22.2.1二次函数与一元二次方程的关系
人教版《二次函数与一元二次方程》教学课件PPT1
为一个常数 （定值）
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一 元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为 一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是 一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
4
易错点：K-1≠0
课堂小结（2分钟）
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴(直线y=0)交点的坐标 一元二次方程ax2+bx+c=0的根
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的个数 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数（判别式）
方程的根即交点横坐标
当堂训练（15分钟） 1.抛物线y=-3(x-2)(x+5)与x轴的交点坐标为(_2_,_0_)_,_(_-.5,0) 2.抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=_8___.
1.小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m?
方法一：
解 :当 h 60时 ,得 5t2 40t 60
解 得 : t1 2 , t2 6
方法二：由图象可得 当 h 60时 ，
t1 2, t2 6
答：小球经过2s或6s时小球离地面的高度是60m.
自学指导二（4分钟）
1.每个图象与x轴有几个交点？怎么利用方程判断？
.
2已0知=2二0t次-5t函2,数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解是____________.
反一过元来 二，次解方方程程axx22+－bx4+xc+=30=的0根又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
222二次函数与一元二次方程(教学设计)九年级数学上册(人教版)
22.2 二次函数与一元二次方程教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函数”22.2 二次函数与一元二次方程，内容包括：二次函数与一元二次方程的联系．2.内容解析解一元二次方程ax2+bx+c=0可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c的值为0，求自变量的值．从图象上看，如果二次函数的图象与x轴有公共点，当自变量取公共点的横坐标时，函数的值为0.由此可求出相应的一元二次方程的根.当二次函数的图象与x轴有两个公共点时，相应的一元二次方程有两个不等的实数根；当二次函数的图象与x轴有一个公共点时，相应的一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与x 轴没有公共点时，相应的一元二次方程没有实数根．通过探究二次函数与一元二次方程的联系，进而掌握利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的方法。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次函数与一元二次方程的联系．二、目标和目标解析1.目标1) 理解二次函数与一元二次方程之间的联系，能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
2）通过图象理解二次函数与一元二次方程联系的过程中，体会综合运用函数解析式和函数图象的数形结合思想。
2.目标解析达成目标1）的标志是：学生能够利用二次函数的图象，通过观察与x轴交点的横坐标，确定一元二次方程的近似解．达成目标2）的标志是：在探索二次函数与一元二次方程联系的过程中，理解二次函数与x轴的公共点个数与对应的一元二次方程的实数根的数量关系．三、教学问题诊断分析探究二次函数与一元二次方程的联系的过程与函数和一元一次方程的探究过程一致，但二次函数与x 轴公共点的个数共有三种情况.需学生理解当二次函数图象与x轴有公共点时，公共点的横坐标就是相应的一元二次方程的根.基于以上分析，本节课的教学难点是：用数形结合的思想探究二次函数与一元二次方程的联系．四、教学过程设计（一）探究新知以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .[问题一]球的飞行高度能否达到15 m? 若能，需要多少时间？[问题二]球的飞行高度能否达到20 m? 若能，需要多少时间？[问题三]结合图形，你知道为什么在问题一中有两个点符合题意，而在问题二中只有一个点符合题意？[问题四]球的飞行高度能否达到20.5 m? 若能，需要多少时间？[问题五]球从飞出到落地要用多少时间？[问题六]结合此问题，你发现二次函数与一元二次方程的联系.师生活动：教师提出问题，学生积极回答问题。
22-2二次函数与一元二次方程(课件)-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂(人教版)
B．m＝0.25n
C．m＝0.5n2
D．m＝0.25n2
2.下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( D )
A．y＝3x2－5x＋3
B．y＝4x2－12x＋9
C．y＝x2－2x＋3
D．y＝2x2＋3x－4
拓展训练
人教版数学九年级上册
3.已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0. (1)试判断该方程根的情况． (2)若抛物线y＝x2－(m－3)x－m与x轴交于A(x1，0)，B(x 2，0)两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？ 若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由(友情提示： AB＝|x2－x1|)．
人教版数学九年级上册
人教版数学九年级上册
第22.2 二次函数与一元二次方程
学习目标
人教版数学九年级上册
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系. 2.能运用二次函数及性质确定方程的解或不等式的解集. 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
复习引入
人教版数学九年级上册
1.二次函数的一般式：y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_（__a_≠__0_）_， __x__是自变量，__y__是__x__的函数.
互动新授
人教版数学九年级上册
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？ 解：当h=20.5时，20t-5t2=20.5 整理得，t2-4t+4.1=0 因为(-4)2-4×4.1=-0.4＜0，所以方程无实数根. 这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m.
互动新授
人教版数学九年级上册
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系 h=20t-5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关 于t的一元二次方程. 如果方程有合乎实际的解，则说明小球的 飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不 能达到问题中h的值.
22.2二次函数与一元二次方程
22.2二次函数与一元二次方程问题：二次函数的223y x x =--的图象如图所示。
根据图象回答：⑴ x 为何值时, 0y =？⑵ 你能根据图象，求方程2230x x --=的根吗？⑶ 你认为二次函数223y x x =--与方程2230x x --=之间有何关系呢？请你谈一谈你的看法。
探究（一）二次函数与一元二次方程之间的关系如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。
如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有关系：2205h t t =-。
考虑以下问题：⑴ 球的飞行高度能否达到15m ？如能，需要多少飞行时间？ ⑵ 球的飞行高度能否达到20m ？如能，需要多少飞行时间？ ⑶ 球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？ ⑷ 球从飞出到落地需要多少时间？知识总结：一般地，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为m,求自变量x 的值,可以看作解一元二次方程__________________.反之,解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝m 又可以看作已知二次函数_______________的值为______时自变量x 的值。
所以：⑴ 如果抛物线2y ax bx c =++与x 轴有公共点（x 0，0），那么 就是方程20ax bx c ++=的一个根。
⑵ 抛物线与x 轴的三种位置关系：相交，即有_____公共点；相切，即有______公共点；相离，即______公共点。
这对应着一元二次方程根的三种情况：有 实数根；有________ 的实数根； ______的实数根。
（3）二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为21x x 、）基础练习：1. 二次函数232+-=x x y ，当x ＝1时，y ＝______；当y ＝0时，x ＝______． 2．抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ； 3、二次函数642+-=x x y ，当x ＝________时，y ＝3．4、抛物线 y=2x 2－3x －5 与y 轴交于点 ，与x 轴交于点5、一元二次方程 3 x 2+x －10=0的两个根是x 1=－2 ，x 2=5/3，那么二次函数 y= 3 x 2+x －10与x 轴的交点坐标是4.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 (1)方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为___________; (2)方程ax 2＋bx ＋c ＝－3的根为__________; (3)方程ax 2＋bx ＋c ＝－4的根为__________;变式训练：1.不与x 轴相交的抛物线是（ ）A. y = 2x 2 – 3B. y=－2 x 2 + 3C. y= －x 2 – 3xD. y=－2(x+1)2 －3 2.若抛物线 y = ax 2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x 轴交点情况是（ ） A. 无交点 B. 只有一个交点 C. 有两个交点 D. 不能确定3.已知抛物线y = ax 2+bx+c 的图象如图,则关于x 的方程ax 2 + bx + c －3 = 0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根4、已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根判断方程 ax 2+bx+c =0 (a ≠0,a,b,c 为常数)一个解x 的范围是（ ）A. 3< x < 3.23B. 3.23 < x < 3.24C. 3.24 <x< 3.25D. 3.25 <x< 3.26 6、关于x 的一元二次方程 x 2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x 2－2x+m 与x 轴有＿＿个交点.7.已知抛物线 y=x 2 – 8x + c 的顶点在 x 轴上，则 c =＿＿.8.若抛物线 y=x 2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x 2 + bx+ c =0 的根的情况是 。
二次函数一元二次方程
②
由①②消去y得S 3x2 5x
当x
5 2 ´（
3）
5 6
时，S
最大
3（´ 5）2 6
5´
5 6
米 25（ 2）
12
答：略。
讨 ●请你把这节课你学到了东西告诉你的同 论 桌，然后告诉老师？
这节课应有以下内容：
二次函数与一 元二次方程的 关系
当二次函数y=ax2+bx+c中y的值 确定，求x的值时，二次函数就变 为一元二次方程。即当y取定值时， 二次函数就为一元二次方程。
4.抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点＿＿(0＿,2＿) ,与x轴交
于点＿(1＿,0＿) (2,0＿) .
K≠0 5图.如象图知,,抛关物于线x的y=方ax程2+abxx2++bcx的+对c=称0的b轴2两-是4个a直c根线≥分0x别=-是1,由
x1=1.3 ,x2=＿-＿3.3＿
6.已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则 k的取值范围（ B ）
（2）请求出球飞行
的最大水平距离．
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞 行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路 线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．
作业
课本：p56-57页 复习巩固
选做题：如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线 y＝－x2＋3.5运行，然后准确落人篮框内。已知篮框的 中心离地面的距离为3.05米。 (1)球在空中运行的最大高度为多少米? (2)如果该运动员跳投时，球出手离地面 的高度为2.25米，请问他距离篮框中 心的水平距离是多少?
升华提高
弄清一种关系------函数与一元二次方程的关系
优质课 精品教案 (省一等奖)《二次函数与一元二次方程(第1课时)》公开课教案
22.2 二次函数与一元二次方程教学时间课题22.2 二次函数与一元二次方程课型新授课教 学 目 标知 识 和能 力 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。
过 程 和方 法 使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。
情 感 态 度 价值观进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
教学重点 使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题教学难点 进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想 教学准备教师多媒体课件学生“五个一〞课 堂 教 学 程 序 设 计设计意图一、引言 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。
本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。
二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水。
连喷头在内，柱高为。
水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。
根据设计图纸：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋45。
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?教学要点1．让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y ＝－x 2＋2x ＋45最大值，问题(2)就是求如图(2)B 点的横坐标；2．学生解答，教师巡视指导； 3．让一两位同学板演，教师讲评。
问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB ＝时，涵洞顶点与水面的距离为。
这时，离开水面处，涵洞宽ED 是多少?是否会超过1m?教学要点1．教师分析：根据条件，要求ED 的宽，只要求出FD 的长度。
22.2用函数观点看一元二次方程
2
2
(1)证明 : 令y 0, 得2 x m x m 0 (m) 4 2 m 9m 0
2 2 2
2
2
不论m取何值, 抛物线与x轴总有公共点 .
(2) A(1,0)在抛物线y 2 x m x m 上 0 2 1 m 1 m
1、二次函数y=x2+x-6的图象与x轴交点横坐 标是（ A ） A：2和-3 B：-2和3 C：2和3 D：-2和3 2、已知实数s、t，且满足s2+s-2006=0， t2+t-2006=0，那么二次函数y=x2+x-2006的 图象大致是（ ） B
A
B
C
D
3、已知抛物线y=x2+mx-2m2(m≠0)
∴球的飞行0s和4s时，它的高度为0m。即 飞出到落地用了4s 。
为一个常数 （定值）
那么从上面，二次函数y=ax2+bx+c何时为 一元二次方程?它们的关系如何? 一般地，当y取定值时，二次函数为一元 二次方程。
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就 是一个一元二次方程。
想一想，这一个旋转喷水 练习一： 头，水流落地覆盖的最大 如图设水管AB的高出地面2.5m，在B处有一自动旋 面积为多少呢？
(1).每个图象与x轴有几个交点？ 答：2个，1个，0个 (2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
问题1:如图,以
九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程课标解读素材 (新版)新人教版
二次函数与一元二次方程课标解读一、课标要求人教版九年级上册22．2二次函数与一元二次方程一节，内容包括一元二次方程的根的几何意义；二次函数的图象与x轴的三种位置对应一元二次方程根的三种情况；利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．?义务教育数学课程标准〔 2022年版〕?对本节课相关内容提出的教学要求是：会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．二、课标解读1．本节课是在研究完二次函数的概念、二次函数的图象与性质后，从函数的角度对一元二次方程重新进行分析．这种再认识不是原来水平上的回忆复习，而是站在更高的高度上，借助变量，从“静态研究〞向“动态研究〞转变，将不同的数学对象用二次函数统一起来认识，发挥函数对数与代数内容的统领作用．2．一元二次方程根的几何意义是：一元二次方程的解，是其对应二次函数的图象〔一条抛物线〕与x轴交点的横坐标．我们可以这样理解：对于二次函数的图象与x轴交点的横坐标，可以看作是一元二次方程的解；同样对于一元二次方程的解，可以看作是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，两者是统一的．这说明一元二次方程的解可以有其几何直观表示．这种形与数的结合，可以加深对二次函数和一元二次方程的联系认识．3．二次函数的图象与x轴有三种位置关系：当时，该函数与x 轴相交〔有两个交点〕，对应的一元二次方程有两个不等的实数根；当时，该函数与x轴相切〔有且仅有一个交点〕，对应的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，那么该函数与x轴相离〔没有交点〕，对应的一元二次方程没的实数根．4．在透彻理解一元二次方程根的几何意义的根底上，就可以用二次函数的图象求相应的一元二次方程的解．通过画二次函数的图象，根据其与x轴的公共点的横坐标，就可以得到一元二次方程根的近似值，为取得满足给定精确度的近似值，可以通过不断缩小根所在的范围来估计一元二次方程的根．教学中建议使用信息技术手段，例如解方程，只要用几何画板画出相应抛物线，显示抛物线与x轴的公共点的坐标，就能得出相应方程的根．也可以把一元二次方程化为：的形式．那么方程的根，就是二次函数和一次函数的图象的交点的横坐标．5．本节内容，无论是函数值求自变量的值，二次函数的图象与x轴的三种位置对应一元二次方程根的三种情况，还是利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解等，都十分突出地表达了建模思想和数形结合思想．教学中，一方面要帮助学生完成好从对图象的描述到对函数变化情况的描述的转换，发挥好几何直观的作用；另一方面，应该引导学生充分体会其中蕴含的数学思想方法，进而让学生逐步学会数学地思考，增强学好数学的信心．。
永平县三中九年级数学上册第二十二章二次函数22.2用函数的观点看一元二次方程1教学课件新版新人教版6
〔2〕球的飞行高度能否达到20m ？如果能 , 需要多少飞行 时间 ？
20 h
你能结合图形指出
O
4
t
为什么只在一个时间球的高 度为20m？
?
〔3〕球的飞行高度能否达到20.5m ？
如果能 , 需要多少飞行时间 ？
20.5 h
你能结合图形指出
O
t
为什么球不能达到20.5m的高度?
解 : 〔2〕解方程 20=20t-5t2 T2-4t+4=0 t1=t2=2 当球飞行2秒时 , 它的高度为20米。
2．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1的图象与x轴总有交点． (1)求m的取值范围 ; (2)当函数图象与x轴的两交点的横坐标的倒数和等于－4时 , 求m的值． 解：(1)当 m＋6＝0，即 m＝－6 时，函数解析式为 y＝－14x－5，此一次函 数与 x 轴有一个交点；当 m＋6≠0，即 m≠－6 时，函数为二次函数，当 Δ≥0 时，抛物线与 x 轴有交点，即 4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)≥0，解得 m≤－59 .
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
解 : 〔1〕设y=0得x2+2-2=0 (x-1)(x+2)=0 X1=1,x2=-2 所以抛物线y=x2+x-2与X轴有两个公共点 , 公共点的横坐标分别是1和-2 , 当x取公共点的横坐标时 , 函数的值为0
Y=x2-x-3
y
-1 O 2 3
x
〔1〕抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点个数有〔C〕
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
人教版九年级数学上册第22章：二次函数与一元二次方程
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a、b、c为常数)一个解
x的范围是（ C ）
A. 3< x < 3.23
B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26
随堂即练
2．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示,且关于x的一 元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3,则另一个解x2= -1.
B.第一、二、三象限
C.x轴下方
D.第二、三、四象限
能力提升
已知二次函数 y x2 6x 8的图象,利用图象回答问题：
（1）方程 x2 6x 8 0的解是什么？ y
（2）x取什么值时,y>0 ？
8
（3）x取什么值时,y<0 ？
解：（1）x1=2,x2=4; （2）x<2或x>4; （3）2<x<4.
如：y=5时,则5=ax2+bx+c就是 一个一元二次方程.
新课讲解
所以二次函数与一元二次方程联系密切．
例如,已知二次函数y = －x2＋4x的值为3,求自变量x的 值,可以看作解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－ 4x=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0,求自变量x的值．
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
新课讲解
3 图象法解一元二次方程
由前面的结论,我们可以利用二次函数的图象求一元二次方
程的根.由于作图或观察可能存在误差,由图象求得的根,一般是
近似的．
例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的