概率论与数理统计初步(第一节随机事件与概率)

第七章 概率论与数理统计初步

第一节 随机事件与概率

1．1 随机试验与随机事件

1．随机现象与随机试验

自然界和社会上发生的现象是多种多样的。有一类现象在一定的条件下必然发生或必然不发生，称为确定性现象。例如，沿水平方向抛出的的物体，一定不作直线运动。另一类现象却呈现出非确定性。例如，向地面抛一枚硬币，其结果可能是“正面向上”，也可能是“反面向上”。又如在有少量次品的一批产品中任意地抽取一件产品，结果可能抽得一件正品，也可能是抽得一件次品。这类现象可看作在一定条件下的试验或观察，每次试验或观察的可能结果不止一个，而且在每次试验或观察前无法事先知道确切的结果。人们发现，这类现象虽然在每次试验或观察中具有不确定性，但在大量重复试验或观察中，其结果却呈现某种固定的规律性，即统计规律性，称这类现象为随机现象。概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。

定义1 在概率统计中，我们把对随机现象的一次观测称为一次随机实验，简称试验。概率论中研究的试验具有如下特点：

（1）可以在相同的条件下重复进行；

（2）每次试验的结果具有多种可能，并且事先能明确试验的所有可能结果；

（3）每次试验之前不能确定该次试验将出现哪种结果。

例1 掷一枚均匀 了，观察出现的点数。试验的所有可能的结果有6个：出现点1，出现点2，出现点3，出现点4，出现点5，出现点6。分别用1，2，3，4，5，6表示。

例2 将一枚均匀的硬币抛掷两次，观察出现正面、反面的情况。试验的所有可能结果有4个：两次都出现正面，两次都出现反面，第一次出现正面而第二次出现反面，第一次出现反面而第二次出现正面。分别用“正正”、“反反”、“正反”、“反正”表示。

2．随机事件

在随机试验中，每一个可能的基本结果称为这个试验的一个基本事件。全体基本事件的集合称为这个试验的样本空间，记为Ω。在例1中，该随机试验有6个基本事件，分别为1，2，3，4，5，6，故该试验的样本空间}6,5,4,3,2,1{=Ω。例2中的样本空间Ω= {“正正”，“反反”，“正反”，“反正”}。

在随机试验中，每一个可能的结果称为随机事件，简称事件，它是由随机试验的样

本空间Ω中的部分基本事件组成的集合，常用大写字母A 、B 、C 等表示。如在例1中 “出现奇数点”就是一随机事件，它是由3个基本事件1，3，5所组成的Ω的一子集。显然，任何试验的每一个基本事件都是随机事件，它们是最简单的随机事件，而一般的随机事件是由若干个基本事件组成的。在一次试验中，一个随机事件可能发生也可能不发生。在每次试验中，当且仅当组成随机事件的若干个基本事件中的一个基本事件发生时，称该随机事件发生。例如，在例2中，随机事件“两次出现的面不同”在一次试验中可能发生也可能不发生，当且仅当组成它的两个基本事件“反正”和“正反”中的一个发生时，则“两次出现的面不同”这一随机事件在这次试验中发生了。

有两种极端的情况：一是由样本空间Ω中的所有元素即全体基本事件组成的集合，称为必然事件，通常用Ω表示，它在每次试验中是一定会发生的；另一种是不含任何基本事件的空集合，称为不可能事件，通常用Φ表示，它在每次试验中一定不会发生。

在概率论中，我们是通过随机试验中的随机事件来研究随机现象的。

3．事件间的关系与运算

由于事件是样本空间的某种子集，所以事件之间的关系和运算与集合的关系和运算是完全相同的。

设随机事件E 的样本空间为Ω，A 、B 、)2,1(Λ=i A i 是E 的事件。

（1）事件的包含与相等

若事件A 的发生必然导致事件B 发生，则称事作B 包含事件A ，记为B A ?。显然有,A A ???Ω。

事件间的包含关系如图1.1所示。

若B A ?且A B ?，则称事件A 与B 相等，记为B A =。

（2）事件的和（或并）

事件A 与事件B 至少有一个发生所构成的事件称为事件A 与B 的和事件，也称为事件A 与B 并，记为B A ?。事件A 与B 的和事件B A ?如图1.2阴影部分所示。

B A ? 图1.2

,事件n A A A Λ,,21中至少有一个发生所构成的事件称为n A A A Λ,,21这 n 个事件的和事件(或并)，记为Y Λn

i i n A A A A 121==???。

（3）事件的积（或交）

事件A 和B 同时发生所构成的事件称为事件A 与事件B 的积事件，也称为它们的交。

记为B A I （或AB ）。事件A 与事件B 的交如图1.3阴影部分所示。

一般地，推广到 n 个事件，事件n A A A Λ,,21同时发生所构成的事件称为n A A A Λ,,21这 n 个事件的积事件（或交），记为I I ΛI I n

i i n A A A A 121==。

B A - B A I

图

1.3

图1.4 （4）事件的差

若事件A 发生，而事件B 不发生所构成的事件，称为事件A 与事件B 的差，记为B A -。事件A 与事件B 的差如图1.4所示.

（5）互不相容（互斥）事件

若事件A 和B 的积是不可能事件，即有φ=AB ，则称事件A 与事件B 互不相容，或称为互斥事件。如图1.5所示。

一般地，若n 个事件n A A A Λ,,21中任意两个事件都互不相容，那么称这n 个事件是两两互不相容的，记为)(j i A A j i ≠Φ=。

A B =

图1.5 图1.6

（6）对立事件

若事件A 和B 的和事件是必然事件，即Ω=B A Y ，并且事件A 和B 的积事件是不可能事件，即Φ=AB ，则称事件A 和B 是对立事件，或称互补事件，记为B A =或A B =。如图1.6所示。

显然，事件A 的补事件A 就是从必然事件Ω中减去事件A 的差事件，即A A -Ω=。 由以上定义，显然可知，两个互为对立的事件一定是互不相容的，反之不一定成立。

4．事件运算的性质

设A 、B 、C 是同一随机试验E 的事件，那么满足下列性质：

性质1 交换律 A B B A Y Y =，BA AB =；

性质2 结合律 )()(C B A C B A Y Y Y Y =，)()(BC A C AB =；

性质3 分配律 AC AB C B A Y Y =)(，))((C A B A BC A Y Y Y =

性质4 德摩根律（对偶律）B A B A =Y ，B A AB Y =

性质5 对立律 Ω=+A A ，Φ=A A 。

例3 掷一骰子的试验E ，观测出现的点数：以事件A 表示“偶数点数”，事件B 表示“小于4的奇数点数”，事件C 表示“大于2的点数”，用集合语言表示下列事件：

C A B A BC C B B A C B A Y Y ,,,,,,,,-Ω

解 根据题意知

}6,5,4,3,2,1{=Ω， }6,4,2{=A ，}3,1{=B ，}6,5,4,3{=C

},6,4,3,2,1{=B A Y }1{=-C B ， }3{=BC ，}3,1{=B A ，

}6,5,4,3,1{=C A Y

例4 随机地抽取三件产品，设A 表示“三件产品中至少有一件是废品”，B 表示“三件中至少有两件是废品”,C 表示“三件都是正品”，问A ，B ，C A +，AC ，B A -各表示什么事件？

解 A =“三件都是正品”； B =“三件产品中至多有一件废品”；

C A +=Ω（必然事件）；

Φ=AC （不可能事件）；

B A -=“三件中恰有一件废品”。

例5 向目标射击两次，用A 表示事件“第一次击中目标”，用B 表示事件“第二次击中目标“，试用A 、B 表示下列各个事件：

（1）只有第一次击中目标； （2）仅有一次击中目标；

（3）两次都未击中目标； （4）至少一次击中目标。

解 显然，同题意可得：A 表示第一次未击中目标，B 表示第二次未击中目标。

（1）只有第一次击中目标隐含着第二次未击中目标，因此表示为B A 。

（2）仅有一次击中目标意味着第一次击中目标而第二次未击中目标或者第一次未击中目标而第二次击中目标，因此表示为B A B A Y 。

（3）两次都未击中目标显然可以表示为B A 。

（4）至少一次击中目标包括只一次击中目标或两次都击中目标，因此可以表示为AB B A B A Y Y 或B A Y 。

1．2 随机事件的概率

1 频率

定义2 对于事件A ，若在n 次试验中，事件A 发生的次数为n μ，则称

n

A A F n n 试验总次数发生的次数事件μ=)( 为事件A 在n 次试验中发生的频率，n μ称为事件A 在n 次试验中的频数。

容易理解，频率反映了事件A 在一次试验中发生的可能性的大小，频率大，则事件A 在一次试验中发生的可能性大；频率小，则事件A 在一次试验中发生的可能性小。

从频率的定义可看出频率具有下列性质：

（1）非负性：0≤)(A F n ≤1；

（2）规范性：1)(=Ωn F ；

（3）可加性：若Φ=AB ，则)()()(B F A F B A F n n n +=Y 。

若n A A A Λ,,21是E 中两两互不相容事件，即有)(j i A A j i ≠Φ=，则

)()()()(2121n n n n n n A F A F A F A A A F +++=ΛY ΛY Y 。

当试验次数不多时，频率)(A F n 具有随机性。当试验次数增多时，事件A 的频率就会呈现出稳定的趋势；而当试验次数充分大时，事件A 的频率将在一个确定的常数附近作微小的摆动，这就是频率的稳定性。频率的稳定性揭示了随机现象中的规律性即统计规律性。

2．概率

频率的稳定性说明事件在一次试验中发生的可能性大小是事件本身所固有的，因此，我们可以对这种可能性的大小进行度量，为此引进概率的概念。

定义3 对于事件A ，用一个数)(A P 来度量该事件发生的可能性的大小，这个数)(A P 称为事件A 的概率。

概率)(A P 是怎样规定的呢？我们首先介绍概率的统计定义，然后再介绍概率的古典定义。

定义4 在同样条件下进行大量的重复试验，当试验次数充分大时，事件A 发生的频率必然稳定在某一确定的数p 附近，则P 称为事件A 的概率，记为)(A P ，即有p A P =)(。

以上定义称为事件概率的统计定义。根据此定义和频率的有关性质可知概率具有以下性质：

性质1 0≤)(A P ≤1；

性质2 1)(=ΩP ；

性质3 0)(=ΦP ；

性质4 若事件A 与事件B 互不相容，则)()()(B P A P B A P +=Y 。

这一性质可以进行推广：设n A A A Λ,,21为两两互不相容的n 个事件，则

)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=ΛY ΛY Y

称以上性质为概率的有限可加性。

性质5 对事件A 及其对立事件A ，有)(1)(A P A P -=。

性质6 设A ，B 为两个事件，则有)()()()(AB P B P A P B A P -+=Y 。

称上述性质为概率的加法公式。

性质7 设A ，B 为两个事件，若B A ?，则有

)()()(A P B P A B P -=-，)(A P ≤)(B P

3．古典概型

现在我们考虑一类特殊的试验，它具有下面两个特征：

（1）试验的样本空间中的元素只有有限个，即基本事件的数目有限；

（2）试验中的每个基本事件发生的可能性相同。

上述两个特征分别称为有限性和等可能性，具有这两个特征的随机试验称为古典概型。 如前面的例1，它的样本空间}6,5,4,3,2,1{=Ω，而出现每个点数的可能性都是61，因此它是一个古典概型。又如抛一枚均匀的硬币，它的基本事件为两个：“正面向上”和“反面向上”，而且每个事件发生的可能性都是2

1，故它也是一个古典概型。 定义5 设古典概型样本空间所包含的基本事件总数为n ，事件A 所包含的基本事件数为m ，则事件A 的概率为n

m A P =)(。 根据定义，要计算古典概型事件A 的概率，必须知道样本空间所包含的基本事件数以及事件A 所包含的基本事件数。

例6 作一随机试验E ：“将一枚均匀的硬币掷三次”，观察正、反面出现的情况。求

（1）写出E 的样本空间；

（2）设事件A 为“恰有一次出现正面”，求)(A P ；

（3）设事件B 为“至少有一次出现反面”，求)(B P 。

解 显然，抛硬币三次，出现的正、反面共有以下八种情形。

设H 表示出现正面，T 表示出现反面，则

（1）E 的样本空间为

)}

,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(T T T H T T T H T H H T T T H H T H T H H H H H =Ω （2）“恰有一次出现正面”的事件A =)},,(),,,(),,,{(H T T T H T T T H ，此时8=n ，

3=m ，故有8

3)(==n m A P 。 （3）“至少有一次出现正面”的事件

)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(H T T T H T T T H H H T H T H T H H H H H B = 此时8=n ，7=m ，故有8

7)(==n m B P 。 另外，)(B P 也可以用以下方法求解：事件)},,{(T T T B =，因此有81)(=

B P ，由概率的性质5可知，)(B P =8

7)(1=-B P 。 例7 袋中装有4个红球，2个蓝球，从中任取2个球，计算取出2个球都是红球的概率。

解 设A 表示“从袋中取出2个球都是红球”的事件。

该试验的基本事件总数1526==C n ，事件A 所包含基本事件个数624==C m ，故出古典概率公式可知5

2)(==n m A P 。 例8 展览会工作人员将只手表排成一排放入橱窗内，已知其中3只是同一表厂生产的，求此3只表恰排在一起的概率。

解 设事件A 表示“某厂生产的3只表恰排在一起”。

在该试验中，8只表的每一种排列构成一个基本事件，故基本事件总数!888==P n .

当某厂3只表排在一起，把它们作为1只表与其余5只表一起当作6只表进行排列，

种数为!666=P ；而放在一起的3只表又可作全排列，其种数为33P 。因此，A 所包含的基

本事件数3366P P m ?=。所以

283)(88

3366=?==P P P n m A P 。 1.3 条件概率

1. 条件概率

在试验E 中，设A ，B 是E 的事件。前面考虑的都是事件A 和事件B 的概率，此外，有时还要考虑在事件B 已经发生的条件下，事件A 发生的概率。这种概率称为事件A 在事件B 已经发生条件下的条件概率，记为)|(B A P 。

例如，掷两颗骰子，记A =“出现点数之和≤4”，B =“出现成对偶数点”，试求：

（1）事件A 的概率；

（2）事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。 显然6

1)(=A P 。 事件B 发生，表示可能出现的结果是（2，2）、（4，4）、（6，6）三种，其中属于A 的只有一种情况，即出现（2，2），所以

3

1)|(=B A P 。 因此，)()|(A P B A P ≠，并且)(A P ，)(AB P ，)|(B A P 这三者显然有以下关系

)|(B A P =3

136

3361

)()(==B P AB P 。 容易验证，对一般的古典概型，只要0)(>B P ，)

()()|(B P AB P B A P =

这个等式总是成立的，这启发我们引入下面的一般的条件概率的定义。

定义6 设B A ,为两个事件，且0)(>B P ，称 )

()()|(B P AB P B A P = 为在事件B 已发生的条件下，事件A 发生的条件概率。

例9 有一批灯泡，共32个，其中有27个是合格品，有25个是甲厂生产的。在甲厂生产的25个灯泡中有21个是合格品。现在从32个灯泡中随机地取一个，如果已知取得的灯泡是甲厂生产的，求它是合格品的概率。

解 设A =“取得合格品”，B =“取得甲厂产品”，则AB =“取得产品既是甲厂生产的又是合格品”，于是有

3227)(=A P ，3225)(=B P ，32

21)(=AB P 。 而所求概率相当于从甲厂生产的25个灯泡中随机取一个为合格品的概率，即B 发生的条件下事件A 发生的条件概率，因此所求概率为

25

21)()()|(==B P AB P B A P 例10 某地区气象资料表明，邻近的甲、乙两城市中的甲市，全年雨天比例为12%；乙市全年雨天的比例为9%；两市中至少有一市为雨天的比例为16.8%。试求下列事件的概率：

（1）在甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天；

（2）在乙市为雨天的条件下，甲市也为雨天；

（3）在乙市无雨的条件下，甲市也无雨。

解 设A =“甲市为雨天”，B =“乙市为雨天”。于是

12.0)(=A P ，

09.0)(=B P ，

168.0)(=B A P Y ，

由概率的性质6（加法公式）得

042.0168.009.012.0)()()()(=-+=-+=B A P B P A P AB P Y 。

（1）35.012

.0042.0)()()|(===A P AB P A B P ； （2）467.009

.0042.0)()()|(===B P AB P B A P ； （3）9143.009.01168.01)()()()()|(=--===

B P B A P B P B A P B A P Y 。 2．乘法公式

若0)(>B P ，由条件概率定义，可得

)()|()(B P B A P AB P =，

上式称为事件概率的乘法公式。同样，若0)(>A P ，也有

)()|()(A P A B P AB P =。

例11 设在一盒子在装有4全蓝色球和6个红色球，取球两次，一次取1个，取后不放回，问两次都取到红球的概率是多少？

解 设事件A =“第一次取到红球”，B =“第二次取到红球”，则所求概率为)(AB P 。 因为 6.0106)(==A P ，9

5)|(=A B P ， 所以由乘法公式可得：31)()|()(=

=A P A B P AB P 。 3．独立性

设A ，B 是两个事件，若0)(>A P ，可以定义)|(A B P 。若A 的发生对B 发生的概率有影响，则)()|(B P A B P ≠。若A 的发生对B 发生的概率没有影响，则)()|(B P A B P = 。下面看一个例子。

例如抛掷两枚均匀的硬币，观察正反面出现的情况。用A 表示事件“第一枚硬币出现正面”，B 表示事件“第二枚硬币出现正面”。该试验的样本空间

Ω ={正正，反反，正反，反正}，

容易得到

5.042)(==A P ，5.042)(==B P ，5.02

1)|(==A B P 这时有)()|(B P A B P =。由题意可以看出，第二枚硬币是否出现正面的概率与第一枚硬币是否出现正面没有关系，所以事件A ，B 之间互不影响，称A 与B 相互独立。

当)()|(B P A B P =时，容易得到

)()()|()()(B P A P A B P A P AB P ==。

我们可以使用以上关系式来定义两个事件相互独立。

定义7 设A ，B 是两个事件，如果满足

)()()(B P A P AB P =

则称事件A 与事件B 相互独立。

对于相互独立的两个事件A ，B ，有以下重要性质：

定理1.1 若事件A 与B 相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也相互独立。

例12 甲、乙两门高射炮同时向一敌机开炮，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.8，求敌机被击中的概率。

解 设A =“甲击中敌机”，B =“乙击中敌机”，C =“敌机被击中”，根据题意，可以认为A 与B 相互独立，且B A C Y =。以下我们采用两种不同的方法求)(C P ：

（1）由概率的加法公式以及A 与B 的独立性，可得

)()()()()(AB P B P A P B A P C P -+==Y

)()()(AB P B P A P -+=

92.08.06.08.06.0=?-+=

（2）根据概率的对偶公式和定理1.1可得

)(1)(1)()(B A P B A P B A P C P -=-==Y Y

92.0)8.01)(6.01(1)()(1=---=-=B P A P

习题一

1．思考下列问题：

（1）事件的对立与互不相容有何异同？试举例说明。

（2）一个随机试验的基本事件的构成是否唯一？为什么？

（3）从()()P A P B ≤，能否得到A B ?？

2．写出下列随机试验的样本空间：

（1）将一枚均匀的硬币抛掷3次，观察出现正反面的情况；

（2）将一枚均匀的硬币抛掷3次，观察出现正面的情况；

（3）生产某种产品直至得到10件正品为止，记录生产产品的总件数；

（4）某袋中装有编号1、2、3、4、5的球各一只，从中先后取出两只球。

3．设,,A B C 是某一试验的3个事件，用,,A B C 将下列各事件表示出来。

（1）,,A B C 都发生； （2）,,A B C 都不发生；

（3）A 与B 发生，而C 不发生； (4) ,,A B C 至少有一个发生。

4．盒中有20个球，其中18个是白球，2个是红球，如果

（1）不放回地抽3次，每次抽1球；

（2）有放回地抽3次，每次抽1球。

求取得的3个球中恰有2个白球的概率。

5．有50件产品，已知其中有4件不合格，从中随机地取出3件，求“3件中至少有一件是不合格品”的概率。

6．设事件A 、B 的概率分别为13与12，在下列三种情况下，分别求()P AB ： （1）A 与B 互不相容； （2）A B ?； （3）1()8P AB =

7．设事件A 、B 互不相容，已知()P A a =，()P B b =，试求

（1）()P A B ?； （2）()P A B ?； （3）()P A B ?； （4）()P A B ?。

8.某城市有50%的住户订日报，有65%的住户订晚报，有85%的住户订这两种报纸中的一种。求同时订这两种报纸的住户的比例。

9．甲、乙两座城市，在七月份出现雨天分别记为事件A ，B 。已知()0.4P A =，()0.5P B =， ()0.3P AB =，求(|)P A B 与(|)P B A 。

10．盒中装有5个球，其中红色球3个，黄色球2个，现从中无放回的取两次，每次取一个球，求第一次取到红色球的概率和在第一次取到红色球的条件下第二次取到红色球的概率。

11．设事件A 、B 相互独立，并且()0.4,()0.7P A P A B =?=，求()P AB 。

12．3人独立地破译一密码，已知每人能破译的概率分别为111,

,534，求3人中至少有一人能将密码破译的概率。