何中的关键概念之一。
曲率可以分为高斯曲率和平均曲率。
高斯曲率是描述曲面在某个点处的弯曲性质的指标，它是曲面上所有法向量在该点的内积的乘积。
平均曲率是描述曲面在某个点处的偏斜程度的指标，它是曲面上所有法向量的长度之和除以曲面上的点数。
曲率是一种局部性质，它依赖于曲面在某个点的局部情况。
在实际应用中，我们通常需要估算曲面的整体几何性质，这就需要引入全曲率和平均全曲率这两个综合指标。
全曲率是曲面上所有法向量的点积之和，平均全曲率则是全曲率除以曲面上的点数。
三、应用微分几何和曲率理论在许多领域都有广泛的应用。
比如，在计算机图形学中，我们可以利用微分几何和曲率理论来建立三维几何模型；在工程领域中，微分几何和曲率理论可以用来优化表面形状设计，从而提高产品的质量和效率。
除此之外，微分几何和曲率理论还可以被用于建立地图、地形建模、机器人运动控制、物理仿真等领域。
这些应用都需要建立一个高效的数学模型，而微分几何和曲率理论恰恰提供了这样的数学基础。
总之，微分几何和曲率理论是现代数学中的重要分支，它们为人类社会带来了众多的实际应用，同时也推动了数学学科的发展。
微积分与解析几何
微积分与解析几何微积分和解析几何是数学中两个重要的分支，本文将介绍它们的基本概念、历史发展以及它们之间的关系。
下面是本店铺为大家精心编写的5篇《微积分与解析几何》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《微积分与解析几何》篇1一、微积分的基本概念微积分是研究函数变化的数学分支。
它的基本概念包括导数和积分。
导数表示函数在某一点处的变化率，可以用来描述函数的斜率、速度和加速度等。
积分则表示函数在某一区间内的总量，可以用来描述函数下面的面积、体积和长度等。
二、解析几何的基本概念解析几何是研究几何图形的数学分支。
它的基本概念包括向量、矩阵和坐标系等。
向量可以用来描述几何图形中的点、线和面，矩阵则可以用来描述向量的变换，坐标系则用来表示几何图形在空间中的位置和方向。
三、微积分和解析几何的关系微积分和解析几何有着密切的关系。
微积分中的导数和积分可以用来描述几何图形中的斜率、面积和体积等几何量，而解析几何中的向量和矩阵则可以用来描述微积分中的函数和导数等数学量。
例如，我们可以用微积分中的导数来求解几何图形中的切线斜率和法线斜率，用积分来求解几何图形中的面积和体积等。
同时，我们也可以用解析几何中的向量和矩阵来描述微积分中的函数和导数等数学量，例如用向量来表示函数的梯度，用矩阵来表示函数的雅可比矩阵等。
四、微积分和解析几何的应用微积分和解析几何在各个领域都有着广泛的应用。
例如，在物理学中，微积分和解析几何可以用来描述运动的速度和加速度，求解物体的面积和体积等。
在工程学中，微积分和解析几何可以用来求解机械系统的力学特性和热力学特性等。
在计算机图形学中，微积分和解析几何则可以用来描述三维图形的形状和运动等。
总之，微积分和解析几何是数学中两个重要的分支，它们在各个领域都有着广泛的应用。
《微积分与解析几何》篇2微积分和解析几何是数学中的两个重要分支。
解析几何主要是用坐标和向量的方法研究几何问题，包括曲线和曲面的坐标表示和向量表示。
解析几何课件(吕林根 许子道第)
有向线段的方向表示向量的方向.
有向线段的长度表示向量的大小,
下一页
模为1的向量.
所有的零向量都相等.
零向量：
模为0的向量.
单位向量：
或
定义1.1.2 如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量.记为
＝
定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量.
上一页
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必有
一、平面的点法式方程
下一页
返回
平面的点法式方程
已知点
返回
5.5 二次曲线的主直径和主方向
5.7 应用不变量化简二次曲线方程
§1.1 向量的概念
定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量.
向量(矢量)既有大小又有方向的量.
向量的几何表示：
| |
向量的模：
向量的大小.
或
或
两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量;
e3
.
,
,
3
2
1
这时
e
e
e
.
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
3
2
1
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
关系式
线性表示的
，
，
用
先求
取不共面的三向量
就可以了
三点重合
下只需证
两组对边中点分别为
其余
它的中点为
线为
的连
的中点
对边
一组
设四面体
证
e
e
《微分几何》PPT课件
3点到平面的距离：
点M 0 x0 , y0 , z0 到平面Ax By Cz D 0的距离
d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C 2
结论：
平面
1：A1x B1 y C1z D1 0 2：A2 x B2 y C2 z D2 0
1 // 2
n1 // n2
n A, B, C为平面的法向量 , D 0平面过坐标原点,A=0
平面过x轴,A B 0平面平行于xoy面.
2 两平面的夹角
1：A1x B1 y C1z D1 0
2：A2 x B2 y C2 z D2 0
cos n1 n2
n1 n2
A1 A2 B1B2 C1C2 A12 B12 C12 A22 B22 C22
椭
球
面：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
y
o x
z
椭圆抛物面：
x2 a2
y2 b2
2z
y
o
x
双曲抛物面：- x2 a2
y2 b2
2z
单叶双曲面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面：x2 y2 z 2 1 a2 b2 c2
二
次
锥面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
0
z
o x
z
o x
a b a b sin a b
a b的方向垂直于 a与 b决定的平面，a b的指向 按右手规则，从 a转向 b，大拇指的指向即 a b 的方向.
i jk a b ax ay az
bx by bz
aybz azby i azbx axbz j axby aybx k
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r y
2 2
x y
2
r x
X———，y
x y
反演具有性质：
不通过反演中心的一条直线变为通过反演中心的一个圆 通过反演中心的圆变为不通过反演中心的直线.
通过反演中心的一条直线变为它自己.不通过反演中心的圆变为不通过反演中心的圆.
反演圆变为它自己.
与反演圆正交的圆变为它自己，其逆也真.
如果两条曲线C1,C2交于一点M，则经过反演后的曲线
方程与图形
公式与说明
两个圆的交角
Cix2+y2+2mix+2niy+qi= 0
C2x2+y2+2m2X+2n2y+q2= 0
两个圆的交角是指它们在交
cos
2m1m22门小2q1q2
22［「2 2
niqivm2n?q?
CCi+C2= 0(为参数)或(+1)(x2+y2)+2( mi+ +
m2)x
2(ni+ n2)y+(qi+q2)= 0
［圆的方程、圆心与半径］
方程与图形
x2+y2= R2
x Rcost
y Rs int
（参数方程，t为动径OM与X轴正方向的夹角）
(x a)2+(y
或x a
y b
(参数方程，
b)2= R2
Rcost
Rsi nt
t为动径
OM
与x轴正方向的夹角)
2 2
x+y+2mx+2ny+q= 0
2 , 2 .
m+n > q
从点P作两个圆Ci和C2的切线，具有相等切线长 的点P的轨迹就是根轴.两个同心圆的根轴是从公共 圆心到无穷远处的直线.三个圆中每对圆的根轴（共 三个）交于一点，它称为根心.若三个圆心共线，则其 根心在无穷远处.
(c)
［反演］设C为一定圆，O为圆心，r为半径(图7.1)，对平面上任一点M，有一点M与它对 应.使得满足下列两个条件：
（a）如果Ci和C2相交于两点Mi,M2，则束中一 切圆都通过两交点Mi,M2，它们的根轴就是它 们的公共弦.这时圆束称为共轴圆系（图（a））.
（b）如果Ci和C2切于一点M，则束中一切圆都在 一点M相切，根轴就是在点M的公切线（图（b））.
（C）如果Ci和C2不相交，则束中一切圆都不相交， 根轴也与圆束中一切圆都不相交（图（C））.
Ci, C2必交于M的反演点
如果两条曲线Ci, C2在一点M相切，则经过反演后的曲线C1,C2必在M的反演点
M相切.
9两条曲线的交角在反演下是不变的.由此可见，反演是一个保角变换.
椭圆
1.椭圆的基本元素
主轴(对称轴)长 短
AB2a(a b 0)
CD 2b
占
八\、 椭圆中心 隹i)O, M, M共线，
(ii)OM OM=r2，
这种点M称为点M关于定圆C的反演点，C称为反演圆，O称为反演中心，r称为反演半径.由于M和M的关系是对称的，所以M也是M的反演点.因r2> 0，所以M和M都在O的同侧.M和M之间的对应称为关于定圆C的反演.
取O为原点，则一切反演点M(x, y)和M x,y)的对应方程为
根轴方程为2(mi-m2)x+2(ni-
2伽
式中 表示两个圆Ci和C2的交角，因为公式中不包 含交点的坐标，所以在两交点的两交角必相等.
两个圆Ci和C2正交条件为
2mim2+2nin2-qi-q2= 0
对（-I）的一个确定值，C表示一个圆.当 取 一切值（-I）时，C所表示的圆的全体，称为圆束.
=-I时，为一直线，称为两个圆Ci和C2的根轴.根 轴与Ci和C2的连心线垂直，束中任一圆C的圆心 在Ci和C2的连心线上，且分连心线的比等于.
径与长轴的夹角（锐角）分别为和，则
ai2+bi2=a2+b2
6椭圆上任一点M的焦点半径之积等于它的对应半共轭直径的平方.
7设MM,NN为椭圆的两共轭直径，通过M, M分别作直线平行于NN;又通过N, N分
别作直线平行于MM，则这四条直线构成的平行四边形的面积为一常数4ab（图7.5）.
4.椭圆各量计算公式
2
+2 (mcost+n sint)+q
=0 (极坐标方程)
2
20cos(0)
=R2(极坐标方程)
§5二次曲线
圆心与半径
圆心
半径
G(0,0)
r=R
02
圆心
半径
圆心
半径
圆心
半径
G(a, b)
r = R
G(-m, n)
G(0,0)
r = R
2 2
x2+y2= 2Rx或=2Rcos
(极坐标方程)
圆心
半径
G(R, 0)
r = R
2 2
x2+y2= 2Ry
或=2Rsin
（极坐标方程）
圆心
半径
G(0,R)
r = R
［圆的切线］圆x2+y2=R2上一点M(x0, y0)的切线方程为
X0X+y0y=R2圆x2+y2+2mx+2ny+q= 0上一点M(x0, y0)的切线方程为
X0X+y0y+m(x+X0)+n(y+y0)+q= 0［两个圆的交角、圆束与根轴］
F1, F2
F1F22c, c
-1
a
£,21
a
b2
—（等于过焦点且垂直于长轴的弦长之半，即F1H）
a
线MN把内角（即/F1MF2）平分（图7.3）.
如果椭圆的切线（MT）的斜率为k,则其方程为
式中正负
5椭圆的任一直径把平行于其共轭直径的 弦平分（图7.4）
如果两共轭直径的长分别为2a1和2b1,两直
2x
2a
算公式
［曲率半径］
R
3
(叩2尸
P
ab sin3
式中r1, r2为焦点半径,p为焦点参数,角•特别，顶点的曲率半径
b2
RaRbP—
a
为点M(x, y)的焦点半径与切线的夹
［弧长］
x
“arccos22_
^= aaJ1 e cos t dt
0
a2,,arcsi n_
xl1
2 2
e sin t dt