线性代数[第三章n维向量]山东大学期末考试知识点复习

第3章 n维向量

一、n维向量的概念

1．n维向量的定义

由n个数a1，a2，…，a n所组成的一个有序数组α=(a1，a2，…，a n)称为一个n维向量，其中第i个数ai称为向量α的第i个分量(i=1，2，…，n)．向量常用希腊字母α，β，γ，…来表示，其分量常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示．

2．零向量

所有分量都是零的向量称为零向量．

3．负向量

向量α中的每个分量都变号后得到的向量，称为α的负向量，记为-α．4．向量相等

两个向量相等的充要条件是它们的对应分量相等．

二、向量的线性运算

1．向量的加法

设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，定义α+β为这两个向量的对应元素相加所得到的向量，即α+β=(a1+b1，a2+b2，…，a n+b n)，并称其为向量的加法．

2．数与向量的乘法

设α=(a1，a2，…，a n)，k∈R，则kα=(ka1，ka2，…，ka n)

3．向量的减法

设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，则

α-β=(a1-b1，a2-b2，…，a n-b n)．

4．向量的线性运算

向量的加法以及数与向量的乘法称为向量的线性运算．向量的线性运算满足

以下八条运算规律：

(1)α+β=β+α；(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)；

(3)α+θ=α；(4)α+(-α)=θ；

(5)1.α=α；(6)(kl)α=k(lα)；

(7)k(α+β)=kα+kβ；(8)(k+l)α=kα+lα

三、向量的线性组合

1．向量的线性组合的定义

设β，α1，α2，…，αn是一组m维向量，如果存在数k1，k2，…，k n使得关系式β=k1α1+k2α2+…+k nαn成立，则称卢是向量组α1，α2，…，αn的线性组合，或称β可由向量组α1，α2，…，αn线性表示．

2．几个常用结论

(1)零向量可由任意同维向量组线性表示；

(2)向量组中的任一向量可由该向量组线性表示；

(3)任一n维向量α=(a1，a2,…，a n)都可由n维单位向量组ε1，ε2，…，ε

线性表示，且α=a1ε1+a2ε2+…+a nεn．

n

四、向量组的等价

1.定义

设有两个向量组

α1，α2，…，αm，(1)

β1，β2，…，βn．(2)

若向量组(1)中每个向量可以由向量组(2)线性表示，则称向量组(1)可由向量组(2)线性表示．若向量组(1)与向量组(2)可互相线性表示，则称两向量组等价，记作

{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}．

2．向量组的等价性质

向量组的等价满足反身性、对称性、传递性．

五、向量组线性相关与线性无关

1．定义

设α1，α2，…，αn为n个m维向量，如果存在一组不全为零的数k1，k2，…，k n，使得k1α1+k2α2+…+k nαn=θ成立，则称向量组α1，α2，…，αn线性相关；否则，称向量组α1，α2，…，αn线性无关．

线性无关的几种等价定义：

(1)对任意一组不全为零的数k1，k2，…，k n，都有k1α1+k2α2+…+k nαn≠

θ

(2)k1α1+k2α2+…+k nαn=θ当且仅当k1，k2，…，k n全为零．

2．几个常用结论

(1)由一个向量α构成的向量组线性相关的充要条件是α=θ．

(2)由两个向量构成的向量组线性相关的充要条件是其对应分量成比例．

(3)含有零向量的任一向量组线性相关．

(4)若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组线性相关；反之，若一个向量组线性无关，则它的任一部分组都线性无关．我们可把这个结论简单地记为“部分相关，整体相关；整体无关，部分无关”．

(5)一个线性无关的向量组中的每个向量按相同的位置随意增加一些分量所得到的高维向量组仍线性无关．

逆否命题：一个线性相关的向量组中的每个向量按相同的序号划去一些分量所得的低维向量组仍线性相关．

(6)n维向量组α1，α2，…，αn线性无关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)≠0；

n维向量组α1，α2，…，αn线性相关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)=0．

(7)向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余s-1个向量的线性组合．

(8)若向量组α1，α2，…，αs线性无关，而α1，α2，…，αs，β线性相关，则向量β可由向量组α1，α2，…，αs线性表示，且表示法惟一．

(9)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表示，且s>t，则向量组α1，α2，…，αs线性相关．

逆否命题：若向量组α1，α2，…，αs线性无关，且可由向量组β1，β2，…，βt线性表示，则s≤t．

(10)m个n维向量组(m>n)必线性相关．

(11)两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量．

六、向量组的极大线性无关组

1．极大线性无关组的概念

向量组α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs的部分组α1，α2，…，αr是极大无关组

⇔(1)α1，α2，…，αr线性无关；

(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中每个向量可由α1，α2，…，αr 线性表示．

⇔(1)α1，α2，…，αr线性无关；

(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中任意r+1个向量线性相关．

2．关于极大线性无关组的常用结论

(1)含非零向量的任一向量组一定存在极大无关组．

(2)线性无关向量组的极大无关组是其自身、．

(3)任何向量组均与其极大无关组等价．

(4)一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量．

七、向量组的秩

1．向量组的秩的定义

向量组α1，α2，…，αs的任一极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为r(α1，α2，…，αs)．

2．关于向量组的秩的常用结论

(1)对任何向量组α1，α2，…，αs均有0≤r(α1，α2，…，αs)≤s；

(2)向量组α1，α2，…，αs线性无关⇔r(α1，α2，…，αs)=s；

(3)向量组α1，α2，…，αs线性相关⇔r(α1,α2，…，αs)

(4)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表示，则r(α1，α2，…，αs)≤r(β1，β2，…，βt)．

特别地，若两向量组等价，则它们的秩相同；反之不真．

(5)若向量组的秩为r，则其任何含r个向量的线性无关的部分组都是其极大线性无关组．